URSI-TÜRKĠYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Zaman Modülasyonlu Dizilerde Yanbant Bastırım Eniyilemesi Üzerine
İstatistiksel Regresyon Analizine Dayalı Bir Değerlendirme
Ertuğrul Aksoy, H. Hasan Örkcü*, Mustafa İsa Doğan*
Gazi Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi
Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü
06570, Maltepe, Ankara
[email protected]
*Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi
İstatistik Bölümü
06500, Teknikokullar, Ankara
[email protected], [email protected]
Özet: Bu çalışmada zaman modülasyonlu dizilerde anahtarlama kaynaklı oluşan yanbantların maksimum
seviyelerinin hesaplanmasında kullanılan klasik yöntem ve eşitsizlik yöntemi olarak adlandırılabilecek iki
yöntemin nümerik hesaplamalarda çözüm bulma zamanlarının istatistiksel regresyon tabanlı bir analizi
sunulmaktadır. Her iki yöntem için de, regresyon analizinde eleman sayıları açıklayıcı değişken çözüm
zamanları ise bağımlı değişken olarak alınmış ve iki yönteme göre tahmin edilen regresyon doğrularının
eğimlerinin testi gerçekleştirilmiştir. Test sonuçları göstermektedir ki eşitsizlik yöntemi çözüm zamanı
bakımından klasik yönteme göre istatistiksel olarak daha iyi sonuç vermektedir.
Abstract: In this study, a statistical regression-based analysis of solution times in numeric calculations of two
methods used to calculate the maximum levels of sidebands caused by switching in time modulated arrays which
might be called the classical method and the inequality method is presented. For both methods, the element
numbers are taken as the explanatory variables and the solution times are taken as the dependent variables in
the regression analysis and the test of the slopes of regression lines estimated by the two methods has been
performed. The test results show that the inequality method exhibits statistically better results compared to
conventional method in terms of solution times.
1. Giriş
Herhangi bir anten dizisinin ilgili elemanının periyodik bir şekilde aç-kapa işlemine tabi tutulması olarak
adlandırılabilecek zaman modülasyonu, kavram olarak ilk defa Shank ve Bickmore tarafından 1959 yılında
ortaya konulmuştur [1]. Zaman teriminin ekstra bir tasarım parametresi olarak kullanılması özellikle düşük
dinamik aralık oranına sahip düşük-çok düşük yankulakçık seviyeli dizi tasarımında büyük esneklik sağlamasına
rağmen yanbant olarak adlandırılan ve kullanılmadıkları durumda kayıp olarak görülebilecek ışımalara sebep
olmaktadır. Kayıp olarak görülen bu ışımaların bastırımı için öne sürülen ve klasik yöntem olarak
adlandırılabilecek yaklaşım, ilk yanbandın diğerlerinden büyük olacağı varsayımı altında ilk yanbandın belirli bir
açısal hassasiyetle örneklenmesi ve oluşturulan açısal örnek kümesinin maksimum elemanının ayrıştırılıp
herhengi bir optimizasyon aracı ile bastırılması prensibine göre çalışmaktadır [2,3]. Bu yöntem açısal örnek
hassasiyetine bağlı olarak sabit eleman sayısı altında farklı çözüm zamanları sunan algoritmik bir yaklaşımdır.
Yakın zamanda Aksoy ve Afacan tarafından klasik yöntemin temel varsayımının her durumda geçerliliğini
koruyamadığı ve klasik yöntemin hatalı sonuçlara sebebiyet verebileceği gösterilmiştir ve bu duruma bir çözüm
olarak oluşan yanbantların belirli bir yanbant sınırının altında kalması gerektiği ve bu yanbant sınırının
azaltılması vasıtasıyla yanbantların bastırılabileceği öne sürülmüştür [4]. Ayrıca eşitsizlik yöntemi olarak
adlandırılabilecek bu yeni yöntemin optimizasyon aracı implementasyonunda dizi parametrelerinin
eniyilenmesinde daha etkin olduğu gösterilmiştir [5] fakat değişken eleman sayısı altında klasik yöntem ile
eşitsizlik yöntemi arasında çözüm zamanı davranışları üzerine bir çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışmanın
amacı iki farklı yöntemin farklı eleman sayıları altında çözüm zamanı davranışlarının istatistiksel regresyon
analizi yöntemi ile incelenmesi ve yorumlanmasıdır.
2. Yanbant Seviyesi Hesaplama Yöntemleri ve Referans Senaryo
Zaman modülasyonlu dizilerde periyodik anahtarlama kaynaklı oluşan yanbantların seviye hesabında kullanılan
ve bu metinde klasik yöntem olarak adlandırılan yanbant örnekleme yönteminde maksimum yanbant seviyesi,
Şekil. 1.a’ da gösterildiği gibi uzayın önceden belirli bir hassasiyette örneklenmesi ve bu işlemin istenilen
harmonik sayısınca farklı harmonikler için tekrarlanması neticesinde oluşan örnek kümesi içerisinden en büyük
elemanın seçilmesi işlemi ile hesaplanmaktadır. Bu algoritmik yapı için not edilmelidir ki yöntem kullanılan
örnek ve harmonik hassasiyet değerlerinin uygun seçilmesine göre doğru sonuçlar üretmektedir.
