Blok 1: Mechanika (kinematyka; dynamika; praca, moc, energia; zasada zachowania energii; pole
grawitacyjne).
Mechaniczne i termodynamiczne właściwości ciał.
Prowadzący: dr Alina Gil
Instytut Edukacji Technicznej i Bezpieczeństwa,
pokój 8, tel. 343615970,
e-mail: [email protected]
Kinematyka punktu materialnego
•
Kinematyka to nauka o ruchach; zajmuje się związkami między położeniem, prędkością
i przyspieszeniem badanej cząstki lub ciała bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch
spowodowały.
•
Punkt materialny to punkt geometryczny, w którym skupiona jest pewna masa, której rozmiary i
kształty możemy w danym zagadnieniu pominąć.
•
Bryła sztywna to zbiór dużej liczby punktów materialnych znajdujących się w określonych, nie
zmieniających się względem siebie odległościach.
Punkt materialny (bryła sztywna) jest w ruchu jeżeli zmienia się jego położenie względem innego
ciała. Zawsze rozpatrujemy ruch względem jakiegoś innego ciała (układu).
Układ, względem którego rozpatrujemy ruch nazywamy układem odniesienia. Układem
odniesienia może być pociąg, Ziemia, Słońce, kartezjański układ współrzędnych prostokątnych…
Klasyfikacja ruchów:
•
Ruchy dzielimy na postępowe i obrotowe;
•
Ze względu na tor (trajektorię) ruchu:
•
–
prostoliniowe;
–
krzywoliniowe;
Ze względu na zależność położenia od czasu:
–
jednostajne;
–
jednostajnie zmienne;
–
niejednostajnie zmienne;
Ruch postępowy – poszczególne punkty bryły przebywają jednakową drogę w jednakowym czasie
(redukcja do punktu materialnego).
Ruch obrotowy – poszczególne punkty ciała zakreślają łuki okręgów, których środki leżą na jednej
prostej zwanej osią obrotu.
Prędkość to wielkość fizyczna, której miarą jest stosunek drogi do czasu, w którym ta droga została
przebyta. Jest to wielkość wektorowa, która określa zarówno szybkość ruchu jak i kierunek w danej
chwili. Mierzy się ją w [m/s].
Prędkość stała
υ=
x − x0 ∆x
=
t − t0
∆t
Prędkość chwilowa
υ ch = lim
∆t →0
Prędkość średnia
υ =
∆x
∆t
∆x x − x0
=
t
∆t
Przyśpieszenie jest to zmiana prędkości w czasie lub inaczej tempo zmiany prędkości (jest wielkością
wektorową). Jednostką przyśpieszenia jest [m/s2]
Przyśpieszenie jednostajne
υ − υ0
a=
t
=
∆υ
∆t
ach = lim ∆υ
∆t →0 ∆t
Przyśpieszenie chwilowe
Trajektoria (tor) ruchu – krzywa w przestrzeni, opisująca zmianę położenia ciała.
Równania ruchu – opisują zmiany położenia ciała w przestrzeni w funkcji czasu.
Ruch jednostajny – w jednakowych odstępach czasu przebywane są jednakowe odcinki drogi
zależność położenia od czasu:
x = x0 + υ ⋅ t
prędkość ma stałą wartość:
υ = const
a przyśpieszenie:
a=0
Ruch jednostajnie przyspieszony – w kolejnych jednostkach czasu
prędkość wzrasta o tę samą wartość
Zależność położenia (drogi) od czasu wyraża się wzorem:
1
x = x0 + υ 0 ⋅ t + a ⋅ t 2
2
υ = υ0 + a ⋅ t
Zależność prędkości od czasu:
A przyśpieszenie ma stałą wartość:
a = const
W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie
jednostajnie od υ0 do υ. Średnia wartość prędkości jest zatem
równa:
1
υ =
2
(υ0 + υ )
Przykładem ruchów prostoliniowych są:
rzut pionowy
i
swobodny spadek
a=g
υ = g ⋅ t , υ0 = 0
h = υ ⋅t =
υ0 + υ
2
⋅t
0 + g ⋅t
g ⋅t2
h=
⋅t =
2
2
Ruchy dwuwymiarowe - Rzut poziomy
Nadajemy ciału prędkość w kierunku poziomym. Jednocześnie, przyspieszenie ziemskie
powoduje ruch ciała w dół. Musimy więc złożyć oba ruchy, aby znaleźć, jak ostatecznie będzie się
poruszało.
Składowa pionowa prędkości:
υ x = υ0
υy = g ⋅t
Droga w poziomie – zasięg:
x = υ0 ⋅ t
Droga w pionie – wysokość:
y=−
Składowa pozioma prędkości:
Prędkość:
Przyśpieszenie:
Trajektoria:
υ = (υ x ,υ y ) υ = υ x2 + υ y2
r
g ⋅t2
2
r
a = (a x , a y ) = (0, g ) a = a x2 + a y2 = g
y=−
g 2
x
2υ 02
Rzut ukośny
Ciało porusza się z prędkością, której wektor skierowany jest ukośnie – pod kątem α do poziomu.
