F.H.Olakberov
Sistemler nezeriyyasinin oseslan
(ders vosaiti)
l.t-
\
Aantaycm Rcspublikasr Tetsil Nazimin
27.0t.2Dycn il tarini 245 say[ ami ile
tasdiq edilmiydir.
I
;
:
Sumqayrt-2fi)3
F.H.Olekborov
"Sistemler nazariyyesinin asaslan"
(ders vesaiti)
Rey verenlar: professor N.M.Kazrmov (SDU),
professor S.M.Qaferov (ADNA)
Elmi redaktor: dosent M.l. Seyidov
Ginl
I{azrda miixtalif tebiatli sistemlarin idars olunmasmtn
fimumi qanunauy[unluqlan haqqmda elm olan kibernetikarun
prinsiplorinden idaraetmade genig istifada olunur. Kibernetikanm
esas prinsiplerindon biri da tadqiqat obyektine sistem yanagmatlrr. Sistemlerin dyrenilmasi va tedqiqinde mtxtelif anlaylglardan, riyazi aparatlardan istifade olunur va q an (Avtomatika va
idaraetma> istiqameti ila hazrlanan miitaxossislerin bilmasi
vagibdir. Bu aparatlardan bezilari miixblif fanlarda, rnesolan,
matrisler iizerinda amallar <<Ali riyaziyyao>, siqnallar nezeriyyesi
<Telc6lct ve teleidare>, optimallagdrma tsullan <Optimal ye
ekstremal sistemlaD, fanninde 6yrenilir.
Diger anlayrglar ve riyazi aparatlar ila istiqamet hazrltlmm
mrlxtalif f,anlerinde istifade edildil iictn onlarr xfisusi olaraq
6yrenilmesi meqseda uyfundur.
Bu meqsadla T 170000 - <Avtomatika va idaraetma> istiqamatinin hazrh$nda <Sistemler naariyyasinin asasla'ur fermi
nazarda tutulmu$ ve hemin f;ann carcivasinda <Coxluqlar nazariyyesinin elernentlarb, <Qraflar nazariyyasi>, <Mentiq gebrinin
elemertleri> ve <Tasadiifi proseslar nareriyyesi>>nin anlaytglan,
elementleri va aparatlarl 6)r'anilir.
Ders vesaitinden diget texniki istiqametlar iiaa tobsil alan
talabelar da istifade ede bilar.
Dors v-esaitinin rnazmrmunun yaxgilagmasmda 6z k6mek vo
meslahetlarini vermiq rayciler professorlar N.M.Kazrmov,
S.M.Qaforov va elmi redaktor dosent M.l.Seyidova derin minnetdarhlrmr bildidrem.
Mtallif
Fesil
l. Qoxluqlar nezeriyyasinin
elementleri
tarifler va anlayrglar
Qoxlu$un qebul olunmug tarifi yoxdur. Bununla bela birbirinden farqlenon obycktlor toplusuna goxluq demak olar.
1.1. Osas
Qoxlu[u fagkil eden obyektlar odadlar, aEyalar, adamlar va s. ola
bilor va onlar goxlupun elernentlori adlanrr.
{ } igarelari arasrnda onun elementle ri yaztlmaqla
- Qoxluq
ifada
olunur.
Qoxlulun adr latrn alifbasmrn b6yuk (indeksli ve ya indekssiz), elernentleri isa latm elilbasrnrn kigik harflari ile (indeksli vo
ya indekssiz) i$are edilir. Meselan:
4={6.b.c,d}
;
Br
={br,b:,br)
ifadeleri A goxlu[unun a,b,c,d va Br goxlupunun br,bz,br ele_
mentlerinden ibaret oldu[unu bildirir.
Elementh goxlu[a mensub olmasr e igarasi ila, mansub
olmamasl isa e i$aresi ila gdsterilir. Maselen:
a eA;
br,bz ,br e Br ;
a EBr
ifadelari uypun olaraq a elementinin A goxlu[una. b;.b2,g1
elementlorinin
Br goxlufiuna menzub olmasrnr, a elementinin isa Br goxlu_
puna mansub olmamasrm bildirir.
Qoxluqlar sonlu ve sonsuz olurlar. Elernentlerinjn sayr sonlu
olan goxluq sonlu, elementlerinin sayr sonsuz olan goiluq ise
sonsuz goxluq adlanrr.
tr= { I,2,5,4} _ sonlu,
B= {1,2,3...., o} - sonsuz goxluqdtu.
Qoxluq miixtalif gakildo tewir edile bilar:
a) elementleri konkret g6sterilmakle
X={xr ,xr ,xr ,...,xn }
b)
yfcam Eekilda
X={x,}i'
va
c) izahh gekilda
ya X={xi}, i €I, i={1,2,...,n)
4= {x e M I x-M goxlulunun miiayyon tarti 6dayon elementlaridir)
Masalen: M-verilmig qrupun talabalar goxlufu olarsa, hamin
qrupun alagr relabalar goxlulunu
tr={x eM I x-alaEr telabe}
kimi ifade etmak olar. x elementinin hansr goxluqdan gdtfirllmasi
gfbhe do[urmadrqda, onda
R- {r I x -alaqr talebe}
kimi yaztlr.
Baqqa misal
tr= {x I xz- I =0}
yan i A goxlufu xz-l =0 renliyinin k6klarinden ibaratdir.
HcA bir elementi olmayan goxluq bog goxluq adlanr ve O
kimi iqare edilir. A= O ifadosi A goxlufmun heg bir elementinin
olmadr[rm bildirir.
Yalnz eyni elernentlerdan tagkil olunmuq goxluqlar
berabardir:
t
= 11,2,3,41 = {4,2,3,1 } = {2,1,4,31
Qoxlu[tm elernentl eri fakrarl anmn:
S= |t,2,3,4,2,1 \ = 11,2,3,4\
Ogar X goxlu[unun har bir elementi Y qoxlupuna monsubdursa, onda X goxlu[u Y goxlu[rmun altgoxlufu adlamr va
XcY va ya XqY kimi yaalr. g igaresi XcY va ya X=Y
oldu[unu bildirir.
S goxlu[unun yuxarr serhaddi ela bir sr adadidir ki. istanilen
xeS clementi tigtn x<sr garti 6dansin. Qoxlulun yuxan
sarhoddi supremum adlanr va
sr = suP S
kimi yaalr. S goxlu[unun aEapr sarhaddi ela bir s: adaddir ki,
istenilen x e S elementi ffgiin x ) s, qerti 6densin. Qoxlulun
aqall sarheddi infinum adlantr va
s: =inf
S
kimi yazrlrr.
SrcS goxluqlarr iigiin
S va
inf SrXnf S
miinasibatleri dofudur, yani Sr gorduEu S-in alt goxlufudursa,
ona Sr-in yuxan sarhaddi S-in yuxarr sarheddindan kigikberaber, Sr-in aqa[r sarheddi S-in agapr sarheddon bdyiiksup Sr<sup
berabardir.
Her bir goxluq dziiniin biitlin alt goxluqlan iigiin universal
goxluq rolunu oynaya bilar. Yani yegane universal goxluq
yoxdur. Universal goxluq I harli ila ipara edilir.
1.2. Qoxluqlar iizarinde emeller.
Qoxluqler cabrinin eyniliktari
Odedler iiaarinde hesab omellari aparrldr[r kimi goxluqlar
iizorinda da miixtalif omallar aparrlrr. Hesabda 0 ve I adadlari
xiisusi adadler oldulu kimi bog goxluq (O) va universal goxluq
da (I) qoxluqlar cabrinde xflsusi rol oynayrr. Daha dofrusu boq
goxluq hesabda srfira, universal qoxluq ise vahida uylun galir.
Qoxluqlar flzerinda agafrdakr amtlller yerine yetirilir:
a) goxluqlrnn birlagmesi.
X va Y goxluqlannrn birlagmesi XIJY kimi iqaro olunur vo
ele bir goxluqdur ki, onun elemcntleri X ve Y goxluqlarrndan hcg
olmazsa, birina mansub olsun. Misal:
X= 11,2,5,6\ : Y = 12,8,4,9,101 ;
X [J Y= { 1,2,4,5.6,{i.9, I 0}
Qoxluqlann birlegmesi emeliyyahnr bir nega goxlu[a gamil
etmak olar:
Xr UX2 U...UX,
=UXi
il
Qoxluqlarm birlegmesi yerdoyigma (kommutarivlik) ve
qruplaqma (assosativlik) qanunlanna tab edir:
-
xuY= YUx - yerdeyigrre,
x U(YUz)=(xUY) Uz-qruPlaqrna'
XU A=X va X(-lI=l ifadalari dofudur'
b) coxluqlenn kmi;masi'
bir
X r" V qo*hqfarmm kesigmesi XnY kimi yazrlr ve ela
goxluqdur ki, onun elernentleri hem X, ham de Y goxluqlanna
mensubdur. Misal:
X=
11,2,3,4,51 ;
Y= {2,4'6'8}
;ifly={2,4}
onlann kas\masina de
Qoxluqlann birlaqrrasinde deyilanler
aiddir:
x, nx2 n...nx"
=!lx,'
xnY=Ynx
xn(Yna=(xnY)nz
Lakin
Xl)6=@;
XflI=XdoEru&n'
c) qorlnqlann ferql
goxve Y goxluqlanmn farqi KY kimi yazrlu ve ele bir
goxlu$una
luqdurdur ki, onun elementlari yahrz va yalrlz X
mensub olstn. Misal:
i
Y= 11,2,3,4,5\
;
Y= {l'4'6'8}
11Y= {1,3,5}; Y51={6,8}
/
Gdrtindiiyu kimi X\Y+YI(dir
universal goxluqla X godu[unrm farqi
qoxlu[unun tamamlayrcrst adlanr'
X
=M
X
igar-o
edilib'
x
ve Ya X=I\X
q) qoiluEu perqahlma$(b6lfrnmad)'- .
f i.-f"g" i,,Xr,"',X goxiuqtanna aqa$drkr gartlar daxilinda Pargalana biler:
-
Xr,Xz,...,Xo goxluqlan X goxlirfunun alt goxluqlarrdr, yeni
Xr,&,...,X"cA;
^
- Xr,Xz,...,X, goxluqlannm birlagmasi X goxlu[una beraber-
..
dir, yeni
n
UX, =X
i=l
goxluqlarmdan
. . -.X,,.Xu...,Io
l6s\pssi
5inin
bo$ goxluqdur,
istonilon ikisi ve ya bir negayani
n
UX, -A ,.
i=r
ir =
l,n; i, =l,n , i, +i,
Misal,
x
11,2,3,4,s,6,7,E,9, I 0)
Xr = { 1,3,5} ; X:={4,6,8} ; Xt= 12,7,9,10}
_ gq,Y,Z) ve P(X,Y,Z) goxtuqlan X,y va Z goxluqlan
[arinda miixtelif emeller vasitasile ahnmrg goxluqlar olarsa ve
onlar berabar olarsa, onda
QG,Y,a =P(x,Y,4
ifadesi goxluqlar cebrinin
ryniliklari agagrdalolardr:
eynilil
adlamr. eoxluqlar cabrinin
a) xUY=YUxl
xfl v = vnx | verderbme
b) xu(Yuz)=(xuY)uzl
Xn(Yna = CX6Ylnz I
eanunu
- qruPm$ma qanmu
c) (xuDnz=Gnz)U(ynal
(x0v1g2=1LUAn(YUz)l -p8vramaqanunu
q) xUX=x; xnx=x
d) xUY=xnYr XnY=xUY
e) X=X
\
z) xux:t xnx=a
u) XUo=Xr XUA=A
XUr-L xnl:x
1.3. Nizamhnmt$ Corluqlsr.
Qoxluqlann diz hesili va proyeksiyrsr
ihdiya qedar baxrlan goxluqlar adi goxluqlardr, yani deyildiyi kimi onlann elernentleri tekarlamrr vo ixtiyari ardrcrlhqda
yaala bilar. Bununla bela ela goxluqlar vardr ki, onlann elementlari takarlana bilar va yalntz miiayyon ardrcrlhqda yazrla
bilar. Mosalan, mfistavi fizarinda va ya fig 619 [ fazada
ndqtonin koordinahnrn verilmesi: (x,y), (x,y,z). Bildiyimiz kimi
har iki halda x-n6qbnin absisidir vo hamiSe birinci yerda, yniiqtenin ordinahdr ve hamiga ikinci yerde, z-ndqtonin iigiincii
ox iizra koordinaUdr vo [gfincii yerda yazdr. Riyaziyya4rlar
terafinden bele qabul edilmi$ir. N6qte koordinat baqlanlrcrndan
biitiin oxlar iiae beraber masafada yerle$ikde goxlu[un
elementlari Fkrarlanr. NizamlanmrE goxluqlar kortej adlurnKortejin elernentleri onrm komponentlori adlanr. Komponentlerin sayr kortejin uannlu$u adlanrr. iki komponenti olan (ar,a:)
kortejinin uzunlugu 2,adr isa ctt vo ya ikilikdir; iig komponentli
(ar,az,ar) kortejinin uzunlulu 3, adr iiglfikdiiLr va s. Bu qayda ila
(a,,a,,...,a, ) kortejinin uzrmlulu n, adr nJikdir. Heg bir
komponenti olmayan kortej bo9 kortej adlanr va A kimi igara
edilir.
Komponentlari heqiqi edadler olan kortejlari handesi olaraq
a;aprdakl kimi tasvir etnek olar:
a=(ar,a:) ciitfi miistevi iizerinda, koordinstlan ar ve a? olan a
n6qtesini va ya koordinat baglanlrcmdan a n6qtasine qader olan
vektoru xarakteriza edir;
a=(ar,az,ar) va a=(ar,a2, ... ,a,) [gliiyii ve nJiyi uy[un olaraq
[g vo n-olgiilfi fezalarda a ndqfasinin koordinatlarmr va ya koordinat ba$lanclpndan a ndqtesine qader olan vektoru xarakteriza
cdirler.
Kortejin ayn-ayn oxlara nazaran proyeksiyasr onun kompo-
nentlarini verir. Meselen: Prr(ar,a:)=ar:
Pr:(ar,az,ar)=ar ve
Kortejin
kort{dir:
k
Pr:(ar,a:)=a::
s.
oxa nazaran proyeksiyasr uzunlu[u k-ya berabor
Prr :(a r,a:,a:)=(ar .a:);
Prr,r(ar,a:,ar)=(ar,ar);
Pr:.r(ar,a:.ar)=(a:.a:)
Umumi hatda isa
Pr;....;.....r,((ar,a:,...,o,)=(ai,...,ai,...,ak).
X ve Y goxluqlarmur diiz hasili XxY kimi yazrhr ve elementlari cttlerdan ibaret goxluqdur. Biitiin cttlorin birinci komponentlari X Coxluguna, ikinci komponentleri isa Y goxlu[una
mansuMur. Misal
x={r,s,o,z}; y=O;,41
xxY=tL2),(r.3),(1,4).(s.2),(s.3),(5,4),(6,2).(6.3),(6.4).o.zl.0.tl.tttll
Yx
x
= k2,f),(2,5),(2,6),(2,7\,(3,t),(3,5),(3,6),(3.7),(4.1),(4,5),(4,6),(4,A)
Gdrfindiiyu kimi XxY + YxX.
Qoxluqlarm diiz hasili amaliyyatrm bir nege goxlupa da aid
etmak olar.
X, xX, x...xXn hasili elementlari n -lik kortejlerden ibarat
goxluqdur. Biitfln kortejlerin birinci komponentleri X; goxluluna,
ikinci komponentleri Xz goxlu[una vo s. n -ci komponentleri
X, goxlupuna manzubdur. Misal
x, ={r,2,:} x, ={4,5} x,
={s,e}
X, x X. x X , = {(r.4.rxr"4.e}0.5.8}(.s.e).(z.a.a)12,+.et.
(2,s,8),(2,5,e),(3,4,8),(3,4,e),(3,5,8),(3,s,e))
$arti olaraq
XxXx....xX =X' ;
n dofe
oldugu qebul edilmi$ir.
l0
Xt=X; X'={n}
Yalnrz eyni uzunluqlu kortejlerden ibarat goxluqlarrn proyeksiyasmr almaq olar.
Pr,,..;,....r.
{(xr,x2,...,x"),(yr,yz,...,y)...(21,22,...,7n)\=
= {(x,,...,xi,...,xr),(yi.....yr,,...yt), .. 3,...,21....,2r\1,
i,...,j,...,k
=1,n, i <...<j<...<k
v = (t.z,s,+),(z,s,o,a[a,o,z,s)]
p',M=[,2,4] pr,M={2,5,6} er,.,tt=ft3}(z,o}(+,2)}
Ogar M=XxYolarsa onda Pr, M=X l,a Pr,M=Yoldulu
Misat,
.
