Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
1 / 27
Do˘grusal Olmayan Sistemlere Do˘gru
Uzay C
¸ etin
¨
Bo˘
gazi¸ci - I¸sık Universitesi
Python ve R ile Bilimsel Hesaplama Kursu
Mustafa G¨
ok¸ce Baydo˘
gan, Uzay C
¸ etin, Berk Orbay
2S
¸ ubat 2015
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
2 / 27
˙I¸cerik
Karma¸sık Sistemler
Karma¸sıklı˘gın Ardındaki Sadelik
Do˘
grusal Sistemler
Bakteri C
¸ o˘galma Problemi
Faiz Artı¸s Problemi
Do˘
grusal Olmayan Sistemler
Kaos
Kaynaklar
Karınca Kolonisi
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
R programlama ile ilgili i¸cerik
Bu sunumda Karma¸sık Sistemler ile ilgili giri¸s seviyesinde bilgiler
edinirken, R programlama ile ilgili olarak a¸sa˘
gıdaki konuları tekrar
etmi¸s olaca˘gız.
R programlama
I
Vekt¨or i¸slemleri
I
D¨ong¨
uler
I
Grafik ¸cizme
I
Fonksiyonlar
I
script yazma
3 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Karma¸sık Sistemler
Karma¸sık Sistemler
I
Merkezi bir otorite olmadan, nispeten basit kuralları takip eden
birbiriyle ba˘glantılı ¸cok sayıdaki bireyin (alt sistem), yo˘gun
etkile¸sim ve geribildirimler altında, olu¸sturdu˘
gu sistemlerdir.
I
Sistem, kendisini olu¸sturan par¸calardan beklenmeyen, tahmin
edilmesi zor, yepyeni ¨
ozellikler ortaya ¸cıkarabilir.
4 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Karma¸sık Sistemler
Karma¸sık Sistemler
Do˘grusal sistemler
I
B¨
ut¨
un, par¸caların toplamıdır.
I
Par¸calara bakıldı˘gında, b¨
ut¨
un g¨
or¨
ulebilir.
Do˘grusal olmayan sistemler
I
B¨
ut¨
un, par¸caların toplamından farklıdır.
P
P
B¨
ut¨
un = par¸calar + par¸calar arası etkile¸sim
I
Sadece par¸calara bakmak, b¨
ut¨
un¨
u anlamaya yetmez.
I
5 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
6 / 27
Karma¸sık Sistemler
Karma¸sık Sistemler
Karma¸sık sistemler, kendi kendini ¨
org¨
utleyebilen ve de˘gi¸sen ¸sartlara
uyum g¨osterebilen organik sistemlerdir.
Merkezi bir planlayıcısı olmadan kendili˘ginden olu¸sabilen
sistemler
I
Ekonomi
I
Web
I
Beyin
I
Hayvan s¨
ur¨
uleri
I
Ba˘
gı¸sıklık Sistemi
I
Molek¨
uller
I
Sosyal Olaylar
I
Organlar
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Karma¸sık Sistemler
Karma¸sık Sistemler
Karma¸sık Sistemler disiplini, ekonomiden biyolojiye, sosyolojiden
politikaya, kimyadan fizi˘
ge, matematikten bilgisayar m¨
uhendisli˘gine
kadar her disipline b¨
ut¨
unc¨
ul bakı¸s a¸cısıyla yakla¸sır.
B¨ut¨unsel Bakı¸s
I
B¨
ut¨
un, par¸calardan beklenmeyen yeni ¨
ozellikler g¨osterebilir.
I
B¨
ut¨
un¨
un vizyonu ile par¸caların vizyonu birbirinden farklı
olabilir.
7 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Karma¸sık Sistemler
Schelling Ayrı¸sma Modeli
Her birey,
¸cevresinde bir
miktar kendisine
benzeyen kom¸susu
olsun istemektedir.
Sistem ırk¸cılık/
ayrı¸sma ile
sonu¸clanır.
