Ahmet BİÇER
Nevin Zeynep ERDOĞAN
Kaan MANİSA



Bu çalışma üç aşamadan oluşmaktadır:
i) İlk olarak simetrik ve asimetrik nükleer madde için
Varyasyonel Monte Carlo (VMC) hesaplamaları
yapılmıştır,
ii) İkinci aşamada, VMC hesaplamalarından elde
edilen veriler kullanılarak yeni bir Skyrme parametre
seti elde edilmiştir,
iii) Son olarak, Landau-Skyrme parametrelendirmesi
eşitlikleri kullanılarak nükleer madde için yeni bir
Landau parametre seti elde edilmiştir. Elde edilen yeni
Landau parametreleri kullanılarak, nükleer maddenin
sıkıştırılamazlığı ve simetri enerjisi hesaplanmıştır.
 Nükleer
madde teorisi, deneysel olarak bilinen
bağlanma
enerjisi,
denge
yoğunluğu
ve
sıkıştırılamazlık gibi özellikleri elde etmeyi hedefler.
 Nükleer madde sadece güçlü etkileşim yoluyla
etkileşen aynı tip nükleonlar sistemidir. Teorik bir
yapı olmasına rağmen, hem atom çekirdeğini hem de
nötron yıldızı maddesinin özelliklerini araştırmak için
son derece yararlı bir modeldir.
nükleer madde de nötron ve protonların
sayısı eşit olduğu gibi kütleleri de eşit kabul edilir.
Asimetrik nükleer madde durumunda, nötron ve
proton sayıları artık farklıdır. Asimetrik nükleer
madde, nötron veya proton sayısının fazlalığına göre
sırasıyla nötron zengini madde veya proton zengini
madde olarak da adlandırılır.
 Simetrik
nükleer maddenin doyma yoğunluğu ve
enerjisi kararlı çekirdeğin yarıçap ve kütlesinden
deneysel olarak elde edilebilirken asimetrik nükleer
maddenin bu fiziksel özelliklerinde hala bir
belirsizlik vardır.
 Simetrik
Fermi Sıvıları Teorisi
V hacmi içindeki N tane parçacıktan oluşan
sistemin makroskopik özellikleri Landau teorisine
göre hesaplanır. Sıvılar için geliştirilen Van der
Waals denkleminde olduğu gibi, bir sıvı gibi
davranan bileşik çekirdek de basınca ve yoğunluğa
bağlı bir hal denklemine sahiptir. Bu denklem bir
sıvının ya da gazın fiziksel özelliklerini belirler.
İdeal Fermi Gazı ve Fermi Sıvıları
Genelde, belirli bir hacim içinde serbestçe hareket
eden parçacıklardan oluşmuş bir sistem ideal gaz
olarak ifade edilir.
İdeal gazdaki parçacıklar
birbirleriyle çarpışabilir ve bunun sonucunda enerji
değiş-tokuşu yapabilirler. Ancak ideal gazı oluşturan
parçacıklar arasındaki etkileşmeler önemsenmeyecek
kadar zayıftır. İdeal gazı oluşturan her parçacığın
kuantum durumu diğer parçacıkların kuantum
durumlarından bağımsızdır.
Varyasyonel Monte Carlo
 Varyasyonel Monte Carlo (VMC) metodu, sistemin
taban durumuna yaklaşmak için uygulanan
varyasyonel bir Kuantum Monte Carlo metodudur.
VMC çok boyutlu integrallerin sayısal olarak
hesaplanmasında kullanılır.
 Monte Carlo yöntemi, yapay bir dinamik (artificial
dynamics) kullanarak çok cisim sistemlerini simüle
etmek için kullanılan metotlardan birisidir ve rastgele
sayılar (random numbers) üzerine kurulmuştur. Bu
yöntemde kullanılan yapay dinamik bize çok
parçacıktan oluşmuş bir sistemin dinamik fiziksel
özellikleri hakkında birçok durumda bilgi sağlar.

