.
Niğde Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, Cilt 4 Sayı 1. (2000),1-10
YATAY BORU ÜZERİNDE LAMİNER FİLM
YOĞUŞMASININ NÜMERİK ANALİZİ
K. ALDAŞ ve K. ALTINIŞIK
Niğde Üniversitesi. Aksaray Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü, 68100, Aksaray
ÖZET
Bu makalede; akışı yerçekimi ile sağlanan film yoğuşmasının, bir sayısal analizi yapılmıştır. Analizde,
hidrodinamik ve termal sınır tabaka denklemleri kullanılmıştır. Momentum denkleminde bulunan atalet terimleri
ile enerji denkleminde bulunan konveksiyon terimlerinin yoğuşmaya etkisi incelenmiştir. Su buharının 20 mm
çapında bir yatay boru üzerinde yoğuşmasından oluşan sıvı film kalınlıklarının tüp yüzeyindeki dağılımı
hesaplanmış ve Nusselt hipotezinden hesaplanan sıvı film kalınlığı ile karşılaştırılması yapılmıştır.
Anahtar kelimeler: Yatay boru, film, yoğuşma, laminer akış
NUMERICAL ANALYSIS OF LAMINAR FILM
CONDENSATION ON A HORIZONTAL TUBE
ABSTRACT
In this paper a numerical analysis of gravity induced laminer film condensation is conducted. In the analysis
hydrodynamic and thermal boundary layer equations are used. Effects of inertia terms in momentum equation
and convective terms in energy equation are examined. The distribution of the liquid thickness on the tube
surface caused by the condensation of steam on a 20 mm diameter tube is determined and compared with
obtained from Nusselt hypothesis.
.
Keywords: Horizontal tube, film, condensation, laminar flow
1. GİRİŞ
Film yoğuşmasının ilk analizi Nusselt [1] tarafından yapılmıştır. Bu analizde, sıvı film içindeki sıcaklık
dağılımı lineer kabul edilmiş ve yer çekim kuvveti ile viskoz kuvvetleri dengelenerek sıvı tabakanın kalınlığını
veren bir denklem elde edilmiştir. Sparrow ve Gregg[2], Nusselt’in analizinde gözardı edilen atalet kuvvetlerini
de hesaba katan bir analiz yapmışlardır. Aynı analizde, aşırı kızdırılmış buhardan sıvı film tabakasına olan
konveksiyon enerjisi de hesaba katılmıştır. Sparrow ve Gregg’in analizleri, sıvı film içindeki sıcaklık dağılımının
hemen hemen lineer olduğunu göstermektedir. Sıvı Pr sayısı 1 ve 100 arasında ise ve (Ts-Tw)<10 olduğu sürece,
atalet terimlerinin önemsiz olduğunu ifade etmektedirler. Koh ve arkadaşları[3]’nın analizinde sıvı tabaka ile
çevresindeki gaz ortam arasında yüzey sürtünmesinden dolayı meydana gelen momentum alışverişinin, sıvı
tabakanın hareketine olan etkisi incelenmiştir. Normal endüstriyel uygulamalarda (soğutma tekniği ve kondenser
tasarımı gibi) sıvı tabaka ile çevresi arasındaki gaz ortamı arasında meydana gelen momentum alışverişinin
önemsiz olduğunu belirtmişlerdir.
Sparrow ve Eckert[4], kızgın buharın ve buhar içindeki yoğuşmaz gazların ısı taşınım katsayısı üzerindeki
etkisini incelemişlerdir. Kızgınlık derecesinin sebep olduğu ısı transferinin su ve Freon tipi soğutucular için çok
Kemal ALDAŞ ve Kemal ALTINIŞIK
önemsiz olmakla birlikte, yoğuşmaz gazların ısı transferini küçülttüğü görülmektedir. Sparrow ve Lin[5]’in
