URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Üç-Boyutlu Sonlu Fotonik Kristal Yapıların Yüksek Doğrulukta
Tam-Dalga Benzetimleri
Tolga Çiftçi, Ahmet Erol, Özgür Ergül
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü
Ankara
[email protected]
Özet: Optik bağlayıcılar ve filtreler olarak kullanılan ve diyelektrik çubuklardan oluşan fotonik kristaller çok
seviyeli hızlı çokkutup yöntemiyle (ÇSHÇY) incelenmiştir. Benzetimlerde fotonik kristal yapılar üç boyutlu ve
sonlu olarak modellenmiş ve yüksek doğrulukta analiz edilmiştir. Problemlerin formülasyonlarında elektrikmanyetik akımı birleşik-alan integral denklemi kullanılmış, bu denklemin RWG fonksiyonlarıyla ayrıklaştırılması
sonucu elde edilen yoğun ve büyük matris denklemleri ÇSHÇY ile iteratif olarak çözülmüştür. Bilinen bazı
tasarımlar için elde edilen hassas sonuçlar, literatürdeki sonsuzluk varsayımıyla elde edilenlerle karşılaştırılmış
ve bunlar arasındaki önemli farklar ortaya konmuştur. Bu doğrultuda, tam-dalga benzetimleri sayesinde,
fotonik kristallerin gerçek hayattaki performanslarının ve çalışma prensiplerinin daha iyi anlaşılabileceği
gösterilmiştir.
Abstract: Photonic crystals involving dielectric rods that are used as optical couplers and filters are
investigated via the multilevel fast multipole algorithm (MLFMA). In the simulations, photonic crystals are
modeled as three-dimensional and finite structures, hence they are analyzed with high accuracy. The problems
are formulated with the electric-magnetic current combined-field integral equation, while dense and large
matrix equations derived from the discretization of this equation using the RWG functions are solved iteratively
with MLFMA. Accurate results obtained for some known designs are compared to those obtained by assuming
infinity in the literature, showing important discrepancies between them. Along this direction, it is demonstrated
that performances and working principles of photonic crystals in real life can be understood better via full-wave
simulations.
1. Giriş
Fotonik kristaller, genellikle diyelektrik yapıtaşlarının bir araya getilip dizilmesiyle oluşturulan insan üretimi
yapılardır [1]-[6]. Literatürde optik bağlayıcılar ve filtreler olarak kullanılan fotonik kristallerin, genellikle
verilen optik girdiler ve istenilen çıktılar için tasarlanmaları gerekmektedir. Bu tasarımlarda teorik bilgilerin
kısıtlı olması, çeşitli optimizasyon mekanizmalarının ve çözüm tekniklerinin geliştirilmesi ve fotonik kristaller
üzerinde kullanılmasını gerektirmiştir. Örneğin, genetik algoritmalar gibi yöntemlerin elektromanyetik
çözücülerle birleştirilmesiyle, farklı fotonik kristal tasarımları gerçekleştirilmiş ve bunların modelleri literatürde
geliştirilip kullanılmıştır [5]. Öte yandan, bu tasarımlarda gerçekleştirilen çözümlerin hızlıca tamamlanabilmesi
için, elektromanyetik benzetimlerde ciddi varsayımlara da gidilmektedir. Dolayısıyla, tasarım sonucunda ortaya
çıkan ve imal edilen fotonik kristallerin, gerçek hayatta kullanıldığı durumlarda performans düşüklükleri
gösterdikleri iyi bilinmektedir.
