T.C
GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK
BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ
SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
Hazırlayan: Emel ÇETİNKAYA
Danışman: Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU
2007-TOKAT
GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
NÜKLEER KABUK MODEL KULLANILARAK BAZI HAFİF
ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI
Emel ÇETİNKAYA
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
Bu tez…./…/…… tarihinde aşağıda belirtilen jüri tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile kabul
edilmiştir.
Ünvanı, Adı ve Soyadı
İmza
Başkan : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU
Üye
: Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU
Üye
: Doç. Dr. Muzaffer CAN
ONAY :
Bu tez, … / … / 2007 tarih ve …. sayılı Enstitü Yönetim Kurulu tarafından belirlenen jüri
üyelerince kabul edilmiştir.
… / … /2007
Prof. Dr. Metin YILDIRIM
i
ÖZET
NÜKLEER KABUK MODELİ KULLANILARAK
BAZI HAFİF ÇEKİRDEKLERİN ENERJİ SEVİYELERİNİN HESAPLANMASI
Emel ÇETİNKAYA
Gaziosmanpaşa Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Yüksek Lisans Tezi
2007, 80 sayfa
Danışman : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU
Jüri : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU
Jüri : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU
Jüri : Doç. Dr. Muzaffer CAN
Bu çalışmada çekirdeğin Kabuk modeli kullanılarak çekirdeklerin enerji seviyelerinin
enerjisi için oluşturulan formüller yeni yöntemle hesaplanmıştır. Bu formüller kullanılarak
30
bazı hafif çekirdeklerin ( 14
Si16 ,
24
12
Mg 12 ,
22
10
Ne12 ,
32
16
S16 ) enerji seviyelerinin enerjileri, saf
ve karışık durumlar için hesaplanmıştır. Enerji seviyelerinin incelenmesinde kullanılan
modelden elde edilen sonuçlar literatürdeki benzer çalışmaların teorik ve deneysel
sonuçları ile karşılaştırılmıştır ve uyum içinde olduğu görülmüştür. Hesaplamalardan
görülmüştür ki genel olarak hafif çekirdeklerin enerji seviyelerinin incelenmesinde
konfigürasyon karışımı dikkate alınırsa alınan sonuçlar daha hassas olur.
Anahtar Kelimeler: Çekirdeklerin enerji seviyeleri, Kabuk modeli, Clebsh-Gordan
katsayıları, Konfigürasyon karışımı
ii
ABSTRACT
CALCULATION OF THE ENERGY LEVELS OF SOME LİGHT NUCLEİ
BY USİNG SHELL MODEL
Emel ÇETİNKAYA
Gaziosmanpaşa University Graduate School of Natural and Applied Science
Department of Physics Science
Masters Thesis
2007, 80 pages
Supervisor : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU
Jury : Prof. Dr. İskender ASKEROĞLU
Jury : Prof. Dr. Bahtiyar MEHMETOĞLU
Jury : Assoc. Prof. Dr. Muzaffer CAN
In this study the formulas which are established by using the nuclear Shell model for
energy levels of nucleus have been investigated from a new method. By using these
30
formulas the energy levels of some light nuclei ( 14
Si16 ,
24
12
Mg 12 ,
22
10
Ne12 ,
32
16
S16 ) have been
calculated for pure and mixed states. The results obtained from the model which is used to
investigate the energy levels have been compared to the theoretical and experimental data
from literature and it has seen been seen that the obtained results are in good agreement
with those data. From calculations it has been seen that
if we take account the
configuration mixing in investigation of energy levels of light nucleus obtained results are
more accurate.
Keywords: Energy levels, Shell model, Clebsh-Gordan coefficients, Configuration mixing
iii
TEŞEKKÜR
Yüksek lisans çalışmalarım boyunca engin bilgi ve tecrübeleriyle yanımda olan,
hoşgörü ve desteğini hiçbir zaman esirgemeyen saygıdeğer danışman hocam Prof. Dr.
Bahtiyar MEHMETOĞLU’na sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Tez dönemi boyunca büyük bir sabır ve iyi niyetle bana yardımcı olan çok değerli
arkadaşım Araş. Gör. Erhan ESER’e destek ve dostluğundan dolayı çok teşekkür ederim.
Ayrıca yardımlarından dolayı arkadaşlarım Araş. Gör. Savaş SÖNMEZOĞLU,
Araş. Gör. Songül FİAT ve Hüseyin KOÇ ‘a teşekkür ederim.
Hayatım boyunca gösterdikleri maddi-manevi destek ve sabırlarından dolayı
değerli aileme en içten teşekkürlerimi sunarım.
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET…………………………………………………………………………………… i
ABSTRACT……………………………………………………………………………. ii
TEŞEKKÜR…………………………………………………………………………… iii
İÇİNDEKİLER…………………………………………………………………………iv
ŞEKİLLER LİSTESİ………………………………………………………………….. v
TABLOLAR LİSTESİ………..………………………………………………………. vi
1.GİRİŞ…………………………………………………………………………………. 1
2.LİTERATÜR ÖZETLERİ………………………………………………………….. 3
2.1.Nükleer Enerji Seviyeleri………………………………………………… 3
2.2.Shell (Kabuk) Modeli……………………………………………………… 4
2.3.Pertürbasyon Teori………………………………………………………… 9
2.4. Bağlanma ve Uyarılma Enerjileri…………………………………………13
2.5. Konfigürasyon Karışımı Durumları……………………………………...19
2.6. Konfigürasyon Karışımı Uygulamarı…………………………………..…24
3.HESAPLAMALAR………………………………………………………………….. 30
3.1.
30
14
3.2.
3.3.
3.4.
Si16 Çekirdeği için Enerji Hesabı……………………………………….. 30
24
12
Mg 12 Çekirdeği için Enerji Hesabı…………………………………….. 43
22
10
32
16
Ne12 Çekirdeği için Enerji Hesabı…………………………………….. 54
S16 Çekirdeği için Enerji Hesabı……………………………………….. 64
4.SONUÇ ve TARTIŞMA……………………………………………………………… 76
KAYNAKLAR………………………………………………………………………….. 77
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………………………... 80
v
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil
2.1.
12
Sayfa
C çekirdeğinin uyarılmış durumlarının enerji seviye diyagramı …………………3
2.2 Kare kuyu potansiyeli ve Harmonik osilatör potansiyeli ………………………….. 6
2.3. Kabuk modeli potansiyeli ………………………………………………………….. 8
2.4. Kabuk modeli potansiyeli enerji düzeyleri ………………………………………… 9
3.1.
30
14
Si16 çekirdeğinin enerji seviyeleri diyagramı …………………………………….42
3.2.
26
Mg çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı ……………………53
3.3.
22
Ne çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı …………………….. 63
3.4.
32
S çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı ………………………. 75
vi
TABLOLAR LİSTESİ
Tablo
Sayfa
1.
30
Si ’un
28
2.
26
Mg ’un
24
Mg koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri ………………... 47
3.
22
Ne ’nin
20
Ne koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri ………………... 58
4.
32
16
Si16 ’un
30
16
Si14 koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri ……………….. 69
Si koruna göre düzenlenmiş enerji seviyeleri …………………… 35
1
1. GİRİŞ
İlk kez 1911 yılında Rutherford’un atom çekirdeğinin varlığını önermesiyle
başlayan çekirdek çalışmaları giderek artan bir önemle günümüze kadar devam etmektedir.
Bu konuda fiziğin pek çok dalında, çekirdeğin yapısını düzenleyen kurallar ve çekirdeğin
özelliklerinin belirlenmesi üzerine günümüze kadar pek çok çalışma yapılmıştır. Yapılan
bu çalışmalarda çekirdeklerin uyarılmış durumları, spini, yarıçapı, yarı ömrü, bozunma
modları, tesir kesitleri, vb. gibi özellikleri belirlenmeye çalışılmıştır.
Çekirdeklerin uyarılmış durumları yoğun olarak çalışılan bir konu olup, çekirdeğin
bu özelliğini tanımlamak ve çekirdeklerin enerji seviyelerini (uyarılmış durumlarını)
hesaplamak karışık matematiksel işlemler gerektirir. Nükleer bilimciler bunun yerine,
çekirdeği tanımlayan ve karışık matematiksel işlemleri ortadan kaldıran nükleer modeller
geliştirmişlerdir.
Herhangi bir çekirdek modeli tek başına çekirdeğin bütün özelliklerini açıklamakta
yeterli değildir. Sonuçta, her biri; bir takım kabullere dayanan ve sınırlı şekilde
kullanılabilen modeller ortaya çıkmıştır. Çekirdek yapısını ve çekirdeklerin özelliklerini
açıklayabilmek için ortaya çıkan çekirdek modellerinin temelinde potansiyeller için belirli
varsayımlar bulunduğundan modelin başarısı potansiyel seçiminin doğruluğuna bağlıdır.
Bu çekirdek modelleri, çekirdeklerin özelliklerinin anlaşılmasında, çekirdeklere ait
deneysel verilerin yorumlanmasında ve bağlanma enerjisinden sorumlu mekanizmaların
anlaşılmasında yararlı olmuştur ( Serway, 1995). Bu modellerin bazıları şunlardır (Dincel,
2001 );
1- Sıvı damla Modeli
2- Shell ( kabuk) Modeli
3- Fermi-gaz Modeli
4- Kollektif Model
5- Optik Model
2
6- Deformasyon Modeli
7- Doğrudan etkileşme Modeli.
Bu çalışmada; Kabuk modelini dikkate alarak, bazı hafif çekirdekler için enerji
seviyeleri, saf durum ve karışık durum dikkate alınarak ayrı ayrı hesaplanmıştır ve enerji
seviyelerinin hesaplanmasında kullanılan modelin ne kadar doğru bir yaklaşım olduğu
belirlenmiştir. Elde edilen teorik sonuçlar diğer araştırmacıların teorik ve deneysel
sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Alınan sonuçlardan genel olarak hafif çekirdeklerin enerji
seviyelerinin bulunmasında karışık durumlarının dikkate alınması gerekliliği ortaya
konulmuştur.
3
2. LİTERATÜR ÖZETİ
2.1. Nükleer Enerji Seviyeleri
Çekirdek atom gibi, özellikleri ve yeri kuantum mekaniği kuralları ile belirlenen
enerji seviyelerine sahiptir. Uyarılmış durumların yerleri her bir çekirdek için farklıdır, ve
uyarılma enerji, Ex , her bir çekirdeğin iç yapısına bağlıdır. Her bir uyarılmış durum,
durumların açısal momentum, parite ve izospin’ini tanımlayan kuantum sayıları ile
karakterize edilir. Örnek olarak, Şekil 1’de
12
C çekirdeğinin uyarılmış enerji seviyeleri
görülmektedir.
Jπ , T
E X ( MeV )
n (18.7)
p (16.0)
Şekil 2.1.
12
1+ ,1
15.1
1+ , 0
12.7
3− , 0
9.64
0+ , 0
7.65
2+ , 0
4.44
0+ , 0
0.0
C çekirdeğinin uyarılmış durumlarının enerji seviye diyagramı. Diyagramın
üstünde bir proton (p) ve nötron (n) için ayrılma enerjileri verilmektedir.
Açısal momentum kuantum sayısı, J, kesirli veya tamsayıdır. Bir nükleer enerji seviyesinin
paritesi, P, durumun nükleer yapısının nasıl göründüğünü açıklayan bir ifadedir. Eğer tüm
4
nükleonların koordinatları korunmuşsa, P= + mevcut durumun orijinali gibi olduğu, yani
değişmediği, P= - mevcut durumun orijinal durumdan farklı olduğu anlamına gelir. İzospin
kuantum sayısı, T, kesirli veya tam bir sayıdır. Şekil 1.de her bir uyarılmış durum için bu
kuantum sayıları J P , T şeklinde gösterilmektedir. Bu kuantum sayıları bir çekirdekteki
nükleonların bağlanma enerjisini etkileyen kuvvet kanunlarının temel simetrilerinin
sonuçlarıdır. Bu kuantum sayıları bir uyarılmış durumun aynı çekirdekte bir diğer duruma
nasıl bozunacağını (gamma bozunumu) veya farklı bir çekirdekte özel bir duruma nasıl
gireceğini belirler ( beta veya alfa bozunumu).
Enerji seviyelerini ve onların özelliklerini hesaplamak için bir çok nükleonlar arasındaki
etkileşmeleri çözümlemek karışık matematiksel işlemlerdir. Bu yüzden nükleer bilimciler
matematiksel işlemleri basitleştirmek ve çekirdeği tanımlamak için nükleer modeller
geliştirmişlerdir.
2.2. Shell (Kabuk) Modeli
Kabuk modeli, protonların ve nötronların sihirli sayıları ile birlikte çekirdeğin
kararlılığını ve tek-A’lı çekirdeklerin taban durum spin, parite ve dipol momentini büyük
bir başarı ile açıklamaktadır (Krane, 2001; Gedikoğlu, 1988). Kabuk modelinde,
çekirdeğin özelliklerinin belirlenmesinde çiftleşmiş nükleonların oluşturduğu kor’un etkisi
ihmal edilir. Bu modelde, tek A’lı bir çekirdeğin taban durum özellikleri, A-1 tane
nükleonun toplam spini sıfır olacak şekilde çiftleştikten sonra, kalan çiftlenmemiş tek
nükleonun kuantum sayıları tarafından belirlenir ve aşağıdaki iki temel varsayım üzerine
kurulmuştur:
1- Çekirdekte bulunan nükleonlar, bir V(r) potansiyelinde bağımsız olarak hareket
ederler. Bu potansiyel, bir nükleona diğer tüm nükleonlardan gelen ortalama etkiyi
gösterir ve sadece radyal uzaklığa bağlı olup, tüm çekirdekler için aynıdır.
5
2- Enerji seviyelerinin tümü, Pauli dışarlama prensibine göre nükleonlar tarafından
doldurulur.