8 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Karma¸sık Sistemler
Schelling Ayrı¸sma Modeli
Karma¸sık A˘g
I
˙Iki boyutlu ızgara tipi bir a˘
g
Etkile¸sim Kuralı
I
C
¸ evresinde yeterince kendisine benzeyen kom¸susu olmayan
birey rastgele bo¸s olan ba¸ska bir yere ge¸cer.
B¨ut¨un par¸ca ili¸skisi
I
Bireyler ırk¸cı olmamasına ra˘
gmen, sistem ırklar arası ayrı¸sma
ile sonu¸clanır.
9 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
10 / 27
Karma¸sık Sistemler
Yeni Bir T¨ur Bilimsel Metodoloji
wikipedia
”B¨
ut¨
un modeller yanlı¸stır, sadece bazıları i¸se yarar”
George Box
Ajan-temelli Modelleme ile Sim¨ulasyon
Model, d¨
unyanın basitle¸stirilmi¸s bir tasviridir. Model matematiksel
bir denklem ya da bir bilgisayar sim¨
ulasyonu olabilir.
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Sistemler
Biyolojide N¨ufus Artı¸sı
Biyolojide n¨
ufus artı¸sını ilgilendiren basit bir model d¨
u¸su
¨nelim.
Buna g¨ore her bir zaman diliminde, bakteri sayısının iki katına
ula¸stı˘gını varsayalım. Ba¸slangı¸cta bakteri sayısı 1 olsun,
I
Bu durumda bakteri n¨
ufusu 1 → 2 → 4 → 8 → . . . ¸seklinde
artı¸s g¨osterecektir.
I
Bu do˘grusal bir sistemdir. Peki do˘
grusallık nerede?
11 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
12 / 27
Do˘
grusal Sistemler
Bakteri C
¸ o˘
galma Problemi
Bakteri C
¸ o˘galma Problemi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
####################################################
# Dogrusal sistem
####################################################
t <− 1
N <− v e c t o r ( )
# Nufus v e k t o r u
N [ 1 ] <− 1
# B a s l a n g i c durumunda
nufus
N [ t +1]
t <− t
N [ t +1]
t <− t
N [ t +1]
t <− t
N [ t +1]
t <− t
N [ t +1]
t <− t
N [ t +1]
t <− t
<− 2∗N [ t ]
+ 1
<− 2∗N [ t ]
+ 1
<− 2∗N [ t ]
+ 1
<− 2∗N [ t ]
+ 1
<− 2∗N [ t ]
+ 1
<− 2∗N [ t ]
+ 1
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
Bir sonraki
zaman a r t i s i
Bir sonraki
zaman a r t i s i
Bir sonraki
zaman a r t i s i
Bir sonraki
zaman a r t i s i
Bir sonraki
zaman a r t i s i
Bir sonraki
zaman a r t i s i
nufus
nufus
nufus
nufus
nufus
nufus
p l o t ( 1 : t , N, t y p e=”b” , x l a b=”Zaman” , y l a b=” N u f u s ” ,
main=” B a k t e r i Cogalma g r a f i g i ” )
Kod 1: dogrusal1.R
Peki do˘grusallık nerede?
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
13 / 27
Do˘
grusal Sistemler
Bakteri C
¸ o˘
galma Problemi
Bakteri C
¸ o˘galma Problemi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
####################################################
# Dogrusal sistem
####################################################
N <− v e c t o r ( )
# Nufus v e k t o r u
N [ 1 ] <− 1
# B a s l a n g i c durumunda
nufus
for ( t in 1:10) {
N [ t +1] <− 2∗N [ t ]
}
zaman <− l e n g t h (N)
u
¨stsel artı¸s
# Son zaman d i l i m i
# N u f u s zaman e g r i s i
p l o t ( 1 : zaman , N, t y p e=”b” , x l a b=”Zaman” , y l a b=” N u f u s ” ,
main=” B a k t e r i Cogalma g r a f i g i ” )
14
15 # S o n r a k i Nufus , s u a n k i n u f u s i l i s k i s i
16 S <− c (N [ 2 : zaman ] , 2 ∗N [ zaman ] )
17 p l o t (N, S , t y p e=”b” , x l a b=”Su A n k i N u f u s ” , y l a b=” B i r
S o n r a k i N u f u s ” , main=” N u f u s D e g i s i m Dogrusu ” )
Kod 2: dogrusal.R
ve do˘grusallık
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Sistemler
Bakteri C
¸ o˘
galma Problemi
N¨
ufustaki de˘gi¸sim, ¸su anki n¨
ufus kadar. N¨
ufus zaman e˘grisi ile
g¨osterilen, bakteri c¸o˘galma e˘
grisine bakacak olursak, bakteri
n¨
ufusu zaman g¨ore u
¨stsel artı¸s g¨
osteriyor.
