GEO
Alt konu
GEOMETRİ
YGS-LYS
Temel Kavramlar
Ders-1-2
Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzay, Ölçme aksiyomu
GİRİŞ:
Geometrinin üç temel kavramı tanımsız
Önerme:
Doğru ya da yanlış (ancak birinin ge-
çerli olduğu) hüküm bildiren ifadelere
önerme denir.
olarak alınır. Bunlar NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM’dir.
Yani bir cümle bir hüküm bildirmeli ve bu hüküm ya
Bu kavramların her biri evrende gerçeklik olarak
yanlış olmalı ya da doğru olmalıdır. İşte böylesi
karşımızda bulunmazlar. Örneğin nokta’nın boyutu
cümlelere önerme denir.
yoktur. (Aslında matematiksel anlamda boyutu sıfır-
TEOREM:
dır.) Keza doğru bir boyutlu, düzlem ise iki boyutludur. Oysa yaşadığımız evren üç boyutlu olup bu
Doğruluğu
kanıtlanabilen
önermelere teorem denir.
nesneler(Nokta, doğru ve düzlem) bir nesnel ger-
Elinizde bir önerme var diyelim. Örneğin ‘‘Bir üçge-
çeklik olarak karşımıza çıkmazlar. Bir kişiye ‘‘Nokta
nin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.’’
nedir?’’ diye sorduğumuzda mutlaka birkaç terime
Bu önerme doğru bir önermedir. Bu önerme ispatla-
başvuracak ve bu her bir terim tanımlanmak zorun-
nabiliyorsa adına teorem denir. Ama önce ispatla-
da kalacaktır. Tanımı yaparken kullandığımız terim-
manız gerekir. Peki doğru olduğu apaçık olup ta is-
leri tanımlama gereğini duyduğumuzda; tekrar bir-
patlanamayan önerme var mıdır? Her bir teoremi
kaç terim ve ardından bu terimleri tanımlamak için
kanıtlarken başka teoremleri kullanacağımızdan ve
birkaç terim daha…bu böyle sürüp gidecektir.
eninde sonunda doğruluğundan şüpheye düşmeye-
Her ne kadar nokta, doğru ve düzlem nes-
cek kadar doğru olan bazı önermeleri kanıtsız kabul
nel bir gerçeklik olarak evrende var olmasa da soyut
etmek zorunda kalacağız. Böyle önermelere Aksi-
(matematiksel dünyamızda) olarak vardırlar. Biraz
yom diyeceğiz.
önce satırın sonuna koyduğum işaret gibi.  Bu sa-
Aksiyom:
tırları okuduğunuzda eğer hava karanlıksa gökyü-
edilen önermelere Aksiyom denir.
züne bakın. Hava bulutlu değil ise ne görüyorsunuz? Yıldızları. Pekala her bir yıldızı bir nokta olarak
düşünebiliriz. Ya da bir sahildeki kum taneciklerini.Kuşkusuz bunların hiç biri matematiksel anlamda
nokta değil. Sadece nokta hakkında bize ipucu ve-
Doğru olduğu kanıtlanmadan kabul
Ehh! artık başlayalım bu kadar edebiyat yeter. Birazda geometri yapalım.
Defterinize bir nokta yapın desem, her birinizin noktaları eminim ki birbirinden farklı olacaktır. ben sizin
yerinize birkaç tane yapayım.
ren nesneler. Keza doğruyu gergin bir ip, düzlemi

ise durgun bir gölün yüzeyi olarak düşünebilirsiniz.

Artık bu tanımsız terimlerle geometriyi inşa edebili-
biriniz ‘‘Nasıl olsa tanımsız bu nesne benim haya-
riz. Ama daha önce çok sık karşımıza çıkacak olan
limde canlandırdığım
bazı terimlerin anlamlarına bakalım.
se size itiraz edemez. Ancak bir anlaşma yapalım
.
- 

aslında her biri bir nokta. Hatta
nokta böyle
‘’derse kim-
biz derslerimizde noktayı  ile gösterelim ve yanına
büyük harf yazalım.
Keza doğruyu ve düzlemi de aşağıdaki gibi göstere-
‘‘Koordinatları verilen iki nokta arasındaki uzak-
lim.
lığı nasıl buluruz?’’ sorusuna çok değişik şekillerde
A
A noktası
A
B
yanıt verilebilir. Öklid geometrisinde Aksiyom 3’ü
d
AB doğrusu
(ya da d doğrusu)
E
kullanarak aşağıdaki tanımı verelim.
