Mechanika klasyczna
Tadeusz Lesiak
Wykład nr 13
Mechanika bryły sztywnej
część II
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
1
Energia kinetyczna bryły sztywnej
Wyraźmy energię kinetyczną BS w jej ruchu obrotowym względem
układu U poprzez zmienne związane w układem U0, w którym BS spoczywa
1. Energia kinetyczna ruchu postępowego
2. Energia kinetyczna ruchu obrotowego
~vtr = 0
ω
~ =0
Wygodny, typowy wybór:
O0 = S (środek masy)
Zachodzi relacja:
Moment bezwładności BS
względem chwilowej osi obrotu
 I w ogólności zależy od czasu
Energia kinetyczna BS: suma członów
dla
ruchu postępowego i obrotowego
T. Lesiak
(15)
(16)
Mechanika klasyczna
2
Równania ruchu bryły sztywnej
W inercjalnym układzie odniesienia, każdy punkt
bryły sztywnej spełnia równanie postaci:
(25)
Siły zewnętrzne
Siły reakcji więzów
Z (25) wynikają dwa, niezależne od siebie, równania wektorowe:
Równanie ruchu postępowego,
określające ruch środka masy BS:
(26)
Równanie ruchu obrotowego określające zależność
od czasu całkowitego momentu pędu BS
- całkowite momenty sił
UO
(27)
względem początku inercjalnego
Siły wewnętrzne, powodujące sztywność BS są centralne i spełniają zasadę równej akcji i reakcji 
wypadkowa wszystkich sił reakcji działających na BS jest równa sumie reakcji zewnętrznych więzów BS
Dla swobodnej bryły sztywnej (brak zewnętrznych więzów) można przyjąć:
 Wtedy (26) i (27):
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
3
Elementy statyki bryły sztywnej
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby pewne położenie BS
o więzach skleronomicznych (niezależnych jawnie od czasu) było, przy danych siłach
niezależnych od czasu, położeniem równowagi, jest zachodzenie warunków:
Wynika wprost z (26) i (27)
(27a)
Statyka – odrębny dział mechaniki, zajmujący się
określaniem warunków na wystąpienie położenia równowagi
układu mechanicznego oraz znajdowaniem tego położenia
Stan równowagi układu mechanicznego = taki stan,
że jeśli układ znajduje się w nim w danej chwili
to będzie w nim pozostawać nieograniczenie długo
(przy założeniu, że siły działające na układ
z zewnątrz są stałe)
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
4
Równania Eulera
Rozważmy ruch obrotowy BS wokół osi obrotu zmiennej w czasie, ale przechodzącej
stale przez jeden ustalony punkt O0, który spoczywa w inercjalnym układzie odniesienia
Wzór (9)
ze strony 11
Wykładu XII:
Umocujmy początek układu inercjalnego O w punkcie O0:
(28)
W tym przypadku więzy wytwarza siła reakcyjna,
działająca na BS w punkcie O = O0:
z (27)
(29)
(28) i (29) obowiązują w inercjalnym UO;
Tymczasem ruch BS wygodnie jest badać w nieinercjalnym układzie U0,
który jest na stałe związany z BS
Powód  w U0 składowe tensora momentu bezwładności są stałe w czasie
Zachodzi związek (strona 19, wykład II)
między pochodnymi w układach U i U0
(30)

w U0 z (28) i (29):
w szczególności:
T. Lesiak
Równania Eulera
„Primy” znikają ale wszystkie
wielkości odnoszą się do układu U0
Mechanika klasyczna
5
Równania Eulera
Dodatkowo, niech kierunki osi układu U0 pokrywają się z
kierunkami osi głównych tensora momentu bezwładności. Wtedy:

(30) ma postać
Równania Eulera
Równania różniczkowe, nieliniowe, 1-go
stopnia dla prędkości kątowej BS
{
Rozwiązanie równań Eulera:
Herpolhodia (polhodia) – krzywa (hodograf),
jaką zakreśla w czasie koniec wektora 
w układach inercjalnym U (nieinercjalnym U0)
T. Lesiak
(31)
{
Mechanika klasyczna
(32)
6
Wstęp do teorii bąka
J.C.Maxwell
„To those who study the progress of exact
science, the common spinning top is a
symbol of the labours and the
perplexities of men”
Wolfgang Pauli i Niels Bohr
- Medytacja nad wirującym bąkiem
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
7
Ruch bryły sztywnej wokół punktu - bąk
Bąk (giroskop) - bryła sztywna, która może wykonywać dowolny ruch
obrotowy w przestrzeni (ewentualny ruch postępowy pomijamy) :
Bąk swobodny (bąk Eulera) - bryła sztywna o dowolnym rozkładzie masy
(elipsoida jej momentu bezwładności nie musi być bryłą obrotową), mająca
możliwość obrotu wokół dowolnej osi przechodzącej przez jedyny nieruchomy
punkt, który a) spoczywa w układzie inercjalnym lub b) jest środkiem masy
bryły, przy czym znika moment sił zewnętrznych względem tego punktu
Bąk niesymetryczny:
Bąk symetryczny:
Bąk sferyczny:
Równania ruchu (równania Eulera) symetrycznego bąka swobodnego
{
T. Lesiak
Wprowadźmy oznaczenie:
{
{
Mechanika klasyczna
Rozwiązanie: (A = const)
(32a)
8
Ruch bąka symetrycznego
Przywołajmy równania 32a:
Wektor krętu precesuje wokół osi z = e3
w układzie spoczynkowym bryły
Puśćmy bąka – precesja (animacja)
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/
Flash/ClassMechanics/Precession/Precession.html
Kierunek precesji zależy od znaku wielkości (Iz – Ix ):
Ix > Iz
Ix < Iz
Stabilność ruchu bąka:
Można udowodnić,
że ruch jest stabilny
wokół osi najmniejszego
(A) lub największego (B)
momentu bezwładności
Obrót wokół osi (C) – pośredniego momentu bezwładności jest niestabilny i zwykle po pewnym czasie
przechodzi w (A) lub (B)
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
9
Ruch bąka symetrycznego
Rozwiązanie dla prędkości kątowej:
{
Przywracamy „primy”
Na mocy (28)
Rozwiązanie dla momentu pędu:
{
(34)
(33)
Oba wektory: prędkości kątowej i momentu pędu, zataczają w układzie
U0 stożki kołowe; stożki te mają różne kąty rozwarcia.
Zawsze jednak oś stożka (oś symetrii bąka, oś Oz0),
wektor
oraz wektor
leżą w jednej płaszczyźnie !!!
(ta sama częstość obrotu  w obu przypadkach)
W układzie U0
Stożek zakreślany przez wektor
w układzie U0 jest kołowy
koniec tego wektora = polhodia = okrąg
(dla Ix = Iy oraz warunków początkowych ( x00, y00, z00 )
Promień okręgu:
Leży on w płaszczyźnie:
Okres obiegu:
T. Lesiak
Ix0 < Iz0
