¨
Y¨
uz¨
unc¨
u Yıl Universitesi
Gıda M¨
uhendisli˘
gi B¨
ol¨
um¨
u
M¨
uhendislik Matemati˘
gi Final Sınavı
MMGEN201 M¨
uhendislik Matemati˘gi
˙
Isim:
Soyisim:
Numara:
1
2
3
1
1
4
1
Final Sınavı
25 Aralık 2014
˙
Imza
Yrd. Do¸c. Dr. Zeynep KAYAR
Saat: 13:00
1
S¨
ure: 90 Dakika
1
1 Toplam
1
1
1
UYARI: Bu sınav bu sayfa dahil 4 sayfadan ve 4 sorudan olu¸smaktadır. Sınav 114 puan
u
¨zerindendir ve her sorunun puanı soru ba¸sında belirtilmi¸stir. Sınavdan 100 puanın u
¨st¨
unde
alan ¨ogrencilerin notu 100 olarak alınacak, di˘ger ¨ogrencilerin ise aldı˘gı not ge¸cerli olacaktır.
Sorulara verilen cevaplar a¸cıklayıcı ve okunaklı olmalıdır. Yeterli a¸cıklamanın olmadı˘gı cevaplar yanlı¸s kabul edilecektir. Yukarıdaki ilk tablonun sol tarafına gerekli bilgileri yazınız, sa˘
g
˙
taraftaki imza kısmına imzanızı atınız. Ikinci tabloya her sorudan alaca˘gınız puan ve toplam
puanınız yazılacaktır, bu y¨
uzden herhangi bir karalama yapmayınız. Her sayfanın ba¸sına ¨o˘grenci
numaranızı yazınız ve imzanızı atınız. Ba¸sarılar dilerim.
y 0 + 4y = e−x diferansiyel denkleminin tipini belirleyip genel c¸¨oz¨
um¨
un¨
u
1. (a) (12 puan)
bulunuz.
C
¸¨
oz¨
um: 1. Yol: Verilen denklemR 1. mertebeden lineer diferansiyel denklemdir. Bu
denklemin integral c¸arpanı µ(x) = e 4dx = e4x olarak bulunur.
Lineer denklemi µ(x) = e4x integral ¸carpanıyla ¸carparsak,
d 4x
e4x y 0 + 4e4x y = e3x ya da
(e y) = e3x elde edilir.
dx
Son denklemin her iki tarafından x’e g¨ore integral alırsak,
e3x
+ C elde edilir.
3
e−x
Buradan verilen denklemin genel ¸c¨oz¨
um¨
u y(x) =
+ Ce−4x olarak bulunur.
3
2. Yol: Verilen denklem lineer, sabit katsayılı, homojen olmayan diferansiyel denklemdir.
Bu denkleme kar¸sılık gelen homojen denklem y 0 + 4y = 0 dir. Homejen denkleme ait
karakteristik denklem r + 4 = 0 ve karakteristik denklemin k¨ok¨
u r = −4 d¨
ur. Homojen
−4x
denklemin genel c¸¨
oz¨
um¨
u yc (x) = Ce
dir.
Z
d 4x
(e y)dx =
dx
Z
e3x dx
ya da
e4x y(x) =
Verilen homojen olmayan denklemin bir ¨ozel ¸c¨oz¨
um¨
u Belirsiz Katsayılar Y¨ontemiyle
yp (x) = Ae−x olarak aranır. yp0 (x) = −Ae−x olmak u
¨zere yp (x) ve yp0 (x) i verilen denklemde
−x
−x
−x
yerine koyarsak −Ae +4Ae = e
ya da 3A = 1 ya da A = 31 olarak bulunur.
Yani verilen homojen olmayan denklemin bir ¨ozel ¸c¨oz¨
um¨
u yp (x) = 13 e−x elde edilir. Verilen
−4x
denklemin genel c¸¨
oz¨
um¨
u ise y(x) = yc (x) + yp (x) = Ce
+ 13 e−x olur.
4
(b) (8 puan) Verilen diferansiyel denklemin y(0) =
ba¸slangı¸c ko¸sulunu sa˘glayan
3
¸c¨oz¨
um¨
un¨
u bulunuz.