.
aydrndrr.
1.4. Uyfunluq ve inikes
X va Y goxluqlannrn bazi elernentlari arasnda har hansr
qargrqoyma varsa, onda hemin qargrqoymada igtirak eden
elementlar (x.y) kortejlorini emale gatirir. Bu zaman X va Y
goxluqlan arasrnda uy!'unlupun oldufu deyilir.
Uylunlufun olmasr iigiin X goxlufu Oirinbi), Y qoxlu[u
(ikingi) ve onlarm elementlari arasrnda qargrqoymada igtfuak eden
elementlarin yaratdr$ gttlordon ibarat qoxluq malum olmahdr.
X va goxluqlannrn biitiin elementlarinin qargrqoymada igtirakr
vagib deyil.
Beleliklo, q uylunlulunu iigmk kimi tesvir etmek olar:
bir
I
c
.
.
=(x.Y.Q). QcXxY
X-uy}unlu}un gxry oblastr, Y-uyprurlulun daxil olma oblasu, Q-uyfunlu[unrm qrafiki adlanrr.
X =lt,z,t,+\ Y={6,7,8,e,10}
e
= (r.z),0,e),(3.7),(3,6),(4,O)
goxluqlannrn amele getirdiyi uylunluq
q = ({l.23,a}.{6.7.8.e.1
geklindedir
etmek olar.
0}.{(1.7).(l,e).(3.7).(3.6).(4.6)})
ve onu hendasi olaraq gakil l.l-daki kimi
il
tasvir
Uyfmlulm qrafrkinin biringi ve ikingi oxlara nozoren proyeksiyalan uy$un olaraq teyin olunma oblast va qiymatler
oblastr adlanr:
Xr =P! QcX - teyin olunma oblash,
Y, =Pr:QqY- qiYmatler oblash,
Baxdan misalm tayin ohmma va qiymatlor oblastlan
xr
=
pl {0,7).(t.e).(3.7).(3.6),(4.6y}=
{r.r,l.l,a}= {r.:.+}
yr = pr.
{0,7). 0.e), (3,7),(3.o.(4.61}= {z.e.z.o.o}= {o.z.o)
ibaretdir. Her bir uyEunluEun torsi
mdvguddur ve
q=(x.Y,Q). QcXxY
uy$unlulunun tarsi
q-t
=g,x,e ry, e rcyxX
uy[unlu[udur. Hendasi olaraq q uylmlufunun tarsini almaq iigiin oxlann istiqamatini deyigmek lazrmdrr.
$ekil I .l de verilmig uy[unlufun tarsi
q'
t0
E
$okil I.1
=({6.7,8.9,101,t1.2.3,4},te,t).(e.r).(7.3).(6,3).(6.4)})
hmidir (gakil 1.2). Iki uy[unluSun ardrqrl tatbiqino uy$unluqlarrn
kompozisiyasl deyilir.
Verilrnig
q=(x,Y,Q), QcXxY
p=
(Y,Z,P),
I
I
3
PcYxZ
uypunluqlaruun kompozisiyasrm almaq iigiin q uypunlupunun qiymeflar
oblastr ile p uyfunlu[unun tayin olunma oblastr eyni olmahdr, yani
PrrQ=Pr,P678910
q va p uy[unluqlanmn kompozisiyasr
12
gekil
1.2
4
q(p)=(x,z,Q"P), Q"PcXxZ
$aklinde yaztllr.
Uyfunluqlann kompozisiyasr
X va Z
goxluqlannrr
clementlari arasmda qar$r qoymanl tevin etmoya imkan verir.
Misal. X=
$.2.t.+\: Y={s.6.7}:
a
= (l,s)'(1,6),(3,O)
p
= [s.e).(6,r),(6,e)]
q=
(t,2J,4I
{5,6,7}
p = ({s.6,7}, {8,e.t o},
q vo
p
ft
z={8.e,10}
r,5),0,6), (3.6)}1
{ts,sl,ro.r).(c.slb
uylunluqlarrnrn kompozisiyasr
s{n) = ({t.z.t.+} {a.e.r 0}. {0,E). 0.e), (3,8), 1r.eyp
kimi ahnr
(pkil
1.3).
4
3
.7
8';,1
gakil
Ogar
(X.f.f). f cXxl
l3
l
3
uypunlu[unun qrxrg oblastr ila
tayin olunma oblastr eyni olarsa, yeni
Pr,
f
:X
olarsa, b€la uypunlupa inikas deyilir vo
I-:X -+ Y.
fcXxy
kimi ifade edilir.
Misal.
x=[,2,r]
t
v=l+,s,o,t]
= {GT.Q,4t.(2.s),(3,O}
goxluqlanmn tegkil
terilmigdir.
etdil
inikas hendosi olaraq Eakil 1.4-de gds-
4567
gekil
1.4
.ihikas uy$unlufun xiisusi hah oldu[u iigiin inikaslann
tersi ve komlrczisiyasr mdvcuddur.
Opr X va Y goxluqlan eyni olarsa, yani
X=y
da
olarsa,
f:X-+X, f cX2
inikau bir goxluqda tayin ohmmug inikas va ya mfrnasibet adlanrr
vo
(X,r), I-cX'?
kimi i fade edilir.
Miinasibot bir goxlu[m elementlori arasrnda qarglqoymanl
_
mioyyan edir. X qoxlupunun elementi olan x elemcntinin inikasr
fx kimi iparo olunur. x elementinin inikasrnrn inikasr
l4
f(fx)
= P'?1
kimi ifada olunur. Xiisusi qertla
fox=f(f-tx)=]-f-rx=x
qobul edilmiEdir.
f -rx ifadesi
fx inikastr tarsidir va buradan
r-2x:I-r(f rx)
oldu[u almr.
Belelikla, inikasrn miisbet va menfi igarali istenilan qfiweti
ola bilar.
Misal. Opr X adar ar goxlu[u, x kimi hamin qoxlupdakr
ferdlari, Fx kimi ise x-in dvladr olmaq miinasibetini g6tlrsok,
onda f 2x,f 3x,... va s. Uyfun olaraq x-in navalori, noticolari
vil s. olacaqdrr. f rx,I- 2x,...va s. iso x-in valideynleri, nona va
babalan va s. olacaqdrr (Eokil 1.5).
tr
f;'z
Nano rre babalar
I.-r
valideynler
t r-'
x
tr'
fardler
Jr
f.
fi
tivladlar
Jr
nevolor
Jr
f:
Noticelor
Jr
$akil l.s
l5
1.5. Mfinasibet va onun ndvleri
Yuxarrda deyildiyi kimi miinasibet bir goxluqda teyin olun_
mug inikasdr. Oger (X,f), f c X2 verilmiq
goxlu[unda
minasibet olarsa, onda
yl-x
ifadosi
X
X)
y(y e
x(x e X) elementi ila
mfrnasibatindo olmasrnr
edek ki, x.y.zeX. Aqa$tdakr xassalere baxaq:
f
Refleksivlik
elementinin
bildirir. Forz
- .rlx do$udur;
Antirefleksivlik -
_rl-x yalandrr;
Simmeriklik
- xfy -+ ylx;
Antisimmetriklik - xl-y ve yfx-+x=y;
Qeyri-simmetiklik - xfy do$udursa, ylx yplandrr;
Tranzitivlik
- xfy va lz-+xlz
,,bele
Qeyd: -+ igaresi
gxr ki,, kimi oxunur.
Miinasibet bu va ya diger xassalare malik olmasrndan
asrh
.
otaraq 3 ndv olur. Bunlar ekvivalentli! qayda va dominanthq
mtinasibetlaridir.
Ekvivalentlik miinasibetinda olan elementlar miieyyan
menada biri digerini evoz edir va onlardan hansrnrn birinci
vo ya
ikinci olmasmrn ahemiyyeti yoxdur. Ekvivalentlik munasiUeti
igarosi kimi miixtalif igaraler, o cfimledan .=, _,
=, ll istifada
edile _biler. Biz = i961.ssindan istifade edek. Ekvivalentlik
miinasiboti a9a$rdakr xasselera malukdir:
Refleksivlik _ x=x dotsudur;
Simmetriklik _ x=y_+ y=x;
Tranzitivlik _ x=y vo y<._+ x=.
Qayda miinasibetinde olan elementlerin biri digerinden
mleyyen manada iistfin olw. eayda miinasibeti ciddi v? qeyn_
ciddi qayda mfinasibatlarine bdliinir. Ciddi _ qayda miinasibati
">" iparasi ile g6sterilir ve aga$rdakr xasselora rnUimir:
Antirefleksivlik _ x>x yalandr ;
@yri-simmetriklik - x>y doSusa, y>x yalandr;
Tranzitivlik _ x>y yo y>z ) x>2.
l6
Qeyri
ciddi qayda miinasibsoti
xa*solori a$agdaklladrr:
Rctlcksivlik - x2x
">"
ilarosi ilo yazrltr vo
do['rudur;
y>x-) x=y;
Tranzitivlik - x>y vo y>z) x>2.
Ogor x goxlulunun elemcntlori adamlar vir ya kollektivlor
Simmetriklik
- )r>y vo
olania, ontla ahnan miinasibot dominsnthq miinasiboti adlanrr. []u
halda digor amillorlo yanagr miinastbotlar.r psixolo-ii amil
digorlirrindon daha giiclii tosir edir. Dominanthq miinasiboti >>
igarcsi ilo giisbrilir vo yahz iki xassryo malikdit:
antirefleksivlik - x>>x - yalandtr;
qcyri-simmetriklik - x>>y doFudursa y>>x
yalandrr.
\.
t\
\
Dominanthq miinasiboti tranzitivlik xassosina malik deyil.
Dofrudan da ogor x gahmatgrst homiqo y gahmatgtstna qalib
golirso. tiz n<ivbosindo y $ahmatglsl homigo z Sahmatg$lna qalib
golirso buradan demok olmaz ki, x gahmatgrsr homigo z
gohmatgrsrna qalib golo bilar.
1.6.
Qeyri*alis goxluqhr heqqmde
iimumi malumet
Qcyri-solis goxluqlar (QSQ) noz.eriyyasinin
yaradrctst
prctbssoru
homvolonlimiz, hazrrda Al)$-rn Berkli Univt,, sitetinin
Li.ittl Olosgorzadadir. Onu diinya elm ictimaiyyati Zado kimi
tanlylr.
QS( nozoriyyosi haqqrnda onm ilk elmi osati 1965<i itdo
gap olunsa da toqribon l0 il orzindo o, diinya elrni ictimaiyyotinin
diqqotini colb otmam4 vo yalntz XX osrin yetrni$inci illorinin
ikinci yansrndan etibaroo elm vo texnikanln bir gox saholorindo
geni$ miqyasda tothiq edilmoyo baglanmqdtr.
Qeyri-solis goxlulun mahiyyotini aga[rdakr kimi izah edok:
X4oxlulu verilrnigdir. Chun bir ne4o elcmcnti A goxlu[uaa
monsubdur. digorlori iso monsub deyil. Yoni A goxluSuna monsub olan vo mensub olmayaa elementlor daqiq miioyyondir. X
t7
goxlufunun har hansl bir elementinin A goxlu$una monsub olub olmamasrnr ifade edan kiimekgi kamiyyatlerdan istifade ctmak
olar. Bu kemiyyetlar 0 (srfr) vr, I (vahid) olacaqdrr. Onda A
golulunu
4={0/xr, llxz, llxt,O/xr, ... , 0/x. }
kimi yaza bilarik.
Xl, X2, ... ,Xn€X
Yeni X goxlulunun n elementinden yalntz x2 va xr elementleri A gox.lufuna mensuMur, digarlari ise mansub deyil. Daha
dogusu adi halda bildilmiz kimi
A= {x:, xl.}
Belalikla, indiye qadar bildiyimiz goxluqlann elementlerini
da mensub olma gdstaricilai ile y""z bilardik. Bu g6starici adi
qoxluqlar [9[n srfir (0) ve ya vahid (l) qiymet alrr. Ogor
mensubluq gdstericisi srfirdan vahide qedar istanilon qiymoti
alarsa, onda A goxlupu qeyri-salis goxluq adlanlr.
Misal. Neari olaraq Slgrileri sonsuzluq olan otaqda (agrq
sahra) lampanrn 62 atrafml igtqlandtrmasrna baxaq. X goxlull
kimi bttiin fozam va ya daha sadalik rigin d6pemade lampanrn
altrndan kegan bir xatti qebul cdak. Hamin xaft -co-dan cn-dek
uzamr. A qeyri-solis goxlufu kimi hamin xattin lampa tarofindan
igrqlmdmlan hissesini qebul etsek aydmdr ki, lampanrn heraberindeki ndqtade igrqhq maksimum (garti olaraq vahid) sala va
sola uzaqlagdrqca isa igrqhq zdiflayir. Tobii ki, bu zaman iki
qon;u n6qtanin biri i9rqh, digori qaranltq goxluluna aid edile
bilmoz, qinki onlann i$rqh$ bir-birindon nezori olaraq farqlansa
da, onlan bir-birinden ayrmafa imkan vermir. Belolikla, X
xattinin (qoxlulunun) bdyfik bir hissasi A goxlu[una daxil olur,
lakin hsr bir n6qtesi 6z igrqhq amsalt ile daxil olur. Nezari olaraq
igrqlrq emsah yalnrz -a va co-da stfira beraber olur. Praktik
olaraq isa lampanrn gtciindan asrh olaraq miieyyen masafeda
igrqh hissa qurtaru. Dellanleri handasi olaraq qakil I .6-dakr
kimi tasvir ctmak olar:
l8
p^r
(x)
----i---i--t--
-B -f -e -d -c -b -c
$akil
1.6.
$akildeki pa(x) ayrisi X xaftinin har bir n6qtasinin igrqhq
darecesini va ya hamin n6qtanin A igrqh hisse goxlufuna
mansub olma emsahnr miiayyan edir. Bu ayriya A qeyri-solis
qoxlufiunun mansubiyyot funksiyasr deyilir. Beleliklil , gokil I .6
A qeyri-salis goxlu[rmun handasi tasviridir.
pe(x) ayrisinin X oxu iizarindaki proyeksiyasrna, daha
doSusu X oxrmun A qcyri selis goxluluna mensub olma amsah
srfirdan b6y[k olan ndqtolor qoxlufu A qeyri-selis goxlufunun
dayalr vo ya dagryrcrsr adlanr
Baxrlan misal dayalr fasilasiz, daha doSusu hr4iqi adad
oxunda teyin olunmu$ur. Hamin qeyri-salis A goxlu[unun dayaltnm diskret qiymotlorindan istifade etmakla onu
A=...0. 3lg+0.4/-f+0. 5/-l+0.6/-d +0.7 I -c+
+0.8/-l+0.9/-a+ I /0+0.9/a+0. 8/b +0.7 I c+
+0.6/d+0. 5/e+0 .41 f+0.11 g ...
(l.t)
gaklinde yaznaq olar. Yani QSQ-un her bir elementi iki kamiyyatdan ibarotdir: Elementin 6z qiymati (kesrin mexragi);
clementin A qeyri-selis goxluluna mansub olma emsah (kesrin
surati). Masalo 0.7/c elementi x oxunun qiymeti c-ye beraber
t9
n6qtasinin A qeyri-salis goxluluna 0.7 emsalla daxil olmasrnr
bildirir.
QSQ sonlu va sonsuz olurlar. Baxtlan A qcyri-salis goxluSu
ilkin variantda (gekil 1.6) sonsuz, diskrct qiymatlardan ibaret
( I . I ) gaklinda yazdr[rmrz isa sonlu goxluqdur.
Sonlu QSC flmumi gakilde
tr= p,q(x;/x;+ p(x:)/x: + ... + pe(x,)/x, -
I,l
po(*)/*,
kimi. sonsuz QSQ isa
4=
kimr ifade
J
u^{*ll*
ilHH;**
n nmilu",n,n qiymati srfrrdan vahido
qader daflgir. Mansubiyyat fimksiyasmrn maksimum qiymatine
Qsq-un hflndfirlfiyii deyilir va hgt(A) kimi igara olunur.
Hiindiirliiy0 vahide beraber olan QSQ normal, vahiddan kigik
olanlar ise subnormal QSQ adlanlr.
X goxlulunun mansubiyyat amsah 0,5-a berabar olan
n6qtasina A qeyri-selis qoxlullnun kcaid niiqtasi deyilir.