Mechanika klasyczna
10
Przypomnienie: kąty Eulera
wersory
II sposób: kąty Eulera
względem
Niech płaszczyzny Oxy i O0x0y0 przecinają się wzdłuż prostej, której
kierunek wyznacza wersor
- prostą tą nazywamy linią węzłów
Przejście od współrzędnych
- kąt między osiami
x i w; oś obrotu:
– kąt między osiami
x0 i w; oś obrotu:
– kąt między osiami
z i z0; oś obrotu:
T. Lesiak
do
w trzech krokach:
CCW counter-clockwise – przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara
Obrót CCW o kąt  wokół osi z=
{
Obrót CCW o kąt  wokół osi  = 0
Obrót CCW o kąt  wokół osi
 0 = z0
Mechanika klasyczna
11
Dygresja: prędkość kątowa
układu U0
wyrażona w zależności od kątów Eulera
Układ U0 – sztywno związany z bryłą sztywną
Kąty Eulera można kolejno traktowa jako kąty obrotu między układami
odniesienia U, U0 U00 U000 = U0 (Złożenie trzech obrotów jest obrotem)
- kąt między osiami
x i w; oś obrotu:
– kąt między osiami
x0 i w; oś obrotu:
– kąt między osiami
z i z0; oś obrotu:
Obrót wokół osi
o kąt 
Obrót wokół osi
o kąt 
Obrót wokół osi
o kąt 
Z definicji
prędkości kątowej
Obliczmy składowe tego wektora w układzie U0 :
(4b)
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
12
Ruch bąka symetrycznego
Rozwiązanie w układzie U: Składowe w U0 wiążą się następująco z kątami Eulera i ich pochodnymi w U (4b):
(35a) W układzie U wektor krętu musi być stały w czasie
{
(gdyż znika moment siły działającej na bąka)
(35b)
Przyjmijmy że kręt ma kierunek osi z;
(35c) Wtedy  = const jako kąt między osiami z i z0 
(36a)
Dzieląc przez siebie 35a i 35b 
z (33):
z 35c
W układzie U0
W układzie U
Oba kąty: , i  rosną monotonicznie w czasie
(36b)
Obrót o kąt  zachodzi wokół osi Oz (wokół kierunku krętu)
Obrót o kąt  zachodzi wokół osi Oz0 (osi symetrii ciała)
polhodia
herpolhodia
Taka superpozycja dwu jednostajnych ruchów obrotowych,
z których jeden zachodzi względem osi ustalonej w układzie
inercjalnym, a drugi wokół kierunku ustalonego w układzie
nieinercjalnym, związanym z bąkiem = PRECESJA regularna
W układzie U oś symetrii bąka zatacza stożek kołowy, którego osią jest wektor
Wektor
także zatacza stożek kołowy  Herpolhodia jest także okręgiem
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
13
Bąk symetryczny: polhodia a herpolhodia
Ciekawy applet: http://faculty.ifmo.ru/butikov/Applets/Precession.html
Iz0 > Ix0
1. bąk spłaszczony:
Rozważmy dwa przypadki:
z0
J
ω
J0
J0
Jz0 = Iz0 ωz0
ωz0
ω0
ω0
ωx0
Jx0 = Ix0 ωx0
x0
W układzie U
W układzie U oś symetrii bąka zatacza stożek
kołowy wokół stałej osi momentu pędu J
Chwilowa oś obrotu ω także wiruje dokoła J,
kreśląc stożek herpolhodii (H)
W układzie U0
W układzie U’ oś momentu pędu bąka J’ zatacza
stożek kołowy wokół stałej osi symetrii
Chwilowa oś obrotu ω’ także wiruje dokoła osi
symetrii, kreśląc stożek polhodii (P)
bąk spłaszczony  stożek herpolhodii
toczy
się wewnątrz stożka polhodii
T.1.
