198
BÖLÜM 4. VEKTÖR UZAYLARI
ALI¸
STIRMALAR 4.7.1 :
1. (2; 1; 1; 4); ( 1; 1; 5; 2); ( 3; 2; 4; 6) vektörlerinin do¼
grusal bag¼¬ms¬z olup olmad¬g¼¬n¬belirleyiniz. E¼
ger de¼
gilse, bir vektörü di¼
gerlerinin do¼
grusal bile¸simi olarak yaz¬n¬z.
2. u; v ve w bir vektör uzay¬nda do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z ise u + v ; u v ve
u + v + w vektörlerinin de do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gunu gösteriniz.
3. f1 (x) = x ; f2 (x) = lnx ; f3 (x) = ex fonksiyonlar¬n¬n do¼
grusal
ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gunu gösteriniz.
4.
Zx
o
et dt ;
Zx
t2
e dt ;
o
Zx
3
et dt fonksiyonlar¬n¬n do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z oldu-
o
g¼unu ispatlay¬n¬z.
5. (1;
; 1; 1) ; ( 1; + 2; 2;
1) ; (0; 2; 1;
do¼
grusal ba¼
g¬ml¬ise ne olmal¬d¬r?
2
+
4) vektörleri
6. A¸sa¼
g¬dakilerden hangisi R3 uzay¬n¬üretir:
(a) f(3; 1; 4) ; (5; 1; 7) ; (4; 2; 5) ; (1; 1; 1)g
(b) f(2; 1; 1) ; (1; 4; 1) ; ( 1; 5; 2) ; (0; 9; 3)g
(c)f(0; 0; 0) ; (1; 1; 1) ; (4; 2; 1)g
7. R4 ün a¸sa¼
g¬daki alt kümelerinden hangisinin do¼
grusal ba¼
g¬ml¬hangisinin do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gunu belirleyiniz. Do¼
grusal ba¼
g¬ml¬
olma durumunda bir vektörü kendinden öncekilerin do¼
grusal bile¸simi
olarak yaz¬n¬z. Do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z olma durumunda R4 ün verilen
kümeyi içine alan bir taban¬n¬bulunuz.
(a) f(1; 1; 2; 3); ( 1; 4; 1; 1); (1; 2; 5; 1)g
(b) f(1; 1; 1; 1); (2; 1; 1; 1); (1; 0; 0; 0)g
(c) f(2; 1; 1; 1); (1; 1; 1; 1)g
4.7. BI·R MATRI·SE I·LI·S
¸KI·N ALT UZAYLAR
199
8. R3 ün (1; 1; 4) ; (3; 1; 4) ; (1; 1; 4) ; (4; 2; 8) ile üretilen alt
uzay¬için bir taban bulunuz.
9. (a) R4 ün ( 2; 1; 2; 1) ; (1; 0; 1; 0) ; ( 1; 1; 1; 1) den üreyen alt
uzay¬için bir taban bulunuz.
(b)(1; 1; 1; 1) vektörünün bu alt uzayda oldu¼
gunu gösteriniz ve (a)
daki taban vektörleri cinsinden yaz¬n¬z.
(c) Bir (a; b; c; d) vektörünün bu uzayda olmas¬için a; b; c ve d nin
sa¼
glamas¬gereken ko¸sullar¬bulunuz.
10. 2 2 lik simetrik matrislerin olu¸sturdu¼
gu vektör uzay¬için bir taban
bulunuz.
11. A¸sa¼
g¬daki matrislerin sat¬r uzaylar¬için birer taban bulunuz.
2
2
6
6
64
(a) 6
6
61
4
0
1
1
1
1
2
1
3
1
3
3
2
6
7
6
7
6
17
7 (b) 6
6
7
6
37
4
5
7
1
1
3
3
3
2
7
7
6
1 1 4 17
7 (c) 6
6
7
4
1 2 0 17
5
1 4 7 6
1 1 3 4
1 1
3 1 4 5
7
7
1 1 0 47
5
8 4 12 19
2 1
1 4
12. A¸sa¼
g¬daki matrislerin sütun uzaylar¬için birer taban bulunuz.
2
6
6
6
(a) 6
6
6
4
2
5
1
1
1
1
4
1
3
3
7
7
17
7
7
17
5
1
2
1
6
6
60
(b) 6
6
62
4
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
3
7
7
17
7
7
17
5
1
2
1
6
6
62
(c) 6
6
61
4
1
3
1
1
1
1
3
3
7
7
17
7
7
17
5
1
200
BÖLÜM 4. VEKTÖR UZAYLARI
13. A¸sa¼
g¬daki matrislerin rank¬n¬bulunuz.