Dagrylcrsr (daya!r) bir ndqtedan ibaret normal QSQ sinqlton
adlanr.
Misal: A=l/5
Mansubiyyat firnksiyasmrn X oxu ile ehate etdiyi sahe
QSQ-un gtcii adlanrr.
I
lAl=
J
pA(x)
Diskret QSC iiqiin isa
61=l
i=t
po(x)
Nehayet, qeyd edak ki, qeyri-selis goxluqlar nazariyyasi
miixtalif sahelarda, o ctimladon, idareetnade genig istifade
edilir.
1.7. Metrik feza re mesafe
Qoxluqlarrn elementleri bir-biri ilo elaqosiz olduqda. yani
onlar arasrnda mfiayyen miinasibatlor olmadlqda bele goxluqlar
praktik totbiq ndqteyi nazerdan az ahemiyyato malikdir. Real
obyektler iso bir-biri ilo miieyyen olaqada, miinasibotde olurlar.
Ogar goxlupun elementleri arastnda har hanst bir elaqa,
miinasibet m6vcuddursa belo goxluq qurulugu (strukturu) olan
qoxluq adlanr. Sturukturu olan go{u[a ise feza deyilir.
Fazalar miixtal if olur. Onlardan metrik foza adlanan fazalarla
tamg olaq. Metrik fezalan xarakterize eden elamat onrm
elementleri arastnda mesafelerin olmastdr.
Fazanrn x ve y elementlori arasrrdakt mesafa d(x,y) kimi
iqaro edilir va agalrdakr xassalera malikdir:
1) yalnrz ve yalnz 1=y olduqda d(x,y)=0 (identiklik
aksiomu);
2) d(x,y)= d(y,x) - (simmetriklik aksiomu);
3) ixtiyari x, y, z elementleri ffgiin
d(x,y)< d(x,z)+ d(y,z) (iigbucaq aksiomu).
Metrik fozamn elementleri arasrnda mosafa mflxtalif qekilde
teyin edile biler. Mesalen, R heqiqi ededlar goxlu$mun ele-
mcntlari arasmda
d(x'Y)=lx-Yl
geklinda mesaftl tayin etmaklo onu (R goxlupunu) metrik fezaya
qevirmek olar. Meigetde iglatdiyimiz masafe da mehz iki co$afi
n6qtenin koordinintlan arasrnda farqh miitlaq qiymeti kimi tayin
cdilir.
Daha gox istifade olunan mesafe
o(x,y)="1)(r _y,),
Y r=t
ifadesi ila teyin olunan masafedir.
Burada x=(xr, x:. ... , x,) vo y=(yr, y:, ... . y") n 619[lt
fezanrn elementleridir. Bele fazaya Evklid fazasr deyilir ve E,
21
.-:
kimi igara olunur.
R" hoqiqi ededler goxlu[umm elenentleri arasmda mesafa
di(x,y)=ilxi-y,l
;=r
vo y8
G(x,y)=max( lxry,l , ... , lx.-y"l
ifadeleri ili, toyin edile bilor.
22
)
l'esil 2. Qreflar nazariYYaci
2.1. flmumi anlaYrqlar va tariflar
Qraf dedikde ayani olaraq ni4teler ve onlan birle$iren xotlor baga d[gul[r. Xetler istiqamelli ve / ve ya istiqametsiz ola
bilarlar. N<iqteler qrafin zirveleri, onlan birlegdiran xotlor qtivs
(istiqametli xetlor) ve ya til (istiqamotsiz xetlar) adlantr. Yalnrz
q<ivslor vo zirvolorden ibarot qraf istiqamatli (qekil 2-la)' tiller
va zirvelarden iharat qraf istiqamotsiz (Vekil 2.lb), hem q6vs,
hom til ve zirvolerden ibarat qraf isa qanpq (9ekil 2-lc) qraf
adlanr r.
al
4.4
ul
a2
a2
t3
u7
a)
%
c)
$akil
2.1
Qraf vasitesila ham maigeta, hem da texnikaya aid olan
sistemlari tesvir ctmak olar. Mesalan: adamlar va onlar arasmdakr qohunrluq elaqelerini; elektrik d6vrelerini; yollar gabekesini
va s. Owelki fasilde uypunlu[un hendesi tesviri da qrafdtr.
Sadelik iigiin awelce istiqamatli qraflara aid anlayrglarla
tamg olaq.
Bir nege qovsfin ardrcrlfu$na yol deyilir. $akit 2.1 a)-da ur'
ur, u6 vs us q6vsleri ardrcrlll[-r yoldur. Yolu tagkil edan q6vslerin
sayrna yohm uzunlufu deyilir. Qox zaman q6vslar dzleri birbirinden farqlanir. Bu halda yolu faqkil eden q6vslerin uzunluqlanmn cami yolun uzunlu[u adlanr.
Qapah yola kontur deyilir. $ekil 2.1 a)ia ur, ur, u1 q6vslerinin yaratdrft qapah yol konturdur.
Bir qdvsden ibardt kontw ilgak adlanr. $ekil 2.1a)-da
ur
-
qdvsii ilgekdir.
Qrafi" bir neqe zinrasi ve onlarla alaqoli qdvslmden ibarat
hissesine altqraf deyilir. Mesaloru gekil 2. I a)-da ar, az' a:
ziwalmi vo ur, u2, u3, u4, u6 q6vslari hemin qrafm alqrafidu'
Qrafin bir nege qiivsii,ndan ibarat hissasine qraf hissasi deyilir. Masalan, gekil 2.1 a)da ur, ur, ut qiivslerindan ibarat hissa'
Misd. Oger Respublikamran biitfin neqliyyat vasitalarinin
heraket ede bildiyi yollar gabakesi qraf olarsq onda Respublikanm qerb rayonlannm yollar Eebekesi altqraf, Respublikanm
yalmz demir yollan gabekasi isa qraf hissasi olacaqdr.
Yol va kontur antayrglan istiqamatsiz qraflar figfin zencir ve
ddwa adlarur. istiqametsiz qraflarda ilgak olmur. D6vresi olrnayan istiqametsiz qraf "a!ac" adlanr.
2.2. Qreflenn tesvir isullm
Qraflarm miixtatif iisullarla - handesi, inikaslar va matrislar
vasiteiiyla tasvir etmek olar. $akil 2.1-da qraflar handesi iisulla
tesvir edilmigler.
$akil 2.1 a)da verilmig qraf inikaslar vasitesilo aqa$dakt
kimi Ewir edilir
lar=a2;
1-1r= {a3,as}
i fa3={a1,2a}; far=as; Ias=as
qonqular
Qraflarm daha gox istifads olunan tasvir iisulu
matrisi ve insidentler matrisi iisuludur'
Oger a zirvesinden a; zirvesine istiqamatlanmig u qdvs0
-onda
ai zirvasi a; -in qongusudur' a; isa ai -in qon$usu
varsa,
deyil.
Ogar u q6rs[ x zirvasina daxil olur va ya ondan gxarsa"
onda onlar insidentlar adlanr. Qoqular matrisi kvadrat matris
olub onun elementleri aqa$dakr kimi teyin ohmur.
.i,
[], aget a, zirvasi
=lo,
a, zirvesins qonqudursa
arsmHa
insidentlar matrisi dnzbuqaqlt malrisdir va onun elementleri
24
gxrsa;
[+1, egar u, q6vsii a, zirvasindan
Su = .{ - f . eger u, q6vsii a, zirvasine daxil olusal
onlar urinsident olmaYanda
I O.
kimi tayin olurur.
Qrafda ilgak olduqda o.fti - m[sbet va menli insidentler
yanrnmatrislari ila tesvir edilir.
$okil 2.2-de verilon qrafin qur5ular matrisi, mflsbet ve manfi
insidentlar yanmmatrisleri a$agdah kimidir.
a b cd
alolool
:l: :Ifl-oo^,",*o,,,
alrorrl
Manfi yarrmmaris
Miisbat yanmmatris
ul u2 ul u. u5 l!6
ulroooool
u0 r I 0 0 0l
o o o o ol
"lo
olooorrrl
ur uz ul ul ur
u6
alo o o -l o ol
C-r o o o o ol
o -l o o -l ol
"l
alo o -r o o -rl
Ogor Eakil 2.2de verilrnig qrafi u6 eo-vs! olmisa idi onun
qongot". ui insidentler marislari $aErdakl kimi olardr:
QonSular matrisi
Insidentlar matrisi
bc
aIo 10
rlo 0t
o0
:LI 0l
llt u2 ul u.
a
d
uJ
a[+l 0 O -l 0l
il-t *t *t o ol
o -l o o -ll
"l
alo o -t +l +ll
25
istiqametsiz qraflar hem hendail iisulla, hom de qongular
mafisi ve insidentler matrisi vasitesile tosvir edilir.
$ekil 2.3-do verilmig istiqametsiz qrafm qongular vo insidentler matrisleri aga$dakr kimidir.
Qongular matrisi
ab c d
101I
"[0
tJr 0110
l01l
;ll l10l
0110
"Ll
e
Insidentlar matrisi
ut
u1
u1 u4 ll5 u6
ll' ui
10011000
;t 11000100
01100010
00001111
00110001
b
urlY\z
ut
;.\
r--=
!"-.{.
$ekil 2.2
$akil 2.3
2.3. Qraflarda en qrse yolun teyini
@vsleri (tillori) eyni (vahid) olan qraflarda verilmig iki zirva
arasrnda an qrsa yolu toyin etrnok figiin ewelce yolun sonu olan
zirveden baglayaraq brltiin zirveler indekslonir, sonra iso yolun
baqlan[rcr olan zirvedan indekslerin azalmasr istiqametinda
heraket edilir.
.indeksi,
_In$efsleme qaydasr beladir: yolun son zirvesine.0 (srfir)
hamin zirvoye hansr zirvelarden gelmek miimkfrndiirsa
onlara I (vahid) indeksi yazrlr. indeksi vahid olan zirvelara
indeksi olmayan hansr zirvalardan gelmek miimktnse onlara 2
26
indcksi vo s., yani indeksi )' olan zirvaler.) indeksi olmayan hanst
zirvolarden gelmek mrimkfosa onlara (1,+l) indeksi yazrlrr. Bu
qayda ile qrafin biittn zirvelori indekslonir.
$ekit 2.,1-da verilmig qanprq qrafin a (yolun baglanficr) va
b (yolun sonu) zirvelori arasrnda en qlsa yolu toyin etmeli. On
qrsa yol qrnq xotle gdstorilmi$ir ve yolun uzrmlufiu Gya
beraberdir.
$okil 2.4
Qdvsleri (tillari) miixtalif olan qraflarda verilmiq iki zirve
amsmda an qrsa yolu tayin etsnek flgiin yene awalca yolun son
zirvasinden baylayaraq zirvalar indekslenir, sonra isa yolun
baglanpc zirvesindan ba.glayaraq hu'ekat edil.ir.
indekslema qaydasl:
l. Yolun son zirvasino lo=0 indeksi yazrk va dipr
zirvalarin indeksinin 1,=6e (i+O) oldulu naarda tutuhn.
Ela bir (xr, x;) q6vsii (til) axtanlr ki, fu-X,Pl (xi,xj) olsrm va
onrm Ii indeksi l=1,;+l(x',xr)< Lj ile avez edilir. Bu omaliyyat
fu indeksinin azaldrla bilmedil vaxta qador dBvam etdirilir.
27
On qrsa yolun taprlmasr qaydasr: Yolun baglanfirc zirvesinden (a) keqmek igfin ele xl zirvasi axtanlrr ki. ]""-],i=l (a.xi)
olsun. Soma 4 zirvesindon kegmek igin ele ycni xo zirvasi
axtanhr ki, ?t";-l.p=l (x;,xp) olsun va s. Bu amoliyyat yolun son
zirvesino qodor davam etdirilir.
$ekil 2.5.{e verilmig qrafda a va b zirvalori arasrnda an qrsa
yol qrnq xotlarle g6starilmi$ir vo uzunlufu 22-ya beratrardir.
I
$ekil 2.5
2.4. ?n qma
qnfi
qurmaq qaydesr
Miimktn olan qdvsler (tiller) igerisindan en kigiyi (kiqiklari)
segilir ve biitov xatla zirvaler birla$irilir. Sonra qalan tillar
igarisinde an kigiyi (kigikleri) segilir va zirvalsr biitov xorlo
birlaSirilir.
Belalikle, bttiin zirrraler ahate olunana qedar amaliyyat
davam etdirilir. Opr ahnmrg qrafda d6wa (d6vraler ) olarsa, har
bir d6vradan en bdyuk til (q6vs gtxaflhr).
$akil 2.6-da verilmig zirvaleri birlagdiran an qrsa qrafrn
uzunlu[u l7-dir.
i---r
$ekil 2.6
On qrsa qrafin qurulmasrna getirilan mesolaler: ya$ayry manroqelerinin elektriklagdirilmesi, qaz va su kamarlarinin, yollann
gekilmasi.
2.5. Qraflann gcwilmesi va tenliklarinin
tartib edilmasi
Qraflarrn tonliklarinin tartib edilmasi va gewilmasinda
cidval 2.lde verilmig qaydalardan istifada edilir.
gakil 2.7-da verilmiq qrafin xatti tanliklar sisterni:
[*,=p*o
l*r=a*,+d*,+q*o
I *,,= b* ,
[*n=
t*,
$ekil 2.7
gakil 2.8 a)-da verilmig qrafin ekvivalenti qekil 2,8 b)-daki
kimidir.
Cadval 2.1
Qraflarrn gewilmesi va tenliklarin tertib edilmasi.
Ie
Ekvivalent qraf
Qaf
I
2
Onun tenliyi
X2=aXt
,3>i'
x
r= ax,+ bx
3
xr=abx,
4
xr= (a +b)x,
5
b
,
x1=a/(l+)xr
2.2
6
x2= axt +abxj
x3
X3
7
x2= aYl + bx3
z2
30
.
xt
ac(l-b) +q
\-f-----------b)
gekil 2.8
3l
-Y
-:
Facil 3. Mantiq cabriirin elemenflarl
3.1 Mentiqi emeliyyatlar
3.1.1. Mantlqi kamlyyattar ra mantiqi deyigonlar.
Mentiqi kemiyyet}er f,zarinde emeller
Qox zaman ele fikirlerdan, suallardan istifado e<tirik ki,
orrlarm cavabr .do&u" (boli) va ya "yalan" (xeyr'; 1i*'
"qiymatlar" olur. Bele fikir va suallara " mentiqi deyimlar"
deyilir. Meselan: "Mammedov M.M. talabedirmi?, suahnln
cavabt nbeli" ve ya "xeyr" ola biler ve bu sual mantiqi deyimdir.
Mantiqi deyim mda ve miirakkeb olur. Sada mentiqi deyim
yalnz
sualdan, mihakkeb deyim isa "va", "ve ya"
ba$aycrlan ile alaqatandirilen bir nega sade deyimdon ibaratdir.
bir
Yuxmda baxrlan misal sada deyimdir. ',Mammalov M.M.
telebedirmi ve alagrdumr?" suah ise miirekkeb deyimdir.
"DoEru' va "yalan" qiymaderi alan kemiyyatlar mentiqi
.kamiyyetlar
adlanu. Adi cabrda kemiyyetlar sabit-va dayiganlardan ibaret oldu[u kimi mantiqi kamiyyatterda sabit va doyigon_
lordan ibaratdir. Mentiqi sabit kimi "TRUE" (dofiu) va ,FALSE"
(yalan). g6tfiriiliir. Mentiqi deyiganler isa latrn elifbasmm kigik
herfleri ile igara olunur va onlann qiFnatleri bu va ya digor
sebeMan deyiga bilar.
Riyazi olaraq iglemak asan olsun deye "do[ru" ve nyalann
mantiqi qiymatleri uy[un olaraq "1" (vahid) va "0" (srfir) ile
avaz edilir.
Belelikle, yalnz "0" ve ,'l', qiymoti olan kemiyyatlar
_
(deyiqanlar) mantirli kemiyyatlar (dayiEenlar) adlamr.
Mentiqi kemiyyatler iiarinde agalrdakr amallar yerina
yetirilir: mantiqi toplarna, mentiqi vurma, inkar.
Mmtiqi toplarna (dizlrmksiyao',va ya"). x vo y nr€ntiqi
kemiyyetlerinin dizymksiyasr xvy ve ya x+y kimi yazrlr va
godvel 3.1-a uy[un hesablanr.
Mantiqi vurrna (konyrmksiya,"ve.). x va y mantiqi kemiy_
yetlarinin- koayunksiyasr x^y, x& y vo ya xoy kimi yazrlr va
gadvel 3.I-a uy[un hesablamr.
