Teória úrokových mier
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
5. týždenˇ
Martin Harcek
Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky
Univerzita Komenského v Bratislave
Plánovaný termín cviˇcení: 19. okt., 25. okt. 2010
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Obsah dnešného cviˇcenia
1
Teória úrokových mier
Durácia
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Durácia dlhopisu (všeobecne)
vyjadruje dobu, za ktorú sa investorovi vráti preinvestovaný
ˇ
kapitál (pri zohl’adnení cˇ asovej hodnoty penazí)
jedna z (rizikových) mier citlivosti trhovej ceny dlhopisu
(dlhopisového portfólia) na zmenu úrokových mier
vyjadrená je v cˇ asových jednotkách, platí:
D ∈ t0 , tn
nie je jednoznaˇcne definovaná, existuje viacero spôsobov
výpoˇctu
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Fisher-Weilova durácia I
uvažuje spojité úroˇcenie
každý dlhopis implikuje tok platieb, oznaˇcme ako
postupnost’:
CF (t1 ), CF (t2 ), . . . , CF (tn )
ˇ
súˇcasná hodnota dlhopisu (resp. jeho penažného
toku) je
daná vzt’ahom:
P=
n
X
CF (ti ) e−r (ti ) ti
i=1
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Fisher-Weilova durácia II
pri paralelnom posune úrokových mier o λ sa súˇcasná
hodnota dlhopisu zmení na:
P(λ) =
n
X
CF (ti ) e−(r (ti )+λ) ti
i=1
zaujíma nás zmena súˇcasnej hodnoty pri zmene
úrokových mier o vel’mi malé λ:
n
X
P(r + λ) − P(r )
dP(λ) lim
=
=
−
ti CF (ti ) e−r (ti ) ti
λ
dλ λ=0
λ→0
i=1
uvedený vzt’ah má ešte jeden nedostatok: nie je škálovo
invariantný (preˇco?!)
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Fisher-Weilova durácia III
pre dosiahnutie škálovej invariantnosti je potrebné ho
normovat’ na jednotkovú cenu P, z cˇ oho dostávame vzt’ah
pre tzv. Fisher-Weilovu duráciu:
−DFW =
dP(λ) dλ λ=0
P
=
−
Pn
i=1 ti
CF (ti ) e−r (ti ) ti
P
durácia sa udáva v kladných cˇ íslach (vyjadruje cˇ as
návratnosti investovaného kapitálu) , preto −DFW
pre malú zmenu ∆λ môžeme vzt’ah aproximovat’:
dP
dλ
P
∼
Martin Harcek
∆P
∆λ
P
= −DFW
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Fisher-Weilova durácia IV
z uvedeného vzt’ahu vieme odhadnút’ zmenu súˇcasnej
hodnoty dlhopisu pri malej zmene úrokových mier:
∆P ∼ −P DFW ∆λ
Interpretácia vzt’ahu
1
nárast úrokových mier implikuje zníženie trhovej ceny
dlhopisu
2
pokles úrokových mier implikuje nárast trhovej ceny
dlhopisu
3
durácia má funkciu multiplikátora (vyjadruje citlivost’ ceny
na zmenu úroku)
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Kvázi-modifikovaná durácia I
uvažuje diskrétne úroˇcenie, kupón m-krát roˇcne
každý dlhopis implikuje tok platieb, oznaˇcme ako
postupnost’:
CF (t1 ), CF (t2 ), . . . , CF (tn )
ˇ
súˇcasná hodnota dlhopisu (resp. jeho penažného
toku) je
daná vzt’ahom:
P=
n
X
i=1
Martin Harcek
CF (ti )
1+
r (ti )
m
i
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Kvázi-modifikovaná durácia II
pri paralelnom posune úrokových mier o λ sa súˇcasná
hodnota dlhopisu zmení na:
P(λ) =
n
X
i=1
CF (ti )
1+
r (ti )+λ
m
i
opät’ nás zaujíma zmena súˇcasnej hodnoty pri zmene
úrokových mier o vel’mi malé λ:
n X
P(r + λ) − P(r )
dP(λ) i
CF (ti )
lim
=
=
−
i+1
λ
dλ λ=0
m
λ→0
i=1
1 + r (tmi )
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Kvázi-modifikovaná durácia III
škálovú invariantnost’ opät’ docielime normovaním vzt’ahu
na jednotkovú cenu P, z cˇ oho dostávame vzt’ah pre
kvázi-modifikovanú duráciu:
−(i+1)
P
dP(λ) − ni=1 mi CF (ti ) 1 + r (tmi )
dλ λ=0
=
−DQ =
P
P
zmenu súˇcasnej hodnoty dlhopisu pri malej zmene
úrokových mier vieme opät’ odhadnút’ podl’a vzt’ahu:
∆P ∼ −P DQ ∆λ
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Macaulayove durácie
definované pomocou výnosu do splatnosti
uvažujú diskrétne úroˇcenie
Macaulayova durácia:
−i
Pn i YTM
CF
(t
)
1
+
i
i=1 m
m
D=
P
Modifikovaná Macaulayova durácia:
DM =
D
1 + YTM
m
Pre modifikovanú Macaulayovu duráciu platí obdoba
vzt’ahu pre odhad zmeny ceny dlhopisu:
∆P ∼ −P DM ∆λ
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Príklad #1
Vypoˇcítajte DFW a DQ bezkupónového dlhopisu s nominálnou
hodnotou 1 a s dobou splatnosti v cˇ ase n.
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Príklad #1
Vypoˇcítajte DFW a DQ bezkupónového dlhopisu s nominálnou
hodnotou 1 a s dobou splatnosti v cˇ ase n.
