ADİL ALTUNDAL
2015
22 EKİM 2015
BETONARME
Basit Eğilme Tesirindeki
Dikdörtgen Kesitler 1.
Prof. Yük. Müh. Adil ALTUNDAL
[email protected]
Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü
Sakarya
13.12.2015
SAYFA1
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
• Yapıya gelen dış yükler, yapı elemanları tarafından
karşılanır.
• Yapı Statiğinden bilindiği gibi yapı elemanlarının dış yükler
altında statik çözümleri sonunda bu elemanlara
Normal Kuvvet N,
Moment M,
Kesme Kuvveti V
Burulma Momenti Mb
gibi tesirler gelecektir.
Bunların tek olarak N, M, V, Mb veya
çeşitli kombinezonlarla N, M ve V, Mb vb.
yapı elemanlarına tesir etmesi hallerinin ayrı ayrı hesabı
yapılacaktır.
13.12.2015
SAYFA2
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bundan önceki bölümde düşey yapı elemanlarına (kolonlara)
sadece N normal kuvvetinin tesir etmesi hali incelenmişti.
Bu bölümde ise yatay yapı elemanları olan döşeme ve
kirişlere düşey yüklerden dolayı gelen tesirlerden sadece
Eğilme Momenti tesiri göz önüne alınarak incelemesi
yapılacaktır.
13.12.2015
SAYFA3
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Aşağıdaki şekilde basit kirişin üzerindeki yayılı yükten dolayı
Moment ve Kesme kuvvet diyagramları ile boy kesitte
tesir eden Moment (M1) ve iç kuvvetler (Fs, Fc) görülmektedir.
M1 = Fc * z
M1 = (q* l2) / 8
13.12.2015
F c = Fs
SAYFA4
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Şekil 5.3 de ise 1–1 den alınan enkesit ve iç kuvvetler
görülmektedir.
13.12.2015
SAYFA5
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
q üniform yayılı yükü altında
bulunan bir basit kirişe ait
moment ve kesme kuvveti
diyagramı Şekil 5.1 de
gösterilmiştir. Kirişin
kesitlerinde pozitif (+) eğilme
momenti mevcuttur.
Bunun sonucunda bütün
kesitlerde tarafsız eksenin üst
kısmında basınç, alt kısmında
ise çekme gerilmeleri
meydana gelir.
Bu bölümde cevabı aranacak
olan sorular şunlardır:
13.12.2015
SAYFA6
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
a) Beton çekme gerilmeleri karşılayamadığına göre
kesitte meydana gelen çekme kuvvetini karşılayacak demir
miktarı ne kadar olmalıdır? Bu demir kesite nasıl, ne kadar ve
kesitin neresine konulmalıdır?
b) Kesitin basınç bölgesinde meydana gelen basınç
gerilmelerini beton tek başına karşılayabilecek midir?
c) Yukarıda verilen iki şartı da sağlayan kesitin
boyutları ne kadar olmalıdır?
13.12.2015
SAYFA7
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Basit eğilme tesirindeki kesitlere konulması gereken donatıya
Çekme Donatısı denir.
Eğilme momentinin tesir ettiği yapı elemanlarına aynı anda
kesme kuvvetleri de tesir etmektedir.
Kesme kuvvetinden dolayı meydana gelen kayma
gerilmelerini karşılamak üzere yapı elemanına konulması
gereken donatıya kayma donatısı denilmektedir.
Kayma donatısı hesabı
(Etriyelerin hesabı)
ilerdeki konularda
Ele alınacaktır.
13.12.2015
SAYFA8
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Donatı kesite Betonarmenin Temel Kurağı gereğince yerleştirilir.
Genelde açıklıkta kesitin altına,
Mesnette kesitin üstüne çekme
Donatısı konulur.
Bazı açıklık ve yükleme
durumlarına bağlı olarak
açıklıkta da kesitin üstünde
de çekme donatısı
gerekebilir.
13.12.2015
SAYFA9
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ KESİTLER
13.12.2015
SAYFA10
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
5.1. Temel İlke ve Tanımlar:
Temel İlke:
Basit eğilme tesirindeki elemana tesir eden eğilme
momentinin hesabında, kirişin yükleri,
projeye bağlı
olarak TS 498 in verdiği karakteristik yükler ise, bulunan
moment karakteristik momenttir.
Bu momentin kesit taşıma gücü momentiyle karşılaştırılması
doğru değildir.
TS 498 de verilen karakteristik yükler TS 500 de verilen yapı
güvenliği açısından yük katsayılarıyla çarpılarak bulunan
hesap momenti veya dizayn momenti, taşıma gücü
momentiyle karşılaştırılmalıdır.
13.12.2015
SAYFA11
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Tanımlar: Boy kesitte tesir eden M1 momenti, en kesite dik
olarak tesir etmektedir. Şekil 5.4 de görüldüğü gibi kesitin üst
tarafında betonda c basınç gerilmeleri ve c kısalma
deformasyonları, kesitin alt tarafında donatıda ise çekme
gerilmeleri ve s uzama deformasyonları ve meydana
gelmektedir.
13.12.2015
SAYFA12
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bundan sonraki hesaplarda kullanılacak olan notasyonlar ve
anlamları şu şekildedir.
h: Hesabı yapılacak Kirişin toplam yüksekliğidir.
h1: Sürekli kirişin mesnet olarak oturduğu kiriş yüksekliğidir.
13.12.2015
SAYFA13
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
h: Kiriş toplam yüksekliği:
30 cm den ve döşeme kalınlığının 3 katından az olamaz.
TS 500 de “net açıklığı toplam yüksekliğinin 2,5 katından küçük
olan sürekli kirişlerin yüksek kiriş olarak tasarlanıp donatılacağı”
hükmü vardır.
Sürekli kirişlerde ln ≥ 2,5 *h
h ≤ ln / 2,5 h ≤ 0,40*ln
olmalıdır. Aksi halde yüksek kiriş olarak ele alınmalıdır.
Deprem yönetmeliğinde Sürekli kirişlerde : h ≤ 3,5*bw olmalıdır.
Çerçeve kirişlerinde h ≤ 1/4 *ln h ≤ 0,25*ln şartları getirilmiştir.
13.12.2015
SAYFA14
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
d: Faydalı yükseklik:
Çekme donatısı ağırlık merkezinden beton basınç
bölgesinin en dıştaki lifine olan mesafedir.
13.12.2015
SAYFA15
13.12.2015
SAYFA16
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
c: Beton örtü kalınlığı: Donatının ağırlık merkezinden
çekme bölgesinin en dıştaki lifi arasındaki mesafedir.
