UYGULAMALI
ZAMAN SERİLERİ
ANALİZİ
1
ENDEKSLER
Endeksler, belirli bir kollektif olayın aldığı
değerlerde zaman süresince veya mekan içinde
meydana gelen değişmeleri göstermek amacıyla
hesaplanan oransal bir ölçüdür.
Değer değişmelerinin ölçüsüdür.
Endeksler çok yaygın bir uygulama alanına
sahiptir.
Özellikle ekonomik sorunların incelenmesinde,
üretim, tüketim, dış ticaret, ücret, fiyat
hareketlerinin analiz ve yorumu için çeşitli
endeksler düzenlenmektedir.
2
Endekste biri “kıyaslanan”, diğeri “temel” olmak
üzere iki değer vardır. Kıyaslanan değer paya,
temel
değer
paydaya
yazılır.
Oransal
kıyaslamayı kolaylaştırmak için bölme işleminin
sonucu 100 ile çarpılır.
Endeksin formülü;
Xi
Ii0 =
100
X0
3
Endeks Çeşitleri
A)Mekan ve Zaman Endeksleri
B) Sabit ve Değişken Esaslı Endeksler
C) Basit ve Bileşik Endeksler
4
MEKAN VE ZAMAN ENDEKSLERİ
Uygulandıkları serinin türüne göre endeksler
“mekan” ve “zaman” endeksleri olmak üzere
ikiye ayrılır.
Mekan Endeksleri: Bir mekan serisine dayanır.
Uygulamada çok kullanılmaz. Nüfus, üretim ve
fiyat gb. Herhangi bir değişkene ait değerlerin
mekan(bölgeler,
iller,
şehirler..vb.) içinde
gösterdiği oransal değişmelerin ölçüsünü
bulmak için, önce mekan serisinin aritmetik
ortalaması alınır. Serideki her mekan ünitesine
ait değer bu ortalamaya oranlanarak sonuç 100
ile çarpılır.
5
Xi
Mekan Endeksi: I =
100
X
Xi; kıyaslanan değeri, X
ortalamasını temsil eder.
ise mekan
Örnek: 1991 yılında 5 şehrimizdeki ortalama A
malına
ait
fiyatların
aşağıdaki
şekilde
gerçekleştiğini varsayarak, bu şehirlerimize ait
mekan endekslerini hesaplayalım.
6
Şehirler
Fiyat
İstanbul
21.210
Ankara
18.560
İzmir
22.270
Adana
18.580
Konya
19.830
Toplam
100.450
X
=20.09
Iistanbul= (21.210/20.09)*100
Iistanbul=%105.6
IAnkara=(18.560/20.09)*100
IAnkara=%92.38
Mekan endeksleri bu
şekilde hesaplanarak bir
tabloda gösterilebilir.
7
Şehirler
Endeks(%)
İstanbul
105.6
Ankara
………
92.4
………..
Ortalama
100,0
Elde ettiğimiz tabloyu incelemek suretiyle, hangi
şehirde fiyatın ortalamaya göre yüksek hangisinde
düşük olduğunu söylemek mümkün olur.
8
Zaman Endeksi: Bu endeksler bir zaman serisine
dayanır ve uygulamada çok kullanılır. Endeks
denilince akla zaman endeksleri gelir. Zaman
Endeksleri;
Ii / 0
Xi
=
100
X0
X 0 Esas devreye ait değer
Xi
i=1, 2, ….., n
Olmak üzere diğer devrelere ait değerleri temsil eder.
Formülden de anlaşılacağı gibi, zaman endeksi
hesaplanırken herhangi bir devrenin değeri esas devre
değerine bölünmekte ve sonuç 100 ile çarpılmaktadır.
9
Örnek: 1985-1988 yılları
arasında İstanbul’ daki
ortalama zeytinyağı
fiyatlarının (TL/Kg)
aşağıdaki şekilde
geliştiğini varsayarak, bu
şehrimize ait zaman
endekslerini hesaplayınız.
Yıllar
1985
1986
1987
1988
Fiyat
6.630
7.270
7.260
8.680
1985 yılı fiyatını100 kabul etmek üzere; 1986 ve 1988 yılına ait endeksler
şu şekilde hesaplanır.
I1 / 0 =
I4/0
X1
7270
100 I1/ 0 =
100 = %109,6
X0
6630
X4
=
100
X0
I4/0
8680
=
100 = %130,9
6630
Bütün dönem fiyatları esas
devre fiyatına göre yüksek
düzeyde gerçekleşmiştir. Bu
fiyat artışları esas devreye
göre 1986’ da (%9,6), 1988’
de (%30,9) oranında
olmuştur.
10
SABİT VE DEĞİŞKEN ESASLI ENDEKSLER
Genellikle
zaman
serilerine
dayanılarak
gerçekleştirilecek endeks hesaplarında temel
devre sabit bırakılabilir veya değiştirilebilir. Buna
göre “sabit esaslı endeks” ve “değişken esaslı
endeks” ayrımı söz konusudur.
Sabit Esaslı Endeksler:
Belirli bir devreyi sabit tutup, serinin bütün
değerlerini bunun yüzdesi olarak göstermek
suretiyle elde edilen endekse “sabit esaslı
endeks” adı verilir.
11
Bu cins endekslerin hesabında esas kabul
edilecek devrenin seçimi önemli bir sorun
yaratır. Esas devrenin enflasyon, deflasyon ve
devalüasyon gibi iktisadi olayların aşırılık
kazanmadığı yani istikrarlı bir yıl olması şarttır.
Öte yandan esas devrenin hesaba katılan
yıllardan çok uzakta bir yıl olmasına özen
gösterilir.
Xi
Sabit Esaslı Endeks: I i / 0 =
100
X0
X0
Esas Devreye ait değer
Xi
Serinin bütün değerlerini temsil eder.
12
Bir ülkenin 1990-1995
yılları arasında
gerçekleşen ihracatı
aşağıda verilmiş olsun.
1990 yılını esas devre
kabul etmek suretiyle
sabit esaslı endeksleri
hesaplayınız.