Bu çalışmada, fotonik kristallerin, çok seviyeli hızlı çokkutup yöntemi (ÇSHÇY) [7] ile hızlı ve etkin çözümleri
ele alınmıştır. Üç boyutlu ve sonlu olarak modellenen kristallerin, elektrik-manyetik akımı birleşik-alan integral
denklemi [8],[9] ile modellenmesi ve RWG fonksiyonlarıyla ayrıklaştırılması sonucunda, yüksek sayıda
bilinmeyen içeren yoğun matris denklemleri elde edilmiştir. İteratif olarak ve ÇSHÇY’nin sağladığı hızlanma
sayesinde verimli olarak gerçekleştirilen çözümler ile elde edilen sonuçlar detaylı olarak incelenmiştir. Genel
olarak, üç boyutlu modelleme ile elde edilen yakın-alan sonuçlarının, daha basit yaklaşımla elde edilenlerle
tutarlı olduğu, ancak özellikle fotonik kristallere yakın olan kritik bölgelerde ciddi farklılıkların da olduğu
gözlemlenmiştir. Bu farklılıklar, gerçek hayatta kullanılmak üzere tasarlanan fotonik kristallerdeki performans
Bu çalışma, TÜBİTAK (113E129, 113E276) ve Bilim Akademisi (BAGEP-2013) tarafından desteklenmektedir.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
düşüklüklerini de açıklamaktadır. Dolayısıyla, fotonik kristallerin analizlerinde, ÇSHÇY gibi tam-dalga
çözücülerinin kullanımının kritik öneme sahip olduğu anlaşılmaktadır.
Şekil 1. Hava çubuklarından oluşan bir fotonik kristal tasarımı [5].
2. Sayısal Sonuçlar
Şekil 1’de, filtre olarak kullanılan ve gelen dalgaların şeklini uygun formatta değiştirmek üzere tasarlanan bir
fotonik kristal yapısı gösterilmiştir. Yapı, genel olarak dairesel hava çubuklarından oluşmakta, yapının içinde
bulunduğu ortam ise geçirgenliği 7.40 olan diyelektrik malzeme olarak modellenmektedir. Orijinal tasarımda
çubuklar sonsuz olarak kabul edilmiş [5], çubukların yerleşimi iletim bölgesinde iki tepeli bir profil oluşturma
doğrultusunda optimize edilmiştir. Bu çalışmada ise çubuk boyları parametre olarak ele alınmış ve optimize
edilmiş olan yerleşim incelenmiştir.
Şekil 2. Şekil 1’de gösterilen fotonik kristal yapının 200 THz’te uyarılması sonucu iletim bölgesindeki bir
gözlem çizgisi üzerinde oluşan elektrik alanı, manyetik alanı ve güç yoğunluğu profilleri. Çubukların uzunluğu
olarak 0.5 µm, 1 µm ve 2 µm olmak üzere farklı değerler kullanılmıştır.
Şekil 2’de, fotonik kristal tasarımının 200 THz’te uyarılması sonucunda elde edilen elektrik alanı, manyetik alanı
ve güç yoğunluğu profilleri gösterilmiştir. Şekilde de gösterildiği üzere, iletim bölgesinde ve hemen fotonik
kristalin arkasından geçen bir gözlem çizgisi üzerinde, toplam alan ve güç yoğunluğu değerleri pozisyona bağlı
olarak incelenmiştir. Çubukların boyları için 0.5 µm, 1 µm ve 2 µm olmak üzere farklı değerler denenmiş ve
elde edilen grafikler karşılaştırılmıştır. Öncelikle, yapının arkasında yaklaşık olarak y = ±1 µm civarında
oluşması beklenen tepe bölgelerinin [5], çubukların boylarının artmasıyla belirgenleştiği gözlemlenmektedir.
Öte yandan, bu tepeler arzu edildiği seviyede Gaussian şeklini almamışlardır. Ayrıca, y = ±2 µm civarındaki
çubuklar etrafında da yüksek değerlerin oluştuğu ve bunların profili bozduğu görülmektedir. Bir başka deyişle,
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
çubukların sonlu olarak modellendiği durumlarda istenilen çıktı örüntülerinde bozulmalar gözlemlenmekte ve bu
şekilde imal edilecek olan fotonik kristallerde de benzer sorunların görülebileceği öngörülmektedir.