yoğuşmaz gazların etkisi üzerine yaptıkları analizler, yoğuşmaz gazların ısı transferini büyük ölçüde
düşürdüğünü göstermektedir. Shekriladze ve Gomelauri[6], buhar süpürme etkisi altındaki yoğuşmayı ilk olarak
analiz etmişlerdir. Yapılan analizde, yoğuşmanın sebep olduğu yoğuşma yüzeyine dik hız bileşeninin buhar
tabakasındaki hız dağılımına önemli ölçüde etki ettiği, ara yüzeydeki hız gradyantını büyüttüğü ve neticede
buhar süpürmesinin arttığı gösterilmiştir. Fujii ve Uehara[7], Shekriladze tarafından ele alınan buhar süpürmesi
olayını daha gerçekçi şartlarda incelemişlerdir. Gaddis[8], tarafından yapılan analizde hem sıvı tabaka hareketi
hemde buhar sıvı tabakasının hareketi, komple sınır tabaka denklemleriyle ele alınmıştır. Bu analiz, o zamana
kadar yapılan en kapsamlı incelemedir. Karabulut ve Ataer[9], hem yoğuşmuş tabakanın hareketini hem de
buhar sıvı tabakanın hareketlerini
komple sınır tabaka denklemleri ile simüle etmişlerdir. Önceki
araştırmalardan farklı olarak denklemlerin çözümlenmesinde, sonlu farklar metodu kullanmışlardır. Muhtelif
şartlarda ısı taşınım katsayısının dağılımını vermişlerdir. Srzic ve arkadaşları[10], eğik konumlu izotermal bir
pleyit üzerindeki buhar süpürmeli yoğuşma olayını, yoğuşmaz gazların varlığını dikkate alarak incelemişlerdir.
2. FİZİKİ MODEL VE MATEMATİK MODEL
Yerçekimi kaynaklı olayın fiziki mekanizması Şekil 1 de görülmektedir. İçerisinden soğutucu su geçen
borunun çevresinde bulunan doymuş durgun buhar, borunun cidarlarında yoğuşmaktadır. Yoğuşan madde belirli
bir kalınlığa ulaştıktan sonra, laminer rejimde yerçekimi etkisiyle aşağıya doğru akmaktadır. Borunun
cidarlarında bir film tabakası oluşturan yoğuşmuş madde, borunun cidar kalınlığı ile birlikte ısıl direnç
oluşturmaktadır. Yoğuşma ısı transferinde araştırılan husus, sıvı film ısı direncidir. Isı transferinin analizi için
sıvı tabaka içerisindeki sıcaklık dağılımının ve sıvı tabaka kalınlığının belirlenmesi gerekir. Sıvı tabaka hareket
halinde olduğu için, kalınlığının belirlenmesi yoğuşan miktarı ile akan miktarın dengelenmesi gerekir.
&o = m
&c + m
&i
m
(1)
&c elemanın
&i kütle balansı için seçilen 1 m derinliğindeki elemana girer kütleyi, m
m
&o ise elemandan çıkan kütleyi göstermektedir. m
&o yerine,
serbest yüzeyinde yoğuşan madde miktarını, m
Eşitlik 1 de birim zamanda
&
dm
&o = m
&i + 
m
 ∆x
 dx  i
(2)
yazılabilir. Buna göre 1 nolu denklemdeki kütle balansı;
&
dm
&c
∆x = m
dx
(3)
&c , (1.∆x) genişliğindeki yüzeyde birim zamanda meydana gelen yoğuşma
şeklini alır. 3 nolu eşitlikte bulunan m
miktarı olup;
&c = m" ∆x =
m
şeklinde ifade edilir. 2 nolu eşitlikte bulunan
q&
∆x
h fg
&yoğuşmuş maddenin akış hızı cinsinden
m
2
(4)
Yatay Boru Üzerinde Laminer Film Yoğuşmasının Nümerik Analizi
Y
x
X mi
mc
g
x+∆x
Ts
mo
Tw
ro
v
u
δ
Şekil 1 Fiziki model ve koordinat sistemi
δ
& = ∫ ρ udy
m
(5)
0
şeklinde ifade edilir. 2, 3 ve 4 nolu eşitlikler birlikte değerlendirilirse, sıvı film kalınlığını belirleyen eşitlik,
δ