Prędkość możemy rozłożyć na dwie składowe – pionową i poziomą (analogia do dodawania
wektorów). Tak więc prędkość ukośna v0 to inaczej prędkości składowe: v0x oraz v0y (rzuty v0 na
osie układu współrzędnych).
v0y
v0
v0x
υ x = υ0 x = υ0 cos α
υ y = g ⋅ tw
Składowa pozioma prędkości:
Składowa pionowa prędkości:
υ = (υ x ,υ y ), υ = υ x2 + υ y2
r
Droga w poziomie – zasięg:
x = υ x ⋅ t = υ0 x ⋅ t ,
Droga w pionie – wysokość:
y = υ0 y ⋅ t w −
g ⋅ t w2
,
2
t = t w + top
υ0 y = υ0 sin α
t w = top
Ruch po okręgu
R
α
Jedną z cech tego ruchu jest wielkość zwana okresem T. Jest to czas, w ciągu którego ciało
pokonuje całą długość toru - czyli obwód koła. Oznacza to, że po czasie T ciało wraca do punktu
wyjścia.
W ruchem jednostajnym po okręgu:
prędkość liniowa (styczna) jest stała i równa drodze (długości łuku)
przebytej w jednostce czasu;
prędkość kątowa związana jest z liczbą obrotów w jednostce czasu;
Prędkość kątowa i prędkość liniowa są ze sobą ściśle związane:
przyspieszenie styczne:
as = 0
przyspieszenie normalne nazywa się dośrodkowym:
r
r
as ⊥ ad
ad =
υ2
R
υ=
∆s  2πR 


∆t  T 
∆α  2π 


∆t  T 
υ =ω⋅R
ω=
Zadania:
1. Odległość między dwoma miastami wynosi 300 km. Z każdego z nich w tej samej chwili
wyrusza samochód w stronę drugiego miasta. Jakie drogi przebędą pojazdy do chwili
spotkania, jeśli ich szybkości wynoszą odpowiednio V1=100 km/h i V2=50 km/h?
2. Równolegle do siebie w tę samą stronę, poruszają się: pociąg o długości l=200 m mający
szybkość V1=36 km/h oraz samochód jadący z szybkością V2=72 km/h. Oblicz czas po którym
samochód wyprzedzi pociąg oraz drogę, jaką w tym czasie przebędzie.
3. Samochód przejechał trasę między dwoma miastami. Pierwsze 20km poruszał się z
szybkością 36km/h, a kolejne 40km z szybkością 40 m/s. Oblicz średnią szybkość samochodu.
4. Prędkość łódki względem wody wynosi 4 km/h. Prędkość prądu wody w rzece równa jest
3 km/h. Łódka ustawiona jest prostopadle do brzegu rzeki. Oblicz jej prędkość względem
brzegu. W którą stronę należy ustawić łódkę, aby płynęła prostopadle do brzegu? Jaka będzie
wtedy jej prędkość wzgl. brzegu?
5. Będąc blisko szczytu stromej skały, wspinacz potrącił przypadkowo duży głaz, który spadł na
Ziemię po 8 sekundach. Jaka była jego prędkość tuż przed upadkiem? Jaka była jego prędkość
średnia? Jaką drogę przebył głaz?
6. Samochód wyścigowy jedzie początkowo z prędkością 10 m/s, którą następnie w ciągu 3
sekund zwiększa do 16 m/s (nie zmieniając kierunku jazdy). Jakie jest jego średnie
przyspieszenie w tym przedziale czasu?
7. Pocisk wystrzelony z karabinu porusza się z przyspieszeniem 500 km/s2 oraz prędkością
początkową 800m/s. Oblicz, jaką przebędzie odległość w ciągu 0,1 sekundy.
8. Samolot leci poziomo z prędkością 1000 km/h. W pewnej chwili odpada mu silnik, który
zaczyna spadać i po 30 s uderza w ziemię. Na jakiej wysokości leciał samolot? Jaki odcinek w
kierunku poziomym przebył silnik w czasie spadania? (Opór powietrza zaniedbujemy).
9. Jaka jest maksymalna wartość prędkości poziomej piłki tenisowej, przy której nie wyleci ona
poza kort? Wysokość siatki wynosi 1 m odległość brzegu kortu od siatki 12 m. Nad siatką
piłka przelatuje poziomo tuż nad jej krawędzią. Opór zaniedbujemy.
10. Spadając z wysokości h kula uderza w płaską przeszkodę nachyloną pod kątem 45o do pionu.
Punkt zderzenia kuli z przeszkodą znajduje się w połowie wysokości. Jaki będzie zasięg kuli,
jeśli zderzenie potraktujemy jako doskonale sprężyste?
11. W pewnej maszynie dwa koła o promieniach r1=0,5 m i r2=0,125 m są połączone pasem
transmisyjnym. Podczas pracy maszyny większe koło wykonuje 3,5 obrotu w ciągu jednej
sekundy. Ile obrotów wykonuje koło mniejsze?
12. Oblicz częstotliwość, z jaką obracają się koła samochodu jadącego z szybkością V=72 km/h,
jeżeli ich promienie r=0,3 m.
Zasady dynamiki Newtona
I zasada dynamiki (zasada bezwładności): Jeśli na ciało nie działa żadna siła, to pozostaje ono w
spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Prawo to orzeka, że ciało nie przyspiesza samo z siebie; przyspieszenie musi być narzucone z
zewnątrz, wbrew tendencji do podtrzymywania pierwotnego stanu ruchu.
Ten opór ciał wobec zmian stanu ruchu nazywa się bezwładnością (inercją).
II zasada dynamiki: Przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do wypadkowej siły działającej
na ciało a odwrotnie proporcjonalne do jego masy. Kierunek przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem
r
tej siły:
r F
a=
m
III zasada dynamiki: Jeśli ciało A działa na ciało B, to ciało B działa na ciało A taką samą siłą co do
wartości lecz przeciwnie zwróconą. Pierwsza z tych sił nazywa się akcją, a druga – reakcją.
