FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
ˇ
OBYCAJNÉ
DIFERENCIÁLNE
ROVNICE
RNDr. Kristína Rostás, PhD.
PREDMET: Matematická analýza (3)
2010/2011
1. DEFINÍCIA DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC
Uvedieme niekol’ko príkladov "zo života", kde sa môžeme stretnút’ s diferenciálnymi
rovnicami.
Príklad 1. Hl’adáme krikvu y = y(x) , ktorá má tú vlastnost’, že normála v každom
jej bode (x0 , y0 ) prechádza daným pevným bodom, pre jednoduchost’ napr. poˇciatkom,
bodom (0, 0) .
Obr. 1
Príklad 2. Vložme do banky 1000 ¤ s úrokom 10% . Na konci roku máme potom
1100 ¤ . Ale ak sa úroky pripisujú polroˇcne, úroˇcí sa od polovice roka cˇ iastka 1050 ¤ a
na konci roku je na úˇcte 1102,50 ¤ . Intervaly úroˇcenia môžeme zužovat’ na štvrt’roˇcné,
mesaˇcné, týždenné, denné atd’.
Vynorí sa otázka, akú najvyššiu sumu môžeme dostat’ na konci roku?
Príklad 3. Pomocou matematických modelov možno predvídat’ rast a pokles množstva populácie (l’udia, zieratá, atd’.) v závislosti od cˇ asu. Za predpokladu, že jednotlivé druhy populácie sú izolované (ˇco je dost’ nereálna situácia), dostaneme rovnicu
x0 (t) = k x(t) , ktorá vyjadruje exponenciálny rast, exponenciálny pokles, alebo konštantné množstvo populácie v urˇcitom cˇ asovom intervale.
Reálnejšiu situáciu opíše nasledujúci tzv. Lotka-Volterra model: Ak uvažujeme súžitie
predátora x a jeho koristi y (kde x(t) resp. y(t) je poˇcet kusov predátora resp. koristi
v cˇ ase t ), tak cˇ asový vývoj populácií oboch druhov možno modelovat’ systémom diferenciálnych rovníc
x0 (t) = −x(t)(α − β y(t))
y0 (t) = y(t)(γ − δ x(t)) ,
kde α, β, γ, δ sú kladné parametre interakcie medzi nimi.
Význam jednotlivých cˇ lenov systému:
2
•
x0 (t) resp. y0 (t) je rýchlost’ rastu predátora resp. koristi,
•
−α x(t) zabranuje
ˇ
premnoženiu predátora,
•
β x(t)y(t) opisuje nárast rastu populácie predátora v dôsledku vel’kej pôrodnosti, ale prežitie jedincov je naviazané na dostatok potravy (koristi),
•
γ y(t) opisuje nárast rastu populácie koristi v dôsledku vel’kej pôrodnosti,
•
−δ x(t)y(t) opisuje bránenie premnoženia populácii koristi pri dostatoˇcnom
poˇcte kusov predátora.
Definícia 1. Obyˇcajnou diferenciálnou rovnicou nazývame rovnost’, ktorá obsahuje nezávisle premennú x , neznámu funkciu y a jej derivácie y0 (x) ,..., y(n) (x) :
F(x, y, y0 , . . . , y(n) ) = 0 ,
(1)
kde F je reálnou funkciou svojich premenných. Rád najvyššej derivácie n , sa nazýva rádom
tejto rovnice.
Definícia 2. Riešením diferenciálnej rovnice (1) na neprázdej množine M nazývame každú
funkciu ϕ(x) , ktorá je spojitá, má spojitú deriváciu až do rádu n na množine M a pre ktorú
platí:
F(x, ϕ(x), ϕ0 (x), . . . , ϕ(n) (x)) = 0 pre každé x ∈ M .
Množina všetkých riešení diferenciálnej rovnice sa nazýva všeobecné riešenie.
Graf riešenia diferenciálnej rovnice nazývame integrálnou krivkou.
