¨
Y¨
uz¨
unc¨
u Yıl Universitesi
Orta¨
o˘
gretim Matematik E˘
gitimi Anabilim Dalı
¨
Reel Analiz Odevi I
Cevap Anahtarı
Yrd. Do¸c. Dr. Ali Hakan TOR
1. (5 puan) (X, A) bir o¨l¸cu
¨lebilir uzay ve A ∈ A olsun. f : X −→ R fonksiyonu o¨l¸cu
¨lebilir
−1
ise her bir (a, b) ⊂ R a¸cık k¨
umesi i¸cin f ((a, b)) ∈ A dir.
f −1 ((a, b)) = f −1 ((a, +∞) ∩ (−∞, b)) = f −1 ((a, +∞)) ∩ f −1 ((−∞, b)) olarak yazılabilir.
Burada f fonkisyonu o¨l¸cu
¨lebilir oldu˘gu i¸cin f −1 ((a, +∞)) ∈ A ve f −1 ((−∞, b)) ∈ A dir.
Dolayısı ile bu iki k¨
umenin kesi¸simide A k¨
umesindedir. Sonu¸c olarak f −1 ((a, b)) ∈ A
dır.
2. (4 puan) (X, A) bir o¨l¸cu
¨lebilir uzay ve A ∈ A olsun. f : X −→ R fonksiyonu o¨l¸cu
¨lebilir
ise
(a) (2 puan) ∀ U ⊂ R a¸cık k¨
umesi i¸cin f −1 (U ) ∈ A dir ve
(b) (2 puan) ∀ B ⊂ R Borel k¨
umesi i¸cin f −1 (B) ∈ A dir.
(a) R u
¨zerinde standart topolojiye g¨ore her a¸cık U k¨
umesi sayılabilir a¸cık aralıkların
birle¸simi olarak yazılbilmektedir.
O
halde,
I
sayılabilir
bir k¨
ume ve ∀ α ∈ I i¸cin
[
(aα , bα ) ⊂ R olmak u
¨zere U =
(aα , bα ) olarak yazılabilir. Sonu¸c olarak
α∈I
!
f −1 (U ) = f −1
[
α∈I
(aα , bα )
=
[
f −1 ((aα , bα ))
α∈I
dır ve f o¨l¸cu
¨lebilir bir fonksiyon oldu˘gundan 1. sorudan [
dolayı ∀ α ∈ I i¸cin
−1
f ((aα , bα )) ∈ A dır. Di˘ger yandan I sayılabilir oldu˘gundan
f −1 ((aα , bα )) ∈ A,
α∈I
dolayısyla f −1 (U ) ∈ A dır.
(b) (a) ¸sıkkına benzer olarak, B Borel k¨
umesi R deki a¸cık aralıklar sayılabilir birle¸simi
−1
olarak yazılabildi˘ginden f (B) ∈ A dir.
¨ grenci No:
O˘
˙
Imza:
2/2
3. (5 puan) (X, A) bir ¨ol¸cu
¨lebilir uzay, f : X −→ R o¨l¸cu
¨lebilir fonksiyon ve g : R −→ R
s¨
urekli fonksiyon olmak u
¨zere g ◦ f fonksiyonu o¨l¸cu
¨lebilirdir g¨osteriniz.
∀ α ∈ R i¸cin (g ◦ f )−1 ((α, ∞)) = (f −1 ◦ g −1 )((α, ∞)) = f −1 (g −1 ((α, ∞))) dir. g s¨
urekli
oldu˘gundan ∃ U ⊂ R o¨yleki U = g −1 ((α, ∞)) dir. O halde (g ◦ f )−1 ((α, ∞)) = f −1 (U )
olur, burada U ⊂ R a¸cık bir k¨
ume dir. 2. soru (a) ¸sıkkına g¨ore (g ◦ f )−1 ((α, ∞)) ∈ A
dır.
4. (5 puan) E˘ger f : X −→ R o¨l¸cu
¨lebilir ve c > 0 ise

 f (x), |f (x)| ≤ c ise
c, f (x) > c ise
fc (x) =

−c, f (x) < −c ise
¸seklinde tanımlanan fc fonksiyonu o¨l¸cu
¨lebilirdir g¨osteriniz.
¨lebilir midir?
∀ α ∈ R i¸cin fc−1 ((α, ∞)) ¨ol¸cu
• c ≤ α olsun,
fc−1 ((α, ∞)) = {x ∈ X|fc (x) > α} = ∅ ∈ A olur.
• −c ≤ α < c olsun,
¨lebilir
fc−1 ((α, ∞)) = {x ∈ X|fc (x) > α} = {x ∈ X|f (x) > α} ∈ A olur, f o¨l¸cu
oldu˘gundan.
• α < −c olsun,
fc−1 ((α, ∞)) = {x ∈ X|fc (x) > α} = X ∈ A olur.
Sonu¸c olarak fc−1 ((α, ∞)) ∈ A dır ve fc fonksiyonu o¨l¸cu
¨lebilirdir.
5. (6 puan) A¸sa˘gıdaki e¸sitliklerin do˘gruluklarını g¨osteriniz
(a) (2 puan) XA∩B = XA .XB
(b) (2 puan) XA∪B = XA + XB − XA∩B
(c) (2 puan) XAc = 1 − XA .
Download

1. Ödev Çözümleri - Yüzüncü Yıl Üniversitesi