Kirişlerde ve diğer yapı elemanlarında bu mesafeye
pas payı denilmektedir.
cc: Net Beton örtü kalınlığıdır: En dış donatının dış yüzünden
ölçülen beton örtüsünün kalınlığıdır.
13.12.2015
SAYFA17
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Beton örtü tabakasının aderansın sağlanmasında çok
önemli bir etkisi vardır.
Beton örtü tabakası yeterince kalın olmadığı takdirde beton
ile donatının birlikte çalışması azalacaktır.
Ayrıca beton örtü tabakasının yeterince bırakılmadığı
durumlarda aderans azalacaktır.
Aynı zamanda bu beton örtü tabakası, donatıyı dış
etkilerden korur ve donatının paslanarak mukavemetinin
azalmasına ve zamanla kaybolmasına mani olur.
Paslanmanın ve dış etkilerin önemli olduğu durumlarda
beton örtü tabakası gerektiği kadar artırılmalıdır.
13.12.2015
SAYFA18
ADİL ALTUNDAL
13.12.2015
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
SAYFA19
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
• Kirişlerde ve diğer betonarme yapı elemanlarında çekme
donatısı altında yeterince beton örtü tabakası bulunmalıdır.
• Kalıp söküldükten sonra donatı görülmemelidir.
• Kalıplar söküldükten sonra enine veya boyuna
DONATININ GÖRÜLMESİ nin ayıbı öncelikle inşaata
çalışan ustanın, daha sonrada onu önlemeyen
MÜHENDİSİN AYIBI dır.
• Net beton örtü tabakasını sağlamak amacıyla
donatı ile kalıp arasına donatı çapına göre değişen
boyutlarda plastik PASPAYI ELEMANLARI kullanılması
tavsiye edilmektedir.
• Önemli yapılarda özel paspayı elemanları düzenlenmelidir.
13.12.2015
SAYFA20
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Tablo 5.1 Net Beton Örtü kalınlığının en az değerleri (TS 500)
Zeminle doğrudan ilişkide olan elemanlarda
≥ 50 mm
Hava koşullarına açık kolon ve kirişlerde
≥ 25 mm
Yapı içinde, dış etkilere açık olmayan kolon
ve kirişlerde
Perde duvar ve döşemelerde
≥ 20 mm
Kabuk ve katlanmış plaklarda
≥ 15 mm
13.12.2015
≥ 15 mm
SAYFA21
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
bw, Kiriş Gövde Genişliği:
Çekme donatılarının yerleştirildiği kısımdır. En az 20 cm
olmak üzere kesite konulması gereken donatının
şartnamelerde verilen aralıklarla konulabilmesine yetecek
genişlikte olmalıdır.
TS 500 Bölüm 7.3 (Sh 22) Eğilme elemanlarının boyutları ve
donatıları ile ilgili koşullar kısmında,
kirişlerde sıra içinde veya sıralar arasında donatı çubukları
arasında kalan net aralığın ( a ) ile gösterilmesi halinde;
a ≥ 20 mm
a≥Ø
a ≥ En büyük agrega boyutu* 4/3
olması istenmektedir.
13.12.2015
SAYFA22
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Aynı zamanda TS500 Bölüm 9.5.2. “(Sh 45) de Aynı
sıradaki donatı çubukları arasındaki net aralık;
a ≥ 25 mm
a≥Ø
a ≥ En büyük agrega boyutu* 4/3, olması istenmektedir
13.12.2015
SAYFA23
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
TS 500 de çekme donatısının kenetlenmesi ile ilgili bölümde
ise ( Sh 40, Bölüm: 9.1.2.) ise aynı sıradaki donatı
çubukları arasındaki net uzaklığın donatı çapının 1,5
katından küçük olduğu durumda kenetlenme boyunun 1,2
ile çarpılarak artırılacağı yer almaktadır.
Kitaptaki tablolar hazırlanırken a = 20 mm, a = Ø değerleri
esas olarak kabul edilmiştir.
Diğer durumların da TS500 hükümleri olduğu unutulmamalı
yerine göre uygun şekilde davranılmalıdır.
Çift sıra halinde demir konulması
Halinde, demirler üst üste gelmelidir.
Bu durumda demirler arasındaki mesafe
(a) Olarak alınacaktır.
13.12.2015
SAYFA24
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu kabule göre eşit çaplı 4 donatı olması halinde
şartnameye göre gerekli en küçük gövde genişliği
aşağıdaki gibi hesaplanabilir.
bw= 2e+4Ø+3a
13.12.2015
SAYFA25
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Örnek 1: Etriye çapı 6 mm olması halinde 4 tane 16 mm
donatı için iç hacımdaki bir kirişin şartnameye göre
yerleştirilebilmesi için gereken en az gövde genişliğinin
hesabı:
Donatıların çaplarının toplamı 4*1,6 = 6,4 cm
Donatılar arası mesafe 2,0 >1,6 olduğundan 3*2,0 = 6 cm
İç kirişlerde 2*e = 2*(2,0 +0,6) = 5,2 cm.
En az gövde genişliği bw = 6,4 + 6 + 5,2 = 17,6 cm
13.12.2015
SAYFA26
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Tablo 6.b de demir çap ve sayısına göre en az kiriş
gövde genişlikleri verilmiştir.
Bu tablo iç kirişler için düzenlenmiştir.
Çubuk çapının 16 mm ve çubuk sayısının 4 alınması
halinde bu tablodan gerekli en küçük gövde genişliği 17,6
cm olarak okunmaktadır.
Etriye çapının 8mm olması halinde ise 2*(0,8-0,6) = 0,4mm
ilave edilmelidir. Bu durumda gerekli en küçük gövde
genişliği 18 cm olmaktadır.
Bu tablonun dış kirişler için kullanılması halinde bulunan
sonuç değer 1 cm artırılmalıdır.
13.12.2015
SAYFA27
ADİL ALTUNDAL
13.12.2015
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
SAYFA28
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Tablo 6.a da ise mevcut kiriş genişliğine yönetmelik
şartlarına uygun olarak tek sıra halinde sığabilecek donatı
çubuğu sayısı verilmektedir.
Kiriş gövde genişliğinin 25 cm, donatı çapının 16 mm
olması halinde yönetmeliğe uygun olarak
tek sıra halinde 6 adet çubuk konulabileceği ve
bunların alanının ise (12,06 cm2) olduğu görülmektedir.
İç ve dış kirişler için iki ayrı tablo düzenlenmiştir.