A tane nükleon içeren çok nükleonlu bir sistemin Hamiltonyeni;
A
A
⎤
⎡ p2
⎤ ⎡1 A
H = ∑ ⎢ i + V (ri ) ⎥ + ⎢ ∑ U(rij ) − ∑ V (ri ) ⎥
i =1 ⎣ 2m i
i =1
⎦ ⎣ 2 i,j=1
⎦
(2.1)
A
⎡ p2
⎤
H 0 ≡ ∑ ⎢ i + V (ri ) ⎥
i =1 ⎣ 2m i
⎦
A
⎡1 A
⎤
H ' = V (rij ) ≡ ⎢ ∑ U(rij ) − ∑ V (ri ) ⎥
i =1
⎣ 2 i,j=1
⎦
(2.2)
Burada, p i2 / 2m i ve V(ri) sırasıyla, kinetik enerji ve i. numaralı nükleonun hareket ettiği
ortalama merkezsel potansiyeldir. Böyle bir sistemde nükleonlar Pauli dışarlama ilkesine
uyarlar. Buna göre dalga fonksiyonu nükleonların yer değiştirmelerine göre antisimetriktir.
(
)
(
ψ r1 , r2 = −ψ r 2 , r1
)
(2.3)
Buna göre A nükleonlu bir sistemin genel dalga fonksiyonu aşağıdaki gibi bir slater
determinantıyla ifade edilebilir.
ψ a (1)ψ b (1)ψ c (1).........ψ p (1)
ψ a (2)ψ b (2)ψ c (2).......ψ p (2)
1
ψ (1, 2,3,...., A ) =
……………………………
A!
……………………………
ψ a ( A)ψ b ( A)ψ c ( A).......ψ p ( A)
(2.4)
6
Burada ψ j ( i ) ’ ler i numaralı nükleonun j halini göstermektedir. Çekirdeğin Kabuk modeli,
verilen bir nükleonun diğer tüm nükleonlar tarafından biçimlenmiş etkili çekici bir
potansiyelde hareket ettiğini varsayar. Çekirdekteki potansiyeli aşağıdaki gibi sonsuz kare
kuyu potansiyeli olarak düşünürsek, bir nötron veya bir protonu ayırmak için onu kuyudan
dışarı çıkarmaya yetecek enerjiyi, sonsuz büyüklükte sağlamamız gerekir.
⎧−V0
V (r ) = ⎨
⎩ 0
, r < r0
, r ≥ r0
(2.5)
Sonsuz kuyu potansiyeli, Denklem (2.5) ve Şekil 2a’de görüldüğü gibi potansiyel
ortalama R yarıçapından sonra r’ye doğru düzenli olarak azalması gerekirken aniden
azaldığından dolayı nükleer potansiyel seçimi için iyi bir yaklaşım değildir. Potansiyel
enerjinin birden sıfır olması çok kararlı bir çekirdek olması demektir.
Şekil 2.2. a) Kare kuyu potansiyeli, b) Harmonik osilatör potansiyeli
7
Diğer taraftan Denklem (2.6) ’daki gibi harmonik salınıcı potansiyeli (Şekil 2b)
keskin bir şekle sahip değildir ve yine sonsuz ayrılma enerjisi gerektirir (Krane, 2001).
Başka bir şekilde izah etmek gerekirse; Kare kuyu potansiyeli ve Harmonik osilatör
potansiyeli ile tüm sihirli sayılar elde edilemediğinden dolayı, Kabuk modeli potansiyeli
için doğru bir potansiyel değildir. Doğru potansiyel tüm sihirli sayıları vermelidir. Bu
problemi ortadan kaldırmak için, Denklem( 2.7)’deki gibi, bu iki potansiyel arasında bir
şekle sahip olan Şekil 3’deki gibi bir potansiyel seçeriz (Krane, 2001).
1
V(r) = −V0 + m w 2 r 2
2
V (r ) =
−V0
1 + exp[(r − R) / a ]
(2.6)
(2.7)
Şekil 2.3. Kabuk modeli potansiyeli
R ve a parametreleri sırasıyla ortalama yarıçap ve yüzey kalınlığını verir.
R ≈ 1.25 A1/3 fm ve a=0.524 fm olarak seçilir. V0 kuyu derinliği uygun ayrılma enerjilerini
verecek şekilde ayarlanır ve 50 MeV mertebesindedir. Bu durumda elde edilen enerji
düzeyleri aşağıda Şekil 4’ de gösterilmiştir.
8
Şekil 4’de, solda, ara durum, Şekil 3’de verilen potansiyel ile hesaplanan enerji
düzeyleri gösterilmiştir. Her düzeyin sağında o düzeyin kapasitesi, üstünde de o düzeye
kadarki toplam nükleon sayısı gösterilmektedir. Kabukların sırasıyla 2(2 + 1) kadar
nükleon doldurmasıyla 2, 8 ve 20 sihirli sayılarını elde edebiliriz, ancak hesaplamalar daha
büyük sihirli sayıları vermemektedir. Şekil 4’ün sağında spin-yörünge etkileşmesinin etkisi
gösterilmiştir. Spin-yörünge etkileşmesi l>0’lı düzeylerin iki yeni düzeye ayrılmasına
neden olur. Burada Kabuk etkisi çok açıktır ve sihirli sayılar tam olarak elde edilmektedir.
9
Şekil 2.4. Solda Kabuk modeli potansiyeli enerji düzeyleri; sağda spin-yörünge
etkileşmeli Kabuk modeli potansiyeli enerji düzeyleri
2.3. Pertürbasyon Teori
Fenciler geliştirilen kuramların deneysel gözlemlerle uyumlu olmasını isterler. Bu
nedenle hesaplamalarda deneyler kadar sağlıklı olmalıdır. Fakat tam çözüm mümkün
değilse yaklaşık hesaplamadan başka yol yoktur. Buna göre yaklaşık hesaplama, uygulanan
deneysel yöntemden kötü değilse, tam çözüme gerek yoktur. Bu yöntemlerden biride
10
pertürbasyon yöntemidir. Bu yöntem, Schrödinger denklemini tam olarak çözebildiğimiz
bir problemde Hamiltonyene küçük bir katkı geldiği zaman uygulanır. (Karaoğlu, 2006)
Bu yüzden, nükleer taban durum ve uyarılmış durumların çeşitli özelliklerini
hesaplayabilmek için bu durumlara uygun dalga fonksiyonlarının bilinmesi ve dalga
fonksiyonların çok cisimli Shrodinger denkleminin çözülmesi gerekir. Bir sistemin
Shrodinger denklemi:
H φ ( r (1),...., r ( A) ) = Eφ ( r (1),...., r ( A) )
(2.8)
olup, Hamiltonyeni H :
A
H = ∑ T (k ) +
k =1
A
∑ W (k , l )
(2.9)
1= k < l
gibi verilir. Bu Hamiltonyen çekirdekteki tüm nükleon çiftlerinin kinetik enerji terimleri
T(k) ve nükleon-nükleon etkileşim terimleri W(k,l)’nin toplamından oluşur. Bu çok-cisim
probleminin kesin bir çözümü bulunmamaktadır. Yaklaşık bir çözüm olarak, tek-parçacık
potansiyeli U(k)’nın uygulanmasıyla, Shrodinger denklemi aşağıdaki gibi yeniden
yazılabilir;
A
A
⎧ A
⎫
H = ∑ {T (k ) + U (k )} + ⎨ ∑ W (k , l ) − ∑ U (k ) ⎬ = H (0) + H (1)
k =1
k =1
⎩1= k <l
⎭
(2.10)
Bu denklem herhangi bir U(k) potansiyel seçimi için elbette uygundur, fakat residual
etkileşimlerin etkisini mümkün olabildiğince azaltmak açısından pertürbasyon teoriyi
uygulamak avantajlı olacaktır.
11
H=
A
A
1= k <l
k =1
∑ W (k , l ) − ∑ U (k )
(2.11)
U için yaklaşım olarak genelde Harmonik osilatör potansiyeli veya Saxon-Woods
potansiyeli kullanılır. (Brown, 1984; 2001; Negele, 1970). φa ( r ) , tek parçacık durumları
olmak üzere Schrödinger denklemi
Tφa (r ) + U φa (r ) = eaφa (r )
(2.12)
olur. Burada ea özdeğeri, tek parçacık enerjisini ve a ise |nljm> tek parçacık durumlarını
gösterir. φa(0) ≡ φa1 ( r (1) ) ....φaA ( r ( A) ) tek parçacık fonksiyonları Shrodinger denklemini
sağlar,
H (0)φa(0) = Ea(0)φa(0)
(2.13)
Pertürbe olmayan Hamiltonyen;
A
H (0) ≡ ∑ (T (k ) + U (k ) )
(2.14)
k =1
ve pertürbe olmayan enerji;
A
Ea(0) = ∑ eak
(2.15)
k =1
gibi ifade edilir. Burada a bütün tek parçacık durumlarını temsil eder. Ürün fonksiyon
φa(0) ( r (1),...., r ( A) ) , çok parçacıklı dalga fonksiyonu olmasına rağmen Pauli dışarlama
prensibinden dolayı tam bir antisimetriklik gerektirir. Ea(
0)
enerjili ve A-parçacıklı
antisimetrik dalga foksiyonları, φa(0) ( r (1),...., r ( A) ) fonksiyonlarının yaklaşık lineer
kombinasyonlarının alınmasıyla oluşturulabilir. Bir nükleer durumu belirlemek için,
12
toplam açısal momentumu ve izospini iyi tanımlanmış bir dalga fonksiyonu oluşturmak
gerekir. Bu sebeple, tüm antisimetri ve iyi tanımlanmış toplam açısal momentum ve
izospin şartlarının sağlanması için, φa(0) ( r (1),...., r ( A) ) ürün fonksiyonlarının daha komplike
lineer kombinasyonları gerekir. Şu andan itibaren; φΓ(0) ( r (1),...., r ( A) ) ile gösterilen gerçek
dalga fonksiyonlarını kurmayı başardığımızı farzediyoruz, burada kuantum numaralarının
açıkça belirtilmesi gerektiğinden verilen durumlar bir Γ sembolüyle gösterilecek. Γ
sembolu toplam spin J ve izospin T’yi içerir.
Denklem (2.11) ile verilen H(1) residual etkileşmeler pertürbasyon olarak hesaba
katılırsa, Shrodinger denkleminin çözümleri olan ΨΓ gerçek dalga fonksiyonları ile EΓ
enerjileri yaklaşık olarak hesaplanabilir veya tahmin edilebilir. Pertürbasyon teorisinde
yapılacak ilk şey ΨΓ ‘nın gerçek özfonksiyon dağılımını ve EΓ gerçek özenerjilerini
belirlemektir:
Burada φΓ(1)
φΓ = φΓ(0) + φΓ(1)
(2.16)
EΓ = EΓ(0) + EΓ(1)
(2.17)
ve EΓ(1) ; sırasıyla pertürbe olmayan durumdaki dalga fonksiyonu ve
enerjideki küçük değişimleri belirtir. Denklem (2.10), (2.16) ve (2.17)’ u Denklem (2.8)’
de yerine yazarsak;
(H
(0)
(
+ H (1) ) φΓ(0) + φΓ(1)
) = (E
(0)
Γ
(
+ EΓ(1) ) φΓ(0) + φΓ(1)
).
(2.18)
Denklem (2.18), sıfırıncı ve birinci derece terimlerine ayrılırsa;
H (0) φΓ(0) = EΓ(0) φΓ(0)
(2.19)
H (0) φΓ(1) + H (1) φΓ(0) = EΓ(0) φΓ(1) + EΓ(1) φΓ(0)
(2.20)
13
Denklem (2.20)’ü soldan φ (0)
ile çarparsak;
Γ
EΓ(1) φΓ(0) φΓ(0) = φΓ(0) H (1) φΓ(0) + φΓ(0) H (0) - EΓ(0) φΓ(1)
(2.21)
Denklem (2.19)’ye göre, H (0) hermit operatör olduğundan, Denklem (2.21)’ün sağdan
2.terimi sıfır olur. Böylece φΓ(0) normalize fonksiyonları için;
EΓ(1) = φΓ(0) H (1) φΓ(0)
(2.22)
elde edilir. Bu bize; residual etkileşmelerden kaynaklanan H (1) enerji değişiminin,
pertürbe
olmayan
durumdaki
residual
etkileşmenin
beklenen
hesaplanabileceğini gösterir. Denklem (2.15), (2.17) ve (2.22)’e göre φ
değeri
(0)
Γ
olarak
durumunun
enerjisi aşağıdaki gibi verilir.
A
EΓ = EΓ(0) + EΓ(1) = φΓ(0) H (0) + H (1) φΓ(0) = ∑ eak + φΓ(0) H (1) φΓ(0)
(2.23)
k =1
Burada birinci terim: tek-parçacık enerjilerinden gelen katkıyı, ikinci terim: residual
etkileşmelerden gelen katkıyı verir.
2.4. Bağlanma ve Uyarılma Enerjileri
Çekirdeğin bağlanma enerjisi E b , çekirdeği serbest proton ve nötronlara ayırmak
için gerekli olan toplam enerjinin negatif değeri olarak tanımlanır. Genelde bağlanma
enerjisi pozitif işaret olsa da burada negatif işaret kullanılmıştır ve çekirdeğin
Hamiltonyeninin beklenen değeri ile daha doğrudan bir ilişkisi vardır. Bağlanma
enerjisinin kesin değeri, çekirdeğin taban durumunda en büyüktür. n. uyarılmış durumun
uyarılma enerjisi Ex (n) , E b (n) bağlanma enerjisinden ve taban durum bağlanma
enerjisinden aşağıdaki gibi bulunur. (Brussaard ve Glaudemans, 1977).
Ex (n) = Eb (n) - Eb (0)
(2.24)
14
Eylemsiz (hareketsiz) bir koru ve p orbitalinde iki nükleonu bulunan bir çekirdek
düşünelim. Bu çekirdeğin toplam bağlanma enerjisine katkıda bulunan pek çok terim
vardır. Bu durumda çekirdeğin toplam bağlanma enerjisi aşağıdaki şekilde yazılabilir.
2
b
EΓb (kor + p 2 ) = 2e p + E (1)
Γ ( p ) + E ( kor )
(2.25)
Denklem (2.25)’de ki her terim basit bir fiziksel yoruma sahiptir. 2 e p terimi; p
yörüngesinde bağımsız olarak hareket ettiği düşünülen iki parçacığı potansiyel kuyudan
çıkarmak için gerekli olan enerjinin negatif değerini belirtir. Genellikle bu potansiyel
kuyunun kor dışındaki parçacıkların sayısına bağlı olmadığı varsayılır. Kor dışındaki iki
parçacığın karşılıklı etkileşmesinden bağlanma enerjisine gelen katkı E (Γ1) ( p 2 ) ile
verilmiştir. Bu terim yalnızca p yörüngesine değil aynı zamanda, J Γ spinine ve TΓ
izospinine de bağlıdır. Sonuncu terim, E b (kor ) ise, kor içindeki parçacıkların bağlanma
enerjisini temsil eder. Kapalı – kabuk korunun eylemsiz (hareketsiz) olduğu kabul edilirse
( bu demektir ki; kapalı – kabuk konfigurasyonunu devam ettirecek ve uyarılmayacak)
E b (kor ) terimi sabit olur.