d 
q&
∆x
( 6)
 ∫ ρ udy  ∆x =
dx  0
h
fg

olarak belirlenir. Son eşitlikte bulunan q&yoğuşan maddenin sıvı film serbest yüzeyinde bıraktığı ısı olup, bunun
bir kısmı akışkanın hareketinden dolayı, x yönünde taşınmaktadır. x yönünde taşınan ısı katı cidara geçen ısıya
kıyasla çok küçük olduğundan ihmal edilir. Katı cidara geçen ısı Fourier yasasına göre
 dT 

q&= k f 
 dy  y =0
(7)
eşitliği ile hesaplanabilir. 7 nolu eşitlik 6 nolu eşitlikte yerine konursa
y =δ
 k  dT 
d 
 ρ udy  = f 

dx  y =o
 h fg  dy  y =0


(8)
y
δ
(9)
∫
olur.
η=
3
Kemal ALDAŞ ve Kemal ALTINIŞIK
Şekil 2 Dönüştürülmüş koordinat sistemi
şeklinde bir koordinat tanımlarsak integralin y=o sınırına karşılık η=0 , y=δ sınır şartına
karşılık η=1 olur. Buna karşılık denklem 8 ise,
1
 k 1  dT 

 ∫ (ρ uδ )dη = f 
 0
 h fg δ  dη  η=0
d
dx
(10)
olur. İntegral sınırları x’ den bağımsız olduğu için d/dx operatörü integralin önüne geçebilir.
1
k f 1  dT 


δ  dη  η= 0
d
∫ dx (ρ uδ )dη = h fg
0
(11)
Sonuç olarak,
1
δ2
∫
0
1
k  dT 
dδ
∂u

dη + δ
udη − f 
∂x
dx 0
ρh fg  dη  η= 0
∫
(12)
 dT 


ın belirlenmesi için sıvı film içindeki sıcaklık dağılımının
 dη η =0
belirlenmesi gerekir. Bunun için termal sınır tabaka denklemi
elde edilir. Son eşitlikte bulunan
u
∂T
∂T
∂ 2T
+v
=α 2
∂x
∂y
∂y
(13)
kullanılabilir. Hem son eşitlik hem de 12 nolu eşitlik sıvı tabaka içindeki akış hızının belirlenmesini
gerektirmektedir. Sıvı tabaka içindeki akış hızının belirlenmesi için hidrodinamik sınır tabaka denklemleri
u
x
∂u
∂u
∂ 2u
+v
= ν 2 + g sin
∂x
∂y
∂y
 ro




(14)
∂u ∂v
+
=0
(15)
∂x ∂y
kullanılabilir. Eşitlik 12,13,14 ve 15 eş zamanlı çözülmesi gereken bir denklem takımı olup sınır şartları
aşağıdaki gibi olacaktır.
4
Yatay Boru Üzerinde Laminer Film Yoğuşmasının Nümerik Analizi
x=0 ,
dδ
∂T
= 0,
= 0 , u=0
dx
∂x
y=0 ,
T=Tw ,
u=0 ,
y=δ ,
T=Ts ,
∂u
=0
∂y
(16)
v=0
(17)
(18)
Denklem 13,14 ve 15 in çözüm bölgesi sıvı filminin içerisidir. Fakat sıvı film kalınlığı x ile değiştiği için çözüm
bölgesi
düzgün değildir. Bu
η=
sebeple 13,14 ve 15 eşitliklerinde
y
koordinatı kullanılarak çözüm
δ
bölgesinin Şekil 2 deki gibi normalleştirilmesi gerekir. Yoğuşmayı yöneten denklemler
u
u
∂T
v ∂T
α ∂ 2T
+
=
∂x
δ ∂η
δ 2 ∂η 2
(19)
∂u
v ∂u
ν ∂ 2u
+
= 2
+ g sin
∂x
δ ∂y
δ ∂η 2
 x 


r 
 0 
∂u 1 ∂v
+
=0
∂x δ ∂η
(20)
(21)
şeklini alır. Eşitlik 13, 14, ve 15 in sınır şartlarını yeniden düzenlersek
η=0 ,
x=0 ,
dδ
∂T
= 0,
= 0, u=0
dx
∂x
T=Tw,
u=0,
η=1 ,
v=0
∂u
=0
∂η
T=Ts
(22)
(23)
(24)
olur. Denklemlerin sonlu farklar şekli ekte verilmiştir. Nusselt sayısı ise aşağıdaki denklem ile hesaplanmıştır.
Nu =
 dT 

