1. Nájdite polohu ťažiska sústavy troch telies zanedbateľných rozmerov umiestnených
vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka s veľkosťou strany b vzhľadom na stred
základne trojuholníka. Hmotnosti dvoch telies sú m, tretie teleso má hmotnosť 2m.
Aké bude zrýchlenie ťažiska, ak sa najťažšie teleso začne pohybovať z pokoja s konštantným zrýchlením a v osi trojuholníka (pozri obrázok)?
(3 body)
2. Homogénna kruhová platňa s hmotnosťou m a s polomerom R je zavesená na stene
v bode na obvode platne. Vypočítajte moment zotrvačnosti vzhľadom na os kolmú
na rovinu platne prechádzajúcu bodom závesu.
(3 body)
3. Do stredu zvislo visiacej homogénnej tyče s hmotnosťou m1 a s dĺžkou ` kolmo narazí strela rýchlosťou v a uviazne v nej. Tyč je uchytená na jednom konci tak, aby
sa okolo závesu mohla bez trenia otáčať. O aký maximálny uhol sa tyč spolu so strelou po náraze vychýli zo zvislej polohy? Moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os
prechádzajúcu bodom závesu je J1 = m1 `2 /3. Hmotnosť strely je m2 , jej rozmery
zanedbajte.
(4 body)
~a
2m
m
m
b
Riešenie
1. Vhodne umiestniť do súradnicovej sústavy, potom je y-vá zložka polohy ťažiska:
√
√
2m 3b/2
3
yT =
=
b
4m
4
Keď sa ťažšie teleso začne pohybovať so stálym zrýchlením, tak jeho y-ová zložka sa
bude meniť ako
√
1
3
y(t) =
b + at2
2
2
poloha ťažiska potom bude
√
2my(t)
3
1
yT (t) =
=
b + at2
4m
4
4
Vidieť, že ťažisko sa tiež pohybuje rovnomerne zrýchlene so srýchlením
1
aT = a
2
2. Os otáčania neprechádza ťažiskom, použijeme Steinerovu vetu:
J = JT + mR2
JT je moment zotrvačnosti kruhovej platne vzhľadom na os prechádzajúcu jej stredom
(ťažiskom). Vypočítame ho riešením integrálu
Z
JT =
r2 dm
m
Kruhovú dosku si môžeme predstaviť tak, že pozostáva zo sústredných tenkých kruhov s polomerom r, hrúbkou dr a s hmotnosťou dm.
dJ = r2 dm
Hmotnosť elementárnej kružnice vyjadríme cez plošnú hustotu materiálu dosky σ =
m/πR2
dm = σdS = σ2πrdr
Moment zotrvačnosti kruhovej dosky:
Z
Z R
2
r σ2πrdr = 2πσ
JT =
0
0
R
1
r3 dr = πσR4
2
Po dosadení za σ:
1 m
1
JT = π 2 R4 = mR2
2 πR
2
A moment zotrvačnosti vzhľadom na uvažovanú os:
1
3
J = mR2 + mR2 = mR2
2
2
3. Nepružná zrážka, zákon zachovania momentu hybnosti
`
= Jω
2
J je moment zotrvačnosti tyče aj s uviaznutou strelou:
2
`
1
1
4m1 + 3m2 2
J = J1 + m
= m1 `2 + m`2 =
`
2
3
4
12
m2 v
Uhlová rýchlosť sústavy tesne po zrážke:
ω=
m2 v`
2J
Zákon zachovania energie:
1
(m1 + m2 )gh = Jω 2
2
kde h je výška výstupu ťažiska celej sústavy.
2
1
m2 v`
m2 v 2 `2
(m1 + m2 )gh = J
= 2
2
2J
8J
Odtiaľ pre h nájdeme
h=
m22 v 2 `2
8g(m1 + m2 )J
Z geometrie pre uhol odklonu platí:
cos ϕ =
`/2 − h
2h
=1−
`/2
`
Po dosadení
cos ϕ = 1 −
m22 v 2 `
4g(m1 + m2 )J
A substitúciou J dostaneme finálny tvar
cos ϕ = 1 −
3m22
v2
(m1 + m2 )(4m1 + 3m2 ) g`
Download

Riešenie