LINEARNI A KVADRATICKE MOMENTY K POSUNUTYM OSAM
- predpokladejme, ze zname linearni a kvadraticke momenty
y
k osam y, z a chceme urcit momenty k osam y´a z´.
c
- souradnice elementu ds k posunutym osam jsou potom:
y´ = y - d
z´ = z - c
z
- dosazenim do zakladnich vztahu pro linearni a kvadraticke
momenty (napr. Jy´= ∫z´2ds = ∫(z-c)2ds = ∫z2ds – 2c∫zds + c2∫ds =
y´
z´
ds
Jy - 2cUy + c2S ) dostaneme nasledujici vztahy:
z´
Linearni momenty
d
y´
Uy´ = Uy - cS
Uz´ = Uz - dS
y
Kvadraticke momenty
Jy´ = Jy - 2cUy + c2S
Jz´ = Jz - 2dUz + d2S
Jp´= Jy´ + Jz´ = Jy + Jz - 2cUy - 2dUz + (d2 + c2)S
Jy´z´= Jyz - dUy - cUz + dcS
- osovy kvadraticky moment
- polarni moment
- deviacni moment
z
y´
Pozor!
y
c
Hodnoty posunuti c, d jsou kladne (zaporne) pokud
novy SS´ vznikne posunutim puvodniho SS v jeho
kladnem (zapornem) smeru prislusne osy.
z´
z´
z
d
y´
y
ds
V tomto pripade je hodnota c
dosazovana do vyse uvedenych
vztahu jako zaporne cislo, protoze
posunuti SS bylo realizovano v
zapornem smeru osy z (z´= z + c).
Hodnota d je dosazovana jako kladne
cislo (y´ = y - d).
z
- jsou-li osy y a z CENTRALNIMI OSAMI (prochazeji tezistem prurezu) => yT a zT , plati, ze linearni momenty UyT =
UzT = 0 a tedy vzdalenosti os souradneho systemu od teziste yT = zT = 0. Potom se nase transformacni vztahy
zjednodusi a tyto vztahy se v literature oznacuji jako STEINEROVY VETY:
Pozor!
Jy´, Jz´: znamenko u hodnot posunuti c, d zde resit uz nemusite, nebot se
zde hodnoty posunuti vyskytuji ve druhe mocnine (vzdy kladne cislo).
Uy´, Uz´,Jyz´: zde je nutne brat na zretel znamenka u hodnot posunuti c, d
yT
zT
c
y’
Linearni momenty
Uy´ = - cS
Uz´ = - dS
z´
Kvadraticke momenty
Jy´ = JyT + c2S
Jz´ = JzT + d2S
Jp´= Jy´ + Jz´ = JyT + JzT + (d2 + c2)S
Jy´z´= JyzT + dcS
d
- osovy kvadraticky moment
- polarni moment
- deviacni moment
T
ZADANI
Rozmery pricneho prurezu: 2.0 x 4.5 cm (b x h)
URCETE:
1) S
2) Uy, Uz, Jy, Jz, Jyz, Jp
3) Jy´, Jz´, Jyz´ , Jp´
4) Jy´´, Jz´´, Jyz´´, Jp´´
5) Jy´´´, Jz´´´, Jyz´´´, Jp´´´
6) Jy´´´´, Jz´´´´, Jyz´´´´, Jp´´´´
7) Jy I, Jz I, Jyz I, JpI
b/2
y´´´´
b/2
y´´´
z´´´´
z´´´
y
h
y´´
y´
h/2
T
z´´
z´
yI
b
h = 4.5 cm
b = 2.0 cm
z
zI
b/2
y´´´´
RESENI:
1) S = ?
S = 9.0 cm2
b/2
2) Uy, Uz, Jy, Jz, Jyz, Jp = ?
Uy = 20.25 cm3; Uz = 9.00 cm3
Jy = 60.75 cm4 ; Jz = 12.0 cm4 ; Jyz = 20.25 cm4 ; Jp = 72.75 cm4
y´´´
z´´´´
z´´´
y
h
y´´
y´
h/2
T
z´´
z´
yI
b
z
h = 4.5 cm
b = 2.0 cm
zI
Jy [cm4]
Jz [cm4]
Jyz [cm4]
Jp [cm4]
SS´
15.19
3.00
0
18.19
SS´´
15.19
39.00
0
54.19
SS´´´
197.44
39.00
81.00
236.44
SS´´´´
197.44
3.00
0
200.44
SSI
60.75
39.00
-40.50
99.75
LINEARNI A KVADRATICKE MOMENTY K POOTOCENYM OSAM
y´
- predpokladejme, ze zname linearni a kvadraticke momenty
k osam y, z a chceme urcit momenty k osam y´a z´.