 D
 dy  y = 0
(Ts − T∞ )
=
 dT 
D


dη

 η=0 δ
(Ts − T∞ )
(25)
3. BULGULAR VE TARTIŞMA
Şekil 3’de ∆T=10 °C için belirlenen hız dağılımının, muhtelif açılardaki profili görülmektedir. x=0 civarında
serbest yüzeydeki akış hızı yeterince küçükken x’in ileri değerlerinde, serbest yüzeydeki akışın hızlandığı
görülmektedir, Burada; yoğuşma olayının analizinde momentum denklemlerinde bulunan atalet terimlerinin
özellikle özgül ağırlığı fazla olan akışkanlarda önem kazandığı görülmektedir, Momentum denklemlerinde
bulunan atalet terimleri ihmal edilirse, borunun alt tarafında bulunan sıvı tabakanın kalınlığı olması
gerektiğinden daha hızlı büyüyecektir. Gerçekte ise, borunun üst yüzeyinde kazandığı hızla, borudan daha
yüksek bir hızla ayrılacak ve δ kalınlığı aşırı büyümeyecektir.
5
Kemal ALDAŞ ve Kemal ALTINIŞIK
Şekil 3 ∆T=10°C için değişik açılarda Eta-Hız profilleri
Şekil 4’de ∆T=10 °C için çeşitli açılarda belirlenen η istikametindeki sıcaklık profilleri birbirleriyle
kıyaslanmaktadır. Profiller birbiri üzerine bindiği için değişik açı değerlerinde sıcaklık profilleri fazla
değişmemektedir. Sıcaklık profillerinin lineer olması ve birbirine denk olması, akış istikametlerinde akışkanın
hareketlerinden doğan enerji taşınmasının önemsiz olduğunu göstermektedir. Bu sebeple su buharının yoğuşma
ısı transferi analizinde Nusselt hipotezinde yapılan lineer sıcaklık dağılımı kabulü kusursuz olmaktadır. ∆T=40
°C için yapılan incelemede aynı gidişatı göstermektedir.
1
5
Eta
0.8
45
0.6
90
0.4
120
0.2
160
0
25
30
35
40
Sıc aklık (T s -T w )
Şekil 4 Değişik açılarda Eta boyunca sıcaklık dağılımı
Şekil 5’de Nusselt sayısının boru çevresindeki dağılımı muhtelif ∆T için verilmiştir. ∆T küçüldükçe Nusselt
sayısı büyümektedir. Nusselt sayısının maksimum değeri borunun en üst noktasında görülmektedir. En üst
noktasından uzaklaştıkça δ büyüdüğü için, ısıya karşı bir direnç oluşmaktadır ve Nu sayısı azalmaktadır.
6
Yatay Boru Üzerinde Laminer Film Yoğuşmasının Nümerik Analizi
6 00
Nusselt sayısı (Nu)
5 00
2 c
5 c
10 c
20 c
40 c
4 00
3 00
2 00
1 00
0
0
30
60
90
12 0
150
18 0
A çı p ozis yo nu (d ere c e)
Şekil 5 Farklı ∆T’ler için Nusselt sayısı-Açı pozisyonu dağılımı
Borunun en alt noktasında Nu sayısı hesaplanamamakla birlikte sıfır olacağı görülmektedir. ∆T artarken q&‘da
arttığı için yoğuşan madde miktarı da artmakta, neticede borunun tepe noktasında δ, ∆T’ye bağlı olarak daha
büyük değer almaktadır. Bu da Nu sayısının küçülmesine sebep olmaktadır.
Yoğuşma ısı transferi olayında, ∆T’yi büyük tutarak daha fazla ısı transferi gerçekleştirmek mümkün
olmamaktadır. Bir optimizasyonla ∆T’yi arttırmanın nereye kadar faydalı olacağının incelenmesi gerekmektedir.
Yoğuşma kalınlığı (*E-5) (mm)
20
18
16
14
2c
12
5c
10
8
10 c
6
40 c
20 c
4
2
0
0
30
60
90
120
150
180
Açı pozisyonu (derece)
Şekil 6 Farklı ∆T’ler için Yoğuşma kalınlığı(δ)-Açı pozisyonu(φ) dağılımı
Şekil 6’da sıvı tabakanın kalınlığının boru çevresindeki dağılımı, muhtelif ∆T için verilmektedir. δ nın
minimum değeri boru tepe noktasında görülmektedir. 90° civarında δ’nın küçülmesi beklenebilir. Çünkü 90°
civarında akışkanı hareket ettiren kuvvet maksimumdur. Fakat su buharı için yapılan analiz δ ‘nın sürekli
arttığını göstermektedir. ∆T büyük olduğu zaman δ da bağıl olarak büyük olmaktadır ve q&’nun istenildiği gibi
büyük
7
Kemal ALDAŞ ve Kemal ALTINIŞIK
Yoğuşma kalınlığı(*E-5)(mm)
30
25
20
Mevcut Nu sayısı
15
Nusselt hip.
10
5
0
0
30
60
90
120
150
180
Açı pozisyonu(derece)
Şekil 7 ∆T=10°C için muhtelif açı değerlerinde Nusselt hipotezi ile mevcut Nu