Tablo 6 hazırlanırken boy demirlerin 18 mm kadar olması
halinde 6mm çapında etriye kullanıldığı, daha büyük çaplar
için ise 8 mm çapında etriyenin esas alındığı
unutulmamalıdır.
13.12.2015
SAYFA29
ADİL ALTUNDAL
13.12.2015
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
SAYFA30
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Örnek 2 : Yapı içindeki kirişin gövde genişliği 25 cm, Kirişe
konulması gereken donatı alanı 22,50 cm2
olması halinde donatı seçimi:
6Ø22 (22,81) donatının tek sıra konulabilmesi için
bw = 28,8 cm ihtiyaç vardır.
Kiriş gövde genişliği 25 cm olduğundan 6Ø22 tek sıra
halinde konulamaz
Tablo 6a da ise mevcut kiriş
genişliğine yönetmeliğe uygun
sığabilecek donatı çubuğu sayısı
verilmektedir.
25 cm genişliğe tek sıra halinde
4Ø22 (15,20) sığmaktadır.
İkinci sıraya da 2Ø22 ( 7,60 cm2 )
13.12.2015
konulacaktır.
SAYFA31
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
M: Kesite tesir eden eğilme momenti: Statik hesap sonucu
bulunan momenttir. Yapı elemanına tesir eden karakteristik
yüklerin, f yük katsayılarıyla çarpılması sonucu bulunan
dayanım yüklerine göre hesaplanan (Md) dizayn momenti ,
Hesap Momenti ile hesap yapılacaktır.
x: Tarafsız eksen: Eğilme momentinin
tesir ettiği kesitin üst kısmında basınç
gerilmeleri, alt kısmında çekme
gerilmeleri meydana gelecektir.
Gerilmelerin sıfır olduğu bölge tarafsız
eksen bölgesi olup, bu bölge ile beton
basınç bölgesinin en dıştaki lifi arasına
tarafsız eksen mesafesi denir.
13.12.2015
SAYFA32
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Tarafsız eksen mesafesi 2. Şekilde ( c ) olarak
gösterilmiştir.
13.12.2015
SAYFA33
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
As: Toplam çekme donatısı alanı: Tarafsız eksenin alt
tarafındaki betonda çekme gerilmeleri meydana gelecektir.
Betonun çekme gerilmeleri karşılamadığı kabul edildiğinden
çekme kuvvetinin tamamını As donatısı karşılamalıdır.
 : Donatı oranı veya demir yüzdesi:  =As / (bw*d)
Kesitteki toplam çekme donatısı alanının, (bw*d) çarpımına
oranıdır. bw nin tarafsız eksendeki genişlik olduğu
unutulmamalıdır.
(Kolonlarda donatının Ast, donatı oranının
olduğuna dikkat edilmelidir.)
13.12.2015
t =Ast / (Ac)
SAYFA34
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
c: Beton basınç bölgesindeki birim kısalma: Betona
uygulanan c gerilmesinden dolayı, tarafsız eksene en uzak
beton lifinde meydana gelen birim deformasyondur.
co: Betonda izin verilen maksimum
birim kısalma: Betona uygulanan
maksimum gerilme altında meydana
gelen birim deformasyondur.
cu: Betonda kırılma birim kısalması:
Betonda kırılma anında
meydana gelen birim deformasyondur.
13.12.2015
SAYFA35
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
s: Çelikte birim deformasyon:
Çeliğe uygulanan s gerilmesi
altında çelikte meydana gelen
birim deformasyondur.
(birim boy uzaması)
sy: Çelikte akma anındaki
birim deformasyon: Çelikte akma
mukavemeti (fyk) altında meydana
gelen birim deformasyondur.
13.12.2015
SAYFA36
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Fc: Beton basınç bölgesi bileşkesi:
Tarafsız eksen üzerindeki beton basınç bölgesinde meydana
gelen basınç gerilmelerinin bileşkesidir.
Fs: Donatı çekme kuvveti:
Çekme bölgesindeki donatının
tamamına uygulanan çekme
kuvvetidir.
z: Manivela kolu: Beton basınç
gerilmeleri bileşkesi ile donatı
çekme kuvveti arasındaki
mesafedir.
13.12.2015
SAYFA37
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Beton ve Çeliğin Gerilme-Deformasyon diyagramlarını şematik
olarak tekrar çizmek gerekirse, aşağıdaki diyagramlar elde
edilir.
co= 0,OO2
SY= 0,OO2
Betonda ve Çelikte en fazla kuvvet altındaki deformasyonun
birbirine eşit ve 0,002 alınacağı unutulmamalıdır
13.12.2015
SAYFA38
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
5.2. Basit Eğilme Tesirindeki Kirişlerin Davranışı:
Boyutları bw*h olan dikdörtgen kesitli bir kirişe tesir eden
Momentin, çok küçük olan bir değerden başlayarak gittikçe
artması halinde kesitin davranışı adım adım incelenecektir.
Son safhada bu kirişin kırılma durumu ele alınarak kırılmaya
sebep olan unsurlar ve kırılma şekilleri irdelenecektir.
13.12.2015
SAYFA39
Basit mesnetli tek açıklıklı dikdörtgen kesitli bir kirişin tekil
yük altında çekme çatlaklarının oluşması ve kirişin kırılması
13.12.2015
Kirişe tesir eden momentin beton ezilene kadar devem etmesi
durumda, kesitte oluşan gerilmeler ve bu gerilmeler altında oluşan
deformasyonlar aşağıdaki gibidir.
13.12.2015
SAYFA41
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
1) Kesite tesir eden M1 momentinin çok küçük olduğunu
kabul edelim.
Öyle ki, bu momentten dolayı çekme bölgesindeki
beton henüz çatlamamış olsun.
Buna göre çekme kuvvetleri çekme bölgesindeki beton
tarafından taşınacak ve donatıya ihtiyaç olmayacaktır.
Bu şartlar altında kesitin taşıyabileceği en fazla moment,
donatısız beton kesitin taşıyabileceği momenttir.
13.12.2015
SAYFA42
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
M1 < Mckır
Donatısız Betonun kesitin Taşıdığı Moment M1
ct Betonda σc çekme gerilmesindeki birim deformasyonunu,
ctu : Betonda fctk maksimum çekme gerilmesi altında
oluşan birim deformasyonunu göstermektedir.
13.12.2015
SAYFA43
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Deformasyon diyagramı incelendiğinde, betonun çekme
bölgesinde meydana gelen ct birim kısalmasının, betonun
maksimum çekme deformasyonu olan ctu değerinden
küçük olduğu görülmektedir.