I4/0
I1 / 0
X4
=
100
X0
2620
=
100 = %121,4
2158
Yıllar
1990
İhracat
Miktarı (Bin
Ton)
2158
1991
2055
1992
2318
1993
2131
1994
2620
1995
2661
13
Değişken Esaslı Endeksler:
Paydadaki devre belli bir ilkeye göre değiştiğinde
ise “değişken esaslı endeks” ortaya çıkar. Bu
endekste her değer bir önceki devrenin değerine
bölünmektedir.
Xi
100
Değişken Esaslı Endeks I i / i −1 =
X i −1
İhracat Değerleri ile ilgili örnek için; 1995 yılının
değişken esaslı endeksi;
14
1995 için; I = X 5 100 = 2661 100 = %101,6
5/ 4
X4
2620
Endekslerin Birinden Diğerine Geçiş: Aralarındaki
matematiksel bağlantılar sebebiyle sabit ve
değişken esaslı endekslerden birine ilişkin
değerler
bilindiğinde,
bunların
yardımıyla
diğerlerine geçmek mümkün olmaktadır.
Sabit Esaslı endekslerden Değişken esaslı
endekslere geçmek istenirse; herhangi bir
devrenin sabit esaslı endeksi bir önceki sabit
esaslı endekse bölünmekte ve sonuç 100 ile
çarpılmaktadır. Yani i devresinin değişken esaslı
endeksini bulmak için,
15
X i/0
100
I i / i −1 =
X i −1/ 0
formülünden yararlanılır.
1991 ve 1992 yılları sabit esaslı endekslerinin
sırasıyla (%95,2) ve (%107,4) olsun. Bu duruma
göre 1992 yılına ait değişken esaslı endeks
X 2/0
107,4
I 2 /1 =
100 =
100 = %112,8
X 1/ 0
95,2
16
Değişken esaslı endekslerden sabit esaslı
endekslere geçmek istendiğinde ise, herhangi
bir devrenin değişken esaslı endeksinden
başlanmak üzere birbirini izleyen bütün
endeksler geriye doğru çarpılır ve sonuç çarpım
sayısının bir eksiği defa 100 ile bölünür. Yani i
devresinin sabit esaslı endeksini bulmak için;
Ii / 0
I i / i −1 I i −1/ i − 2 .....I 2 /1.I1/ 0
=
100.....100.100
17
I4/ 0
Örneğin, 1991, 1992, 1993 ve 1994 yıllarının
değişken esaslı endekslerinin sırasıyla (%95,2),
(%112,8), (%91,9) ve (%123,0) olsun.Buna göre
1994 yılına ait sabit esaslı endeks
I 4 / 3 I 3 / 2 I 2 /1 I1/ 0 (123,0).(91,9).(112,8).(95,2)
=
=
= %121,4
100.100.100
100.100.100
Sabit Esaslı Endeks
I1 / 0
I i / i −1 I i −1/ 0
=
100
18
1994 yılına ait sabit esaslı endeks (%121,4).
1995 ve 1996 yıllarının değişken esaslı
endekslerinin sırasıyla (%101,6) ve (%96,4)
olsun. 1995 yılına ait sabit esaslı endeks
I5/ 0
I 5 / 4 I 4 / 0 (101,6)(121,4)
=
=
= %123,3
100
100
Bu sonuçtan yararlanılarak, 1996 yılına ait sabit
esaslı endeks için,
I6/0
I 6 / 5 I 5 / 0 (96,4)(123,3)
=
=
= %118,8
100
100
19
Esas Devrenin Değiştirilmesi
Esas devre eskidikçe hem endeksler
büyür hem de kıyaslama güçleşir. Bu
nedenle esas devre zaman zaman
değiştirilir ve daha yakın bir yıla kaydırılır.
Esas devre değiştirilince yıllar arasında
yeni esasa göre kıyaslamaları yapabilmek
için eski endeks serisinin yeni esas
devreye göre düzenlenmesi gerekir.
20
Bütün devrelerin sabit esaslı endeksleri
yeni esas devrenin sabit esaslı endeksine
ayrı ayrı bölünür ve sonuçlar 100 ile
çarpılır. Diğer bir deyişle, yeni esas
devreye t diyecek olursak t esas devreli
sabit esaslı endeksler;
Ii /t
Ii / 0
=
100
I t/0
21
Sabit esaslı endeksler 1990 esas devresine
göre bulunmuş olsun. 1997 yılı esas devre
olarak değiştirilmek istenirse;
1990 endeksi
I0/7
I0/0
100
=
100 = %106,7
100 =
I 7/0
93,7
1991 endeksi
I1 / 7
I1 / 0
95,2
=
100 =
100 = %101,6
I 7/0
93,7
22
BASİT VE BİLEŞİK ENDEKSLER
Basit endeksler, tek bir maddeyi kavrayan
endekslerdir. Bileşik endeksler birbiriyle
ilişkili olan iki veya daha çok maddenin
fiyatlarındaki değişmelere ilişkin olarak
hesaplanır.
23
BASİT ENDEKSLER
Sabit ve değişken esaslı endeks formüllerinde
semboller değiştirilmek suretiyle basit endeks
formülü elde edilir.Sabit esaslı endeksler;
Ii / 0
Xi
=
100
X0
Değişken esaslı endeksler,
Xi
I i / i −1 =
100
X i −1
24
Formüllerde yer alan X’ler yerine p’ ler
konulduğunda “basit fiyat endeksleri”nin, q’lar
konulduğunda ise “basit miktar endeksleri” nin
aşağıdaki formülleri elde edilir.
Sabit Esaslı Fiyat Endeksi
Sabit Esaslı Miktar Endeksi
Basit Endeksler
p Ii / 0 =
q Ii / 0 =
pi
100
p0
qi
100
q0
Değişken Esaslı Fiyat
Endeksi
pi
100
p I i / i −1 =
pi −1
Değişken Esaslı Miktar
Endeksi
qi
100
q I i / i −1 =
qi −1
25
p0: Esas devredeki fiyatı
q0: Esas devredeki miktarı
pi: i devresindeki fiyatı
qi: i devresindeki miktarı gösterir.