Kor + iki nükleon sisteminin taban durumu toplam enerjinin minimumu ile
karakterize edilir. İki parçacığın değişik Γ değerlerinde çiftlendiği ve iki nükleondan
birinin veya her ikisinin birden farklı bir tek parçacık yörüngesinde uyarıldığı durumların
hepsi “uyarılmış durumu” belirtir. Bu durumda toplam Hamiltonyen aşağıdaki gibi alınır:
H = H kor + H12
A
⎡
H kor = ∑ ⎢T (k ) + U (k )
k =3 ⎣
(2.26)
⎡
A
] + ⎢ ∑ W (k ,
⎣ 3= k < e
A
⎤
) − ∑ U (k ) ⎥
k =3
⎦
(2.27)
15
2
⎡A
H12 = ∑ [T (k ) + U (k )] + ⎢∑
k =1
⎣ k =1
A
∑
l =3
2
⎤
W (k , ) + W (1,2) − ∑ U (k )⎥
k =1
⎦
(2.28)
Burada H kor , kor parçacıkları arasındaki etkileşmeyi temsil ediyor (k=3,…,A).
Kor’un hareketsiz olduğu kabul edilirse toplam enerjiye H kor ’un katkısı sabit olur. H12
terimi ise, iki ekstra parçacıktan gelen katkıyı belirtir ve aşağıdaki gibi yazılır.
H12 = H12( 0 ) + H12(1)
(2.29)
Burada H 12( 0) , tek parçacığın Hamiltonyenini belirtir ve şöyle yazılır:
H12(0) = [T (1) + U (1) ] + [T (2) + U (2) ] = H S . P (1) + H S . P (2)
(2.30)
ve artık etkileşmeler ise;
⎡ A
⎤ ⎡ A
⎤
H 12(1) = ⎢∑ W (1, l ) − U (1)⎥ + ⎢∑ W (2, l ) − U (2)⎥ + W (1,2)
⎣ l =3
⎦ ⎣ l =3
⎦
(2.31)
ile verilir. Burada tek parçacık potansiyeli U’nun seçimi keyfi olup,
A
U (k ) = ∑ W (k , l ) ,
k = 1, 2
(2.32)
l =3
gibi alınabilir. Böylece, artık etkileşmeler H 12(1) ’deki tek parçacık terimleri tamamen kalkar
ve geriye yalnız iki – parçacık terimi W(1,2) kalır. Diğer bir deyişle, artık etkileşimler
H 12(1) = W (1,2) ifadesi ile verilir ve görüldüğü gibi herhangi bir tek parçacık terimi içermez.
(Kuo and Brown,1966; Kuo, 1974; Barrett and Kirson, 1973; Jiang and et al., 1992).
Buradan sonra; residual iki – cisim etkileşimleri
∑
l< j
göre, kor dışındaki iki parçacık için artık etkileşmeler;
V (i, j ) ile ifade edillecektir. Buna
16
H 12(1) = V (1,2)
(2.33)
olur, Denklem (2.26), (2.29), (2.30) ve (2.33)’dan toplam Hamiltonyen aşağıdaki gibi olur.
H = H kor + H S .P (1) + H S .P (2) + V (1, 2)
(2.34)
Kor dışındaki iki parçacığı p yörüngesinde bulunan çekirdeğin bağlanma enerjisi,
φ Γ( 0) (1,....., A) durumundaki toplam Hamiltonyenin beklenen değeriyle verilir.
EΓb ( A) = φΓ(0) (1......, A) H φ Γ(0) (1,....., A)
(2.35)
φ (0)
fonksiyonu, iki ekstra nükleonu tanımlayan φ (0)
Γ (1,..... A) dalga
Γ (1, 2)
dalga
fonksiyonunun antisimetrik çarpımı şeklinde yazılabilir.
(0)
φ (0)
Γ (1,...., A) = A {φ 00 ( kor )φ Γ (1, 2)}
(2.36)
φ 00 (kor ) ve φ (0)
Γ (1, 2) fonksiyonları antisimetrik alınır. Antisimetrikleştirici A, tüm
parçacık koordinatlarını permute ederek ve yaklaşık lineer kombinasyonlarını olarak,
antisimetrikleştirme
işini
gerçekleştirir.
Denklem
hesaplanmasında doğru sonuçlar, φ00 (kor ) φ (0)
Γ (1, 2)
(2.35)’deki
matris
elemanının
şeklindeki daha basit çarpım
fonksiyonları ile birlikte elde edilir. Denklem (2.34)’de de olduğu gibi toplam
Hamiltonyen, φ00 (kor ) ve φ (0)
Γ (1, 2) dalga fonksiyonlarının ortanormalitesinden elde
edilen terimlere ayrıştırılabilir.
φ 0 0 ( k o r )φ Γ( 0 ) (1, 2 ) H φ Γ( 0 ) (1, 2 )
= φ00 ( kor ) H core φ00 ( kor ) + φΓ(0) (1, 2) H S . P . (1) + H S . P . (2) φΓ(0 ) (1, 2)
17
+ φ Γ( 0 ) (1, 2 ) V (1, 2 ) φ Γ( 0 ) (1 , 2 )
(2.37)
Denklem (2.37)’a dikkatli bakılırsa ve tek parçacık enerjileri
2 e p = φΓ(0) (1, 2) H S . P. (1) + H S . P (2) φΓ(0) (1, 2) = p 2 H12(0) p 2
Γ
,
(2.38)
residual (artık) etkileşmeler,
E Γ(1) ( p 2 ) = φ Γ( 0 ) (1,2) V (1,2) φ Γ( 0) (1,2) = p 2 V (1,2) p 2
Γ
,
(2.39)
gibi ve korun bağlanma enerjisi de
E b (kor ) = φ00 (kor ) H ( kor ) φ00 (kor )
(2.40)
gibi verilirse Denklem (2.37)’un Denklem (2.25)’e denk olduğu görülür. Burada iki
parçacık dalga fonksiyonu φ Γ( 0 ) (1,2) ’yi gösterimde kolaylık olması açısından p2 ile
gösterdik.
Buraya kadar Coulomb enerjisi göz ardı edilmiştir. Coulomb enerjisinin toplam
bağlanma enerjisine katkısı kolayca dahil edilebilir ancak, Coulomb kuvvetinin uzun
menzilli olmasından dolayı nükleer yapının detaylarına pek önemli bir şekilde bağlı
değildir. Coulomb enerjisi EC ’nin hesaplanması için pek çok yaklaşık ifadeler mevcuttur.
( Beiner et al., 1975). Denklem (2.25)’de E b (kor ) terimi, yani kor’don gelen katkı için
bağlanma enerjisinin deneysel değeri alınabilir (Firestone and Shirley, 1998; ENSDF,
2001). Tek parçacık enerjisi e p , doğrudan kor çekirdeğinin bağlanma enerjisi ile kor +
nötron çekirdeğinin deneysel bağlanma enerjilerinin kıyaslanmasından elde edilebilir.
18
Örneğin, taban durumu
16
O koru ile 1d5 2 nötronunun çiftlendiği
17
O, J n =
5
2
durumunda:
1d 5 / 2
= E b (17 O) − E b (16 O ) = (131,77 + 127,62) MeV = −4,15 MeV
Kor’un dışında iki parçacıktan fazla parçacık varsa, örneğin; n parçacık p kabuğunda ve m
parçacık λ kabuğunda iken bağlanma enerjisi aşağıdaki gibi olur.
E b (kor + p n + λ m ) = Ec + E b (kor ) + meλ + ne p + EΓ(1) ( p n λ m )
(2.41)
Baştaki dört terim yukarıda açıklanmıştı. Son terim kor dışındaki iki parçacıktan fazla olan
parçacıkların etkileşmeleridir ve iki – cisim matris elemanıyla hesaplanabilir:
EΓ(1) ( p n λm
n+ m
∑ V (k ,
) p n λm
l = k <l
Γ
= ∑ CΓ' EΓ(1' ) ( pλ )
(2.42)
Γ'
Denklem (2.39)’deki matris elemanından;
E Γ(1' ) ( p λ V (1, 2 ) p λ
elde edilir.
Γ'
(2.43)
19
2.5. Konfigürasyon Karışımı Durumları
Şuana kadar ki tartışmalarımıza perturbe olmamış durumları, φΓ( 0) , dahil etmedik.
Bu durumların hepsi tam bir Kabuk model karışımını temsil eder. Örneğin: iki aktif
yörüngeyi hesaba katarak, p ve λ , pn ve λm her birinin parçacık dağılımı olmak üzere,
n m
saf durumları φ (0)
Γ ( pα λβ ) ile, ara kuantum numaraları α ve β ile, J α + J β = J Γ ve
Tα + Tβ = TΓ ile verilir.
Denklem (2.23)’dan φΓ( 0) saf durumunun enerjisi iki durumun toplamı şeklinde
E = E ( ) + E ( ) verilir. E (
0
1
0)
katkısı, bağımsız parçacık hareketini tanımlayan H(0)
hamiltonyeninden kaynaklanır. E ( ) katkısı, H
1
(1)
residual (artık) etkileşmesinden
kaynaklanır. k=1,….g olmak üzere g tane durum (φ (0)
Γ ) k düşünelim: bu durumların
enerjileri Ek = Ek ( ) + Ek ( ) birbirlerinden çok farklı olmadığını düşünelim. Bu durumda
0
residual
(artık)
1
etkileşmelerden
dolayı,
nükleonların
bir
durumdan
diğerine
sıçrayabileceğini göz ardı edemeyiz. Dolayısıyla asıl durum tüm (φ Γ( 0) ) k durumların
karışımı şeklinde verilmelidir. Amaç, çok parçacık sistemini açıklayan uygun bir (φ Γ( 0) ) k
lineer kombinasyonu bulmaktır.
Kombinasyonları aşağıdaki gibi yazalım:
g
Ψ p = ∑ akpφ (0)
k ,
p=1,….., g
(2.44)
k =1
Burada J Γ ve TΓ değerlerini belirten Γ etiketi yazımda kısalık olması açısından
kaldırılmıştır. Ψ p için normalizasyon şartı aşağıdaki bağıntıyla verilir.
20
g
∑
k =1
akp2 = 1 ,
p=1,…….,g
(2.45)
akp genliğinin karesi, çekirdeğin φ k( 0) ile belirtilen durumda bulunma ihtimali olarak
yorumlanabilir. Şimdi özdeğer denkleminin çözülmesi gerekir.
H Ψp = E p Ψp
(2.46)
Denklem (2.10) ve Denklem (2.44)’i Denklem (2.46)’de yerine yazılırsa;
( H ( 0 ) + H (1) ) ∑ akpφk( 0 )
k =1
g
= E p ∑ akpφk( 0 )
(2.47)
k =1
Denklem (2.47)’ü sol taraftan φ ( 0) ile çarparsak;
g
∑
k =1
φ ( 0 ) H ( 0 ) + H (1) φk( 0) akp = E p a p
(2.48)
elde edilir. Burada φ k( 0) fonksiyonlarının orta normalliği kullanılmıştır. φ k( 0) fonksiyonları
H (0)’ın öz durumları aşağıdaki gibi olduğundan
H ( 0)φ k( 0 ) = E k( 0 )φ k( 0) ,
H için matris elemanları için,
(2.49)
21
H k = φ ( 0 ) H φk( 0 ) = φ ( 0 ) H ( 0) + H (1) φk( 0 ) = φ ( 0 ) H ( 0) φk( 0 ) + φ ( 0 ) H (1) φk( 0 )
= Ek( 0)δ k + H (k1)
(2.50)
elde edilir. Burada Ek( 0 ) terimi tek parçacık enerjisinden gelen katkıyı ve H (k1) de residual
(artık) etkileşmeden gelen katkıyı gösterir. Denklem (2.50)’yi kullanarak Denklem (2.48)’i
aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz.
g
∑
K =1
H k akp = E p aep
(2.51)
Her p değeri için, akp genliklerini sütun vektörleri olarak yazarsak, Denklem (2.51)’i matris
formunda verebiliriz;
⎛ a1 p ⎞
⎛ H11 H12 . .. . . . ⎞ ⎛ a1 p ⎞
⎟
⎟
⎜
⎟⎜
⎜
⎜ a2 p ⎟
⎜ H 21 H 22 .. . . . . ⎟ ⎜ a2 p ⎟
⎟
⎟
⎜
⎟⎜
⎜
.
.
.
.
⎟.
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
= EP
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜.
.
. ⎟
.
⎟
⎟
⎜
⎟⎜
⎜
. ⎟ ⎜. ⎟
⎜. ⎟
⎜.
⎜a ⎟
⎜ H g1 . . . . . . H gg ⎟ ⎜ a ⎟
⎠ ⎝ gp ⎠
⎝
⎝ gp ⎠
(2.52)
H’ın hermitik olduğundan dolayı,
H k = Hk
(2.53)
22
elde edilir. Bu, H lk matrisinin simetrik olduğu anlamına gelir.
H11 − EP
H12
H 21
H 22 − E p
.
.
.
H g1 ... ...
... ... ... .. ... ... ..
H1 g
=0
.... ..... ... .... .... .... ..... ..... ....
(2.54)
H gg − E p
Bu g. dereceden E p denklemine ve E p ’nin g tane köküne götürür. Değişik kökleri
Denklem (2.52)’ da yerine yazarak, her akp özvektörü için bir denklem elde edilir. Değişik
özdeğerlere ait özvektörlerin hepsi mutlaka ortagonal ve normalize olmalıdır;
g
∑
k =1
akp akp ' = δ pp '
,
( EP ≠ EP ' için )
(2.55)
'
EP = EP′ için ( p ≠ p ) uygun özvektörler akp ve aak1, bir takım ortagonalleştirme
işlemlerinin yardımıyla ortagonal yapılabilirler. Denklem (2.51) a p ' ile çarpılıp,
üzerinden toplamı alındıktan sonra, Denklem (2.55)’de yerine yazıldığında,
g
∑
,k =1
a p ' H ek akp = E pδ pp '
(2.56)
23
elde edilir. Denklem (2.56)’a dikkat edilirse Denklem (2.46) ile özdeş olduğu görülür.