Monte Carlo uygulamalarının en önemli ve belirgin
özelliği, gelişigüzel örnekleme yöntemlerinin
hesaplardaki temel rolüdür.
 Uygulanan
bütün Monte Carlo yöntemlerinde belirli
olasılık dağılımlarından örnekler seçilir. Ele alınan
fiziksel problemin çözümünde, istatistiksel veriler bu
örneklerden toplanır ve bunların analizi ile çözüme
gidilir. Özellikle Monte Carlo yöntemi, incelenen
fiziksel problemin analitik bir çözümü bulunmadığı
durumlarda problemin teorik çözümünde önemli rol
oynar.
Jastrow Yaklaşımı
 Çalışmamızda
Jastrow yaklaşımını Varyasyonel Monte
Carlo yöntemi ile nükleer madde enerjilerinin beklenen
değerlerini hesaplamak için kullandık.
Jastrow
yaklaşımının amacı, birçok parçacık dalga fonksiyonu
oluşturmak ve bu dalga fonksiyonuna göre hesaplanan
toplam enerjiyi minimize ederek varyasyonel
parametreleri belirlemektir.
 Genel
olarak basit Fermi sistemleri için iki ve üç
cisim korelasyon fonksiyonları f ( r ) ,
varyasyonel
dalga fonksiyonu  , F ( r , r , r ) ile spin-aşağı ve
spin-yukarı parçacıklar için yazılan  ( r ,..., r )
ve
 (r
,..., r ) antisimetrik
Slater determinantlarının
çarpımına eşittir:
ij
V
ij
jk
ki
u
d
Au  1
1
Au
A
 V ( R )    F ( rij , r jk , rki    f ( rij )   u ( r1 ,..., rA )  d ( rA  1 ,..., rA )
u
u
 i  j  k
  i  j

(1.1)
denklemi korelasyon fonksiyonları f  F  1
olduğunda Hartree-Fock şekline dönüşür. Jastrow
yaklaşımı üç cisim korelasyonu F  1
ve
çift korelasyon f  1 olduğunda elde edilir. Buna
göre varyasyonel dalga fonksiyonu,

(1.2)
 
f (r )
 Bu
J

J
ij
i j
şeklinde verilir.
 Burada f
sadece parçacıklar arasındaki mesafenin
yani r ji  ri  r j ’nin bir fonksiyonu olan iki parçacık
korelasyon fonksiyonudur. 
ise sistemdeki
parçacıkların birbirleriyle etkileşmedikleri durumda
elde edilen dalga fonksiyonudur.
J
Herhangi bir nükleer maddenin özelliklerinin
hesaplanmasında başlangıç noktası, nükleon-nükleon
etkileşmesini ifade eden bir iki cisim potansiyelidir.
Orta mesafelerde nükleon-nükleon etkileşmesi çekici
olmasına rağmen kısa mesafelerde çok itici özellik
gösterir. Bu durum nükleonları çekirdeğe bağlayan
tek piyon değiş-tokuşuyla meydana gelen orta
mesafedeki etkileşme ve korelasyonların bir
kombinasyonudur.
 Lagaris
ve Pandharipande deneysel verilere en iyi
şekilde uyum sağlaması için 14 operatör bileşen
içeren Urbana potansiyelini aşağıdaki şekilde ifade
etmişlerdir.



V ij     ( i   j )   ( i   j )   ( i   j )( i   j )
c
t
b
  S ij   S ij ( i   j )   ( L .S ) ij   ( L .S ) ij ( i   j )
t
 L 
q
2
q
b
L ( i   j )   L ( i   j )  
  ( L .S )  
bb
2
q
2
bb
2
( L .S ) ( i   j ).
2
q
L ( i   j )( i   j )
2
(1.3)
denklemde 14 operatörün kullanılmasındaki amaç
deneysel verilere en iyi şekilde uyum sağlamasıdır.
Denkleme bakıldığında ilk dört terimin (i  c ,  , , )
yani skaler terimle spin ve izospine bağlı terimlerin
şiddetleri diğer terimlere göre çok daha büyüktür
(Lagaris and Pandharipande, 1981 a; Lagaris and
Pandharipande, 1981 b). Ayrıca sonsuz nükleer
maddenin simetrileri nedeniyle açısal momentuma
bağlı terimler nükleer maddenin bağlanma enerjisine
önemli bir katkıda bulunmazlar. Bu nedenle Urbana
potansiyelinin ilk dört terimini dikkate alarak
hesaplamalar yapılmıştır.
 Bu



V ij     ( i   j )   ( i   j )   ( i   j )( i   j )
c


(1.5)
burada V , V , V ve V terimler sadece i ve j nükleonu
arasındaki mesafeye bağlıdır.
Varyasyonel Monte Carlo hesaplamalarımızda üç
ve daha çok cisim etkileşmelerini temsil etmek
için V      v şeklinde bir potansiyel kullandık.
Bu durumda kullandığımız Urbana etkileşim

v

T
N
I

v

v

v

v
(


)
potansiyeli 1 4
bu şekildedir.

