˙ II FINAL
˙
MAT116 SOYUT MATEMATIK
SINAVI
¨
¨
SORULARI ve C
¸ OZUMLERI˙
1. (a) f : Z → Z2 fonksiyonu x ∈ Z i¸cin f (x) = x ile tanımlanıyor. f −1 (0) k¨
umesini
belirleyiniz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
:
−1
f (0) = {x ∈ Z : f (x) ∈ {0}}
= {x ∈ Z : f (x) = 0}
= {x ∈ Z : x = 0}
= {x ∈ Z : x ≡ 0 (mod 2)}
= {x ∈ Z : x = 2k, k ∈ Z}
= {2k : k ∈ Z}
= 2Z
dir.
n
(b) Z∗ = Z\{0} olmak u
¨zere f : Z×Z∗ → Q fonksiyonu (n, m) ∈ Z×Z∗ i¸cin f (n, m) =
m
ile tanımlanıyor. f fonksiyonu birebir midir? Ara¸stırınız.
1
1
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: f ((1, 2)) = ve f ((2, 4)) = olmasına ra˘gmen (1, 2) 6= (2, 4) oldu˘gundan
2
2
f birebir de˘
gildir.
2. (a) ∅ =
6 A bir k¨
ume ve X, Y ∈ P(A) i¸cin X∆Y = (X ∪ Y ) \ (X ∩ Y ) ile tanımlı ∆ i¸slemi
veriliyor. Bu i¸sleme g¨
ore P(A) k¨
umesinin birim elemanı var mıdır? Ara¸stırınız.
¨
¨
C
¸ OZUM : Her X ∈ P(A) i¸cin X∆∅ = (X ∪ ∅) \ (X ∩ ∅) = X \ ∅ = X ve
∅∆X = (∅ ∪ X) \ (∅ ∩ X) = X \ ∅ = X oldu˘gundan ∆ i¸slemine g¨ore birim eleman ∅
dir.
(b) k, m, n ∈ N olmak u
¨zere e˘ger k + s(m) = k + s(n) ise o zaman m = n oldu˘
gunu
g¨
osteriniz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: k + s(m) = s(k + m) = k + m + 1 ve k + s(n) = s(k + n) = k + n + 1
dir. k + s(m) = k + s(n) oldu˘gundan k + m + 1 = k + n + 1 dir. Do˘gal sayılarda
toplamanın sadele¸sme ¨
ozelli˘gi gere˘gi m = n dir.
3. (a) a + b = 358 ve ebob(a, b) = 8 olacak bi¸cimde a ve b tamsayılarını (varsa) belirleyiniz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: ebob(a, b) = 8 oldu˘gundan en b¨
uy¨
uk ortak b¨olen tanımı gere˘gince a = 8k1
ve b = 8k2 olacak ¸sekilde k1 , k2 ∈ Z vardır. Hipotez gere˘gince a + b = 358 olup
8k1 + 8k2 = 8(k1 + k2 ) = 358 dir. Bu durumda 8 | 358 ¸celi¸skisi elde edilir. Yani
a + b = 358 ve ebob(a, b) = 8 olacak bi¸cimde a ve b tamsayıları yoktur.
a c
a c
(b) , ∈ Q+ i¸cin · ∈ Q+ mıdır? Ara¸stırınız.
b d
b d
a c
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: , ∈ Q+ oldu˘gundan ab, cd ∈ Z+ dır. Z+ ¸carpmaya g¨ore kapalı ve
b d
¸carpma i¸slemi de˘
gi¸smeli oldu˘gundan (ab)(cd) = (ac)(bd) ∈ Z+ olur. Bu sebeple
a c
. ∈ Q+ dır.
b d
4. (a) C kompleks sayılar k¨
umesi olmak u
¨zere C × C k¨
umesi sayılabilir midir? Ara¸stırınız.
¨
¨
C
¸ OZUM : R ⊂ C ve R sayılamaz oldu˘gundan C k¨
umesi sayılamazdır. Bu nedenle
sayılamaz iki k¨
umenin kartezyen ¸carpımı olan C × C k¨
umesi de sayılamazdır.
+
(b) a, b ∈ Z olsun. E˘
ger b 6= 1 ise, a < ab midir? Ara¸stırınız.
¨
¨
C
¸ OZUM : Z u
¨zerinde yukarıda verilen “<” ba˘gıntısı a < b olması i¸cin gerek ve
yeter ¸sart b − a ∈ Z+ ile tanımlıdır. b ∈ Z+ ve b 6= 1 oldu˘gundan 1 < b dir. Buradan
b−1 ∈ Z+ dır. B¨
oylece a, (b−1) ∈ Z+ ve Z+ ¸carpma i¸slemine g¨ore kapalı oldu˘gundan
a(b − 1) = ab − a ∈ Z+ olup a < ab bulunur.
Download

Muhasebe tablosuna çift tıklayınız.