MATEMATİKSELLİK VE MATEMATİK FELSEFESİ
Matematik bir çok disiplinin birleşmesidir.
Euclides Geometrisi, Cebir, Grup Teorisi, Analiz,
Reel Analiz, Karmaşık Analiz, Olasılık,
Fonksiyonel Analiz, Diferansiyel Denklemler,
Euclides-dışı Geometri ve daha nice disiplinlerin
ortak özelliği, tanımsız kavramların kabulü ile
başlıyor olmalarıdır.
Sonrasında gelen bütün kavramlar başlangıçta
kabul edilenler üzerinde tanımlanırlar. Örneğin
nokta Euclides geometrisinde pozitif tam sayı,
cebirde ise tanımsız kavramdır.
Geometri, ilk önce alan hesaplanması ve
astronomik çalışmalardaki yıldızların yeri ve
hareketlerinin gözlenmesi ile başlamıştır. Olasılık
kumar oyunlarında kazanma hırsına kesinliğin
nasıl maledileceği ile başlamıştır.
Ama bugün bu dallara baktığımızda başlangıçta
yarattığımız bu disiplinlerin artık
kontrolümüzden çıkıp kendi içinde kendi
problemlerini yaratıp onların soyut çözümleri ile
uğraştığını görürüz.
Bilim içinde üretilmiş problemlerin toplum ve
doğadaki problemlerin çözümü ile ilgili
olabileceği gibi, hiç bir ilgisi de olmaya bilir
demek ki.
Diğer bilimler ile matematik arasındaki temel
farklılıklar; düşünce sistemlerinde ve ispat-açıklama
yöntemlerindedir.
Birincisinde olgusal içerik bulunur, yani gözlemin
sonucundaki açıklama yeterli olur. Matematiksel
düşüncede ise kavramsallık vardır, yani "gözlenen
olayı olgusal açıklama yerine ilişkileri teorem olarak
ispatlama” vardır.
Matematiksel oluşta açıklık ve kesinlik vardır.
Doğruluk şüphe götürmez kuru gerçektir. İspat
yapılmadığı sürece genelleme yapılmaz. "Her çift sayı
iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir" hipotezini
çürütür tek bir örnek bulunamamış olunsa bile
ispatlanmadığı için bu yönde bir genelleme yapılmaz.
Matematikçiler kanıt toplamaktan çok ispata
yönelirler.
Matematik felsefesinde tartışmaların odak
noktasını oluşturan temelcilik üzerinde bilim
adamları ve matematikçiler yaklaşık yüz yıl
harcadılar. Öyle ki Matematiksel Mantık
üzerindeki tartışmalarda da temel dört
mantık okulu ortaya çıkmıştır.
1) Platoncular (Realistler - Gerçekçiler)
2) Mantıkçılar - Temelciler
3) Biçimciler - Tanımcılar (Formalistler)
4) Sezgiciler - İnşacılar - Yapımcılar
MATEMATİK TARİHİ
TEMELCİLİK
Gottlob Frege
1) Begriffsschriff (1879) - Formüllerin dili ve
aritmetik modelleri
2) Die Grundlogen der Arithmetik (1884) Matematiksel mantık ve sayılar üzerine
temel kavramlar
3) Grundgesetze der Arithmetik,I, II (1893) Aritmetiğin temel kuralları
MANTIK
Bertrand Russell (1872–1970), matematiğin
prensipleri konulu bir kitap yazmıştır.
Çalışmalarında, önermelerin ilişkilerini ve, veya, ise,
ancak ve ancak gibi mantıksal operatörlere dayalı
mantık sistemini tanıtmıştır. Mantıksal öğretiyle, yeni
bir felsefe ortaya koymuştur. Matematiği P=>q
biçiminde önermeler kümesi olarak tanımlaması ile
matematiğe yeni bir boyut kazandırmıştır.
George Boole (1815–1864), matematiksel
Mantık teorisine dayalı Boolean Cebiri
geliştirmiştir. George Boole bu eserle
matematikte yeni bir çığır açarak bugünkü
bilgi teknolojilerinin gelişebileceği müjdesini
o günlerde vermiştir.
KÜMELER
George Ferdinand Ludwig Philipp
Cantor (1845 –1918), kümeler
kavramının kurucusudur. "Sonsuz küme"
kavramına matematiksel bir tanım getirmiş
ve gerçel sayıların sonsuzluğunun doğal
sayıların sonsuzluğundan "daha büyük"
olduğunu ispatlamıştır.
POLİNOMLAR
Ömer Hayyam (1040–1122),
parabol ve
çemberi kestirerek 3. dereceden bir
polinom denkleminin çözümü için geometrik
bir yöntem geliştirmiştir.
René Descartes (1596–1650) Descartes matematiğe önemli
katkılarda bulunmuştur.
Cebirin geometriye uygulanması üzerine çalışmıştır.
Kartezyen koordinat kavramını ortaya koymuştur.
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Harezmî, (780–850) IX. yüzyılda yaşayan ve cebir
alanında ilk defa eser yazan Türk bilginidir.
Harezmî, ilk defa, birinci ve ikinci dereceden