Lesiak
Mechanika
klasyczna
14
Bąk symetryczny: polhodia a herpolhodia
Rozważmy dwa przypadki:
2. bąk wydłużony:
z0
Iz0 < Ix0
J
ω0
ω
J0
ωz0
ω0
Jz0 = Iz0 ωz0
J0
ωx0
x0
Jx0 = Ix0 ωx0
W układzie U
W układzie U oś symetrii bąka zatacza stożek
kołowy wokół stałej osi momentu pędu J
Chwilowa oś obrotu ω także wiruje dokoła J,
kreśląc stożek herpolhodii (H)
W układzie U0
W układzie U’ oś momentu pędu bąka J’ zatacza
stożek kołowy wokół stałej osi symetrii
Chwilowa oś obrotu ω’ także wiruje dokoła osi
symetrii, kreśląc stożek polhodii (P)
2. bąk wydłużony  stożek herpolhodii toczy się po zewnętrznej stronie stożka polhodii
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
15
Ruch bąka asymetrycznego – konstrukcja Poinsota
Ix 6= Iy 6= Iz
 Rozwiązanie analityczne jest bardzo skomplikowane
 „geometryczne” rozwiązanie Poinsota
Układ U’; dwie całki ruchu:
energia kinetyczna i moment pędu
(opuszczamy primy):
{
J 2 = Ix2 ωx2 + Iy2 ωy2 + Iz2ωz2
(37a)
2T = Ix ωx2 + Iy ωy2 + Iz ωz2
(37b)
Każde z tych dwóch równań definiuje elipsoidę w przestrzeni prędkości kątowej
Wektor ω – zawsze na przecięciu obu elipsoid
Ix ω 2 + Iy ω 2 + I z ω 2 = 1
2T x
2T y
2T z
Z 37b:
ωx
Dla przypadku:
 Elipsoida bezwładności (wykład XI)
„Elipsoida krętu” – odpowiadająca 37a
I x > Iy > Iz
Elipsoida bezwładności
Przecięcia elipsoidy bezwładności z elipsoidą krętu
– trajektorie (hodografy) wektora ω
ωz
ωy
T. Lesiak
Hodografy są krzywymi zamkniętymi (ruch stabilny) jedynie
dla obrotów wokół osi głównych Ix i Iz, odpowiadających
największemu i najmniejszemu momentowi bezwładności
(jak we wcześniejszych rozważaniach)
Mechanika klasyczna
16
Ruch bąka symetrycznego ciężkiego
Bąk symetryczny ciężki: bryła sztywna w polu grawitacyjnym, obracająca się wokół
punktu, przy czym moment sił względem tego punktu nie jest równy zero
Z doświadczenia wiadomo, że także i w tym przypadku oś
wektora momentu pędu zakreśla okrąg względem osi z
Dlaczego bąk nie upada ?  ponieważ się obraca
Dlaczego bąk się obraca  obecność (momentu) siły
Na bąk działają dwie siły:
1.
Siła sprężystości w punkcie podparcia O, skierowana ku górze, jej moment znika
2.
Siła ciężkości Mg, skierowana w dół, o momencie siły:
Kierunek momentu siły D jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i F:
Wektory r, J i D obracają się dokoła osi pionowej z prędkością kątową 
Z równania 29:

T. Lesiak
widać że kierunki zmian wektora krętu i wektora momentu siły pokrywają się
Mechanika klasyczna
17
Ruch bąka symetrycznego ciężkiego
Bąk nie upada, ponieważ stały moment siły ciężkości
powoduje występowanie stałej zmiany wektora momentu pędu
- precesji wokół osi z
Przykład: żyroskop:
Jazda na rowerze
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
Zawieszenie Cardana
18
Żyroskop
1, Żyroskop obraca się wokół swojej osi
2. Do żyroskopu zostaje przyłożona siła (zielone strzałki)
3. Żyroskop reaguje na zewnętrzną siłę obrotem prostopadłym
do kierunku siły (precesja) – niebieskie strzałki
Techniczne warunki stabilności obrotu żyrokompasu
- Dostatecznie duża prędkość obrotu
- - wystarczająco małe tarcie w łożyskach
Na obracającej się Ziemi oś obrotu żyrokompasu wskazuje
kierunek północny (siła Coriolisa)
 żyrokompas
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
19
Żyroskop:
Oś wirnika giroskopu = oś główna = oś obrotów własnych
Oś wirnika obraca się w łożyskach wirnika
Łożyska są zamocowane w ramce wewnętrznej.
Oś ramki wewnętrznej obraca się w łożyskach,
umocowanych w ramce zewnętrznej.
Ramka zewnętrzna obraca się w łożyskach podstawy
 Wirnik giroskopu może jednocześnie wykonywać trzy
niezależne od siebie ruchy:
1.
2.
3.
obrót wokół osi głównej
obrót razem z ramką wewnętrzną wokół osi wewnętrznej
obrót razem z ramkami wewnętrzną i zewnętrzną wokół
osi zewnętrznej zawieszenia.