Hovoríme o Cauchyho zaˇciatoˇcnej úlohe, ak hl’adáme také riešenie rovnice (1), pre ktoré
platia zaˇciatoˇcné podmienky:
y(x0 ) = y0 , y0 (x0 ) = y1 , . . . , y(n−1) (x0 ) = yn−1 ,
kde x0 , y0 , . . . , yn−1 sú dané konštanty.
Riešenie Cauchyho zaˇciatoˇcnej úlohy sa nazýva partikulárne riešenie.
Obr. 2
3
Cauchyho úlohu nájst’ riešenie danej diferenciálnej rovnice 1. rádu vyhovujúce daným zaˇciatoˇcným podmienkam y(x0 ) = y0 , sa dá geometricky interpretovat’ tak, že
hl’adaná integrálna krivka prechádza daným bodom Q = (x0 , y0 ) (obr.2).
Cauchyho úloha pre diferenciálnu rovnicu 2. rádu spoˇcíva v nájdení riešenia y = y(x)
sp´lnajúceho
ˇ
zaˇciatoˇcné podmienky y(x0 ) = y0 , y0 (x0 ) = y1 , kde x0 , y0 , y1 sú dané konštanty. Geometricky to znamená nájst’ integrálnu krivku, ktorá prechádza bodom Q =
(x0 , y0 ) a má v tomto bode dotyˇcnicu so smernicou k = tan α0 = y0 (x0 ) = y1 (obr.2).
Pojmy z definície 2 ešte vysvetlíme aj na nasledujúcom príklade:
Príklad 4.
nice
Nájdime všetky riešenia diferenciálnej rovy0 = 2x ,
zistime grafy týchto funkcií, potom nájdime tú krivku,
ktorá prechádza bodom (1, 0) (riešenie je na obr.3).
Poznámka 1. Nie každú diferenciálnu rovnicu sa dá vyriešit’,
napr. (y0 )2 + x2 + y2 + 1 = 0 .
Pri riešení diferenciálnych rovníc sa môžeme stretnút’
príkladom, ked’ bodom (x0 , y0 ) prechádzajú dve alebo viac
integrálnych kriviek, t.j. riešenie nie je jednoznaˇcné.
Všeobecným riešením diferenciálnej rovnice 1. rádu x y0 −
Obr. 3
2
2y = 0 je funkcia y = c x , kde c je l’ubovol’né reálne cˇ íslo.
Grafom všeobecného riešenia je jednoparametrická sústava kriviek. Pre c = 0 je integrálnou krivkou priamka y = 0 , pre c 6= 0 je to sústava parabol.
Obr. 4
4
Príklad 5. Ukážte, že funkcia
úlohy y0 = 3 y2/3 , y(0) = 0 .
a) y = x3 ,
b) y = 0
je riešením Cauchyho
•
Ak bododm (x0 , y0 ) prechádza viac ako jedna integrálna krivka, tak sa ten bod
nazýva singulárnym bodom diferenciálnej rovnice.
•
Ak v každom bode riešenia je porušená jednoznaˇcnost’, tak sa to nazýva singulárnym riešením diferenciálnej rovnice.
Veta 1. Nech funkcia f (x, y) je na oblasti O (množina tých bodov (x, y) , pre ktoré x ∈ (x0 −
a, x0 + a) a y ∈ (y0 − b, y0 + b) , kde a, b sú kladné konštanty alebo ∞ )
1. spojitá,
2. ohrahiˇcená, t.j. existuje taká konštanta K > 0 , že pre každý bod (x, y) je | f (x, y)| ≤ K ,
3. spl´na
ˇ Lipschitzovu podmienku s konštantou L , t.j. pre každé dva body (x, y) , (x, y)
z O platí | f (x, y) − f (x, y)| ≤ L|y − y| .
Potom diferenciálna rovnica y0 = f (x, y) má práve jedno riešenie y = ϕ(x) , ktoré prechádza cez
bod (x0 , y0 ) a je riešením na intervale (x0 − c, x0 + c) , priˇcom c = min{a, b/K} .
