BETONARME
KESİTLERİN EĞİLME
MUKAVEMETLERİNİN
BELİRLENMESİNDE
TEMEL İLKE VE
VARSAYIMLAR
BASİT EĞİLME
Bir kesitte yalnız M eğilme momenti etkisi varsa basit
eğilme söz konusudur. Betonarme yapılarda basit eğilmeye
kiriş ve döşemelerde rastlanır. Düzgün yayılı yüklü bir
kirişten de görülebileceği gibi hemen bütün kesitlerde M
ve V birlikte etkimektedir. Betonarme pratiğinde eğilme
ve kesme ayrı ayrı incelenir.
Basit eğilme, momentin maksimum olduğu kesitte vardır.
Kirişin eğilme donatısı bu momente göre belirlenir. Daha
sonra kesme kuvvetine göre gerekli kayma donatısı
hesaplanır. M=0’da basit kesme hali söz konusu olup kesme
kuvveti maksimumdur. Kayma donatısı, kesme kuvvetinin
bu değerine göre hesaplanır.
BASİT EĞİLME
BASİT EĞİLME
BASİT EĞİLME
BASİT EĞİLME
BETONARME KESİTLERİN EĞİLME
MUKAVEMETLERİNİN HESABINDA YAPILAN
VARSAYIMLAR
1. Eğilmeden önce düzlem olan kesitler, eğilmeden sonra
da düzlem kalırlar.
Bu varsayım Bernoulli-Navier hipotezi olarak bilinir.
Eğilmeden sonra da kesitin düzlem kalması, liflerdeki
deformasyonların (uzama ya da kısalma) tarafsız eksenden
olan uzaklıkla doğru orantılı olduğu sonucunu verir.
2. Çeliğin gerilme-deformasyon
Çeliğin gerilme-deformasyon
(ELASTOPLASTİK).
eğrisi
eğrisi
bilinmektedir.
bilinmektedir
Hesaplarda çeliğin gerilme-deformasyon eğrisi idealize
edilir. Çelik için genellikle iki doğrulu (bilineer) gerilme –
deformasyon eğrisi benimsenir. Akma sınırına kadar
çelikteki gerilmeler deformasyonlarla doğru orantılıdır.
Akma sınırına ulaştıktan sonra çelik gerilmesi sabit kalır.
3. Betonun çekme mukavemeti yok sayılabilir. Betonun
çekme dayanımı basınç dayanımının yanında ihmal
edilebilecek kadar azdır.
Su depoları gibi
geçirimsizliğin sağlanması için betonun çatlamaması
istenen yapılarda çekme mukavemetinin aşılmamasına
özen gösterilir.
4. Basınç gerilmelerinin dağılımını ve büyüklüğünü
belirleyecek olan, betonun gerilme-deformasyon eğrisi
bilinmektedir. Donatının yeri değişmediği sürece çekme
kuvvetinin yeri sabit. Basınç kuvvetinin yeri değişkendir.
Kesitin eğilme mukavemetini basınç kuvveti Fc ile
moment kolunun çarpımı olan z belirler.
M = Fc . z
Betonarme kesitte eğilme hesabında yapılan varsayımlar
z
Betonarme kesitte eğilme hesabında yapılan varsayımlar
Beton, tek eksenli gerilme durumundakine uygun bir
davranış gösterir. Basınç gerilmeleri de, basınç bölgesinin
yüksekliği boyunca, tek eksenli gerilme durumunda elde
edildiği gibi dağılır.
TS500/2000 tarafından kullanılması öngörülen dağılım.
EŞDEĞER DÖRTGEN GERİLME BLOĞU
EŞDEĞER DÖRTGEN GERİLME BLOĞU
.
