Fourier Serileri
a0
+ a1Cos ( x ) +
2
bu seriyi daha kısa olarak
bu seriyi daha kısa olarak,
f ( x) =
b1 Sin ( x ) + a 2 Cos ( 2 x ) +
b2 Sin ( 2 x ) + ...
a0 ∞
f ( x) = + ∑ (anCos (nx) + bn Sin(nx))
2 n =1
Eşitliğin her iki tarafının da (‐π, π) aralığında integrali alınırsa,
alınırsa
π
a0
∫−π 2 dx = πa0
π
sin( nx )
cos(
nx
)
dx
=
∫
n
−π
π
π
=0
−π
cos(( nx )
sin(
)
=
−
nx
dx
∫
n
−π
π
=0
−π
π
∫π f ( x ) dx = πa
0
−
2
bu denklemden a0 çekilirse,
a0 =
1
π
π
∫π f ( x)dx
bulunur.
−
n≠k ise,
π
∫π cos(nx) cos(kx)dx = 0
−
π
∫π cos(nx) sin(kx)dx = 0
−
π
i ( nx) sin(
i ( kx
k )dx
d =0
∫π sin(
−
n=k ise,
π
2
cos
∫ ( kx ) dx = π
−π
π
∫π sin( kx ) cos( kx ) dx = 0
−
π
2
sin
∫ ( kx ) dx = π
−π
3
Her iki taraf cos(kx) ile çarpılıp integre edilirse,
ak =
1
π
f (x) cos(kx)dx
∫
π π
−
Her iki taraf sin(kx) ile çarpılıp integre edilirse,
bk =
1
π
π
∫π f ( x) sin(kx)dx
−
e ix = cos x + i sin x
e −ix = cos x − i sin x
((cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx
4
Tek Değişkenli Ayrık Fourier Dönüşümü ve Tersi:
M −1
F (u ) = ∑ f ( x)e − j 2πux / M , u = 0,1,2,..., M − 1
x =0
1
f ( x) =
M
M −1
∑ F (u )e
j 2πux / M
, x = 0,1,2,..., M − 1
u =0
2D Ayrık Fourier Dönüşümü ve Tersi :
M −1 N −1
F (u , v) = ∑∑ f ( x, y )e − j 2π ( ux / M + vy / N )
x =0 y =0
1
f ( x, y ) =
MN
M −1 N −1
j 2π ( ux / M + vy / N )
F
(
u
,
v
)
e
∑∑
u =0 v =0
5
Tek Değişkenli Ayrık Fourier Dönüşümü ve Tersi:
3
F (0) = ∑ f ( x) = [ f (0) + f (1) + f (2) + f (3)]
x =0
= 1 + 2 + 4 + 4 = 11
3
F (1) = ∑ f ( x)e − j 2π (1) x / 4
x =0
= 1e 0 + 2e − jπ / 2 + 4e − jπ + 4e − j 3π / 2 = −3 + 2 j
F (2) = −(1 + 0 j )
F (3) = −(3 + 2 j )
6
1 3
f (0) = ∑ F (u )e j 2πu ( 0 ) / 4
4 u =0
1 3
= ∑ F (u )
4 u =0
1
= [11 − 3 + 2 j − 1 − 3 − 2 j ]
4
1
= [4] = 1
4
7
⎡77 63 53⎤
⎢69 66 60⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 61 77 63⎥⎦
2
2
F (0,0) = ∑∑ f ( x, y ) = 589
x =0 y =0
2
2
F (0,1) = ∑∑ f ( x, y )e
− j 2π ( y / 3 )
2
F (0,2) = ∑∑ f ( x, y )e
− j 2π ( 2 y / 3 )
x =0 y =0
2
2
F (2,0) = ∑∑ f ( x, y )e − j 2π ( 2 x / 3)
x =0 y =0
2
2
F (2,1) = ∑∑ f ( x, y )e − j 2π ( 2 x / 3+ y / 3)
x =0 y =0
x =0 y =0
2
2
2
2
F (2,2) = ∑∑ f ( x, y )e − j 2π ( 2 x / 3+ 2 y / 3)
x =0 y =0
2
F (1,0) = ∑∑ f ( x, y )e − j 2π ( x / 3)
x =0 y =0
2
2
F (1,1) = ∑∑ f ( x, y )e − j 2π ( x / 3+ y / 3)
x =0 y =0
2
2
F (1,2) = ∑∑ f ( x, y )e − j 2π ( x / 3+ 2 y / 3)
x =0 y =0
8
Download

Bilgisayar Teknisyeni Aday Tespit Listesi