2
6
6
6
6
6
(a) 6
6
6
6
4
1
1 1
1
2
1 4
5
1
4 1
8
2
3 6
12
1
7 7
20
4
3
7
7
67
7
7
67
7
7
47
5
2
2
2 1
6
6
61
6
6
(b) 6 3
6
6
61
4
4
1 4
1
3
2
2
0
1
3
5
3
7
7
47
7
7
87
7
7
07
5
12
14. Bir matrisin baz¬sat¬r ve sütunlar¬n¬atarak olu¸sturulan tersli kare
alt matrisleri aras¬nda en büyük mertebeli olan¬n mertebesi verilen
matrisin rank¬na e¸sittir. Bu önermeyi ispatlay¬n¬z. Buna göre
2
1
6
6
64
6
6
62
4
7
1
1
2
1
0
3
3
3
1
3
7
7
07
7
7
27
5
1
matrisinin tersi olan en büyük mertebeli alt matrisinin mertebesi ne
olur? Böyle alt matrislerden iki tane bulunuz.
15. S = f(1; 1; 1); ( 1; 1; 1); (3; 2; 3); (4; 6; 1); (1; 0; 4)g olsun.
(a) S yi R3 ün bir alt kümesi
(b) S yi Z32 ün bir alt kümesi
(c) S yi Z33 ün bir alt kümesi
dü¸sünerek S nin < S > gergisi için taban olan iki¸ser alt kümesini
bulunuz.
4.7. BI·R MATRI·SE I·LI·S
¸KI·N ALT UZAYLAR
201
16. (0; 1; 2; 7) vektörü
f(1; 2; 3; 4); (1; 1; 1; 3); (2; 3; 4; 1)g
ile üretilen uzayda m¬d¬r?
17. S = f(1; 1; 1); ( 1; 1; 1); (3; 4; 2); (4; 3; 5)g kümesinin hSi gerçel
uzay¬na taban olan bütün alt kümelerinin say¬s¬n¬bulunuz.
18. Z32 ün kaç tane taban¬vard¬r ?
19. h(1; 3; 2; 1); (1; 1; 1; 1); (3; 5; 5; 3); (2; 6; 4; 2); (2; 2; 3; 2)i uzay¬n¬
bir homojen do¼
grusal denklem sisteminin çözüm uzay¬olarak yaz¬n¬z.
20.
82
3 2
>
>
1
>
7 6
>
6
>
6
>
6
<6 1 7
7 6
7;6
6
7 6
6
>
7 6
>
6
2
>
>
5 4
4
>
>
: 4
3
3 2
7 6
7 6
17 6
7;6
7 6
17 6
5 4
1
39
>
2 >
>
7>
>
7>
2 7=
7
7
>
3 7>
>
5>
>
>
3 ;
ile üretilen uzay¬bir homojen sistemin çözümü uzay¬olarak yaz¬n¬z.
21. A¸sa¼
g¬daki matrislerin sütun uzaylar¬için birer taban
2
2
3
0 1
6
2 4 0 4 2
6
6
7
6 1 4
6
7
6
6 1 1 1 0 07
6
6
7
6 1 1
6
7
(a) 6 1 1 1 0 0 7
(b) 6
6
6
7
6 1 1
6
7
6
6 3 1 5 4 27
6
4
5
6 1 1
4
4 0 8 8 4
3 0
bulunuz.
3
3 2
7
7
1 47
7
7
1 17
7
7
4 47
7
7
5 57
5
1 2
202
BÖLÜM 4. VEKTÖR UZAYLARI
22.
x+y+z t
2x y 2z + 3t
x + 2y 3z + 4t
2x + 2y 4z + 6t
=
=
=
=
0
0
0
0
homojen sisteminin çözüm uzay¬için bir taban bulunuz.
23.
2x y + 3z + t = 0
5x + y + 4z t = 0
x y + 10z + t = 0
homojen sisteminin çözüm uzay¬için bir taban bulunuz.
24.
2
3
6
6
64
6
6
60
6
6
61
4
0
2 3
0
x
1 1 2 1
76 1 7 6 7
76 7 6 7
4
2 1 2 7 6 x2 7 6 0 7
76 7 6 7
76 7 6 7
1 0 1
1 7 6 x3 7 = 6 0 7
76 7 6 7
76 7 6 7
5
3 1 1 7 6 x4 7 6 0 7
54 5 4 5
0
0 0 1
1
x5
32
3
homojen sisteminin çözüm uzay¬için bir taban bulunuz.
25. R4 ün f(a; b; c; d) : a b + c + d = 0; 2a + 3b
uzay¬için bir taban bulunuz.
26. Uzaydaki
d = 0g ile verilen alt
3x + y + 3z = 0 düzlemi için bir taban bulunuz.