Örnek:A malının çeşitli yıllardaki
satış fiyat ve miktarları verilmiştir.
Sabit ve değişken esaslı fiyat ve
miktar endekslerini bulunuz.
Yıllar
Fiyat
Miktar
1994
200
50
1995
250
40
1996
280
48
1997
420
36
Yıllar Devre Fiyat(p) Miktar(q)
1994
0
200
50
1995
1
250
40
1996
2
280
48
1997
3
420
36
26
Sabit esaslı fiyat endeksleri:
p1
250
100 = %125
1995 Endeksi: p I1/ 0 = 100 =
p0
200
1996 Endeksi:
I
p 2/0
p2
280
= 100 =
100 = %140
p0
200
Sabit esaslı miktar endeksleri:
q
40
1
1995 Endeksi: q I1/ 0 = 100 = 100 = %80
q0
50
1996 Endeksi:
I
q 2/0
q2
48
= 100 = 100 = %96
q0
50
27
Değişken esaslı fiyat endeksleri:
p1
250
100 = %125
1995 Endeksi: p I1/ 0 = 100 =
p0
200
p2
280
100 =
100 = %112
p I 2 /1 =
p1
250
1996 Endeksi
Değişken esaslı miktar endeksleri:
q
40
1
1995 Endeksi: q I1/ 0 = 100 = 100 = %80
q0
50
1996 Endeksi
q2
48
100 = 100 = %120
q I 2 /1 =
q1
40
28
BİLEŞİK ENDEKSLER
Bileşik endeksler birbirleriyle ilgili iki veya daha
fazla maddenin fiyatlarında zaman içinde
meydana
gelen
oransal
değişmelerin
belirlenmesine yarar. Uygulamada bileşik
endeksler beş yaklaşımla hesaplanmaktadır.
Endeksler Ortalaması
Ortalamalar Endeksi
Laspeyres ve Paasche endeksleri
Fisher Endeksi
Edgeworth Endeksi
29
Laspeyres ve Paasche Endeksleri
Endeksler
ortalaması ve ortalamalar endeksi
yaklaşımlarının ortak yönü endeksin kavradığı
maddelerin fiyatları(miktarları) arasındaki önem
farklarını dikkate almamasıdır. Günlük hayatta
her maddenin fiyatına(miktarına) aynı önem
verilmemektedir.
Laspeyres ve Paasche endeksleri maddelerin
önem farklarını dikkate almamızı sağlayan tartılı
bileşik endekslerdir.
30
Laspeyres
ve
Paasche
endekslerini
birbirinden ayıran önemli nokta birincisinde
esas devre miktarı(fiyatı)nın, ikincisinde ise
endeksi hesaplanan devrenin miktarı(fiyatı)
nın tartı olarak dikkate alınmasıdır.
31
Laspeyres Fiyat Endeksi
p
IL
pq
∑
=
100
∑p q
pq
∑
=
100
∑p q
pq
∑
=
100
∑p q
pq
∑
=
100
∑pq
i 0
0 0
Paasche Fiyat Endeksi
p
IP
i i
0 i
Laspeyres Miktar
Endeksi
q
IL
0 i
0 0
Paasche Miktar Endeksi
q
IP
i i
i 0
32
Bu formüllerde;
p0=Esas devredeki fiyatı
q0=Esas devredeki miktarı
pi=i devresindeki fiyatı
qi=i devresindeki miktar
∑ p0 q0 Esas devrede satın alınan belirli miktarlardaki
mallar için yapılan harcamalar toplamını
∑ pi q0 Esas devrede satın alınan belirli miktarlardaki
malları i devresinde satın alabilmek için yapılması
gerekli olan harcamalar toplamını
∑ pi qi i devresinde satın alınan belirli miktarlardaki
mallar için yapılan harcamalar toplamını
∑ p0 qi i devresinde satın alınan belirli miktarlardaki
malları esas devrede satın alabilmek için yapılması
gerekli olan harcamalar toplamını
33
Laspeyres endekslerinde tartılar değişmediği
için bu endeksler kıyaslanabilir. Buna karşılık,
her bir devre için değişik tartılar kullanılarak
hesaplanan Paasche endekslerini kıyaslamak
mümkün olmaz. Dolayısıyla Paasche endeksleri
pek tercih edilmez.
34
Örnek: 3 maddenin bazı yıllardaki satış fiyat ve
miktarları aşağıda verilmiştir.
A Maddesi
B Maddesi
C Maddesi
Yıllar Devre Fiyat Miktar Fiyat Miktar Fiyat Miktar
(p)
(q)
(p)
(q)
(p)
(q)
1996
0
20
15
30
30
15
20
1997
1
16
18
18
20
20
22
1998
2
24
16
22
18
23
16
35
Laspeyres Fiyat Endeksleri (p I L)
pq
∑
1996 Endeksi
∑p q
20.15 + 30.30 + 15.20
100 =
100 = %100
20.15 + 30.30 + 15.20
0
0 0
0
1 0
0
16.15 + 18.30 + 20.20
100 =
100 = %78,7
20.15 + 30.30 + 15.20
0
pq
∑
1997 Endeksi
∑p q
∑p q
1998 Endeksi
∑p q
2 0
0 0
100 =
24.15 + 22.30 + 23.20
100 = %98,7
20.15 + 30.30 + 15.20
Söz konusu 3 maddenin fiyatlarında esas devre 1996’ ya göre
“ortalama olarak” 1997’ de %21,3 ve 1998’ de %1,3 oranında bir
azalış olmuştur.
36
Paasche Fiyat Endeksleri (pIP)
pq
∑
1996 Endeksi
∑p q
20.15 + 30.30 + 15.20
100 =
100 = %100
20.15 + 30.30 + 15.20
0
0 0
0
∑ p q 100 = 16.18 + 18.20 + 20.22 100 = %84,3
1997 Endeksi
20.18 + 30.20 + 15.22
∑p q
1 1
0 1
∑p q
1998 Endeksi
∑p q
2 2
0 2
100 =
24.16 + 22.18 + 23.16
100 = %104,4
20.16 + 30.18 + 15.16
Hesaplamada her bir yıl için farklı tartılar kullanıldığından bu endeksleri
kıyaslamamız mümkün olamamaktadır.