I
s
s
Burada v s Urbana potansiyelinin kısa mesafede etkili
olan
kuvvetli
itici
kısmıdır.  ve  serbest
parametrelerdir.
c

TNI
s
1) VMC Sonuçları
Simetrik nükleer madde için yoğunluğu 0.002fm-3
değerinden 0.20 fm-3 değerine kadar 0.002 aralıklarla
artırarak, YP=0.25 ve YP=0.32143 izospin
parametrelerinde asimetrik nükleer madde için ise
yoğunluğu 0.01fm-3 değerinden 0.20fm-3 değerine
kadar 0.01 aralıklarla artırarak ve Urbana
potansiyelini kullanarak toplam 140 yoğunluk değeri
için Varyasyonel Monte Carlo hesaplamaları yaptık.
Simetrik nükleer madde için Şekil 1.1’de, asimetrik
nükleer madde için Şekil 1.2’de toplam enerjinin
yoğunlukla değişim grafikleri verilmiştir.
Şekil 1.1 Simetrik nükleer madde (YP=0,5 0.0) için
VMC hesaplamalarından elde edilen toplam enerjinin
yoğunlukla değişimi.
Şekil 1.2 Asimetrik nükleer madde için (YP=0,25 ve
YP=0,32143) VMC hesaplamalarından elde edilen
toplam enerjinin yoğunlukla değişimi.
2) Nükleer Madde İçin Yeni Skyrme Parametre Seti
Varyasyonel Monte Carlo hesaplamalarından,
simetrik ve asimetrik nükleer madde için elde edilen
enerji değerleri, yoğunluğa bağlı Skyrme enerji
denkleminde kullanılarak nükleer madde için yeni
Skyrme parametre seti elde edilmiştir. Yeni Skyrme
parametre seti Çizelge 1.1’de verilmiştir.
Çizelge 1.1 Nükleer madde için elde edilen yeni
Skyrme parametre seti
t 0 .(MeV.fm3)
-561,9948614
t1 .(MeV.fm5)
-0,185293342
t 2 .(MeV.fm5)
t 3.(MeV.fm6)
x0
1931,494108
-5061,49105
51506,8365
 simetrik
nükleer madde için, Varyasyonel Monte
Carlo hesaplamalarından ve yeni Skyrme parametre
seti kullanılarak elde edilen bağlanma enerjisi, doyma
yoğunluğu ve Fermi momentumu değerleri bir arada
verilmiştir. Bu değerler birbirlerine yakın olmakla
birlikte, deneysel değerlerle de uyumludur.

Çizelge 1.2 Beiner ve ark. (1975) SII, SIII, SIV, SV ve SVI
Skyrme parametreleriyle nükleer madde için elde ettikleri
değerler ve bu çalışma
E/A

kF
Skyrme
Etkileşmeleri
(MeV)
(fm-3)
(fm-1)
SVI
-15.77
0.145
1.29
SIII
-15.87
0.145
1.29
SII
-16.00
0.148
1.30
SIV
-15.98
0.152
1.31
SV
-16.06
0.155
1.32
Bu çalışma
-15.49
0.156
1.32
3) Skyrme Etkileşmesi Kullanarak Nükleer Madde
için Landau Parametrelerinin Elde Edilmesi
Hartree-Fock hesaplamalarını, normal Fermi
sıvılarının Landau teorisi çatısı altında da dikkate
almak hem önemlidir hem de faydalıdır (Landau,
1957, 1959; Migdal, 1967). Bu yaklaşım altında
nükleer maddenin bu özellikleri, Fermi yüzeyinde
iki-cisim etkileşmesi cinsinden yazılabilir.
Nükleer maddenin sıkıştırılamazlık, etkin kütle ve
simetri enerjisi boyutsuz Landau parametreleri
cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir (Backman, et al.,
1975):
 k F (1  F0 )
2
C 6
2
2 m (1  F1 / 3 )
m  m (1  F1 / 3 )
*
 k (1  F )
2
 
