Procent prosty
Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od
czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty terminowej, oraz od sposobu kapitalizacji
odsetek i od oprocentowania kapitału K w stosunku rocznym.
Def.: Procent prosty to sposób oprocentowania wkładu pieniężnego K, polegający na tym, że dochód w
postaci odsetek nie jest doliczany do wkładu i nie procentuje wraz z nim w następnym okresie oszczędzania.
Zad. 1. Trzy banki podają różne informacje o stopie oprocentowania procentu prostego. W banku A oprocentowanie
roczne jest równe 12%, w banku B oprocentowanie półroczne jest równe 6%, a w banku C oprocentowanie kwartalne to
4%. Czy oferty banków się różnią?
Zad. 2. W banku A na procencie prostym stopa oprocentowania w stosunku rocznym jest równa 10%. W banku tym
można wypłacić należne odsetki w każdej chwili. Wpłaciłeś do tego banku kwotę 1000 zł. Oblicz, jaką kwotę odsetek
będziesz mógł wypłacić po upływie: a) jednego roku, b) pięciu miesięcy, c) osiemdziesięciu dni.
Zad. 3. Wpłaciłeś do banku kwotę 100 zł, która będzie oprocentowana 5% w stosunku rocznym bez kapitalizacji
odsetek. Po ilu latach podwoisz swój kapitał?
Procent prosty
1z7
Zad. 4 Wpłaciłeś do banku kwotę 100 zł bez kapitalizacji odsetek i po upływie pięciu lat otrzymałeś 10 zł odsetek. Oblicz
oprocentowanie kapitału w stosunku rocznym.
Zad. 5 Wpłaciłeś do banku kwotę 100 zł, oprocentowaną 12% w stosunku rocznym, baz kapitalizacji odsetek. Oblicz
kwotę dochodu, którą przyniesie Ci ta lokata po upływie:
a) jednego dnia,
b) jednego miesiąca,
c) jednego kwartału.
Zad. 6 Pan Zenek wpłacił do banku, na pewną ustaloną liczbę lat, kwotę 1800 zł na procent prosty, spodziewając się 360
zł odsetek. Po upływie roku bank podniósł oprocentowanie o 1% i okazało się, że za ten krótszy okres odsetki też
wyniosły 360 zł. Oblicz, na ile lat wpłacił swoje pieniądze pan Zenek i jakie oprocentowanie zaproponował bank w momencie składania lokaty, jeżeli nie ma kapitalizowania odsetek.
Zad.7.
Oblicz, ile odsetek zapłaci dłużnik wierzycielowi za pożyczkę kwoty 5 100 zł, zaciągniętą w dniu l marca, a
spłaconą 30 czerwca (tego samego roku), wiedząc że wierzyciel zaproponował oprocentowanie 20% w stosunku
rocznym.
Zad.8.
Zamówiony towar został dostarczony z opóźnieniem. Oblicz opłatę za zwłokę na rzecz odbiorcy towaru przy
rocznej stopie odsetek 12% (rok ma 365 dni), gdy przeterminowane zobowiązania nadawcy trafiło do odbiorcy z
opóźnieniem:
a) 5 dni na kwotę 8 760 zł,
b) 12 dni na kwotę 2 250 zł,
c) 73 dni na kwotę 26 524 zł. Wynik zaokrągli] do l gr.
Zad.9.
Oblicz, w ciągu ilu dni pożyczona kwota 50 000 zł przyniosła wierzycielowi l 600 zł odsetek, przy oprocentowaniu
8% w stosunku rocznym (rok ma 365 dni).
Zad.10.
W czasie 40-godzinnego tygodnia pracy w zakładzie produkuje się pewną liczbę części samochodowych. O ile
procent powinna wzrosnąć wydajność pracy, by można było wdrożyć 35-godzinny tydzień pracy i pracodawca nie
poniósłby strat?
Zad.11.
Klient wpłacił do banku 20 000 zł na dwa lata, wybierając opcją bez kapitalizacji odsetek. Po dwóch latach otrzymał
26 000 zł. Oblicz, jakie było oprocentowanie tej lokaty w stosunku rocznym.
Zad.12.
Klient wpłacił do banku 15 000 zł. Kwota ta była oprocentowana 8% w stosunku rocznym. Oblicz, ile wpłacający
może otrzymać z banku po 6 miesiącach oszczędzania, gdy:
a) nie musi odprowadzać do skarbu państwa 19% podatku od zysku,
b) od odsetek odprowadzi podatek w wysokości 19%.