Do˘grusal ili¸ski
I
I
Fakat bir sonraki n¨
ufusun, ¸su anki n¨
ufusa g¨
ore de˘gi¸simini
inceleyen grafi˘ge bakarasak, y = 2x do˘
grusunu g¨or¨
ur¨
uz.
Do˘grusal ili¸skiyi anlamanın bir di˘
ger yolu da, sistemin par¸calar
toplamından olu¸sup olu¸smadı˘
gını kontrol etmektir.
I
iki ayrı kapta birer bakteri ile ba¸slasaydık ya da tek bir kapta 2
bakteri ile ba¸slasaydık sonu¸c aynı olur muydu?
14 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Sistemler
Bakteri C
¸ o˘
galma Problemi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
####################################################
# Dogrusal sistem
####################################################
KucukKap1 <− v e c t o r ( )
# Nufus v e k t o r u
KucukKap2 <− v e c t o r ( )
# Nufus v e k t o r u
BuyukKap <− v e c t o r ( )
# Nufus v e k t o r u
KucukKap1 [ 1 ] <− 1
KucukKap2 [ 1 ] <− 1
BuyukKap [ 1 ] <− 2
# Baslangicta nufus
# Baslangicta nufus
# Baslangicta nufus
for ( t in 1:10) {
KucukKap1 [ t +1] <− 2∗KucukKap1 [ t ] # N u f u s a t i s i
KucukKap2 [ t +1] <− 2∗KucukKap2 [ t ] # N u f u s a t i s i
BuyukKap [ t +1] <− 2∗BuyukKap [ t ]
# Nufus a t i s i
}
p r i n t ( ” KucukKap1 ” )
p r i n t ( KucukKap1 )
p r i n t ( ” KucukKap2 ” )
p r i n t ( KucukKap2 )
p r i n t ( ” BuyukKap ” )
p r i n t ( BuyukKap )
p r i n t ( ” BuyukKap == KucukKap1 + KucukKap2 ” )
p r i n t ( BuyukKap == KucukKap1 + KucukKap2 )
Kod 3: kaplar.R
15 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Sistemler
Bakteri C
¸ o˘
galma Problemi
Do˘grusallıktan kastedilen nedir?
I
Sistem par¸calara ayrılarak, ya da b¨
ut¨
un halinde incelendi˘ginde
aynı sonucu vermektedir.
˙Iki ayrı kapta birer bakteri olsun
I t zaman sonra her iki kapta da 2t kadar bakteri olacaktır.
I
I
1 → 1 × 2 = 2 → 2 × 2 = 4 → . . . → 2(t−1) = 2t
1 → 1 × 2 = 2 → 2 × 2 = 4 → . . . → 2(t−1) = 2t
I toplam bakteri sayısı 2(t+1)
Tek bir kapta 2 bakteri olsaydı, t zaman sonra gene 2(t+1) bakteri olacaktı
I 2 → 2 × 2 = 4 → 4 × 2 = 8 → . . . → 2t × 2 = 2(t+1)
16 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Sistemler
Faiz Artı¸s Problemi
Ekonomide Faiz Artı¸s Problemi
Her yıl m¨
u¸sterilerin yatırdı˘
gı anaparaya
y¨
uzde y¨
uz faiz veren c¨omert bir bankanın
var oldu˘gunu d¨
u¸su
¨nelim.
