URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Balıkağı Şeklindeki Optik Metamalzemelerin Yüzey İntegral Denklemleri
ve Çok Seviyeli Hızlı Çokkutup Yöntemiyle Benzetimleri
Tolga Çiftçi, Atıf Emre Ofluoğlu, Özgür Ergül
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü
Ankara
[email protected]
Özet: Optik frekanslarında kullanılan balıkağı şeklindeki metamalzemeler, yüzey integral denklemleriyle
modellenmiş ve çok seviyeli hızlı çokkutup yöntemiyle hızlı ve verimli olarak analiz edilmiştir. Elde edilen
saçılım sonuçları karşılaştırıldığında, literatürde sıkça kullanılan birleşik-alan integral denkleminin (BAİD),
hızlı iteratif yakınsamalar verdiği halde son derece hatalı sonuçlar verdiği gösterilmiştir. Ayrıca, bu hataların,
metamalzemelerin ince yapısından dolayı oluşmadığı ve balıkağı geometrilerindeki kapalı döngülerden dolayı
ortaya çıktığı gösterilmiştir. Elde edilen bulgular, yakın zamanda manyetik-alan integral denkleminde sıfırdan
farklı topolojik cinse (genus) sahip cisimlerde gözlemlenen düşük frekans sorunları üzerine yapılan çalışmaları
desteklemektedir.
Abstract: Fishnet-type metamaterials used at optical frequencies are modeled with surface integral equations
and analyzed efficiently via the multilevel fast multipole algorithm. Based on the comparisons of scattering
results, it is shown that the combined-field integral equation, which is commonly used in the literature, provides
iteratively fast convergent but significantly inaccurate results. In addition, it is shown that the inaccuracy is not
due to the thin structures of the metamaterials but due to the close loops in fishnet geometries. The results are in
consistent with the recent studies demonstrating the low-frequency problems in the magnetic-field integral
equation for non-zero genus objects.
1. Giriş
Daha önce mikrodalga ve THz frekanslarında süper çözünürlük ve görünmezlik pelerini gibi çeşitli uygulama
alanlarında kullanılmak üzere geliştirilen metamalzemeler, yakın zamanda nanoteknolojideki gelişmeler
sayesinde optik frekansları için de tasarlanıp kullanılmaya başlamıştır. Öne çıkan tasarımlardan olan balıkağı
şeklindeki metamalzemeler [1]-[5], laboratuvar ortamında üretilip deneysel olarak çalışılmıştır. Bu yapıların
daha da iyileştirilmesi ve yeni malzemelerin geliştirilmesi için, deneysel çalışmaların hızlı ve hassas benzetim
ortamlarıyla ve bu ortamlarda gerçekleştirilen çözümlerle desteklenmesi gerekmektedir. Bu çalışmada balıkağı
şeklindeki metamalzemelerin yüzey integral denklemleriyle modellenmesi ve elde edilen sayısal modellerin çok
seviyeli hızlı çokkutup yöntemiyle (ÇSHÇY) [6] hızlı ve etkin olarak çözülmesi ele alınmıştır. Elde edilen
sonuçlar incelendiğinde, literatürde sıkça kullanılan birleşik-alan integral denkleminin (BAİD) son derece hatalı
ve aldatıcı sonuçlar verdiği tespit edilmiştir. Yakın zamanda, manyetik-alan integral denkleminde (MAİD)
gözlemlenen anormalliklere [7] benzer nitelikteki bu hataların, balıkağı ve benzeri yapılardaki kapalı
döngülerden dolayı oluştuğu da anlaşılmaktadır. Bu doğrultuda, balıkağı şeklindeki metamalzemelerin, daha
yavaş iteratif yakınsama verdiği halde elektrik-alan integral denklemiyle (EAİD) analiz edilmeleri kritik önem
arz etmektedir.