2
F
'
0
(1.6)
6 m (1  F1 / 3 )
Vautherin ve Brink, (1975)’in çalışmalarında, beş
tane parametre içeren Skyrme etkileşmesi nükleer
madde özelliklerinde etkilidir.
Çizelge 1.3 SK I-VI arasındaki Skyrme etkileşmeleri ve onların en iyi
deneysel değerleri için Landau parametreleri (Backman, et al., 1975).
1
Etkileşme
F0
F0 ’
G0
G0 ’
F1
F1’=G1=G1’
SK I
+0.558
+1,214
-2,269
-0,528
-0,266
+0,430
170,00
SK II
-0,057
+0,695
-0,770
-0,037
-1,262
+0,477
271,54
SK III
+0,300
+0,869
-1,576
-0,351
-0,711
+0,490
207,86
SK IV
-0,269
+0,240
+0,059
+0,150
-1,592
+0,471
332,85
SK V
-0,457
+0,044
+0,057
+0,306
-1,853
+0,464
405,33
SK VI
+0,740
+1,216
-2,627
-0,706
-0,152
0,510
167,18
Deneysel
+0,1
+0,7
+1,15
+1,45
-0,6
F1’=+0,5
değerler
G1=+0,3
G1’=+0,3
N0
Genelleştirilmiş Skyrme parametrelerini; E/A, kF
ve Landau parametreleri cinsinden yazabiliriz:
1
t0  N 0
( 5 / 6 ) F 0
 (1 / 15 ) F1   ( 9 / 5 )T k F  7 E / A
 t 0 x 0    N 0 1 ( 2 / 3 ) F0  2 F0'  ( 2 / 3 ) F1  2 F1' 
 k F t1    N 0 ( 20 / 3 ) F0  F0  G 0  3 G 0  ( 2 / 3 ) F1   2 T k  10 E / A
1
2
'
'
F
 k F2 t1 x1  2  N 0 1 ( 2 / 3 ) F0  F0'  G 0  ( 2 / 3 ) F1  2 F1' 
 k F2 t 2   N 0 1 ( F0  F0'  G 0  5 G 0' 
 k F2 t 2 x 2   N 0 1 2 F0'  2 G 0  4 G 0' 
 t 3   N 0 ( F0  (14 / 5 ) F1   (18 / 5 )T k  14 E / A
1
2
F
 k F t 4   N 0 ( 5 / 3 ) F0  ( 2 / 3 ) F1   ( 2 / 3 )T k  (10 / 3 ) E / A
2
2
1
F
 k V k  t 0 1  x 0 P  
'
1
2

t1 1  x1 P   k  k
2
'2
  t 1  x P k  k
2
2 
'

1
6
t3  
1
2

t4  k  k
2
Ayrıca yukarıdaki denklemin neticesindeki iki
sınırlamadan,

G1  ( 2 / 3 ) F0  F0  G 0  ( 2 / 3 ) F1  F1
'
'

G1   (1 / 3 ) F0  G 0  (1 / 3 ) F1 
'
yazılabilir.
Burada
'
1
N 0    / 2k F m
2
2
*
'2