Çekme bölgesindeki betonun deformasyonu, müsaade
edilen maksimum çekme birim deformasyonu olan ctu ya
eriştiğinde, kesitin taşıyabileceği moment, donatısız
betonun kırılma anında taşıyabileceği momente eşit
olacaktır. (Mckır).
Bu safhada kesitin çatlama meydana gelmeden donatısız
olarak taşıyabileceği moment nasıl hesaplanmalıdır.
13.12.2015
SAYFA44
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Kesit homojen olarak kabul edilirse Moment, gerilme ve
atalet momenti arasında aşağıdaki ifadeler yazılabilir.
M; Kesitte tesir eden momenttir.
σc; Betonda çekme bölgesinde eğilme momentinden oluşan
çekme gerilmesidir.
I; Kesitin atalet momentidir. I=b.h3/12
y; h/2 alınırsa
W Kesitin Mukavemet Momenti W= b.h2/6
σc= M / W
13.12.2015
SAYFA45
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Mckır= σctk * W
Betonu çatlatan ve kıran momenti bulmak için betonun
karakteristik eğilmede çekme dayanımı kullanılmalıdır.
Betonun eğilmedeki çekme dayanımı,
eksenel çekme dayanımının 2 katı olarak alınabilir.
σctk = 2*fctk
σctd = 2*fctd
σctk, betonun eğilmede karakteristik çekme dayanımıdır.
σctd, betonun eğilmede hesap çekme dayanımıdır.
Mckır , Kolonlardaki Nkır= 0.85fck* Ac+ fyk*Ast gibidir.
13.12.2015
SAYFA46
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Mcr= σctd * W
Mcr ; Betonun çatlamadan taşıyabileceği moment, Çatlama
taşıma gücü momentidir.
σctd; Betonun eğilmede hesap dayanımıdır.
Kolonlardaki
Nr= 0.85fcd*Ac+fyd*Ast gibidir.
Kesite tesir eden dizayn momenti, kesitin Çatlama Taşıma
Gücü momentinden daha küçük veya en fazla Çatlama
Taşıma Gücü momentine eşit ise, kesit bu momenti
çatlamadan güvenle taşıyabiliyor demektir.
Mcd ≤ Mcr
Mckar = Mcd / γf
13.12.2015
SAYFA47
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Kesite tesir eden dizayn momentin veya hesap momentinin,
Mcd momentinden küçük olduğu sürece çekme bölgesindeki
betonun çatlamadığı kabul edilecektir. Md< Mcd
Kesite tesir eden dizayn momentin Mcd < Md <Mckır olması
halinde, kesit çekmeden dolayı kırılmayacak fakat tesir eden
Md momentini de çatlama olmadan için güvenle
taşıyamayacaktır.
Kesite tesir eden dizayn momenti Md = Mc,kır ulaştığında
kesit çatlayacak kırılacaktır. Kesit Mc,kır dan daha fazla bir
momenti taşıyamayacaktır.
13.12.2015
SAYFA48
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
2) M2 ≥ Mckır
Kesite tesir eden M2 momentinin, çekme bölgesindeki betonu
çatlatan, kıran momentten büyük olması halinde, betonun
çekme bölgesinde meydana gelen birim deformasyonu ct,
çekme sınır deformasyonunu aşacaktır.
M2 ≥ Mckır
13.12.2015
SAYFA49
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
(ct > ctu) Dolayısıyla beton, çekme bölgesinde çatlayacak
ve kuvvet taşıyamayacaktır. Çekme bölgesindeki bu kuvvet
donatı tarafından taşınacaktır. Bu duruma ait en kesit,
deformasyon diyagramı, boykesit ve iç kuvvetler aşağıda
verilmiştir.
M2 ≥ Mckır
13.12.2015
SAYFA50
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu safhada donatıda meydana gelen deformasyonun çeliğin
akma deformasyonu olan sy den küçük olduğu kabul
edildiğinde,
s deformasyonuna sebep olan gerilme çeliğin akma
gerilmesinden küçük olacaktır. s < fyk
Çekme bölgesindeki As donatısının bu s gerilmesi ile
taşıyabileceği çekme kuvveti;
Fs2= As*s
13.12.2015
olarak bulunabilir.
SAYFA51
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Basınç bölgesindeki betonda meydana gelen birim
deformasyon c, karakteristik basınç gerilmeleri altında
meydana gelecek olan birim deformasyon olan co dan
küçüktür.
Dolayısıyla basınç bölgesinde meydana gelen beton basınç
gerilmeleri, karakteristik beton basınç mukavemetine henüz
erişmemiştir.
13.12.2015
SAYFA52
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Kesite M2 momentinin tesir etmesi durumunda beton ve çelik
gerilme-deformasyonlarındaki durum aşağıdaki gibidir.
M2
M2
Bu durumda kesit M2 momentinden daha fazla moment
taşıyabilir. Moment büyüdükçe beton ve çelikteki
gerilmeler ve birim deformasyonlar artabilecektir.
13.12.2015
SAYFA53
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
3) M3 > M2
Kesite o şekilde bir M3 momenti tesir ettirelim ki, bu moment
etkisi altında çekme bölgesindeki donatının birim
deformasyonu olan s, akma durumundaki deformasyon olan
(sy) değerine erişsin, fakat basınç bölgesindeki betonun birim
deformasyonu (c),betonun maksimum gerile altında
yapacağı birim deformasyondan (co) küçük olsun.
M3 ≥ M 2
13.12.2015
SAYFA54
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu durumda donatıda meydana gelen gerilme, fyk akma
gerilmesine erişecek ve donatının taşıdığı toplam yük;
Fs3=As*fyk
ile bulunacaktır.
Fs3 > Fs2 dir.
Bu durumda taşınan moment
M3= Fs3*z3
Donatı akma durumunda olduğu için gerilmesi fyk dan daha
fazla değer alamaz.
Momentin artması halinde dahi Fs3 ün değerinde bir artma
olmayacaktır. Yatay denge denklemi gereği Fc3=Fs3 dir.
Dolayısıyla beton basınç bölgesi bileşkesi olan Fc3 de de bir
artma meydana gelmeyecektir.
13.12.2015
SAYFA55
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
c< co
M4 ˃ M3
Ancak beton basınç bölgesindeki birim deformasyon c,
karakteristik basınç gerilmesi altındaki maksimum birim
deformasyondan (co), küçük olduğundan;
beton basınç bölgesi daha fazla kuvvet taşıyabilir.