Denklem (2.56)’ün matris şekli aşağıdaki gibidir.
⎛ a11 a21 ... ...
⎜
⎜ a12
⎜
⎜.
⎜.
⎜
⎜.
⎜a
⎝ 1g .. .. ... .. ..
..
.
a g1 ⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
.. . ⎠
⎛ H 11 H 12 .. ... H 1g
⎞
⎜
⎟
.
⎜ H 21
⎟
⎜
⎟
. ⎟
⎜.
⎜.
. ⎟
⎜
⎟
. ⎟
⎜.
⎜ H . . . ..
H gg ⎟⎠
⎝ g1
Böylece akp matrisleri H
k
⎛ a11 a12 ... .... a1g
⎜
.
⎜ a21
⎜
⎜.
⎜.
⎜
⎜.
⎜a
⎝ g1
⎞ ⎛ E1 0.......0 ⎞
⎟ ⎜
⎟
E2
⎟ ⎜0
⎟
⎟ ⎜
⎟
.
. ⎟ ⎜
⎟ (2.57)
=
⎟
.
⎜
⎟
.
⎟ ⎜
⎟
. ⎟ ⎜.
⎟
a gg ⎟⎠ ⎜⎝ 0 .. . .. E g ⎟⎠
matrisini köşegenleştirir. Denklem (2.55), akp
katsayılarının bir ortagonal matrisi (A) oluşturduğu anlamına geliyor. Bu matrisin
ortagonalliği A -1 =A T bağıntısıyla verilebilir, burada A-1 ters matris, AT ise transpoze
matristir. Buna göre Denklem (2.57) daha kısa olarak,
A-1H A = E
(2.58)
gibi yazılabilir.
Dalga fonksiyonlarının ve enerjilerin saptanması işlemi aşağıdaki gibi özetlenebilir.
Enerji matrisi, Denklem (2.50)’de verilen H
k
matris elemanlarından oluşturulur. Pertürbe
olmayan Hamiltonyen H(0), sadece diagonal matris elemanlarına katkıda bulunur. H
k
matrisinin diogonalleştirilmesi, Hamiltonyenin gerekli özdeğer ( enerji) ve özvektörlerine
(karışık – konfigurasyon dalga fonksiyonları) götürür.
Kabuk modelinde pertürbasyon yaklaşımını kullanarak H(1)’in hesaplanmasında, iki
parçacık etkileşimlerinin toplamı şeklinde bir varsayım yapılabilir:
24
H (1) = ∑ V (i, j )
(2.59)
i< j
2.6. Konfigürasyon Karışımı Uygulamaları
Çekirdek içinde, φ1( 0) ve φ 2( 0) ortanormal dalga fonksiyonları ile tanımlanan ve aynı
J spinine ve aynı T izospinine sahip iki durum olduğunu var sayalım. Konfigürasyon
karışımı
dikkate
alınmadan
bu
iki
durumun
enerjileri
H 11 = φ1( 0) H φ1( 0 )
ve
H 22 = φ 2( 0) H φ 2( 0) ile verilir. İki dalga fonksiyonunu içeren Ψ p aşağıdaki gibi verilir.
(0)
Ψ P = a1 pφ1(0)
p + a2 pφ2 p ,
a12p + a22 p = 1 ,
p = 1, 2
(2.60)
Denklem (2.52) konfigürasyon karışımları ile enerjilerin aşağıdaki gibi özdeğer
denkleminden elde edildiğini gösteriyor.
⎛ H11
⎜
⎜ H 21
⎝
Matris elemanları H
E p = E p(0) + E p(1) ;
H 12 ⎞⎛ a1 p ⎞
⎛a ⎞
⎟⎜
⎟ = E p ⎜ 1p ⎟
⎜a ⎟
H 22 ⎟⎠⎜⎝ a2 p ⎟⎠
⎝ 2p ⎠
k
(2.61)
= H k daha önceden Denklem (2.50)’de tanımlanmıştı. Özdeğerler
25
H11 − E p
H12
H12
H 22 − E p
=0
(2.62)
veya
( H11 − E p )( H 22 − E p ) − H122 = 0
(2.63)
şeklinde verilebilir ve çözümlerde aşağıdaki gibi olur:
Ep =
{
1
H11 + H 22 ± ( H 11 − H 22 ) 2 + (2 H 12 ) 2
2
}
(2.64)
φ1( 0) ve φ 2( 0) ile tanımlanan durumlar arası enerji ayrılığı, bu iki durum arasındaki
konfigurasyon karışımı hesaba katıldığında değişir. Konfigürasyon karışımı olmadığındaki
enerji ayrılması:
∆ = H 11 − H 22
(2.65)
ile ve konfigurasyon karışımı dikkate alındığında ise enerji ayrılması:
∆' = ∆2 + (2 H12 ) 2
(2.66)
ile verilir. Buna göre konfigürasyon karışımı dikkate alındığında, karışık durumların
toplam bağlanma enerjisi aşağıdaki gibi yazılabilir:
26
)
(
b kor + ρ 2 = E b kor ± E 1, 2 .
EΓ
( ) P( )
(2.67)
bu çekirdeğin toplam bağlanma enerjisine katkıda bulunan terimler Denklem (2.61)’ de
açıklanmıştı. Denklem (2.61) deki EΓ( ) ( ρ 2 ) terimini ve Denklem (2.67) deki EP (1, 2 )
1
terimini hesaplamak için, her J and T değeri için H11 , H 22 ve H12 değerlerinin
hesaplanması gerekir. H11 ve H 22 hesaplamak için,
〈 ja jb V
MSDI
(1, 2) ja jb 〉 JT = − AT
+ 〈 ja
( 2 ja + 1) ( 2 jb + 1)
x
2 ( 2 J + 1) (1 + δ ab )
1
{
〈 ja −
1
l +l + J +T ⎤
2
jb J 0〉 ⎡1 − ( −1) a b
⎢
⎥⎦
⎣
2
2
1
}
(2.68)
1
T
2
jb J 1〉 ⎡1 + ( −1) ⎤ + ⎡⎣2T (T + 1) − 3⎤⎦ B + C
⎢
⎥⎦
⎣
2
2
denklemi, Denklem (2.64) deki H12 ’ i hesaplamak için,
A
n +n + n + n
〈 ja jb V SDI (1,2) jc jd 〉 J T =⎛⎜⎜ −1⎞⎟⎟ a b c d ⎛ T ⎞
⎝
⎠
2⎜⎜ 2 J +1⎟⎟
⎝
⎠
⎛
⎜⎜
⎝
2 ja +1⎞⎟⎟ ⎛⎜⎜ 2 jb+1⎞⎟⎟ ⎛⎜⎜ 2 jc+1⎞⎟⎟ ⎛⎜⎜ 2 jd +1⎞⎟⎟
⎠⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠
⎛
⎞⎛
⎞
⎜1+δ
⎟ ⎜1+δ
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
ab
cd
⎝
⎠⎝
⎠
⎡
⎧
l +l + j + j
l +l + J +T ⎤⎥⎥
⎢
⎪
x⎪⎨⎪ ⎛⎜⎜ −1⎞⎟⎟ d b b d 〈 jb−1 ja 1 J 0〉〈 jd −1 jc 1 J 0〉 ⎢⎢1−⎛⎜⎜ −1⎞⎟⎟ a b
⎥
⎠
⎝
⎠
⎝
2 2
2 2
⎢
⎥
⎪⎩
⎣⎢
⎦⎥
⎫
⎡
T ⎤⎪
− 〈 jb 1 ja 1 J 1〉〈 jd 1 jc 1 J 1〉 ⎢⎢⎢1+⎛⎜⎜ −1⎞⎟⎟ ⎥⎥⎥ ⎬⎪⎪
⎝
⎠
2 2
2 2 ⎢⎣⎢
⎥⎥ ⎪
⎦⎪
(2.69)
⎭
denklemi kullanılır. Denklem (2.68) ve (2.69) daki A, B ve C değerleri aşağıdaki gibi alınır
(Brussaard and Glaudemans, 1977).
27
A0 ≈ A1 ≈ B ≈ (25 A) MeV , C ≈ 0.
Denklem (2.68) ve (2.69) daki
(2.70)
ja ma jb mb JM
ifadeleri Clebsch-Gordan
katsayıları olarak adlandırılır ve 3-j sembolleriyle aşağıdaki şekilde ifade edilir:
ja ma jb mb JM = ( −1) a
j + jb + J
⎛ ja jb J ⎞
2.J + 1 ⎜
⎟
⎝ ma mb M ⎠
(2.71)
Görüldüğü gibi hafif çekirdeklerin enerjisinin hassaslığı Clebsch-Gordan katsayılarını hesaplamak için seçilen formüle bağımlıdır. Bu tezde ; I.I. Guseınov ve B.A.
Mamedov’un Clebsch-Gordan katsayılarının hesaplanması için verdiği formülleri kullanarak ( Guseinov, et al., 1995 )
30
14
Si16 ,
24
12
Mg 12 ,
22
10
Ne12 ,
32
16
S16 çekirdeklerinin enerjilerini
hesaplandı ve literatürdeki sonuçlarla karşılaştırıldı, alınan sonuçların deneysel sonuçlara
daha yakın olduğu görüldü.
(2.71) deki Clebsch-Gordan katsayılarını hesaplamak için I.I.Guseınov ve B.A.
Mamedov çalışmalarında aşağıdaki formülü vermişlerdir.( Guseinov and Mamedov, 2005)
(l l m m
1 2
1
l1l2 LM ) = δ M .m1 − m2
2
2
⎡
⎤
( 2 L + 1) Fl1 +l2 − L ( l1 + l2 + L + 1) FL+ M ( 2 L )
⎥
×⎢
⎢⎣ ( 2l1 + 1)( 2l2 + 1) Fl1 −l2 + L ( l1 + l2 + L + 1) Fl2 −l1 + L ( l1 + l2 + L + 1) Fl1 + m1 ( 2l1 ) Fl2 + m2 ( 2l2 ) ⎥⎦
×∑ ( −1) Fn ( l1 + l2 − L ) Fl2 + m2 − n ( L + M ) Fl1 − m1 − n ( L − M )
n
n
1/ 2
(2.72)
28
Burada Fm ( n ) = n !/ ⎡⎣ m !( n − m ) !⎤⎦ binomial katsayılardır ve l1 − l2 ≤ L ≤ l1 + l2 , M ≤ L, ve
max ⎡⎣ 0, l2 + m2 − ( L + M ) , l1 − m1 − ( L − M ) ⎤⎦ ≤ n ≤ min [l1 + l2 − L, l2 + m2 , l1 − m1 ] dır.Ref.[9]
deki aşamaları kullanarak Clebsch-Gordan katsayıları aşağıdaki hale gelir ( Guseinov,
1985).
1/ 2( m1 + m1 + m2 + m2 + M + M
Cml11l2mL2 M = ( −1)
)
(l l m m
1 2
1
2
l1l2 LM )
(2.73)
Clebsch-Gordan katsayılarının hesaplanmasında binomial katsayılarının
kullanılması bunların bilgisayar hafızasında saklanmasında kolaylık sağlar.
Binomial katsayıların hesaplanmasında,faktoriyel işlemlerinden kaçınmak ve
hesaplamaları hızlandırmak amacıyla;
Fm ( n ) = Fm ( n − 1) + Fm −1 ( n − 1)
(2.74)
tekrarlama bağıntısı kullanılmıştır. Bilgisayar yardımıyla hesaplanan binomial katsayıları
düzenli olarak hafızada saklanmış ve simetriler uygulanarak hafıza ihtiyacı minimize
edilmiştir.
⎡l1 l2 l3 ⎤
( l1 + l2 + l3 ) / 2
∆ ( l1l2l3 )
⎢ 0 0 0 ⎥ = ( −1)
⎣
⎦
⎧⎪ Fl ( ( l1 + l2 + l3 ) / 2 ) F( l +l −l ) / 2 ( l3 )
2 3 1
×⎨ 3
⎪⎩0
, l1 + l2 + l3 = çift
, l1 + l2 + l3 = tek
(2.75)
29
Burada;
∆ ( l1l2l3 ) =
1
.
Fl1 + l2 − l3 ( l1 + l2 + l3 + 1) F2l3 ( 2l3 + 1) Fl2 +l3 −l1 ( 2l3 )
(2.76)
Denklem (2.71)’de ja = jb ve J = 0 olması durumunda,
1 1
j − j 00
2 2
denklemi kullanılır.
2
=
1
2 j +1
(2.77)
30
3. HESAPLAMALAR
3.1.
30
14
Si16 Çekirdeği için Enerji Hesabı
28
14
Si14 kor
EΓb ( kor + ρ 2 ) = E b ( kor ) + 2eρ + EΓ ( ρ 2 )
(3.1)
E b ( kor ) = E b ( 28 Si ) = ⎡⎣ Zm p + Nmn − m ( 28 Si ) ⎤⎦ 931,5
(3.2)
= [14.1, 007825 + 14.1, 00866501 − 27,976927 ] 931,5
= −236,54MeV
eρ = e
2s 1/ 2
= E b ( 29 Si ) − E b ( 28 Si ) = −242, 05 + 236,54 = −8, 48MeV
(3.3)
31
e2 s1/ 2 − e1d3 / 2 = 1, 27 MeV
e1d3 / 2 = −7, 21MeV
1.Durum
( 2s1/ 2 )
2
T =1
İzinli Durumlar
( 0 ,1)
+
EΓb ( kor + ρ 2 ) = EΓb ( 28 Si + 2 s1/2 2 ) = E b ( 28 Si ) + 2e2 s1/ 2 + EΓ ( 2 s1/2 2 )
= E b ( 28 Si ) + 2e2 s1/ 2 + ( 2 s1/ 2 ) V (1, 2 ) ( 2 s1/ 2 )
2
2
(3.4)
01
eşitliğinde:
2
( 2s1/ 2 )
2
V (1, 2 ) ( 2 s1/ 2 )
2
⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 1 1 1 1
2 ⎠
00
= − A1 ⎝
−
01
2 ( 2.0 + 1) 2 2 2 2
2
+ B+C
(3.5)
ve
1 111
−
00
2 222
2
=
1
1
1
=
=
2. j + 1 2. 1 + 1 2
2
eşitlikleri yerlerine yazılırsa:
( 2s1/ 2 )
2
V (1, 2 ) ( 2 s1/ 2 )
2
01
= − A1
41
+ B + C = − A1 + B + C
22
(3.6)
32
EΓb ( 28 Si + 2 s1/2 2 ) = E b ( 28 Si ) + 2e2 s1 / 2 − A1 + B + C
(3.7)
2.Durum
(1d5/ 2 )
2
( 0 ,1) ; ( 2 ,1)
+
İzinli Durumlar
+
( 0 ,1) durumunda:
+
EΓb ( kor + ρ 2 ) = EΓb ( 28 Si + 1d3/ 2 ) = E b ( 28 Si ) + 2e1d3 / 2 + EΓ (1d3/2 2 )
EΓ (1d3/2 2 ) = (1d3/ 2 ) V (1, 2 ) (1d3/ 2 )
2
2
01
2
⎛ 3 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 3 1 3 1
2 ⎠
00
= − A1 ⎝
−
2 ( 2.0 + 1) 2 2 2 2
2
+ B+C
(3.8)
Denklem (3.3)’ de
3 131
−
00
2 222
2
=
1
1
=
3
2. + 1 4
2
yerine yazılırsa:
(1d3/ 2 )
2
V (1, 2 ) (1d3/ 2 )
2
01
= − A1
16 1
. + B + C = −2 A1 + B + C
2 4
33
EΓb ( 28 Si + 1d3/2 2 ) = E b ( 28 Si ) +2e1d3/2 − 2 A1 + B + C
(3.9)
elde edilir.