Zad.13.
Przedsiębiorca ma zapłacić 3 050 zł podatku dochodowego. Oblicz, ile będzie musiał zapłacić, jeżeli odsetki za
spóźnienie wynoszą 13,5% w stosunku rocznym, a należny podatek wpłaca do urzędu skarbowego z opóźnieniem
(nie uwzględniamy kary za spóźnienie, wynik zaokrąglij do l złotego):
a) 10 dni,
b) 30 dni,
c) dwóch lat.
Procent prosty
2z7
Procent składany
Uwaga. Kapitalizacja odsetek to dopisanie odsetek do kapitału po upływie określonego czasu, które wraz z
kapitałem procentują w następnym okresie.
Przykład
Pan Piotr zamierza założyć lokatę, wpłacając do banku na okres jednego roku kwotę l 000 zł. Bank proponuje mu do
wyboru trzy lokaty:
• lokata rodzaju 1. - oprocentowanie kapitału 6% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek po roku,
• lokata rodzaju 2. - oprocentowanie kapitału 5,8% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek co pół roku,
• lokata rodzaju 3. - oprocentowanie kapitału 5,6% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek co kwartał.
Oceń, która z lokat jest najkorzystniejsza dla pana Piotra.
Lokata rodzaju 1.
Lokata rodzaju 2.
(Oprocentowanie:
1
 5,8%  2,9%
2
Lokata rodzaju 3. (Oprocentowanie:
co pół roku. Kapitalizacja odsetek co pół roku.)
1
 5,6%  1,4%
4
co kwartał. Kapitalizacja odsetek co kwartał.)
Odp.: Najkorzystniejsza jest lokata rodzaju 1., bo l 060 > l 058,84 > l 057,19.
Procent prosty
3z7
Zad. 14.
Z okazji narodzin wnuka dziadkowie wpłacili na jego konto l 000 zł, które zostało oprocentowane 5% w stosunku
rocznym z kapitalizacją odsetek po każdym roku. Jakie saldo będzie na lokacie bankowej, gdy wnuk skończy 18 lat?
Zad. 15.
Ulokowałeś 100 zł na rachunku bankowym na okres czterech lat z kapitalizacją odsetek po roku. W ciągu tego
okresu nastąpiły zmiany rocznej stopy procentowej, które były odpowiednio równe: 5%, 4%, 3%, 2%. Jaka była
wartość twojej lokaty na koniec okresu oszczędzania?
Zad.16.
Oblicz wartość lokaty rocznej równej 200 zł, po okresie oszczędzania trzech lat, z kapitalizacją odsetek po roku, jeżeli w
tym okresie stopy procentowe były odpowiednio równe 6%, 3% i 5% i każdego roku bank odsyłał do Urzędu
Skarbowego 20% od odsetek, jako podatek dochodowy.
Oszczędzanie systematyczne
Zwykle na emeryturę, na mieszkanie, na kształcenie dzieci oszczędza się systematycznie, wpłacając co miesiąc określoną
kwotę. Jeżeli stopa procentowa jest stała i kapitalizacja odsetek następuje na koniec każdego miesiąca, to obliczenie
końcowego kapitału jest w miarę proste.
Przykład
Procent prosty
4z7
Pracodawca postanowił dodatkowo ubezpieczyć swój ego pracownika w funduszu emerytalnym i wpłacał na początku
każdego miesiąca 100 zł. Fundusz ten gwarantował stałe oprocentowanie w stosunku rocznym 6%. Kapitalizacja odsetek
następowała na koniec każdego miesiąca. Oblicz, jaki kapitał był na koncie pracownika po dwudziestu latach.
Rozwiązanie. Pierwsze 100 zł leżało na koncie przez 240 miesięcy, czyli po 20 latach wpłacania kapitał od pierwszych
100 zł był równy
Odp.: Po dwudziestu latach na koncie pracownika była kwota 46 435,11 zł.
Zad. 17.
Młode małżeństwo, Ania i Paweł, postanowiło odkładać na kupno mieszkania, wpłacając co miesiąc l 000 zł. Bank
zaproponował stałe oprocentowanie 5% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek co miesiąc. Oblicz, jaką kwotą będą
dysponować po czterech latach oszczędzania.
Kredyty
Sytuacje życiowe zmuszaj ą nas często do zaciągania kredytów, które spłacamy zwykle w jednakowych ratach. Za
uruchomienie kredytu płacimy bankowi pewną kwotę.