4
C
¸¨
oz¨
um: Verilen denklemin genel ¸c¨oz¨
um¨
unde, verilen ba¸slangı¸c ko¸sulunu, y(0) = , kul3
lanırsak,
y(0) =
e0
4
1
4
+ Ce0 = ⇒ + C = ⇒ C = 1 olur.
3
3
3
3
Verilen ba¸slangı¸c ko¸sulunu sa˘
glayan ¸c¨oz¨
um ise y(x) =
e−x
+ e−4x olarak bulunur.
3
˙
Imza:
Numara:
2/4
2. L(D)y = 0, 12. mertebeden sabit katsayılı, lineer, homojen bir diferansiyel denklem olsun.
(a) (12 puan) Yukarıdaki diferansiyel denklemin karakteristik denkleminin k¨okleri
r1 = 0, r2 = 0, r3 = 0, r4 = −2, r5 = −2, r6 = 1, r7 = 1 + 3i, r8 = 1 − 3i, r9 = 1 + 3i,
r10 = 1 − 3i, r11 = i, r12 = −i ise bu homojen denklemin genel c¸¨oz¨
um¨
un¨
u yazınız.
C
¸¨
oz¨
um: Homojen denklemin genel c¸¨oz¨
um¨
u
yc (x) = c1 e0x + c2 xe0x + c3 x2 e0x + c4 e−2x + c5 xe−2x + c6 ex + c7 ex cos 3x + c8 ex sin 3x
+c9 xex cos 3x + c10 xex sin 3x + c11 cos x + c12 sin x
dir.
(b) (15 puan) F (x) = 1 − 4x + 2x2 + 6e−2x + 9ex − 5 cos x ise L(D)y = F (x)
homojen olmayan diferansiyel denkleminin bir ¨ozel ¸c¨oz¨
um¨
un¨
un formunu
Belirsiz Katsayılar Y¨
ontemini kullanarak yazınız.
C
¸¨
oz¨
um:
F1 (x) = 1 − 4x + 2x2
F2 (x) = 6e−2x
F3 (x) = 9ex
F4 (x) = −5 cos x
=⇒ yp1 (x) = (Ax2 + Bx + C)x3
=⇒ yp2 (x) = Dx2 e−2x
=⇒ yp3 (x) = Exex
=⇒ yp4 (x) = (F cos x + G sin x)x
Verilen denklemin bir ¨
ozel ¸c¨
oz¨
um¨
u yp (x) = yp1 (x) + yp2 (x) + yp3 (x) + yp4 (x) formundadır.
um¨
un¨
u
(c) (3 puan) L(D)y = F (x) homojen olmayan diferansiyel denkleminin genel ¸c¨oz¨
yazınız.
C
¸¨
oz¨
um:
L(D)y = F (x) homojen olmayan diferansiyel denkleminin genel ¸c¨oz¨
um¨
u
y(x) = yc (x) + yp (x) ¸seklindedir.
˙
Imza:
Numara:
3/4
3. (a) (10 puan) y (iv) + 2y 000 + 2y 00 = 0 homojen diferansiyel denkleminin genel c¸¨oz¨
um¨
un¨
u
bulunuz.
C
¸¨
oz¨
um:
Verilen homojen denkleme ait karakteristik denklem r4 + 2r3 + r2 = r2 (r2 + 2r + 1) = 0
dır.
Karakteristik denklemin k¨
okleri r1 = r2 = 0, r3 = −1 + i, r4 = −1 − i dir.
Verilen homojen denklemin temel ¸c¨oz¨
umler k¨
umesi {e0x , xe0x , e−x cos 3x, e−x sin 3x} dir.
Verilen homojen denklemin genel ¸c¨oz¨
um¨
u yc (x) = c1 + c2 x + c3 e−x cos 3x + c4 e−x sin 3x
dir.
(b) (15 puan) y (iv) + 2y 000 + 2y 00 = 3ex + 2xe−x + e−x sin x + 2 homojen olmayan diferansiyel denkleminin bir ¨
ozel ¸c¨
oz¨
um¨
un¨
un formunu Belirsiz Katsayılar Y¨ontemini kullanarak
yazınız.