37
Laspeyres Miktar Endeksleri (q I L)
pq
∑
1996 Endeksi
∑p q
20.15 + 30.30 + 15.20
100 =
100 = %100
20.15 + 30.30 + 15.20
0
0 0
0
0 1
0
20.18 + 30.20 + 15.22
100 =
100 = %86,0
20.15 + 30.30 + 15.20
0
pq
∑
1997 Endeksi
∑p q
∑p q
1998 Endeksi
∑p q
0 2
0 0
100 =
20.16 + 30.18 + 15.16
100 = %73,3
20.15 + 30.30 + 15.20
Söz konusu 3 maddenin miktarlarında esas devre 1996’ ya göre
“ortalama olarak” 1997’ de %14 ve 1998’ de %26,7 oranında bir azalış
olmuştur.
38
Paasche Miktar Endeksleri (qIP)
pq
∑
1996 Endeksi
∑p q
20.15 + 30.30 + 15.20
100 =
100 = %100
20.15 + 30.30 + 15.20
0
0 0
0
16.18 + 18.20 + 20.22
100 =
100 = %92,2
16.15 + 18.30 + 20.20
0
∑pq
1997 Endeksi
∑pq
1 1
1
∑p q
1998 Endeksi
∑p q
2 2
2 0
100 =
24.16 + 22.18 + 23.16
100 = %77,6
24.15 + 22.30 + 23.20
Hesaplamada her bir yıl için farklı tartılar kullanıldığından bu endeksleri
kıyaslamamız mümkün olamamaktadır.
39
BAŞLICA BİLEŞİK FİYAT ENDEKSLERİ
Uygulamada en önemli bileşik fiyat endeksleri ise “toptan
eşya fiyatları endeksi” ve “geçinme endeksi” dir.
Toptan Eşya Fiyatları Endeksleri
Paranın satınalma gücünde meydana gelen değişiklikleri
saptamak ve takip etmek amacıyla düzenlenen söz
konusu endeksler, adından da anlaşılacağı gibi, toptan
fiyatlara dayanır.
Ekonomik hayatın önemli bir göstergesi niteliğindeki bu
endekslerin hesaplanmasına temel oluşturacak veriler,
genellikle toptancılardan, imalatçılardan ve borsalardan
yani doğrudan tüketiciye satış yapan perakendeciler
dışında kalan kaynaklardan sağlanır.
En önemli nokta, endekse giren her bir maddeye ilişkin
olarak belirlenen fiyat derleme kaynağının sık sık
değiştirilmemesidir.
40
Toptan Eşya Fiyatları endeksleri,
Ülke genel fiyat düzeyinin gidişini öğrenmek
Paranın satınalma gücünde meydana gelen
değişiklikleri görmek
Konjonktürün aşamalardan hangisinde
bulunduğunu takip etmek
Fiyatların bünyesinde ortaya çıkan değişiklikleri
belirlemek
Değer cinsinden ifade edilmiş zaman serilerinde
görülen fiyat etkilerini arındırmada bir düzeltme
faktörü olarak kullanmak ve
Ticari konularda, maliyet araştırmalarında ve
ücret toplu sözleşmelerinde resmi kaynak olarak
yararlanmak amaçlarıyla hazırlanır.
41
Geçinme Endeksleri
Belirli bir sosyo-ekonomik grubun belirli bir
hayat standardını koruyabilmek için
harcaması gereken para miktarındaki
değişmeleri ortaya koyan geçinme
endekslerine “tüketici fiyat endeksleri” adı
verilir.
Belirli bir hayat standardını devam
ettirebilmek belirli mal ve hizmetlerin
sağlanmasına ve tüketilmesine bağlıdır.
42
Miktar sabit fiyatlar değişken olduğuna
göre mal ve hizmet fiyatlarında meydana
gelecek her değişiklik aynı hayat
standardının devamı için gerekli para
miktarını da değiştirecektir. Geçinme
endeksinin düzenlenmesindeki amaç fiyat
değişmelerini bu açıdan yansıtmaktır.
Geçinme endeksleri bütün ülke için değil
özellikler şehirler veya belirli bir şehir için
hesaplanır.
43
Ayrıca söz konusu endeksler bütün sosyoekonomik grupları kavrayacak şekilde değil
özellikle işçi ve memur gibi dar gelirli gruplar için
düzenlenir.
Fiyatların bir bölgeden diğerine çok değiştiği ve
ailelerde tüketimin sosyo-ekonomik faktörlere
göre çok farklı bulunduğu bilinmektedir.
Dolayısıyla bütün ülke için ve sosya-ekonomik
gruplar için bir geçinme endeksinin
düzenlenmesinde istatistiksel güçlüklerle
karşılaşılır ve böyle bir endeksin hangi grubun
durumunu yansıttığı da anlaşılamaz.
44
Fiyat artışlarından en çok etkilenenlerin işçi ve memur
gibi dar gelirliler olduğu ve bunların genellikle şehirlerde
toplandıkları bir gerçektir.
Geçinme endeksleri çok sayıda ekonomik önlemin
alınmasında önemli bir rol oynamaktadır. Örneğin artan
fiyatlara göre ücretleri ayarlamak mümkündür.
Geçinme endekslerinde tartıların gerçeğe uygun şekilde
saptanabilmesi için en iyi yol örnekleme ile bir kısım
memur ve işçi ailesini seçmek ve bunlara aile bütçesi
anketi uygulamaktır.
Veri toplanması güç olan dönemlerde bu tür aile
bütçesine başvurmak mümkün olmaz. Bunun yerine
teorik bütçe yaklaşımına başvurulur.Teorik bütçe
yaklaşımına göre düzenlenen geçinme endeksine
İstanbul Ticaret Odası tarafından hesaplanan endeksler
verilebilir.
