23.ùNiTE :IKINCIve(ISùNCIIDERECEDEN DENKLEMLER
A.iKiNciDERECEDEN BiR BiLiNMEYENLi
2)A = O ise,denklemin epi
tikireelköktivardlr.Bu
kökler,
DENKLEM LER
-
X1= X2=
a,b,c reelsaylve a:
x:0 olmak(izere,
ax2 + bx + c = O
b
2a
Denklem in bu kökl
è
ine çiftkatl!kök veya çaklplk iki
kök denir.
ifadesine x e göre dözenl
enmij ikincidereceden
birbilinm eyenlidenklem denir.
3)tî< O ise denklemin reetköktiyoktur.
Ornek:
3x2- 7x+ 2 = 0 ifadesi x e bajllikincidereceden
Ornek;
x2 - 3x + 1 = O
denklemdir.Bu denklemde,katsayllar; a = 3,b = - 7,
denklem inin çözt
bm kumesinibulaltm .
Ornek:
(Yzfim;
/i t2-5=O i
fadesit yeballliki
nciderecedenbir
x2 -
denklemdir.Bu denklemde katsayllar;
oIdujundan A = b2- 4ac= (- 3)2- 4.41).(1) dir.
a= '
ff ,b=0,
A = 5 > 0 oldulu i
çin denkleminfarkllikireelköktl
3: + 1 = 0 denkl
em inde a = 1, b = - 3,c = 1
vardlr.
Ornek:
denk
ikinci
rje
bil
inmey
il
denk
oldujlem
unaigö
re;der
k,meceden
ve nbi
de
r
lerinienl
bula
lm.lem
Xz=
-b+ G
2a
=
a+ Gs
2
Bunagöre çöztim kum esi,
çözûm:
3- /5- 3+ /5-
jur
Denklemin ikincidereceden denklem olabilmesiiçin,
k- 2 = 0 z;4 k = 2
m =O
4n - 14 = 2 = n = 4 olm alldlr.
ç=
B.DENKLEMiN çözoMo
denklem inin çöztim kùm esinibulallm .
ax2+ bx + c = O denkleminde,
A = b2- 4ac ifadesine,denklem in diskriminantldenir.
1)A > O ise,denklemin farkllikireelkökùivardlr.Bu
kökler,
-
Xj=
b- y'
J
2a
Ve
X2=
- b + fW
2
,
2
o
.
''
Ornejjy.
p
x2 - 4: + 4 = 0
çözûm:
(î= b2- 4ac= (- 4)2- 4.41).(4)= O dlr.
.
x,= xz= - b = - (- 4) = 2 dir.
2a
2(1)
Buna göre,çözùm kùmesi, (.)=(2)
2a
422
öss Matematik-1/Iki
nciveUçuncùDereceden Denklemler
ôrnek:
c.iKiNci DERECEDEN BiR DENKLEME
DöNIISTOROLEBiLEN DENKLEMLERiN
çözol
vlù
3x2- 2x+ 1=o
denklemininçözùm köm esinibulallm .
B
azl denkl
emler, ikinci dereceden bir bilinmeyenli
denklem olmadlllhalde,bazldùzenlemelerle ikinci
çözûm:
dereceden birbilinmeyenl
idenklem e dönùptùrölebilir.
3x2- 2x + 1 = O = ,t
j = :2- 4ac
1)PolinomlarlnçarplmlVeya BöliimiiSeklindeki
Denklemlerin çözimti
= A = 4 - 4.1.3
= A = - 8 < O dlr.
ït
î<0 olduiundan,denklemin reelköktiyoktur.
1)P(x).Q(x)=,O 4::
t.(P(x)= O veya Q(x)= 0)dlr.
P(X) =O t:
cl (p(x)=O ve Q(x),
y,0) dlr
2) Q(
x)
Bunagöre,ç =C5
.
@*
Ornejjy
.
x2- 2m x + m 2+ 2m - 1 = O
Ornek:
(x3 4x).(x2- ax+ 2)= o
-
denkleminin birbirineepitikireelkökùioldujunagöre,
m delerinibulallm.
çözûm:
Ikincidereceden denklemin birbirine ekitikireelkökuntin olm asliçin, ,
A= 0 olm alldlr.Buna göre,
b2- 4ac = O dlr.
denklemininçözùm kömesinibulallm.