32
x
m<rntrqi ktrmiYY*inin
husahlantr.
rdvirl
uyf,un
3.1<r
9i
bkAf.
iokan
x kimi yazrhr ve
Crldvel 3. I
$ekil
x
v
xvy
x/\-v
x
0
0
0
0
I
0
I
I
0
I
I
0
I
0
0
I
I
I
I
0
1. I
Mtmtiqi toplama, nrontiqi vurrna w) inkar omollonni ycrinrr
yetir<rn qurgulann garti iqarosi uyfun olaraq misal 3'l a' b va cde giistorilmiylir.
IIcsablama texnikastnda digor mi:ntiqi omellorden (skvivalentlik, ekvivatentliyin inkan, miixtolif implikasiyalar va s') da
istifade edilsods onlar tiirama omolloridir, yoni dizyunksiya,
konyunksiya vtr inkar omellori ilo ev-oz edile bilirlar'
3.1.2 Bul funksiyalan vo mantiq getrrinin eynillklori
(lohri kamiyyatlordon qabri funksiyalar atrndrfr kimi montiqi
komiyyotlordon- tlo montiqi funksiyalar - Bul funksiyalan ahnu'
Ogor
Y --
f(x,,xr,...,x. )
ilarlosiutlo hom arqurncntlor (x,, xr,...,x n ), horn ilo t'unksiyantn
,dzti (y) montiqi komiyytrtlor olarsa. belo funksiya Bul linksiyast
adlanu.
3J
Ceb,ri kemiyyetlarin qiymotlor heddi (-co, o) oldulu iigiin
homin kemiyyetlerdan tegkil olunan cabri funksiyalann sayr da
qeyri-mahduddur. Lakin mantiqi komiyyatlerin ala bildiyi
qiymatlar mehdud {0,1) oldufu iigiin mahdud sayda mentiqi
kemiyyotlerden alman Bul fimksiyalarmm sayt da mehduddur ve
N=4n
ifadesi ila teyin edilir. n - mantiqi deyiganlarin; N ise onlardan
ahna bilacek Bul funksiyalannm maksimum sayrdr.
Bir odad x mantiqi dayiganinden alman Bul fimksiyalannrr
sayr ddrddtr va onlar
f,(x)=9, fr(x)=1, fr(x)=1, fn(x)=1
f,
va sabit qiynata
funksiyalanndan ibaretdir ki, onlardan
malikdir.
Beleliklo, x montiqi dayigani flzarinde hansr bir mtrekkab
mantiqi funksiya qurmaq istasak da o, sadaligib yuxanda yazrlan
ddrd funksiyadan birine gatirilir.
Iki ve x2 mantiqi deyigenlarindon ahna bilen Bul
funksiyalarrmn sayr l6-ya beraberdir ve onlar cadvel 3.2-de
t
x,
verilmiSir.
Cedvel 3.2
xl
0
x2
I
0
I
0
I
I
0
fr
0
fz
fr fi
fs
fc
f7
fr
fc
fro
llr fiz fr: llr frr
0
0
0
0
I
I
I
I
I
I
I
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
I
I
I
0
0
I
I
I
I
0
0
0
0
0
0
I
I
I
0
I
I
I
0
0
0
0
I
0
I
I
I
0
I
0
I
I
I
(.)
Bu funksiyalar analitik gakildo a;a$daklardan ibaratdir:
ft
=0:comt'
frr,
=l =conS
=x';
:
t3 =x,; fo =x2; qr =x2;
f2 =xt n x2; f;, =x, nx,,:
f, = x, vxr; f, =x, vx, ;
q =x, nlr; f. =i, n x";
fn
34
fr,r
I
I
I
I
f, =(i, rxr)v(x, nir); to =(i, nir)v(xr
____________:
^ =Xtn X-.
t- | =xr A x,: lr-
n x2);
xiisusi adlan vardr: frs- $effer
Bu funksiyalardan bazitarinin
funksiyasr. fe - Pirs va ya Vebb funksiyasr adlann.
A(x,y,2,...) va B(x,y,2,...) sonlu sayda x,y,z,... mantiqi
kamiyyatlarinden asrh Bul fimkiyalan hemin arqumentlerin
biitiin qiymatlarinda baraber olarsq
A(x'Y'z'"') =B(x'Y'2,"')
baraberliyina mantiqler gebrinin eyniliyi deyilir.
Mantiqler gabrinin eyniliklerinin isbatrnrn iki fisulu vardr:
arqumentlerin biitfln qiymatlarinde sa! ve sol tarafin qiymatlarinin hesablanmasr: do$uluq goxlu[undan istifada etmek.
ila
goxluqlar iiarindeki amallar
qargrLqh uy[unluq agafrdakr kimidir.
Qoxluqlann birlapasi (U) - mantiqi toplama (v);
Qoxluqlann kasigmesi (O ) - mantiqi vurma{n);
Mentiq emallari
arasmda
Qoxluqun tamamlay rgrsr - inkar.
Farz edak ki. X,Y,Z goxluqlan uyfun olaraq x,y,z mantiqi
deyiganJerinin do$uluq goxluqlarrdr. Onda goxluqlar gebrinin
eyniliklarindan (bax biringi fasil) istifada edarak mantiqlar
gab'rinin agalrdakr eyniliklarini yaza bilarik:
l) xvv=vvx-l
'
x^Y=v^xli
- yerdoyigma qanunu;
2) xv(yvz)=(xvy)vz] - qruplagma qanunu;
xn(ynz)=(xny)nzJ
3) (x vy)nz=(xnz)v(yaz)]
(xny)vz=(xvzlx(yvzl) - paylama qanunu;
4) xnx=x; xvx = x;
5) xni=Q xvi=l;
35
6) xv Y = 11nY; xvY=X^Y
7) i=x;
8) xv0=x; xn0=0;
9) xvl=l; x nl =x.
'
3.2. Kombinasiyr sxemlorinin sintezi
3.2.1. Kombinasiyr sxemleri vit onun sintezinin
mehiyyoti hrqqmde
Girig va qrxrs siqnallan mantiqi kemiyyotlar olan diskret
bsirli texniki qurEu kombinasiya sxemi (KS) adlantr. KS diskrct
tasirli maqrnlann, o ciimladen raqom hesablama magmlanntn
asasmr ta$kil edir. Umumi gakilde KS gakil 3.2-daki kimi tasvir
etmok olar.
$ekil 3.2
ur,u2,...,un KS-in glri$, yt,!2,...,!n ise onun
glxl$
deyiqenleridir. KS har bir grxrq deyigeni onun girig deyiganlarindan as r olaraq deyiqir. Yani
y, = f,(u,.u r.....u, ), i=lrn
Bul fimksiyalan izra hesabat apanr. Formal olaraq KS-i
K=(rJ.Y.f)
36
ngltryii kimi ifada etmak olar. U - girig siqnallan goxlufu, Ygrxrg siqnallan goxlulu, f: U-+Y . fqUxY bir qiymatli inikas
etrna qrafikidir. Belalikle, har hanst KS-in melum olmasl onun
giriq ve grxrg dayi$anlarinin qiymatlar goxluqlan ve U goxlufunrm elernentlorini Y goxlu[unun elemsntlarino inikas etdirme
qrafiki malum olmaltdrr. Bir qayda olaraq bu melumatlar, yeni
girig ve grxrg dayigonlerinin qiymatlar goxluqlan vo inikas etdirma qrafiki cadval gaklinda verilir va bu cadvel KS-in dofruluq
cadvali adlanr. KS-in sintezi dedikde onrm doffuluq gedvelina
asasan glxlg deyigenlerinin giriq dayipnlarinden asrhhq fimksiyalanrun ahnmasr va hemin firnksiyalarr igra edan sxernin tartib
edilmasi nazarda tuhrlur.
3.2.2. Dofrufuq Cedyolinin qurulmasr
KS-nin doffuluq gadveli qurfunun iginin sdzla izahrna
asasan doldurulur.
Bri$ va m grxr$r olan KS-in do$uluq
gadvali iimumi gakil-de gedvel 3.3 -daki kimidir.
n
Cadr.el 3.3
Giris dayisanlari
ul
0
0
0
0
Crxrs dayisanlari
u2
un
Yr
0
0
0
0
I
I
I
I
:
:
1
I
0
I
:
I
i
0
I
I
I
Y.
0
0
1
0
0
0
0
1
:
:
:
I
I
0
I
I
0
Cadvelin setirlarinin sayr 2n olub, girig dayiganlerinin miimsayda bfltiin qiymatleri yazrlr- Qtxrg dayiganlarinin
qiymetlari isa girig dayigenlerinin qiymatlarine g6ra va qur$unun iqinin izahrna gdra mfiayyen edilir.
kin olan I
37
Misal. Har bir toplanam iki ikilik mertabedan ibaret camleyicinin do$ruluq cadvelinin qurulmasrna baxaq. Camleyicinin
birinci toplananrm x, ikinci toplanamm z, gu(r$rm ise y ila igara
edak. $erta gdra omrn her bir toplananr iki ikilik martobodan
ibaratdir. Yani onlann har biri ikilik say sisteminde 00,01,10,1I
(onluq say sisteminda 0,1,2,3) qiymetleri alrr. Tabiidir ki, camleyicinin grxrgr O-dan 6-ya qedar qiymet alacaqdr. Yani cemleyicinin qrxrgnr ifade etmek [9[n iig eded ikilik marteba talab edilir.
Belelikla, camlayicinin igini cedval 3.zt-doki kimi tasvir etrnak
olar. Cedrel 3.zl-deki bttfrn edadlari ikilik say sisteminde yazaraq dofiuluq cedvalini (cadval 3.5) ahnq. Cemleyicinin kombinasiya sxerni kimi fasviri gekil 3.3-de gdsrarilmi$ir.
Cedval 3.4
Cemleyicinin igini
eks etdiren cadval
Cedvel 3.5
Camloyicinin doSuluq cadvali
Girig dayigenleri
Toplananlar
x
z
0
0
0
0
I
Cur$
x
2
v
v
Xl
X2
Zl
Zz
Yl
0
0
0
0
0
0
0
I
I
0
I
0
I
2
I
0
3
0
0
0
J
I
I
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
I
0
I
0
1
0
0
1
2
I
I
I
0
0
I
I
0
I
I
I
0
0
0
0
0
0
0
I
0
I
I
0
0
1
0
0
I
I
I
I
I
0
0
I
I
)
I
3
4
0
0
0
2
0
2
I
2
2
2
I
3
I
4
1
1
Qxrg deyigenleri
)
J
0
Y3
I
I
I
0
0
0
I
0
I
0
0
0
4
I
I
I
I
I
I
0
I
I
2
5
I
I
I
0
I
0
I
3
6
I
1
I
I
I
I
0
f
J
0
5
3
I
3
3
3
38
'0
0
I
I
0
$ekil 3.3
$okildo xr vo x2 uypun olaraq x toplanamntn tiiyfik we kigik
mortebeleri, zr vq 22 - iso z toplanammn btryfik ve kiqik
mortebalori, yr, y2, y3 - cemleyicinin gurflnm brjytk, orta ve
kiqik mertebeleridir. Belelikla, baxrlan quqgunun KS kimi 4 girig
(xt-xz.2r,72) vo 3 grxrg (yr, yz, y:) deyigeni vardrr.
3.2.3. Mentiqi asrhtErn almmesr
Dogruluq cedvelina g<ire KS-in grxrg deyiqenlerinin girig
deyigon-lerinden mentiqi asrhh$mn ahnmasr onun sintezinin
ikinci merhelesidir. Mentiqi asrhhlrn allnmasrmn mrixtelif
iisullan vardrr. Bu tsullardan birbaga iisul, Karno kartl isulu ve
Kvayn-Mak-Klasski iizullanna baxaq.
3.2.3.1. Birbaqe fisul
Qrxrgrn "1" ve ya "0" qiymetlarina gdre doffuluq cedvalina
asasen bir bata mentiqi asilrhfm alnmasr.
Funksiyanrr "1" qiymeti ile igledikde montiqi a$hhq hor bir
"1"-e uy[un galen normal konyunktiv formalann (NKF) mantiqi
cami Eaklinda teyin edilir. Her bir "1"-e uyEun galen NKF
harnin vahidin setrinde qiymoti "1" olan arqumentlerin dzleri ve
qiymati "0" olan arqumentlerin inkarlanndan ibaret olur.
Funksiyanm "0" qiymetleri ila iqladiikdo mentiqi asrhhq
funksiyamn srfir qiymetlerina uyfun gelen normal dizymktiv
19
formalarur (NDF) mentiqi hasili galdinda ta"yin edilir. Her bir
"0"-a uy&m galen NDF-i hemin srfinn satrinda qiymeti "l'olan
arqumentlarin inkan, qiymati "0" olan arqumentlarin dzlarindon
ibarat olw.
Cadyel 3.6-da verilmig do!5uluq cadveline uylun BUL fimksiyalan beledir:
a) vahidlarle igledikde
y=
x,x, i.,f
o
+
x,x,xrx.r+ x,x,
x., x n+
x,x. x.,x ,+
+xlx2f3X4+xlxrxrxn+xrxrxrxn+xrxrxrxn+
+
(3.1)
xlx2x3x4
b) srfnlala igladikde
y=(x,+i, + x,+ x.,)(x,+ xr+x.,+ xa )G 1+ x,+ x, +
+ xn)(x,+ xr+ xr+ io)(x,+ir+ xr+ xn)(x,+ir+
(3.2)
x.+ xo)(i1+ x 2+i,,+ xa)
(3.1) ve (3.2) ifadeleri y-in cyni dafgenlarden asrhhqlarr
olduqlan iigiin ekvivalentdirlar. Adatan bu ifadelorde izafilik olur
ve onlan yox edilmasine minimumlagdrma dcyilir. Minimum+
lagdrrma baqlan[tcda standart fandarden istifado etmakle, soffa
isa yalnrz intiusiya ilo yerino yetirile biler.
Stendart fandler:
A+AB:A; AB+AB=A; A+A=A; (A+AXA+B)=A
A ve B montiqi deyigen, montiqi dayigenlerin mantiqi hasili va
ya cami ola biler.
(3.1) ifadesinin I ve II, III ve IV, I ve V, III va V. II va
VIII, VII va IX NKF-larini qruplagdrnb ikinci fandi totbiq etsak
alarrq ki,
y=xriri,
= x,x-,
+xlx2x3+xli3xn +x,xrxo +x2X3x4 +x2xlx4 =
+iri,
+ xrx3x4
* XrXtX+
Fendlerden istifade efinekle yeni sadelegdirme miimkfin
deyil ve intuisiya ile sadelagdirme do[urdan da ifadade izafilik
40
olduqda miimkiindiir. Baxrlan misalda izafilik yoxdur. Bundan
baqqa intuisiya ham da NKF-larin qruplagchnlmasr zamam
vacibdir.
Cadvel 3.6
Do$uluq cadveli
Xl
X2
X3
x4
0
0
0
0
0
0
0
I
0
0
0
0
0
I
0
0
I
I
I
I
I
0
0
0
0
I
I
I
I
1
I
I
v
I
I
0
I
I
0
0
I
I
I
I
0
0
I
I
I
0
0
0
0
I
1
I
0
1
I
0
I
I
0
I
0
0
0
I
0
0
I
0
0
I
I
I
I
0
I
0
I
3.2.3.2. Karno kartr isU(O
Kamo kartr dtzbucaqk koordinat sisteminde qurulmu$
cedvel ve ya cadvellerdan, kub (prizfrla) va ya kublardan
(prizmalardan) ibaratdir. Girig dalqattlari miieyyen qruplara
b6lfinarok koordinat oxlannda gdsteHlir. Cadvellarin ve ya
kublarrn (prizmalarrn) say.r. eloce da cedvallarde satir vo
s[tunlarur, kublarda (priznalardd) Erboqalerin say 1,2,d8 ve s.
yani 2-nin qflweti ile teyirt olrtran eded qedar olur. Sadelik iigfln
bir cadveldan ibarat Karno kartrna baxaq.
4t
Koordinat oxlarmda deyiganlarin qiymetleri ela ardrcrlhqla
yazlr ki, iki yanagr qiymatdo yalntz bir dayigenin qiymeti
iarqlensin. Masalen, xr,xz-dayigonlerinin qiymetlari 00' 0l ' I 1 ,
t0 va ya xr,x:,xr doyiganlarinin qiymatlari 000. fi)1. 0l l. 010'
ll0, 111, l0l, 100 ardrcrlh[r ila yazrlr. Bu halda iki yanagr satir
va ya siitun hamiga qongu olur. [imumiy-vatle . yalnrz bir
dayigenin qiymoti ile farqlanan satir vo ya siitunlar yanaSr olubolmamasmdan asrh olmayaraq qongudurlar.
yalnrz
Qrxrg dayigoninin "1" qiymetleri ile igladikde cedvolo
yazrlrr.
yalntz
"0"-lar
"1"-lar, "0" qiymatle igladikda isa
Cadvel 3.6{a verilmig do$uluq cadvelina uyfun Karno
kafi takil 3.4 a)-dakr kimidir.