27. Polinomlardan olu¸san fa+bx+cx2 +dx3 : a+b+c = 0; a+b+d = 0g
uzay¬n¬n bir taban¬n¬bulunuz.
4.7. BI·R MATRI·SE I·LI·S
¸KI·N ALT UZAYLAR
203
28. x + t = 0 e¸sitli¼
gini sa¼
glayan 2 2 lik
2
3
x y
4
5
z t
matrisler uzay¬için bir taban bulunuz.
29. x + x2 ; x
bulunuz.
x2 + x3 ; 2
x
x3 ; x + 1 ile üretilen uzay¬n boyutunu
30. R4 ün (1; 2; 3; 0) vektörünü içine alan bir taban¬n¬bulunuz.
31. R5 in (1; 1; 1; 1; 1) ve (0; 1; 1; 1; 0) vektörlerini içeren bir taban¬n¬
bulunuz.:
2
3
2
3
1 2 1
1 0 1
5 ve 4
5 matrislerini
32. 2 3 lük matrisler uzay¬n¬n4
4 1 1
0 1 0
içeren bir taban¬n¬bulunuz.
33. Derecesi 3 olan polinomlar uzay¬n¬n 1 + x + x2 ve x + x2 polinomlar¬n¬içine alan bir taban¬n¬bulunuz.
34. R3 ünf(1; 3; 2); (4; 5; 0)g kümesini içeren bir taban¬n¬bulunuz.
35. f(1; 1; 5; 3); ( 1; 2; 1; 0)g kümesini R4 ün bir taban¬na tamamlay¬n¬z.
2
3 2
3 2
3
1 1
1 0
1 1
5;4
5;4
5 matrislerini 2 2 lik matris uzay¬n¬n
36. 4
1 1
0 1
2 1
bir taban¬na tamamlay¬n¬z.
37. Varsa, f(1; 2; 1); ( 2; 4; 2); (1; 1; 1); (2; 1; 2); (1; 1; 0)g kümesinin
öyle bir alt kümesini bulunuz ki R3 ün taban¬olsun.
204
BÖLÜM 4. VEKTÖR UZAYLARI
x2 ; 1 x + x3 ; 1 x2 + x3 ; x; 1 x polinomlar¬içinden derecesi
3 olan polinomlar uzay¬na taban olu¸sturan bir polinom kümesi
seçiniz.
38. x
39. f1; cos x; sin x; cos 2x; sin 2xg s¬ral¬taban¬na göre cos2 x fonksiyonunun koordinat matrisini bulunuz.
40. y 00 + y 0 = 0 denkleminin çözüm uzay¬için bir taban bulunuz.
41. y 00
y 0 = 0 denkleminin çözüm uzay¬için bir taban bulunuz.
42.
cos x + 2 sin x 3 cos 2x + k sin 2x ;
k cos x sin x + k cos 2x + 2 sin 2x ;
cos x + sin x 5 cos 2x
fonksiyonlar¬do¼
grusal ba¼
g¬ml¬ise k ne olmal¬d¬r? k n¬n bu de¼
geri için
son fonksiyonu ilk iki fonksiyonun do¼
grusal bile¸simi olarak yaz¬n¬z.
43. y 000 + 2y 00 = 0 denkleminin çözüm uzay¬n¬n boyutu nedir?
4.7. BI·R MATRI·SE I·LI·S
¸KI·N ALT UZAYLAR
205
4. BÖLÜM SORULARI
1. S bo¸stan farkl¬ bir küme ve V gerçel vektör uzay¬ olsun. f ve g;
S den V ye fonksiyonlar c 2 R ve s 2 S olmak üzere S den V ye
bütün fonksiyonlar¬n kümesinin
(f + g)(s) = f (s) + g(s)
(cf )(s) = cf (s)
i¸slemleri ile gerçel vektör uzay¬oldu¼
gunu ispatlay¬n¬z.
2. [0; 1] kapal¬ aral¬g¼¬ndan R ye tan¬ml¬ fonksiyonlar¬n gerçel vektör
uzay¬ V olsun. A¸sa¼
g¬da verilen alt kümelerden hangisi V nin alt
uzay¬d¬r?
(a) f f 2 V j f ,
(b) f f 2 V j f ,
1
2
1
2
de sürekli g
de türevlig
(c) f f 2 V j f (1) = f (0) g
(d) f f 2 V j f (1) 2 Q g
Bu alt kümelerin herbirisi için 5 eleman¬n¬yaz¬n¬z.
3. I·zi s¬f¬r olan matrisler kümesinin, n n matrisler uzay¬n¬n bir alt
uzay¬oldu¼
gunu ispatlay¬n¬z. Bu alt uzay¬n boyutu nedir?