Przykład
Chcesz wziąć na trzy miesiące kredyt w wysokości l 000 zł, oprocentowany 12% w stosunku rocznym. Bank za gotowość i uruchomienie kredytu pobiera jednorazową opłatę w kwocie równej
2,5% wartości udzielanego kredytu.
a) Jaką kwotą będziesz dysponował, gdy bank uruchomi kredyt?
b) Oblicz wielkość raty R, którą będziesz spłacał kredyt, jeżeli chcesz, by raty były takiej samej wielkości.
c) Oblicz koszt zaciągnięcia kredytu.
Rozwiązanie:
a) Ponieważ bank pobiera opłatę za gotowość i uruchomienie kredytu w kwocie 2,5% jego wartości, więc otrzymasz
kwotę: 97,5% • 1 000 zł = 975 zł.
b) Jeśli K1, K2, K3 są wartościami kredytu K na koniec każdego z trzech miesięcy po wpłaceniu raty, wtedy
K 1  K  q  R , gdzie K = 1 000zł, q  1 
Procent prosty
1 12

 1,01 ,
12 100
5z7
c) Koszt zaciągnięcia kredytu stanowią:
1° - koszt obsługi spłaconych rat 3R-K = 3- 340,02 -1000 = 20,06 ,
2° - koszt uruchomienia kredytu 25 zł, zatem koszt zaciągnięcia kredytu jest równy 20,06 + 25,00 = 45,06 .
Odp.:
a) Za uruchomienie kredytu bank pobrał opłatę 25 zł.
b) Kredytobiorca spłacił kredyt w trzech równych ratach po 340,02 zł.
c) Koszt zaciągnięcia kredytu 45,06 zł.
Zad.18.
Oblicz wysokość raty R w przypadku, gdybyś chciał wziąć na trzy miesiące kredyt w kwocie l 000 złotych, którego
oprocentowanie w stosunku rocznym jest równe 24% .
Zad.19.
Kwotę 1000 zł złożono w banku przy stopie procentowej 10% w skali roku. Wyznacz kapitał wraz z odsetkami po 5
latach, jeśli odsetki są dopisywane po upływie każdego roku.
Zad.20.
Jaką kwotę będę mieć na koncie po upływie dwóch lat, jeżeli wpłacę do banku 1000 zł, przy oprocentowaniu kapitału
równym 4% w stosunku rocznym, z kapitalizacją odsetek co kwartał?
Zad.21.
Liczba ludności miasta wzrosła w ciągu dwóch lat z 22 000 do 24 255 mieszkańców. Oblicz w procentach roczny
przyrost ludności, zakładając, że był on w tym czasie
stały.
Zad.22.
Odsetki od dwóch kredytów budowlanych o całkowitej wysokości 100 000 zł wynoszą rocznie 9 450 zł. Stopa
procentowa jednego kredytu jest równa 9%, a drugiego 10,5%. Oblicz wysokość każdego z kredytów.
Zad.23.
Miasto M ma obecnie 42 880 mieszkańców. W ciągu ubiegłych 10 lat średni roczny przyrost liczby jego mieszkańców
wynosił 3%. Ilu było mieszkańców w mieście M przed 10 laty? Wynik podaj z dokładnością do 1.
Zad.24.
Miasto N ma obecnie 125 000 mieszkańców. Z długoletnich obserwacji wynika, że średni roczny przyrost liczby jego
mieszkańców wynosi 5%. Ilu mieszkańców będzie miało to miasto za 10 lat?
Zad.25.
Pewna instytucja zaciągnęła w banku pożyczkę w wysokości 50 000 zł, oprocentowaną według ustalonej rocznej stopy
procentowej. Po roku instytucja zwróciła 32 000 zł, natomiast pozostałą sumę wraz z odsetkami pożyczyła na rok
następny na tych samych warunkach. Z końcem drugiego roku instytucja zwróciła 20 800 zł, czym całkowicie spłaciła
zaciągnięty dług. Jaka była roczna stopa oprocentowania pożyczki?
Zad. 26.
Załóżmy, że decydujesz się wpłacić l 000 zł na konto oprocentowane 5% w stosunku rocznym: 1° z kapitalizacją odsetek
po roku, 2° bez kapitalizacji odsetek. Oblicz, jaki będzie stan Twojego konta po upływie:
a) roku,
b) dwóch lat,
c) czterech lat.
Zad.27.