2. DIFERENCIÁLNE ROVNICE PRVÉHO RÁDU
2.1 ROVNICE NEOBSAHUJÚCE NEZNÁMU FUNKCIU
Uvažujme o rovnici
y0 = f (x) ,
kde f (x) je definovaná a spojitá na intervale (a, b) . Všeobecné riešenie tejto rovnice je
dané vzt’ahom:
Z
y = f (x) dx + c , alebo y = F(x) + c ,
kde c je l’ubovol’ná konštanta a F(x) je primitívna funkcia k f (x) .
Riešenie Cauchyho zaˇciatoˇcnej úlohy so zaˇciatoˇcnou podmienkou y(x0 ) = y0 je
y − y0 =
Zx
f (x) dx .
x0
Príklad 6.
Nájdime riešenia zaˇciatoˇcných úloh
a)
y0 = 3 x2 , y(−1) = 0 (obr.5 vl’avo),
b)
y0 =
1
x(x−1) ,
y(1/3) = 0
a urˇcme maximálny interval, na ktorom sú definované.
5
Obr. 5
Tento prípad možno zovšeobecnit’ na rovnicu l’ubovol’ného rádu. Majme rovnicu
y(n) = f (x) .
Jej riešenie dostaneme postupným integrovaním, teda
Z Z
y(x) =
|
Z
. . . f (x) dx . . . dx dx .
{z }
n−krát
Funkcia y = x3 + c1 x + c2 je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu v tvare
y00 = 6 x . Riešenie, ktoré sp´lna
ˇ zaˇciatoˇcné podmienky y(0) = 1 , y0 (0) = 21 má tvar y =
x3 + 12 x + 1 (obr.5 vpravo, modrá krivka).
2.2 ROVNICE NEOBSAHUJÚCE NEZÁVISLE PREMENNÚ
Uvažujme o rovnici
y0 = g(y) ,
kde g(y) je definovaná a spojitá na intervale (c, d) a nenadobúda na tomto intervale
dy
dx
nulovú hodnotu. Pri oznaˇcení y0 =
a x0 =
našu rovnicu môžeme písat’ aj v tvare
dx
dy
dy
= g(y) , k cˇ omu možno napísat’ tzv. prevrátenú rovnicu:
dx
dx
1
=
dy g(y)
alebo x0 =
6
1
.
g(y)
Táto rovnica je už rovnicou neobsahujúcou neznámu funkciu, teda ju vieme riešit’.
Riešenie Cauchyho úlohy so zaˇciatoˇcnou podmienkou y(x0 ) = y0 je
x − x0 =
Zy
y0
1
dy .
g(y)
Príklad 7. Nájdime riešenie zaˇciatoˇcnej úlohy y0 = y2 , y(0) = 1 a urˇcme maximálny interval, na ktorom je definované!
dy
= f (x) resp.
Poznámka 2. Rovnicu y0 = f (x) resp. y0 = g(y) môžeme písat’ aj v tvare
dx
dy
dy
= g(y) , z cˇ oho formálnou úpravou dostaneme: dy = f (x) dx resp.
= dx . Z toho už
dx
g(y)
vidiet’ univerzálnu metódu pre riešenie rovníc typu y0 = f (x)g(y) , o tom hovorí nasledujúca
kapitola.
2.3 ROVNICE SO SEPAROVANÝMI PREMENNÝMI
Definícia 3. Diferenciálnu rovnicu tvaru y0 = f (x)g(y) kde f : (a, b) → R a g : (c, d) → R sú
spojité funkcie, nazývame diferenciálnou rovnicou so separovanými premennými.
0
Príklad 8. Nájdime riešenie rovnice 2x + yy = 0 , ktoré prechádza bodom (x0 , y0 ) =
(0, −1) (obr.6).