y
- souradnice elementu ds k potocenym osam jsou potom:
y
z´ = zcosα – ysinα
y´ = ycosα + zsinα
z
- dosazenim do zakladnich vztahu pro linearni a kvadraticke
momenty (napr. Jy´= ∫z´2ds = ∫(zcosα – ysinα)2ds = ∫(z2cos2α –
2yzsinαcosα + y2sin2α)ds =
Jycos2α – Jyzsin2α + Jzsin2α)
ds
ysinα
dostaneme nasledujici vztahy:
Linearni momenty
z´
Uy´ = Uycosα - Uzsinα
Uz´ = Uzcosα + Uysinα
zcosα
Kvadraticke momenty
Jy´ = Jycos2α - Jyzsin2α + Jzsin2α
Jz´ = Jysin2α + Jyzsin2α + Jzcos2α
Jp´= Jy´ + Jz´ = Jy + Jz = Jp => je INVARIANTNI
Jy´z´= [(Jy – Jz)sin2α]/2 + Jyzcos2α
z
- osovy kvadraticky moment
- polarni moment
- deviacni moment
- kvadraticke momenty Jy, Jz a Jyz maji vsechny vlastnosti souradnic tenzoru jako matematickeho utvaru tzn. ze
vsechny jeho slozky v novem, natocenem kartezskem souradnicovem systemu (SS) jsou urceny linearni kombinaci
souradnic tenzoru puvodniho SS.
- k zakladnim vlastnostem tenzoru patri existence HLAVNIHO SOURADNICOVEHO SYSTEMU (HSS) => to jest takovy
souradnicovy system, kde je deviacni moment Jyz roven nule (Jyz = 0). Kvadraticke momenty prurezu pote nazyvame
HLAVNIMI OSOVYMI KVADRATICKYMI MOMENTY PRUREZU a znacime je indexy I, II (JI, JII). Chceme-li rozlisit tyto
hlavni momenty dle jejich velikosti, pote pro vetsiho z nich pouzivame index 1 a mensiho z nich index 2 (J1, J2, kde J1
> J2). Nadale J1 nazyvame MAXIMALNIM HLAVNIM OSOVYM KVADRATICKYM MOMENTEM a J2 nazyvame
MINIMALNIM HLAVNIM OSOVYM KVADRATICKYM MOMENTEM.
- nalezeni a pouzivani HSS je pro nas zvlast vyhodne, nebot dojde ke zjednoduseni vztahu pro vypocet napeti.
- pokud bude souradnicovy system lezet v tezisti, budeme jej nazyvat CENTRALNIM SOURADNICOVYM SYSTEMEM
(CSS) a jeho osy CENTRALNIMI OSAMI.
- o jakou hodnotu uhlu αI musime stavajici SS natocit, aby se stal HSS (Jyz = 0), nam rekne nasledujici vztah:
y
y
y
T
z
SS
z
HSS
z
CSS
y
T
z
HCSS
Pozor!
Uhel α je vzdy ten ostry uhel (mensi nez 90°)mezi
vodorovnou osou v Mohrove rovine a spojnici bodu A
a stredu kruznice S.
- tenzor kvadratickych momentu je mozne graficky znazornit v tzv. MOHROVE ROVINE pomoci MOHROVY KRUZNICE
- na vodorovnou osu nanasime osove kvadraticke momenty Jy, Jz
- na svislou osu deviacni moment Jyz
- v Mohrove kruznici plati plati dvojnasobek uhlu tzn. ze odmereny uhel v Mohrove rovine je ve skutecnosti polovicni
(proto uhel znacime 2α)
Mohrova kruznice pro pripad, kde Jy > Jz a Jyz > 0.
deviacni kvadraticky
moment
Jy
Pozor!
Bod A je vzdy dany souradnicemi
Jy a Jyz, kde u Jyz uvazujeme jeho
znamenko (+,-)!
(Jy + Jz)/2
Jz
A
r
S
2
J2
Jyz
osove kvadraticke
momenty
2α
1
B
J1
Poznamka: Bod B je je rovnez
zadan pomoci Jyz, ale znamenko
neni ridici, nebot jeho poloha (+
nebo -) je rizena polohou budu A.
Postup pro sestrojeni Mohrovy kruznice a urceni uhlu natoceni α:
1.
Spocitame hodnoty Jy, Jz a Jyz . Uvazujme nyni pripad, ze Jz > Jy a Jyz < 0.
y
Jz = ∫y2ds ; Jy = ∫z2ds; Jyz = ∫yz ds
Jz > Jy a Jyz < 0.
z
2.
