6
1. Surekli
Fonksiyonlar Halkasının Idealleri ve Zero Filterler
¨
1.2
Maksimal Idealler ve z-Ultrafiltreler
A¸sa˘gıdaki tanımla ba¸slayabiliriz.
Tanım 1.2. X topolojik uzay, F, X’de bir z-filtre olsun. F ⊂ G ¨ozelli˘ginde
F’den farklı bir z=filtre G yoksa, F’ye z-ultrafiltre (ya da maximal z-filtre)
denir.
Teorem 1.2. X bir topolojik uzay ve F ⊂ Z(X) k¨
umesinin sonlu arakesit
¨
ozelli˘gi olsun. F ⊂ M ¨
ozelli˘ginde z-ultrafiltre M vardır.
Kanıt:
M0 = {∩ni=1 Zi : n ∈ N, Zi ∈ G}
bir z-filtre ve F ⊂ M dir.
{M : M
z-filtre ve F ⊂ M}
k¨
umesi bo¸s k¨
umeden farklı ve kapsama sıralamasına g¨ore kısmi sıralı k¨
umedir.
Bu k¨
umeden alınan her zincirin u
¨st sınırı vardır. Zorn’s Lemma bu k¨
umenin
maximal elemanı oldu˘
gunu s¨
oyler. Bu maximal eleman istenilen ¨ozellikte bir
z-ultrafiltredir.
Teorem 1.3. X topolojik uzay, M , C(X)’nin maximal ideal i ve F, X’de
z − ultraf ilter olsun.
(i) Z[M ] z-ultrafiltredir.
(ii) Z −1 [F] maksimal idealdir.
Kanıt: (i): H, Z[M ] ⊂ H ¨
ozelli˘
ginde z-filter olsun. M maximal ring ideal,
−1
Z (H) bir ring ideal ve M ⊂ Z −1 [H] olmasından M = Z −1 [H] edilir.
f ∈ C(X), Z(f ) ∈ H ¨
ozelli˘
ginde olsun. f ∈ Z −1 [H] = M olaca˘gından,
Z(f ) ∈ Z[M ] elde edilir. B¨
oylece Z[M ] = H elde edilir. Z[M ]’nin z-ultarfiltre
oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
(ii): Z −1 [F]’nin ideal oldu˘
gunu biliyoruz. Z −1 [F] ⊂ I ¨ozelli˘ginde I ideali verilsin. F ⊂ Z[I] ve Z[I] bir z-filter oldu˘gundan, F = Z[I] elde edilir. f ∈ I
verilsin. Z(f ) ∈ Z[I] olacaktır. Buradan, Z(f ) ∈ F ve dolayısı ile f ∈ Z −1 (F).
Bu kanıtı tamamlar.
Sonu¸
c 1.4. X topolojik uzay olsun. C(X)’nin maksimal ideallerinden, X’nin
z-ultrafiltrelerine tanımlı M → Z[M ] d¨
on¨
u¸su
¨m¨
u birebir ve o
¨rtendir.
0
0
Kanıt: M ve M , C(X)’nin Z[M ] = Z[M ] ¨ozelli˘ginde maksimal idealleri
0
olsunlar. Buradan M ⊂ Z −1 [Z[M ]] elde edilir. M ’nin maksimal olmasından
0
0
0
0
M = Z −1 [Z[M ]] elde edilir. Z −1 [Z[M ]] ⊃ M olmasından da M ⊃ M
0
0
dir. Benzer bi¸cimde, M ⊂ M ve buradanda M = M elde edilir. Birebirlik g¨osterilmi¸s olur. S
¸ imdi F, z-ultrafiltre olsun. Z −1 [F] maksimal ideal ve
−1
Z[Z [F]] = F oldu˘
gundan, ¨
ortenlik de g¨osterilmi¸s olur.
1.2. Maksimal Idealler ve z-Ultrafiltreler
7
Teorem 1.5. X bir topolojik uzay ve M , C(X)’nin maksimal ideali ve F,
X’de z-ultrafiltre olsun.
(i) M = {f ∈ C(X) : ∀g ∈ M, Z(f ) ∩ Z(g) 6= ∅}.
(ii) F = {Z ∈ C(X) : ∀F ∈ F, F ∩ Z 6= ∅}.
Kanıt: (i). f ∈ M verilsin ve en az bir g ∈ M i¸cin,
Z(f ) ∩ Z(g) = ∅
olsun. Bu durumda her x ∈ X i¸cin, f 2 (x)+g 2 (x) 6= 0 dolayısıyla, (f 2 +g 2 )−1 ∈
C(X) dir.
f 2 (f 2 + g 2 )−1 , g 2 (f 2 + g 2 )−1 ∈ M
olmasından 1 ∈ M elde edilir ki, bu ¸celi¸skidir. f ∈ C(X), her g ∈ M i¸cin
Z(f ) ∩ Z(g) 6= ∅ ¨
ozelli˘
ginde olsun ve f 6∈ M oldu˘gunu varsayalım.
A = {Z(f ) : f ∈ M } ∪ {Z(g)}
olarak tanımlıyalım. A’nın sonlu arakesit ¨
ozelli˘gi oldu˘gundan, A ⊂ A∞ ¨ozelli˘ginde
z-ultrafiltre A∞ vardır. Buradan,
M ⊂ Z −1 (A) ⊂ Z −1 (A∞ )
elde edilir. M maksimal ideal oldu˘
gundan,
M = Z −1 [A] = Z −1 [A∞ ]
elde edilir. f ∈ Z −1 [A] olmasından da, f ∈ M ¸celi¸skisi elde edilir ve birinci
kısım kanıtlanmı¸s olur. (ii)’nin kanıtı benzerdir.
Alı¸stırmalar
1.9. X bir topolojik uzay ve M , Cb (X) halkasında maksimal ideal olsun. Z[M ], X’de z-filte
ise, z-ultrafiltre oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.10. X topolojik uzay olsun. Her x ∈ X i¸cin
Ax = {Z(f ) : f (x) = 0}
ve
Mx = {f ∈ C(X) : f (x) = 0}
g¨
ozterimini yapalım. Mx ’nin maksimal ideal ve Ax ’nin z-ultrafiltre oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
Download

20 MART 1.QXD:Mizanpaj 1