Dolayısıyla kesit M3 momentinden daha fazla M4 momentini
betonun katkısı ile taşınabilir.
13.12.2015
SAYFA56
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu durumda beton ve çelikte gerilme-deformasyon
diyagramları aşağıdaki gibi olacaktır.
M3
M3
M3 momentinin biraz daha artması durumunu
inceleyelim.
13.12.2015
SAYFA57
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
4) M4 > M3
M3 momentinin biraz daha artması durumunda
• Çelik akma durumuna geldiğinden daha fazla gerilme
alamayacak ancak akma başlayacak ve uzama
deformasyonları sy den daha büyük hale gelecektir.
• M3 momenti altında Beton maksimum gerilmeye
ulaşmadığından, betondaki gerilme fck ya deformasyonda
co ya kadar artacaktır.
M3
13.12.2015
M4
M4 ≥ M3
SAYFA58
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Kesite M3 momenti tesir ettiğinde Donatı çekme kuvveti Fs3 tür.
M4 momenti tesir etmesi durumunda donatıdaki gerilme akma
gerilmesine ulaştığından artmayacaktır.
Beton dayanımı c idi. fck ya kadar artacak, fakat Fc3 bileşkesi
yatay dengeden dolayı değişmeyecektir.
M 4 ≥ M3
13.12.2015
SAYFA59
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Donatı alanı da As olarak sabit olduğundan donatının
taşıyabileceği kuvvet;
Fs3 = As*fyk olarak sabitlenmiştir.
Yatay denge denklemi gereği Fc3 = Fs3 olacağından betonun
karşılayacağı kuvvet de sabittir, değişmez, artmaz.
Fc3 ve Fs3 ün değerleri değişmeden kesit M4 momentini nasıl
taşıyacaktır.
M3 = Fs3. z3
M4 = Fs3.z4
Ancak z4 ˃ z3
olması durumunda M3 den daha fazla moment taşınabilir.
13.12.2015
SAYFA60
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Kesite M3 Momentinden biraz daha fazla moment tesir etmesi
halinde, donatıda meydana gelen deformasyon, akma
deformasyonun başlangıç değeri olan sy değerini geçecek
donatı akmaya başlayacaktır.
Donatının akmaya başlamasıyla tarafsız eksen yukarı doğru
kayacak, tarafsız eksen mesafesinde küçülme meydana
gelecektir.
(x4 < x3 )
Bu durumda manivela kolunda büyüme da meydana
gelecektir.
(z4 > z3)
13.12.2015
SAYFA61
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Manivela kolunun büyümesi ile Fs3 ve Fc3 kuvvetleri
artmadığı halde taşınan M3 momenti artacak ve bu şekilde
M4 momenti taşınabilecektir. (M4=Fs3*z4)
M3
13.12.2015
M4
M4 ≥ M 3
SAYFA62
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Tarafsız eksen yukarı doğru çıktığından beton basınç bölgesi
bir önceki duruma göre küçülmüştür.
Alan küçüldüğünden aynı bileşkeyi verebilmesi için
gerilmenin artması gerekir.
Beton basınç bölgesindeki c gerilmeleri, maksimum beton
basınç gerilmesi olan fck değerine kadar çıkacaktır.
Bu durumda betonda meydana gelen deformasyonda co
değerine ulaşacaktır.
13.12.2015
SAYFA63
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu durumda (M4 tesir etmesi halinde) beton ve çeliğin
gerilme-deformasyon
diyagramları
aşağıdaki
gibi
olacaktır.
M4
M4
M4momentinin biraz daha artması durumunu inceleyelim.
13.12.2015
SAYFA64
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
5) M5 > M4 Kesite tesir eden M4 momentini biraz daha
artırdığımız zaman ne olacaktır?
M5 ≥ M4
Bundan sonra betonun deformasyonu, co değerinden, kopma
(ezilme) deformasyonu olan cu değerine kadar artmaya devam
edecektir.
Bu anda betonda gerilme düşmesi meydana gelecektir.
13.12.2015
SAYFA65
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu durumda en büyük deformasyon cu nun karşılığında
küçük bir σc gerilmesi,
en büyük gerilme karşılığında ise küçük bir c deformasyonu
meydana gelmektedir.
M5
13.12.2015
SAYFA66
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Aynı anda donatıdaki deformasyonda pekleşme sınır
deformasyonuna doğru yaklaşacaktır.
Deformasyondaki bu artış nedeniyle manivela kolunda
büyüme meydana gelecek dolayısıyla taşınan moment M5
değerine kadar artabilecektir.
Fakat donatının gerilmesinde herhangi bir artma meydana
gelmeyecektir.
Betondaki deformasyonun cu değerine ulaşmasıyla beton
ezilecek, dağılacak ve kiriş kırılacaktır.
13.12.2015
SAYFA67
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Kırılma anında beton ve çeliğin gerilme-deformasyon
diyagramı aşağıdaki gibi olacaktır.
Betondaki deformasyon ezilme deformasyonu olan cu
değerine ulaşmıştır.
Donatıdaki deformasyonda donatı miktarına bağlı olarak
artacak en son değer olarak ise pekleşme anındaki
deformasyon kadar olabilecektir.
M5
13.12.2015
M5
SAYFA68
ADİL ALTUNDAL
13.12.2015
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
M2
M2
M3
M3
SAYFA69
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
M4
M4
M5
13.12.2015
M5
SAYFA70
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Deformasyondan
önceki hal
Deformasyondan
sonraki hal
13.12.2015
SAYFA71
ADİL ALTUNDAL
13.12.2015
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
SAYFA72
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
5.3. Kırılma Çeşitleri:
Bir önceki bölümde betonarme bir kesitin kırılması, taşıma
özelliğini kaybetmesi, betonun ezilmesi ve donatının akması
sonucu meydana geldiği görülmüştü.
Acaba donatı miktarının değişmesiyle bunlardan hangisi
daha önce meydana gelir ve kırılma üzerinde beton ve
çelikten hangisi etkili olur?
Bu bölümde bu konu araştırılacaktır.
13.12.2015
SAYFA73
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
5.3.1. Kuvvetli Donatılı Kirişlerde Kırılma:
Kesite tesir eden M eğilme momentinden dolayı meydana
gelen Fs çekme kuvvetlerini taşıyan As donatısının gereğinden
fazla olarak seçilmesi halini inceleyelim.
13.12.2015
SAYFA74
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu durumdaki kirişlere kuvvetli donatılı kiriş denilmektedir.
Bu anda (A) beton ve çeliğe ait gerilme- Şekil değiştirme
diyagramları aşağıdaki gibi olmaktadır.