"l"-ler
gerqivalere almtr
(qakil 3.4 b). Qargiwalerin ahata etdiyi safir ve ya siitunlann say!
1,2,4,8,...yani 2-nin qtweti ila tayin olunur. Cedveldaki biitiin
"l "-ler cercivelera ahnmahdr. Mtmkfin qeder gox "l"-ler bir
gargivaya ahnmahdrlar. Her hansr "1" ve ya "1"-lor qrupu bir
nega gargivaya ahna bilar. Qarqivenin ehato etdiyi safi va ya
siitunun sayl 2' olarsa, gergiva boyunca qiymeti ferqlenen
dayiganlerin sayl n olmalldtr.
Har bir gergivani ifada eden NK-F-a qiymati gergive
boyunca farqlenen deyiqanler daxil olmur' qiymoti "1" olan
deyiganlarin iizfi , qiymoti "0" olan deyigenlerin inkarr daxil olur.
$ekil 3.4.b-deki garqivalari ifada edan NKFJoT:
Qergiva l- x, x,
Codval tortib edildikdan sonra
- xri4
Qergiva 3 - xrfrxo
Qarqive 4 - x )x ix1
Qergiva 2
Mentiqi asilrhq isa
Y
=
frx.r + x,i.n + x'*",x, + xrx',x,
kimi tayin olunur.
Qrxrgrn "0" qiymatleri ila igladikde mantiqi aslhhq garqivelere uy[un NDF-leri mantiqi hasili qeklinda reyin edilir.
42
a)
t?.4
x3 X4
l0
lrr- 5l
--r--
Ld5
E
!l l
-l
It
m
I
I
m
011 ll
b)
$ekil 3.4
43
l0 xlx2
3.2.3.3. Mak-Kvryn Klasski fisulu
Bu iisulda da mentiqi asrlrhq gxrg dayiganlarinin hom "1 ",
ham de "0" qiymatlarina asasan allna bilar. Qrxrgrn "l"
qiymetlorina esasen mentiqi asrhLlm tayin olunmasrna baxaq.
lzahat cedval 3.6 misahna uyfun quraq.
Qrxrg deyiganinin "1"-a beraber satirlerdeki girip dayiqanlarinin qiymetlarindan ibarat Kn kopleksi tartib edilir:
0000
0001
0010
0011
Ko=j0 r 0
0
0110
l00l
lt l1
0l l1
Ko
kompleksinin elernentlerina ilkin elementlor deyilir.
llkin elementlar onlarda olan "1"-in sayrna g<ira qruplagdrnlr ve
0-kub almr:
0-htb
0000+
0001+
0010+
0100+
00ll+
0l l0+
l00l+
0lll+
llll+
O-kubun her bir qrupunun har bir elcmenti yalanz va yalntz
6ziinden sonrakr qrupun biitfin elernentlari ila miiqayisa edilir.
Oger iki miiqayisa olunan element yalnrz bir deyiganin qiymeti
44
ilo farqlirnarsa, onlar l-kubun elementini do[urur. I -kubun elementini doguran O-kub elementlari niganlanr. Hemin qayda ile lkubdan 2-kub, 2-kubdan 3-kub va s. ahmr. Bu amaliyyat n6vbsti
kub ahna bilmediyi vaxta qadar davam etdirilir. Ogar kublar
ahnarkan tokrarlanan elernentlar olarsa onlardan biri saxlanrlr.
I
-kub
000-+
00-0+
0-00+
00- I
-001
+
001-+
0-10+
2-kub
00-00 --
2-kub
voya
0- -0
0- -0
0- I 0- I -
00-0
0-- 0
0-l-
0l-0+
0-ll+
0l I -:F
-l I I
Bitln kublardakr niganlanmamtg elementlerden K1 komp
leksi tegkil edilir ve omm elementlarine implikantlar deyilir.
Kr=
-0
-1
00
00-
0l
ll
-0
l-
Mantiqi asrhhq implikantlan ifade edan NKFJerin mentiqi
cami qpFinda teyin e(ilir. Lakin Eox zaman irylikantlar
igarisinda izafilik yaradaa{qn olur. Onlan glxafihdq iiqFn 6rt0klar
cadvali tortib edilir (cadvel 3.7).
Oger i-ci satfudaki implikant j-cu sfitrndakr elementi
drtiirsa, yani implikantda 'L" i$aresinden ba$qa dig!il dayi$anlarin
qiymati elemcntla eyni olarsa i-ci setirle j.cu sfitunun kesi$iyi
45
yere "l " yazrlr.
Ortfikler cedvelinden an vacib implikantlar te"yin olunur.
Bunun iigiin cedvalin biitiin siitunlaflna baxrlr ve yegano ,'l " olan
situnlar mfleyyanle$irilir. Hamin " I "-lorin yerlegdiyi setirlardeki implikantlar en vacib implikantlardr va onlarm montiqi
asrhhpa daxil edilmesi reruridir. On vacib implikantlar va onlann
drtdiiklari biitiin ilkin elernentlar niganlanr va drtiiklar codvolinden guanlaraq yeni cadvol ahnr (cadval 3.8).
Yeni cadveldan ela minimum sayda implikant segilir ki,
onlar cedveldeki b[tiin ilkin elementlari drtrniig olsun. Baxrlan
misalda her iki implikant cadvaldoki yegane ilkin elemcnti
drtdiiyii flgiin onlardan istenilen birini sega bilarik.
Cadvel 3.7
Orniklar cedvali
ittin
implikantlar
-001+
-lll+
00--
0--0+
0- I -
etementter
0000 m01 0010 001I 0100 0l
I
l0
011 I
l00i
I
I
I
I
I
+
+
I
I
I
1
illt
I
I
I
+
I
+
I
+
I
+
+
+
Cadvel 3.8
Yeni cadvol
implikantlar
ilkin elerqsntler
0-0-l-
001I
I
I
0
Owelki tisulla naticenin eyri olmasr meqsedi ile (0_ l -)
implikantmr segek. On vacib implikantlar va yeni cedvaldan
segilmig implikantlardan K kompleksi tertib edilir:
46
00 rl
1l rl
*=10
[_
:I
Io -l
Mantiqi asilrhq K kompleksine uypun olaraq
Y=
xrx: +Xtx{ + X,irx
4+x
'x
(3.3)
3x.r
kimi tayin edilir.
3.2.4. Kombineslyr sreminin sintui
Kombinasiya sxerni mffxtalif texniki vesaitlar esasrnda qurula biler. Texniki vesaitdan asrh olaraq mentiqi ifade Ezerindo
ekvivalent gevirmalar apanlaraq texniki vesaitin elernentlarine
uy[unla$rrlr ve bu zaman har bir elernentdan maksimum istifada etmekla minimum sayda elernentin istifada olunmast asas
gert g6t[r[ttr. Biz Kl55 seriyah inteqral mikrosxemlarden istifado edecayik. C)nlarrn bezilerinin sxernlari gekil 3.5-da verilmiqdir. Kl55 ve digar seriyadan olan inteqral elementlerla [l] adebiy"vatrnda tanrg olmaq olar.
(3.3) mentiqi asrhhlrmn sxemi gekil 3.6-daki kimidir. $ekilda: l -K155JIH1.2,3,4 ise KlssJIAl elernentleridir' I elernenti
har bir giriq deyigeninin inkanm alr. 2-elementi (3.1) ifadasinin
x,i,x, va x,x.,x., NKF-larinin inkarlannr. 3-elementi isa hamin
ifadanin x,xo ve
i,x,
NKFJarinin inkarlanm alr. Yani
Vt =XTX:xr
y'
x,xrx4t
I
Son naticado
=
! =i t +i
z+
y1 =
irx::
Yq =
Yl + Y+ ahnmahdr. Melum oldu-
[u kimi
! =! r+iz+Yl +Yr =Yr xY2 xYl xY4
yazrnaq olar, yeni 4 elementi
!=Yr!z!tYc
i
iria
fadesini hesablayr.
47
TC
55IAI
IO5SIAI
Ifl55IA3
I
..
2
4
5
6
ll
v)
n srllt2
H5'IAI
I
KI5'IEI
l0
l0
t2
.J
I
5
2
3
4
5
C2
RG
I
Yr
Y2
l3
t2
2
q
ll
D,
3
D+
4
q
.^
9
LJ
IE'
55rP I
C1
Xa)
r0+
,r+
n
T(
lCI
J5JIPI
2[--T--l
9
8
q)
x{")
X(!.1)
X{rr-2)
X(n-3)
$akil 3.5
48
\Sakil
3.6
3.3. Sonlu avtomaUar
3.3.1. Sonlu rvtomrtlann iimumi qurulugu
Oslinda kombinasiya sxemlari sonlu avtomatlann (SA)
xisusi hahdrr, yani KS yaddagsrz SA-dr. KS-nin 9xr9 siqnallarmrn qiymati yalnrz girig siqnallannrn cari qiymetinden asrhdt.
SA-mn grxlg siqnallannrn qiymati isa girig siqnallarrnm cari
qiymatinden va onlm vaziyyatinden asrhdu. SA-rn yeni aluran
vaziyyeti isa hem onun girig deyiganlarinin yeni qiymotindon,
ham da m6vcud vaziyyatindan asrhdr.
SA disket qurfu oldu$undan o fasilasiz olaraq deyil, zamanln ayn-ayn anlarutda iglayir. Zamamn bu anlanna dislcet zaman
49
va ya takdar
deyilir.
..
Yaddag elementi girigina verilen 0 ve ya I siqnahnr bir
taktdan sonra gxrgrnda firkrarlayr. Yaddaq clernenti gokil 3.7daki kimi tesvir olunur. x[n]-har hanst x dayiganinin cari, x[n-l]
ise bir takt awelki qiymetlaridir.
$ekil 3.7.
Dellonleri
nezare alaraq SA-rn iimumi qurulugunu gokil
3.8-deki kimi tosvir etmek olar.
{ol | | doll
$okil 3.8.
$akilde: U-sonlu avtomat n girig siqnallan goxlulu; Y-grxrg
siqnallan goxlu[u; X - veziyyetlor goxlufudur. O ciimladon,
X[n] - cari veziyyatler goxlufu, X[n-l] - bir takt ewalki vaziyyetler goxluludur. F va O - kombinasiya sxemleri olub. F kegidler firnksiyalarr, O - ise gxrglar funksiyalan adlamr; D yaddaS elementleridir. Formal olaraq sonlu avtomat
4=6r,y,X,F,O)
begliyi ile ifada olunur. gakildan g6rlndiiyu kimi giriglar va
gmglar fimksiyalan girig ve veziyyatlardan
xlnl=16l'x1t-"
y=O(U,Xln-ll )
''
50
kimi asrhdr. Bele avtomatlar Mili avtomatr adlanr. Xfisusi halda
avtomat
x[ n]=r1g'1Jn-t'
y= O(Xln-ll )
''
ifadeleri ila yaz a biler ve bela avtomat Mur avtomatl adlan[.
Veziyyetlerinin sayr sonlu olan, yani X goxlu[u sonlu
goxluq olan avtomat sonlu avtomat adlamr ve mahz bcla
avtomatlarr 6yranaceyik.
isullan
Sonlu avtomatlarm d6rd tesvir iisulu vardr: S6zla tewir;
3.3.2. Sonlu avtomathrrn tasvir
analitik tesvir; kecid va gxrg cedvalleri; qraf vasitesila.
Sdzla ifada a!'tomatm igini adi danrgrq dilinda de-viliEindan
va ya yazrl tasvirinden ibaratdir.
Analitik tasvir avtomatm kegidler ve gxtglar ftnksiyalanndan ibaratdir.
Kegidlar va grxlglar cadvallari formaca eyni olub onlann
sotirlarinda giriE dayiganlerinin miimktn qiymetleri. sfitunlannda
avtomahnmiirnkiin veziyyatleri (vaziyyet deyii;anlarinin qiymatleri) yazrlr. Kegid cadvelinin i-ci setri ila j-gu siihmunun kasiEmasina avtomata girig dayiEenlarinin i-ci satrdeki qiymati verildikda onun j-cu sfitundakr vaziyyatdan kecdiyi yeni veziyyet
yazrlr; gxrglar codvelinin uy[un yerino ise hemin kegid zamaru
grxrg dayigenlarinin aldl& qiymatlar yazrlrr.
Qrafin zirvalari awornatm veziyyatlarini, qdvslari avtomatm
vaziyyatdan
bir
digerina kegidi ifade edir. Q6vsiin iiarinde girig
dayiEanlerinin kegida sabeb olan qiymetlari, m6teria igarisinda
isa homin kegid zamant qrxrg dayigenlarinin aldrS qiymetler
yazlt.
Misal. Vahidler citii saylacmm bttiio flsullarla tasvirina
baxaq.
Sdzle ifade: Say[acrn iki girigi U(ur,u:) ve bir grxrqr (y)
vardr. u2=0 olduqda sayfac iglayir, uz=l olduqda dayanr. ur -ler verilir. ur-in har ciit
giriqina ixtiyari ardrcrlhqda
ntimrali vahid qiymotino gtxr$m vahid qiymoti uyfun gelir. Yani
5l
ur={o
olduqda
l00l I I 1001010001 l0 t }
y={0000 I 0 I 000 t 00000 I 00 I
}
olur.
Analitik iisulla tasvir. ur girigina verilan tak n6mrali vahidleri yadda saxlamaq flqin yadda; elemeati laamdrr. Onrm girigini
x(n) (veziyyat dayigeni), gxrgrnr x(n- 1) igat-o edek. Say[acrt
analitik tasviri
x(n) = u,urx1,
-l)
+
ururx(n
-l)
kegid ve
y=urx(n-1)
iboratdir.
Kegidlar va gxrglar cadvalleri ila tosvir. Say[acm keqidler
vo gD(r$lar cedvelleri uylun olaraq cadrrol 3.9. ve cadval 3.10grxr g fu nksiyalarmdan
dak kimidir.
Cedval 3.9
Kegidtar cadwali
Ul
x(n-l)
U2
00
0r
10
ll
Cedval 3.10
qrxrglar cedvoli
0
0
0
I
0
Ut
I
00
0l
l0
1l
I
0
0
0
x(n-l)
U2
0
0
0
0
0
Qraf vasitasilo tosvir: Saylacm qraf vasifasila tasviri
$m
f.iauroit-i9air.
ffiE
r(0)
0to)
l0(l)
1t(r)
$ekil 3.9
52
I
(.1
0
I
I
3.3.3. Sonlu rvtometu sintczi
Sonlu avtomatln sintez edilmasi dedikda o, tasvir iisu armdan biri vasitasile malum olduqda onun prinsipial sxerninin qurulmasr nazerda tutulur. Agar sintez olunacaq avtornat s6zle ifade
olunmurydursa, onda sintez etsna marheleleri agaErdakr lcimidir:
- awomatm giri$, vaziyyat ve grxrg dayigonlarinin toyini;
- kegidlar va grxrglar cadvallarinin va qrafinm qurulmasr;
- keqidlar va glxrqlar cadvellerine osasan do$uluq cedvolinin qurulmasr;
- doSuluq cadveline asa*en kegidler wo grxrglar funksiyalannm (analitik tewir) almmasr;
- analitik tasvira esasan Jninsipial sxernin qumlmasl.
Aydmdu ki, avtomat diger iisullardan biri ila rasvir olunrsa
sadalanan merhelelarden lazrm olmayanlan yerine yetirilmir.
Misal Nflmrme kimi miixtalif tesvir isullan ila verilmiq saySacrn sintezine baxaq. Misalm &a?lde arhq bezi merheleler yirine yetirilmi$ir. Burada kegidler ve grxrglar cadvallerine asasan
do!ruluq ced\ralinin qurulmasr \ro Eonrakt merhalalera baxaq.
hEruluS cedvalinin qurulmasr. Sonlu Bwomatm do$uluq
cadvali do kombinasiya sxerninin dofruluq cadveli kimi "Girig;
ve "guq" deyiganlerinden ibarotdir. "Girip" deyiEenlerine
avtomatrn uru: grri$leri va veziyyet dayigmesinin x(n-l) qiyrnti,
"QxA dayrgenlerina" ise avtomatrn gtxl$l ve vaziyyet
deyiganinin x(n) qiymati aid edilir (cadvel 3.1 I ).