Akcja i reakcja zawsze występują parami; określają oddziaływanie dwóch ciał. Nigdy się nie znoszą,
bo działają na różne ciała.
O równowadze mechanicznej mówimy gdy wypadkowa siła działająca na ciało jest równa zero i
przyspieszenie ciała wynosi zero.
Równowaga statyczna – równowaga w stanie spoczynku (książka leżąca na stole, człowiek wiszący na
linie)
Równowaga dynamiczna – występuje, gdy ciało porusza się bez przyspieszenia (krążek hokejowy
ślizgający się po lodzie, kula tocząca się po torze kręgarskim, pudło ślizgające się po podłodze).
Tarcie
T = f ⋅ N = f ⋅ mg
•
Siła tarcia pojawia się wtedy, gdy jedna powierzchnia ślizga się po drugiej.
•
Przyczyną tarcia są różne nierówności na styku tych powierzchni.
•
Wartość tarcia zależy od rodzaju powierzchni i od wzajemnego nacisku.
•
Kierunek siły tarcia jest zawsze przeciwny do kierunku ruchu.
•
Rozróżnia się tarcie statyczne i poślizgowe. Tarcie statyczne jest większe niż tarcie
poślizgowe.
Siła dośrodkowa
Siła powodująca ruch po okręgu nazywa się siłą dośrodkową, jest ona skierowana do środka okręgu,
m ⋅υ 2
tworzy kąt prosty z kierunkiem ruchu: F =
r
Wybór układu odniesienia ma istotny wpływ na obraz ruchu. Ruch widziany z obracającego się
układu odniesienia wygląda inaczej. W układzie na rysunku poniżej na biedronkę działają dwie siły:
siła wywierana przez puszkę i – dodatkowo – siła odśrodkowa, równa co do wartości sile dośrodkowej.
Siła odśrodkowa nie jest efektem oddziaływania z jakimś innym ciałem. Nie jest wytwarzana przez
żadne ciało, lecz jest wynikiem obrotu. Z tego powodu fizycy nazywają ją siłą bezwładności lub siłą
pozorną.
Zadania:
1.
Jaki jest warunek równowagi ciał o masach m1 i m2 pokazanych na rysunkach?
2.
Z jakim przyśpieszeniem będzie poruszało się ciało o masie m ciągnięte siłą F, działającą pod
kątem α=30° do poziomej płaszczyzny, po której przesuwa się ciało? Współczynnik tarcia
wynosi f.
3.
Podnosząc stopniowo deskę stwierdzono, że umieszczony na niej klocek zaczął się zsuwać przy
kącie nachylenia α=30°. Oblicz współczynnik tarcia klocka po desce.
4.
Na gładkiej powierzchni stołu znajduje się ciało o masie m1=100 g. Drugie ciało o masie
m2=150 g zawieszone jest na nici przerzuconej przez blok i przyczepionej do ciała pierwszego.
Znaleźć przyspieszenie z jakim poruszają się obie masy i siłę naciągu nici. Współczynnik tarcia
wynosi 0,2.
5.
Na podłodze wagonu stoi skrzynia o masie m=100 kg. Jaki powinien być najmniejszy
współczynnik tarci aby przy ruchu wagonu z przyspieszeniem a=1 m/s2, skrzynia nie ruszyła się z
miejsca?
6.
Samolot wykonuje pętlę pionową o promieniu r=100 m, poruszając się z prędkością V=280 km/h.
Jaką siłą działa ciało lotnika na samolot w górnym i dolnym punkcie pętli? Masa lotnika wynosi
m=80 kg.
7.
Droga hamowania samochodu przy szybkości V=20 m/s wynosi S=40 m. Jaki jest współczynnik
tarcia kół samochodu o nawierzchnię szosy?
8.
Jakie jest przyśpieszenie wagonika, jeśli wahadełko zawieszone u jego sufitu odchyliło się od
pionu o kąt 30o. Jaki to może być ruch?
9.
Pod jakim katem do pionu powinien się pochylić rowerzysta, aby jadąc po poziomej powierzchni
z prędkością V mógł zatoczyć koło o promieniu R? Jaki musi być współczynnik tarcia koła o tor,
aby rowerzysta bez poślizgnięcia bezpiecznie zakręcił?
10. Z jaką największą prędkością V powinien jechać wagon na zakręcie o promieniu R, aby nie
wyskoczyć z poziomo ułożonych szyn? Środek ciężkości wagonu znajduje się na wysokości h nad
torem a szyny rozstawione są na szerokość 2s.
Pęd – bezwładność dynamiczna
r
r
Pęd to iloczyn masy i prędkości: p = mυ . Pęd podobnie jak prędkość jest wielkością wektorową.
Istotnym czynnikiem zmiany pędu jest przyspieszenie, którego źródłem jest siła i czas działania tej
siły.
r
Popęd siły to iloczyn siły i czasu, w którym ta siła działa: F ⋅ t
Popęd siły powoduje zmianę pędu, podobnie jak siła powoduje zmianę prędkości. Związek pomiędzy
r
popędem siły a zmianą pędu wynika z II zasady dynamiki: F ⋅ t = ∆(m ⋅υ )
r
Zasada zachowania pędu
Zmiana pędu możliwa jest tylko pod działaniem sił zewnętrznych. Gdy ich nie ma, pęd nie ulega
zmianie.
Podczas wystrzału pocisku z karabinu działają tylko siły wewnętrzne (są to siły akcji i reakcji).
Całkowity pęd pocisk – karabin nie ulega zmianie.
Pęd przed wystrzałem jest taki sam jak pęd po wystrzale – pęd zachowuje się.
