Bilgisayar Ara Yüzü ile Cisimlerin Eylemsizlik Momentlerinin Tayini
Amaç
Farklı cisimleri eylemsizlik momentlerinin salınım ölçümleri ile tayini ve Steiner teoreminin
kanıtlanması.
Şekil 1 – Deneysel kurulum.
Teori ve Değerlendirme
Küçük salınımların genliği için, dönme açısı ve buna bağlı dönme momentumu birbirine diktir ve
harmonik dairesel salınımları frekansla birlikte elde edilebilir.
=�
∗
.

J bilindiğine göre bu formülde D*’ı hesaplamak için kullanılabilir.
Açısal sürücü kuvvet D*, eski haline dönen yayın (bu durumda spiral yay) üzerinden verilir. Dairesel
salınımdaki salınım süresi ölçüm yardımı ile bulunur.
 = 2�

.
∗
Bilinmeyen eylemsizlik momenti ise, açısal sürücü kuvvet D* ve salınımın periyodu T ile aşağıdaki
formülde olduğu gibi hesaplanabilir:
=
2 ∗

4 2
Teorik yaklaşımlar aşağıdaki deneysel cisimler için eylemsizlik momenti “J” ilişkilerinin çıkartılmasını
sağlar.
Dairesel Disk:
Dairesel diskin eylemsizlik momenti “J”, sahip olduğu kütleye “m” ve yarıçapa “r” bağlıdır:
=
Dolu ve İçi Boş Silindir:
1
 . 2 .
2
Dolu silindirin eylemsizlik momenti “J V ”, sahip olduğu kütleye “m V ” ve yarıçapa “r” bağlıdır ve
aşağıdaki ilişki geçerlidir:
1
 =  .  2 .
2
Belirli bir kütleye ve dış yarıçapa sahip içi boş silindirin için eylemsizlik momenti “J H ” daha büyük
olmalıdır. Hem kütlesine “m H ” hem de yarıçaplara “r i ” ve “r a ” bağlıdır:
1
 =  (2 + 2 ) (içi boş silindir)
2
Bir yoğunluk “ρ” ve bir yükseklik “h” için içi boş silindirin kütlesi aşağıdaki gibi yazılabilir:
 =  . ℎ .  (2 − 2 )
Eylemsizlik momenti “J H ” aşağıdaki gibi elde edilebilir.
oradanda:
 =
1
 . ℎ .  (2 − 2 ) (2 + 2 )
2
 =
1
1
 . ℎ .  4 −  . ℎ .  4 .
2
2
İçi boş silindirin eylemsizlik momentini ifade eden bu denklem, aynı yoğunluğa sahip iki silindir olarak
ifade edilebilir. Yarıçapı “r a ” olan büyük dolu silindirin kütlesi:
 =  . ℎ .  . 2
ve yarıçapı “r i ” olan küçük dolu silindirin kütlesi:
 =  . ℎ .  . 2 .
Böylece
Küre:
 =
1
1
 . 2 −  . 4 .
2
2
Homojen dağılmış küresel bir cismin eylemsizlik momenti “J K ”, merkez noktasından geçen eksene
bağlıdır:
 =
2
 . 2 .
5
Böylece aynı yarıçapa “r” sahip ve aynı kütleye sahip “m” silindirin eylemsizlik momenti küreden daha
büyüktür.
Hareketli Kütlelere Sahip Çubuk:
Kaydırılabilen kütlelere sahip çubuğun eylemsiz momenti, kütlelerin uzaklığına ve dönme eksenine
bağlıdır. Kütlesiz bir çubuğun eylemsizlik momenti aşağıdaki gibidir:
=
Çubuksuz kütlelerin ise eylemsizlik momenti ise:
1
 2 .
12
2 .  . 2
ve böylece çubuğun ve kütlelerin toplam eylemsizlik momenti:
Steiner teoremi:
1
 2 + 2 .  .  2 = 0 + 2 .  .  2 .
12
Steiner teoremine göre, rastgele bir eksende dönen cismin toplam eylemsizlik momenti “J”, iki
parçadan oluşmaktadır: ,
 = 0 +  .  2 .
J 0 , dönme eksenine paralel olan ve çekim merkezinden geçen eksenle ilişkili olan eylemsizlik
2
momentini verir. “mr ” tanımı dönme eksenine bağlı olan kütle çekim merkezinde yoğunlaşmış cismin