Procent prosty
6z7
Bogaty dziadek, w dniu Twoich urodzin, wpłacił Ci na konto kwotę 500 000 złotych, oprocentowaną w stosunku
rocznym 3 % z kapitalizacj ą odsetek po roku. Czy w swo-je osiemnaste urodziny będziesz już milionerką (milionerem)?
Zad.28.
Kwotę 1000 zł wpłacono na konto do banku przy oprocentowaniu 10% w skali roku z półroczną kapitalizacją odsetek.
Ile pieniędzy możemy się spodziewać na tym koncie po półtora roku, gdy we wskazanym okresie nie będziemy
dokonywać żadnych operacji?
Zad.29.
Jaki dochód przyniesie Ci po trzech latach lokata 2 000 zł, która jest oprocentowana w stosunku rocznym w wysokości
8%, a odsetki są kapitalizowane co kwartał?
Zad.30.
Załóżmy, że 20 000 zł zostało wpłacone do banku na konto oprocentowane w wysokości 12% w stosunku rocznym z
kapitalizacją odsetek co kwartał. Ile lat musi upłynąć, aby suma na koncie przekroczyła 30 000 zł?
Zad.31.
Menedżer otrzymał propozycję pracy w dwóch różnych firmach A i B na okres 5 lat. W firmie A zaplanowano mu
kontrakt z pensją 48 000 zł rocznie i podwyżką płacy o 3 200 zł po każdym roku. W firmie B zaproponowano mu 44 000
zł rocznie i zwiększenie płacy o 10% po każdym przepracowanym roku w stosunku do płacy z poprzedniego roku. Która
propozycja płacy była korzystniejsza?
Zad.32.
Pan Kowalski podpisał z firmą wydobywającą ropę naftową umowę o pracę, w myśl której między innymi:
a) okresem zatrudnienia są dwa kolejne lata,
b) w okresie zatrudnienia firma pokrywa „wydatki na życie" pracownika,
c) miesięczne wynagrodzenie wynosi 5000 zł,
d) po każdym przepracowanym miesiącu pensja będzie przelewana na konto bankowe; oprocentowanie wkładu na
koncie jest równe 1% w skali miesiąca, kapitalizacja odsetek następuje co miesiąc,
e) kwotę zgromadzoną na koncie otrzyma po wygaśnięciu kontraktu.
Ile pieniędzy zarobi pan Kowalski? Podaj wynik z dokładnością do 1000 zł.
Zad.33.
Wiedząc, że wartość oszczędności Kn przy systematycznym wpłacaniu kwoty K przez n okresów, przy stałym
czynniku procentowym q (stałej stopie procentowej p) we
wszystkich n okresach, dana jest wzorem
rozwiąż poniższe zadanie.
Od chwili narodzin wnuka dziadek wpłaca co roku na jego
konto 100
złotych, oprocentowane w stosunku rocznym 2% z kapitalizacją odsetek po roku. Ile pieniędzy będzie miał wnuk,
gdy skończy 1 8 lat? Podaj wynik z dokładnością do l zł.
Zad. 34.
Każda złotówka wpłacona do pewnego banku na lokatę jest oprocentowana 4% w stosunku rocznym. Wartość
kapitału z każdej złotówki po t latach opisuje wzór f (t )  y 0 (1  0,04) t , gdzie y0 jest wartością kapitału
początkowego.
a) Oblicz kapitał zgromadzony po 5 latach, jeżeli kapitałem początkowym była kwota 800 zł. Wynik zaokrąglij do l
gr.
b) Oblicz, po ilu latach wpłacona kwota 800 zł podwoi swoją wartość.
Zad.35.
Student zawarł z bankiem umowę o pewną lokatę na okres dwóch lat. W umowie ustalono, iż bank zapłaci odsetki o
5% wyższe niż roczna inflacja. Po dwuletnim okresie oszczędzania bez kapitalizacji odsetek, student otrzymał
kwotę 5 907,20 zł. Ile złotych złożył w banku student, jeżeli inflacja w pierwszym roku wyniosła 2,6% a w drugim
roku 4,8%?
Zad.36.
Oprocentowanie lokat długoterminowych w pewnym banku jest równe p%. Oblicz
kwotę K wpłaconą do banku, by po n latach otrzymać kwotę d odsetek, gdy.
a) p = 2% , n = 2 , d = 808 zł,
b) p = 4% , n = 3 , d = 3 745,92 zł.
Procent prosty
7z7
Download

Procent prosty i skladany