Zderzenia
Podczas zderzenia pęd się zachowuje tzn., że pęd całkowity ciał biorących udział w zderzeniu jest taki
r
r
sam przed, w czasie i po zderzeniu: p pocz = pkonc
Podczas zderzenia następuje jedynie redystrybucja pędu początkowego między poszczególne ciała.
Zderzenia dzielimy na:
sprężyste (ciała odbijają się, następuje całkowity przekaz pędu),
niesprężyste (następuje sczepianie ciał, ciała się deformują i ogrzewają).
Pęd zachowuje się również w zderzeniach niesprężystych.
Praca
Kiedy podnosimy jakiś przedmiot, działamy przeciw siłom grawitacji, wykonując pracę. Podobnie,
jeśli pchamy przedmiot, działamy przeciw siłom tarcia.
r r
Iloczyn siły i drogi określa wielkość, którą nazywamy pracą: W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cosα . Jednostką
pracy jest dżul [J]=[N⋅m].
Moc
Moc określa się jako stosunek pracy do czasu, w którym ta praca została wykonana: P =
W
i mierzy
t
się ją w watach [W]=[J/s].
r r
Gdy działająca siła jest stała (np. w ruchu jednostajnie zmiennym) to P = F ⋅υ .
Energia mechaniczna
Energia to „coś”, co czyni ciała zdolnymi do wykonania pracy i podobnie jak praca wyrażona jest w
dżulach [J].
Występuje w wielu formach: mechaniczna, cieplna, grawitacyjna, elektryczna, sprężystości itd.
Energia mechaniczna może być związana ze względnymi położeniami oddziałujących ciał – energia
potencjalna, lub też zależeć od ruchu ciała – energia kinetyczna.
Energia potencjalna – ciało może gromadzić energię poprzez zmianę położenia względem innego
ciała.
Energię potencjalną posiada: rozciągnięta lub zgnieciona sprężyna, napięty łuk, rozciągnięty pasek
gumowy. Energia taka charakteryzuje paliwa mineralne, baterie elektryczne, a także nasze pożywienie.
Aby podnieść ciało, należy wykonać pracę przeciw grawitacji ziemskiej. Nabyta w ten sposób energia
potencjalna nazywa się energią grawitacyjną i równa się: E p = mgh
Energia potencjalna, nie tylko grawitacyjna, przejawia się dopiero wtedy, gdy ulega zmianom, tzn.
gdy wykonuje pracę lub przekształca się w inną formę energii np. w energię ruchu, czyli energię
kinetyczną.
Energia kinetyczna
Popychając ciało, możemy wprawić je w ruch. Innymi słowy wykonując pewną pracę nad ciałem,
zmieniamy jego energię ruchu czyli energię kinetyczną. Zależy ona od masy ciała i jego prędkości:
EK =
mυ 2
2
Związek pracy z energią
Energia kinetyczna ciała jest równa pracy potrzebnej do wprawienia ciała w ruch lub jego zatrzymania
(innymi słowy, wykonana praca jest równa zmianie energii kinetycznej):
W = ∆E K
czyli
F ⋅s =
1
mυ 2 .
2
Zasada zachowania energii
Badanie różnych form energii i ich wzajemnych przekształceń doprowadziło
do sformułowania jednego z najważniejszych praw fizyki: zasady
zachowania energii, która brzmi:
Energii nie można stworzyć ani zniszczyć. Może się ona tylko przekształcać z
jednej formy w drugą, ale jej wartość całkowita pozostaje stała:
EK + EP = const
Łańcuch przemian energetycznych jest bardzo urozmaicony.
Maszyna prosta to urządzenie służące do zwiększania siły lub zmiany jej
kierunku. Podstawą jej działania jest zasada zachowania energii.
Najprostszą maszyną jest dźwignia. My wykonujemy pracę na jej jednym końcu, natomiast na drugim
wykonywana jest praca nad obciążeniem.
Praca równa jest iloczynowi siły i przesunięcia; iloczyn ten należy odnieść do każdego końca dźwigni
oddzielnie:
Wwłożona = Wuzyskana
Sprawnością η maszyny nazywamy stosunek pracy wykonanej przez maszynę (tj. pracy użytecznej)
do pracy włożonej do maszyny:
η=
Wuz Puz
=
Wwł Pwł
Ruch obrotowy
Właściwość polegająca na przeciwstawianiu się zmianom ruchu obrotowego nazywamy
bezwładnością obrotową (momentem bezwładności).
Moment bezwładności zależy od masy ciała, a także od rozkładu mas względem osi obrotu. Im
większe odległości tych mas od osi obrotu, tym większy moment bezwładności.
I = ∑ mi ⋅ ri 2
i
Moment bezwładności ciała zależy też od wyboru osi obrotu. Moment bezwładności względem osi
równoległej do tej, która przechodzi przez środek ciężkości odległej o r wyraża się wzorem:
I = I 0 + mr 2 (Twierdzenie Steinera), gdzie I0 – moment bezwładności wzgl. osi przechodzącej przez
środek ciężkości.
Siła powoduje zmianę ruchu postępowego, natomiast obrót i jego zmiany powoduje moment siły.
Chcąc poruszyć ciało, przykładamy siłę. Chcąc je obrócić, przykładamy moment siły. Moment siły
różni się od siły w podobny sposób, jak zwykła bezwładność (masa) różni się od bezwładności
obrotowej (momentu bezwładności).