Príklad #2
Dlhopis s nominálnou cenou 100 EUR, s dobou splatnosti 5
rokov vypláca na konci každého roku kupón vo výške 8%.
Výnos do splatnosti pri diskrétnom úroˇcení je 11%.
a) Vypoˇcítajte trhovú cenu dlhopisu a modifikovanú
Macaulayovu duráciu
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Príklad #1
Vypoˇcítajte DFW a DQ bezkupónového dlhopisu s nominálnou
hodnotou 1 a s dobou splatnosti v cˇ ase n.
Príklad #2
Dlhopis s nominálnou cenou 100 EUR, s dobou splatnosti 5
rokov vypláca na konci každého roku kupón vo výške 8%.
Výnos do splatnosti pri diskrétnom úroˇcení je 11%.
a) Vypoˇcítajte trhovú cenu dlhopisu a modifikovanú
Macaulayovu duráciu
b) S použitím durácie odhadnite, aký vplyv bude mat’ zníženie
výnosu do splatnosti o 0, 2% na cenu dlhopisu?
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Príklad #1
Vypoˇcítajte DFW a DQ bezkupónového dlhopisu s nominálnou
hodnotou 1 a s dobou splatnosti v cˇ ase n.
Príklad #2
Dlhopis s nominálnou cenou 100 EUR, s dobou splatnosti 5
rokov vypláca na konci každého roku kupón vo výške 8%.
Výnos do splatnosti pri diskrétnom úroˇcení je 11%.
a) Vypoˇcítajte trhovú cenu dlhopisu a modifikovanú
Macaulayovu duráciu
b) S použitím durácie odhadnite, aký vplyv bude mat’ zníženie
výnosu do splatnosti o 0, 2% na cenu dlhopisu?
c) Vypoˇcítajte cenu dlhopisu pri výnose do splatnosti 10, 8%.
Overte, cˇ i je cena v súlade s odpoved’ou b)
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Príklad #3 - Imunizácia
Pre Váš investiˇcný zámer ste si zobrali pôžiˇcku, v ktorej ste sa
zaviazali vrátit’ 1 mil. EUR o 5 rokov a požiˇcané peniaze ste sa
rozhodli investovat’ do dvoch dlhopisov s nominálnou hodnotou
100 EUR:
dlhopis A na 10 rokov, s kupónom 4% a cenou 61,51 EUR,
dlhopis B na 5 rokov, s kupónom 8% a cenou 97,71 EUR.
Úrokové miery a cˇ iastoˇcné výpoˇcty sú uvedené v Exceli.
Vašim ciel’om je zostavit’ zaistené portfólio (také, ktorého
hodnota bude imúnna voˇci zmenám úrokových sadzieb)
a) Vypoˇcítajte durácie oboch dlhopisov, súˇcasnú hodnotu a
taktiež duráciu Vašej pôžiˇcky.
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Príklad #3 - Imunizácia
Pre Váš investiˇcný zámer ste si zobrali pôžiˇcku, v ktorej ste sa
zaviazali vrátit’ 1 mil. EUR o 5 rokov a požiˇcané peniaze ste sa
rozhodli investovat’ do dvoch dlhopisov s nominálnou hodnotou
100 EUR:
dlhopis A na 10 rokov, s kupónom 4% a cenou 61,51 EUR,
dlhopis B na 5 rokov, s kupónom 8% a cenou 97,71 EUR.
Úrokové miery a cˇ iastoˇcné výpoˇcty sú uvedené v Exceli.
Vašim ciel’om je zostavit’ zaistené portfólio (také, ktorého
hodnota bude imúnna voˇci zmenám úrokových sadzieb)
a) Vypoˇcítajte durácie oboch dlhopisov, súˇcasnú hodnotu a
taktiež duráciu Vašej pôžiˇcky.
b) Definujte kvantity jednotlivých cenných papierov vo Vašom
portfóliu (požadujete, aby sa súˇcasná hodnota nakúpených
cenných papierov rovnala Vašim fin. prostriedkom a tiež,
ˇ
aby portfólio reagovalo na posuny krivky CŠÚM
rovnako ako
pôžiˇcka)
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Teória úrokových mier
Durácia
Príklad #3 - Imunizácia
Pre Váš investiˇcný zámer ste si zobrali pôžiˇcku, v ktorej ste sa
zaviazali vrátit’ 1 mil. EUR o 5 rokov a požiˇcané peniaze ste sa
rozhodli investovat’ do dvoch dlhopisov s nominálnou hodnotou
100 EUR:
dlhopis A na 10 rokov, s kupónom 4% a cenou 61,51 EUR,
dlhopis B na 5 rokov, s kupónom 8% a cenou 97,71 EUR.
Úrokové miery a cˇ iastoˇcné výpoˇcty sú uvedené v Exceli.
Vašim ciel’om je zostavit’ zaistené portfólio (také, ktorého
hodnota bude imúnna voˇci zmenám úrokových sadzieb)
a) Vypoˇcítajte durácie oboch dlhopisov, súˇcasnú hodnotu a
taktiež duráciu Vašej pôžiˇcky.
b) Definujte kvantity jednotlivých cenných papierov vo Vašom
portfóliu (požadujete, aby sa súˇcasná hodnota nakúpených
cenných papierov rovnala Vašim fin. prostriedkom a tiež,
ˇ
aby portfólio reagovalo na posuny krivky CŠÚM
rovnako ako
pôžiˇcka)
c) Predpokladajte posun úrokových mier o 1% oboma smermi.
Porovnajte hodnotu portfólia s pôžiˇckou.
Martin Harcek
Cviˇcenia z finanˇcnej matematiky
Download

Cvicenia z financnej matematiky - 5. týžden