İletişim:
Mail: [email protected]
MATEMATİK
Alt konu
LİMİT
BELİRSİZLİKLER
Bu dersimizde x ler çok büyürken (ya da küçülürken) y=f(x) fonksiyonunun davranışını inceleyeceğiz.
Çalışma Notları
ÖRNEK:1
lim
100000!
x 
Nasıl ki x bir sayıya yaklaşırken y=f(x) in nereye yaklaştığını dilimiz döndüğünce anlattık, şimdi de x’in yeteri kadar büyük değerler aldığında buna bağlı olan
y=f(x) fonksiyonunun nasıl davrandığını anlatmaya çalışacağız. Dikkat ederseniz x yeteri kadar büyük değerler aldığında diye bir söz söyledik. Biraz durup bur
da düşünmenizin yararı var. Bu sözcük neyi anlatır?
‘‘Yeteri kadar büyük !’’ ne demek?
Diyelim ki bir arkadaşınızla bir oyun oynuyorsunuz ve
bu oyunun adı en büyük sayıyı bulmak. Diyelim ki arkadaşınız başladı ve bulduğu en büyük sayıyı söyledi.
Siz onun bulduğu bu sayıdan daha büyük bir sayı söyleyebilir misiniz? Elbette bulabilirsiniz yapacağınız basit bir işlem. Bulduğu sayıya 1 eklemek bunun için yeterli.  Hatta daha ileri gidersek bulduğu sayıyı kendisiyle toplamak Amacınız o sayının kaç olduğunu
bulmak değil daha büyük bir sayının var olduğunu söylemek.
İşte yeteri kadar büyük demek böylesi bir oyunda en
büyük bir sayının olmadığı gerçeğini bir başka şekilde
söylemektir.
x’in yeteri kadar büyüdüğünü biz matematiksel anlamda x ile gösteriyor ve x sonsuza giderken diye okuyoruz.
Aman dikkat! ‘‘Sonsuz bir yer de duruyor da biz oraya
gidiyoruz anlamında’’ söylemiyoruz.
x’i yeteri kadar büyültüyoruz yani en büyük sayıdan
daha büyük bir sayı bularak onu daha büyük hale getirebiliyoruz, anlatmak istediğimiz sadece bu.
Şimdi şu soruya yanıt verelim
x için y=f(x)=
1
değeri kaçtır?
x
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:2
lim
2x  2
x 
değeri kaçtır?
x
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:3
lim
3 .x  5
x 1
x 
değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:4
1
lim
x 
değeri kaçtır?
x
ÇÖZÜM:
?
ÖRNEK:5
x
Lütfen yanıt sıfır derken ‘‘1 in sonsuza bölümü sıfırdır’’
demeyin. ‘‘Ya ne diyelim?’’ diyebilirsiniz. Şunu diyebilirsiniz.
‘‘ x yeteri kadar büyüdüğünde
1
x
lim
x
yeteri kadar sıfıra

2
x
1
2
değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
x
yaklaşır.’’ doğrusu bu. Bir sayıyı sonsuza bölemezsiniz
çünkü  bir sembol sayı değil.
Biz bunu matematiksel anlamda şöyle gösteriyoruz.
x için y=f(x)=
1
ÖRNEK:6
0
x
ya da kısaca lim
x 
1
lim
x 
 0
olarak gösteriyoruz.
x
ÇÖZÜM:
Şimdi de yeteri kadar küçültmek ne demek ona bakalım.
Ama bunca anlatımdan sonra sanırım siz bunun ne olduğu konusunda bir fikre sahip oldunuz. Yukarıda anlattığımız tüm cümlelerde büyültmek yerine küçültmek
kullanın 
Şimdi örneklerle ne demek istediğimizi daha iyi anlatmaya çalışalım.
1
3
x
2
değeri kaçtır?
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK:7
lim
2000000
x 
2
x
1
lim
x 
değeri kaçtır?
ÖRNEK:8
x  11
lim

x
2
limitinde P(x) ve Q(x) birer polinom olsun.
Eğer derece(P(x)) < derece (Q(x)) ise limit değeri sıfıra yaklaşmaktadır.
Eğer derece(P(x)) = derece (Q(x)) ise limit değeri baş
katsayılarının oranı olmaktadır.
Eğer derece(P(x)) > derece (Q(x)) ise limit değeri ya
yeteri kadar küçülmekte ya da yeteri kadar büyümektedir. Bu başkatsayıların işaretine bağlıdır.
Ne demek istediğimizi daha anlaşır hale getirelim.
ÇÖZÜM:
x
P(x)
Q(x)
değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:9
lim
2x  1
x 8
x 
değeri kaçtır?
ÖRNEK:13
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:10
lim
x
2
x 
1
limitinin eşiti nedir?
x
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:11
lim
2x  1
x 
limitinin eşiti nedir?
8
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:14
ÖRNEK:12
lim
x 
x
x
2
3
1
1
limitinin eşiti nedir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
2
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK:15
ÖRNEK:19
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:20
ÖRNEK:15
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:21
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:16
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:22
lim 3
x 
x
limitinin eşiti nedir?
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:17
ÖRNEK:23
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:18
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
3
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK:24
ÖRNEK:1
lim
x 
x 
x