Moment siły i moment bezwładności zależą od odległości od osi obrotu. W przypadku momentu siły
odległość ta nazywa się ramieniem siły. Moment siły definiuje się jako iloczyn siły i jej ramienia:
r r r
M = F × r = F ⋅ r ⋅ sin α
Środek ciężkości (środek masy)
Środek ciężkości (masy) bryły sztywnej określa średnie położenie rozkładu ciężaru (masy)
poszczególnych części ciała. Ponieważ ciężar jest proporcjonalny do masy ciała, środek ciężkości
pokrywa się ze środkiem masy.
Dla ciał o symetrii kulistej środek masy leży w środku geometrycznym (np. piłka). W ciałach wysoce
niesymetrycznych (np. kij bejsbolowy) środek masy leży bliżej grubszego końca.
Znajomość położenia środka masy jest istotna z punktu widzenia problemu równowagi. Jeśli
poprowadzimy linię pionową przez środek masy ciała o dowolnym kształcie i linia ta przecina podłoże
w punkcie leżącym wewnątrz podstawy ciała, to ciało to jest w stanie równowagi trwałej. Jeśli punkt
przecięcia leży poza podstawą, ciało jest niestabilne.
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego: Jeżeli na ciało działa niezrównoważony moment siły
(M ≠0), to ciało jest w ruchu obrotowym z przyspieszeniem kątowym wprost proporcjonalnym do
momentu siły i odwrotnie proporcjonalnym do momentu bezwładności I tego ciała:
r
r
M = I ⋅ε
Moment pędu
Przez analogię do pojęcia pędu w ruchu prostoliniowym, w ruchu obrotowym wprowadza się pojęcie
momentu pędu.
Moment pędu jest miarą „intensywności” ruchu obrotowego. Definiuje się go jako iloczyn momentu
r
r
bezwładności i prędkości kątowej: L = I ⋅ ω
Tak jak zmiana pędu w ruchu postępowym jest możliwa dopiero po przyłożeniu siły, również zmiana
momentu pędu następuje po przyłożeniu momentu siły.
Zasada zachowania momentu pędu
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym: Ek =
I ⋅ω 2
2
Praca w ruchu obrotowym: W = M ⋅ α
Wielkości kinematyczne ruchu obrotowego:
Droga kątowa – kąt obrotu
α=
Prędkość kątowa
ω=
Przyspieszenie kątowe
ε=
s
R
Wielkość liniowa = wielkość kątowa x promień
s =α ⋅R
υ =ω⋅R
α
t
a =ε ⋅R
ω
t
ε ch = lim
∆t →0
∆ω
∆t
Zadania:
1. Ciężarówka o masie m1 poruszająca się z prędkością V1 zderza się niesprężyście z samochodem
osobowym o masie m2 poruszającym się z prędkością V2.
a) Jaka jest prędkość samochodów po zderzeniu?
b) Jaka jest strata energii kinetycznej po zderzeniu?
2. Sanki zsuwają się ze szczytu toru o długości l nachylonego do poziomu pod kątem α, a następnie
wjeżdżają na tor poziomy. Współczynnik tarcia wzdłuż całego toru wynosi f. Oblicz prędkość V
sanek u podnóża toru i drogę s jaką przebędą sanki po torze poziomym.
3. Dźwig unosi w górę ciężar o masie m=500 kg ze stałym przyśpieszeniem a=1,2 m/s2 na wysokość
h=10 m. Oblicz pracę jaką wykona silnik dźwigu.
4. Transporter przenosi m=200 kg piasku w czasie 1s. Długość taśmy przenoszącej piasek wynosi
l=3 m, a kąt nachylenia do poziomu α=30o. Oblicz moc rozwijaną przez silnik napędzający
transporter, jeżeli sprawność urządzenia wynosi η=85%.
5. Klocek A o masie m przymocowany do sznurka o długości R utrzymujemy w pozycji poziomej a
następnie puszczamy i zderza się on z identycznym klockiem B spoczywającym na poziomej
powierzchni bez tarcia. Po zderzeniu klocki sklejają się i poruszają razem.
a) Jaka jest prędkość klocków bezpośrednio po zderzeniu?
b) Jak wysoko uniosą się po zderzeniu?
6. Prędkość wylotową pocisku można wyznaczyć za pomocą wahadła balistycznego. Pociskiem o
masie m strzela się w drewniany klocek o masie M (rys.). Klocek z wbitym pociskiem wznosi się
na wysokość h.
a) Jaka jest prędkość wylotowa klocka?
b) Jaka część energii kinetycznej zostaje stracona?
7. Kolejka diabelska działa jak na rysunku. Wagonik zostaje lekko pchnięty w punkcie A tak, że jego
prędkość początkowa jest prawie równa zeru, zjeżdża w dół po szynach bez tarcia i objeżdża
wnętrze pętli kołowej o promieniu R. Jak należy dobrać wysokość h, aby wagonik wykonał pętlę
nie tracąc kontaktu z szynami?
8. Kulka o masie m ześlizguje się bez tarcia z kuli o promieniu R. W którym miejscu i z jaką
prędkością kulka oderwie się od kuli?
9. Na wirującej z częstością ω równi pochyłej o kącie α znajduje się mrówka o masie m. W którym
miejscu powinna się ona ustawić aby nie zlecieć z równi? Tarcie pomijamy.
10. Walec i kulka o dowolnych masach i promieniach staczają się z równi pochyłej o długości l i kącie
nachylenia α. Obliczyć przyśpieszenia liniowe tych ciał. Które szybciej się stoczy?
11. Walec o promieniu R i momencie bezwładności I0 stacza się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie
nachylenia α. Zapisać równania ruchu walca. Znaleźć przyśpieszenie liniowe i siłę tarcia.