denklemleri analitik metotla; bir bilinmeyenli
denklemleri de cebirsel ve geometrik metotlarla
çözmenin kural ve yöntemlerini tespit etti.
Matematikte ilk kez sıfır rakamını kullanan Harezmî,
cebir bilimini metodik ve sistematik olarak ortaya
koydu. Kendisinden önceki cebire ait konuları, yine ilk
kez ‘cebir’ adı altında sistemleştirdi.
TRİGONOMETRİ
Hipparchus (M.Ö. 160–125), Matematikçi ve astronomdur. İlk
sistematik astronomi ve trigonometriyi bulan kişidir.
Güneş ve Ay’ın uzaklığını hesaplamıştır. Enlem ve boylam
daireleriyle, Dünya'daki herhangi bir noktanın konumunu
belirtme yöntemini bulmuştur.
LOGARİTMA
John Napier ( 1550 –1617), Logaritmanın bulucusu olarak
bilinir. Napier, Saint Andrews Üniversitesinde eğitim
görmüş ve matematiği de içinden gelen bir merak olarak
izlemiştir. Kendisi, amatör bir matematikçidir. Sayısal
hesaplamaları kolaylaştıracak bir yol ararken, önce
Napier cetvelleri diye bilinen, üzerinde rakamlar
yazılmış küçük değnekler yardımıyla yapılan bir çarpma
veya bölme yöntemi buldu. 1, 2, 3,… şeklindeki aritmetik
dizi ile, buna karşılık gelen 10, 100, 1000,... biçimindeki
geometrik dizi arasındaki, ilişkiyi gördü. 1614 yılında
yazdığı "Logaritma Kurallarının Tanımı" adlı eserinde,
aritmetik dizi ile geometrik dizinin karşılaştırılmasından,
matematiğe logaritma
kavramını getirdi.
KARMAŞIK SAYILAR
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), katkıda
bulunduğu alanlardan bazıları; sayılar kuramı,
analiz, diferansiyel geometri, jeodezi, elektrik,
manyetizma, astronomi ve optiktir.
"Matematikçilerin prensi" ve "antik çağlardan
beri yaşamış en büyük matematikçi" olarak da
bilinen Gauss, matematiğin ve bilimin pek çok
alanına etkisini bırakmış ve tarihin en nüfuzlu
matematikçilerinden biri olarak kabul edilmiştir.
Gauss, sanal sayıları Doktora tezinde kullanması ile
matematik dünyasında yeni bir pencere açmıştır.
OLASILIK VE İSTATİSTİK
Christian Huygens (1629–1695),
Gökbilimci, matematikçi ve fizikçidir.
Matematiğe çok küçük yaşta ilgi
duymaya başlamıştır. 1656'da olasılık
hesabını tanıtan çalışmasını ortaya koymuş
ve tanıtmıştır.
TÜMEVARIM VE DİZİLER
Leonardo Fibonacci (1170–1250), yaygın
olarak ismiyle Fibonacci diye anılan, Orta
Çağın en yetenekli matematikçisi olarak
kabul edilmiş ve dizileri keşfetmiştir.
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Niels Henrik Abel Norveçli(1802–1829),
derecesi beşten büyük polinom denklemler
için genel bir çözüm verilemeyeceğini
kanıtlamıştır. İntegral hesaplamalarına
önemli katkısı olmuştur.
TÜREV
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), bilim
dünyasının en önemli sistemci düşünürlerinden
biridir. Matematik, metafizik ve mantık
alanlarında ileri sürdüğü yeni düşünce ve
görüşleriyle tanınır. Diferansiyel ve integral
hesabın kurucularındandır.
İNTEGRAL
Sir Isaac Newton ( 1642–1727), tarihin
yetiştirdiği en büyük bilim adamlarından
biridir.
Matematik, astronomi ve fizik
alanlarındaki buluşları ile tanınır. Bilime
yaptığı temel katkılar, diferansiyel ve
integral hesap, evrensel çekim kanunu ve
güneş ışığının yapısı olarak sıralanabilir.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–
1866), matematik ve geometri dalında çok
önemli çalışmaları ile modern kuramsal
fiziğin gelişmesine önemli katkıları olmuştur.
Riemann integrali olarak bildiğimiz belirli
integral kavramını ortaya koymuştur.
Doğal sayıların inşası ile ilgili ilk formal bilgiyi İtalyan
felsefeci ve matematikçi Giuseppe Peano sunmuştur.
Peano aksiyomları doğal sayıların inşası için kullanılan
dört temel ve bir yardımcı aksiyomdan oluşur.
Buna göre
I.
Sıfır bir doğal sayıdır.
II.
İki doğal sayının ardılları eşitse doğal
sayılar da eşittir.
III.
Doğal sayılar ardılı olacak şekilde devam
eder.
verilen ifadelerden hangisi Peano
aksiyomlarından biridir?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III
Peano Aksiyomları