I
¨ gin yatırdı˘gınız 1 milyon TL, ertesi yıl 2 milyon TL ve
Orne˘
devam eden yıllarda 1 → 2 → 4 → 8 → . . . milyon TL olarak
artı¸s g¨osteriyor.
17 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Sistemler
Faiz Artı¸s Problemi
Disiplinler Arası Benzerlik
Biyolojiyi ilgilendiren bakteri ¸co˘
galma problemi ile, ekonomiyi
ilgilendiren faiz artı¸sı problemleri ne kadar birbirine benzer?
C
¸ ok fazla ¸seyi g¨oz ardı ettik.
I
Modelimiz ger¸ceklikten uzak, diyorsanız. Biyolojiye geri d¨on¨
up
modelimizi biraz daha ger¸cek¸ci hale getirelim.
18 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Olmayan Sistemler
Kısıtlı Kayna˘gın Oldu˘gu Durum
N¨
ufus hi¸c bir engelle kar¸sıla¸smadan s¨
urekli artabilir mi?
Ta¸sıma Kapasitesi K
I
Kısıtlı kaynak y¨
uz¨
unden bakteri sayısının ula¸sabilece˘gi bir
maksimum de˘ger olsun.
Sistem Durumu x(t) ∈ [0, 1]
I
Bakteri sayısının, ta¸sıma kapasitesine oranı, sistemin bize o
andaki durumunu veriyor olsun: x(t) = N(t)
K .
19 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
20 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemler
Lojistik Model
Bir sonraki n¨
ufus oranı x(t + 1)’in a¸sa˘
gıdakilerle orantılı olsun,
I
Do˘gum ¨ol¨
um artı¸s hızları arasındaki fark: R
I
S¸imdiki n¨
ufus oranı, x(t)
I
Ve kullanılmamı¸s ta¸sıma kapasitesi, 1 − x(t)
1 − x(t) bize kapalı bir ekosistemde (¨
or: g¨
ol) kalan kaynak (alan,
besin) bilgisini verir.
Lojistik Model
x(t + 1) = R × x(t) × [1 − x(t)]
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Olmayan Sistemler
Kaos’un Harika D¨unyasına Ho¸sgeldiniz
Evren saat gibi mi c¸alı¸sır?
I
Fransız matematik¸ci Pierre Simon Laplace, Newton fizi˘gine
g¨
uvenerek, evrendeki t¨
um par¸cacıkların hız ve konum bilgileri
verildi˘ginde, gelece˘
gin tahmin edilebilece˘
gini ileri s¨
urm¨
u¸st¨
u.
I
Kaos ¸cok kısa bir s¨
ure ¨
oncesine kadar bilim dı¸sı bir t¨
ur fantazi
olarak g¨or¨
ul¨
uyordu.
Lojistik Modeli R dili ile kodlayalım
Kaotik davranı¸s g¨osteren ve do˘
grusal olmayan en basit sistem.
21 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Olmayan Sistemler
Kaos
N¨ufus Artı¸s ve Zaman Serisi Fonksiyonları
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
# geometrik nufus a r t i s i
n u f u s a r t i s i <− f u n c t i o n ( r , x ) {
x <− r ∗ x
}
# fonksiyon icinde fonksiyon cagiriyoruz
zaman s e r i s i <− f u n c t i o n ( r , x , T) {
y <− v e c t o r ( )
y [ 1 ] <− x
f o r ( i i n 2 : T) { # zaman =2 ’ den devam
x <− n u f u s a r t i s i ( r , x )
y [ i ] <− x
}
return (y)
}
# 1 ’ den T ’ ya k a d a r h e r zaman d i l i m i n d e
# nufus r katina cikacak
Xt <− zaman s e r i s i ( r =3 , x = 0 . 1 , T=10)
p r i n t ( Xt )
22 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Olmayan Sistemler
Kaos
N¨ufus Artı¸s ve Zaman Serisi Fonksiyonları
Do˘grusal bir sistemde ba¸slangı¸c ko¸sullarındaki ufak bir sapma,
ilerleyen zamanda ihmal edilebilir.