12. Szpula z nawiniętą nicią może toczyć się bez poślizgu po poziomej powierzchni. Obliczyć
przyśpieszenie środka masy a szpuli oraz siłę tarcia T, jeśli do nici przyłożono siłę F w kierunku
równoległym do płaszczyzny. Szpula ma masę m, moment bezwładności I0, promień zewnętrzny R,
promień wewnętrzny r.
Pole grawitacyjne
Prawo powszechnej grawitacji Newtona: Każde dwa ciała (dwie masy) się przyciągają. Siła
przyciągania zależy jedynie od masy i odległości, a dokładniej: jest proporcjonalna do iloczynu mas i
odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.
r
F ~ m1d⋅m2 2
r
F = G m1d⋅m2 2
G – stała grawitacji
G = 6,67 *10-11 Nm2/kg2
Wartość G świadczy o tym, że siły grawitacyjne są bardzo słabe – najsłabsze spośród 4 znanych
obecnie oddziaływań elementarnych.
Pole grawitacyjne spełnia rolę pośrednika przenoszącego siły występujące między różnymi masami.
Określa się je przy pomocy natężenia pola czyli wielkości fizycznej, której miarą jest stosunek siły
grawitacji działającej na ciało umieszczone w danym punkcie do masy tego ciała:
r
r FG
M
γ =g=
=G 2
m
r
r
Przy podnoszeniu lub opuszczaniu ciała o masie m w polu grawitacyjnym wykonujemy pracę
przeciwko sile grawitacji.
Praca w polu grawitacyjnym:
1 1
W = ±GMm − 
 r1 r2 
r1 〈 r2
Praca w polu grawitacyjnym nie zależy od drogi tylko od odległości. Praca po torze zamkniętym jest
równa zero. Te dwie cechy są cechami tzw. pól zachowawczych.
Energia potencjalna w polu grawitacyjnym jest równa pracy wykonanej przy przenoszeniu ciała z
nieskończoności do danego miejsca odniesienia:
E p = W∞→ r = −G
Mm
r
Potencjał pola grawitacyjnego charakteryzuje właściwości energetyczne pola grawitacyjnego w
danym punkcie i pozwala rozróżnić punkty tego pola.
Potencjał pola grawitacyjnego to stosunek energii potencjalnej punktu materialnego umieszczonego w
danym punkcie do jego masy:
V =
Ep
m
= −G
M
r
Prawa Keplera
Prawo I:
Każda planeta porusza się po elipsie. Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.
Prawo II:
Promień łączący planetę ze Słońcem zakreśla w równych odstępach czasu
równe pola.
Prawo III:
Kwadrat okresu obiegu T jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości
R od Słońca (T2~R3).
(Sześciany półosi wielkich orbit jakichkolwiek dwóch planet mają się do siebie
tak jak kwadraty ich okresów obiegu.)
3
2
R1 T1
=
R23 T22
Ruch satelitarny:
Po pierwszym odpaleniu rakieta zostaje wyniesiona ponad atmosferę. Drugie odpalenie nadaje jej
prędkość poziomą co najmniej 8 km/s, dzięki czemu rakieta nie spada na Ziemię, lecz spadając
zgodnie z zakrzywieniem powierzchni Ziemi krąży wokół niej.
Pierwsza prędkość kosmiczna: VI =
GM Z
= g Z RZ ≈ 7,91 km / s
RZ
Druga prędkość kosmiczna:
VII =
2GM Z
≈ 11,2 km / s
RZ
Trzecia prędkość kosmiczna:
VIII =
2GM S
≈ 42,1 km / s , RZS – średnia odległość Ziemi od Słońca
RZS
Zasada zachowania energii w ruchu satelitarnym:
Zadania:
1.
W jakiej odległości od środka Księżyca, między Ziemią a Księżycem znajduje się punkt, w
którym siły przyciągania wywołane na ciało trzecie mają równe wartości? Średnia odległość
Księżyca od Ziemi wynosi S=384000 km, masa Księżyca jest 81 razy mniejsza od masy Ziemi.
2.
Masa Jowisza jest równa około 314 mas Ziemi, a promień równy około 11 promieniom Ziemi.
Oblicz przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni Jowisza.
3.
Odległości Ziemi i planety Wenus od Słońca wynoszą odpowiednio RZ=150·106 km, RW=108·106
km. Znajdź stosunek ich liniowych prędkości w ruchu dookoła Słońca zakładając, że ich tory są
kołowe.
4.
Oblicz prędkość V jaką powinien mieć satelita krążący po orbicie o promieniu R, jeśli a) R=RZ=
6370 km i b) R=RK=3.84⋅105 km (RZ – promień Ziemi, RK – średnia odległość do Księżyca).
Oblicz też czas pełnego obiegu T satelity wokół Ziemi w obu przypadkach.
5.
W jakiej odległości RS od środka Ziemi powinien krążyć satelita aby znajdował się on stale nad
tym samym punktem kuli ziemskiej. Wyrazić promień RS poprzez promień Ziemi RZ,
przyśpieszenie na powierzchni Ziemi gZ i okres obiegu Ziemi TZ wokół swej osi.
6.
Pocisk o masie m=100 ton wystrzelono z pierwszą prędkością kosmiczną VI pionowo do góry.
Oblicz, jaką siłą pole grawitacyjne będzie działać na pocisk w najwyższym punkcie toru.
7.
Statek kosmiczny o masie m krąży swobodnie (bez napędu) po orbicie kołowej o promieniu R.
Oblicz całkowitą energię mechaniczną statku Ek+Ep. Jak zmienia się całkowita energia statku w
zależności od promienia orbity?
