8
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1.2
Euclidean Topolojik Uzay
Ru
¨zerinde d(x, y) = |x − y| e¸sitli˘
gi ile tanımlı Euclidean metrik ve Euclidean
topolojik uzay kavramını n ∈ N i¸cin Rn u
¨zerine genelleyebiliriz. Bunun i¸cin
bazı standart e¸sitsizliklere ihtiyacımız olacak.
0 < α < 1 olmak u
¨zere f : [0, ∞) × (0, 1) → R fonksiyonu
f (x, α) = αx + (1 − α) − xα
esitli˘gi ile tanımlansın. f fonksiyonunun t¨
urevini sıfır yapan tek de˘ger x = 1
dir ve o noktada f ’nin ikinci t¨
urevi negatif de˘ger alır. Buradan her 0 ≤ x i¸cin
0 = f (1) ≤ f (x), yani her x ∈ R+ i¸cin
xα ≤ αx + 1 − α
elde edilir. Bunun bir uygulaması nedeniyle 0 ≤ a,b ve
1 < p, q ve p−1 + q −1 = 1
i¸cin, Yaung e¸sitsizli˘
gi olarak adalandırılan a¸sa˘gıdaki e¸sitsizlik
ab ≤ p1 ap + 1q aq
elde edilir. S¸imdi a¸sa˘
gıdaki iki temel e¸sitsizli˘gi verebiliriz.
Teorem 1.5. ai , bi ∈ R+ (i = 1, ..., n) ve p,q ∈ R+ sayıları
¨
ozelli˘ginde olsun. A¸sa˘gıdakiler e¸sitsizler ge¸cerlidir.
(i) H¨
older e¸sitsizli˘
gi:
Pn
i=1 ai bi
1
p
+
1
q
= 1
1 P
1
P
≤ ( ni=1 api ) p ( ni=1 bqi ) q .
1
1
1
P
P
P
(ii) Minkowski e¸sitsizli˘
gi: ( ni=1 (ai + bi )p ) p ≤ ( ni=1 api ) p + ( ni=1 bpi ) p .
Kanıt: (i).
1
1
P
P
A = ( ni=1 api ) p ve B = ( ni=1 bqi ) q
diyelim. A = 0 ya da B = 0 i¸cin istenen a¸cık. Yaung e¸sitsizli˘gini uygulayarak
her 1 = 1, 2, ..., n i¸cin
ai bi
AB
p
≤ p1 ( aAi )p + 1q ( bBi ) .
Buradan
1
AB
Pn
i=1 ai bi
=
Pn
ai bi
i=1 ( A B )
≤
Pn
1 ai p
i=1 ( p ( A )
+ 1q ( aAi )q ) = 1.
1.2. Euclidean Topolojik Uzay
9
elde edilir. Bu istenilen e¸sitsizliktir.
(ii). Basilt i¸slemler ve H¨
olers e¸sitsizli˘
ginden a¸sa˘gıdaki e¸sitsizlik elde edilir.
Pn
i=1 (ai
P
+ bi )p = Pni=1 (ai + bi )(ai + bi )p−1
Pn
n
p−1
p−1 +
=
i=1 ai (ai + bi )
i=1 ai (ai + bi )
1 P
1
1 P
1
Pn
P
= ( i=1 ai ) p ( ni=1 (ai + bi )q(p−1) ) q + ( ni=1 bi ) p ( ni=1 (ai + bi )q(p−1) ) q
1
1
1
P
P
P
= (( ni=1 ai ) p + ( ni=1 bi ) p )( ni=1 (ai + bi )p ) q
Buradan da
(
Pn
i=1 (ai
1
1
1
P
P
P
1− 1
+ bi )p ) p = ( ni=1 (ai + bi )p ) q ≤ ( ni=1 ai ) p + ( ni=1 bi ) p )
B¨oylece kanıt tamamlanır.
Rn u
¨zerinde p-Euclidean metri˘
gi a¸sa˘
gı a¸sa˘gıdaki gibi tanımlarız.
Teorem 1.6. n ∈ N ve 1 ≤ p verilsin. X = Rn olsun. a = (a1 , ..., an ) ve
b = (b1 , ..., bn ) ∈ X olmak u
¨zere,
1
P
d(a, b) = ( ni=1 |ai − bi |p ) p
olarak tanımlanan d, X u
¨zerinde metriktir. Bu metri˘ge Euclidean p-metrik
denir. Bu metrik genel de dp ile g¨
osterilir.
Kanıt: Metrik aksiyomlarında (M 1) ve (M 2)’nin sa˘glandı˘gı bariz. (M 3) ise
Minkowski e¸sitsizli˘
ginden ba¸ska bir¸sey de˘
gildir.