2. Balıkağı Şeklindeki Metamalzemeler ve Bunların Modellenmesi
Şekil 1’de tek katmanlı balıkağı şeklinde ve metal üzerinde açılan deliklerden olaşan bir metamalzeme parçası ve
ilgili tasarıma ait bazı önemli boyutlar gösterilmiştir. Yaklaşık 250 THz’te çalışması beklenen bu yapı, 100
nm’den daha incedir ve gerektiğinde farklı uygulamalar için katmanlar halinde dizilebilmektedir. Öncelikle,
böyle bir yapının elektromanyetik benzetim ortamlarında kalınlığa sahip olarak modellenmesi gerektiğinin
gösterilmesi amacıyla, Şekil 2’de 3x3, 4x4 ve 6x6 delik içeren metamalzemelere ait sonuçlar verilmiştir. Tam
alttan düzlem dalga ile aydınlatılan balıkağı yapılarından saçılan elektrik alanı, uzak bölgede bistatik açıya bağlı
olarak hesaplanmıştır. Mükemmel iletkenler olarak EAİD ile modellenen saçılım problemleri, dalgaboyunun 1/5
Bu çalışma, TÜBİTAK (113E129, 113E276) ve Bilim Akademisi (BAGEP-2013) tarafından desteklenmektedir.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
ve 1/10’una karşılık gelen üçgenler üzerinde tanımlanan RWG fonksiyonlarıyla ayrıklaştırılmıştır. Şekil 2’de
gösterildiği üzere, sıfır kalınlıkla modellenen balıkağı yapılarından elde edilen saçılım değerleri, bu
metamalzemeler için sıkça kullanılan 30 nm kalınlıkla modellenenler için elde edilenlere göre son derece farklı
olabilmektedir. Bu örneklerde, özellikle ileri (0 derece) ve geri (180 derece) saçılım açılarında, ciddi ayrışmalar
gözlemlenmektedir. Dolayısıyla, ne kadar ince olsalar da, optik frekanslarındaki metamalzemelerin gerçek
kalınlıklarıyla modellenmesinin kritik öneme sahip olduğu anlaşılmaktadır.
Şekil 1. Tek katmanlı balıkağı şeklinde bir metamalzeme parçası.
Şekil 2. Sıfır ve 30 nm kalınlıkla modellenen balıkağı şeklindeki metamalzemelerin (Şekil 1) 250 THz’te düzlem
dalgalarla aydınlatılması sonucu elde edilen elektrik alanı değerleri.
3. İntegral Denklemlerinin Karşılaştırılması
Kapalı geometrilere sahip mükemmel iletken yüzeylerin formülasyonu için BAİD literatürde en çok tercih edilen
integral denklemidir. Genel olarak EAİD ve MAİD’nin lineer olarak birleştirilmesiyle elde edilen BAİD’nin, iyi
koşullu matris denklemleri ve dolayısıyla hızlı iteratif yakınsamalar verdiği iyi bilinmektedir. Son yıllarda,
BAİD’nin EAİD’ye göre daha hatalı sonuçlar verdiği gösterilse de [8], görece düşük hata seviyeleri ve
yakınsamalardaki getirileri göz önüne alındığında, BAİD’nin popülerliği azalmamıştır. Bu çalışmada ise,
balıkağı gibi delikli geometrilere sahip cisimlerde, BAİD’nin kabul edilemez ölçüde hatalı sonuçlar verdiği tespit
edilmiştir. Örnek olarak, Şekil 3’te 3x3 delikten oluşan metamalzemelere ait saçılım problemlerinin çözümleri
gösterilmiş ve bunlar aynı boyutlardaki deliksiz tabakaların çözümleriyle karşılaştırılmıştır. Farklı kalınlıklara
sahip metamalzemeler ve tabakalar, hem EAİD hem de BAİD ile analiz edilmiştir. Dalgaboyunun 1/10’u
büyüklüğündeki üçgenlerle ayrıklaştırılmalarına karşın, metamalzemeler için elde edilen EAİD ve BAİD
sonuçları arasında ciddi farklar gözlemlenmektedir. Ayrıca, bu farklar özellikle kritik ileri ve geri saçılım
açılarında artabilmektedir. Benzer kalınlıktaki tabakalardan elde edilen sonuçlar incelendiğinde ise, EAİD ve
BAİD sonuçları arasındaki ciddi farkların sadece delikli yapılarda ortaya çıktığı anlaşılmaktadır. Ayrıca,
balıkağı ve tabaka sonuçları karşılaştırıldığında, BAİD ile gerçekleştirilen benzetimlerde deliklerin etkilerinin
yeterince ortaya çıkmadığı, bir başka deyişle deliklerin doğru olarak modellenemediği gözlemlenmektedir.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Şekil 3. Çeşitli kalınlıklara sahip, 3x3 delikten oluşan balıkağı şeklindeki metamalzemelerin ve deliksiz
tabakaların 250 THz’te düzlem dalgalarla aydınlatılması sonucu elde edilen elektrik alanı değerleri.