Wygodna definicja układu współrzędnych: osie układu współrzędnych pokrywają się z osiami obrotów giroskopu:
oś Ox- oś główna giroskopu, oś Oy - oś obrotu ramki wewnętrznej, oś Oz - oś obrotu ramki zewnętrznej
Giroskop = BS obracająca się wokół nieruchomego punktu przecięcia się wszystkich osi obrotów.
Ten punkt to środek zawieszenia żyroskopu
Prędkość obrotowa wirnika  jest znacznie większa od prędkości obrotowych wokół osi zawieszenia.
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
20
Przykłady zastosowania żyroskopu
Utrzymywanie stałego kierunku w przestrzeni
względem układu inercjalnego
= dowód na obrót Ziemi
Zmiana kierunku ruchu statku kosmicznego:
1. Włączenie ciągu bocznych silników
korekcyjnych LUB
2. Włączenie obrotu żyroskopu: statek skręca w
kierunku przeciwnym niż obrót żyroskopu, tak
aby zachować całkowity moment pędu
Taśma magnetyczna komputera na pokładzie Voyager 2
znacząco modyfikowała jego trajektorię
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
21
Równania Lagrange’a drugiego
rodzaju dla bryły sztywnej
Przypomnijmy wzór (16) na energię kinetyczną BS w jej ruchu względem układu U
Obierzmy punkt O0 w środku masy BS 

S -względem środka masy
Znika dla przypadku gdy punkt O0 jest
unieruchomiony w układzie inercjalnym
Trzy stopnie swobody  trzy współrzędne uogólnione – można je wybrać jako kąty Eulera
Podstawmy
relacje (4b):
Opuszczając indeks (S):
T. Lesiak
(27b)
Mechanika klasyczna
22
Ruch bąka symetrycznego ciężkiego (BSC)
Założenia:
bąk symetryczny np.
- oś Oz – osią symetrii
jednorodne pole grawitacyjne
Układ inercjalny U (xyz); układ związany z bąkiem U0 (x0y0z0)
Środek masy S leży na osi symetrii z0
BSC układem o trzech stopniach swobody  3 warunki więzów,
unieruchamiające punkt O0
Zbadajmy ruch BSC używając jako współrzędnych uogólnionych kątów Eulera
Energia kinetyczna BSC:; wzór (27b):
Po krótkich
przekształceniach:
(37a)
(37b)
Współrzędne środka masy
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
23
Ruch bąka symetrycznego ciężkiego (BSC)
Równania Lagrange’a:
{
Z (37a) i (37b) widać że  i  nie
występują jawnie w funkcji Lagrange’a –
są współrzędnymi cyklicznymi
Od razu można wypisać dwie całki pierwsze:
(38a)
(38b)
Można łatwo sprawdzić, że p i p są składowymi momentu pędu BS w kierunku osi, odpowiednio, z i z0
Zamiast jawnie całkować równanie Lagrange’a II-go rodzaju dla zmiennej  można skorzystać
z całki pierwszej energii (energia jest dla bąka zachowana):
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
24
Ruch bąka symetrycznego ciężkiego (BSC)
(38c)
Efektywny
potencjał:
(38d)

kąt Θ musi leżeć między dwoma punktami
zwrotnymi Θ1 i Θ2
 kąt Θ wykonuje periodyczne oscylacje
tzw. NUTACJE między punktami Θ1 i Θ2
szczegóły rachunku  materiały dodatkowe
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
25
Precesja wymuszona; nutacja
Bąk symetryczny ciężki, podobnie jak bąk symetryczny swobodny podlega
precesji  precesja wymuszona (obecnością momentu siły ciężkości)
Tor punktu przebicia
osi symetrii z0 z kulą
o środku w punkcie O
(opisywany z układu U)
Precesja regularna - gdy 1 = 2  oś symetrii z0 bąka porusza się po stożku wokół osi z
Precesja pseudoregularna – gdy 1 różne od 2  oś symetrii, oprócz precesji
wykonuje także wahania między 1 i 2
Te wahania to nutacje (ruchy libracyjne)
Zagadnienie BSC (obok problemu trzech ciał) należy od pokoleń do najbardziej
ważkich i trudnych problemów mechaniki klasycznej
(nie tylko – także zastosowania w mechanice kwantowej do badania widm cząsteczkowych)
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
26
Ziemia jako bąk
Obrót dobowy powoduje, że Ziemia jest nieco spłaszczona przy
biegunach i wybrzuszona przy równiku  elipsoida obrotowa
 Ziemia = bąk symetryczny swobodny
Pomiary
geodezyjne:

Można by oczekiwać, że Ziemia jako bąk swobodny wykonywałaby
precesję regularną z tzw. okresem Eulera
(oś jej obrotu zakreślałaby w układzie U0, sztywno związanym z Ziemią
stożek wokół osi symetrii z okresem Eulera)
Wówczas tzw. Biegun Kinematyczny Ziemi (BKZ -punkt przecięcia
osi obrotu Ziemi z jej powierzchnią) poruszałby się wokół bieguna
geometrycznego (punktu przecięcia osi symetrii z powierzchnią)
po okręgu dokonując pełnego obiegu w ok. 10 miesięcy.
