FACULTY OF NATURAL SCIENCES
CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA
ACTA MATHEMATICA 10
CABRI 3D V ŠKOLSKEJ STEREOMETRII A METÓDA PRIDAJ KOCKU
DUŠAN VALLO, JÚLIA ZÁHORSKÁ
ABSTRACT: In our contribution we are concerned with solution stereometry problems
supported by software Cabri 3D. Our main purpose is also the presentation one metod
called “Add cube”, which could be usefull by searching special orthogonal linear shapes.
Úvod
V tomto príspevku budeme prezentova výhody interaktívneho geometrického
programu Cabri 3D a možnosti jeho použitia pri riešení niektorých vybraných
stredoškolských úloh zo stereometrie. Sú asne poukážeme na ú innú didaktickú metódu (s
pracovným názvom „metóda pridania kocky“), ktorej použitie v metrických úlohách
výrazne napomôže k lepšej priestorovej orientácii, podporí argumenta nú bázu a nakoniec
privedie študenta k riešeniu samotného problému.
Myšlienka metódy pridaj kocku
V metrických úlohách zo stereometrie majú študenti problém, ako nájs vhodný kolmý
útvar (priamku, rovinu), pomocou ktorého ur ia odpovedajúcu vzdialenos , resp. ve kos
uhla. Tí šikovnejší, s lepšou priestorovou orientáciou, asto intuitívne odhadnú polohu
kolmého útvaru, avšak zdôvodnenie môže so sebou prinies isté komplikácie, najmä
v prípadoch, ak sa h adané kolmé útvary nachádzajú mimo danej kocky.
Myšlienka metódy „pridaj kocku“ je jednoduchá – k danej kocke, na ktorej sa rieši
úloha, sa pridá kocka, resp. viac kociek, takým spôsobom, že kocky majú spolo nú stenu
a vytvoria pomerne názorné, študentom známe teleso. Z vlastností tohto telesa ahko
odvodia argumenty podporujúce opodstatnenos výberu kolmého útvaru.
Vyššie uvedené myšlienky demonštrujeme na troch príkladoch.
Príklad 1
Vypo ítajte vzdialenos bodu B od roviny AHF v kocke ABCDEFGH, ak AB
1.
Riešenie. Z názorného obrázku je jasné, že kolmica k z bodu B na rovinu AHF nepretína
kocku ABCDEFGH. Doplníme teda jednu jednotkovú kocku tak, ako je na obr. 1, ím
vznikne kváder A*B*CDE*F*GH a zostrojíme rez rovinou AHF . V doplnenej kocke
Príspevok vznikol s podporou grantu Názornos vo vyu ovaní matematiky (priestorová predstavivos ) celoškolskej grantovej
agentúry UKF v Nitre s registra ným íslom V/5/2005
221
DUŠAN VALLO, JÚLIA ZÁHORSKÁ
A*B*BAE*F*FE
je
rezom
rovnostranný trojuholník AB*F (jeho
strany sú stenové uhloprie ky).
Trojuholník AB*F
je
podstavou
pravidelného
trojbokého
ihlana
AB*FB s vrcholom B a teda kolmica
k z bodu B na rovinu AHF je výška
ihlana. Päta kolmice –
Obr. 1
bod B0 je stredom podstavy a zárove aj ažiskom trojuholníka AB*F .
Vypo ítame výšku ihlana!
Nech S1 je stred štvorca ABB * A * . V pravouhlom trojuholníku S1 FB majú odvesny
d žky BF
1 , BS1
2
.
2
6
a pre obsah S trojuholníka FS1 B platí
2
Prepona pod a Pytagorovej vety je FS1
2.S
FS1 . BB0
íselne
BS1 . FB .
6
BB0
2
2
1.
2
3
.
3
BB0
Odtia
Príklad 2
Je daná kocka ABCDEFGH. Vypo ítajte uhol priamok EC , BG , ak
AB 1 .
Riešenie. V drôtenom modeli kocky ABCDEFGH vyzna íme úse ky EC,
BG. Vidíme, že sú to mimobežky. Bodom C zostrojíme úse ku
CG * rovnobežnú s úse kou CG a pridáme kocku DCC*D*HGG*H*.
Vznikne štvorboký hranol ABFED*C*G*H*. Pomocou Pytagorovej vety
vypo ítame d žky strán trojuholníka ECG*. Uhloprie ka štvorca s d žkou
strany 1 má d žku 2 , preto AC
2 a tiež BG CG *
2 . Pre
telesovú uhloprie ku EC platí EC
222
AE
2
AC
2
3.
CABRI 3D V ŠKOLSKEJ STEREOMETRII A METÓDA PRIDAJ KOCKU
Strana EG * trojuholníka
ECG*
je preponou
trojuholníka EFG* v hornej
podstave kvádra, pri om
odvesny majú d žky 1a 2.
A teda
12
EG *
Ak
22
5.
je uhol priamok EC ,
CG * , potom pod a
kosínusovej vety platí
EG *
5
2
2
2
EC
3
2
Obr. 2
2
CG * 2. EC . CG * .cos . íselne:
2
2
2. 3. 2.cos
a odtia
cos
0
90 .
Nasledujúci príklad patrí medzi náro nejšie úlohy zo stredoškolskej stereometrie.