Obr. 6
Veta 2. Nech f : (a, b) → R a g : (c, d) → R sú spojité funkcie, x0 ∈ (a, b) , y0 ∈ (c, d) .Potom
platí:
1. Ak g(y0 ) = 0 , funkcia y(x) = y0 , pre x ∈ (a, b) , je riešením zaˇciatoˇcnej úlohy
y0 = f (x)g(y) ,
7
y(x0 ) = y0 .
2. Ak g(y) 6= 0 pre všetky y ∈ (c, d) , existuje jediné riešenie horeuvedenej zaˇciatoˇcnej úlohy
a má tvar
y(x) = G−1 [F(x)] , pre x ∈ (α, β) ⊆ (a, b) ,
kde G(y) =
Zy
y0
Rx
ds
, y ∈ (c, d) a F(x) = f (t) dt , x ∈ (α, β) ⊆ (a, b) .
g(s)
x0
Poznámka 3. V prípade, že g(y) 6= 0 , všeobecné riešenie diferenciálne rovnice y0 = f (x)g(y)
nájdeme ako riešenie rovnice
Z
Z
dy
= f (x) dx .
g(y)
Príklad 9.
Nájdime všetky riešenia diferenciálnej rovnice x y0 = y2 − y .
Transfornáciou premenných, substitúciou sa dajú niektoré rovnice previest’ na separované. Dva typy uvedieme.
y
y(x)
možno transformáciou u(x) =
previest’ na rovnice
• Rovnice typu y0 = f
x
x
so separovanými premennými.
ax+by+c
0
• Rovnice typu y = f
môžeme rozdelit’ podl’a vlastnosti parametd x+ey+ f
rov a, b, c , d, e, f na viac možností. Jednu z nich možno riešit’ transformáciou
x = t + α , y = u + β s vhodnými parametrami α, β , a previest’ na rovnice vyššie
uvedeného typu.
2.4 LINEÁRNE DIFERENCIÁLNE RONVICE PRVÉHO RÁDU
Definícia 4. Ak v definície 1. funkcia F je lineárnou funkciou symbolov y a y0 , tak dostaneme
homogénnu lineárnu diferenciálnu rovnicu (alebo lineárnu diferenciálnu rovnicu bez pravej
strany):
a(x) y0 + b(x) y = 0 .
Ak predpokladáme, že a(x) 6= 0 , rovnicu možno písat’ aj v tvare y0 + p(x) y = 0 , priˇcom funkcia
p(x) je spojitá na intervale (a, b) .
Veta 3. Nech p : (a, b) → R je spojitá funkcia. Potom platí:
1. Riešením homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice sú lineárne funkcie a tvoria lineárny priestor.
2. Každé riešenie diferenciálnej rovnice y0 + p(x) y = 0 má tvar y(x) = c e−
l’ubovol’ná konštanta.
R
p(x) dx
, kde c je
3. Pre každé x0 ∈ (a, b) a y0 ∈ R má zaˇciatoˇcná úloha y0 + p(x) y = 0 , y(x0 ) = y0 práve
jedno riešenie a to má tvar


 Zx

y(x) = y0 exp − p(t) dt .


x0
8
2x
Príklad 10. Nájdime najprv všeobecné riešenie rovnice y0 − 1+x
2 y = 0 , a potom
riešnie, ktoré prechádza bodom (x0 , y0 ) = (1, 2) .
Obr. 7
Poznámka 4. Každá integrálna krivka rovnice y0 + p(x) y = 0 leží bud’ celá nad osou x , alebo
celá pod osou x . Jediná integrálna krivka tejto rovnice, ktorá má bod na osi x je úseˇcka y(x) = 0,
x ∈ (a, b) .
Definícia 5. Nehomogénna lineárna diferenciálna rovnica (alebo lineárna diferenciálna
rovnica s pravou stranou) je rovnica tvaru a(x) y0 +b(x) y = c(x) . Ak predpokladáme, že a(x) 6=
0 , rovnicu možno písat’ aj v tvare y0 + p(x) y = q(x) , priˇcom funkcie p(x) a q(x) sú spojité na
intervale (a, b) .