URSI-TÜRKĠYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Eşitsizlik yönteminde ise maksimum yanbant seviyesi direk hesaplanmazken bunun yerine Şekil 1.b.’ de
gösterildiği gibi
normalize edilmiş yanbant üst sınırını,
normalize edilmiş uyarım genliklerini,
normalize edilmiş toplam açık kalma sürelerini ve
dinamik genlikleri göstermek üzere:
∑
(
)
∑
(1)
formülasyonu ile verilen yanbant üst sınırı hesaplanmaktadır ve bu sayede tüm sonsuz sayıdaki yanbantlar
hesaplanan seviyenin altında kalacağı için maksimum yanbant seviyesi tek bir hesaplanan değer ile kontrol
altında tutulabilmektedir.
(a)
(b)
Şekil 1. Yanbant hesaplama yöntemleri akış şemaları; (a): Klasik yöntem, (b): Eşitsizlik yöntemi
Her iki yöntem de yanbant bastırımı için kullanıldığından adil bir çözüm zamanı karşılaştırması yapabilmek için,
doğrusal bir dizi üzerinden uzaysal filtreleme ve yanbant bastırımı problemi referans senaryo olarak seçilmiştir.
Her ne kadar yan kulakçık seviyesi anten dizileri için önemli bir parametre olsa da yanbant hesaplama
yöntemleri için zaman kıyaslaması yapılacağından ağır işlem yükü gerektiren bu parametre referans senaryoya
dahil edilmemiştir. Basit sayılabilecek bu senaryoda değişken eleman sayıları altında
yükselme açısının -80
dB seviyesi altına, sonsuz sayıdaki tüm yanbantların ise -30 dB altına çekilmesi amaçlanmıştır. Bu amaç için
pozitif z-eksenine yerleştirilmiş izotropik kaynaklardan oluşmuş, sıfır fazlı, elemanları arası mesafe yarım
dalgaboyu olan doğrusal bir dizi düşünülmüştür. Bastırım problemi çözümünde optimizasyon aracı olarak
“DE/best/1/bin” stratejisi, mutasyon faktörü F=0.65, çaprazlama faktörü Cr=0.95, popülasyon büyüklüğü P=40
algoritma parametreleri ile kullanılmıştır. Algoritmanın sonlandırma koşulu olarak,
ve
klasik yöntem için
[ ]
uzaysal örnekleri ve eşitsizlik değerini göstermek üzere
ve
maliyet fonksiyon
[
] olmak üzere her eleman sayısı için 100 bağımsız deney Intel i5değerleri alınmıştır. Eleman sayısı
2400 [email protected] GHz işlemciye ve 3.16 GB RAM özelliklerine sahip standart bir sistem üzerinde yapılmıştır.
3. İstatistiksel Regresyon Analizi
Birçok mühendislik ve bilimsel problemde varolan değişkenler kümesi arasındaki ilişkinin belirlenmesi ile
ilgilenilmektedir. Çoğu uygulamada, girdi kümesi değerine (
; açıklayıcı değişkenler) bağlı olan tek bir
yanıt değişkeni, (bağımlı değişken) vardır. Bağımlı değişken ile açıklayıcı değişkenler arasındaki ilişkinin en
basit türü
şeklinde doğrusal bir ilişkidir [6]. Eğer ve ;
arasında ilişki
varsa, açıklayıcı değişkenlerin bir kümesi için bağımlı değişkenin değerini tam olarak tahmin etmek
( bilindiğinde) mümkün olmaktadır, ancak pratikte böyle bir kesinlik hemen hemen hiç elde edilemez. İstatistik
kuramında, bağımlı değişken ve açıklayıcı değişkenler arasındaki ilişkinin rastgele bir hataya bağlı olarak geçerli
olacağı beklenmektedir ve bu durum rastgele hatayı göstermek üzere
olarak
ifade edilmektedir ve yazılan bu son denklem doğrusal regresyon denklemi (çoklu regresyon denklemi) olarak
adlandırılmaktadır. Bir tane açıklayıcı değişkenin olduğu doğrusal regresyon modeli ise basit regresyon olarak
adlandırılmaktadır ve
olarak yazılmaktadır. Bu modelin parametrelerinin tahmini en küçük
kareler yöntemiyle yapılmaktadır.
Eleman sayısı açıklayıcı değişken yöntemler tarafından elde edilen çözüm zamanları da bağımlı değişken olarak
alındığında, eleman sayısı değişkenine göre eşitsizlik yönteminden elde edilen çözüm zamanına ve klasik
yöntemden elde edilen çözüm zamanına göre iki farklı basit regresyon denklemi oluşturulabilir. Buradaki amaç
iki yöntemde elde edilen regresyon doğrularının eğimlerini (dolayısıyla yöntemlerin çözüm zamanlarını)
URSI-TÜRKĠYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
istatistiksel olarak karşılaştırmaktır ve iki basit doğrusal regresyon doğrusunun eğimi t-testi ile yapılmaktadır [7].