E düzlemi
TANIM: Sayı doğrusu üzerinde A(a) ve B(b) gibi iki
nokta verilsin. A ile B arasındaki uzaklık, koordinatları arasındaki farkın mutlak değeridir.Bu durum
|AB|=|a–b|=|b–a| ile gösterilir.
Bu aksiyom bize iki noktadan geçen doğrunun biricik olduğunu söyleyen temel aksiyomlardan birinci-
Örneğin; A(2) B(–3) ise A ile B arasındaki uzaklık
|AB|=|2–(–3)|=|–3–2|=|–5|=5 tir.
sidir.
Geometri deyince aklımıza bir takım şekiller ve bu
şekillerin ölçümleri gelmektedir. İkinci aksiyomumuz
buna yönelik. Cetvel aksiyomu.
Şimdi bu uzaklık kavramıyla, verilen üç noktanın
doğrudaş olması için gerekli ve yeterli şartın ne ol-
Aksiyom 2. Bir doğrunun üzerindeki her bir noktaya bir
ve yalnız bir gerçek sayı, tersine her bir gerçek sayıya bir
duğunu bulmaya çalışalım.
Bir doğru üzerinde üç nokta verilmiş olsun.
ve yalnız bir nokta karşılık gelir.
Bu üç noktanın aynı doğru üzerinde olduğunu uzakYukarıda verdiğimiz aksiyom ölçüme geçen en
lık kavramını kullanarak nasıl ifade edebiliriz?
önemli aksiyomlardan biridir. Şimdi bu eşlemenin
 A ile C arasındaki uzaklık A ile B arasındaki uzak-
nasıl yapıldığına bir bakalım.
lık ile B ile C arasındaki uzaklığının toplamına eşit
midir?
B(b)
O(0)
A(a)
 Aynı soruyu A,B,C noktaları aynı doğru üzerinde
olmadığında nasıl yanıtlardınız? örneğin; A,B,C noktaları
Sıfır sayısına karşılık getirdiğimiz noktaya başlangıç
noktası ya da orjin adı verilir. Genelde O(0) ile gösterilir. a gerçek sayısı ile eşleşen nokta A ise A(a)
gösterilişine A nın koordinatı denir.
Şimdi iki nokta arasındaki uzaklığı tanımlamadan
önce bir aksiyomumuz daha var onu verelim.
Aksiyom 3. Birbirinden farklı herhangi iki noktaya bir
tane pozitif sayı karşılık gelir.
Bu aksiyom bize verilen iki nokta arasını ölçebileceğimizi ve bunun her zaman pozitif ve değişmeyen
bir sayı olduğunu söyler.Bu aksiyoma Uzaklık Aksi-
yomu denir.
gibi olsaydı A ile C arasındaki uzaklık A ile B arasındaki uzaklık ile B ile C arasındaki uzaklığının toplamına eşit midir?
Artık tanımları verebiliriz.
TANIM: A,B,C birbirinden farklı üç nokta olsun.
Eğer |AB|+|BC|=|AC| ise B noktası A ile C nin arasındadır denir.
TANIM: A,B,C aynı doğru üzerinde üç nokta ise bu
noktalara doğrudaş (ya da doğrusal) noktalar denir.
Alıştırma soruları:
A(x)
1.
B(3) noktaları arasındaki uzaklık 4 birim
olduğuna göre; x’in alabileceği değerler top-
8.
Sayı doğrusu üzerinde A(x), B(–7), C(2) noktaları veriliyor. A noktası B ile C arasında olup
lamı kaçtır?
|BA| –|AC|=
7
9
| BC |
olduğuna göre; x kaçtır?
Mola verelim 
A(x)
2.
3.
B(3) noktaları arasındaki uzaklık en çok
4 birim olduğuna göre; x’in alabileceği tam-
NOKTA, DOĞRU VE DÜZLEM ARASINDAKİ
sayı değerleri toplamı kaçtır?
İLİŞKİLER
A(2–x)
B(x+4) noktaları arasındaki uzaklık 2
birim olduğuna göre; x’in alabileceği değerler
toplamı kaçtır?
Şekil 1
4.
Şekil 2
|AB|+|AC| = |BC| ise aşağıdakilerden hangisi
daima doğrudur?
a)
A noktası B ile C arasındadır.
b)
B noktası A ile C arasındadır.
c)
C noktası A ile B arasındadır.