Sıfır bir doğal sayıdır.

İki doğal sayının ardılları eşitse doğal
sayılar da eşittir.

Her N doğal sayısının sadece bir
tane ardılı vardır.

Ardılı 1 olan hiçbir doğal sayı yoktur.

Sıfırı içeren ve her N sayısı için N+
ardılını da içeren bir küme doğal sayılar
kümesine eşittir.
Dolayısıyla doğru yanıt C seçeneğidir.
CEVAP: C
I.
Üslü sayılar konusu 8. sınıf matematik
dersine ait bir kazanımdır
II. sin2x + cos2x = 1 dir.
III. ∀ x, y ∈ IR için x2 + y2 < 0 dır.
IV. 3 + 3 = 5 ise Ay’da yaşam vardır.
V.
Dik üçgen sorularında Pisagor
bağıntısı mı yoksa Öklid bağıntısı kullanılır?
Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi
önermedir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Aksiyomlarla ilgili olarak;
I.
Karmaşık yapılıdır.
II. Tutarlı olmalıdır.
III. Fazlalık içermemelidir.
IV. Biri diğerinden elde edilmelidir.
verilen özelliklerden kaç tanesi
doğrudur?
A) Hiçbiri B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
İspatına gerek duyulmaksızın doğruluğu
kabul edilen önermelere ne ad verilir?
A) Teorem B) İspat C) Açık önerme
D) Kural
E) Postulat
1796’da kenar sayısı bir Fermat asalı olan
her düzgün çokgenin sadece cetvel ve
pergel kullanılarak çizilebileceğini
kanıtlayan ünlü matematikçi kimdir?
A) Andrew Wiles
B) Wilhelm Leibniz
C) Paul Nahin
D) Cahir Arf
E) Carl Friedrich Gauss
Cevap E seçeneğidir. Antik Yunan’dan beri
matematikçileri meşgul eden bu kanıtı
gerçekleştiren matematikçi C. F. Gauss’tur.
Gauss aynı zamanda “Matematikçilerin
prensi” olarak da adlandırılır.
Geometriyi bir dizi aksiyoma indirgeyen ve
matematiğin biçimsel temellerinin
oluşturulmasına önemli katkıda bulunan,
1899 yılında geometrinin temelleri üstüne
araştırmalarının bir sentezi olan
“Geometrinin Temelleri” adlı eseri
yayınlayan matematikçi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) Euclid
B) David Hilbert
C) Bertrand Russell D) Henri Poincare
E) Leonhard Euler
Soruda özellikleri verilen matematikçi Alman
David Hilbert’tir. Dolayısıyla doğru cevap B
seçeneğidir.
NOT: Hilbert kadar Euclid’in, Russell’ın,
Poincare’ın ve Euler’in matematik adına
yapmış olduğu çalışmalar da önemlidir. Bu
matematikçilerin hayatları, çalışmaları ve
özgeçmişleri sorulabilir
Download

Matematik Eğitimi Ders-2