Donatı fazla
Betondaki deformasyon maksimum deformasyon olan co
değerine ulaştığı halde, Donatıdaki deformasyon akma birim
deformasyonu sy den küçük kalacaktır.
13.12.2015
SAYFA75
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
As donatısının alanı fazla seçildiği için donatıda meydana
gelen gerilme akma gerilmesinden küçük olan bir (s )
gerilmesi olacaktır.
Kesitteki donatı, akma gerilmesi olan fyk değerine ulaşmadığı
için donatının tamamından henüz istifade edilmemiştir.
Donatıda meydana gelen deformasyon akma
deformasyonundan küçüktür.
As donatısının taşıdığı çekme kuvveti FsA = As* s olacaktır.
Halbuki mevcut donatı akma gerilmesi ile
Fs = As* fyk kadar çekme kuvveti taşıyabilecektir.
13.12.2015
SAYFA76
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Betonda meydana gelen (c) deformasyonu, maksimum
gerilme altındaki birim deformasyona (co) ulaşmıştır. Bu
durumda çok küçük bir moment artışında betonda meydana
gelen birim deformasyon artacak ve betonda ezilme
başlayacaktır. Kırılma önce betonda meydana gelecek, kesit
kırılacak ve taşıma özelliğini kaybedecektir.
Donatıdan tam istifade edilemeyen bir kırılma şeklidir.
istenmeyen bir kırılmadır. Kırılma önce basınç bölgesindeki
betonun ezilmesiyle meydana geldiğinden, basınç kırılması
veya gevrek kırılma denir. Kırılma ani olarak meydana
gelmektedir. İstenmeyen kırılma çeşididir.
Bu çeşit kırılmaya betonun özelliği hakimdir..
13.12.2015
SAYFA77
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
5.3.2. Dengeli Donatılı Kirişlerde Kırılma:
Bir önceki kirişteki çekme donatısını o şekilde betonda
meydana gelen birim deformasyon maksimum gerilme
altındaki birim deformasyon olan co değerine ulaştığı anda,
çekme bölgesindeki donatıda, akma birim deformasyonu olan
(sy) değerine ulaşmış olsun.
Donatı dengeli
13.12.2015
SAYFA78
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu durumdaki kirişlere dengeli donatılı kiriş denilmektedir.
Bu anda (B) beton ve çeliğe ait gerilme- Şekil değiştirme
diyagramları aşağıdaki gibi olmaktadır.
Donatı dengeli
Basınç bölgesindeki betonun ezilmesiyle, çekme bölgesindeki
donatının akmaya başlaması aynı anda birlikte olmaktadır.
13.12.2015
SAYFA79
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu kırıma şeklinde acaba hangi eleman etkilidir.
Çelik akma sınırına ulaştığı an (fyk), deformasyon akma
deformasyonuna (sy) ye ulaşmıştır.
Donatı henüz taşıma özelliğini kaybetmemiştir. Momentin,
dolayısıyla çeliğe gelen kuvvetin artmasıyla donatı sabit
gerilme altında bir miktar daha deformasyon yapabilecektir.
Daha sonra pekleşme sınırına gelecektir.
Betonda maksimum gerilme altındaki birim deformasyonu
meydana gelmiştir (co). Momentin çok az artması ile beton
basınç bölgesine tesir eden kuvvet artacak, betondaki birim
deformasyon ise hızla ezilme deformasyonuna (cu) doğru
gidecek ve betonda ezilmeler başlayacaktır.
Kesit kırılacak kiriş taşıma özelliğini kaybedecektir.
13.12.2015
SAYFA80
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Görüldüğü gibi kırılma önce basınç bölgesinde meydana
gelmekte, kırılmaya betonun özellikleri hakim olmaktadır.
Bu şekildeki kırılmalara Basınç kırılması veya Gevrek kırılma
denir.
Kuvvetli donatılı kirişlerde olduğu gibi ani kırılma meydana
gelmektedir. İstenmeyen bir kırılma çeşididir.
13.12.2015
SAYFA81
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
5.3.3. Zayıf Donatılı Kirişlerde Kırılma:
Bir önceki kesite, dengeli donatılı kırılmayı meydana getiren
donatıdan biraz daha az donatı konulduğunu kabul edelim.
Bu durumda basınç bölgesindeki beton, maksimum gerilme
altında yapacağı deformasyona (co) ulaşmadan, çekme
bölgesindeki donatı akma birim deformasyonuna ulaşacaktır.
Donatı az
13.12.2015
SAYFA82
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu durumdaki kirişlere zayıf donatılı kiriş denilmektedir. Bu
anda (C) beton ve çeliğe ait gerilme- Şekil değiştirme
diyagramları aşağıdaki gibi olmaktadır.
Donatı az
Donatıdaki deformasyon, akma deformasyon olan sy
değerine ulaştığı halde, Betonda oluşan deformasyon
maksimum deformasyon olan co dan küçük kalacaktır.
13.12.2015
SAYFA83
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Zayıf donatılı kirişlerde, Önce donatı akma birim deformasyona
ulaşmıştır. Donatıda meydana gelen gerilme fyk olduğundan
donatının taşıyabileceği toplam çekme kuvveti Fs1=As*fyk
Bu safhadan sonra kesite tesir eden M1 momentin artması
halinde Fs1 kuvvetinde bir artma olmayacaktır.
Donatı akma deformasyonuna yeni erişmiştir.
Yatay kuvvetlerin denge şartından Fs1=Fc1 olur.
Dolayısıyla kesite tesir eden M1 momentin artması halinde,
beton basınç bölgesi bileşkesi Fc1 değişmeyecektir.
13.12.2015
SAYFA84
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Donatı az
Bu durumda:
Taşınan moment; M1
Donatı alanı As, Donatının taşıdığı kuvvet Fs1=As*fyk
Betonun taşıdığı kuvvet yatay dengeden dolayı Fc1=Fs1
Manivela kolu z1
Tarafsız eksen mesafesi x1
13.12.2015
SAYFA85
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Kesite tesir eden M1 momentin biraz artması hali:
Beton basınç bölgesine ve donatıya tesir eden kuvvetlerde
herhangi bir değişiklik olamadan kesit daha fazla momenti
taşıyabilecek midir?
Bu anda betonda meydana gelen deformasyonlar co
deformasyonundan küçüktür. Başka bir deyişle beton basınç
bölgesinden tam istifade edilmemiştir, bu bölgedeki
deformasyonlar ve gerilmeler artabilir. Ancak Fs1=Fc1
olduğundan Beton basınç kuvveti artamayacaktır.