45
İdeal(Fisher) Endeks
Laspeyres ve Paasche endeksleri, kullanılan farklı
tartılar nedeniyle, doğal olarak, farklı sonuçlar verir. Söz
konusu farklar; Laspeyres indeksinde tartı olarak temel
devre miktarı kullanılması nedeniyle, fiyat artışlarını,
olduğundan fazla, Paasche indeksi de fiyat artışlarını
olduğundan az gösterir.
Fisher, fiyatlardaki artış ya da azalışların gerçeklere
daha yakın hesaplanabilmesi için, Laspeyres ve
Paasche endekslerinin geometrik ortalamasının
alınmasını önermiştir.
İdeal endeks(Fisher), Laspeyres endeksiyle Paasche
endeksinin geometrik ortalaması olmaktadır.
46
( Laspeyres)( Paasche
İdeal=
Formülünden hesaplanmaktadır.
47
REEL KAVRAMI
Özellikle ekonomi alanında önemli olan bir
kavramdır. Değişen fiyatların, bir başka
deyişle enflasyonist ya da deflasyonist
ortamların incelenecek olan seri üzerindeki
etkisinin arındırılması iktisatçıların ilgi
alanına girmektedir.
Serinin nominal yani orijinal halinin analizi
yerine serinin reel değerlerinin incelenmesi
iktisatçılar için daha anlamlı olmaktadır.
48
Bu amaçla nominal değerler,
zt
z =
100
(Fiyat Endeksi)t
*
t
formülü kullanılarak reel değerlere
dönüştürülebilmektedir. Bu işleme deflete
adı verilmektedir.
49
50
KİŞİ BAŞINA KAVRAMI
Gelir, gider, üretim, tüketim, harcama, tasarruf
gibi seriler tek başlarına yorum bakımından
yeterli bir bilgiye sahip değillerdir. Örneğin,
Türkiye’nin
geliri
ile
Kuveyt’in
gelirini
karşılaştırmak ve Türkiye’nin gelirinin daha fazla
olduğu sonucuna varmak anlamlı değildir, çünkü
burada incelenmek istenen gelir düzeyi
olduğundan bakılması gereken seri kişi başına
düşen gelir olmalıdır.
Kişi başına düşen gelir serisine bakıldığında
Kuveyt’in gelir düzeyinin Türkiye’nin gelir
düzeyinden çok daha yüksek olduğu anlaşılır.
51
52
Görüldüğü gibi konut başına düşen
yüzölçümler aylara göre 1995 yılında 156
ile 189 m2 arasında olmaktadır. Bir başka
deyişle, 1995 yılında ortalama konut
yüzölçümleri 156 m2 ile 189 m2
arasındadır. Mayıs ve Haziran aylarında
konut yüzölçümlerinin artması 1995 yılına
ait bir özellik olabileceğinden sadece bir
yılın verisine göre konu ile ilgili genel
yorumlarda bulunmak hatalı olacaktır.
53
EKSİK VERİLERİN TAMAMLANMASI
Eksik verilerle zaman serileri analizinin
yapılması özellikle yorum bakımından birtakım
sorunlara neden olduğundan bu eksik verilerin
seriye uygun bir yöntemle tahmin edilmesi
lazımdır. Bu yöntemler 4 farklı başlıkta
toplanabilir:
54
Serinin ortalamasının bulunması ve bu
ortalama değerinin eksik gözlem yerine
konulması.
Eksik verinin bulunduğu dönemlere hareketli
ortalama işlemi uygulanarak eksik verinin
tahmin edilmesi.
Bir önceki dönemin verisinin eksik gözlem
yerine konulması.
Trend terimi (t) bağımsız değişken, zaman
serisi bağımlı değişken olmak üzere regresyon
uygulanarak eksik veri tahmin edilir. Burada T
gözlem sayısı olmak üzere t=1,2,…,T
biçiminde olduğu unutulmamalıdır.
55
Burada eksik gözlemin iki üstündeki ve iki altındaki verilerin
kullanıldığına dikkat edilmelidir. Üst ve alttaki verilerin sayısı mutlaka
eşit olmalıdır. 2 sayısı da keyfi olarak alınmıştır. Ancak seride fazla
dalgalanmalar yoksa bu sayı 1 olarak da alınabilir.
56
57
58
Görüldüğü gibi bu seri için orijinal değere en yakın
tahmine sahip yöntem alternatif regresyon
yöntemi olmuştur.
Bu örnekte ortalama ve bir önceki dönemin
değerinin eksik gözlem yerine konulması
yöntemlerinden elde edilen tahmin değerlerinin
2000:III döneminin orijinal verisi 3034 değerinden
oldukça farklı çıkmasının nedeni TÜFE serisinin
trende sahip olmasından kaynaklanmaktadır.
Bu nedenle, bu iki yöntemin trende ya da belli bir
dalgalanmaya sahip serilerde uygulanılmamasına
dikkat edilmelidir.
59
AYRIŞTIRMA YÖNTEMLERİ
Bir zaman serisi trend (Tt), mevsimsel
dalgalanma (Mt), konjonktürel dalgalanma
(Ct veya Kt) ve düzensiz dalgalanmalardan
(ε t ) veya (Rt ile de gösterilir) oluşmaktadır.
Bu bölümde bu bileşenlere sahip zaman
serilerinin modellenmesi ve öngörülerin
elde edilmesi üzerinde durulacaktır.
60
Zaman serisini bileşenlerine ayırarak her
bir bileşen için tahminleri içeren ve bu
bileşenlerin tahmininden zaman serisinin
öngörüsünü hesaplayan yönteme
ayrıştırma yöntemi denmektedir.
Matematiksel olarak,
zt = f (Tt , M t , K t , Rt )
olup bu serinin tahmini
zˆt = f Tˆt , Mˆ t , Kˆ t
olmaktadır.
(
)
61
Ayrıştırma yöntemi bilinen en eski öngörü
yöntemlerinden biridir. Özellikle kısa
dönemli öngörülerde ayrıştırma yöntemi
anlaşılması ve yapılması en kolay olan
yöntemdir.