EŞDEĞER DÖRTGEN GERİLME BLOĞU
EŞDEĞER DÖRTGEN GERİLME BLOĞU
EŞDEĞER DÖRTGEN GERİLME BLOĞU
EŞDEĞER DÖRTGEN GERİLME BLOĞU
EŞDEĞER DÖRTGEN GERİLME BLOĞU
EŞDEĞER DÖRTGEN GERİLME BLOĞU
betonarme kesitin davranışı(Az-normal donatılı)
a)Çekme bölgesindeki betonun çatlamasıyla birlikte bütün çekme
kuvvetini donatı karşılar.
b) Donatı az olduğundan artan momentle beraber çekme kuvveti
de artar ve çelik akma sınırına ulaşır (ɛ ≥ ɛsy,σs = fy). Akma sınırını
aşan çelik, kuvvet almadan uzamaya devam eder. Beton aynı hızla
kısalamaz. Kesit düzlemselliğini koruduğundan tarafsız eksen
yukarı kayar ve basınç bölgesi küçülür. Çekme kuvveti sabittir.
Basınç kuvveti de çekme kuvvetine eşit olduğundan, küçülen
basınç bölgesinde gerilemeler artar ve doğrusallığını kaybeder.
betonarme kesitin davranışı(Az-normal donatılı)
c) Kırılmadan hemen önceki durumdur. Donatının akmaya
ve tarafsız eksenin yukarı kaymaya devam etmesiyle daha
da küçülen basınç bölgesindeki gerilmeler hızla büyür. En
dış basınç lifindeki gerilme beton silindir mukavemetinin
%85’ine ulaşır.
Çekme kenarında uzamaya devam eten çeli_e uyamayan
betonda çatlaklar büyür.
betonarme kesitin davranışı(Az-normal donatılı)
d) En dış basınç lifindeki beton hızla kısalarak üzerindeki
fazla gerilmeleri içerideki liflere aktarır (yeniden dağılım). En
büyük gerilme artık daha içerideki liflerdedir. Kırılma en dışta
lifteki betonun ezilme birim kısalmasına (ɛc=0.003) ulaşmasıyla
gerçekleşir. Bu durumda kesitin taşıdığı moment, donatının
akma başlangıcındaki momentten %2-5 daha büyüktür.
betonarme kesitin davranışı(Az-normal donatılı)
GÖZLEM: Az donatılı kirişte güç tükenmesi (taşıma gücüne
ulaşılması) basınç bölgesindeki betonun ezilmesiyle ortaya çıkar.
Beton ezilmeden çekme donatısının akması sayesinde kirişte büyük
deformasyonlar ve çatlaklar ortaya çıkar ve kiriş bir süreci takip
ederek kırılır. Bu kırılma biçimine çekme kırılması (düktil
kırılma/sünek kırılma) denir (tension failure). Kırılmadan önce
çatlakların ortaya çıkması sünek davranışın (ductile behavour) bir
göstergesidir.
betonarme kesitin davranışı(çok donatılı)
a) Çekme bölgesindeki betonun çatlamasıyla birlikte bütün
çekme kuvvetini donatı karşılar.
b) Donatı alanı büyük olduğu için, donatıdaki gerilme düşük
düzeyde kalacaktır. Çelikteki uzama betondaki kısalmaya
uyamayacak ve tarafsız eksen aşağı doğru kayacaktır.
betonarme kesitin davranışı(çok donatılı)
c) Basınç alanının büyümesiyle basınç kuvveti artacak, donatı
akmadığı için tarafsız eksenin aşağı kaymasıyla moment kolu
küçülecektir. Kesitin taşıdığı moment, basınç kuvveti kadar
olmasa da artacaktır.
betonarme kesitin davranışı(çok donatılı)
d) En dış basınç lifindeki betonun ezilme birim kısalmasına
(ɛc=0.003) ulaşmasıyla kiriş birden bire kırılacaktır. Basınç
kırılması (compression failure) olarak adlandırılan bu tür kırılmalar
aniden gerçekleştiği ve kırılma öncesinde betonda görülebilir
çatlaklar oluşmadığı için tehlikelidir. Bu tür davranışa gevrek
kırılma ya da gevrek davranış (brittle failure) da denir.
betonarme kesitin davranışı(çok donatılı)
elerinde
GÖZLEM: Çok fazla donatılı kirişlerde beton ezilmeden
önce donatıda akma gerçekleşmediği için, kırılmadan önce
çatlaklar oluşmaz, kiriş ani ve gevrek bir kırılma ile taşıma
gücüne ulaşır. Yönetmelikler kirişlerin bu şekilde
tasarlanmasına izin vermezler.