Analitik tesvirin almmasl. Brmun irgfin mantiqi ifadelarin
almma vil sadelegdirilmasi iisullanndan biri istifade edilir. Biz
birbaSa fisuldan istifada edak.
X(n) = u, u rX1, -1) + u, u rx(n - l)
y
Y = uru=zx(n - l) + ururx(n -l) = u, x(n -l)
Pinsipial sxemin qurulmasl. Bunrm iigiln gekil 3.5da verilmiq elementlardon istifade edak Yaddnl elemetrri kimi KlssIlpl
elementi istifade edilir. Prinsipial sxemi qurduqda nazara almaq
lazrndr ki, yadda+ elementinin gurpr aks alaqa kimi avtomatm
giriqina qaytanlr. Say[acm prinsipial sxemi Sokil 3.l0da veril-
mi$ir.
53
Cadval
SA-nln do[ruluq cadveli
Girigler
Qxrqlar
x(n)
v
tll
u2
x(n- I )
0
0
0
0
0
0
I
I
0
0
I
I
0
0
0
I
0
0
0
I
I
I
I
I
0
I
I
I
$akil 3.10
54
I
0
0
0
0
0
0
0
0
I
0
I
3. I
I
Fasil 4. Tesadfifi prosesler nazariyyasi
4.1. Ehtimal naze riy.vesinin esaslan
4.1.1. Hadisa, ehtimal, ehtimahn tayini fisullan
Farz edok ki. zarin her bir fiziiniin dfrgma tezliyini miiayyenlagdirmok [giin o, N dafa diiz va hamar sath tzarinde atlh' Bu
amaliy-vat tecr[rba adlantr.
Zar at arkan her defa omrn alh iizfrndan biri dtgiir ki, bu
fakt hadiso adlanrr. Belaliklo. zer afina tecrfibasindo mfimkfin
olan hadisalarin sayr onun iidorinin sayrna - alhya beraberdir'
iki hadisa eyni amanda baq vere bilarse bele hadiseler
uyugan, aks halda uyugmayan hadiselar adlamr. Misal: Iki zer
airlarkan istenilan iki [ziin (l:1. 3:4 ve s.) dfigmesi uyugan. bir
zar ahlarkan isa iki fiziin diigmasi uyu$mayan hadisadir.
Tacrfiba zamant bu va ya diger hadise az va ya gox takarlana bilar. Hadisenin takrarlanmastru ve ya ba; verme tezliyini
ifada edan komiyyet hadisanin ehtfuEh adlanr.
Hadisenin chtimah iki isulla - klassik va statistik fisullarla
tayin edilir.
Klassik iisulla
edilir. Runun iiqfrn
A
hadisasinin ehtimah nazari olaraq teytn
P{A)=9n
ifadasindan istifada edilir. m - A hadisasini yaratma hallanntn
sayr, n - ise iimumi hallarrn saYdu.
Misal: I . Bir zar ahlarken har hanst bir iiziin dtqmesini yaradan halur sayt m=1, iimumi hallarrr sayr ise ise n=6-dr' Yani
zerin har bir iztnin dii5ma ehtimah P (A)=176 - o berabardir'
2. Qutuda 40 eded a[, 60 edad qara kfirecik vardrr-. Qutudan a[
kirociyin qrxma ehtimah P=40/100=0,4 - a berabardir'
Statistik iisulla A hadisesinin ehtimah faktik apanlan recrfibolarin neticasine gdra
P(A)=*
takarifadasi ila teyin edilir. M - tecriiba zamant A hadisesinin
55
lanma sayr, N - tacrfibalarin sayrdr. ..
Misal. 100 defe zer atrlarkan (N=Ifi)) 3 iiziiniin takrarlanma
olmugw. Hamin iizfln disme ehtimah
?1.
P(3)=177196-0.27 - ya berabardir.
Aderon ehtimahn statistik vo klassik qiynatlari bir - birinden
farqlenir Alimlar stbut etmiglar ki, tecriibalerin sayt goxaldrqca
ehtimahn statisik qiymati, onun klassik qiymetine yaxrniagr.
Baxrlan misallardan gdrfiniir ki. har iransr hadi*min ehtimah
(ve,ya sadeca olaraq ehtimal) 0 + I haddinde deyigir.
Buradan
a9afirdakr neticeleri qrxarmaq olar:
a) Ehtimah P=0 olan hadisa qeyri_mrimkiin hadise
adlanu;
b) Ehtimah P=l olan hadise zaruri hadisa adlanrr;
y) Bir qrupa daxil olan hadisalerin ehtimallannrn cami
vahide berabardir. (Zerin alfi fiziinfrn .t ti.rf
mrrn
q) Hadisenin aksinin ehtimah ( p) vahidla
hadisenin ehti_
mallannrn (P) f,erqine baraberdir.
yy
\Y=2ll
.
."ril;
P.=l-P
(Qara kDreciyin qutudan grxma
ehtimalr
p =l_0,4=0,6).
4.1.2. Ehtimallann cami va hasili
Uyugan v.a uyu$mayan hadiselorin ehtimallannrn
hesablanmasr zafirafl ehtimallann ceminden istifado
edilir.
.Iki_uyugmayan hadisaden istenilen birinin ba$ verma ehti_
mah onlann ehfimallarrnrn comina berabardir:
P(A+B;=P161aP1g)
Misal. Qy$da 40 a!. 35 qrrmra va 25 qara kfirecik
varsa, a[
_ya qrmzr ktireciklerden birinin
-ve
crxma ehiimahm teyin
P(aA)=40l100-0.41 p(qrr)=35/l 00=0,35;
P(qara)=2511(n=0,25
"a"t
P(aE+qrrmrzr)=0.4+6. 35-6,75
lki
uyugan hadisanin ehtimak onlann ehtimallannrn
cami ile
hasillorinin forqina baraberdir.
P(
A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
Misal. Hadefi vurma ehtimallan 0,9 va 0,8-e barabar olan
ovqular eyni zamanda ov qu$una afa$ agarm ov qugunm vurulma
ehtimahnr tayin etmali.
P(e1=9.9'
P(A+B)=0.9+0
tiq
P(B1=9.3'
.7 -O.9.0.'1
=1.6-O.63=O.97
uyugan A. B. C hadisalerinin baq verme ehtimah
P(A,B,C)=P(41+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)
-
-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
ifadesi ile hesablanr.
Hadisalar asrh ve qeyri-asrh hadisalera b6lfiniir va onlann
ehtimallarrnm hesablanmasrnda ehtimaltn hasilinden istifada
edilir.
Oger bir hadisanin bag vermasi digar hadisonin ehtimahna
tesir etmirsa bele hadisaler qeyri-aslh hadisalar'adlanr. Mosolan. iki rrrin ahlmasr zamam rerlarin bu ve ya digar frzlarinin
diigmasi qcyri-asill hadisadir. Q0nki har bir zar digarindan asrft
deyil
iki qcyri-asrh hadisanin eyni zamanda baq verme ehtimah
onlann ehtimallannm hasilina berabardir.
P(AB)=P(A)P(B)
Misal. Altr frzlarinin statistik ehtimah uyfun olaraq P(A)=0.1s
va P(B)=Q, | $ olan zerlerda alh-qo$a dt$ma ehtimah
P(AB)=0. 18x0. I 5=0,027-ye beraberdir.
iki asrh hadisenin ba$ verma ehtimah
P(AB1=P141P1s7^'
ifadasi ila teyin edilir. Burada P(A) as r olmayan A hadisasinin
ehtimah, P(B/A) isa A hadisesi bag verdikdan sonra B hadisosi
nin ehtimahdrr.
Misal. Qutuda 4 a[ va 6 qara kiiracik vardrr. Geri qaytar-
mamaq Sarti ile qundan ardrcrl olaraq iki kuracik gdtflr0ldiikda
birincinin aE; ikincinin qara olma ehtimaluu teyin etmali.
Birinci-kflraciyin a! olma ehtimah P(aD=4716=g'+o barabardir. Birirrci k[recik cxanldrq.len sonra ikinci kfueciyin qara
olma ehtimalr P(qls'\=69=9,67-ya berabordir' Bu hadisanin
birge ehtimntr isa P(agqara)=p(aE)P(qara/aE)=0,4x0,67=0,268-a
beraberdir.
4.2. Tacrd[E kamlyyotin paylrrnmesl
4.2.1. Tasedifi kemiyyat va enun peyhnmasr
Tacr[ba zarnam melum qiyrratlar coxlufundan her bir
tacrfibeda hansr qiymeti alacalr ewelcadan melum olmayan
kamiyyata bsadflfi krmiyyat deyilfu.
Misrl. Zar atdarkan onun melum 1,2,3,4,5,6 flderindm
hansrntn d[gacayi ewalcadan bilinmir va har dafe zar ahlarkan
onun hansr fiz-uniin diiqmesi esadiifidir.
Tasadiifi katriyyetler diskret ve fasilesiz olurlm. Sonlu ve ya
sonsuz intrrvalda yalmz miiayyen addrrrlarla g6tiirfllmiiE qiymetlari alan tasad[fi kamiyyet diskret, ixtiyari qiynret alan tdsadiifi
kamiyyet ise fasilasizdir.
Mfud. 400 nefar talebesi olan fakiiltanin her giin dersa
gelen blebelerinin myr dishet tasadflfi kemiyyatdir, cflnki bu
tasatltfi kamiyyat {0,1,2,...,4m} sonlu tam adedler coxlupundalt
yalmz bir tasadiifi qiymet ala biler. Yani (0;'ffi) intervah vahide
beraber addrmlarla dislcetle$irilmi$ir.
Otaqda ternperahrun qiymeti isa l5oCdan tt{PCdak dayigdikda hamin imervahn istanilen ndqtasinin qiymatini ala bilir ve
odur ki, bu kemiyyet fasilasiz tesadufi kemiyyatdir.
Tesadfifi kemiyyetlar sdafon latm elifbasmrn sonundakr
b6yfik herflerle iSare edilir: X,Y,Z ve s. Tosadiifi kemiyyatlarin
mfimkiin qiymatlari isa hemin harflerin kicikleri ila igaro edilfu -
x,y, z vas.
Tesadtfi kemiyyetin mifurk-un qiymatlerini sadalamaq onun
haqqmda am malumat vermir. Tasadiifr kemiyyat haqqmda daha
dollun melumat almaq flctm o m miimkiin qiymatlarinin ba958
-kamiyyatinin
verma ehtirrmh malum olmahdr. X tasBd0fi
olaraq
X r.x:,....xn mtmkln qiymatlerinin ehtimallannr uy[m
PG,)=p,, P(r,)=p,
*- (*")=p"
ipara edek. xr,xr,...,xn qiymotlari uyu$mayan hadisaler olub tam
qrup talkil etdiyi iiciin onlarm ehtirnallannm cami vahida
baraberdir:
=t
IP,
i=l
Terndiili kamiyyeti daha dotfiun ifado edan onrm paylanma
(F(x)) ve paylanma stxlt[r ((x)) fimksiyalandrr' Paylanma sxh$
hrok.iy^t X bsadflfi kamiyyetinin dx elementar intervalda
qiymat alma ehlimalrnrn flx)dx sahasina (gakil 4.1) beraber
oldupunu ifade edir.
$ekil 4.1
Paylanma funksiyasr
F(x) paylarma srxhft
funksiyasnto
inl eqraltoa horabardir:
rt
F(x)= If(x)dx
\|
Paylanma funksiyasrmn handasi towiri $akil 4'2doki kimidir:
F(x')=P'(x <x')
59
yoni x tasadiifi kemiyyatinin xrden kicik qiymet alma ehtimah
pFya borabardir. Onda x tasadifi kamiyyetinin xrdan b6)dk
qiynot alma ehtimah I -prye berabar olacaqdrr.
gekil 4. 2
Palanma funksiyasrnrn xassalari aga[rdakrlardrr:
I . Paylanma funksiyasr (0.1
) intervahnda dayipir
0S(x)<l
2. Paylanma funksiyasr azahnayan firnksiyadrr. vani x:)xrdirsa,
F(x2)>F(xr)
3.
Manfi sonsuzluqda paylanma funksiyasr srfira, miisbat
sonsuzluqda ise vahida berabardir:
F(co)-O i F(o)=1
Paylanma srxhlr funksiyast vo ya diferensial paylanma
funksiyasr F(x) paylanma funksiyasrnrn diferensiahna beraberdir.
flx)=dF(Y)/dx
onun xasseleri aqalrdakrlardr:
I . Paylanma srxhfr funksiyasr miisbat kemiyyatdir.
flx)X)
60
_ , 2. Paylanma srxhlr
do h'natxrrdir:
Jrlx;ax
funksiyasrmn sonzuzluqda inteqrah vahi_
=t
4.2.2.'l'asadiili komiyyetin adadi rerakteristikalan
l'osadiili komiyyetin paylanmasl onu tam xarakterim ctsa da
hlrzl *ar"L, * mlrsolalorin hollindo adtxli komiyvatli;rdnn isl jfa_
do rdilmosi daha miinasiMir. llelo komiyyotlor.r iesadfifi kemiyyolin rxlodi xarakletistikalarr deyilir vo bunlar agaflrdakrlardrr:
liyazi giizlomo, dispcrsiya, mtxla. mr.diana vo mUxttriitmomertllrr.
Riyazi gfu[ome iasadiifi kemiyyatin tasadifi qiymotlorinin
sopolanmo morkozini bildirir. fuyazi giiztomo U(i; lto igar
etlilir vo diskrer rosadiili kemryyetlar iiciin
v1x;- !!-r -I-z!z ' "'' '"0, pr +pr +...+pn
t*
=.$*
L",.'.
IO,
i-r
kimi tayin edilir.
Mohdud ekspcriment naticolorina grire .diskret tesadiifi
kcyt-ryyotin riyaz gozlomasr
rurt")=
'
f i *'
n;
itadosi ilo lofn olunur.
Fasilasiz tesadiifi kemiwet igiin ise
rvrlxy=
jxrlx;ax
#ilo.i,
ifadosil<,r reyio edilir. Og.r.
tosadiifi komiyyat (a,b)
rntervahnda doyigirxr, onun riyazi gtizlomosi
M(x)
--
Ixf(x)dx
6l
kirni reyin edilir.
Riyazi
96zlomenin xasselori:
'SaUiiin
riyazi gdzltlmesi hamin sabita berabardir, M(c)=g'
t.
2. Tesadiifi kamiyyotin sabit vunr[u riyazi gdzlama i5arasi
qabaBrna
9 r:
t
3. Tasadiifi
t(cx): cM(x);
kamiyyotlarin caminin riyazi gdzlamosi onlann
riyazi 96zlemalerinin cemino barabardir:
M(x, +xr) = M(x,)+ M(x')
;
vr1ix,;=irra1*,;
i==l
r=l
4. Qeyri-asrh tasadflfi kemiyyetlerin hasillarinn riyazi gdzlemasi oniann riyazi gdzlemilarinin hasilina berabardir:
M(x,'x' ) = l1'l(1, )'M(xt)
[n I n
Mlll*, l=flM(x;)
I i=r I i=l
5. Tasadiifi kemiyyatin riyazi g6zlamosindan mcyl ctmasinin
riyazi g6zlemasi stfira baraberdir:
M[x-M(x)]=a
Tesadiifi kemiyyatin en tbyiik ehtimalna malik olan qiymatine onun modasr deyilir va Mo ila igare olunur.
P(Mo)=max(P(xr). P(x:).. . .. (P(x,))
Tesadiifi kemiyyetin bir va ya bir nega modasr ola bilar.
Tasadtfi komilvetin medianast M. onun ele bir qiymetidir
ki, tasadrifi kamiyyetin hamin qiymetden kigik ve bdyiik qiymat
Iar alma ehtimah baraberdir:
P(x< tv{")=P(P MJ=0.5
Dispersiya tasadiifi kemiyyetin 6z riyazi gdzlomosi atrafinda
neca sapelanmasini (ona yaxm - srx ve ya ondan uzaq - seyrek)
xaraktcriza edir.
6?.
:
Dispersiya
o]
va ya D[x] kimi igara edilir. Umumi gokilda
oi=M[x-M(x)]2
ifade olunur.
Diskrct trl Mdiifi kamiyyatin dispersiya-st
oi
=Itx, -M(x)l'pi
Fasilosiz tasadfifi kemiyyatin dispersiyasr ise
"l = [*-t"t1*;]'r(*)o*
ifadesi ila tayin edilir.