X = Rn u
¨zerinde Euclidean ∞-metri˘
gi,
d∞ (a, b) = sup1≤i≤n |ai − bi |
e¸sitli˘gi ile tanımlanır. Bunun ger¸cekten bir metrik oldu˘gu barizdir. 1 ≤ p, q ≤
∞ i¸cin, dp ve dq metrikleri e¸sit olmasa da bu metrikler aynı topolojiyi u
¨retirler.
¨
Once
bu metriklerin, a¸sa˘
gıdaki anlamda, denk olduklarını g¨osterelim.
Teorem 1.7. X = Rn ve 1 ≤ p verilsin. Her x,y ∈ X i¸cin
md∞ (x, y) ≤ dp (x, y) ≤ M d∞ (x, y)
¨
ozelli˘ginde m, M > 0 sayıları vardır.
1
Kanıt: m = 1 ve M = n p istenileni sa˘
glar.
S¸imdi a¸sa˘gıdaki tanımı verebiliriz.
10
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
Tanım 1.5. X = Rn u
¨zerinde tanımlı dp (1 ≤ p ≤ ∞) tarafından u
¨retilen
topolojiye n-Eucledian topoloji denir. Topolojisi n-Eucledian topoloji olan
topolojik uzaya n-Eucledian topolojik uzay ya da (n-Eucledian uzay)
denir.
Alı¸stırmalar
1.10. n ∈ N ve X = Rn olmak u
¨zere, X u
¨zerindeki n-Eucliden topoloji ile carpım topolojilerinin e¸sit oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.11. 0 < p < ∞ verilsin.
P
lp = {(xn ) : xn ∈ R, n |xn |p < ∞}
olarak tanımlansın. Her x = (xn ) ve y = (yn ) ∈ lp i¸cin
1
P
dp (x, y) = ( n |xn − yn |p ) p
olarak tanımlansın. A¸sa˘
gıdakilerin do˘
grulu˘
gunu g¨
osteriniz.
(i) x = (xn ) ve y = (yn ) ∈ lp i¸cin (xn + yn ) ∈ lp .
(ii) 1 ≤ p ≤ ∞ i¸cin dp metriktir.
(iii) 0 < p < 1 ise dp simetrik fakat metrik de˘
gildir.
(l2 , dp2 ) uzayına Hilbert uzay denir.
Q
umesinin n∈N R c¸arpım uzayının alt uzayı lp ’de
1.12. 1 ≤ p < ∞ verilsin. Bdp (0, 1) ⊂ lp k¨
a¸cık olmadı˘
gın g¨
osteriniz.
1
Kanıt: Varsayalım ki Bdp (0, 1) a¸cık. Bu durumda n− 2 < 2 ve
−1
∩n
i=1 Pi (−, ) ⊂ Bdp (0, )
o
¨zelli˘
ginde > 0 ve n ∈ N vardır. 1 ≤ i ≤ n i¸cin xi = 2 ve i > n i¸cin xi = 0 olamak
−1
u
¨zere x = (xi ) ∈ ∩n
sın, x 6∈ Bdp (0, 1) dir. Bu c¸eli¸skidir.
i=1 Pi (−, ) olmasına kar¸
Q
1.13. 1 ≤ i ≤ n i¸cin (Xi , di ) metrik uzayalar olsunlar. X = n
i=1 Xi olarak tanımlansın. Her
1 ≤ p < ∞ i¸cin,
1
P
p p
dp ((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) = ( n
i=1 di (xi , yi ) )
olarak tanımlanan dp fonksiyonunun metrik oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
gunu g¨
osteriniz.
1.14. X = R2 olmak u
¨zere her 1 ≤ p < q ≤ ∞ i¸cin Bdp (0, 1) ⊂ Bdq (0, 1) oldu˘
p = 1, 2, 3, ∞ i¸cin Bdp (0, 1)’nin resmini c¸iziniz.
1.15. 1 ≤ p < ∞ i¸cin (lp , dp ) mertik uzayının ayrılabilir oldu˘
gnu g¨
osteriniz.
Kanıt: Her k ∈ N i¸cin
A = {(xn ) ∈ lp : xi ∈ Q, ∃i, xn = 0∀n ≥ i}
diyelim. A sayılabilir k¨
umedir ve A = lp dir.
1.16. (l∞ , d∞ ) mertik uzayının ayrılabilir oldu˘
gını g¨
osteriniz.
Kanıt: l∞ uzayının ayrılabilir oldu˘
gunu varsayalım. A = {fn : n ∈ N} ve A = l∞
o
¨zelli˘
ginde A k¨
umesi vardır. f ∈ l∞ a¸sg
˘ıdaki gibi tanımlansın.
0
|fn (n)| ≥
f (n) =
2
|fn (n)| < 1
olarak tanımlansın.
d∞ (fk , f ) ≥ |fk (k) − fk | ≥ 1
e¸sitsizli˘
ginden f 6∈ A c¸eli¸skisini verecektir.
Download

Alaplı İlçesi Köylere Hizmet Götürme Birliği Başkanlığı Çelik Boru