Poznámka 5. Funkcia, ktorú dostaneme ako rozdiel dvoch riešení nehomogénnej diferenciálnej
rovnice, je riešením homogénnej diferenciélnej rovnice
Oznaˇcme všeobecné riešenie homogénnej rovnice ako yV H , všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice ako yV NH a partikulárne riešenie nehomogénnej rovnice ako yPNH .
Veta 4. Nech p : (a, b) → R a q : (a, b) → R sú spojité funkcie. Potom platí:
1. Všeobecné riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice je súˇctom všeobecného riešenia
homogénnej diferenciálnej rovnice a partikulárneho riešenia nehomonénnej diferenciálnej
rovnice.
2. Každé riešenie diferenciálnej
rovnice y0 + p(x) y = q(x) má tvar
Z
R
R
y(x) = e− p(x) dx c + q(x) e p(x) dx , kde c je l’ubovol’ná konštanta.
3. Pre každé x0 ∈ (a, b) a y0 ∈ R má zaˇciatoˇcná úloha y0 + p(x) y = q(x) , y(x0 ) = y0 práve
jedno riešenie a to má tvar



 
Zx
 Zx

Zt

y(x) = exp − p(t) dt y0 + q(t) exp
p(s) ds dt  .




x0
x0
9
x0
Na zistenie partikulárneho riešenia nehomogénnych diferenciálnych rovníc uvedieme dve metódy:
Metóda variácie konštánt
Táto metóda spoˇcíva v tom, že partikulárne riešenie hl’adáme v tavre, ktorý je odvodený zo všeobecného riešenia homogénnej rovnice tak, že namiesto konštanty c v yV H
uvažujeme o funkcii c(x) . Túto funkciu dourˇcíme tak, že predpokladané riešenie dosadíme do nehomogénnej rovnice.
Eulerova metóda
R
Táto metóda spoˇcíva v tom, že ak rovnicu y0 + p(x) y = q(x) vynásobím výrazom e p(x) dx
0
R
dostaneme na l’avej strane deriváciu y e p(x) dx . Staˇcí potom funkciu na pravej strane
integrovat’.
Príklad 11.
Zistime všeobecné riešenie lineárnych nohomogenných rovníc:
a) y0 − y cot x = 2x sin x (obr.8 vl’avo),
b) y0 + 2 y = 4x (obr.8 vpravo).
Obr. 8
Poznámka 6. Ak máme homogénnu rovnicu s konštantným koeficientom y0 + p y = 0 , t.j.
p ∈ R , tak všeobecné riešenie je y(x) = c e p x .
3. DIFERENCIÁLNE RONVICE VYŠŠIEHO RÁDU
Definícia 6. Diferenciálnu rovnicu tvaru
y(n) + an−1 y(n−1) + . . . + a1 y0 + a0 y = f (x) ,
priˇcom ai , i = 0, 1, . . . , n − 1 sú reálne konštanty a f je spojitá funkcia na (a, b) , nazývame
lineárnou diferenciálnou rovnicou n-tého rádu s konštantnými koeficientmi. Ak f (x) =
0 , tak je to homogénna rovnica, inak nehomogénna.
10
Poznámka 7. Pre n = 1 je to lineárna rovnica prvého rádu.
Aby sme vytvorili všeobecné riešenie homogénnej rovnice, staˇcí poznat’ n lineárne nezávislých
nenulových riešení Y1 ,Y2 , . . . ,Yn (t.j. takých, pre ktoré rovnost’ α1Y1 + . . . + αnYn = 0 , kde αi ,
i = 1, . . . , n sú konštanty, môže nastat’ len v prípade, ak αi = 0 pre všetky i = 1, . . . , n ) a potom
to riešenie je yV H (x) = c1Y1 + . . . , cnYn , kde ci , i = 1, . . . , n sú l’ubovol’né reálne konštanty.
•
Systém funkcií Y1 ,Y2 , . . . ,Yn z predchádzajúcej poznámky sa nazýva fundamentálny systém riešení.