Príklad 3
Vypo ítajte vzdialenos priamok HF , BG v kocke ABCDEFGH , ak AB 1 .
Riešenie. Vzdialenos dvoch mimobežiek ur uje d žka osi mimobežiek, t.j. úse ky kolmej na
obe priamky.
Predpokladáme, že itate ovi je jasný postup konštrukcie osi dvoch mimobežiek a v alšom texte sa sústredíme len na
ukážku riešenia metódou „pridaj kocku“.
Ozna íme HF
q , BG
p . Bodom G budeme pomocnú priamku q* rovnobežnú
s HF q . Priamka q* prechádzajúca bodom G , nepretína kocku ABCDEFGH v inom
bode než G. Doplníme teda priestor alšími 7 kockami (obr. 3a, b) na jednu „ve kú“
kocku, pozostávajúcu z 8 jednotkových kociek.
Zostrojíme rez rovinou
ur enou priamkami p, q*. Rezom je pravidelný šes uholník,
ktorý môžeme a budeme považova na podstavu pravidelného šes bokého ihlana
s vrcholom v bode E*, ke že d žka každej hrany vychádzajúcej z vrcholu E* je
uhloprie kou obd žnika s rozmermi 1x2 ako vidíme na obr. 3b.
223
DUŠAN VALLO, JÚLIA ZÁHORSKÁ
Obr. 3a
Obr. 3b
Kolmým priemetom vrcholu ihlana E* do roviny podstavy je bod P, ktorý je nielen
stredom podstavy ihlana, ale sú asne aj stredom „ve kej kocky“. Z toho vyplýva, že
h adaná kolmica k (kolmá na priamky p a q* ) prechádza bodom P a je telesovou
uhloprie kou „ve kej“ kocky . Následne, rovina , ur ená priamkami k, p a zobrazená
na obr. 3c ako rovnobežník, pretne
224
CABRI 3D V ŠKOLSKEJ STEREOMETRII A METÓDA PRIDAJ KOCKU
Obr. 3c
úse ku EF v strede S1 . Prienik priamok q, GS1 je jeden z h adaných bodov osi – bod K.
Bodom K zostrojená rovnobežka s priamkou k pretína priamku p v druhom bode L osi o.
Musíme vypo íta d žku úse ky KL. V prvom rade bod K je ažiskom
trojuholníka BGE* (na obr. 3d sme
doplnili
zhodný
štvorec
E0 F0 FE a uhloprie ku HF0 obd žnika
HGF0 E0 . ažnice GS1 , HF trojuholníka
HGF0 sa pretínajú ažisku K a tým je
úse ka GS1 rozdelená bodom K v pomere
1: 2 . Sú asne je úse ka GS1 aj ažnicou
v trojuholníku BGE*) . V trojuholníku
BGE* je úse ka KL kolmá na BG (KL je
osou mimobežiek) a rovnobežná s GE* ,
preto z podobnosti vyplýva, že má
tretinovú d žku z GE *
3,
t.j.
Obr. 3d
íselne
KL
1
3
3.
Záver
Záverom ešte dve drobné pripomienky. Hoci sme ukázali, ako šikovne a nápadito rieši
komplikovanejšie stereometrické úlohy, musíme upozorni , že v klasickej školskej výu be
predstavuje metóda „pridaj kocku“ prístup didakticky menej vhodný. Problematická je
najmä vidite nos jednotlivých hrán názorného telesa, ak bola na papier, resp. tabu u ako
prvá umiestnená daná kocka. Po íta ový program Cabri 3D tieto komplikácie úplne
225
DUŠAN VALLO, JÚLIA ZÁHORSKÁ
eliminuje, ke že jeho konštruk né nástroje umož ujú užívate ovi manipuláciu s objektmi,
prezeranie si konštrukcií z rôznych poh adov a naviac má program priamo zabudovaný
konštruk ný nástroj na pridávanie zhodných kociek (obrázky v texte boli zostrojené
v tomto programe).
Druhý postreh sa týka samotnej kocky. Kocka je najpreferovanejšie teleso školskej
stereometrie a metóda „pridaj kocku“ si môže nájs svoje uplatnenie. Vo výu be je
potrebné venova pozornos aj iným rovnobežnostenom, ako i hranolom a ihlanom a
analogická metóda s pracovným názvom „pridaj rovnaké teleso“ by vo všeobecnosti mohla
viac skomplikova úlohu, než je žiaduce.
LITERATÚRA
[1]
Ku ina, F.: 10 pohledu na geometrii, Albra Praha 1996, ISBN 80-85823-21-7
[2]
Vidermanová, K.: Výu ba stereometrie a rozvoj priestorovej predstavivosti
pomocou po íta ových programov, In. Informa né a komunika né technológie vo
vyu ovaní matematiky, Nitra, 2005 Prírodovedec . 199, ISBN 80-8050-925-5
RNDr. Dušan Vallo
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
Recenzent:
226
Mgr. Júlia Záhorská
Katedra matematiky
Fakulta prírodných vied
Univerzita Konštantína Filozofa
Trieda A. Hlinku 1
SK – 949 01 Nitra
e-mail: [email protected]
RNDr. Peter Csiba, PhD.
e-mail: [email protected]
Download

Cabri 3D v školskej stereometrii a metóda pridaj kocku