Kırılma biçimleri (Özet)
Çekme kırılması (sünek kırılma, düktil kırılma) (tension
failure): Az-normal donatılı kirişlerde görülür. Beton
ezilmeden
donatı
akmaya
başlar. Kirişte artan
deformasyonlar görülür ve kırılma bir süreç içinde
gerçekleşir.
Dengeli kırılma (balanced failure): Dengeli donatılı
kirişlerde görülür. Donatının akmasıyla, betonun ezilmesi
aynı anda gerçekleşir. Kırılma ani ve gevrektir. İstenmeyen
bir durumdur. Çekme kırılmasıyla basınç kırılması arasındaki
sınırı temsil eder.
Basınç kırılması (compression failure): Çok donatılı
kirişlerde görülür. Çelikteki gerilme akma sınırına ulaşmadan
beton ezilir. Kırılma ani ve gevrektir. İstenmeyen bir
durumdur.
Kırılma biçimleri
Bina
Tek donatılı dörtgen Ak
kesitlerin
taşıma gücü hesabı
(dengeli kırılma)
İlir
Örnek 1: Boyutları verilmiş olan tek donatılı dikdörtgen
kesitli betonarme kirişin malzemesi C30/S420 dir.
Dengeli kırılma durumunda;
a) Tarafsız eksen derinliğini ve eşdeğer gerilme bloğu
derinliğini belirleyiniz.
b) Çekme donatısı alanını ve yüzdesini hesaplayınız.
c) Eğilme momenti taşıma gücünü hesaplayınız.
Çözüm:
a) Dengeli kırılma durumunda, tarafsız eksen (xb) ve
eşdeğer gerilme bloğu derinliklerinin (ab) belirlenmesi;
Taşıma gücü sınır durumunda dengeli kırılma durumu, en
dış basınç lifindeki beton birim kısalmasının sınır kısalma
değeri olan 0.003 değerine ulaştığı anda, çekme donatısı
birim şekil değiştirme değerinin akma şekil değiştirme
değerine eşit olmasıdır. Söz konusu olan şekil değiştime
değerleri belirli olduğundan, tarafsız eksen derinliği
uygunluk şartı yazılarak kolaylıkla belirlenebilir. Buna
göre;
b) Dengeli kırılma durumunda, çekme donatısı kesit alanı
(Asb) ve yüzdesinin (ρb) belirlenmesi;
c) Dengeli kırılma durumunda, eğilme momenti taşıma
gücünün (Mrb) belirlenmesi;
Mrb= 0,85.fcd.b.ab (d-0,5ab) = 0,85.20.250.234,5.(4600,5.234,5) = 341,5 kNm
Tek donatılı dörtgen kesitlerin taşıma gücü hesabı
(çekme kırılması)
Örnek 2: Şekilde kesit boyutları görülen tek donatılı
dikdörtgen kesitli betonarme kiriş için aşağıda verilenlere
göre eğilme momenti taşıma gücünü (Mr) hesaplayınız.
(Malzeme:C20 / S420, Donatı 3Ø18 :764 mm2, Paspayı:
d′=40 mm).
Çözüm:
Tek donatılı dörtgen kesitlerin taşıma gücü hesabı
(basınç kırılması)
Örnek 3: Boyutları verilmiş olan tek donatılı dikdörtgen
kesitli betonarme kiriş için aşağıda verilenlere göre eğilme
momenti taşıma gücünü (Mr) hesaplayınız. Malzeme:C20 /
S420, Donatı 4Ø22 :1521 mm2, Paspayı: d′=40 mm)
0.85 .13.200.a2-600.1521.a-600.1521.0,85.360=0, a=193 mm
Mr=0,85.fcd.b.a (d-0,5a)=0,85.13.250.193.(250-0,5.193).10-6
Mr=140,5kNm
Tek donatılı dikdörtgen kesitlerin boyutlandırılması
Boyutlandırma problemlerinde; hesap yüklerine göre analiz
sonucunda bulunan hesap momenti, Md bilinmektedir.