0
Y1
Y
.
.
.
Y
Y
.
.
.
Y
n
n
2
2
0
0
0
0
0
0
Y1
.
.
.
Y
.
.
.
Y
Y
Y
n
n
2
2
•
Funkcie W (x) = ..
..
..
..
..
,
, W1 (x) = ..
.
.
.
.
.
.
(n−1)
(n−1)
(n−1)
(n−1)
(n−1)
f (x) Y
Y
Y
.
.
.
Y
.
.
.
Y
n
n
1
2
2
Y1
Y1
0 ...
Yn Y2
. . . 0 Y10
Y10
0 ...
Yn0 Y20
. . . 0 W2 (x) = ..
..
..
..
..
.. , ..., Wn (x) = .
.
.
.
.
. (n−1)
(n−1) (n−1)
(n−1)
Y
f
(x)
.
.
.
Y
Y
Y
.
.
.
f
(x)
n
1
1
2
sa nazývajú Wronského determinanty.
Veta 5. K tomu, aby systém funkcií Y1 ,Y2 , . . . ,Yn bol fundamentálnym systémom riešení homogénnej diferenciálnej rovnice y(n) + an−1 y(n−1) + . . . + a1 y0 + a0 y = 0 je nutné a staˇcí, aby
ich Wronskian W (x) bol nenulový pre x ∈ (a, b) .
Riešenie homogénnej rovnice budeme hl’adat’ v tvare y(x) = eλx , priˇcom λ je korenom
ˇ
nasledujúcej rovnice
λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0 .
Túto rovnicu nazývame charakteristickou rovnicou danej diferenciálneh rovnice a
konštantu λ charakteristickým cˇ íslom.
Poznámka 8. Charakteristická rovnica má práve n korenov,
ˇ
ale rozlišujeme tri prípady:
1. Všetky korene λ j , j = 1, . . . , n sú reálne a rôzne. Fundanemtálny systém tvoria potom
funkcie:
Y1 = exp{λ1 x}, . . . Yn = exp{λn x} .
2. Všetky korene sú rôzne, sú však medzi nimi aj komplexné. Nech napr. λ1 = a + b i , ale
potom komplexne združené cˇ íslo k tomuto cˇ íslu, t.j. λ2 = a − b i je tiež korenom
ˇ
charakteristickej rovnice. Fundanemtálny systém tvoria funkcie:
Y1 = exp{(a + b i)x},
Y2 = exp{(a − b i)x},
Y3 = exp{λ3 x},
...,
Yn = exp{λn x} .
Ked’ využijeme Eulerovu rovnicu, t.j. e f +g i = e f (cos g + i sin g) vidíme, že
Y1 = ea x (cos b x + i sin b x),
11
Y2 = ea x (cos b x − i sin b x) .
Tieto funkcie sú lineárne nezávislé a ked’ si zoberiem funkciu
Y1 +Y2
Ye1 =
2
Y1 −Y2
a Ye2 =
2i
dostaneme Ye1 = ea x cos b x a Ye2 = ea x sin b x , ktoré sú tiež nezávislé, preto fundamentálny
systém môže byt’ aj systém funkcií Ye1 , Ye2 , Y3 . . . Yn .
3. Medzi korenmi
ˇ sú aj viacnásobné korene. Nech λ1 je k -násobným reálnym korenom,
ˇ
t.j.
λ1 = λ2 = . . . = λk , potom fundamentálny systém pozstáva z
Y1 = exp{λ1 x}, Y2 = x exp{λ1 x}, . . . ,Yk = xk−1 exp{λ1 x} ,
Yk+1 = exp{λk+1 x}, . . . ,Yn = exp{λn x} .