Praktik hesabatlarda mahdud ekspiment naticalorina asasan
diskrct tesadiifi kemiyyetin dispersiyasr
it*,-M(*)l'
o3
=ts
n-l
ifadasi ile hesablantr.
Dispersiyanrn vahidi kvadratik olub, ondan istifada etmak
bezan qcyri-mfinasib oldufu iigtn onun kvadrat k6ktina baraber
olan va orta kvadratik meyletna adlanan kemiyyatdon istifada
cdilir:
". =Ga
Dispersiyanm xassolari:
I . Sabitin dispersiYasr stfirdrr.
o'(c)=
o
2. Sabit vuru[u onun kvadratr ila dispersiya igaresi qarqtsrna
grxarmaq olar.
(cx)= s262
3. Asrh olmayan iki tasadflfr komiyyetin ceminin va ya
ferqinin diqrrsiyasr onlartn disrpersiyalanntn camino berabardir
o2
63
"2[*ty]=o]
+ol
4. Asrh olmayan iki tasadiifi kamiyyotin hasilinin dispersiasr
o'1xyi = olol +[M(x)],ol +[M(y)],ol
ifadasi ila tayin edilir.
.. -5. asadiifi kamiyyatin dispersiyasr onun kvadratrn n iyazi
giizlemesi
ile, riyazi gdzlemesinin kvadratrmn farqina beraberdir
o: =M(x')-[M(x)]'
.-lesadgfi kemiyyotin q tortibli baplan[rc momenti onun q_cii
tortibinin riyazi gdzlemesine deyilir:
D' =M[xo]
Dishet tasadiifi kemiyyet iigifur q tertibli baqlanlrc momerti
n
to
=ItlP,
i=l
fasilssiz tesadiifi kamiyyat iigiin isa
uo
= Jxqf(x)dx
ifadelari ilo tayin edilir.
q=l olduqda bu kamiyyet riyazi g6zlemani vfiir:
uo=,
=M(x)
_ ..Jesadifi kemiyyatin q tortibli markazi momenri onun q_cii
tartib meyletrnesinin riyazi g6zlamasine deyilir
v. =M{[x-M(x)]q]
Diskret tasadfifi kemiyyet iicfln q-tortibti merkozi momenti
,o
=l[*-u{*)]oo,
i=l
fasilesiz kamiyyot iigtn isa
,, = f*-tr,t{*)lqf(x)dx.
64
ifadaleri ila teyin edilir.
q=2 olduqda bu komiy-vat dispersiyasrnr verir:
vr=2 = Ol
Tasadiifi kamiyyetin riyazi gdzlamedan olan meyletmasina
markezlagdirilmig tasadtfi kemiyyet deyilir:
0
x=x_M(x)
'
0
M(x)=O
oi =ol
Merkartegiritmig tasadtfi kamiyyatin orta kva&atik meyletmoya nisbetine normallagdmlmt$ va ya vezinlogdirilmig
tasadiifi kemiyyat deyilir.
0
'I'= *
('\
M(T)=0
('? =1
4.2.3. Paylanme qenunlan
.
Tasadufi kemiy-vatin paylanma srxhfir funksiyastntn formasrna g6ra mfixtelif paylanma qanunlan (paylanmalar) vardr:
berabor. normal. eksponensial ve s.
4.2.3.1. Berebor peylenma
.
[a.b] intervahnda paylanma srxll[r sabit olan
tasadfifi
(vo ya
paylanmaya
malikdir
baraber
intervalda
kemiyyot hamin
baraber paylanma qammrma tabedir)
f(x)
[0, agar x<a
=lc. egar a<x(b
[0, egar x>b
Burada c=const.
65
Baraber paylanmanrr PaYlanma
sxh$r ve paylanma
funksiYalan
gokil 4.3-de verilmigdir.
c sabitini ve F(x) funksiYalannt
teyin edak.
i* =*ll=<o-"r =,
irr,.r*=
olduSu
a
F
(*)
I
iictn
I
--b-a
ahrrq.
rb
nlxy =
Jrlxpx
=
x Ix
= b-ala =
i*0.
=
$okil 4.3
x-a
b-a
Riyazi f<izlama
b
M(x)= Jxf(x)dx=
za
b
I
x2 ,b a+b
Jlio_r*=X;;1" = r
.
dispersiya
o'
o
= J[*
-
or. b+a., I . (b-a)'
d* =
M(x)]'lf(x)dx =
Jr*
-7,'
b
_,
=-
kimi toyin olunur.
4.2.3.2. Normal PeYlanma
Qeyd edak ki, normal paylanma adr tamamilo $ortidir va hec
bir riyazi ve mentiqi asasr yoxdur. ilk defa 1733-cii ilde Muaw
tarafindan keqf edilmigdir. Bozen bu paylanma Miiawdan asrlt
olmayaraq 6zleri tapdrqlan iigiin Qaus-Laplas qanunu da adlantr.
66
Normal paylanmamn PaYlanma srxhlt luoksiyasr (9ek.4.4 a)
()i a)l
I
f(x)=--!e
zo2
oJ2n
,
paylanma fimksiyasr ise (94k.4.4b)
a)
F(x)
= Jf(x)dx
=
(x a)-
_ l_ fe ,", dx
oJ2n
J-
ifadelari ila yaztlr.
isbatsrz qeyd edak ki, normal
paylanmanrn riyazi gozlemesi
M(x)=a vo dispersiYasr o'2=o2-
b)
Mtxl
r.
$€kil 4.4
Normal paylanmanrn xassoleri:
l. Normal paylanmanrn paylanma srxh$ funksiyasr bttiin 0x
oxu boyunca mdvcuddur, yeni x-in har bir qiymatina funksiyanm
miiayyan bir qiymeti uy[un galir;
2. x-in bytyn qiymatlerinda (hem misbet, ham de menfi)
(x)-in qiymeti miisbetdir;
3. x-in qiymati artdrqca paylanma srxhlr funksiyasmm
qiymati srfira yaxrnlagr
dr
lirn
x
+l@
f(x)=a
4. Paylanma srxhfr firnksiyast
qiymat alrr
{a) =
"Ji
67
x=a n6qtasindo maksimum
srxh[r funksiyasrmn ayrisi a ndqtesindan keqan
xatta nairen simmefokdir. Bu sebsbdan bela tosadiifi kemiyyatin riyazi gdzlemesi, moda va mediam bir-birina berabordir
5. Paylanma
M(x)=lvt"=M"=a
srxft[r fimksiyasrmn eyrisinin koordinatlart
(a-o;llal2ne) va (a+o; tla,t2nQ olan iki eyilme n6qtesi
6. Paylanma
vardrr.
7. Paylanma srxh[r ftnksiyasrnm eyrisinin fornuasl a kemiyyatinin qiyrnetinden asrh olmayrb, o kamiyyatinin qiymetindan
komiyyetinin qiymati na qeder kigik olarsa'
fimksiyasr o qedar dik olar (Eakil a.0.
asilrdr.
o
(x)
$akit 4.5
Normal paylanma digor paylaomala ngalq deha- tez-tez rasl
mlir. Detalhnn emah aman onlarm dlgiilarinin da yi$mesi'
i*.tb.l"t r"t**r g6tiiriilmtg iilg0ler ve s'
4.2.3.3- EkrPoncf,iirl
Ptylrrmr
Tasadiifi kemiyyetin paylmma srxhlr funksiyast
rt.)
[]""-",
={o,
x20
x<o
paylanma
(burada x>O sabit odaddir) kimi yaalarsa, onda bela
cksFxrnensial paylanma adlantr (gekil 4.6 a). Paylanma funksiyast
t -' ^. , x>0
rr*l =i iir.r.= ir'-*a*=
x <0
[0,
kimi yazrlr (qokil 4.6 b).
Riyazi g6zlomasi
1
M(x)= Jxf(x)dx = J>11's -r*dx = ^'
ai.p"rnriyJ lru
ol = M(x: )-[M,-,f
=
#-# +
=
kimi toyin edilir.
Beto paylanma miixtolif quruluglu
magrnlann iElomo middetlorinin inkarsrz
iglomo vaxtlanm tiyrenarkon rast gelir.
$akil 4.6
4.2.4. Tasadiili kamiy.vatler arasrnda aleqa
Tabietdeki miixtalif hadisaler arasmda miiayyan asrhhqlar
r.a alaqaler vardlr. Bozi hadisalar arasmda elaqe funksionaldtr.
yani x kemiyyetinin her bir qiymatina birmenah y kamiyyatinin
bir qiymati uyPun galir.
Bir gox hadisalor ise goxlu sayda amillarin qarqlhqh tasirlari
5araitinde bag verir. Bu amillarin har birinin tosiri aynltqda ciizi
olsa da onlarrn sayl gox oldulundan hadisaye 6z tasirlorini !6sterirlar. Bu halda hemin amillerle hadisa arasrndakr alaqe statistik
alaqa adlanr. Hor hanst bir x amili ile y hadisasi arasrnda stitistik
alaqa zaif va griclfl ola biler. Na vaxt. yani elaqonin hansr
hoddinda y tasadtfi kemiyyetinin x-dan asrhhlrnt qabul eunek
olar. ya yox.
69
Tesadiifi komiyyatler arasmda alaqanin formasr miixte lif
(xatti. kvadratik. eksponensial) ola bilar. Olaqo formalarr reqressiya funksiyalan ila xarakteriza olunur.
Y tesadiifi kami-v_vatinin garti riyazi gtizlemasinin x tasadiifi
kemiyyatinden
M(Ylot=x)=q{x)
Y
tasadiifi dayiganinin X tasadiifi dayiganina nezaren
deyilir.
Reqressiya funksiyasrnrn k<imayi ila bir tasadiifi kemiyyatin
qiymati malum olduqda digarinin qiymatini proqnozlagdrmaq
olur.
Reqressiya funksiyasrrun qrafik tasviri reqrcssiya ayrisi, analitik ifadasi ise reqressiya tenlil adlamr.
Dayigenlar arasrndakr olaqenin reqressiya vo konelyasiya
tehlili iisullarr ila dyranmek olar va onlann her birinin tiz
maqsadi vardr.
Korrelyasiya fohlilinin asas maqsedi korrelyasiya omsahnrn
ndqtavi va interval qiymetlarinin k6mayi ila tasadiifi kamiyyatlar arasrndakr elaqeni agkar etmak. korrelyasiya amsallannrn
qiymatini ve ahamiyyatlik daracosini teyin etmakdir. Korrelyasiya tahlili iisulu ham da reqressiya funksivasrnl tavin etmoya
imkan verir. Bu fisulun asas telebleri: l) deyigenler tasadiifi
olmah; 2) onlar birga normal paylanmaya malik olmahdrr.
X ve Y tasadiifi kemiyyatlarinin alaqasini miiayyenla$iren
kemiyyat korrelyasiya amsalrdlr ve o. X vo Y komiy-vatlari
arasrnda kovariyasiya kimi fayin edilir:
asrhhprna
reqressi_va ftrnksiyasr
,=r{x_vtu y:l(v)}
lo'rorJ
Onun edadi qiymeti iso mahdud tecr[bi kamiyyetlaro
osason
r
l(x,
-M(x))(y, -M(y))
,=,
--
,o,, or
70
;
ifadasi ila teyin edilir.
"-x i io.udfffi dayiqanlari
""
arasrnda reqressiya
fenliklen
urt*)1,
M(y/x) = M(Y)+.!t*6\
M(x /Y) = Y11;1'!tv
oy
- rutvll
kimi ifada olunur.
Korrelyasiya emsahmn xasseleri:
ij forr"tvusiya amsah (-l,l) intervalmda qiymatlar alu'
yani -l<r< I ;
' 2) Konelyasiya amsah hesabat baglan['rcrrdan ve kemiyvatin 6lc vahidinden asrh dcYil:
' 3) i=0 olmasr tesadflfi kamiyyetlar tTTd" xatti asrhh6n
olmadrlrnr bildirir. Qeyri-xatti asrhhqlar ola bilar' .
olmasr i-va Y tasad[fi kemiyyetlari arasmda diiz
xatti irnksional asrhhq oldufunu- r=-l ise tars funksional asrhltq
oldugunu bildirir.
,t;=l
4.3. Tasedfi
fi funksiYehr
4.3.1. Tasadifi funksiYa anlaYtgr
ihdiyo qedar biz her bir tecr0be zamam yalmz bir adadi
oir-"i ut*' kemiyyotleri - tasadfifi kemiyyatleri 6yranirdik'
to.mU"ni" naticasini tasadflfi kemiyyatin qiymeti kimi
baElanfrcrndan naticanin
tom.UrAft. Bir gox hadiselor tocriibo
keqir' Hemin. prosesin
proses
il*^,nu qodai miieyyan bir
6z[ne mrixtilif amillar tasir edarak har defa onlan bu va ya
Aic.. istiqametu y6neldir ki, bunun neticgsin$a -tasadifi kamryyat mfixtelif qiymetlar alrr. Tocriibenin baqlan$crndan sonuna
verir va
[ua.i A.*, etrnasi mflayyen rayektoriyalar. frzo ba$ mehz
t"i uit tt y"fr"riya bir funksiyadrr. owalcedan .prosesin
ilni
rayefttoriyaii.aa davam edacayi melum deyil'
ki'
f,Ai.utu baxaq: Atrcr bir n6qtadan hadefe gfllle atrr Tebii
trayektomfixralif
har dafa mfrxrelii sebeblardan giillaler hadofo
--
hansr
7l
riyalarls gahb, hedafm miixtalif yerlerine deyacakdir. Ogar gullelarin hedeb daydiyi yerlarin adadi qiymotlari (irde) tasadfifi
kemiyyatin qiymatle,ridirsa, gflllelarin ugui trayektoriyalan
tas8d0fi flrnksiyanm realizasiyalandr, yani tosadfifi firnksiyanrn
her bir tacriibe zamam aldrfr "qiymotdir". Takrar tecriibelerden
alman realizasiyalar goxlulrma qrup, aile ve ya ansambl deyilir.
Tasadiifi frrnksiyanrn arqumenti zaman olarsa bele tesadtfi
funksiya rosadtfi proses adlann.
Tasadifi firnksiya latm elifbasrnrn b6yiik, onun realizasiyatarmr isa kgik herllarle iqara edirlar (pkil 4.7).
x(r)
xr (t)
x2
(t)
:
E"
(t)
o
tt
$akil 4.7
Tesadiifi firnksiyanm hor bir realizasiyasr adi, qeyri-tasadiifi
frEksiyadn. Belelikle, ewalcaden hansr funksiya itz.a rcalizzsiya olunaca$r malum olmayan funksiya losadiifi fimksiya
adlanr.
Arqumentin qeyd ohmmug qiymetinda (t=tr) tasadiifi funksiyasrmn ha bir realizasiyasr konkret adadi qiymat alr. X(t)
bsadiifi firnksiyasmrn xr(t),xdt),...,x"(t) realizasiyalannm t=tr
kasiyindeki xr(tr ),xz(tr),...,x'(t') qiFnotlori x(h ) tasad[fi komiyyatinin qiymatleridir.
Belelikle, tasadiifr ftmksiya arqumentin verilmig qiymetinda
tasadiifi kamiyyee gewilir. Odur ki, gox zaman tasadtfi funksiyaya bsad[fi kemiyyatlar toplusu kimi de baruln.
4,3.2. Tasednli frrnksiyanu eses gEttaricileri
ve PaYhnme qanunlen
Tasadiifi kamiyyetlar adadi qiymatlar aldlS iiciin onlar
adedi g6starigilada - riyazi g6zlama, dispersiya ve s. xaraldtria
olunduqlan kimi, tesadfifi frrnksiyalann realizasiyalan funksiyalar
oldufiu [9iin onlar da funksional gdstoricilorla - riyazi gddeme,
dispersiya, korrelyasiya, paylanma fimksiyalan ila xarakterim
olunurlar.
X(t) tesadifi firnksiyazrmn riyazi g6deme funksiyast ela
qeyri-tasadfifi m,(t) funksiyasrdn ki, t=t mmda onrm qiymetl
m,(t') hamin zaman kesiyinda X(h) tasadiifi kamiyyatinin
M(x(tr)) riyazi g6zlemasine beraberdir, yeni
m-(h)=Mlx(tr)I
$akil 4.7de verilmig tosadfifi firnksiyamn riyazi gdzlama
funksiyasr qalur xattla g6sterilmiSir.
