Prednáška 2
Obsah
ZOBRAZENIE ROVINY NA ROVINU
Perspektívna kolineácia
Osová afinita
ZOBRAZENIE ROVINY NA ROVINU
Základné pojmy
rovinné pole - všetky body ležiace v jednej rovine
geometrická príbuznosť 2 rovinných polí
- predpis, podľa ktorého prvkom jedného rovinného poľa
priradíme prvky druhého rovinného poľa
jedno-jednoznačná geometrická príbuznosť
- prvku jedného rovinného poľa je priradený práve jeden
prvok druhého rovinného poľa
súmiestne rovinné polia
- rôzne rovinné polia umiestnené v jednej rovine
1. PERSPEKTÍVNA KOLINEÁCIA
ρ, ρ´ ... rovinné polia
ρ′
S ... stred
S
a′
o ... os
A′
SA, SA´ ... kolineárny lúč
ρ
A
1 = 1′
o = o′
a
A→A´... odpovedajúce
si body
1=1' ... samodružný bod
o=o´ ... samodružná priamka
Definícia
PK je jedno-jednoznačná geometrická príbuznosť dvoch rovinných polí, v ktorej
každému bodu (priamke) jedného rovinného poľa odpovedá práve jeden bod
(priamka) druhého rovinného poľa, pričom platí:
odpovedajúce si body ležia na priamkach prechádzajúcich jedným bodom
S –stredom kolineácie,
odpovedajúce si priamky sa pretínajú na jednej priamke o – osi kolineácie,
zachováva sa incidencia.
Zobrazenie nevlastných bodov
ρ′
U′∞
U′∞
S
u
V∞ → V ′
V′
U ′∞ → U
v′
U
V∞
a′
V∞
1 = 1′
o = o′
a
úbežníky
ρ
u
v´
úbežnice
PERSPEKTÍVNA KOLINEÁCIA V ROVINE
ρ, ρ´ - súmiestne rovinné polia
Určenie
K(S;o;A→A´)
K(S;o;a→a´)
S
S
K(S;o;u)
S
a′
u
A´
S
o
o
o
a
A
S
Špeciálne prípady
osová afinita
S – nevlastný bod
homotetia
o – nevlastná priamka
translácia
S – nevlastný bod
o – nevlastná priamka
∞
S
S
o
∞
S
Obraz bodu
S
a′
Úloha 1
B′
Dané: K(S;o;A→A´) , B
Zostrojte: K(B)=B´
Postup
A′
1. SB
1=1'
2. a = AB
o
B
3. 1 = 1′ = a ∩ o
4. a′ = 1′A′
a
A
5. B′ = a′ ∩ SB
S
Úloha 2
Dané: K(S;o;u) , U - úbežník
Zostrojte: K(U)=U´
U
u
Postup
1. SU
o
U ′∞
2. ∞ U′ = SU
Obraz n - uholníka
Úloha 3
Postup
Dané: K(S;o;A→A´) , štvorec ABCD
1. B´
Zostrojte: obraz štvorca v danej kolineácii
2. C´
S
U BC
3. D´
′
u
U AB
′
B′
AA′′
C′
D′
1=1'
2=2'
3=3'
oo
DD
AA
C
BB
viď Úloha 1
Obraz trojuholníka
S
S
C
C′
Y
C
u
u
X
∞
A
C′
1=1'
∞
∞
∞
X′
B′
C′
2=2'
∞
Y′
A′
C′
Obraz kružnice
o
1=1'
B′
A′
Y′
B
B
o
∞
A
∞
u
X′
U
X
Y
kužeľosečka
elipsa
parabola
Poznámka
V kolineácii sa nezachováva rovnobežnosť a deliaci pomer!
hyperbola
2. OSOVÁ AFINITA
- špeciálny prípad PK, keď stred je nevlastný bod
s
B
A
S = sA
ρ, ρ´ ... rovinné polia
ρ′
s AA
∞
∞
a′
sA
S = sA
... smer afinných lúčov
o ... os
A′
AA´, BB´ ... afinné lúče
B′
1=1'
o = o′
a
B
ρ
A
Odlišnosti od perspektívnej kolineácie
vlastný bod sa vždy zobrazí ako vlastný,
nevlastný bod sa vždy zobrazí ako nevlastný,
zachováva sa deliaci pomer bodov na priamke
A→A´... odpovedajúce
si body
1=1' ... samodružný bod
o=o´ ... samodružná priamka
OSOVÁ AFINITA V ROVINE
ρ, ρ´ - súmiestne rovinné polia
Určenie
A(o;A→A´)
A(o;a→a´;
sA
sA
a′
A′
s A)
o
o
a
A
s BA
a′
s AA
B′
Postup
Obraz bodu
Úloha 4
1. a = AB
A′
o
1=1'
2. 1 = 1′ = a ∩ o
Dané: A(o;A→A´) , B
3. a′ = 1′A′
Zostrojte: A(B)=B´
B
B
B
4. s A : B ∈ s A ∧ s A ll s AA
A
a
B
Obraz n - uholníka
Úloha 5
Dané: A(o;A→A´) , štvorec ABCD
Zostrojte: obraz štvorca v danej afinite
s AA
s DA
s BA
s CA
B′
C′
A′
Postup
D′
1=1'
3=3'
2=2'
o
4=4'
1. B´
2. C´
D
3. D´
A
C
B
viď Úloha 4
Obraz kružnice
je kružnica alebo elipsa
Úloha 6
Dané: A(o;O→O´) , kružnica k(O;r)
Zostrojte: obraz kružnice v danej afinite
tN
tM
tK
K
3=3'
Postup
tM
1. OO´.. smer afinity
⊥
2. KL MN .. združené priemery
kružnice
O
N
tL
M
2=2'
K′
M′
k
′
O′
L
tK
3. K´L´, M´N´.. združené priemery
elipsy
k′
L′
4. osi elipsy Rytzovou konštrukciou
o
5. elipsa pomocou hyperoskulačných
kružníc
1=1'
tN
′
N′
tL
′
′
sA
Využitie
S0
n ρ2
C2
As
2=2´
N1
A1
21=2o
Bo
Ao
A
z
P1=Po
(A)
rA
1 ρ 1 ρ
s1 = s o
1=1´
C1
B1
Co
h ρ2
zA
B2
x1,2
11=1o
1
A2
N2
(1sρ)
1
Ao
(kA)
h1ρ
p 1ρ
Osová afinita
Perspektívna kolineácia
v Mongeovej projekcii
v stredovom premietaní
o
V
sA
Ar
Ar
o
A
o
A
1=1´
1=1´
Perspektívna kolineácia
medzi podstavou a rezom
Osová afinita
Download

Prednaska_2.pdf