MTK346 Soyut Cebir II - Final Sınavı Çözümleri
1
Soru 1. f (x) = (x2 − 2)(x2 + 4) polinomunun Q üzerindeki parçalanış cismi K olsun.
K’yı ve K’nın Q üzerindeki otomorfizmalar grubunu belirleyiniz. Bulduğunuz otomorfizmalar grubunun sabit cismi nedir?
√
√
Çözüm.
f
(x)
polinomunun
C
içindeki
tüm
kökleri
±
2,
±2i
olduğundan
Q(
2, 2i) =
√
√
Q( 2, i) cismi f (x) polinomunun bir √
parçalanış cismi olur. K = Q( 2, i) yazabiliriz.
K’nın Q üzerindeki otomorfizmaları 2 ve i elemanları tarafından tam olarak belirlidir. Bu elemanlar ise Q’yu sabir bırakan bir otomorofizma altında ancak eşleniğine
(yani minimal polinomunun herhangi bir köküne) gidebilir. Böylece aşağıdaki gibi bir
ağaç diagram ile tüm otomorfizmaları ifade edebiliriz:
√
2, i
: σ1 = 1
√
√
2, i
√
2, −i
√
− 2, i
2
: σ2
: σ3
√
− 2, i
√
− 2, −i : σ4
√
Tablo 0.1: Q( 2, i) cisminin Q üzerindeki otomorfizmaları
Yukarıdaki tabloda belirtilen otomorfizmaların kümesi, yani G = {σ1 , σ2 , σ3 , σ4 } kümesi K cisminin Q üzerindeki√otomorfizmalarının grubudur.
grubu√Bu otomorfizmalar
√
i 2}olarak verilebilir.
nun sabir
√
√ cismini bulalım. Q( 2, i) cisminin bir Q–bazı {1, 2, i,√
x ∈ Q( 2, i) ve her i = 1, 2, 3, 4 için σi (x) = x olsun. x = a1 +a2 2+a3 i+a4 i 2olacak
şekilde a1 , a2 , a3 , a4 ∈ Q elemanları vardır. Dikkat edilirse a2 = 0 ve a3 = 0 ise σ4 (x) = x
olur. Dolayısıyla a2 = a3 = 0 olmalıdır. Ayrıca a4 = 0 ise σ2 (x) = x ve σ3 (x) = x olacağından a4 = 0 olmak zorundadır. Böylece x = a1 ∈ Q elde edilir. Ayrıca G’nin her
elemanının Q’yu sabit bıraktığını biliyoruz. Dolayısıyla G grubunun sabir cismi Q olur.
Soru 2. F cisim, E F ’nin bir cisim genişlemesi ve u, v ∈ E olsun. Eğer u + v, F
üzerinde cebirsel ise v’nin de F (u) üzerinde cebirsel olacağını gösteriniz.
Çözüm. Eğer u + v, F üzerinde cebirsel ise f (u + v) = 0 olacak şekilde bir f (x) =
a0 +a1 x+· · ·+an xn ∈ F [x] polinomu vardır. g(x) = f (u+x) = a0 +a1 (u+x)+· · ·+an (u+
x)n olsun. F (u) cismi u’nun kuvvetlerinin F üzerindeki her lineer kombinasyonunu
içerdiğinden g(x) ∈ F (u)[x] olur. Ayrıca g(v) = f (u + v) = 0 olduğundan v, F (u) cismi
üzerinde cebirsel olur.
√
Soru 3. Z[ −6]’nın Öklid bölgesi olmadığını gösteriniz.
√
√
√
Çözüm. Z[ √−6] içinde (2 +√ −6)(2 − √−6) = 10 = 2 × 5 yazılabilir. Açıktır
ki 2 elemanı Z[ −6] içinde 2 + −6 ve 2 − −6 elemanlarını bölmez dolayısıyla 2,
2
MTK346 Soyut Cebir II - Final Sınavı Çözümleri
√
√
Z −6’nın bir asal elemanı değildir. Fakat 2, Z[ −6] içinde inmezdir. Bunu görebilmek
için
√
√
2 = (a + b −6)(c + d −6)
olacak şekilde a, b, c, d ∈ Z elemanları bulunabildiğini varsayalım. Eşitliğin her iki tarafının normunun karesi alınırsa (karmaşık sayılarda olduğu gibi)
4 = (a2 + 6b2 )(c2 + 6d2 )
bulunur. Aşağıdaki tabloda bu eşitliğin gerçekleşmesinin mümkün olduğu tüm durumlar listelenmiştir:
a2 + 6b2 c2 + 6d2 a b c d
√
±4
±1
±2 0 ±1 0 } −→ c + d −6 tersinirdir.
±2
±2
– – – –
√
±1
±4
±1 0 ±2 0 } −→ a + b −6 tersinirdir.
√
√
Buna göre 2 ∈ Z[ −6] bir inmez elemandır. Eğer Z[ −6] bir Öklid bölgesi olsaydı, TİB
olurdu. Fakat temel ideal bölgelerinde asal elemanlar
ile inmez elemanlar çakıştığından
√
bu durum bize çelişki verirdi. Dolayısıyla Z[ −6] bir Öklid bölgesi değildir.
Soru 4. Aşağıdaki önermelerin doğru ya da yanlış olduklarını, kısaca açıklayarak,
belirtiniz.
D Y Q(e), Q’nun bir cebirsel genişlemesidir. (Burada e, doğal logaritma tabanı
olarak bilinen sabittir.)
e, Q üzerinde transandant olduğundan Q(e) cismi Q üzerinde cebirsel olamaz.
D
Y Her n > 1 tamsayısı için Zn bir TİB’dir.
Zn ’in her ideali bir temel ideal olmasına karşın her n > 1 tamsayısı için Zn bir
tamlık bölgesi değildir.
D
Y [R(i) : R] = 2 dir.
i ∈ C elemanının R üzerindeki minimal polinomu x2 + 1 olduğundan [R(i) : R] = 2
olur.
Y Z2 [x]/ x3 + x + 1 8 elemanlı bir cisimdir.
x3 +x+1 polinomu Z2 [x] içinde inmez olduğundan Z2 [x]/ x3 + x + 1 bölüm halkası
bir cisimdir. Bu cisim, Z2 [x] in elemanlarının x3 + x + 1 ile bölümünden kalanları
tarafından oluşturulduğuna göre Z2 üzerinde derecesi ≤ 1 olan toplam 8 adet elemana
sahiptir.
D
D
Y x3 + x2 + 1 polinomu R’de inmezdir.
R üzerinde inmez bir polinomun derecesi 1 ya da 2 dir.
Soru 5. F bir cisim ve q(x) ∈ F [x] olsun. K = F [x]/ q(x) olsun. K’nın tamlık bölgesi
olması ile cisim olması denktir, gösteriniz.
Çözüm. K cisim ise tamlık bölgesi olacağı açıktır. Tersine K bir tamlık bölgesi
olsun. O zaman q(x) ideali F [x]’in bir asal idealidir. F cisim olduğundan F [x] bir
TİB ve böylece q(x) F [x]’in bir maksimal ideali olur. Dolayısıyla F [x]/ q(x) cisim
olur.
Download

MTK346 Soyut Cebir II - Final Sınavı Çözümleri 1 Soru 1. f(x)=(x2 − 2