Donatı fyk değerine ulaşmıştır, donatıda da daha fazla kuvvet
artmayacaktır.
13.12.2015
SAYFA86
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Kesite tesir eden M1 momentin biraz artması halinde beton
ve donatıdaki kuvvetler artmadığı halde artan bu momenti
kesit taşıyabilecek midir. Evet TAŞIYACAKTIR.
Donatının sabit yük altında akmaya başlaması ile
Akma deformasyonu olan sy büyüyecek,
Tarafsız eksen yukarı doğru kayacak ve x küçülecek
x küçülünce, Manivela kolu olan z büyüyecek,
Taşınan moment M = Fc.z ifadesinde Beton basınç
bileşkesi Fc değişmediği halde taşınan moment artacaktır.
Fc= Alan. Gerilme olduğundan, kuvvet değişmediği halde z
küçülüp alan azaldığından gerilme artacak fck değerine kadar
çıkabilecektir.
13.12.2015
SAYFA87
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Donatının akması sonucunda tarafsız eksendeki küçülme ve
manivela kolundaki büyümenin meydana gelmesi.
M1 momenti biraz arttı
Manivela kolu büyüdü
13.12.2015
SAYFA88
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Donatının akması sonucunda manivela kolunun büyümesi ve
bu şekilde donatı değişmeden daha fazla momentin taşınması.
M1 momenti biraz arttı
M1 = Fs1*z1
M2 > M1
M2 = Fs1*z2
Kesit M2 momentini taşıyabiliyor.
13.12.2015
SAYFA89
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu durumda M1 momentinin artması esnasında donatıdaki
deformasyonların artmasıyla kesitin çekme bölgelerinde
(kirişlerin alt kısımlarında) çatlaklar meydana gelecektir.
Beton basınç bölgesi küçüldüğünden betondaki gerilmeler ve
deformasyonlar artacak, betonun deformasyonu ezilme birim
deformasyonuna (cu) ya eriştiği an kesit kırılacak ve taşıma
özelliğini kaybedecektir.
Donatıdaki akma deformasyonlarının artmasıyla kirişin çekme
bölgesinde meydana gelen çatlaklar, momentin daha da
artması halinde kirişteki kırılma olabileceğini önceden haber
verecektir.
13.12.2015
SAYFA90
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Kırılma anındaki deformasyon ve kuvvet diyagramları
Göçme anı; beton ezildi, donatı çok çok aktı….
13.12.2015
SAYFA91
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Şekil 5.17 de artan M2 momenti etkisi altında, kiriş çekme
bölgesinde çatlaklar meydana gelmeğe başlamıştır.
Momentin biraz daha artması sonucu kesit kırılacaktır.
Dolayısıyla kesit kırılmadan önce çekme bölgesindeki
betonda çatlakların oluşmasıyla kırılmayı haber vermektedir.
Kırılma ani değildir.
Bu tür kırılmalar Yapı elemanlarında istenilen bir kırılma
çeşididir.
Güç tükenmesi önce çekme bölgesindeki donatıda meydana
gelmektedir.
Kırılmaya donatının özellikleri hakimdir.
Bu tür kırılmaya Çekme kırılması veya Sünek kırılma
denilmektedir.
13.12.2015
SAYFA92
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Şartnameler Gevrek kırılma meydana gelmemesi için
Kuvvetli donatılı veya Dengeli donatılı kiriş yapımına izin
vermezler.
Belirli bir değerden az olmamak şartıyla kesitlerin sünek
kırılma meydana gelecek şekilde zayıf donatı kesitler olarak
planlanması öngörülmüştür.
13.12.2015
SAYFA93
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
5.4. Taşıma Gücü Hesabında Yapılan Kabuller:
Betonarme bir kesitin taşıma gücüne göre hesabında
aşağıdaki kabuller yapılmıştır.
1- Bir kirişte şekil değişiminden önce düzlem ve birbirine
paralel olan kesitler, şekil değişiminden sonra da düzlem
olarak kalırlar fakat paralellik bozulmuştur. (Bernoulli-Navier
hipotezi)
Bu kabul sonucunda şekil değiştirmelerin tarafsız eksenden
uzaklıkla doğru orantılı olduğu söylenebilir. (Şekil 5.18c)
13.12.2015
SAYFA94
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
(Bernoulli-Navier hipotezi)
Şekil değişiminden sonra kırmızı hat düzlemdir.
13.12.2015
SAYFA95
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
2- Kesit taşıma gücüne eriştiğinde tarafsız eksene en uzak
beton basınç lifindeki birim deformasyonu (kısalma)
cu=0.003 olarak kabul edilmiştir.
Kırılma
anındaki
deformasyon
0,003
13.12.2015
SAYFA96
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
3- Betonun çekme mukavemeti tamamen ihmal edilecektir.
Gerçekte, tarafsız eksenin alt kısmında eğilmede sınır
deformasyon olan ctu değerine kadar olan bölge, çekme
gerilmeleri taşıyabilmektedir, fakat yapılan kabul gereği
tarafsız eksenin alt kısmındaki betonun çekme gerilmelerini
karşılamadığı kabul edilecektir. (Şekil 5.19a)
Beton çekmeğe
çalışmıyor.
ctu = 0
13.12.2015
SAYFA97
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
4- Betonla çelik arasındaki aderans tamdır.
Herhangi bir (a) noktasında çelikte meydana gelen
sa birim deformasyonu aynı kesitteki betonda meydana gelen
ca birim deformasyonuna eşit olduğu kabul edilmiştir.
Beton ve çelik
kısalmaları aynı
13.12.2015
SAYFA98
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
5- Donatıda meydana gelen birim deformasyon (uzama) 0.01
ile sınırlandırılmıştır. (Akma deformasyonu 0,002 de
başladığına göre Akma sahanlığı, akma deformasyonunun 5
katı kabul edilmiştir.)
çelik birim kısalması sy = 0,01
Kopma birim uzaması su = 0,10 alınmalıdır.
Hatırlanacağı gibi TS 500 de çelik cinsine bağlı olarak, doğal
sertlikte işlem gören çeliklerin birim kopma uzamasının
minimum değerleri aşağıdaki gibi verilmişti.
13.12.2015
SAYFA99
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
TS500, 100cm uzunluğundaki S420 çeliğinin kopma anındaki
boyunun 110 cm. olabileceği, kopma uzamasının 10cm ile
sınırlandırılacağını ifade etmektedir.