8.
Jaką pracę należy wykonać, aby przenieść sztucznego satelitę o masie m=10 t z powierzchni
Ziemi na wysokość h=2000 km? Jaką całkowitą energię mechaniczną będzie miał satelita
poruszający się po orbicie w tej odległości od Ziemi? Jaki potencjał grawitacyjny mają punkty
znajdujące się na tej orbicie?
9.
Dwie gwiazdy o masie M każda, krążą po wspólnej orbicie z okresem T. Obliczyć prędkość
gwiazd, promień orbity i całkowitą energię mechaniczną takiej gwiazdy podwójnej.
10. Oblicz pracę jaką należy wykonać aby rozsunąć dwie jednakowe gwiazdy o masie M każda,
krążące dookoła swego środka masy, jeśli promień wspólnej orbity obu gwiazd wynosi R. Po
rozsunięciu siła ich oddziaływania jest znikomo mała.
Mechaniczne i termodynamiczne własności ciał
Stany skupienia materii
Materia może występować w czterech stanach skupienia, czyli fazach:
• Stałej – atomy i cząsteczki drgają wokół ustalonych położeń;
• Ciekłej – gdy wielkość drgań jest dostatecznie duża, cząsteczki mogą się uwolnić i
przemieszczać wzdłuż materiału. Materiał traci wówczas swój kształt i przybiera kształt
naczynia;
• Gazowej – prędkość cząsteczek staje się na tyle duża, że zaczną się od siebie oddalać i w
rezultacie tworzy się gaz;
• Plazmy – w temperaturze powyżej 20000C zderzenia atomów są tak silne, że tracą one
niektóre lub wszystkie elektrony. Powstaje gazowa mieszanina wolnych elektronów i
dodatnich jonów.
Gęstość ciała: ρ =
Ciśnienie: p =
m
, gdzie m – masa , V – objętość
V
F
, gdzie F – siła nacisku, s – pole powierzchni naciskanej. [N/m2]=[Pa]
s
Ciśnienie hydrostatyczne: p = ρ ⋅ g ⋅ h , gdzie h – wysokość słupa cieczy
Prawo Archimedesa:
Na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało
Siła wyporu: Fw = ρ c ⋅ g ⋅ V , ρ – gęstość cieczy; V – objętość wypartej cieczy (objętość
zanurzonej części ciała)
Pływanie ciał (latanie balonów)
ρc – gęstość cieczy (gazu); ρ – gęstość zanurzonego ciała
ρ > ρc – ciało tonie (balon stoi na ziemi lub opada na ziemię)
ρ = ρc – ciało pływa całkowicie zanurzone (balon lata na dowolnej wysokości)
ρ < ρc – ciało pływa na powierzchni cieczy częściowo zanurzone (balon unosi się z ziemi).
Prawo Pascala
Ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu
Ciśnienie atmosferyczne
Prawo Bernoulliego
Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu:
p
ρ
+ g ⋅h +
V2
= E m = const
2
gdzie:
Em - energia jednostki masy płynu
- gęstość cieczy
V - prędkość cieczy w rozpatrywanym miejscu
h - wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna
g - przyspieszenie grawitacyjne
p - ciśnienie cieczy w rozpatrywanym miejscu
Z ruchem atomów i cząsteczek związana jest energia kinetyczna. Średnia wartość tej energii dla jednej
cząsteczki jest wielkością, która odpowiada za to jak gorące jest dane ciało.
Wielkością charakteryzującą stan ogrzania ciała jest temperatura.
Energia przenoszona pod wpływem różnicy temperatur nazywa się ciepłem.
Energia wewnętrzna jest sumą wszystkich energii ciała w określonej sytuacji.
W przypadku ciał będących w kontakcie cieplnym ciepło przepływa z ciała o wyższej temperaturze do
ciała o niższej temperaturze.
Ciepłem właściwym danej substancji nazywamy ilość ciepła potrzebną do ogrzania jednostki masy o
jeden stopień Celsjusza
cw =
∆Q
m ⋅ ∆T
[J/kg⋅K]
Ciepło właściwe można traktować jako miarę bezwładności cieplnej lub inaczej mówiąc miarę oporu
substancji wobec zmian temperatury.
Rozszerzalność cieplna
Przy zwiększaniu temperatury ciała jego atomy i cząsteczki poruszają się szybciej i oddalają się od
siebie. Powoduje to rozszerzanie się ciał. Prawie wszystkie ciała, niezależnie od stanu skupienia,
rozszerzają się przy ogrzewaniu i kurczą przy oziębianiu.
Współczynnik rozszerzalności cieplnej może mieć różną wartość.
Cieplna rozszerzalność liniowa ciał stałych: l = l0 (1+λt), l - długość ciała w temperaturze t,
l0 - długość ciała w temperaturze 00C, λ - temperaturowy współczynnik rozszerzalności
liniowej.
Cieplna rozszerzalność objętościowa cieczy i ciał stałych: V =V0 (1+αt); V - objętość ciała
(cieczy) w temperaturze t ; V0 - objętość ciała (cieczy) w temperaturze 00C; dla ciał
izotropowych α ≈ 3λ .
Przemiany fazowe
To w jakiej fazie znajduje się dana substancja zależy od temperatury i wywieranego na nią ciśnienia.
Zmianie fazy często towarzyszy zmiana temperatury lub ciśnienia.
Zmiana fazy zawsze wywołana jest przekazem ciepła.