Ayrıca bu yöntem bir serinin
mevsimselliğini ortaya çıkartabilmek ya da
istenildiği taktirde bu mevsimsel hareketi
seriden arındırabilmek amaçlı da
kullanılabilen bir yöntemdir.
62
Zaman serisi modelleri genel olarak iki sınıfa
ayrılabilir: Toplamsal modeller ve çarpımsal
modeller. Toplamsal model zaman serisinin,
bileşenlerin toplamından oluştuğunu kabul eder.
Bu durumda,
Yt = Tt + M t + K t + Rt
olmaktadır. Burada Tt serinin trendini, Mt
mevsimsel dalgalanmayı, Kt konjonktürel
hareketi ve hata bileşenini Rt göstermektedir.
Bu bileşenlerden hangisi seride yok ise bu
bileşenin etkisi 0 olarak kabul edilir.
63
Toplamsal modellerde mevsimsel dalgalanmalar
trendten bağımsız olduğundan dalgalanma
büyüklüğü zaman içinde değişmemekte, yani
sabit kalmaktadır. Toplamsal modele uygun
serinin grafiği,
200
Toplamsal Modele Uygun Serinin Grafiği
100
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
64
Toplamsal bileşen durumunda herhangi bir
yılın mevsimsel bileşeni her yıl için aynı
olup toplamsal modelde mevsimsel veya
konjonktür bileşeni zamandan
bağımsızdır. Mevsimsel hareketin
büyüklüğü zaman içinde sabit kalmaktadır.
65
Yt = f (Tt , M t , K t )
Toplamsal Model
Olacak şekilde trendin, mevsimsel hareketin ve
konjonktürel hareketin bir fonksiyonu olarak
ifade edildiğinden öngörüde kullanılacak model
Yˆt = f (Tˆt , Mˆ t , Kˆ t )
şekilde ifade edilir.
66
Yöntem altı aşamalı bir yöntemdir ve
aşamaları;
1. Gerçek veri için “hareketli ortalama”
hesaplanır.
Aylık veriler için onikişerli, üçer aylık veri için
dörderli olmak üzere hareketli ortalama
(HO) ve ardından merkezi hareketli
ortalama (MHO) değerleri hesaplanır.
MHOt=Tt+Kt
olacak şekilde trend ve konjonktürel
bileşenlerinin büyüklüğünü
göstermektedir.
67
2. Seri Değerlerinden MHO değerlerini
gösteren Tt+Kt toplamı çıkartılarak
Yt=Tt+Mt+Kt+Rt
(Yt=Tt+Mt+Kt+Rt)-(Tt+Kt)=Mt+Rt
Mevsimsel ve rassal bileşenler, Mt+Rt elde
Elde edilir.
68
3. 2. basamakta elde edilen Mt+Rt deki
rassal bileşen etkisinin kaldırılması için
mevsimsellik ortalamaları alınır. Bunlar
“mevsimsel bileşenin tahminleri” olarak
adlandırılmaktadır.
4. Ortalama mevsimsel tahminlerin toplamı
sıfır olmalıdır. Toplamlar sıfır çıkmadığı
takdirde ayarlama yapılmakta ve bu işlem
normalize etme işlemi olarak da bilinir. Bu
aşamada aylık veri için onikişerli, üçer
aylık veriler için de dörderli toplamları
alınmaktadır.
69
5. Verinin mevsim etkisinden arındırılması
için veri ile mevsimsel tahminlerin farkı
DMt=Yt-Mt olacak şekilde alınmaktadır.
6. 5. basamakta elde edilen
mevsimsellikten arındırılmış DMt serisi için
uygun trend denklemi tahmin edilir ve
denklem öngörü amacı ile kullanılabilir.
70
Yöntem, 1995:Q1-2000:Q dönemi Turizm
Gelirleri verisine uygulanmıştır.
Tabloda II. sütunda yer alan dörderli
hareketli ortalama değerleri
HO1=(183+559+734+174)/4=412.5
HO2=(559+734+174+206)/4=418.25
HO3=(734+174+206+687)/4=450.25
olacak şekilde, III. sütunda yer alan ikişerli
merkezi hareketli ortalama değerleri
71
MHO(1995:03)=(HO1+HO2)/2=412.5+418
.25/2=415.37
MHO(1995:04)=(HO2+HO3)/2=434.25
olacak şekilde hesaplanmaktadır.
2. basamakta turizm gelirleri verisinden 1.
basamakta hesaplanan MHO değerleri
çıkarılarak Mt+Rt değeri elde edilir. 3.
basamakta ise IV. sütunda yer alan Mt+Rt’
den Rt’ nin yani rassallığın kaldırılması için
her mevsimin ortalaması kullanılmaktadır.
72
Bulunan değerler mevsimsel bileşenlere
ait dört tahmini değeri vermektedir. Bu
aşamada Mt+Rt’ de yer alan ve veriden
MHO değerlerinin çıkarılması ile,
TG-MHO olacak şekilde hesaplanan
hatayı ortadan kaldırmak için de her
mevsim için ortalamalar
hesaplanmaktadır.
Mevsim ortalamaları için birinci üç ayın,
ikinci üç ayın, üçüncü ve dördüncü üç ayın
değerleri toplanır;
73
Q1=-252.50-255.75-299.62-236.12=-1043.99
Q2=212.25+194.75+252.63+93.75=753.38
Q3=318.63+304.0+454.75+436.0+272.75=17
86.13
Q4=-260.25+284.62-373.87-309.25-238=1465.99
Q1=-1043.99/4=-261.00
Q2=753.38/4=188.35
Q3=1786.13/5=357.23
Q4=1465.99/5=-293.20
74
Ayarlama katsayıları hesaplanmaktadır. Q1, Q2,
Q3 ve Q4 toplamlarının 0 olması gerekmektedir.
(-261.00+188.35+357.23-293.20=-8.62) sıfırdan
farklı olduğu için seri için yeni bir ayarlama
katsayısı -8.62/4=-2.16 olacak şekilde
hesaplanmaktadır ve diğer tüm ortalama
değerlerinden çıkartılır.