Şekil 3
Yukarıdaki şekillerde verilen cisimleri inceleye5.
lim. Şekil 1 de üçayaklı bir tabure, şekil 2 de
A(–3) B(4) C(x–1) noktaları veriliyor.
C noktası A ile B arasında olduğuna göre; x’in
dört ayaklı bir tabure şekil 3 te ise bir uçak gö-
alabileceği tamsayı değerleri toplamı kaç-
rülüyor. Bu cisimlerden hangisi ya da hangileri
tır?
yer düzlemine oturduğunda tüm ayakları kesin
olarak yer düzlemine değer?
6.
Aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
 Ya doğru ya da yanlış hüküm bildiren cümlelere ………………..denir.

Doğruluğu
kanıtlanabilir
önermele-
re…………….denir.
 Doğru olduğu kanıtlanmadan kabul edilen
önermelere ………………...denir.
AKSİYOM: Doğrusal olmayan üç noktadan
bir ve yalnız bir düzlem geçer.
Yani uzayda üç nokta verildiğinde bu noktaları
içine alan bir tanecik düzlem vardır. Bu yüzden
üçayaklı bir taburenin ayakları daima düzlemseldir.
BİR DOĞRU İLE BİR DÜZLEMİN BİRBİRLE-
7.
Sayı doğrusu üzerinde A(-3) ve |AB|=7 birim ol-
RİNE GÖRE KONUMLARI:
duğuna göre ; B noktasının koordinatı en az
‘‘Bir düzlem ile bir doğru kaç değişik biçimde
kaçtır?
konumlanır?’’ sorusuna yanıt bulmaya çalışalım.
Elinize bir defter ve de bir kalem alınız. Defter
düzlemi,
kalem
ise
doğruyu
temsil
et-
 Eğer d doğrusu m doğrusuna paralel ise m
doğrusuda d ye paralel midir?
sin.(elbette ki düzlemin ve doğrunun sınırlı ol-
 Eğer d doğrusu m ye paralel m de k doğru-
madığını biliyoruz ama görsellik adına böylesi
suna paralel ise d doğrusu k doğrusuna pa-
bir seçim yapalım.)
raleldir diyebilir miyiz?
Bu üç durumu bir de görsel olarak resmetmeye
çalışalım.
PARALELLİK AKSİYOMU :
Düzlemde bir d doğrusu ve doğru üzerinde olmayan bir A noktası verilsin. A noktasından
geçen ve d doğrusuna paralel olan bir ve yalnız
bir doğru vardır.
Şekil 1
Şekil 2
Şekil 3
i) Düzlem ile doğrunun hiçbir ortak noktası
yoktur.
ii) Düzlem ile doğrunun tek bir tane ortak
noktası olabilir.
iii) Düzlem ile doğrunun ortak olduğu sonsuz
nokta vardır.
Bu aksiyomu ve daha önce verdiğimiz aksiyomları kullanarak, aşağıda kanıtsız olarak vereceğimiz teoremlerin kanıtlarını yapmaya çalışınız.
TEOREM : Bir doğruya dışındaki bir noktadan ancak ve ancak bir tek dik doğru çizilebilir.
Geldik öklid’in yine önemli aksiyomlarından birine Paralellik Aksiyomu
Öncelikle paralel doğruların tanımını verelim.
TANIM: Aynı düzlemde verilen d ve m gibi iki
doğrudan herhangi birinin üzerindeki her noktanın diğer doğruya olan dik uzaklıkları eşit ise;
TEOREM : Bir doğru ile bu doğrunun üzerinde olmayan noktadan bir ve ancak bir düzlem geçer.
iki doğruya paraleldir denir ve bu durum
d // m ile gösterilir.
Demek istediğimizi bir de çizim yaparak anlatmaya çalışalım.
TEOREM : Birbirinden farklı iki paralel doğrudan geçen bir ve yalnız bir düzlem vardır.
Şimdi aşağıdaki sorulara yanıt bulmaya çalışalım.
 İki doğru arasındaki uzaklık sıfır ise bu iki
doğru için ne söyleyebilirsiniz?
TEOREM : Tek noktada kesişen iki doğru-
TANIM: Aynı düzlemde olmayıp kesişme-
dan bir ve yalnız bir düzlem geçer.
yen doğrulara aykırı
doğrular denir.
İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE KONUMLARI:
Öncelikle aşağıdaki şekli inceleyelim.
Sırada bir aksiyomumuz daha var.
AKSİYOM: Birbirinden farklı iki düzlemin
arakesiti bir doğrudur.
Düzlemde birbirinden farklı iki doğrunun ortak
noktası yok ise bu doğruların paralel olduğunu
biliyoruz. Peki ya uzayda kesişmeyen ama aynı düzlemde de olmayan doğrulara bir isim
vermemiz gerekmez mi sizce? Örneğin aşağıdaki şekli incelediğimizde d1 ile d2 doğruları
kesişmiyorlar ve aynı düzlemde de değiller.
Bulduğumuz sonuçları yazalım.
 Farklı iki düzlemin ortak noktası olmayabilir.
Bu durumda düzlemler paraleldir.
 Farklı iki düzlem bir doğru boyunca kesişebilir.
Şimdi de özel bir durumu ele alalım.
 Eğer iki düzlemden birinin üzerindeki her
nokta diğer düzleminde bir noktası ise o
zaman düzlemler çakışıktır.
tanımı verelim.
IŞIN, DOĞRU PARÇASI
Bir önceki dersimizde arada olma kavramını
vermiştik öncelikle bunu bir hatırlayalım.
‘‘Bir d doğrusu üzerinde farklı iki nokta A
ve B olsun.Eğer |AP|+|PB|=|AB| ise A,P,B
doğrudaştır ya da P noktası A ile B arasındadır.’’ demiştik.
Örnek 1:
Bir d doğrusu ve şekildeki gibi üzerinde
A,B,C,D noktaları verilsin.
Buna göre aşağıda verilenlerden hangisi ya
da hangileri doğrudur?
TANIM: (Doğru parçası)
Bir d doğrusu üzerinde farklı iki nokta A ve B
olsun.A ile B arasındaki noktaların kümesine
AB doğru parçası (veya BA doğru parçası) denir ve bu küme [AB] ile gösterilir.
I.
[AC]  [BD] = { B , C }
II. [AC]  [BD] = [AD]
III. [AC]  [BD] = [BC]
A) Yalnız I
B) yalnız II
C) yalnız III
D) I ve II
E) II ve III
Çözüm:
Öncelikle [AC] ile [BD]’ nin ortak noktalarını
bulalım.
TANIM: (İç nokta)
Bir P noktası A ile B arasında ise P ye [AB]’
nin bir içi noktası denir.
Şekilden de anlaşılacağı üzere sarı-kırmızı
olan  ortak noktalar [BC] olacaktır.
Yani [AC]  [BD] = [BC] dir.
[AB]’nin iç noktalarının kümesi (AB) ya da ]AB[ ile
gösterilir.
TANIM: (Yarı doğru ve Işın)
Bir d doğrusu üzerinde bir A noktası doğrudan
atılırsa, d doğrusu iki parçaya ayrılır.
Bu
parçaları her
yarımdoğru denir.
birine
[AC] ile [BD]’ nin tüm noktalarının kümesi ise
[AD] olur. Yani [AC]  [BD] = [AD] dir. Bu durumda II ve III doğru olup yanıt E dir.
Örnek 2:
Bir d doğrusu ve şekildeki gibi üzerinde
A,B,C,D noktaları verilsin.
yarıdoğru veya
Buna göre aşağıda verilenlerden hangisi ya
da hangileri doğrudur?
Bir A noktası ile AB yarı doğrusunun birleşim
kümesine AB ışını denir ve [AB ile gösterilir. A
noktasına da ışının başlangıç noktası adı verilir.
Şimdi örneklerle bu dediklerimizi pekiştirelim.
I.
[AC  [BD = [AB]
II. ]AC  [BA = d
III. [AC  [DA = [AD]
A) Yalnız I
B) yalnız II C) yalnız III
D) I ve II
E) I,II ve III
Örnek 3:
Bir d doğrusu ve şekildeki gibi üzerinde
A,B,C,D noktaları verilsin.
Örnek 5:
Bir E düzlemi ve şekildeki gibi üzerinde d ile k
doğruları ile k den geçen bir l doğrusu verilsin.
Buna göre aşağıda verilenlerden hangisi ya
da hangileri doğrudur?
I.