Na osy zaneseme hodnoty Jy, Jz a urcime stred kruznice S (je vlastne stred mezi Jy a Jz).
Jz
Jy
S
(Jy + Jz)/2
3.
Deviacni moment Jyz a to vcetne uvazovani jeho znamenka (+,-) vynasime VZDY
z
k osovemu kvadratickemu momentu Jy (vyplyva to z odvozenych vztahu).
B
Sestrojime bod A [Jy, Jyz], který je bodem Mohrovy kruznice. Jelikoz zname stred
Jy
kruznice S a jeji bod A, muzeme sestrojit Mohrovu kruznici.
Poznamka: Jak jiz bylo uvedeno, v Mohrove rovine plati dvojnasobek uhlu, tzn.
ze jakykoliv odecteny uhel musite vydelit dvema. Proto tedy osy y a z v
Mohrove rovine sviraji uhel 2*90° = 180° (osa y -> SA, osa z -> SB).
A
y
S
r
Jz
Jyz
4.
Odecteme uhel 2α, tedy uhel mezi y osou (spojnice bodu SA) a vodorovnou osou Mohrovy kruznice (osa
osovych kvadratickych momentu).
Pruseciky kruznice s vodorovnou osou nam daji hlavni kvadraticke momenty => J1 maximalni, J2 minimalni hlavni
kvadraticky moment.
Chceme-li tedy natocit puvodni souradnicovy system yz do polohy HLAVNIHO SOURADNICOVEHO SYSTEMU
(HSS) a to tak, ze osa y bude maximalni hlavni osou (Jy = J1, a tedy Jz = J2 ), potom musime SS yz otocit o uhel α
ve stejnem smyslu otoceni jako je oznaceno v Mohrove kruznici (v tomto pripade proti smeru hodinovych
rucicek).
B
Chceme-li, aby y-osa byla minimalni
hlavni osou 2 (Jy´ = J2), musime otocit
osu y o uhel α (tento uhel muze byt
spocitam dle nize uvedeneho vztahu)
z
S
J2
2α 2β
A
J1
y
y´ = 2
α
Chceme-li, aby y-osa byla
maximalni hlavni osou 1 (Jy´ = J1),
musime otocit osu y o uhel β.
y
β
y
z´ = 1 z
y´ = 1
z
z´ = 2
Poznamka: Pokud bychom chteli, aby osa z byla maximalni hlavni osou (Jz = J1, a tedy Jy = J2 ), pote musime
otocit SS yz o polovicni uhel, jez svira usecka SB a S1 pri zachovani stejne smyslu otaceni, ktery vyplyva z
Mohrovy kruznice (v tomto pripade ve smeru hodinovych rucicek).
ZADANI
Rozmery pricneho prurezu: 2.0 x 4.5 cm (b x h)
URCETE:
1) Jy, Jz, Jp, Jyz, Jy´, Jz´, Jp´, Jyz´
2) O jaky uhel α musite pootocit osu y, aby SS yz a y´z´ byly hlavnimi souradnicovymi systemy.
3) Hlavni kvadraticke momenty J1 a J2 pro oba SS.
4) Zakreslete Mohrovy kruznice pro oba SS
b/2
y
y´
h/2
h
z´
b
h = 4.5 cm
b = 2.0 cm
z
1
RESENI:
α
h
h = 4.5 cm
b = 2.0 cm
SS
Jz
[cm4]
Jp
[cm4]
Jyz
[cm4]
J1
[cm4]
J2
[cm4]
Jp12
[cm4]
α
[°]
60.75
12.00
72.75
20.25
68.06
4.69
72.75
-19.86
Jy
2
b
Jy
[cm4]
z
deviacni kvadraticky
moment
y
(Jy + Jz)/2
Jz
A
r
S
Jp= Jy + Jz = J1 + J2 = Jp12 => je INVARIANTNI
2
J2
Jyz
2α
1
B
J1
b/2
y´
RESENI:
Jz
[cm4]
Jp
[cm4]
Jyz
[cm4]
J1
[cm4]
J2
[cm4]
Jp12
[cm4]
α
[°]
15.19
39.00
54.19
0
39.00
15.19
54.19
0
h/2
SS´
2
h
Jy
[cm4]
z´
1
b
deviacni kvadraticky
moment
Jz
h = 4.5 cm
b = 2.0 cm
(Jy + Jz)/2
Jy
B
Jp= Jy + Jz = J1 + J2 = Jp12 => je INVARIANTNI
Jyz =0
S
2
A
1
J2
J1
Download

LINEARNI A KVADRATICKE MOMENTY K POSUNUTYM OSAM