( 2 ,1) durumunda:
+
EΓ (1d 3/2 2 ) = (1d3/ 2 ) V (1, 2 ) (1d3/ 2 )
2
2
21
2
⎛ 3 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 3 1 3 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
20
2 ( 2.2 + 1) 2 2 2 2
(1d3/ 2 )
2
V (1, 2 ) (1d3/ 2 )
2
21
= − A1
2
+ B+C
16
.5.0, 05 + B + C = −0, 4 A1 + B + C
2.5
= −0, 4 A1 + B + C
(3.10)
3.Durum
( 2s1/ 2 )(1d3/ 2 )
1
İzinli Durumlar
(1 ,1) ; ( 2 ,1)
+
+
EΓb ( 28 Si + 2 s1/1 21d 3/1 2 ) = E b ( 28 Si ) + e1d3 / 2 + e2 s1 / 2 + EΓ ( 2 s1/1 21d 3/1 2 )
(1 ,1) durumunda:
+
EΓ ( 2 s1/1 21d 3/1 2 ) = ( 2 s1/ 21d 3/ 2 ) V (1, 2 ) ( 2 s1/ 21d 3/ 2 )
11
34
⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ 3 1 1 1
2 ⎠⎝ 2 ⎠
10
= A1 ⎝
−
2 ( 2.1 + 1)(1 + 0 ) 2 2 2 2
2
⎡1 + ( −1)0+ 2+1 ⎤ + B + C
⎣
⎦
= B+C
(3.11)
( 2 ,1) durumunda:
+
EΓ ( 2s1/1 21d3/1 2 ) = ( 2s1/ 21d3/ 2 ) V (1, 2 ) ( 2s1/ 21d3/ 2 )
21
⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ 3 1 1 1
2 ⎠⎝ 2 ⎠
= − A1 ⎝
−
20
2 ( 2.1 + 1)(1 + 0 ) 2 2 2 2
2
⎡1 + ( −1)0+ 2+ 2 ⎤ + B + C
⎣
⎦
(3.12)
Denklem (3.12)’ de
3 111
−
20 = ( −1)
2 222
3 1
+ +0
2 2
⎛ 3
⎜
2.2 + 1 ⎜ 2
⎜− 1
⎜
⎝ 2
1 ⎞
2
2 ⎟ = 5.0,31623
⎟
1 ⎟
0⎟
2 ⎠
(3.13)
yerine yazıldığında,
( 2s1/ 21d3/ 2 ) V (1, 2 ) ( 2s1/ 21d3/ 2 ) 21
= − A1
2.4
.5.0,1.2 + B + C = −0,8 A1 + B + C
2.5
elde edilir. Elde edilen sonuçları çizelgede özetleyelim:
(3.14)
35
28
Si Koruna göre
Konfigürasyon
J
π
T
( 2s1/ 2 )
0+
1
− A1 + B + C + 2e2 s1 / 2
0
2 s1/ 21d 3/ 2
1+
1
B + C + e2 s1 / 2 + e1d3 / 2
A1 − e2 s1 / 2 + e1d3 / 2
2 s1/ 21d 3/ 2
2+
1
− 0,8 A1 + B + C + e2 s1 / 2 + e1d3 / 2
0, 2 A1 − e2 s1 / 2 + e1d3 / 2
(1d3/ 2 )
2
0+
1
− 2 A1 + B + C + 2e1d3 / 2
− A1 − 2e2 s1 / 2 + 2e1d3 / 2
(1d3/ 2 )
2
2+
1
− 0, 4 A1 + B + C + 2e1d3 / 2
0, 6 A1 − 2e2 s1 / 2 + 2e1d3 / 2
2
Tablo1.
30
Si ’un
28
Bağ.Enerjileri
Uyarılma Enerjileri
Si koruna göre düzenlenmiş enerjileri
Tablo1’de A, B ve C
A1 = B =
25
25
MeV =
= 0,833MeV ve C = 0
A
30
dır. Toplam Bağlanma enerjisi:
E b ( 28 Si ) + 2e2 s1/ 2 − A1 + B + C = −236,54 − 2.8, 48 − 0,833 + 0,833
= −253,5MeV
2 s1/ 21d 3/ 2 için,
A1 − e2 s1 / 2 + e1d3 / 2 = 0,833 − 7, 21 + 8, 48 = 2,1MeV
36
2 s1/ 21d 3/ 2 için,
0, 2 A1 − e2 s1 / 2 + e1d3 / 2 = 0, 2.0,833 − 7, 21 + 8, 48 = 1, 43MeV
(1d3/ 2 )
2
için,
− A1 − 2e2 s1 / 2 + 2e1d3 / 2 = −0,833 − 2.7, 21 + 2.8, 48 = 1, 7 MeV
(1d3/ 2 )
2
için,
0, 6 A1 − 2e2 s1 / 2 + 2e1d3 / 2 = 0, 6.0,833 − 2.7, 21 + 2.8, 48 = 3, 04 MeV
elde edilir. Bu hesaplamalar konfigürasyon karışımı içermemektedir. Konfigürasyon
karışımını göz önüne alalım.
( 0 ,1) seviyesini inceleyelim:
+
( 2s1/ 2 )
2
01
ve
(1d3/ 2 )
Ep =
{
2
01
durumları karışırsa bu durumların enerjileri,
1
H11 + H 22 ±
2
( H11 − H 22 ) + ( 2 H12 )
2
ifadesi ile bulunabilir. Burada her bir terimi hesaplayalım.
2
}
(3.15)
37
H11 =
( 2s1/ 2 )
2
V (1, 2 ) ( 2 s1/ 2 )
2
01
+ 2e2 s1/ 2
2
⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 1 1 1 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
00
2 ( 2.0 + 1) 2 2 2 2
= − A1
2
+ B + C + 2e2 s1/ 2
41
+ B + C + 2e2 s1/ 2
22
= − A1 + B + C + 2e2 s1/ 2
= 2. ( −8, 48 ) = −16,96 MeV .
H 22 = (1d3/ 2 ) V (1, 2 ) (1d3/ 2 )
2
(3.16)
2
01
+ 2e1d3 / 2
2
⎛ 3 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 3 1 3 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
00
2 ( 2.0 + 1) 2 2 2 2
= − A1
2
+ B + C + 2e1d3 / 2
16 1
+ B + C + 2e1d3 / 2
2 4
= −2 A1 + B + C + 2e1d3 / 2
= −15, 25MeV
H12 =
( 2s1/ 2 )
2
(3.17)
V (1, 2 ) (1d3/ 2 )
ja jb V (1, 2 ) jc jd
JT
= ( −1)
2
01
' yi
na + nb + nc + nd
AT
2 ( 2 J + 1)
( 2 ja + 1)( 2 jb + 1)( 2 jc + 1)( 2 jd + 1)
(1 + δ ab )(1 + δ cd )
38
⎧
j + j +l +l
× ⎨( −1) b d b d
⎩
− jb
jb −
1 1
ja J 1
2 2
jd
1 1
ja J 0
2 2
jd −
1 1
l + l + J +T
⎤
jc J 0 ⎡1 − ( −1) a b
⎣
⎦
2 2
1 1
T ⎫
jc J 1 ⎡1 + ( −1) ⎤ ⎬
⎣
⎦⎭
2 2
eşitliğini kullanılarak hesaplayabiliriz.
H12 = ( −1)
1+1+1+1
A1
2 ( 2.0 + 1)
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞
⎜ 2. + 1⎟⎜ 2. + 1⎟⎜ 2. + 1⎟⎜ 2. + 1⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
(1 + 1)(1 + 1)
1 3
⎧
111
+ +0+ 2 1
× ⎨( −1) 2 2
−
00
2 222
⎩
−
1111
01
2222
3 131
0 + 0 + 0 +1
⎤
−
00 ⎡1 − ( −1)
⎣
⎦
2 222
3131
1 ⎫
01 ⎡1 + ( −1) ⎤ ⎬
⎣
⎦⎭
2222
burada:
1 111
−
00 = 0, 70711
2 222
3 131
−
00 = 0,5
2 222
değerleri yerine yazıldığında:
H12 =
A1 2.4
.0, 70711.0,5.2 = 1, 41A1 = 1,17 MeV
2 2
(3.18)
39
elde edilir. (3.16), (3.17) ve (3.18)’den alınan değerler Eşitlik (3.15)’ de yerine
yazıldığında:
E ( 0+ ) =
=
{
1
−16,96 − 15, 25 ±
2
(1, 71) + ( 2.1,17 )
2
2
}
1
{−32, 21 ± 2,9}
2
E1 ( 0+ ) = −17,5MeV
E2 ( 0+ ) = −14, 6 MeV
E ( 0+ ) = E1 ( 0+ ) − E2 ( 0+ )
= −2,9 MeV
(3.19)
olarak bulunur.
( 2 ,1) seviyesini
+
2 s1/ 21d3/ 2
21
ve
inceleyelim:
(1d3/ 2 )
2
21
durumları karışırsa;
H11 = ( 2 s1/ 21d3/ 2 ) V (1, 2 ) ( 2 s1/ 21d3/ 2 )
21
+ e1d3 / 2 + e2 s1 / 2
⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ 3 1 1 1
2 ⎠⎝ 2 ⎠
20
= − A1 ⎝
−
2 ( 2.2 + 1)(1 + 0 ) 2 2 2 2
2
(3.20)
⎡1 + ( −1)0+ 2+ 2 ⎤ + B + C + e1d + e2 s
3/ 2
1/ 2
⎣
⎦
40
burada:
⎛ 3
3 1
⎜
3 111
− +0
20 = ( −1) 2 2
2.2 + 1 ⎜ 2
−
2 222
⎜− 1
⎜
⎝ 2
1 ⎞
2
2 ⎟ = 5.0,31623
⎟
1 ⎟
0⎟
2 ⎠
değerini yerine yazarsak:
H11 = − A1
2.4
.5.0,1.2 + B + C + e1d3 / 2 + e2 s1 / 2
2.5
H11 = −0,8 A1 + B + C + e1d3 / 2 + e2 s1 / 2
H11 = −15,52 MeV
(3.21)
olarak bulunur.
H 22 = (1d3/ 2 ) V (1, 2 ) (1d3/ 2 )
2
2
21
+ 2e1d3 / 2
2
⎛ 3 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 3 1 3 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
20
2 ( 2.2 + 1) 2 2 2 2
2
+ B + C + 2e1d3 / 2
burada:
3 131
20 = ( −1)
−
2 222
yerine yazılırsa:
3 1
− +2
2 2
⎛ 3
⎜
2.2 + 1 ⎜ 2
⎜− 1
⎜
⎝ 2
3 ⎞
2
2 ⎟ = 5.0, 22361
⎟
1 ⎟
0⎟
2 ⎠
(3.22)
41
H 22 = − A1
16
.5.0, 05 + B + C + 2e1d3 / 2
2.5
= −0, 4 A1 + B + C + 2e1d3 / 2
H 22 = −13,92 MeV
(3.23)
bulunur.
H12 = ( 2s1/ 21d3/ 2 ) V (1, 2 ) (1d3/ 2 )
= ( −1)
1+1+1+1
A1
2 ( 2.2 + 1)
2
⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ 2. + 1⎟⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
(1 + 0 )(1 + 1)
3 3
⎧
111
+ + 2+ 2 3
× ⎨( −1) 2 2
−
20
2 222
⎩
−
H12 =
3111
21
2222
A1
2.4
2.5
{
H12 = 0, 47 MeV
21
3 131
0 + 2 + 2 +1
⎤
−
20 ⎡1 − ( −1)
⎣
⎦
2 222
3131
1 ⎫
21 ⎡1 + ( −1) ⎤ ⎬
⎣
⎦⎭
2222
}
5.0,31623. 5.0, 22361.2
(3.24)
olarak bulunur.
Bu elde edilen (3.21), (3.23) ve (3.24) değerleri Eşitlik (3.15)’ de yerine yazıldığında:
42
{
Ep =
1
−15,52 − 13,92 ±
2
Ep =
1
{−29, 44 ± 1,86}
2
E1 ( 2 + ) = −15, 65MeV .
(15,52 − 13,92 ) + ( 2.0, 47 )
2
2
}
E2 ( 2+ ) = −13, 79 MeV .
E ( 2+ ) = −15, 65 + 13, 79
= −1,86 MeV
olarak bulunur.
Şekil 3.1.
(3.25)
30
14
Si16 çekirdeğinin enerji seviyeleri diyagramı
43
3.2.