C
¸¨
oz¨
um:
F1 (x) = 3ex
F2 (x) = 2xe−x
F3 (x) = e−x sin x
F4 (x) = 2
=⇒ yp1 (x) = Aex
=⇒ yp2 (x) = (Bx + C)e−x
=⇒ yp3 (x) = e−x (D sin x + E cos x)
=⇒ yp4 (x) = F x2
Verilen denklemin bir ¨
ozel ¸c¨
oz¨
um¨
u yp (x) = yp1 (x) + yp2 (x) + yp3 (x) + yp4 (x) formundadır.
(c) (5 puan) y (iv) +2y 000 +2y 00 = 3ex +2xe−x +e−x sin x+2 homojen olmayan diferansiyel
denkleminin genel c¸¨
oz¨
um¨
un¨
u yazınız.
C
¸¨
oz¨
um:
Verilen homojen olmayan diferansiyel denkleminin genel ¸c¨oz¨
um¨
u
y(x) = yc (x) + yp (x) ¸seklindedir.
˙
Imza:
Numara:
4/4
4. (a) (8 puan) y 00 − 6y 0 + 9y = 0 homojen diferansiyel denkleminin genel c¸¨oz¨
um¨
un¨
u
bulunuz.
C
¸¨
oz¨
um:
Verilen homojen denkleme ait karakteristik denklem r2 − 6r + 9 = (r − 3)2 = 0 dır.
Karakteristik denklemin k¨
okleri r1 = r2 = 3 d¨
ur.
Verilen homojen denklemin temel ¸c¨oz¨
umler k¨
umesi {e3x , xe3x } dir.
Verilen homojen denklemin genel ¸c¨oz¨
um¨
u yc (x) = c1 e3x + c2 xe3x dir.
√
(b) (24 puan) y 00 − 6y 0 + 9y = e3x x homojen olmayan diferansiyel denkleminin bir
¨ozel ¸c¨oz¨
um¨
un¨
u Parametrelerin De˘gi¸simi Y¨ontemiyle bulunuz.
C
¸¨
oz¨
um:
Verilen homojen olmayan diferansiyel denklemin bir ¨ozel c¸¨oz¨
um¨
un¨
u
yp (x) = v1 (x)e3x + v2 (x)xe3x ¸seklinde arayaca˘gız. Buradan
v10 (x)e3x + v20 (x)xe3x
=0
√
v10 (x)(e3x )0 + v20 (x)(xe3x )0 = e3x x
ya da
v10 (x)e3x + v20 (x)xe3x = 0
√
v10 (x)3e3x + v20 (x)(e3x + 3xe3x ) = e3x x
(1)
(2)
denklemlerini elde ederiz. (1) denklemini −3 ile ¸carpıp (2) denklemiyle taraf tarafa
toplarsak,
Z
Z
√
√
√
1
2 3
v20 (x)e3x = e3x x =⇒ v20 (x) = x =⇒ v2 (x) =
x dx = x 2 dx = x 2
3
Z
Z
0
3x
√
√
3
−v2 (x)xe
2 5
v10 (x) =
= −x x =⇒ v1 (x) = −x x dx = −x 2 dx = − x 2
e3x
5
olarak buluruz.
Yani verilen homojen olmayan diferansiyel denklemin bir ¨ozel ¸c¨oz¨
um¨
u
2 5
2 3
yp (x) = − x 2 e3x + x 2 xe3x dir.
5
3
(c) (2 puan) y 00 − 6y 0 + 9y = e3x
genel ¸c¨
oz¨
um¨
un¨
u yazınız.
√
x
homojen olmayan diferansiyel denkleminin
C
¸¨
oz¨
um:
Verilen homojen olmayan diferansiyel denkleminin genel ¸c¨oz¨
um¨
u
y(x) = yc (x) + yp (x) ¸seklindedir.
Download

Mühendislik Fakültesi, Gıda Mühendisliği, Mühendislik Matematiği