Rzeczywista droga BKZ nie jest okręgiem lecz nieregularną krzywą
„Okres” wyśredniowanego ruchu = okres Chandlera
Wektor prędkości kątowej ω przecina powierzchnię Ziemi ok. 10m od bieguna
północnego i precesuje wokół niego z uśrednionym okresem Chandlera
Rozbieżność TE i TC wynika z tego, że Ziemia nie jest doskonale sztywna np. pływy
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
27
Ziemia jako bąk: precesja wymuszona
Rozważmy ruch Ziemi wokół jej środka masy
Słońce (S) i Księżyc (K) , rozpatrywane względem
układu związanego ze środkiem masy Ziemi krążą
wokół Ziemi po dwu (w przybliżeniu kołowych)
orbitach, leżących w jednej płaszczyźnie
θ = 23.30
 Można przyjąć, iż masa S i K jest
równomiernie rozłożona wokół Ziemi
na pewnym okręgu
 Na Ziemię działa para sił pochodzących
od przyciągania przez masę Słońca i Księżyca
tych części Ziemi, które stanowią odstępstwo
od jej kształtu kulistego
Ta para sił wytwarza moment sił
o kierunku osi węzłów,
skierowanym jak na rysunku i o wartości proporcjonalnej do sin
Ziemia podlega precesji wymuszonej
(astronomicznej) o okresie ok. 26 000 lat
Dodatkowo Ziemia podlega też nutacjom:
kąt θ zmienia się w zakresie 22.10 – 24.50
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
T ≈ 26 000 lat
28
Backup
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
29
Energia kinetyczna bryły sztywnej
Wyraźmy energię kinetyczną BS w jej ruchu obrotowym względem
układu U poprzez zmienne związane w układem U0, w którym BS spoczywa
Podstawmy:
(14)
Zachodzi relacja:
Rozpiszmy
ostatni człon
Na mocy (7)
(15)
(16)
Energia kinetyczna
ruchu postępowego
T. Lesiak
Znika dla wyboru
O0 = S
Energia kinetyczna
ruchu obrotowego
Mechanika klasyczna
Moment bezwładności BS
względem chwilowej osi obrotu 
I w ogólności zależy od czasu
30
Wahadło fizyczne – przykład ruchu płaskiego BS
Wahadło fizyczne (WF) – bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej L w jednorodnym
polu grawitacyjnym (można przyjąć, że oś obrotu łączy dwa unieruchomione punkty BS; os obrotu jest
położona ponad środkiem ciężkości bryły)
Ruch WF jest płaski – tzn. podczas ruchu każdy punkt BS
porusza się w pewnej płaszczyźnie – wszystkie te płaszczyzny
są do siebie równoległe w każdym układzie odniesienia
Ruch płaski  Trzy stopnie swobody  trzy współrzędne
uogólnione: dwie współrzędne środka masy (xS,zS) oraz kąt obrotu
 wokół osi  (skierowanej ku nam, wzdłuż osi y)
Układ U można zdefiniować tak zby xS i yS leżały w płaszczyżnie z
=0
Równania ruchu
(27c)
(27d)
Z (26):
Z (27):
Z (9):
gdyż siły reakcji działają w punktach, w których umocowana jest oś obrotu BS;
tam zaś wybraliśmy początek układu odniesienia U  znika ramię sił reakcji
Nie znika tylko składowa D wzdłuż osi obrotu (, y)
T. Lesiak
„minus” bo D skierowane przeciwnie do osi y
Mechanika klasyczna
(27e)
31
Wahadło fizyczne