çöziim :
(x3-4x).(x2-3x+2)=O t::
y
(x3- 4x =O veya x2- 3x+ 2 = 0) dlr.
x(x- 2)(x+ 2)=0t> (xj=0,xg= 2,xa=-2)di
r...(1)
3x+ 2 = O '
t=> (x- 2)(x- 1)= O
xt
=/ (x4= 2 veya x5= 1) dir,...(2)
(--2m)2-4.(1).(m2+2m - 1)=O
x2 -
4m2 - 4m 2- 8m + 4 = O
- 8m + 4 = O
1
m r
Uyarl:
2
(1) ve (2) dekiköklerin birlepim ktimesiverilen
denklem in çözùim kùm esi
dir.
Buna göre, (
.)= (- 2
,0,1,2J dir.
ax2+bx+c=0denkl
eminin(
Xztimtlnde,
ax2+ bx +c i
fadesikolayca çarpanlarlna ayrll
abiliyorsa,formulkull
anm adan da denklemin kökleribulunabil
ir.
Ornek:
X2 - 7x + 12
X2 - 16
=
0
denkleminin çöztim ktim esinibulallm .
çözûm.
.
(x2-7y+ 12 = O ve
veya Xz= 5
4)x2- 5x+ 6 = 0 = (x- 2)(x- 3)=O
:
=/ yj= 2 veya xa= 3 tör.
Buradan,x# 4 ve x# -4 olmalfdlr....(2)
(1)ve (2) sonuçlarlbirl
ikte dùptintilùrse denklemin
çözl
'
lm köm esi, (7= (3 ) tt
ir.
5)2x2- 5x- 3= O = (x- 3).(2x+ 1)= O
.
423
öss Matematik-1/lkinciveUçuncùDerecedenDenklemler
3)KökliiDenklemlerin çöztimti
2)YardlmclBilinmeyen Kullanllarakçöziilebilen
Denklemlerinçözûmii
Birdenklem de bitinm eyen,kök (
çinde bulunuyorsa
bu denklem e köklö denklem denir.
Denklemde köklù terim birtane ise eçitlijin birtaraflnda yalnlz blraklllr.Ejerikitane ise kökltiterimleri
n birieçitlilin bir taraflnda yalnlz blraklllr.
Verilen denklemlerdeki aynl ttirden i
fadeleriyeniden adlandlrarakdenklem basitleytiril
ir.
Ornek:
Sonra kökf)n derecesine göre kuvvetallnlr,Gerekli
iplem ler yapllarak denklem çözùltir. Bulunan kök-
(x2- 3x)2- 3x2= 4- 9x
lerden baplanglçtakidenklemisajlayanlar çöztim
kQm esinin elem anïolur.
denklem inin çözi)m kùm esinibulaltm .
örnek:
x - 2 = 2x - 1
denkleminin çöztim kùm esinibulallm.
çözfim:
x - 2 = 2x - 1
x2 -
4x + 4 = 2x- 1
x2 -
6:+ 5 = O :z;
4(y- 1)(x- 5)= O
x= 1 ve x = 5 tir.x =1denkleminisallamadljln-
y2- 3: = - 1 :c
r
:> x2 - 3x + 1 = ()
A = b2 - 4ac cc
o t
j= 9 - 4 = 5
dan denklem in gerçelkökti x = 5 tir.O hal
de,
X3 = a- fï
2
, X4=
3 +fï
Q =(5ltir.
2
O halde verilen denklem in çöztim kf
lm esi,
(7= - 1,4, 3-2fï , 3+2fï
Ornek:
olur.
.
2a+ 17 - /i-=3
denklem inin çöztim kùmesinibulallm .
Ornek.
.
Ux
-
44 x + 3 = O
çözûm.
.
denkleminin çözùm köm esinibulallm .
çözûm :
4
2a+ 17 - fa =3
4
fx -4 x +3=Odenkleminde x =tdönûktimû
yapIIIrsa fx =t2olur.
= 2a+ 17 =a+ '
G. za+ 17=9+6/â-+a
= a+8=6/7
a2 + 16a + 64 = 36a
a2 - 2Oa + 64 = 0
(3ir.
= (a - 4)(a - 16)= O olur.
a = 4 veya a = 16
dejerleribaklanglçtakidenklemisajladljlndan,
ç =(4,16) olacaktlr.
424
Download

2. ve 3. Dereceden Denklemler Konu Anlatımı Örnek Soruları 1 indir