kütlesinin eylemsizlik momentini göstermektedir.
Kurulum ve Prosedür
Deneysel kurulum Şekil 1’deki gibi gösterilmiştir.
1. Işık bariyerini Cobra3 Basit Ünitesine elektrik bağlantısını Şekil 2’deki gibi gerçekleştirin. Dönme
eksenine bağlı ipliğin ışık bariyerindeki tekerlekte yatay olduğundan emin olun. İpliği ortalama 7 defa
sabitleyici vidanın altındaki açısal salınım aparatının dönme ekseninde sarın.
Şekil 2 – Cobra3 devre kurulumu
2. Ölçüm parametrelerini Şekil 3’deki gibi ayarlayın. Aks çapının 20 mm olarak ayarlayarak, ışık
bariyeri üzerindeki tekerleğin dönüşlerini ve farklı hızlarda dönen açısal salınım aparatının
senkronizasyonun gerçekleştirin.
Şekil 3 – Ölçüm parametreleri
3. İpliği ışık bariyerindeki tekerlek boyunca uzatın, 1 gr’lık ağırlık tutucu yaklaşık olarak ipliğin
ortasında olacak şekilde serbest bir şekilde asılı kalmasını sağlayın. Bu durumda, iplik salınımı
engellemeyecek kadar uzun olmalıdır.
4. Yansıyan cisim yay üzerinde yaklaşık 180° olacak şekilde sığdırılıp, bırakılmasıyla birlikte “Start
measurement” (Ölçüme Başla) ikonu ile ölçüm değerlerinin kaydedilmesi başlayın.
10 – 15 sn sonra, “Stop measurement” (Ölçümü Durdur) ikonuna tıklayın.
5. Eğer “Get values every (50) ms” (Her 50ms’de değerleri al) diyalog kutusundaki değerler (50ms)
çok yüksek veya çok düşükse, gürültülü veya düzgün dağılmayan bir ölçüm meydana gelebilir. Bu
duruma ölçümün örnekleme oranı ayarlanmalıdır.
6. 1 gr’lık ağırlık tutucu, ışık bariyeri ve açısal salınım aparatının dönme eksenini bağlayan ipi
sıkıştıracaktır. Eğer iplik, cisim ışık bariyeri üzerindeki hareketi sırasında fazlalık yaparsa, 1 gr’lık daha
ağırlık asın.
Şekil 4 – Periyodun gösterildiği tipik bir ölçüm sonucu
7. Sırası ile deliksiz disk, içi boş silindir, dolu silindir, küre, çubuk ve delikli diski dönme ekseninde
yerleştirin. Şekil 4’deki gibi çıkacak ölçüm sonucundan periyodu her bir cisim için hesaplayın ve
eylemsizlik momentini bulun.
8. Çubuk üzerindeki ağırlıkların yerini değiştirerek periyot ölçümü yapın ve eylemsizlik momentini
bulun.
9. Merkezinden başlayarak, diski yarıçapı üzerinde bulunan deliklerinden döndürerek periyot ölçümü
yapın ve eylemsizlik momentini bulun.
10. Daha sonra kütleleri ve çaplarını ölçerek her bir cisim için eylemsizlik momentini teorik olarak
hesaplayın.
Tablo 1 – Farklı cisimler için kütle, yarıçap, ölçülen ve teorik eylemsizlik momentleri
Cisim
m / kg
2
r / cm
2
J T / kgcm
J / kgcm
Disk
Dolu silindir
İçi boş silindir
Küre
Tablo 2 – Farklı ağırlık mesafeleri için çubuktaki ölçülen ve teorik eylemsizlik momentleri
l / cm
J ölçülen / kgcm
2
2
2 . l m / kgcm
2
2
2
2 . l m + J 0 / kgcm
5
10
15
20
25
Tablo 3 – Farklı yarıçap mesafeleri için diskteki ölçülen ve teorik eylemsizlik momentleri
r / cm
0
3
6
9
12
J ölçülen / kgcm
2
2
m r / kgcm
2
2
J 0 + m r / kgcm
2
Download

Bilgisayar Ara Yüzü ile Cisimlerin Eylemsizlik Momentlerinin Tayini