elde edilen yoğuşma kalınlığının karşılaştırılması.
sayısından
olmasını önlemektedir. Borunun alt yüzeyinde en alt noktaya doğru yaklaşan δ sonsuza doğru gitmekte ve 172°
nın daha ilerisindeki girid çizgilerinde, çözümleme işlemine devam edilebilmesi için 1/200 den daha küçük dη
kullanmayı gerektirmektedir.
Şekil 7’de ∆T=10 °C için Nusselt hipotezi ve mevcut modelden çıkan δ kıyaslanmaktadır. Yegane fark 90°
den sonra Nusselt modelinde δ’nın daha hızlı büyümesidir. Bu atalet terimlerinin ihmalinden kaynaklanan bir
farktır.
4. SONUÇ
1.
2.
3.
4.
Su buharının yoğuşması olayında sıvı tabaka içerisindeki sıcaklık dağılımı lineer ve enerjinin
konveksiyonla akışkan tarafından taşınımı önemsizdir.
Atalet terimlerinin 90° den sonra az miktarda fark oluşturduğu görülmektedir.
Yoğuşma olayında ∆T yı yeterince büyük tutarak ısı akısını yükseltmek mümkün değildir.
Elde edilen sonuçlar Nusselt hipotezinden elde edilen sonuçlara çok yakındır.
SEMBOLLER
Cp
D
g
hfg
k
Nu
&
m
T
Pr
q&
Sabit basınçta özgül ısı (J/kgK)
Boru çapı (m)
Yerçekim ivmesi (m/s2)
Buharlaşma entalpisi (J/kg)
Isı iletim katsayısı(W/mK)
Nusselt sayısı D(dT/dy)w/(Ts-Tw)
Kütle debisi (kg/s)
Sıcaklık (°C)
Prandtl sayısı (µCp/k)
Isı akısı (W/m2)
ro
u
v
α
δ
η
µ
ν
ρ
8
Boru yarı çapı (m)
x doğrultudaki hız (m/s)
y doğrultudaki hız (m/s)
Isıl yayılım (m2/s)
Film kalınlığı (m)
Boyutsuz koordinat(y/δ)(Eta)
Dinamik viskozite (kg/m s)
Kinematik viskozite (m2/s)
Yoğunluk (kg/m3)
Yatay Boru Üzerinde Laminer Film Yoğuşmasının Nümerik Analizi
KAYNAKLAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Nusselt, W. ( 1916.) ”Die Oberflachen-Kondensation des Wasserdampfes”,VDI Z.,vol.60, pp. 541-546
and 569-575.
Sparrow, E.M.,and Gregg, J.L. ( 1959) ”A Boundry-Layer Treatment of Laminar-Film Condensation“,
J.of Heat Transfer, 81C,13-18.
Koh, C.Y.,Sparrow,E.M.,and Harnett, J.P.(1961) ”The Two Phase Boundary Layer in Laminar Film
Condensation”,Int. J.Heat Mass Transfer 2, 69-82.
Sparrow, E.M.,and Eckert (1961) ”Effects of Superheated Vapor and Noncondensable Gases on
Laminar Film Condensation”,AIChE Journal, vol.7,pp.473-477.
Sparrow, E.M., and Lin, S.H.(1964) ”Condensation Heat Transfer in the Presence of a Noncondensable
gas”,Transaction of the ASME,pp.430-436.
Shekriladze, I.G. and Gomelauri, V.I.(1966) ”Theortical Stady of Laminer Film Condensation of
Flowing Vapour”, Int. J. Heat Mass Transfer vol.9, 581-591.
Fujii, T. and Uehara, H.(1972) “Laminar Filwise Condensation on a Vertical Surface”, Int. J. Heat
Mass Transfer.,vol.15,pp.217-233.
Gaddis, E. S.(1979) “Solution of the Two Phase Boundary-Layer Equations for Laminar Film
Condensation of Vapour Flowing Perpendicular to a Horizontal Cylinder”,Internationl Jornal of Heat
Mass Transfer ,vol.22,pp.371-382.
Karabulut, H. ve Ataer, Ö.E.(1996) ”Numerical Analysis of Laminar Film-Wise Condensation”,Int J.
Refri. Vol.19, No. 2, pp. 117-123.
Srzic,V.,Soliman, M. and Ormiston, S.J.(1999) ”Analysis of laminar mxed-convection condensation on
isothermal plates using the full boundary –layer equation mixtures of a vapor and a lighter gas”, Int, J.
Heat and Mass Transfer,vol.42 pp.685-695.
Curtıs F, Gerald,”Appliied Numerical Analysis”, Addison-Wesley Publishing Company , Londen
EKLER
Kullanılmakta olan non-lineer denklemler için y istikametinde zorunlu olarak bir iteratif çözümleme işlemi
uygulanmıştır. Sonlu fark eşitlikleri, sayısal yöntem, ve sayısal çözümleme işlemlerinde Over Relaxation[11]
metodu kullanılmıştır. Eşitliklerin sonlu fark eşitlikleri aşağıda verilmiştir.
Momentum Denklemi:
u
x
∂u v ∂u
ν ∂ 2u
+
= 2
+ g sin
2
∂x δ ∂η δ ∂η
 r0