Z (27):
(27f)
R

(27g)
x CM
Mg
Równanie ruchu wahadła fizycznego jest identyczne jak odpowiednie
równanie wahadła matematycznego *wykład VII formuły (14)-(26);
dla wahadła matematycznego:
Porównując (27g) i (27h):
Ze wzoru (24a)
– wykład VII:
T. Lesiak
Zbieżność oznaczeń;
nie utożsamiać z prędkością kątową
(27h)
Długość zredukowana
(27i) wahadła fizycznego
(27k)
Mechanika klasyczna
32
Wahadło fizyczne
Zależność okresu obrotu wahadła fizycznego od sposobu jego zawieszenia
tj. od położenia w nim jego osi obrotu:
Moment bezwładności względem osi równoległej
do L i przechodzącej przez środek masy
Z twierdzenia Steinera (17):
Z (27i):
wynika że
(27l)
Zależność długości zredukowanej wahadła
fizycznego od odległości między środkiem masy
a osią zawieszenia (łożenie paraboli i prostej)
Równanie kwadratowe względem d:
Z pierwiastkami:
Przy czym:
WF ma tę samą długość zredukowaną ( a więc i ten sam
okres) gdy jest zawieszone na osiach L o stałym
kierunku, odległych od środka masy o odległość d1 lub d2
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
33
Porównajmy ruch postępowy BS z ruchem obrotowym
BS dokoła nieruchomej osi
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
34
Ruch bąka symetrycznego ciężkiego (BSC)
Eliminując
za pomocą (37a) i (37b)
Efektywny
potencjał:
(38c)
(38d)
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu względem 
Podstawmy:
(38e)
Podstawmy
z (38c):
(39b)
Wielomian
trzeciego stopnia
względem 
(39a)
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
35
Ruch bąka symetrycznego ciężkiego (BSC)
Funkcję (39) można przedstawić w postaci kanonicznej
Przy czym:
Na mocy (39a):
Oba te warunki są spełnione
jedynie dla:
Na mocy (38e):
(40)
Przekształcając i
całkując (39a):
Znając t() można obliczyć
funkcję odwrotną (t)
Tzw. całka eliptyczna
Na mocy (40):
Znaną funkcję (t) można
podstawić do (38a) i (38b)
i znależć (t) oraz (t)
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
36
Precesja wymuszona; nutacja
Bąk symetryczny ciężki, podobnie jak bąk symetryczny swobodny podlega precesji
 precesja wymuszona (obecnością momentu siły ciężkości)
Tor punktu przebicia
osi symetrii z0 z kulą o
środku w punkcie O
(opisywany z układu U)
Precesja regularna - gdy 1 = 2 (1 = 2)  oś symetrii z0 bąka porusza się po stożku wokół osi z
wielomian f() ma wtedy podwójny pierwiastek
Precesja pseudoregularna – gdy 1 różne od 2  oś symetrii, oprócz precesji
wykonuje także wahania między 1 i 2
Te wahania to nutacje (ruchy libracyjne)
Zagadnienie BSC (obok problemu trzech ciał) należy od pokoleń do najbardziej
ważkich i t trudnych problemów mechaniki klasycznej (nie tylko – także
zastosowania w mechanice kwantowej do badania widm cząsteczkowych)
T. Lesiak
Mechanika klasyczna
37
Download

Mechanika bryły sztywnej część II Mechanika bryły sztywnej część II