Analdi olaraq, X(t) tasadfifi fimksiyasmrn dispersiya
frrnksiyasr ol19 eta qeyri-tasadiifi frrnksiyadr kj, t=! anmda
onun qiymati
cl(tr)
hemin zaman kasiyindo
X(t)
bssd'iifi
kemiyyatinin dispersiyasrna beraberdir, yani
o]1tr;= o2[x(t)l
r
Funksiya
o,(t)=.r6rJQ
X(t) rdsadEfi firnksiyasrnm orta kvadratik meyletma fimksiyast
olub tasadiifi funksiyanrn realizasiyalarmo riyazi gOzlame funksiyasma nisbeEn sepelenme darocasini mfiayyen edir.
X(t) tosad[fi fimksiyasrnm korrelyasiya fimksiyasr k.(t t') ela
qeyri-tasadtifi
ftrnksiyadr ki, t=ti ve t'=g anlrr fliun onutr
bir
qiymeti k{t ,q) hamin zaman kesiklarinde X(tJ v-d X(q) trasadiifi
liamiyyatleri arasrndakr korrelyasiya omsalma k[x(tJ' x(t)],
beraberdir, yeni
k(tt, tj)=k[x(t'), x(t)]
Konelyasiya funksiyasr
t va t' zamarlarmm ferqindem
(t'-t)
aslh olsraq tossdtfi fimksiyanrn sonrakr qiymatlarinin awrrfti
qiymotlerinden asrtlrq daracesini ifade edir'
-'
funksiyasmm korelyasiya fimlcsiyasrm handesi
otaraq Sakil 4.Sdoki kimi g6starmak olar'
]iiO
r.*atfi
K-(trt)
to
$okil 4'8
Kocdinat sisterrinin absisinde t'-t farqi g6srerilmi$ir'
kimi t''t ferqinin qiymati tiiyiidflkca. funksiyantn
G6rihdfiyi
'f,iqilit. Yeni t ve t' anlan ne qedar bi1-lirind;rn uzaq
qiy*rti
Jiit* ft -li, kesiklardeki tasadiifi kemiyyatler bir-birindan bir o
rd[.
kamiyyatin paylanma vo paylaryna srxlrft
frmksivalan bir deifuanli nmt"iyAar oldufu hald' .tesadi{i
ve paylanma sxhlr f'(t) fimksiyalan
i*kri;"r"t pavtunma'r'(t)
'fimksiyalrdr va handasi olaraq onlar oyri
i[- o6vu*ii
qadar Bz as
"-- i"Jtn
iborotdir.
sethladan
----n"LfiUt,
x(t) tasadfifi fimksiyasmrn eaJfalTa tunksiyasr
ttiv"d" ki, t=t1 anmda o, yeni F (tr) hamin zaman
n
L.iy-d" x(tri
f,tt)
ele
esadnfi kamiyyatinin paylanma
tunksiyast
F(x(t'))-yo borabor olur. Yeni
F,(tr)=F(x(tr))
Analoji terifi rdsBdiifi funksiyanm paylanma srxlt$ funksiasrna da vere bilarik.
74
Paylanrna fix*siyasr biit[n zaman kesiklerindo rormal olur
roJiin n-x"lya norrnal ve ya Qauss tesadrfi firnksiyasl adlanr'
i-r"f,cit -"of"farin hallindo daha gox bele rasadtfi frrnksiyalar
rast galir.
iosadiifi proseslari xarakteria eden xisusiyyetler
stasionar-
ho ve erqodiklik xassalaridir.
-
g6zlame firnksiyasr sabit olan tasadflfi frInksif
stasionar, of.i nAOa qeyrlstasiorurdf' Stasionar tasadiifi foses
iiq[n
p.(t)=m*-const
niv#
Tosarlflfi funksiyanm g6staricilarini ham qrsa-.paralel
tacrflbalare (realiasiyalar ansambhna) g610 va ya bir uam
Ogol ha-r iki halds
.mO.tfi realtasiyaya
- gdra oyin etmak olar'
funksiyanm
yeni
tamdiili
arlran gOstaricitar eyni olarsa,
rcdizasiyadan
!O- gOstariiileri ila bir uzrm miiddetli
-*lnUfigo:.rrti"iari
frmksiyalar
bsadflfr
bele
eyni olarsg
ufr"*
erqodiklik xassalarina
lulikdir'
43.3. Tacrnbi kemiy'"atlara gdro tesrdtfi fuEksiydenn
gdstericilerhin teYlnl
Ferz edek ki, X(t) Esadiifi tunksiyasr [*tinq mfixtalif
olmayan
vaxtiarda har defe [0,Tt m[ddetindo bir-birin&n asrh
i*r.iLG. q.v"r"ti*,i. TecrEbelerden alman realizasiyalalt
-
;;-il; ;il"q'. (t),xd0,...,x"(t)
r
!.ra19 -eoat'
.
!o'T
:l!:-rvattnda
qervd edi! biitiin realizasivalann hemin
;;il,; -ir-'fi;;
qiy*tlrindon ibarat cadvel 4'l tartib edilir' Cadvalin
"liti'*jf,
**f*i-titi-"fif realizasiyalara' s[hmlan ise tr'tz'""t' kasiktesad0fi kamiyyaderi ifada edir'
lerindeki
'-'-T;Jiifi
gdzlama va dispersiya fimksiya-amaq n r..iy*ti riyazi
uetr'x(tr),x(i:),"'Xh) tasadfih kamiSretlerinin
fa.mr
riyazi gddamesi
n[*t,,1]= ]f,;<,tt,1
ifadasi ile va dispersiyast
.'t- fJ=
|f
[x,(t,)- M(x(t,)l]
ifadesi ile teyin edilir va hemin cedvalin uy[un sarino yazrlr.
Tasadflfi fimksiyanm korrelyasiya frrnksiyasmr qurmaq iigiin
t=tr sabit saxlayaraq, tr kamiyyeti tr-den t-dak deyi$irilorak
har dafe
I
(xr (t' ))
- M(x(t, )Xxi(t)) - M(x(t))
ifadasi ila x(t1) ve x(tt) tasad[fi kemiyyotleri arasmda korrelyasiya emsallan tayin dilib cedval 4.1-in sonuncu satrina
yazir.
Riyazi g6deme, dispersiya vo korrelyasiya fimksiyalan
qrafik olaraq gekil 4.9 a,b,c-deki kimi, analitik olaraq ise melum
iisullann biri ila, maselen an ki4ik kvadratlar iisulu ile berpa
edilir.
B, (t)
i
gekil 4.9
76
+
E
E
(D
\/
0)
E
d
E
X
xxxx
x
xXXX
X
xxxx
X
xxxx
E/
c
/Gt
al/c,
-^/ .,
/
\/
E
.i/
.E
XXXx
X
E
o
O
EEEE
.J
v
.t xxxx
:-:a
x
X
z
b V
i-
;-
X
x
2
b
x
x
.E
:(-
:v
11
v
J
b
v
x
b
v
X
x
2,
b
v
X
x
xx
b V
!jst
releqErrel
77
Tesrdifi kamiyyatlarin alrnmesr isulhn
Tesadiifi Esirlar altmda iglayen sistemlerin, o cirnloden
idareefne sisternlorinin tedqiqi zamanr miixtalif paylanmah
4.4.
tasadiifi kemiyyetlerin ahnmasr laam galir. Berabar ve normal
paylanmah tesadtfi kamiyyetlerin ahnmasrna baxaq.
(0, I ) intervalma boraber paylanmah rdsadiifr komiyyetin
atnmasrnrn iiq iisulu vardrr: tasadiifi edadler cedvoli, tasadflfi
adadlu generatonr, psevdorasadiifi edadler isulu.
Tesad0fi adadlor cadvalinin mahiyyeti aSaEdakl kimidir:
0,1,...,9 raqemlarindon ibarot fassdnfi qakilda diiz miry reqemlar ar&crlh[r yaradrlr. Bunrm an sade iisulu l0 edod ka[u
pargasrnm her birina 0,1,...,9 raqemlarindan biri yazltb qanqdrrlr. Onlardan biri gotiiriiliib [anindoki roqom qeyd edilir vo
hemin ka$z pargasr yerina qoyularaq yanidan onlar qanSnlr
ve bu emeliyyat kifayet qeder uzunluqda ardrcrlhq ahnana qeder
davam etdirilir.
Tasadiifi edodlerin daqiqliyinden, yani verg[lden sonrakt
raqemlerin saymdan asrh olaraq ardtcrlhSm baglan$cmdan
baglayaraq har defe oradan n adad raqamdan ibaret raqemler
qrupu g6tiirflfir. Homin raqemlerin emele ptirdiyi tam adad
10-'-e vurularaq tasadffi adedler almr.
MbrL AtaErdakr ardrcrllrqdan minda bir deqiqlikle alman
tasad0fi adedlari yazaq:
ardrcrllrq: 97 0l 5,4,268541 67 426
tasadfifi odadler: 970'10-3 = 0,970
154'10-3 = 0,154
263.19_3 =
541'10
3
9z68
= 0,541 re s.
Bu iisuldan adetan hesablama ma$ml olmadlE-r hallarda istifada edilir.
Psevdoadadlar iisulunun mahiyyeti beladir: Vahidden kigik
Yd vergtldon sonra kifayet qeder raqamleri olan ixtiyari bir odad
giit[rfflflr. Onun kesr hissasinin ixtiyari hissasinden n sayda
78
-e vurularaq birinci tesadiifi edad almr'
ikinci tesadflfi ededi almaq igin birinci tesadfrfi adad
kvadrata yfiksaldilir va hemin edadden birinci tasadiifr adadin
rr)qom gotfiriiliib
l0-'
ahnma qaydasr ile ikinci tosadifi edad altnr. N6vbati tamdfifi
adadlar do bu qayda ila altnr.
Misal:
I tasadiifi aded Rr =0,2061;
I odad - 0,14206178 ;
II adad Rf=0.a{242721: II tesadiih aded R. =0,2477;
odod Ri =0,01836025; III tesadtfi adad Rr =0,8360 va s.
Tasadifi adedler generatoru mfiasir kompyuterlerin hamtsrnda vardr. Mosalan, Beyzik alqoritmik dilinde tasadiifi adedler
generatom RND adlantr.
Vcrilmig (A, B) intervalrrda barabar paylanrnah tasadiifi
rdedlar almaq iigiin
y=(B_A)x+A
x kamiyyati (0.1) intervahnda borabar
edilir.
istifada
ifadosindan
paylanmah tasadiifi ado4 y ise (A,B) intervahnda tasadiifi
III
adaddir.
Riyazi g6zlemasi a va dispersiyasr oz (orta kvadratik meylctmasi o) olan normal paylanmah tasadflfi edadler almaq iigtn
r=rz"(;.,-:)."
ifadesinden istifade edilir. x kamiyyati (0,1) invalmda berabar
paylanmah tesadii fi edad. y ise riyazi giidamasi M(y)=6
dispersiyasr o2(y)=o2 olan normal paylanmah tasadiifi edadlardir-
,"
79
Odebiyyat..
l. Hn'rerpa.nrusre
Mrr(pocxeMEr: Cnpaaovnrre / IIoa. Fra. E.B.'tapo6aprxa -M.: Pa,qlo u csssr, 1984.
2- flpoerrnporarre qnrfurcrrrx BrTTMcTHTeJIBHED( vamun. flo4.
peA. C. A. Mafiopona. -M. : Brlclras uuxotr11972.
3. Olekberov F.H. "Kibemetikanrn asaslan', fanni iizra larrs
iglarinin yerina yetirilmasine dair rahberlik. Bala, AzNKi,
198-5.
4. Olekbarov F.H. Sonlu avlomaflann sintezi. ',Sistem nazriyyesinin riyazi asaslann fonni iiae kurs iglorinin yerina
yetirilmasi figim rehberlik. Sumqayrt, Az.Si, 1993.
5. Olekberov F.H. "sistemlor nereriyyesinin riyazi esaslan',
fanni iiza va onlann halli iigiin metodik g6stari$lor. Sumqayrt,
Qagro$u, t98.
6.Kopmynonlo.M. Mareuarrqecxtre ocuoBhr r<r6eplreruror.
M.:)uqrYrr.,1972.
7. OcHosu r<u6epnernror. Mateuaru.recxue ocEoBEr ra{6epHerum. /[Iog peA K. A. Ilynrora. yqe6. noco6ne anf, BTy3oB.
M.: BHcmac mxola, 1979.
8. Ames P.A., Annes P.P. Soft computing. V.l. Heqerrole vno_
xecrBa E crrsreMu. Bary,
AIIIA,
1996.
{x
9. Mareuanrqecxaq crartrsrma. yce6r
/ Hnasora B.M.,
Konrnena B.H., Hemynoaa JI.A. E ap. -M.: Bucruar mron4
1981.
80
M ndaricat
GiriS
............
3
4
elenretrtlari
...
....,t
anlayglar
cabrinin f
6
erynilikleri
ve
hasili
dflz
qoxluqlar.
1.3. Nizamlmmrg
-P
Qoxluqlann
......' 9
proyeksiyasr
-...............-- ll
1.4. Uyfunluq va inikas
....'..'. 16
l-5. Miinasibet ve onrm n6vlari
I .6. Qeyri-salis goxluqlar haqqmda iimumi malumat .. ' l7
..".....'..'. 2l
1.7. Metrik faza vo masafa
-...-..-.-'."""' 23
Fasil 2. Qraflar naariyyasi
2.1. 0mumi anlayrglar ve eriflan .....'.... --..--...."."" 21
... ' ". " " " ' 24
2.2. Qraflarm tawir iisullan
Z.f . GnarOa an qrsa yoltm tayini .... " " " " " " " " " " " 26
28
2.4. dnqrsaqrafiiurmaqqaYdasr
29
edilmesi
tertib
i.S. Q.un*n q"wilmesi va tanliklerinin
"""'" 32
-frsit
-- i- ri.ntiq o[tinio elernentlari
"""""""" 32
f.f tt{"nti{i amaliyyatlsr
3.1 .l . Mantiqi kamiyyatler ve mantiqi deyigaoler'
-'-'-'U.ntiqi
temiyy"tt.t tzatitta" amellar """"'' "' 32
gabrinin qmitikleri ""' 33
3.1.2.
-'i.2. Bul t toiy"t.tt ve mentiqiintezi
"""" """""' 36
f".uin*iya sxemlarinin
3.2.1.
-- ^ Kombirusiya sxenrlari va onun sintezinin
""""" ""' 36
;;htyy.,tiraqqrnda
"' 37
f .Z,Z. toiroiuq gaavetinin qunrtrrasr " " " " " " " " " "'
i.i.l. rrl.i rqr as,hlrgm atmmas( " " " " " " " " " " " " " " 39
Fasil l. Qoxluqlar nazeriyyesinin
l.l. Osas tariflar va
1.2. (oxluqlar fizarinde amellar. Qoxluqlar
l.z.i.i. si'b.d fisul ..........."
""""""' 4l39
"' """"""'." 4
Kr^;karhtrsulu
!.;.1i -Mrk-Kravn
Klasski nsdu " " " " " " "' " " " " " "'
i:t:i.i:
-'1.i.+.
""' 47
i.t"tit asiya ureminin sintezi
-'i.i.i""r,awomatlar
"""""""""' 50
l.l.i.i""f, avtomatlann fimumi quruluqu "" """"..' 50
3.3.2. Sonlu avtomatlann tawir iisullan
3.3.3. Sonlu avtomafin sintezi ...-......
Fasil 4. Tasadiifi proseslar nezeriyyasi ............
4.1. Ehtimal naariyyesinin asaslan .........
4. l. l. Iladisa, ehtimal, ehtimalm Eyini iisullan ...........
4.1 .2. Ehtimallann cami va hasili .........-..
4.2. Tasadtfi kamiyyetin paylanmasr
4.2.1. Tesadftfi kemiyyet va onun Jmylanmast
4.2.2. Tosadfifi kamiyyetin ededi xarakteristikalan . .. . . . .
4.2.3. Paylmma qanunlan
4.2.3. l. Baraber paylanma
4-2. 3.2. Normal paylanma
4.2. 3.3. Eksponensial paylanma
4.2.4. Tasadtfi kamiyyatler arasrnda elaqa
4.3. Tesadfifi fimksiyalar
4.3. l. Tesadiifi fimksiya anlayrgr .................
4.3.2. Tesad0li frmksiyanm asas g6staricilari
ve paylanma qanunlan
4.3.3. Tecriibi kemiyyetlare gdre tasadfffi fimksiyalann
gdstericilarinin tayini ...........
4.4. Tasadiifr kemiyyatlerin ahnmasr iisullan .... .. . .. ...
Odabiyyat
5l
5t
55
55
55
56
58
58
6l
65
65
66
68
69
7t
7l
73
75
78
80
Download

FHOlakberov