Ancak taşıma gücü kesit hesaplarında ise donatıdaki birim
deformasyon 0,01 ile sınırlandırıldığından 100cm
uzunluğundaki çelik çubuğun ancak 1cm uzaması kabul
edilebilmektedir.
13.12.2015
SAYFA100
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Ayrıca fyk akma sınırı, TS 500 de yükün artmadığı uzamanın
sürmesinin başladığı ilk gerilme olarak tarif edilmiş ve bu
andaki deformasyonun 0.002 olarak kabul edileceği
belirtilmiştir.
100cm çubuk akma başladığı anda 100,2 cm olmaktadır.
Yönetmelik gereği boyu en fazla 101 cm alınabilmektedir.
Gerçekte ise 110 cm de kopma gerçekleşmektedir.
13.12.2015
SAYFA101
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Sonuçta çelik için gerilme-deformasyon ilişkisinin Şekil 5.20.b
de olduğu gibi varsayılmıştır.
13.12.2015
SAYFA102
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
6- Donatı çubuğundaki Gerilme-Deformasyon ilişkisi
Elasto-Plastik varsayılacaktır.
Donatı çubuğundaki s birim deformasyonuna sebep olan
gerilme s=Es*s bağıntısıyla hesaplanabilir.
Çelik cinslerine bakılmaksızın Çelik Elastisite modülü
Es=2*106 kg/cm² (Es=2*105 N/mm² ) olarak alınacaktır.
Donatı çubuğunda meydana gelen maksimum hesap akma
gerilmeler
fyd= Es*sy olarak hesaplanacaktır.
Gerilme-Deformasyon, elasto plastik.
13.12.2015
SAYFA103
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
7- Betonarme kesit Taşıma Gücüne eriştiğinde gerilmeler
ile deformasyonlar orantılı değildir.
1985 yılına kadar yürürlükte olan Emniyet Gerilmeleri
metodunda gerilmeler ile deformasyonların orantılı olduğu
kabul edilmişti.
T.G. Erişildiğinde gerilme ile deformasyon orantılı değil
13.12.2015
SAYFA104
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Taşıma Gücü metodunda yapılan kabule göre; Betonda
ezilme anında:
Tarafsız eksene en uzak lifteki basınç Gerilmeleri c< f ck
Tarafsız eksene en uzak lifteki deformasyonlar, cu > co
c< fck
cu > co
13.12.2015
SAYFA105
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Betonda ezilme;
Gerilmenin maksimum olması ile değil, deformasyonun
maksimum (cu=0,003 ) olması ile meydana gelmektedir.
Betonun Gerilme Şekil değiştirme diyagramından
hatırlanacağı gibi betonda deformasyon 0.002 civarında iken
gerilme maksimum olmakta ve deformasyon ezilme
deformasyonu olan 0,003 e giderken gerilmede düşme
olmaktadır. (gerilmenin boşalması).
13.12.2015
SAYFA106
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
TS 500 2000 öngördüğü deformasyon diyagramı ile betonda
oluşan gerilme diyagramı Şekil 5.22 de görüldüğü gibidir.
13.12.2015
SAYFA107
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Betonda oluşan gerilme – deformasyon diyagramı
ile kuvvet- Deformasyon diyagramındaki gerileme dağılışı
birbirinin aynısıdır. Gerilme deformasyon diyagramı uygun bir
şekilde döndürülerek Kuvvet diyagramı elde edilmiştir.:
gerilme – deformasyon
diyagramı
13.12.2015
kuvvet- Deformasyon
diyagramı
SAYFA108
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
TS 500 2000 öngördüğü deformasyon diyagramı ile betonda
oluşan gerilme diyagramı ile kabul edilen eşdeğer
dikdörtgen basınç bloğu Şekil 5.22 de görüldüğü gibidir.
13.12.2015
SAYFA109
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Kesit Taşıma Gücüne eriştiğinde
Beton basınç gerilmelerinin bileşkesi olan Fc nin gerçek
dağılım üzerinde entegrasyonla hesabı pratik değildir.
Hesaplarda kolaylık sağlamak maksadıyla beton basınç
gerilmelerinin dağılımı için TS 500,
eşdeğer dikdörtgen basınç bloğu
olarak kabul edileceğini belirtmektedir.
Eşdeğer dikdörtgen basınç bloğundaki gerilme alanı ile,
tarafsız eksenin üzerindeki gerçek gerilme alanının eşit
olacağı kabul edilmiştir.
13.12.2015
SAYFA110
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu eşitliğin sağlanabilmesi için:
tarafsız eksen mesafesi (k1) ile,
beton basınç gerilmeleri ise (0,85 )ile çarpılarak azaltılacaktır.
eşdeğer dikdörtgen basınç bloğu
boyutları (k1*x) ile (0,85*fcd ) olan dikdörtgendir.
TS 500 de k1 değerleri beton sınıfına bağlı olarak şu şekilde
verilmiştir.
13.12.2015
SAYFA111
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Tablo 5.2 Beton sınıfına bağlı k1 değerleri. (TS 500)
BS
C16 C18 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50
k1
0,85 0,85 0,85 0,85 0,82 0,79 0,76 0,73 0,70
Görüldüğü gibi normal mukavemetli betonlarda
(C16-C25 arası) k1=0.85 alınmaktadır.
Yüksek mukavemetli betonlarda ise beton kalitesine bağlı
olarak üniform olarak azalmaktadır.
13.12.2015
SAYFA112
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
Bu durumda kuvvetler:
Manivela kolu ise
Taşıma Gücü Momenti
13.12.2015
Fc=0,85*fcd*k1*x*bw Fs=As*s
z= d – (k1*x) / 2
Mr = Fc * z
SAYFA113
ADİL ALTUNDAL
BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ DİKDÖRTGEN KESİTLER
5.5. Dengeli Donatılı Kirişlerde Taşıma Gücü Hesabı:
Kırılma çeşitleri incelenirken, dengeli donatılı kirişlerdeki
kırılmanın gevrek kırılma olduğu (istenmeyen bir kırılma şekli
olduğundan), şartnamelerin bu tür donatılı kirişlere izin
vermediği belirtilmiş olmasına rağmen, sınır bir durum olması
dolayısıyla burada dengeli donatılı kirişlerde taşıma gücü
hesabı anlatılacaktır. Dengeli donatılı kirişlerde deformasyon
ve kuvvet diyagramları yapılan, bazı kabuller sonunda Şekil
5.24 de verildiği gibi olur.
13.12.2015
SAYFA114
Download

BASİT EĞİLME TESİRİNDEKİ KESİTLER 5.1