(2) Vektör integrali, Gradyan
(gradient), diverjans
(divergence) ve rotasyonel
(curl) operatörleri
Vektör İntegral İşlemleri
• Elektromanyetik alanları anlamak için gerek duyulan bazı integral tanımları:
• Çizgi İntegrali
• Yüzey İntegrali
• Hacim İntegrali
• İşlemleri basitleştirmek için integraller Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.
a konumundan b konumuna olan yol boyunca F vektörünün çizgi integrali
∆s yüzeyi boyunca F vektörünün yüzey integrali
ρv hacmi üzerinde F vektörünün hacim integrali
Çizgi İntegrali
• Kartezyen koordinat sisteminde
•
fonksiyonu için
integralini hesaplayın?
yolları için çizgi
(1) İntegral sonucu AB, BC, CD ve DA integrallerinin toplamına eşittir.
AB için
BC için
CD için
DA için
(2) İntegral sonucu AB, BD ve DA integrallerinin toplamına eşittir.
BD üzerinde çizgi denklemleri:
x başlangıç değeri 2, bitiş değeri 1
Yüzey İntegrali
• Yüzey integrali, diferansiyel yüzey elemanı ds olan ∆s yüzeyinden geçen
vektör alan şiddetini hesaplamak için kullanılır. Bu vektör alanı genellikle akı
(flux) olarak isimlendirilir. Yüzey integralinin yönü, yüzeyin normal
yönünden dışa doğrudur.
• Eğer vektör alanı, tüm kapalı yüzeyleri içine alıyorsa
ifadesi kullanılır.
Kapalı yüzey integrali duruma göre pozitif, negatif veya sıfır olabilir.
Yüzey İntegrali
• Küp üzerinde 6 farklı diferansiyel alanla ilişkili 6 farklı vektör bulunur.
• Verilen vektörler z eksenine dik ve birbirlerine zıt yöndedir.
Örnek 2.2
fonksiyonu için
arasında belirtilen küpün yüzey integralini hesaplayın?
• Not: Küpün altı yüzeyi vardır. Yüzey integrali bu altı yüzeyin toplamıdır.
• Üst yüz
•
• Alt yüz z=-1,
• Ön yüz
, aynı şekilde yüzey sıfır olur.
sınırları
• Arka yüz, x=-1,
• Sağ yan yüz,
• Sol yan yüz,
• Toplam yüzey =
aynı şekilde 12 olarak bulunur.
Örnek 2.3
vektörü için küresel koordinat sisteminde kapalı yüzey integralini
•
bulun?
MATLAB Uygulaması
1
>> sphere(20)
0.5
0
-0.5
-1
1
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
1
0.8
0.6
>> cylinder(20)
0.4
0.2
0
20
10
20
10
0
0
-10
-10
-20
-20
Hacim İntegrali
• Kartezyen koordinat sisteminde integral hesaplanırken
• Silindirin hacmi:
Örnek 2.4
•
fonksiyonu için
arasında belirtilen bölgenin hacmini hesaplayın?
sınırları
Gradyan (1)
• Bir skalar büyüklüğün gradyanı, bize onun büyüklüğünü ve skalar büyüklüğün
değişiminin maksimum oranını gösteren yönü bulmak için kullanılır. Gradyan
işlemi skaler fonksiyon üzerinde uygulanır ve sonuç bir vektördür.
• Kartezyen koordinat sisteminde skaler f(x,y,z) fonksiyonunun gradyenti:
Büyüklük değişimin maksimum oranıdır.
Yönü ise değişimin maksimum oranının yönüdür.
Skaler fonksiyonun düzey çizgisi (contour)
Gradyan (2)
• Silindirik koordinat sisteminde skaler f(x,y,z) fonksiyonunun gradyanı:
• Küresel koordinat sisteminde skaler f(x,y,z) fonksiyonunun gradyanı:
Diverjans
• Diverjans operatörü uzayda bir vektör alanının bulunduğu belirli bir bölgede bir
kaynak ya da bir hedef nokta var olup olmadığını belirlemede faydalıdır.
Elektromanyetik alanlar için kaynak ve hedef olarak pozitif ve negatif yükler
olarak düşünülebilir. Diverjans vektör fonksiyonu üzerinde uygulanır ve sonuç bir
skalerdir.
• Kartezyen koordinat sisteminde diverjans tanımı:
Rotasyonel
• Rotasyonel bir vektör alanıyla ilişkili bir dönüş olup olmadığını belirlemek için
kullanılabilecek bir vektör bir işlemdir. Vektör fonksiyonu üzerinde uygulanır ve
sonuç yine bir vektördür.
• Kartezyen koordinat sisteminde rotasyonel tanımı:
Stokes Teoremi
• F vektör alanının yönlendirilmiş bir S yüzeyinin sınırı C kapalı yolu üzerindeki saat
yönünün tersine dolaşımı, yüzeyin birim normal vektörü n olmak üzere, .......……
ifadesinin S yüzeyi üzerindeki integraline eşittir.
Diverjans Teoremi
• F vektör alanının kapalı yönlendirilmiş bir S yüzeyindeki, yüzeyin dışarı doğru
birim normal vektör alanının n yönündeki akısı
’nin yüzeyin çevrelediği V
hacminin integralidir.
Sık Kullanılan Bazı İşlemler
Silindirik Koordinat Sisteminde Gradyan, Diverjans ve Rotasyonel
Küresel Koordinat Sisteminde Gradyan, Diverjans ve Rotasyonel
Download

(2) Vektör integrali, Gradyan (gradient), diverjans (divergence) ve