Balıkağı şeklindeki metamalzemeler üzerinde elde edilen sonuçlar, yakın zamanda MAİD için gösterilen düşük
frekans problemlerini destekler niteliktedir. Bu çalışmalarda, sıfırdan farklı topolojik cinse sahip (örneğin torus
gibi) cisimlerin statik analizlerinde, MAİD’nin kararsız hale geldiği gösterilmiştir [7]. Ayrıca, bu kararsızlığın,
benzer geometrilerin düşük frekans analizlerinde, yani cisimlerin dalgaboyuna göre küçük detaylar içerdiği
durumlarda da ortaya çıktığı da tespit edilmiştir. Balıkağı şeklindeki metamalzemelerin topolojik özellikleri ve
bunlardaki gizli kapalı döngüler gözönüne alındığında, BAİD çözümlerindeki sorunların MAİD’de ortaya çıkan
kararlılık bozulmalarından ortaya çıktığı söylenebilir. Bu teori, bir başka çalışmada kapsamlı olarak ele
alınacaktır.
3. Sonuç
Balıkağı şeklindeki optik metamalzemeler yüzey integral denklemleri ve ÇSHÇY ile analiz edilmiştir. Saçılım
değerleri incelenmiş, literatürde popüler bir denklem olan BAİD’nin hatalı ve yanlış yorumlanabilecek sayısal
sonuçlar verdiği gösterilmiştir. Elde edilen bulgular, MAİD çözümlerinin incelendiği ve bu denklem için
sıfırdan farklı topolojik cinse sahip geometrilerde ortaya çıkan kararlılık sorunlarını gösteren çalışmalarla tutarlı
niteliktedir.
Kaynaklar
[1]. Zhang S., Fan W., Malloy K. J., Brueck S. R. J., Panoiu N. C., ve Osgood R. M., “Near-infrared double
negative metamaterials,” Opt. Express, 13, s.4922-4930, 2005.
[2]. Dolling G., Enkrich C., Wegener M., Soukoulis C. M., ve Linden S., “Low-loss negative-index metamaterial
at telecommunication wavelengths,” Opt. Lett., 31, 2006.
[3]. Valentine J., Zhang S., Zentgraf T., Ulin-Avila E., Genov D. A., Bartal G., ve Zhang X., “Three-dimensional
optical metamaterial with a negative refractive index,” Nature, 455, s.376-379, 2008.
[4]. Liu N., Fu L., Kaiser S., Schweizer H., ve Giessen H., “Plasmonic building blocks for magnetic molecules in
three-dimensional optical metamaterials,” Adv. Mater., 20, s.3859-3865, 2008.
[5]. Kruk S. S., Powell D. A., Minovich A., Neshev D. N., ve Kivshar Y. S., “Spatial dispersion of multi-layer
fishnet metamaterials,” Opt. Express, 20, s.15100-15105, 2012.
[6]. Ergül Ö. ve Gürel L., “Fast and accurate analysis of large-scale composite structures with the parallel
multilevel fast multipole algorithm,” J. Opt. Soc. Am. A., 30, s.509-517, 2013.
[7]. Cools K., Andriulli F. P., Olyslager F., ve Michielssen L., “Nullspace of the static MFIE operator and its
effect on the numerical solution of BIE’s,” Proc. IEEE Antennas and Propagation Soc. Int. Symp., 2006, s.40234026.
[8]. Ergül Ö. ve Gürel L., “Discretization error due to the identity operator in surface integral equations,”
Comput. Phys. Comm., 180, s.1746-1752, 2009.
Download