Rodzaje przemian fazowych:
• Parowanie – zmiana fazy ciekłej na gazową (zachodzi na powierzchni cieczy);
• Skraplanie – proces odwrotny do parowania (kondensacja);
• Wrzenie – parowanie całej objętości cieczy;
• Topnienie – zmiana fazy stałej na ciekłą;
• Krzepnięcie – proces odwrotny do topnienia.
Ciepło przemiany fazowej
∆Q
[J/kg]
m
∆Q
ciepło parowania (skraplania): R =
m
ciepło topnienia (krzepnięcia): L =
Równanie stanu gazu doskonałego:
p ⋅V
= const
T
Przemiana izotermiczna T=const
(prawo Boyle’a-Mariotte’a)
p1 ⋅ V1 = p2V2
Przemiana izochoryczna V=const
(prawo Charlesa)
p1 p2
=
T1 T2
Przemiana izobaryczna p=const
(prawo Gay-Lussaca)
V1 V2
=
T1 T2
Przemiana adiabatyczna T=const, Q=const
(prawo Poissona)
p1 ⋅ V1κ = p2 ⋅ V2κ
Przyrost energii wewnętrznej ciała ∆U (przyrost temperatury) można uzyskać poprzez dostarczenie
ciału ciepła Q lub wykonanie nad nim pracy W.
Ciepło dostarczone lub pobrane:
Q = m ⋅ c w ⋅ ∆T
Bilans cieplny (wynika z prawa zachowania energii):
Qstr = Q zysk
Nauka o cieple i jego przemianach w energię mechaniczną nazywa się termodynamiką.
Przepływ ciepła między ciałami wiążę się ze zmianą energii wewnętrznej. Przejawem tych zmian
energii jest zmiana temperatury.
I zasada termodynamiki:
Zmiana energii układu równa jest dostarczonemu (lub pobranemu od niego) ciepłu.
Ciepło dostarczone do układu = wzrost energii wewnętrznej + praca wykonana przez układ.
∆U = W + Q
II zasada termodynamiki – wskazuje kierunek przepływu ciepła w procesach przebiegających w
sposób naturalny:
Ciepło nigdy nie przepływa spontanicznie z ciała zimnego do ciepłego.
Silnik cieplny – to urządzenie przetwarzające energię wewnętrzną na pracę mechaniczną. Wszystkie
silniki cieplne: parowe, spalinowe, odrzutowe itd. pracują na zasadzie przepływu ciepła między
ciałami o różnych temperaturach. W każdym takim silniku tylko część ciepła zamieniana jest na pracę.
Sprawność silnika:
η=
T1 − T2
T1
Zadania:
1.
Do otwartej i pionowo ustawionej rurki w kształcie litery U nalano wody, a następnie z jednej
strony dolano benzyny. Wysokość słupa benzyny wynosiła hB=25 cm, różnica poziomów wody i
benzyny była ∆h=0,7 cm. Oblicz gęstość benzyny. (δw=1g/cm3)
2.
Do naczynia zawierającego rtęć i wodę wrzucono kulkę ołowianą. Jaka część kulki jest zanurzona
w rtęci? (δr=13,6 g/cm3, δo=11,3 g/cm3, δw=1g/cm3)
3.
Siłomierz, na którego sprężynie zawieszono odważnik, wskazał F1=0,4 N. Po zanurzeniu
odważnika w wodzie wskazał F2=0,35 N, a po zanurzeniu w oliwie F3=0,36 N. Obliczyć gęstość
materiału odważnika i oliwy. (δw=1g/cm3)
4. W naczyniu znajduje się masa ml lodu o temp. Tl. Wpuszczono do niego pewną ilość pary
wodnej o temp. Tp. Ile pary wpuszczono jeśli lód się stopił, para wodna skropliła się, a
temp. końcowa powstałej mieszaniny wynosiła Tk? Założyć, że proces zachodzi bez strat
energii.(Dane: cl, cw, L, R)
5. Pęcherzyk powietrza, który powstał pod wodą na głębokości h=32 m, wypłynął na
powierzchnię. Jak zmieniła się jego objętość? Ciśnienie atmosferyczne wynosiło
pa=1,01⋅105 Pa.
6. W cylindrze z tłokiem znajduje się powietrze o objętości V1=1 dm3, pod ciśnieniem
atmosferycznym pa, w temp. T1=18oC. Jak zmieni się objętość powietrza w cylindrze,
jeśli temperatura otoczenia wzrośnie do T2=20 oC, a ciśnienie wzrośnie do pk=1,02⋅105 Pa.
W jakiej temperaturze otoczenia, mimo wzrostu ciśnienia, objętość gazu w cylindrze nie
zmieni się?
7. W idealnej maszynie cieplnej wykorzystującej cykl Carnota temperatura źródła ciepła jest
równa T1 = 227oC, a temperatura chłodnicy jest równa T2 = 127oC. Ile razy należy
zwiększyć temperaturę bezwzględną źródła ciepła, aby sprawność maszyny wzrosła
trzykrotnie?
Literatura:
1. J. Orear, Fizyka, t.1 i 2, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa 2001
2. D. Halliday, R. Resnick, Fizyka, t.1, PWN, Warszawa 1998;
3. P. G. Hewitt, Fizyka wokół nas, PWN, Warszawa 2003;
4. J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór zadań z fizyki dla kandydatów na wyższe
uczelnie, WNT, Warszawa 1981;
5. K. Chyla, Zbiór zadań prostych z fizyki, Zamkor, Kraków 2009
6. M. Głowacki, Rozwiązywanie zadań z fizyki, Wyd. WSP w Częstochowie, Częstochowa 1999
Download

t x tt xx ∆ ∆ = − − =