Ayrıca yapıda kullanılacak beton ve çelik türü için malzeme
hesap dayanımları da belirlidir. Kesit boyutları
aranmaktadır.
Çözümlerden en uygununun seçilmesinde bazı ölçütlere
uymak gerekir; kesitin sünek davranış gösterecek şekilde
boyutlandırılması gerekmektedir, depreme dayalı yapı
tasarım ilkelerine uyulmalıdır. Ayrıca mimari projeye
uygun bir çözüm olmalıdır, bundan başka kullanılabilirlik
(sehim) koşulları sağlanmalı ve ekonomik olmalıdır.
Tek donatılı dikdörtgen kesitlerin boyutlandırılmasında
donatı oranında yapılan sınırlamalar
Donatı üst sınırları:
Donatı alt sınırları: Kirişte en az beton çekme kuvvetini
karşılayacak kadar donatı bulunmalıdır. Aksi halde gevrek
kırılma ortaya çıkar. Minimum donatı yüzdesi çatlamamış
kesitle çatlamış kesitin eğilme dayanımlarının eşit olması
prensibine dayanır.
Tek donatılı dikdörtgen kesitlerin boyutlandırılması
Tek donatılı dikdörtgen kesitlerin boyutlandırılması
Örnek 4. Şekilde yükleme durumu ve kesit boyutları
verilmiş olan basit mesnetli dikdörtgen kesitli tek donatılı
bir betonarme kirişte, gerekli çekme donatısı alanını
hesaplayınız ve seçiniz. Malzeme:C20/S420, Paspayı:
d′=40 mm).
Çözüm: Hesap (Tasarım) Eğilme Momentinin Belirlenmesi
Kiriş (G) yükü etkisinde sistemde oluşacak maksimum
eğilme momenti;
Kiriş (Q) yükü etkisinde sistemde oluşacak maksimum
eğilme momenti;
Hesap (tasarım) momenti: Md =1.4G+1.6Q
Malzeme dayanımları:
Kirişin boyutlandırılmasında esas alınan sınır değerin
altında çekme donatısı bulundurulacağına göre; ρ<ρb olur
(σs = fyd = 365 Mpa).
Taşıma gücü durumunda kesitte kuvvet denklemi:
Taşıma gücü durumunda kesitte moment denklemi:
As=790mm2
Hesaplanan donatının kontrolü:
Örnek. 5 250 x 500 mm kesit boyutları verilmiş olan
dikdörtgen kesitli tek donatılı bir betonarme kirişin açıklık
kesitine,
a) 30 kNm hesap eğilme momenti etkimesi durumu,
b) 110 kNm hesap momenti etkimesi durumu, için gerekli
eğilme
donatısı
alanını
hesaplayınız
ve
seçiniz.
(Malzeme:C20/S420, Paspayı: d′=40 mm).
a)
Kirişin boyutlandırılmasında esas alınan sınır değerin
altında çekme donatısı bulundurulacağına göre; ρ<ρb olur
(σs = fyd = 365 Mpa).
Taşıma gücü durumunda kesitte kuvvet denklemi:
Taşıma gücü durumunda kesitte moment denklemi:
As= 184 mm2
Hesaplanan donatının kontrolü:
b) Kirişin boyutlandırılmasında esas alınan sınır değerin
altında çekme donatısı bulundurulacağına göre; ρ<ρb olur
(σs = fyd = 365 Mpa).
Taşıma gücü durumunda kesitte kuvvet denklemi:
Taşıma gücü durumunda kesitte moment denklemi:
As= 732 mm2
Hesaplanan donatının kontrolü:
3. BÖLÜM SORULARINI YANITLAYINIZ.
Download

3-Bölüm