4. a ve b gerçel say¬lar ve
u
u1
u2
u3
u4
u5
olsun.
=
=
=
=
=
=
(a; a 1; 2a; a + b
( 1; 1; 1; 0)
(a; 1; a; a + 1)
( 1; b + 1; 0; b)
(b; 0; 0; b2 1)
(0; 3; b; b + 4)
1)
206
BÖLÜM 4. VEKTÖR UZAYLARI
(a) u vektörü u1 ; u2 ; u3 ; u4 ve u5 ile üretilen alt uzay¬n içinde olmas¬
için a ve b ne olmal¬d¬r?
(b) R4 uzay¬u1 ; u2 ; u3 ; u4 ve u5 ile üretiliyorsa a ve b ne olmal¬d¬r?
5. 2 cos2 x
3c + cos 2x ;
6c sin2 x
1
3c
cos 2x + sin x ;
ve
(3c + 2) cos 2x + c sin x
do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z olmas¬için c ne olmal¬d¬r?
6.
fA 2 R3
3
j Aij = 0 e¼
ger 3 böler j
i
1g
kümesinin R3 3 n¬n alt uzay¬oldu¼
gunu ispat ediniz ve bu alt uzay
için bir taban bulunuz.
7. u1 ; u2 ; u3 ve u4 ; bir V vektör uzay¬nda do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z vektörler
olsun.
(a)
u1 + 2u2 + u3 ; 3u1 + 6u2 + 3u3 ; u1 + u2 + u3 + u4 ;
u2 + u 4
ile üretilen S alt uzay¬ için bir taban bulunuz ve bu taban¬
< u1 ; u2 ; u3 ; u4 > nin bir taban¬na geni¸sletiniz.
(b) 2u1 + 3u2 + u3 + u4 , S nin eleman¬m¬d¬r?
8. Derecesi
4 olan polinomlar uzay¬n¬n bir alt uzay¬W
f1 + 2t + t3 ; 1 + t + t2 ; 3 + 4t + 2t2 + t3 ; t + t3 g
ile üretilsin.
(a) W için bir taban bulunuz.
(b) Bu taban¬derecesi
geni¸sletiniz.
4 olan polinomlar uzay¬n¬n bir taban¬na
4.7. BI·R MATRI·SE I·LI·S
¸KI·N ALT UZAYLAR
207
(c) 1 + t + t2 + t3 + t4 ün (b) deki tabana göre koordinat matrisini
bulunuz.
9. U ve W; bir V vektör uzay¬n¬n alt uzaylar¬ olsun. A¸sa¼
g¬dakileri
gösteriniz.
(a) U \ W bir alt uzay ve
(b) U [ W alt uzay olmas¬için gerek ve yeter ko¸sulun U
W U olmas¬d¬r.
10.
2
6
6
6
6
6
v1 = 6
6
6
6
4
2
2 3
2
1
6
7
6 7
6
7
6 7
6
617
17
6
7
6 7
6
7
6 7
0 7 ; v2 = 6 1 7 ; v3 = 6
6
7
6 7
6
7
6 7
6
627
27
4
5
4 5
0
1
3
ve W1 = Gerfv1 ; v2 ; v3 ; v4 g olsun.
2
3
2
7
6
7
6
6
17
7
6
7
6
0 7 ; v4 = 6
7
6
7
6
6
17
5
4
0
W veya
1
3
7
7
27
7
7
17
7
7
07
5
1
(a) Çözüm uzay¬W1 olan bir homojen sistem bulunuz.
(b)
2 3
2
1
6 7
6
6 7
6
x1 6 2 7 + x2 6
4 5
4
1
3
2 3
2 3
2
0
0
7
6 7
6 7
6
7
6 7
6 7
6
+
x
+
x
+
x
17
3607
4637
56
5
4 5
4 5
4
1
0
3
2
2 3
0
7 6 7
7 6 7
07=607
5 4 5
3
0
3
3
nin çözüm uzay¬W2 olmak üzere W1 \ W2 için bir taban bulunuz.
208
BÖLÜM 4. VEKTÖR UZAYLARI
11. AX = 0 homojen sistemin s¬f¬rdan farkl¬bir çözümü [x1 ; x2 ;
olsun.
xk 6= 0 ve xk+1 =
= xn = 0
; x n ]T
ise bu çözümün dip k s¬denir.
(a) S¬f¬rdan farkl¬çözümün dipinin serbest de¼
gi¸skenin indeksi oldug¼unu ispatlay¬n¬z.
(b) Her s¬f¬rdan farkl¬ çözümün en küçük dipi temel çözümün bir
skaler kat¬oldu¼
gunu ispatlay¬n¬z.
Download

4. Bölüm soruları için tıklayınız.