24
12
26
12
Mg 12 Çekirdeği için Enerji Hesabı
Mg14 kor
1. Durum
(1d5/ 2 )
2
İzinli Durumlar
( 0 ,1) ; ( 2 ,1) ; ( 4 ,1)
+
+
+
( 0 ,1) durumunda:
+
EΓb ( kor + ρ 2 ) = E b ( 24 Mg ) + 2e1d5 / 2 + EΓ (1d52/ 2 )
E b ( 24 Mg ) = [12.1, 007825 + 12.1, 00866501 − 23,985042] 931,5
= −198, 26MeV
EΓ (1d5/2 2 ) = (1d5 / 2 ) V (1, 2 ) (1d5 / 2 )
2
2
01
44
2
⎛ 5 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 5 1 5 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
00
2 ( 2.0 + 1) 2 2 2 2
2
+ B+C
eşitliğinde:
5 151
00
−
2 222
2
=
1
1
=
5
2. + 1 6
2
değeri yerine yazıldığında
(1d5/ 2 )
2
V (1, 2 ) (1d5/ 2 )
2
01
= − A1
36 1
+ B + C = −3 A1 + B + C
2 6
( 2 ,1) durumunda:
+
EΓ (1d5/2 2 ) = (1d5 / 2 ) V (1, 2 ) (1d5 / 2 )
2
2
21
2
⎛ 5 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 5 1 5 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
20
2 ( 2.2 + 1) 2 2 2 2
eşitliğinde:
5 151
20 = ( −1)
−
2 222
5 5
− +0
2 2
⎛ 5
⎜
2.2 + 1 ⎜ 2
⎜− 1
⎜
⎝ 2
= 5.0,19518
5 ⎞
2
2 ⎟
⎟
1 ⎟
0⎟
2 ⎠
2
+ B+C
(3.26)
45
yerine yazılırsa,
(1d5/ 2 )
2
V (1, 2 ) (1d5/ 2 )
2
21
= − A1
36
.5.0,195182 = −0, 7 A1 + B + C
2.5
(3.27)
elde edilir.
( 4 ,1) durumunda:
+
2
(1d5/ 2 )
2
V (1, 2 ) (1d5/ 2 )
2
41
⎛ 5 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 5 1 5 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
40
2 ( 2.4 + 1) 2 2 2 2
2
+ B+C
= B+C
2. Durum
( 2s1/ 2 ) (1d5 / 2 )
1
1
İzinli Durumlar
(3.28)
( 2 ,1) ; ( 3 ,1)
+
+
EΓb ( kor + ρ 2 ) = E b ( 24 Mg ) + e1d5 / 2 + e2 s1 / 2 + EΓ (1d5/ 2 2 s1/ 2 )
( 2 ,1) durumunda:
+
EΓ (1d5/ 2 2 s1/ 2 ) = (1d5/ 2 2 s1/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 2s1/ 2 )
21
⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟⎜ 2. + 1⎟ 1 1 5 1
2 ⎠⎝ 2 ⎠
= − A1 ⎝
−
20
2 ( 2.2 + 1)(1 + 0 ) 2 2 2 2
eşitliğinde:
2
⎡1 + ( −1)2+ 0+ 2 ⎤ + B + C
⎣
⎦
46
1 151
−
20 = ( −1)
2 222
1 5
− +0
2 2
⎛ 1
⎜
2.2 + 1 ⎜ 2
⎜− 1
⎜
⎝ 2
5 ⎞
2
2 ⎟
⎟
1 ⎟
0⎟
2 ⎠
= 5.0,31623
değeri yerine yazıldığında:
(1d5/ 2 2s1/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 2s1/ 2 ) 21 = − A1
6.2
5.0,1.2 + B + C
2.5
= −1, 2A1 + B + C
(3.29)
( 3 ,1) durumunda:
+
(1d5 / 2 2s1/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 2s1/ 2 ) 31
⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟⎜ 2. + 1⎟ 1 1 5 1
2 ⎠⎝ 2 ⎠
= − A1 ⎝
−
30
2 ( 2.3 + 1)(1 + 0 ) 2 2 2 2
= B+C
3. Durum
( 2s1/ 2 )
2
İzinliDurumlar
2
⎡1 + ( −1)2+ 0+3 ⎤ + B + C
⎣
⎦
(3.30)
( 0 ,1)
+
EΓb ( 24 Mg + 2s1/2 2 ) = E b ( 24 Mg ) + 2e2 s1 / 2 + EΓ ( 2s1/2 2 )
47
EΓ ( 2s1/2 2 ) =
( 2s1/ 2 )
2
V (1, 2 ) ( 2 s1/ 2 )
2
01
2
⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 1 1 1 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
00
2 ( 2.0 + 1) 2 2 2 2
2
+ B+C
eşitliğinde,
2
1 111
00
−
2 222
=
1
1
=
1
2. + 1 2
2
yerine yazılırsa,
( 2s1/ 2 )
2
V (1, 2 ) ( 2s1/ 2 )
2
4 1
= − A1 . + B + C = − A1 + B + C
01
2 2
(3.31)
elde edilir. Şimdi bu hesaplamaları aşağıdaki çizelgede özetleyelim:
24
Konfigürasyon
J
π
T
Mg koruna göre hesaplanmış
enerjileri
Uyarılma Enerjileri
2 A1 + 2e2 s1/ 2 − 2e1d5 / 2
(1d )
2
5/ 2
1
B + C + e1d5 / 2 + e2 s1/ 2
0
(1d )
2+
1
−0, 7 A1 + B + C + 2ed5 / 2
2,3 A1
(1d )
4+
1
B + C + 2ed5 / 2
3 A1
( 2s1/ 21d5/ 2 )
2+
1
−1, 2 A1 + B + C + ed5 / 2 + es1/ 2
1,8 A1 + es1/ 2 − ed5 / 2
( 2s1/ 21d5/ 2 )
3+
1
B + C + 2es1/ 2 + 2ed5 / 2
3 A1 + es1/ 2 − ed5 / 2
( 2s1/ 2 )
0+
1
− A1 + B + C + 2es1/ 2
2 A1 + 2es1/ 2 − 2ed5 / 2
2
5/ 2
2
5/ 2
2
Tablo 2.
26
Mg ’un
24
Mg koruna göre düzenlenmiş enerjileri
48
Tablo 2’de A ve B
A1 = B =
25
= 0,96MeV ’ dir.
26
ed5 / 2 = E b ( 25 Mg ) − E b ( 24 Mg ) = −7,33MeV .
e2 s1/ 2 − e1d5 / 2 = 1,13MeV .
e2 s1/ 2 = −6, 2MeV .
EΓb
(
24
)
Mg + 2e1d5 / 2 = E b ( 24 Mg ) − 3 A1 + B + C + 2e1d5 / 2
= −198, 26 − 3.0,96 + 0,96 + 2. ( −7,33) = −214,84 MeV
(1d )
2
5/ 2
için,
2,3 A1 = 2,3.0,96 = 2, 2MeV
3 A1 = 3.0,96 = 2,88MeV
( 2s1/ 21d5 / 2 ) için,
1,8 A1 + es1/ 2 − ed5 / 2 = 1,8.0,96 − 6, 2 + 7,33 = 2,85MeV
3 A1 + es1/ 2 − ed5 / 2 = 3.0,96 − 6, 2 + 7,33 = 4, 01MeV
( 2s1/ 2 )
2
için,
2 A1 + 2es1/ 2 − 2ed5 / 2 = 2.0,96 − 2.6, 2 + 2.7,33 = 4,18MeV
49
Konfigürasyon karışımını göz önüne alındığında pertürbe durumların enerjileri:
Ep =
{
1
H11 + H 22 ±
2
( H11 − H 22 ) + ( H12 )
2
2
}
( 0 ,1) seviyesi:
+
(1d5/ 2 )
2
ve ( 2 s1/ 2 )
2
karışırsa :
H11 = (1d5 / 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 )
2
2
01
+ 2e1d5 / 2
= −3 A1 + B + C + 2e1d5 / 2
= −3.0,96 + 0,96 − 2.7,33
(3.32)
= −16,58MeV .
H 22 =
( 2s1/ 2 )
2
V (1, 2 ) ( 2s1/ 2 )
= − A1 + B + C + 2e2 s1/ 2
= −0,96 + 0,96 − 2.6, 2
= −12, 4MeV
2
01
+ 2e2 s1/ 2
(3.33)
50
H12 = (1d5/ 2 ) V (1, 2 ) ( 2s1/ 2 )
2
= ( −1)
1+1+1+1
A1
2 ( 2.0 + 1)
2
01
⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
(1 + 1)(1 + 1)
5 1
⎧
151
+ + 2+ 0 5
00
× ⎨( −1) 2 2
−
2 222
⎩
−
5151
01
2222
1 111
2 + 2 + 0 +1
⎤
00 ⎡1 − ( −1)
−
⎣
⎦
2 222
1111
1 ⎫
01 ⎡1 + ( −1) ⎤ ⎬
⎣
⎦⎭
2222
eşitliğinde,
5 151
1
00 =
−
2 222
6
ve
1 111
1
00 =
−
2 222
2
yerine yazılırsa,
H12 =
A1 6.2 1 1
.
.
.
.2 = 1, 7 MeV
2 2
6 2
(3.34)
(3.32), (3.33) ve (3.34) değerlerini Eşitlik (3.15)’de yerlerine yazalım:
{
Ep =
1
−16,58 − 12, 4 ± 4,182 + 11,56
2
Ep =
1
{−28,98 ± 5,388}
2
}
E1 ( 0+ ) = −17,18MeV ve E2 ( 0+ ) = −11, 796 MeV
E ( 0+ ) = −17,18 + 11, 796 = −5,384 MeV
(3.35)
51
( 2 ,1) seviyesi:
+
(1d5/ 2 )
2
21
ve (1d5/ 2 2 s1/ 2 )
21
karışırsa;
H11 = (1d5 / 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 )
2
2
21
+ 2e1d5 / 2
= −0, 7 A1 + B + C + 2e1d5 / 2
= −0, 7.0,96 + 0,96 − 2 ( 7,33)
(3.36)
= −14,372 MeV
H 22 = (1d5/ 2 2 s1/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 2 s1/ 2 )
21
+ e1d5 / 2 + e2 s1/ 2
= −1, 2 A1 + B + C + e1d5 / 2 + e2 s1/ 2
= −1, 2.0,96 + 0,96 − 7,33 − 6, 2
= −13, 722 MeV
H12 = (1d5/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 2 s1/ 2 )
(3.37)
2
21
⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟
A
1+1+1+1
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
1
= ( −1)
2 ( 2.1 + 1)
(1 + 1)(1 + 0 )
5 1
⎧
151
+ + 2+ 0 5
20
× ⎨( −1) 2 2
−
2 222
⎩
1 151
2 + 2 + 2 +1
⎤
20 ⎡1 − ( −1)
−
⎣
⎦
2 222
52
−
5151
21
2222
1151
1 ⎫
21 ⎡1 + ( −1) ⎤ ⎬
⎣
⎦⎭
2222
eşitliğinde:
5 151
20 = ( −1)
−
2 222
5 5
− +0
2 2
⎛ 5
⎜
2.2 + 1 ⎜ 2
⎜− 1
⎜
⎝ 2
5
⎞
2 ⎟
2
⎟
1
0 ⎟⎟
2
⎠
= 5.0,19518 = 0, 436435747
⎛ 1
1 5
⎜
1 151
− +0
20 = ( −1) 2 2
2.2 + 1 ⎜ 2
−
2 222
⎜− 1
⎜
⎝ 2
= 5.0,31623 = 0, 707 =
5
⎞
2 ⎟
2
⎟
1
0 ⎟⎟
2
⎠
1
2
yerine yazılırsa:
H12 =
A1
6 6.0, 436.0, 707 = 0, 453MeV
2.5
(3.38)
(3.36), (3.37) ve (3.38) değerlerini Eşitlik (3.15)’de yerlerine yazalım:
Ep =
{
1
−14,372 − 13, 722 ±
2
( −14,372 + 13, 722 ) + ( 2.0, 453)
2
2
}
53
Ep =
1
{−28, 094 ± 1,12}
2
E1 ( 2+ ) = −14, 6 MeV
ve E2 ( 2+ ) = −13, 487 MeV
E ( 2+ ) = −1,113MeV
Şekil 3.2. 26 Mg çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı
(3.39)
54
3.3.
22
10
Ne12 Çekirdeği için Enerji Hesabı
20
10
Ne10 kor
EΓb ( kor + ρ 2 ) = E b ( 20 Ne ) + 2eρ + EΓ ( ρ 2 )
E b ( 20 Ne ) = [10.1, 007825 + 10.1, 00866501 − 19,992436] 931,5
= −160, 65MeV
1. Durum
(1d5/ 2 )
2
( 0 ,1) ; ( 2 ,1) ; ( 4 ,1)
+
İzinli Durumlar
+
EΓb ( 20 Ne + 1d 5/2 2 ) = E b ( 20 Ne ) + 2e1d5 / 2 + EΓ (1d5/2 2 )
( 0 ,1) durumu:
+
EΓ (1d5/2 2 ) = (1d5/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 )
2
2
01
+
(3.40)
55
2
⎛ 5 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 5 1 5 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
00
2 ( 2.0 + 1) 2 2 2 2
= − A1
2
+ B+C
36 1
. + B+C
2 6
= −3 A1 + B + C
(3.41)
( 2 ,1) durumu:
+
EΓ (1d 5/2 2 ) = (1d5/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 )
2
2
21
2
⎛ 5 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 5 1 5 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
20
2 ( 2.2 + 1) 2 2 2 2
2
+ B+C
eşitliğinde:
⎛ 5
5 5
⎜
5 151
− +0
20 = ( −1) 2 2
2.2 + 1 ⎜ 2
−
2 222
⎜− 1
⎜
⎝ 2
5
⎞
2 ⎟
2
⎟
1
0 ⎟⎟
2
⎠
= 5.0,19518
yerine yazılırsa:
(1d5/ 2 )
elde edilir.