Bu amaçla,
ve
sırasıyla eşitsizlik yöntemi ve klasik yöntem için oluşturulan regresyon doğrularının
bilinmeyen eğim katsayıları olarak alındığında,
hipotezi,
anlamlılık düzeyinde
serbestlik dereceli (
)⁄ (
ve
sırasıyla
ve
) istatistiği ile test edilmektedir. Burada
parametrelerinin tahminlerini,
ve
ise sırasıyla eşitsizlik ve klasik yönteme göre çözüm zamanları için
yapılan gözlem sayılarını göstermektedir. Eğer hesaplanan t istatistiğinin değeri istatistiksel olarak anlamlı ise
hipotezi reddedilir ve eşitsizlik yönteminden ve klasik yöntemden elde edilen çözüm zamanlarına göre
oluşturulan regresyon doğrularının istatistiksel olarak farklı olduğuna karar verilir. Ayrıca eğim katsayısı küçük
olan yöntemin de diğer yönteme göre istatistiksel olarak daha az sürede çözüm elde ettiği sonucuna varılır.
4. Bulgular ve Değerlendirme
Eleman sayıları [10,50] arasında 21 gözlem olarak belirlenmiş ve 100 bağımsız deney için eşitsizlik ve klasik
yöntemden elde edilen regresyon doğrularının eğim katsayıları karşılaştırılmıştır. Örneğin ilk deneyde eşitsizlik
yöntemi çözüm zamanlarından -2.682+0.178x doğrusal regresyon denklemi, klasik yöntem çözüm
zamanlarından ise -115.24+8.828x doğrusal regresyon denklemi elde edilmiştir. Buradan elde edilen 0.178 ve
8.828 eğim katsayıları aracılığı ile eşitsizlik ve klasik yöntemlerin çözüm zamanlarının eşitliği için oluşturulan
hipotezin t test istatistiği ise 3.973 olarak elde edilmiştir. Şekil 2, 100 deney için hesaplanan t istatistiklerinin
değerlerini göstermektedir. Kesikli çizgi   0.05 anlamlılık düzeyindeki 38 (21+21-4) serbestlik dereceli t tablo
değeri 1.96’ya karşılık gelmektedir. Şekil 2’den de görülebileceği gibi, tüm iterasyonlarda, hesaplanan t değerleri
istatistiksel olarak anlamlı olduğundan, eşitsizlik yönteminden elde edilen çözüm zamanları klasik yöntemden
elde edilen çözüm zamanlarından istatistiksel olarak daha küçüktür.
Hesaplanan t istatistiklerinin değerleri
11
10
9
8
7
6
5
4
3
t tablo değeri
2
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
İterasyon sayısı
Şekil 2. Eleman sayısı-çözüm zamanı regresyon eğimlerinin eşitliği testinden elde edilen t istatistik değerleri
5. Sonuç
Sonuç olarak bu bildiride zaman modülasyonlu dizilerde yanbant hesaplamasında kullanılan algoritmik klasik
yöntem ile yeni öne sürülen eşitsizlik yönteminin örnek referans enterferans bastırımı problemi üzerinden
değişken eleman sayıları altında çözüm zamanına etkisi istatistiksel regresyon analizi ile incelenmiştir.
Regresyon analizi sonuçlarına göre eşitsizlik yöntemi klasik yöntem karşısında çözüm zamanı açısından, iki
regresyon doğrusunun eğimlerinin karşılaştırıldığı t testine göre istatistiksel olarak anlamlı ve oldukça başarılı
çözüm zamanı sonuçları üretmektedir.
6. Kaynaklar
[1]. Shanks H. E. ve Bickmore R. W., “Four-dimensional electromagnetic radiators,” Canadian Journal of
Physics, 37(3), s.263-275, 1959.
[2]. Poli L., Rocca P., Manica L. ve Massa A., “Handling sideband radiations in time-modulated arrays through
particle swarm optimization,” IEEE Trans. Antennas Propagat., 58(4), 1408-1411, 2010.
[3]. Zhu Q., Yang S., Zheng L. ve Nie Z., “Design of a low sidelobe time modulated linear array with uniform
amplitude and sub-sectional optimized time steps,” IEEE Trans. Antennas Propagat., 60(9), s.4436-4439, 2012.
[4]. Aksoy E. ve Afacan E., “An inequality for the calculation of relative maximum sideband level in timemodulated linear and planar arrays,” IEEE Trans. Antennas Propag., 62(6), s. 3392-3397, 2014.
[5]. Aksoy E. ve Afacan E., “A Comparative Study on Sideband Optimization in Time-Modulated Arrays,”
International Journal of Antennas and Propagation, 2014(1), s. 290737, 14 sayfa, 2014.
[6] Montgomery, D.C. ve Runger, G.C., “Applied Statistics and Probability for Engineers”, John Willey, 2003.
[7] Kleinbaum, D.G. ve Kupper, L.L., “Applied Regression Analysis and Other Multivariable Methods”, Boston,
Duxbury, 1978.
Download