Örneğin Q1 ve Q4 için;
1Q=1.üç ay (-261.0+2.16=-258.84)
4Q=4.üç ay (-293.20+2.16=-291.04) olarak
4.basamaktaki işlemler tamamlanmış olur.
75
Son olarak V. sütunda yer alan veriden
mevsim endekslerinin çıkarılması ile elde
edilen, TG-ME değerlerinin hesaplanması
amacıyla örneğin ilk gözlem;
183-(-258.84)=441.84
Şeklinde
fark işlemleri yapılmakta ve mevsimsel
etkilerden arındırılmış seri değerleri elde
edilmektedir.
76
Son sütunda yer alan mevsim etkisinden
arındırılmış DTURIZM serisi için uygun
olacak trend modelinin bulunabilmesi
amacıyla şekilde gösterilen serinin seyri
incelendiğinde, doğrusal trend modeli ile
tanımlanmasının uygun olmadığı, ikinci
mertebeden trend modeli ile tanımlamanın
daha uygun olduğu görülmektedir.
Bu nedenle ikinci mertebe trendin
katılması ile oluşturulan model tahmin
edilmiş ve tahmin sonuçları verilmiştir.
77
78
79
Toplamsal ayrıştırma yöntemi ile
mevsimsellikten arındırılmış DTURIZM
serisi için tahmin edilen,
DTURIZMt=338.94+36.18T-1.40T2
denklemin katsayılarının anlamlılığı t-testi,
modelin açıklama gücü R2, otokorelasyon
durumu ise DW d testi kullanılarak analiz
edilmektedir.
80
Parametrelerin istatistiksel açıdan anlamlı ve
modelin açıklama gücünün yüksek olduğu
görülmektedir.
Model artıkları ile hesaplanan DW-d değeri
pozitif
otokorelasyonun
varlığını
göstermektedir.
81
82
Trend denklemleri için beklenen bir
durumu ifade eden otokorelasyonun
varlığı, modelde incelenen serinin sadece
trend değişkeni ile tanımlanması nedeniyle
tanımlama hatasının yapıldığının
göstergesi olarak kabul edilmelidir.
“Modelin verilere uyumu” veya başka bir
değişle “tahminlerin uygunluğu” şekilde
gösterilmektedir. Şekil incelendiğinde
öngörünün ancak kısa dönemde başarılı
olacağı ifade edilebilir.
83
Örnek dönemi içinde veya örnek dönemi dışında öngörü
yapmak amacı ile kullanılacak
DTURIZMt=338.94+36.18T-1.40T2 denklemidir.
23. dönem için öngörü değeri
Yˆ23 = 338.94 + 36.18(23) − 1.40(23) 2 = 430.48
olacak şekilde hesaplanmaktadır. Bu değer 2000.Q3
döneminin tahmin değerini göstermektedir. Ancak
430.48 olarak hesaplanan öngörü değeri mevsimsel
olarak düzeltilmiş öngörü değeridir, bu nedenle yapılan
ikinci bir işlemle dönüşüm sonrası orijinal seri değeri
430.48+355.07=785.55 olarak elde edilir ve bulunan
değerin
III.
Dönemlerdeki
artışı
öngördüğü
görülmektedir.
84
Çarpımsal Ayrıştırma Modeli
Çarpımsal modeller zaman serisinin, bileşenlerin
çarpılmasından oluştuğunu kabul eder. Bu
durumda,
zt = Tt × M t × K t × Rt
olmaktadır. Bu bileşenlerden hangisi seride yok
ise bu bileşenin etkisi 1 olarak kabul edilir.
çarpımsal modele uygun bir serinin
dalgalanmasının büyüklüğü zaman içinde artar
ya da azalır. Çarpımsal modele uygun bir serinin
logaritması alındığında toplamsal modele uygun
bir serinin grafiği elde edilebilir.
85
Çarpımsal modelde mevsimsel etmen trendin bir
oransalı şeklinde olup mevsimsel hareketin büyüklüğü
trende bağlı olarak değişmektedir ve bu özellikte bir seri
300
200
100
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
şeklinde gösterilir. Çarpımsal modele uygun bir serinin
logaritması alındığında toplamsal modele uygun bir
serinin grafiği elde edilebilir.
86
“Trende oran” veya “hareketli ortalamaya oran”
olarak adlandırılan yöntem, zaman serilerinin
zt = Tt × M t × K t × Rt
olarak gösterilen çarpımsal bir biçimde
oluştuğunu varsaymaktadır. Klasik bir ayrıştırma
yöntemi olan hareketli ortalamaya oran, 6
aşamalı bir yöntemdir. Aşamalar:
1. Verilerden trend ve konjonktürün ortadan
kaldırılması, yani serinin trend ve konjonktür
etkisinden arındırılması amaçlanmaktadır. Bu
amaçla kullanılan hareketli ortalamaya oran
yönteminde mevsimselliği eşit uzunlukta olan
HO’ lar hesaplanır.
87
Toplamsal ayrıştırma yönteminde olduğu
gibi bu yöntemde de, HO ve daha sonra
MHO hesaplanmaktadır. MHO değerleri,
trend ve konjonktür bileşenine ait Tt*Kt
olarak gösterilen kısmını ortaya
çıkarmaktadır.
HO sonucunda ise verideki mevsimsellik
ve rassallık ortadan kalkmakla beraber
bazı durumlarda çok az rassallık söz
konusu olabilir.
88
HOt= Tt*Kt olarak elde edilen HO sonucu,
mevsimsellik ve rassallık ortadan
kaldırıldığından sadece trend ve konjonktür
etkilerini içermektedir.
Zaman serisi Yt=Tt*Mt*Kt*Rt biçiminde ifade
edildiğinden veri MHOt değerlerini gösteren Tt*Rt
‘ ye bölünerek mevsimsel ve rassal bileşeni
gösteren Mt*Rt elde edilir.
Yt
Tt + M t + K t + Rt
=
= M t * Rt
HOt
Tt + K t
89
Bu işlem yönteme adını veren “hareketli
ortalamaya oran” olup serinin diğer
bileşenlerini dışlamaktadır.