2
V (1, 2 ) (1d 5/ 2 )
2
21
= − A1
36
.0,19 + B + C = −0, 68 A1 + B + C
2.5
(3.42)
56
( 4 ,1) durumu:
+
EΓ (1d 5/2 2 ) = (1d5/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 )
2
2
41
2
⎛ 5 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 5 1 5 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
40
2 ( 2.4 + 1) 2 2 2 2
(1d5/ 2 ) ( 2s1/ 2 )
1
1
T =1
İzinli Durumlar
2
+ B+C = B+C
(3.43)
( 2 ,1)( 3 ,1)
+
+
EΓb ( 20 Ne + 1d5/1 2 2s1/1 2 ) = E b ( 20 Ne ) + e1d5 / 2 + e2 s1/ 2 + EΓ (1d51/ 2 2 s1/1 2 )
(3.44)
( 2 ,1) durumu:
+
EΓ (1d5/1 2 2 s1/1 2 ) = (1d5/ 2 2 s1/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 2s1/ 2 )
21
⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ 1 1 5 1
2 ⎠⎝ 2 ⎠
= − A1 ⎝
−
20
2 ( 2.2 + 1)(1 + 0 ) 2 2 2 2
eşitliğinde:
1 151
20 = ( −1)
−
2 222
1 5
− +0
2 2
⎛ 1
⎜
2.2 + 1 ⎜ 2
⎜− 1
⎜
⎝ 2
= 5.0,31623
yerine yazılırsa:
5
⎞
2 ⎟
2
⎟
1
0 ⎟⎟
⎠
2
2
⎡1 + ( −1)2+ 0+ 2 ⎤ + B + C
⎣
⎦
57
(1d5/ 2 2s1/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5 / 2 2s1/ 2 ) 21 = − A1
6.2
.5.0,1.2 + B + C
2.5
= −1, 2A1 + B + C
(3.45)
elde edilir.
( 3 ,1) durumu:
+
EΓ (1d51/ 2 2 s1/1 2 ) = (1d5 / 2 2 s1/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 2s1/ 2 )
31
⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ 1 1 5 1
2 ⎠⎝ 2 ⎠
= − A1 ⎝
−
30
2 ( 2.3 + 1)(1 + 0 ) 2 2 2 2
= B+C
( 2s1/ 2 )
2
2
⎡1 + ( −1)2+ 0+3 ⎤ + B + C
⎣
⎦
(3.46)
( 0 ,1)
+
İzinli durumlar :
EΓb ( 20 Ne + 2s1/2 2 ) = E b ( 20 Ne ) + 2e2 s1/ 2 + EΓ ( 2 s1/2 2 )
EΓ ( 2s1/2 2 ) =
( 2s1/ 2 )
2
V (1, 2 ) ( 2 s1/ 2 )
2
01
2
⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 1 1 1 1
2 ⎠
00
= − A1 ⎝
−
2 ( 2.0 + 1) 2 2 2 2
4 1
= − A1 . + B + C = − A1 + B + C
2 2
2
+ B+C
(3.47)
58
Şimdi bu hesaplamaları aşağıdaki çizelgede özetleyelim:
20
π
Ne koruna göre hesaplanmış
enerjileri
Uyarılma Enerjileri
Konfigürasyon
J
(1d5/ 2 )
2
0+
1
−3 A1 + B + C + 2e1d5 / 2
0
(1d5/ 2 )
2
2+
1
−0, 6 A1 + B + C + 2e1d5 / 2
2,3A1
(1d5/ 2 )
2
4+
1
B + C + 2e1d5 / 2
3A1
T
(1d
1
5/ 2
2s1/1 2 )
2+
1
−1, 2 A1 + B + C + e1d5 / 2 + e2 s1/ 2
1,8 A1 + e2 s1/ 2 − e1d5 / 2
(1d
1
5/ 2
2s1/1 2 )
3+
1
B + C + e1d5 / 2 + e2 s1/ 2
3 A1 + e2 s1/ 2 − e1d5 / 2
0+
1
− A1 + B + C + e2s1/ 2
2 A1 + 2e2 s1/ 2 − 2e1d5 / 2
( 2s )
2
1/ 2
Tablo 3.
22
Ne ’nin
20
Ne koruna göre düzenlenmiş enerjileri
Tablo 3’de A ve B değerleri:
A1 = B =
25
= 1,136MeV .
22
e1d5 / 2 = E b ( 21 Ne ) − E b ( 20 Ne )
= [10.1, 007825 + 11.1, 00866501 − 20,993843] 931,5 − 160, 65
= −6, 76MeV
59
e1d5 / 2 − e2 s1/ 2 = 2, 082
e2 s1/ 2 = −4, 678MeV
EΓb
(
22
)
Ne + 2e1d5 / 2 = E b ( 20 Ne ) − 3 A1 + B + C + 2e1d5 / 2
= −176, 442MeV
(1d )
2
5/ 2
için,
2,3 A1 = 2,3.1,136 = 2, 6MeV
3 A1 = 3.1,136 = 3, 4MeV
(1d
1
5/ 2
2s1/1 2 ) için,
1,8 A1 + e2 s1/ 2 − e1d5 / 2 = 1,8.1,136 − 4, 678 + 6, 76 = 4,13MeV
3 A1 + e2 s1/ 2 − e1d5 / 2 = 3.1,136 + 4, 678 + 6, 76 = 5, 49MeV
( 2s ) için,
2
1/ 2
2 A1 + 2e2 s1/ 2 − 2e1d5 / 2 = 2.1,136 − 2.4, 678 + 2.6, 76 = 6, 436 MeV
Konfigürasyon karışımı göz önüne alındığında;
( 0 ,1) durumu:
+
H11 = (1d5 / 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 )
2
2
01
+ 2e1d5 / 2
60
2
⎛ 5 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 5 1 5 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
00
2 ( 2.0 + 1) 2 2 2 2
= − A1
2
+ B + C + 2e1d5 / 2
36 1
. + B + C + 2e1d5 / 2
2 6
= −3 A1 + B + C + 2e1d5 / 2
= −15, 792MeV .
H 22 =
( 2s1/ 2 )
2
(3.48)
V (1, 2 ) ( 2s1/ 2 )
2
01
+ 2e2 s1/ 2
2
⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 1 1 1 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
00
2 ( 2.0 + 1) 2 2 2 2
2
+ B + C + 2e2 s1/ 2
4 1
= − A1 . + B + C + 2e2 s1/ 2
2 2
= −9,356MeV
(3.49)
H12 = (1d5/ 2 ) V (1, 2 ) ( 2s1/ 2 )
2
= ( −1)
1+1+1+1
A1
2 ( 2.0 + 1)
2
01
⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
(1 + 1)(1 + 1)
5 1
⎧
151
+ + 2+ 0 5
00
× ⎨( −1) 2 2
−
2 222
⎩
−
5151
01
2222
1 111
2 + 2 + 0 +1
⎤
00 ⎡1 − ( −1)
−
⎣
⎦
2 222
1111
1 ⎫
01 ⎡1 + ( −1) ⎤ ⎬
⎣
⎦⎭
2222
61
=
A1 6.2 1 1
.
.2
2 2 6 2
= 1, 732MeV
(3.50)
Eşitlik (3.48), (3.49) ve (3.50)’yi Eşitlik (3.15)’de yerlerine yazalım:
{
Ep =
1
−15, 792 − 9,356 ±
2
Ep =
1
{−25,148 ± 7,3}
2
(15, 792 − 9,356 ) + ( 2.1, 732 )
2
2
}
E1 ( 0+ ) = −16, 224MeV ve E2 ( 0+ ) = −8,924 MeV
E ( 0+ ) = −7,3MeV
( 2 ,1) durumu:
+
H11 = (1d5 / 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 )
2
2
21
+ 2e1d5 / 2
2
⎛ 5 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ 5 1 5 1
2 ⎠
= − A1 ⎝
−
20
2 ( 2.2 + 1) 2 2 2 2
= − A1
2
+ B + C + 2e1d5 / 2
36
.0,19 + B + C + 2e1d5 / 2
2.5
= −0, 684 A1 + B + C + 2 ( −6, 76 )
= −13,16MeV
(3.51)
62
H 22 = (1d5 / 2 2 s1/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5 / 2 2 s1/ 2 )
21
+ e1d5 / 2 + e2 s1/ 2
2
⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ 1 1 5 1
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
= − A1 ⎝
−
20
2 ( 2.2 + 1)(1 + 0 ) 2 2 2 2
2
+ B + C + e2 s1/ 2 + e1d5 / 2
6.2
.5.0,1.2 + B + C + e1d5 / 2 + e2 s1/ 2
2.5
= − A1
= −11, 67 MeV .
(3.52)
H12 = (1d5/ 2 ) V (1, 2 ) (1d5/ 2 2 s1/ 2 )
2
= ( −1)
1+1+1+1
A1
2 ( 2.2 + 1)
⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟ ⎜ 2. + 1⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
(1 + 1)(1 + 0 )
5 1
⎧
151
+ + 2+ 0 5
20
× ⎨( −1) 2 2
−
2 222
⎩
−
=−
5151
21
2222
21
1 151
2 + 2 + 2 +1
⎤
20 ⎡1 − ( −1)
−
⎣
⎦
2 222
1151
1 ⎫
21 ⎡1 + ( −1) ⎤ ⎬
⎣
⎦⎭
2222
A1
6 6. 5.0,19518. 5.0,31623.2
2.5
= 0,9MeV
(3.53)
Eşitlik (3.51), (3.52), (3.53)’ü Eşitlik (3.15)’de yerlerine yazalım:
E ( 2+ ) =
{
1
−13,16 − 11, 67 ±
2
( −13,16 + 11, 67 ) + ( 2.0,9 )
2
2
}
63
E ( 2+ ) =
1
{−24,83 ± 2,33}
2
E1 ( 2+ ) = −11, 25MeV ve E2 ( 2+ ) = −13,58MeV
E ( 2+ ) = −13,58 + 11, 25 = −2,33MeV .
Şekil 3.3. 22 Ne çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı
64
3.4.
32
16
30
16
S16 Çekirdeği için Enerji Hesabı
S14 kor
EΓb (kor + ρ 2 ) = E b (30 S ) + 2eρ + EΓ ( ρ 2 )
E b (30 S ) = [16.1.007825 + 14.1, 00866501 − 29,984903].931,5
= 243, 687 MeV .
e2 s 1/ 2 = E b (31 S ) − E b (30 S )
= [16.1.007825 + 15.1, 00866501 − 30,979554]931,5 + 243, 687
= −13, 05 MeV .
65
İzinli Durumlar (0 + ,1)
(2s 1 / 2 ) 2
EΓb (30 S + 2 s1/2 2 ) = E b (30 S ) + 2e2 s1/ 2 + EΓ (2 s1/2 2 )
= E b (30 S ) + 2e2 s1/ 2 + (2 s1/ 2 ) 2 V (1, 2) (2 s1/ 2 ) 2
1
(2. + 1) 2
1 111
2
−
(2 s1/ 2 ) 2 V (1, 2) (2 s1/ 2 ) 2 = − A1
00
01
2(2.0 + 1) 2 2 2 2
01
2
+ B+C
eşitliğinde:
1 111
−
00
2 222
2
=
1
1
=
1
2. + 1 2
2
yerine yazılırsa:
(2s1/ 2 ) 2 V (1, 2) (2s1/ 2 ) 2
4 1
= − A1 . + B + C = − A1 + B + C .
01
2 2
(3.55)
elde edilir. Toplam bağlanma enerjisi:
EΓb (30 S + 2 s1/2 2 ) = E b (30 S ) + 2e2 s 1/ 2 − A1 + B + C olur.
(2s11/ 2 1d 31 / 2 )
İzinli Durumlar :
(1+ ,1) (2+ ,1)
(3.56)
66
EΓb (kor + ρ 2 ) = E b (30 S ) + e2 s1/ 2 + e1d 3 / 2 )
1
= E b (30 S ) + e2 s1/ 2 + e1d3 / 2 + (2 s1/1 21d1/1 2 ) V (1, 2) (2 s1/1 21d3/1 2 )
Γ
1
3
2
(2. + 1)(2. + 1)
3 111
2
(2 s1/1 21d3/1 2 ) V (1, 2) (2 s1/1 21d3/1 2 ) = − A 2
10 [1 + (−1)0+ 2+1 ] + B + C
−
11
2(2.2 + 1)(1 + 0) 2 2 2 2
= B+C
(3.58)
1
3
2
(2. + 1)(2. + 1)
3 111
2
−
(2s1/1 21d3/1 2 ) V (1, 2) (2 s1/1 21d 3/1 2 ) = − A 2
20 [1 + (−1)0+ 2+ 2 ] + B + C
21
2(2.2 + 1)(1 + 0) 2 2 2 2
eşitliğinde:
3 111
20 = (−1)
−
2 222
3 1
− +0
2 2
⎛3
⎜
2.2 + 1 ⎜ 2
⎜ −1
⎜
⎝ 2
1 ⎞
2
2 ⎟
⎟
1
0 ⎟⎟
⎠
2
= 5.0.31623
yerine yazılırsa:
(2 s1/1 21d 3/1 2 ) V (1, 2) (2 s1/1 21d 3/1 2 )
21
2.4
.5.0,1.2 + B + C
2.5
= −0,8 A1 + B + C
= − A1
elde edilir.
E b (30 S + 2s1/1 21d3/1 2 )11 = E b (30 S ) + e2s 1/ 2 + e1d3 / 2 + B + C
= E b (30 S ) + e2 s 1/ 2 + e1d 3 / 2 − 0,8 A1 + B + C
(3.59)
67
(1d 3 / 2 ) 2
İzinli Durumlar :
(0 + ,1)(2 + ,1)
EΓb (30 S + 1d3/2 2 ) = E b (30 S ) + 2e1d 3 / 2 + EΓ (1d3/2 2 )
= E b (30 S ) + 2e1d 3 / 2 + (1d3/ 2 ) 2 V (1, 2) (1d3/ 2 ) 2
2
(1d 3 / 2 ) V (1,2) (1d 3 / 2 )
2
01
3
(2. + 1) 2
3 131
2
= − A1
.
00
2(2.0 + 1) 2 2 2 2
Γ
2
+ B+C
eşitliğinde:
3 111
00
−
2 222
2
1
1
=
2
4
2. + 1
3
yerine yazılırsa:
(1d3/ 2 ) 2 V (1, 2) (1d3/ 2 ) 2
01
= − A1
16 1
. + B+C
2 4
= −2 A1 + B + C
(3.60)
elde edilir.
3
(2. + 1) 2
3 131
2
(1d3/ 2 ) V (1, 2) (1d3/ 2 )
20
= − A1
−
21
2(2.2 + 1) 2 2 2 2
2
eşitliğinde:
2
2
+ B+C
68
3 131
20 = (−1)
−
2 222
3 3
− +0
2 2
⎛ 3
⎜
2.2 + 1 ⎜ 2
⎜− 1
⎜
⎝ 2
3
2
1
2
⎞
2⎟
⎟
0 ⎟⎟
⎠
= 5.0, 22361
yerine yazılırsa:
(1d3/ 2 ) 2 V (1, 2) (1d3/ 2 ) 2
21
= − A1
16
.5.0, 05 + B + C
2.5
= −0, 4 A1 + B + C
elde edilir. Toplam enerjisi ise,
E b (30 S + 1d 3/2 2 )01 = E b (30 S ) + 2e1d 3 / 2 − 2 A1 + B + C
E b (30 S + 1d 3/2 2 ) 21 = E b (30 S ) + 2e1d3 / 2 − 0, 4 A1 + B + C
şeklinde ifade edilir.