 u
v
2ν  u
v
ν
RESU = U i, j 
−
+ 2 2 −
U i −1, j +
U i, j+1 − 2
∆
x
∆η
δ
∆
x
∆ηδ
δ ∆η 
δ ∆η

U i, j = U i, j −
RESU
 u
v
2ν 
−
+ 2 2

 ∆x ∆ηδ δ ∆η 
Süreklilik Denklemi:
∂u 1 ∂v
+
=0
∂x δ ∂η
9
[U i, j+1 + U i, j−1 ]− g sin rx
=0
0
(26)
Kemal ALDAŞ ve Kemal ALTINIŞIK
1
1
U i, j − U i, j−1 +
Vi, j − Vi, j−1 = 0
∆x
∆δ η
[
RESV =
]
[
]
Vi, j = Vi, j − δ∆η[RESV ]
(27)
Enerji Denklemi:
u
REST =
∂T v ∂T
∂ 2T
+
−α
=0
∂x δ ∂η
∂η 2
u
v
[Ti, j − Ti, j − 1] − 2 α 2 Ti, j−1 − 2Ti, j + Ti, j−1 = 0
Ti, j − Ti −1, j +
∆x
δ∆η
δ ∆η
[
]
Ti, j = Ti, j −
[
]
REST
 u
v
2α 
+
+ 2 2

 ∆x δ∆η δ ∆η 
(28)
1
1

k f  dT 
 δ 2 (n −1) udη + 2∆x


ρ

f h fg  dη  η = 0
0
=
1
1

∂u
ud
η
+
2
∆
x
dη

∂x

0
0
∫
δ2
∫
∫
2






(29)
olmaktadır.
Çözümleme işlemi x=0 da bulunan birinci grid çizgisinden başlayıp x istikametinde çizgi çizgi devam
ettirilmiştir. İlk çizgi u=0 olarak belirlenmektedir. Bu çizgi üzerinde T ve δ bilinmemektedir. Bu sebeple δ ve
T’nın bir tahmini yapılarak ikinci grid çizgisi üzerindeki u, v,T ve δ belirlenebilir. Son belirlenen u,ve T
dağılımı 29 nolu eşitlikte kullanılarak δ hesaplanır. Bu hesaplama δ’nın hesabına başlarken kullandığımız atma
değerden daha doğrudur. Belirtilen δ kullanılarak u, ve T ikinci grid çizgisi üzerinde yeniden belirlenir. Verilen
sınır şartının gereği olarak 1. ve 2. Girid çizgisi üzerindeki T dağılımı birbirinin aynısı olacaktır. Bu şekilde δ
hesabı birkaç kez tekrarlandıktan sonra, aynı işlemler üçüncü ve müteakip girid çizgilerine uygulanarak hesaba
devam edilir.
10
Download

Yatay Boru Üzerinde Laminer Film Yoğuşmasının Nümerik Analizi