[BA  [AD = [AB]
II. ]BD]  [CA = ]BC]
III. [AC]  [BD]= [AD]
A) Yalnız I
B) yalnız II
C) yalnız III
D) I ve II
E) I,II ve III
Örnek 4:
Bir E düzlemi ve şekildeki gibi üzerinde d ile k
doğruları ile k den geçen bir l doğrusu verilsin.
Buna göre aşağıda verilenlerden hangisi ya
da hangileri doğrudur?
kd={B}
E  k = [AB]
III. l  d = 
I.
II.
A) Yalnız I
Örnek 6:
Buna göre aşağıda verilenlerden hangisi ya
da hangileri doğrudur?
I.
kl={A}
II. E  l = { A }
III. k  d = E
A) Yalnız I
B) yalnız II
C) yalnız III
D) I ve II
E) II ve III
Çözüm:
k ile l nin ortak noktası A noktası olduğundan I
doğrudur.
E düzlemi ile l nin ise ortak noktası sadece A
olup II de doğrudur.
k ile d doğrusunun birleşim kümesi sadece bu
doğrular üzerindeki noktalardan oluşacağından
E düzlemine eşit olamaz. III yanlıştır.
Örnek 7:
B) yalnız II
C) yalnız III
D) I ve III
E) II ve III
Bir doğru ve üzerinde bir A noktası alalım. Bu
noktayı doğrudan atarsak doğru kaç parçaya
ayrılır?
n doğru…………1+1+2+3+…+ n =1+
n .( n  1)
2
bölgeye ayırır.
Elbette 2 diyeceksiniz Peki aynı işlemi n tane
nokta için yapsaydık yanıtınız ne olurdu?
???
Örnek 8:
Bir E düzlemini n tane farklı doğru en çok 29
bölgeye ayırdığına göre n kaçtır?
Elbette n+1 tane birbirinden ayrık küme elde
ederdik.
Çözüm: 1+n.(n+1)/2=29 olacağından;
n.(n+1)=56=7.8 olup n= 7 dir.
Şimdi bir adım daha ileri gidelim.
‘‘Düzlemde 1 doğru düzlemi üzerindeki noktalar hariç kaç bölgeye ayırır?’’ diye soralım.
Örnek 9:
Bir E düzlemini n tane farklı doğru en çok 46 ,
m tane farklı doğru ise en az 8 bölgeye ayırdığına göre n – m farkı kaçtır?
Hocam ne kadar kolay soruyorsunuz? Tabiî ki
2 bölgeye ayırır. 
‘‘Düzlemde 2 doğru düzlemi üzerindeki noktalar hariç kaç bölgeye ayırır?’’
Burada biraz düşünmemiz gerekir. Birbirinden
farklı dediğine göre iki durum var. Paralel olurlarsa 3 bölgeye kesişirlerse 4 bölgeye ayrılır.
I. bölge
II. bölge
III. bölge
Ya da
I. bölge
II. bölge
III. bölge
Çözüm: 1+n.(n+1)/2=46 olacağından;
n.(n+1)=90=9.10 olup n=9 dur.
Diğer yandan m tane doğru en az m+1 bölgeye
ayıracağından m+1=8 olup m= 7 dir. Buradan n – m = 9 – 7 = 2 bulunur.
Örnek 10:
Bir E düzlemini, 3 farklı paralel doğru ile birbirinden farklı 2 doğru en çok kaç bölgeye ayırır?
Çözüm: Öncelikle elimizde 5 farklı doğru ve
paralellik olmadığını varsayalım. O zaman
1+5.(5+1)/2= 16 bölge oluşurdu. Oysa bu doğrulardan 3 ü paraleldir. Bu üç doğru paralel olmasaydı 1+3.4/2=7 bölge oluşturacakken
3+1=4 bölge oluşturur.Yani 7 yerine 4 bölge
oluşur. Bu da bize 3 bölge fazla saydığımızı
söyler. O halde 16 – 3 =13 bölge oluşur. Bir
de çizerek ne demek istediğimizi daha iyi anlayalım.
IV. Bölge
Demek ki bu sorunun iki yanıtı var en az 3 bölgeye en çok 4 bölgeye ayrılır.
Eğer elimizde 3 doğru olsaydı soruyu nasıl yanıtlardık?
Evet biraz zorlandık
Eh artık genelleştirelim.
1 doğru ……………2=1+1 bölgeye
2 doğru……………4=1+1+2 bölgeye
3 doğru……………7=1+1+2+3 bölgeye
Biraz mola 
Download

Ders Notunu İndir - internetteders.com