(3.61)
69
30
π
S koruna göre hesaplanmış
enerjileri
Konfigürasyon
J
(1d )
0+
2es 1/ 2 − A1 + B + C
0
(1d )
1+
e s 1 / 2 + ed 3 / 2 + B + C
A1 + ed3 / 2 − es 1/ 2
( 2s1/ 21d5/ 2 )
2+
e s1 / 2 + ed 3 / 2 − 0,8 A1 + B + C
0, 2 A1 + ed3 / 2 − es1/ 2
( 2s1/ 21d5/ 2 )
0+
2e1d 3 / 2 − 2 A1 + B + C
− A1 + 2ed3 / 2 − 2es 1/ 2
( 2s1/ 2 )
2+
2e1d3 / 2 − 0, 4 A1 + B + C
0, 6 A1 + 2ed3 / 2 − 2es 1/ 2
2
5/ 2
2
5/ 2
2
Tablo 4.
32
16
Si16 ’un
30
16
Uyarılma Enerjileri
Si14 koruna göre düzenlenmiş enerjileri
Tablo 4’de A ve B değerleri:
A1 = B =
25
= 0, 78 ’dir
32
e2 s1/ 2 − e1d3 / 2 = 1,548
ed
3/ 2
= −11,5 MeV .
E b (30 S ) + 2e2 s1/ 2 − A1 + B + C = −243, 687 − 2.13, 05 − 0, 78 + 0, 78
= −269, 787 MeV
70
(1d )
2
5/ 2
için,
A1 + e1d3 / 2 − e2 s1/ 2 = 0, 78 − 11,5 + 13, 05 = 2,33 MeV
( 2s1/ 21d5 / 2 ) için,
0, 2 A1 + e1d3 / 2 − e2 s1/ 2 = 0, 2.0, 78 − 11,5 + 13, 05 = 1, 706 MeV .
− A1 + 2e1d3 / 2 − 2e2 s 1/ 2 = −0, 78 − 2.11,5 + 2.13, 05 = 2,32 MeV .
( 2s1/ 2 )
2
için,
0, 6 A1 + 2e1d3 / 2 − 2e2 s1/ 2 = 0, 6.0, 78 − 2.11,5 + 2.13, 05 = 3,568 MeV
Konfigürasyon karışımı göz önüne alındığında:
( 0 ,1) durumu:
+
H11 = (2 s1/ 2 ) 2 V (1, 2) (2 s1/ 2 ) 2
01
+ 2e2 s1/ 2
1
(2. + 1) 2
1 111
2
00
= − A1
−
2(2.0 + 1) 2 2 2 2
2
+ B + C + 2e2 s1/ 2
4 1
= − A1 . + B + C + 2e2 s1/ 2
2 2
= − A1 + B + C + 2e2 s1/ 2
= 2.(−13, 05) = −26,1 MeV
(3.62)
71
3
(2. + 1) 2
3 131
2
00
H 22 = − A1
−
2(2.0 + 1) 2 2 2 2
= − A1
2
+ B + C + 2e1d3 / 2
16 1
. + B + C + 2e1d3 / 2
2 4
= 2 A1 + B + C + 2e1d3 / 2
= −2(0, 78) + 0, 78 − 2(11,5)
= −23, 78 MeV
(3.63)
H 12 = (2 s1 / 2 ) 2 V (1,2) (1d 3 / 2 ) 2
A1
= (−1)1+1+1+1
2(2.0 + 1)
01
1
1
3
3
(2. + 1)(2. + 1)(2. + 1)(2. + 1)
2
2
2
2
(1 + 1)(1 + 1)
1 3
+ + 0+ 2 1
⎧
111
−
x ⎨(−1) 2 2
00
2
2
2
2
⎩
−
=
1111
01
2222
3 131
0 + 0 + 0 +1
⎤
−
00 ⎡1 − ( −1)
⎣
⎦
2 222
⎫
3131
01 ⎡⎣1 + (−1)1 ⎤⎦ ⎬
2222
⎭
A1 2.4 1 1
.
.2
2 2 22
= 1, 41A1 = 1,1 MeV
Eşitlik (3.62), (3.63) ve (3.64) Eşitlik (3.15)’de yerlerine yazılırsa:
(3.64)
72
Ep =
{
1
−26,1 − 23, 78 ± (−26,1 + 23, 78) 2 + (2.1,1) 2
2
E1 (0+ ) = −26,54 MeV
} = 12 {−49,88 ± 3, 2}
E2 (0+ ) = −23,34 MeV .
ve
E (0+ ) = −3, 2 MeV .
( 2 ,1) durumu :
+
H11 = (1d3/ 2 ) 2 V (1, 2) (1d 3/ 2 ) 2
21
+ 2e1d3 / 2
3
(2. + 1) 2
3 131
2
= − A1
−
20
2(2.2 + 1) 2 2 2 2
2
+ B + C + 2e1d3 / 2
(3.65)
eşitliğinde:
3 131
20 = (−1)
−
2 222
3 3
− +0
2 2
⎛ 33 ⎞
⎜ 2 2 2⎟
2.2 + 1 ⎜
⎟ = 5.0, 22361
⎜− 1 1 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 22 ⎠
yerine yazılırsa:
H11 = − A1
16
.5.0, 05 + B + C + 2e1d3 / 2
2,5
= −0, 4 A1 + B + C + 2e1d3 / 2
= −0, 4.0, 78 − 2.11,5 = 22,532 MeV .
(3.66)
73
H 22 = (1d3/ 2 2s1/ 2 ) V (1, 2) (1d3/ 2 2s1/ 2 )
21
+ e1d3 / 2 + e2 s1/ 2
1
3
2
(2. + 1)(2. + 1)
1 131
2
2
20 [1 + (−1) 2+ 0+ 2 ] + B + C + e2 s 1/ 2 + e1d 3 / 2
= −A
−
2(2.2 + 1)(1 + 0) 2 2 2 2
eşitliğinde:
⎞
⎛1 3
2⎟
⎜
1 131
⎟ = 5.0,31623
20 = 2.2 + 1⎜ 2 2
−
⎜ −1 1 ⎟
2 222
0⎟
⎜
⎝ 2 2 ⎠
yerine yazılırsa:
H 22 = − A1
2.4
.5.0,1.2 + B + C = −0,8 A1 + B + C + e1d3 / 2 + e2 s1/ 2
2.5
= −0,8.0, 78 + 0, 78 − 11,5 − 13, 05
= −24,394 MeV .
(3.67)
H12 = (1d3/ 2 ) 2 V (1, 2) (1d3/ 2 2 s1/ 2 )
A1
=
2.(2.2 + 1)
3
3
3
1
(2. + 1)(2. + 1)(2 + 1)(2. + 1)
2
2
2
2
(1 + 1)(1 + 0)
3 1
+ + 2+ 0 3
⎧
131
x ⎨(−1) 2 2
20
−
2 222
⎩
[
21
]
. 1 − (−1) 2+ 2+ 2+1 −
3 111
20
−
2 222
[
]
⎫
3131
1131
21
21 1 + (−1)1 ⎬
2222
2222
⎭
74
=
A1
.4.2. 5.0, 22361. 5.0,31623.2
2,5
= 0,57 MeV
(3.68)
Eşitlik (3.66), (3.67) ve (3.68)’ı Eşitlik (3.15)’de yerlerine yazalım:
E p (2+ ) =
E (2+ ) =
{
1
−22,532 − 24,394 ∓ (22,532 − 24,394) 2 + (2, 0,57) 2
2
1
{−46,926 ∓ 2,18}
2
E1 (2+ ) = −24,553 MeV
E (2+ ) = −24,553 + 22,373
E (2+ ) = −2,18 MeV .
ve
E2 (2+ ) = −22,373 MeV .
}
75
Şekil.3.4.
32
S çekirdeği için hesaplanmış enerji seviyeleri diyagramı.
76
TARTIŞMA ve SONUÇ
Bilindiği gibi, çekirdeklerin fiziksel özelliklerinin incelenmesinde ve deneysel
verilerin yorumlanmasında en çok kullanılan yöntemlerden biriside çekirdeğin Kabuk
modelidir.
Bu tezde, Kabuk modelini kullanarak çekirdeklerin enerji seviyelerini hesaplamak
için formüllere dahil olan matris elemanları yeni yöntem kullanılarak daha hassas ve hızlı
hesaplanmıştır. Oluşturulan formüllerden görülür ki; çekirdeklerin enerjilerinin hassas
olarak hesaplanması Clebsch-Gordan katsayılarının ve 3-j sembolleri için seçilen
formüllere bağımlıdır. Bu tezde Clebsch-Gordan ve 3-j sembollerinin hassas ve hızlı
hesaplanması için yeni yöntem kullanılmıştır. Ayrıca C-G ve 3-j sembollerinin
bilgisayarda tekraren hesaplanmaması için hafızadan çağırma formülü oluşturulmuştur.
30
Si16 ,
Oluşturulan formüller kullanılarak bazı hafif çekirdeklerin ( 14
32
16
24
12
Mg 12 ,
22
10
Ne12 ,
S16 ) enerji seviyeleri Kabuk modeli yöntemiyle hesaplanmış ve elde edilen sonuçlar
Şekil 1-4 de gösterilmiştir. Hesaplama sonuçları literatür sonuçlarıyla karşılaştırılmıştır.
Alınan sonuçlardan ve enerji seviyelerinin şekillerinden görüldüğü gibi, bu çekirdeklerin
mixed(karışık) durumu için elde edilen değerler genel olarak deneysel değerlerle daha iyi
bir uyum içindedir. Belirtelim ki, çekirdeklerin enerji seviyeleri hesaplanırken sadece kor
dışındaki nükleonlar arasındaki etkileşmeleri değil, aynı zamanda bu nükleonlarla korun
etkileşimi de dikkate almak gerekir. Bunun gibi, enerjinin hesaplanmasında diğer
etkileşimler, örneğin; çiftlenim etkisi, coulomb etkisi, vs. gibi çeşitli terimler dikkate
alınırsa, daha iyi sonuçlar elde edilebilir.
Özetle söylemek gerekirse, enerji seviyelerinin hesaplanmasında konfigürasyon
karışımı kaçınılmaz bir konudur ve bu hesaplamaların tam doğruluğu için toplam
bağlanma enerjisine katkıda bulunan tüm etkiler dikkate alınmalıdır. Aynı zamanda, eğer
nükleonların daha yüksek enerji seviyelerinde olmasına izin verilirse, enerji seviyeleri için
daha iyi sonuçlar elde edilebilir.
77
KAYNAKLAR
1. BARRETT, B.R. and KIRSON, M.W., 1973, Adv. Nucl. Phys. 6, 219.
2. BEINER, M., FLOCARD, H., GIAI, N. V. and QUENTIN, P., 1975, Nuclear
Physics A 238, 29.
3. BROWN, B. A., 2001, Progress in Particle and Nuclear Physics, Vol.47, 517-599.
BROWN, B.A., BRONK, C. and HODGSON, P. E., 1984, Jour. Phys. G: 10,
1683.
4. BRUSSAARD, P. J. and GLAUDEMANS, P.W.M., 1977, Shell-model
applications in nuclear spectroscopy.
5. DİNCEL, G., 2001, Shell Modeli Hesaplamaları, Uludağ Üni., Y.Lisans Tezi, Bursa.
6. FIRESTONE, R.B., SHIRLEY, V.S. (EDS.), 1998, Tablo of Isotopes, eighth ed.,
Wiley, N.York.
7. GEDİKOĞLU, A., 1988, Çekirdek Fiziğine Giriş, Karadeniz Teknik Üniversitesi
Basımevi, Fakülte Yayın No: 43, Trabzon.
8. GUSEINOV, I.I., 1970, J. Phys. B 3, 1399
78
9. GUSEINOV, I.I., 1985, Phys. Rev. A 32. 1864
10. GUSEINOV, I.I., 1994, Theor. and Exp. Chem. 5,603
11. GUSEINOV,
I.I.,
MAMEDOV,
B.A.,
2005,
Journal
of
Molecular
Structure:THEOCHEM 715, 177-181
12. GUSEINOV, I.I., ÖZMEN, A., ATAV,Ü. and YÜKSEL, H., 1995, Journal of
Computational Physics 122, 343-347.
13. JIANG, M.W., MACHLEIDT, R., STOUT, D.R., and KUO, T.T.S., 1992,
Physical Review C 46, 910.
14. KARAOĞLU, BEKİR, 2006, Kuantum Mekaniği, Seçkin Yayıncılık.
15. KRANE, K.S., 2001, Nükleer Fizik, Cilt 1, Palme Yayıncılık.
16. KUO, T.T.S. and BROWN, G.E., 1966, Nuclear Physics 85, 40.
17. KUO, T.T.S., 1974, Ann. Rev. Nucl. Sci. 24, 101.
18. MAMEDOV B.A., 2004, Chınese Journal of Physics Vol.42 , 176
19. NEGELE, J.W., 1970, Physical Review C 1, 1260.
20. NUCLEAR STRUCTURE AND DECAY DATA, NATIONAL NUCLAR DATA
CENTER, 2001, Brookhaven National Laboratory, ENSDF ( Evaluated Nuclear
Structure Data File ), Upton, NY.
21. RUTHERFORD, E., 1911, Phil. Mag. 21,669.
79
22. SERWAY, R. A., 1995. Physics-3 ( For Scientists & Engineers with Modern
Physics), Palme Yayıncılık.
80
ÖZGEÇMİŞ
1980 yılında Karaman ilinde doğdu. İlk ve Orta öğrenimini Mümine Hatun İlköğretim
Okulu, lise öğrenimini Karaman Lisesi’nde tamamladı. 1998 yılında Gaziosmanpaşa
Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü’nü kazandı ve 2003 yılında buradan
mezun oldu. 2005 yılında Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik
Anabilim Dalında yüksek lisans yapmaya başladı.
81
Download

tc gaziosmanpaşa üniversitesi fen bilimleri enstitüsü nükleer kabuk