limitinin eşiti nedir?
2
1
2
 2x  1
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:2
ÖRNEK:25
 x

x
lim  1  2  3 x 
x 


1
limitinin eşiti nedir?
lim
x 
x 
x

limitinin eşiti nedir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:26
ÖRNEK:3


 3 x
x
x
lim  1  2
    limitinin eşiti nedir?
x  
4  


1
lim
x  
x 
x
2
 2x  1

limitinin eşiti nedir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:4
Sonsuz – Sonsuz belirsizliği
Şimdi şöyle bir soru soralım ‘‘Yeteri kadar büyültülebilen bir sayıdan yeteri kadar büyültülebilen bir
sayı çıkarsa ne olur?’’
İsterseniz hemen yanıt vermeden biraz düşünün 
lim
x 
Acaba lim ( f ( x )  g( x )) limitinin eşiti nedir?
lim
x  
x 
lim ( x  1  x )  lim 1  1 güzel 1 e yaklaşıyormuş.
2
 2x  1

limitinin eşiti nedir?

x
2
 4x  3 
x
2
 2x  5

limitinin eşiti ne-
2
ve g(x) =x olsun.
Şimdi size kolaylık sağlayabilecek bir eşitlik verelim.
x 
f(x) ve g(x) i yerine yazalım.
2
x
ÇÖZÜM:
x 
Acaba lim ( f ( x )  g( x )) limitinin eşiti nedir?
lim ( x  1  x )   
x 
 2x  1 
dir?
Bakalım f(x) ve g(x) i yerine yazalım.
Şimdi de f(x)= x+1
2
ÖRNEK:5
ve g(x) =x olsun.
x 
x
ÇÖZÜM:
Bu soruyu yanıtlamadan önce aşağıdaki örneği bir inceleyelim.
f(x)= x+1

demekki sonsuz eksi sonsuz da
bir sorun var. Yeteri kadar büyültülebilen bir sayıdan
yeteri kadar büyültebilen bir sayı çıktığında sonuç bir
sayı çıkabildiği gibi bir sayıda elde edilemiyebilyor.
Bu tür belirsizliklere sonsuz eksi sonsuz belirsizliği
diyoruz. Bu türden limitleri nasıl alırız ?
KANIT:
4
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK:6
Şimdide x ler bir sayıya yaklaşırken y nin çok büyüdüğü ya da çok küçüldüğü limit durumlarına bakalım. Yani xa y durumlara bakalım.
Sorumuz şu x, a gibi bir sayıya yeteri kadar yakın
değerler alırken
1
x a
ifadesi nasıl davranır?
‘‘Sonsuz diyeni hemen sınıftan atarım’’ desem de
sınıfta değiliz
ÇÖZÜM:
Sorunun yanıtı tabii ki a ya nasıl yaklaştığımıza
bağlıdır. Yani sağdan mı soldan mı?
ÖRNEK:7
Eğer sağdan yaklaşırsak o zaman + yok eğer
soldan yaklaşırsak o zamanda  olacaktır. Aşağıdaki örnekleri çok ama çok dikkatli inceleyelim.
ÖRNEK:10
ÇÖZÜM:
1
lim
x1

limitinin eşiti nedir?
x 1
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:8
ÖRNEK:11
1
lim

x1
limitinin eşiti nedir?
x 1
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:9
ÖRNEK:12
1
lim
x 3

x
2
9
limitinin eşiti nedir?
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:13
re
lim
x 
| O P
|  | O B |
1
lim
Yukarıdaki grafikte B(x,0) Ox-ekseni P noktası ise
y  f ( x )  2 x eğrisi üzerinde değişmektedir.Buna gö-
x 3
limitinin eşiti nedir?

x
2
 x  6
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
5
limitinin eşiti nedir?
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK:14
1
lim 2 3  x

x 3
limitinin eşiti nedir?
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:15


x2
lim  2 x  2  3


x 2


1
limitinin eşiti nedir?
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:16
 1 
lim  2 
x 0
 x 
limitinin eşiti nedir?
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:17
 cos x 
lim 


x 0
 s in x 
limitinin eşiti nedir?
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:18
 cos x  1 
lim 


 s in x 
x 0
limitinin eşiti nedir?
ÇÖZÜM:
6
Download

İletişim - internetteders.com