Şekil 3. Şekil 1’de gösterilen fotonik kristal yapının 200 THz’te uyarılması sonucu üzerinde oluşan eşdeğer
elektrik (sol) ve manyetik (sağ) akım dağılımları. Çubukların boyları 2 µm olarak seçilmiştir.
Şekil 3’te, 2 µm uzunluktaki çubuklardan oluşan fotonik kristalin 200 THz’te uyarılması sonucunda üzerinde
oluşan eşdeğer elektrik ve manyetik akım dağılımları gösterilmiştir. Şekilde beyaz yüksek değerleri, koyu
kırmızı ve siyah ise düşük değerleri göstermektedir. Şekilde, özellikle elektrik akımı değerlerinin çubuk
uçlarında ve üstlerinde yüksek çıktığı bölgeler dikkat çekmektedir. Bir başka deyişle, çubukların sonlu olarak
modellenmelerinden gelen etkiler (uçlardan yansımalar vb.) akım sonuçlarında da gözlemlenebilmektedir.
3. Sonuç
Diyelektrik çubuklardan oluşan fotonik kristaller, yüksek kabiliyetli ve hassas bir benzetim ortamında ele
alınmış ve incelenmiştir. Fotonik kristallerin geçirgenlik özelliklerinin ve çıktı profillerinin çubuk boylarına
bağlı olarak değişimleri gösterilmiş, elde edilen sonuçların literatürde sonsuzluk yaklaşımıyla elde edilenlere
göre olan farkları ortaya koyulmuştur. Elde edilen bulgular ışığında, fotonik kristallerin gerçek hayattaki gibi
sonlu olarak modellenmelerinin önemi bir kez daha gösterilmiştir.
Kaynaklar
[1]. Joannopoulos J. D., Johnson S. G., Winn J. N., ve Meade R. D., Photonic Crystals, Molding the Flow of
Light. Princeton Univ. Press, 2008.
[2]. Mekis A., Chen J. C., Kurland I., Fan S., Villeneuve P. R., ve Joannopoulos J. D., “High transmission
through sharp bends in photonic crystal waveguides,” Phys. Rev. Lett., 77, s.3787-3790, 1996.
[3]. Pissoort D., Michielssen E., Ginste D. V., ve Olyslager F., “Fast-multipole analysis of electromagnetic
scattering by photonic crystal slabs,” J. Lightw. Technol., 25, s.2847-2863, 2007.
[4]. Wu H., Jiang L. Y., Jia W., ve Li X. Y., “Imaging properties of an annular photonic crystal slab for both
TM-polarization and TE-polarization,” J. Opt., 13, 2011.
[5]. Gagnon D., Dumont J., ve Dube L. J., “Beam shaping using genetically optimized two-dimensional photonic
crystals,” J. Opt. Soc. Am. A, 29, s.2673-2677, 2012.
[6]. Ergül Ö., Malas T., ve Gürel L., “Analysis of dielectric photonic-crystal problems with MLFMA and Schurcomplement preconditioners,” J. Lightwave Technol., 29, s.888-897, 2011.
[7]. Ergül Ö., “Solutions of large-scale electromagnetics problems involving dielectric objects with the parallel
multilevel fast multipole algorithm,” J. Opt. Soc. Am. A., 28, s.2261-2268, 2011.
[8]. Yla-Oijala P. ve Taskinen M., “Application of combined field integral equation for electromagnetic
scattering by dielectric and composite objects,” IEEE Trans. Antennas Propagat., 53, s.1168-1173, 2005.
[9]. Ergül Ö. ve Gürel L., “Comparison of integral-equation formulations for the fast and accurate solution of
scattering problems involving dielectric objects with the multilevel fast multipole algorithm,” IEEE Trans.
Antennas Propag., 57, s.176-187, 2009.
Download

Üç-Boyutlu Sonlu Fotonik Kristal Yapıların Yüksek Doğrulukta Tam