Biz bu çalışmada, bahsettiğimiz gibi nükleer madde
özelliklerinin belirlenmesinde etkili olan beş tane
Skyrme parametresini yukarıdaki denklemlerde
kullanarak sekiz tane Landau parametresini elde ettik.
Landau
parametrelerini
elde
ederken,
hesaplamalarımızda VMC hesaplamalarımızdan elde
ettiğimiz,
t0
(MeV.fm3)
=-561.9948614,
t1 (MeV.fm5) =-0.185293342, t2 (MeV.fm5) =
1931.494108,
t3 (MeV.fm6) = -5061.49105,
x0 = 51506.8365 Skyrme parametrelerini ve bu
parametreleri kullanarak elde ettiğimiz E/A=-15.49
MeV, kF=1.32 fm-1 değerlerini kullandık. Ayrıca
m*=m, N 0 1 =154.870 değerleri kullanılmıştır.
Elde edilen Landau parametrelerinin sayısal
değerleri:
F 0  5 . 055
F 0  3 . 011
F1  12 . 053
F1   8 . 379
'
'
G 0  2 . 324
G 1   8 . 361
G 0  4 . 402
'
G   10 . 104
'
1
Hartree-Fock
yaklaşımının
kullanımının
gerektirdiği eşitlikte elde ettiğimiz Landau
parametrelerinin değerlerini yerine yazarsak,
F 0  F 0  G 0  G 0  F1  F1  G 1  G 1  0 . 001
'
'
'
'
değerini elde ederiz, buda Landau parametrelerinin
kabul edilebilirliğini göstermektedir.
Elde edilen yeni Landau parametrelerini
kullanarak, nükleer maddenin sıkıştırılamazlığını
C=218 MeV ve simetri enerjisini de  =9.62 MeV
şeklinde
elde
ettik.
Nükleer
maddenin
sıkıştırılamazlığının literatürdeki değeri 240-300
MeV arasındadır ve hata payı  50 MeV değişir
(Manisa, et al., 2009). Bulduğumuz sıkıştırılamazlık
değeri, hata payı da dikkate alındığında literatürdeki
değer aralığındadır.
Simetri enerjisinin deneysel değeri 30  4 MeV dir
(Finelli, et al., 2004). Bizim elde ettiğimiz simetri
enerjisi değeri bu değerden oldukça farklıdır. Bu
farklığın sebebi, hesaplamalarımızda m*/m=1
almamızdan kaynaklanabilir. Çünkü bu oranın bir
alınması N 0 1 değerini etkilemekte, dolayısıyla F1
Landau parametresinin değerini değiştirmektedir,
buda simetri enerjisinin değerini denklem (1.6)
gereğince etkilemektedir.
SONUÇ
ve arkadaşları (1975), E/A=-16 MeV,
kF=1.35fm-1 ve deneysel Landau parametre
değerlerini
kullanarak;
to=-1059.8
MeV.fm3,
t1=-393.6 MeVfm5, t2=571.8MeVfm5, t3=11232.7
MeVfm6, t4=-204.6 MeVfm8, x0=0.3695, x1=-1.330
ve x2=-0,3818 parametrelerinden oluşan bir Skyrme
parametre seti elde etmişlerdir.
 Backman
çalışma, Backman ve arkadaşlarının (1975)
yaptığı çalışmanın tersi gibi düşünülebilir. Biz ilk
olarak simetrik ve asimetrik nükleer madde için VMC
hesaplamaları yaptık.
Yoğunluğa bağlı enerji
değerlerini elde ettik.
 Bu
 Bulduğumuz
değerlerin doğruluğunu kontrol etmek
amacıyla, simetrik nükleer madde için elde ettiğimiz
doyma yoğunluğu ve buna karşılık gelen doyma
enerjisini literatürdeki deneysel değerleri ile
karşılaştırdık.
 Karşılaştırmanın
sonucunda, VMC den elde ettiğimiz
E/A=-15.67 MeV, kF=1.32 fm-1 değerlerinin kabul
edilebilir olduğunu gördük
 İkinci
aşamada artık, nükleer madde için kabul
edilebilirliğini gördüğümüz, VMC den elde ettiğimiz
enerji değerlerini, Vautherin ve Brink tarafından da
kullanılan yoğunluğa bağlı Skyrme etkileşim
potansiyelinde
kullanarak
Skyrme
etkileşme
parametrelerini elde ettik.
bu elde ettiğimiz Skyrme parametrelerinin
doğruluğunu kontrol etmek için, simetrik nükleer
maddenin
bağlanma
enerjisini
ve
doyma
yoğunluğunu bu parametreleri E/A=-15.49 MeV,
kF=1.32
fm-1
şeklinde
elde
ettik.
Bu değerlerin deneysel verilerle ve VMC den elde
ettiğimiz değerlerle uyumlu olduğunu gördük
 Son
aşamada ise, bulduğumuz yeni Skyrme
parametrelerini, E/A, ve kF değerlerini, Landau
parametreleri cinsinden yazılmış, genelleştirilmiş
Skyrme etkileşim denklemlerinde kullanarak Landau
parametrelerini elde ettik.
 Tekrar
çalışmada Landau parametrelerini elde ederken,
Vautherin ve Brink’in çalışmalarında da verilen, beş
parametreden oluşan ve Varyasyonel Monte Carlo
hesaplamalarından elde edilen Skyrme parametre seti
kullanılmıştır. İleri ki çalışmalarda Skyrme
parametrelerine x1, x2 ve t4 parametreleri de
eklenerek yeniden bir Skyrme parametre seti ve buna
bağlı olarak ta yeniden yeni bir Landau parametre seti
elde edilebilir.
 Bu
1
çalışmada
alınarak
=154.870 değeri elde
edilmiş ve hesaplamalarda buna göre yapılmıştır.
İleri çalışmalarda N 0 1 değeri literatürden alınıp,
buradan etkin kütle ve sonrasında da F1 Landau
parametresi elde edildikten sonra diğer parametreler
elde edilip, elde edilen Landau parametreleri ile
bulunan sonuçlar bu çalışmada elde edilen sonuçlarla
karşılaştırılabilir.
 Bu
m*=m
N0
Download

nükleer madde için yeni bir landau parametre seti