II. basamakta elde edilen mevsimsel ve
rassal bileşeni tanımlayan Mt*Rt’ den
rassallığı dışlamak amacıyla her mevsimin
ortalaması hesaplanır.
Ortalama oran olarak adlandırılan
yöntemde her dönem için değerlerin
toplamının ortalamalarının alınması ile
hesaplanmaktadır.
90
Ortalama oranların toplamının mevsim
dönem uzunluğuna, yani s’ ye eşit
çıkmaması durumunda ayarlama
yapılmakta ve bu şekilde “nihai mevsim
tahminleri” bulunmaktadır.
Veri, mevsim etkisinden arındırılması için
uygun mevsim tahminlerine bölünmekte ve
mevsimsellikten arındırılmış DMt serisi
elde edilmektedir. Yapılan işlem;
DMt=Yt/Mt olarak gösterilebilir.
91
Bu aşamada HOt=Tt*Kt de yer alan konjonktür
etkisinden trend etkisini ayırmak amacıyla;
HOt
= Dt
Tt
İşleminin yapılması gerektiği ifade edilmektedir.
5. Mevsimsellikten arındırılmış seri için uygun
trend denklemi tahmin edilir, model
değerlendirilir ve başarı kriterlerini sağlaması
durumunda denklem öngörü amacıyla
kullanılabilir.
92
Zaman serilerinde gözlenen mevsimsel
davranışın toplamsal veya çarpımsal
olarak sınıflandırılmaları çoğu kez çok
zordur, hatta olanaksızdır. Bu durumda
öngörüde her iki modelle elde edilen
öngörüler karşılaştırılarak en küçük toplam
hata kare: THK’ ye sahip model seçilir.
93
Yöntem 1995Q1-2000:Q2 dönemi turizm
gelirleri verisine uygulanmıştır.
II.sütun:
HO1=(183+559+734+174)/4=412.5
HO2=(559+734+174+206)/4=418.25
HO3=(734+174+206+687)/4=450.25
olarak hesaplanan HO değerleri,
94
III. sütun:
MHO(1995:03)=(HO1+HO2)/2=(412.5+41
8.25)/2=415.37
MHO(1995:04)=(HO2+HO3)/2=434.25
olacak şekilde hesaplanan merkezi
hareketli ortalama (MHO) değerleri
verilmektedir.
Mt*Rt değerini veren IV. sütun değerleri,
TG verisinin MHO değerlerine bölünmesi
sonucu elde edilmekte ve
95
1995:03
734/415.37=1.767
1995:04
174/434.25=0.401
olacak şekilde hesaplanmaktadır. Mt*Rt de yer
alan rassallığı ortadan kaldırmak için her bir
mevsimin ortalaması hesaplanmakta ve
ortalama oran olarak adlandırılan değer her
mevsim dönemi için
1Q=1. üç ay=2.002
2Q=2. üç ay=5.408
3Q=3. üç ay=8.505
4Q=4. üç ay=2.166
olarak elde edilmektedir.
96
Birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü üç ayın
değerleri toplanarak bulunan değerlerin
ortalamaları alındığında
1Q:2.002/4=0.501
2Q:5.408/4=1.352
3Q:8.505/5=1.701
4Q:2.166/5=0.434 olacak şekilde
hesaplanan “mevsim endeksi” tahmini elde
edilmiş olmaktadır.
97
1Q=0.501
2Q=1.352
3Q=1.701
4Q=0.434
olarak sıralanan mevsim endeksi
değerlerinin toplamlarının mevsim
sayısına eşit olması gerekmektedir, ancak
toplamlar 4’ den farklı olduğu için
“ayarlama katsayısı”
4/(0.501+1.352+1.701+0.434)=1.003
olacak şekilde hesaplanmaktadır.
98
Buna bağlı olarak da 0.501*1.003=0.503
1.352*1.003=1.356
1.701*1.003=1.707
0.434*1.003=0.436
“ayarlanmış mevsim endeksi” değerleri
bulunmakta ve bunlar da
1Q= 0.503
2Q=1.356
3Q=1.707
4Q=0.436
şeklindedir.
99
V. Sütun: TG/ME değerleri ise verilerin mevsim
endeksi değerlerine bölünmesi ile
183/0.503=363.81
559/1.356=412.24
734/1.707=429.99
174/0.436=399.08 şeklinde hesaplanır.
Son sütunda yer alan DTURIZM mevsimsel
etkilerden arındırılmış seri değerlerini
göstermektedir. Uygun trend denkleminin
bulunması amacı ile serinin seyri incelendiğinde
doğrusal trend modelinin uygun olmadığı 2.
mertebeden trend modelinin daha uygun olacağı
görülmektedir.
100
101
102
örnek dönemi içinde veya örnek dönemi dışında
öngörü yapmak amacıyla kullanılacak denklem;
DTURIZMt=327.72+36.28T-1.35T2 dir.
Modelin uygunluğu grafikten gözlenmektedir.
Örnek dışı 23. dönem için öngörü değeri
Y=327.72+36.28T-1.35T2
Yˆ23
= 327.72+36.28(23)-1.35(23)2=448.01
olarak hesaplanır ve bu değer 2000:Q3 dönemi
için tahmin değerini vermektedir.
103
Hesaplanan öngörü değeri mevsimsel olarak
düzeltilmiş öngörü değeridir ve orijinal seri
değeri
448.01*1.707=764.75 dönüşümü sonrasında
elde edilmektedir.
YARARLANILAN KAYNAKLAR:
Sunumun 1-47 sayfaları için;Uygulamalı İstatistik
I, II, Serper Ö.
Sunumun 48-105 sayfaları için; Akgül I.,
Geleneksel Zaman Serisi Yöntemleri, Kadılar,
C., Zaman Serileri Analizine Giriş, Bozkurt, H.,
Zaman Serileri Analizi, Özmen, A., Zaman Serisi
Analizinde Box-Jenkins Yöntemi ve Banka
Mevduat Tahmininde Uygulama Denemesi.
104
105
Download

i qp