1
2
3
4
5
6
# Baslangic degerinde f a r k l i l i k
T <− 15
Xt1 <− zaman s e r i s i ( r =2 , x = 1 . 0 , T)
Xt2 <− zaman s e r i s i ( r =2 , x = 1 . 0 0 0 0 0 1 , T)
p l o t ( 1 : T , Xt1 , t y p e=”b” , c o l=” d a r k r e d ” , x l a b
=” zaman ” , y l a b=” y1 v e y2 ” )
7 p o i n t s ( 1 : T , Xt2 , t y p e=”b” , c o l=” b l a c k ” , pch =22 ,
c e x= 1 . 5 , x l a b=” ” , y l a b=” ” )
8
9 l e g e n d ( ” t o p l e f t ” , c ( ” y1 ” , ” y2 ” ) ,
10
c o l=c ( ” d a r k r e d ” , ” b l a c k ” ) , pch = 2 1 : 2 2 ,
l t y =1:2) ;
23 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
24 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemler
Kaos
Logistic Fonksiyonu ve Kaos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
zaman s e r i s i <− f u n c t i o n ( r , x , T) {
y <− v e c t o r ( )
y [ 1 ] <− x
f o r ( i i n 2 : T) {
x <− r ∗x∗(1−x )
# L o j i s t i k Fonksiyonu
y [ i ] <− x
}
return (y)
}
r =4 # p a r a m e t r e : k a o s ( r =4) v e y a d u z e n
x1 =0.2 # I l k k o s u l a b a g l i l i k
x2 =0.200001 # I l k k o s u l a b a g l i l i k
T=30 # i t e r a s y o n s a y i s i
S
¸ ekil: r = 3 i¸cin 2 periyot
y1 = zaman s e r i s i ( r , x1 , T)
y2 = zaman s e r i s i ( r , x2 , T)
p l o t ( 1 : T , y1 , t y p e=”b” , c o l=” d a r k r e d ” , x l a b=” zaman ” ,
y l a b=” y1 v e y2 ” )
19 p o i n t s ( 1 : T , y2 , t y p e=”b” , c o l=” b l a c k ” , pch =22 , c e x=
1 . 5 , x l a b=” ” , y l a b=” ” )
S
¸ ekil: r = 4 i¸cin Kaos
Not: r = 4 i¸cin Logistic Fonksiyonu random sayı u
¨retmek i¸cin
kullanılabilir. “if(y[i]<0.5) yazı else tura”
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Do˘
grusal Olmayan Sistemler
Kaos
Ba¸slangı¸c S¸artlarına Hassas Ba˘glılık
˙Istatistik¸ciler i¸cin k¨ot¨u haber
I
Ba¸slangı¸c ko¸sullarının ondalık de˘
gerini kusursuz olarak bilme
ihtimalimiz olmadı˘
gı i¸cin kusursuz tahmin imkanına sahip
de˘giliz.
I
Uzun s¨
ureli tahminde bulunmak m¨
umk¨
un de˘
gil.
25 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Kaynaklar
Kaynaklar
Online A¸cık ders
I
Model Thinking, by Scott E. Page
I
R Dilinin temellerini interaktif bi¸cimde ¨
o˘
greten bir web sayfası:
tryr.codeschool.com
Kitaplar
I
Complexity: A Guided Tour, by Melanie Mitchell, Oxford,
2011.
26 / 27
Do˘
grusal Olmayan Sistemlere Do˘
gru
Kaynaklar
˙Ileti¸sim
Te¸sekk¨urler
I
E-mail: [email protected]
I
Twitter : @uzay00
Bo˘gazi¸ci R Kullanıcı Grubu
I
I
http://www.rbosphorus.org
27 / 27
Download

Doğrusal Olmayan Sistemlere Doğru