Nech λ1 = a + b i je k-násobným komplexným korenom,
ˇ
t.j. λ1 = λ2 = . . . = λk , potom aj
λk+1 = a − b i je k-násobným korenom
ˇ
charakteristickej rovnice, t.j. λk+1 = λk+2 = . . . =
λ2k , ale potom, využitím predchádzajúceho prípadu, fundamentálny systém je:
Y1 = ea x cos b x, Y2 = x ea x cos b x, . . . ,Yk = xk−1 ea x cos b x,
Yk+1 = ea x sin b x, Yk+2 = x ea x sin b x, . . . ,Y2k = xk−1 ea x sin b x,
Y2k+1 = exp{λ2k+1 x}, . . . ,Yn = exp{λn x}.
Obr. 9
Príklad 12. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y00 −y0 −6y = 0 je y = c1 e−2x +
c2 e3x . Grafom všeobecného riešenia je sústava exponenciálnych kriviek pre c1 6= 0 ,
c2 6= 0 , grafom partikulárneho riešenia y = 0 pre c1 = c2 = 0 je priamka, súradnicová
os x (obr.9 vl’avo).
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y00 − 4y0 + 4y = 0 je y = e2x (c1 + c2 x) (bez
obr.).
12
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y00 + 4y = 0 je y = c1 cos 2x + c2 sin 2x a partikulárne riešenie, ktoré sp´lna
ˇ zaˇciatoˇcné podmienky y(π) = 1 , y0 (π) = 0 dostaneme po
dosadení c1 = 1 a c2 = 0 . Hl’adané partikulárne riešenie je funkcia y = cos 2x (obr.9
vpravo, cˇ ervená krivka).
Ak máme nehomogénnu rovnicu, partikulárne riešenie sa dá opät’ hladat’ metódou
variácie konštánt, ale je to už trochu komplikovanejšie a zdlhavejšie, preto inú metódu
budeme použivat’, ktorá však platí len pre urˇcité typy funkcií.
Poznámka 9. Všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice hl’adáme opät’ ako súˇcet všeobecného
riešenia homogénnej a partikulárne riešenie nehomogénnej rovnice.
Partikulárne možno nájst’ bud’ pomocou vzorca
Z
yPNH = Y1
W1 (x)
dx + . . . +Yn
W (x)
Z
Wn (x)
dx ,
W (x)
priˇcom Y1 ,Y2 , . . . ,Yn je undamentálnym systémom riešení homogénnej diferenciálnej rovnice,
alebo metódou neurˇcitých koeficientov, ktorá však funguje len pre špeciálne funkcie f (x) .
Metóda neurˇcitých koeficientov
1) Ak f (x) je polynóm m-tého stupna,
ˇ tak partikulárne riešenie hladáme v tvare
yPNH = Am xm +Am−1 xm−1 +. . .+A1 x+A0 , kde neurˇcité koeficienty A j , j = 0, 1, . . . , m ,
urˇcíme z toho, že yPNH je riešením rovnice, teda po dosadení dostaneme identitu
a môžeme porovnat’ koeficienty jednotlivých mocnín na pravej a l’avej strane
identity.
2) Ak f (x) je exponenciálna funkcia ea x , tak yPNH hl’adáme v tvare yPNH = A ea x .
3) Ak f (x) je sin a x alebo cos a x tak yPNH hl’adáme v tvare yPNH = A sin a x +B cos a x .
4) Ak f (x) je súˇcet alebo súˇcin funkcií z prípadov 1) až 3), tak yPNH hl’adáme ako
súˇcet alebo súˇcin vyššie uvedených partikulárnych riešení.
Príklad 13. Nájdime všeobecné riešenie rovnice y(4) + 4y00 = f (x) , priˇcom
a) f (x) = ex + cos x ,
b) f (x) = cos 2x ,
c) f (x) = x + 2 .
13
Literatúra
[1] N. M. M ATVEJEV, J. M ILOVNÍK , J. M ATI, Zbierka príkladov z obyˇcajných diferenciálnych rovníc
[2] I. B OCK , L’. M ARKO, Diferenciálne rovnice
[3] I. K LUVÁNEK , L. M IŠÍK , M. Š VEC, Matematika II.
14
Download

Obyčajné diferenciálne rovnice