ˇ
´I TECHNICKE´ V BRNEˇ
VYSOKE´ UCEN
BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
´
FAKULTA PODNIKATELSKA
´
USTAV
INFORMATIKY
FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT
INSTITUTE OF INFORMATICS
ˇ ´IHO PORTFOLIA
OPTIMALIZACE INVESTICN
POMOC´I METAHEURISTIKY
PORTFOLIO OPTIMIZATION USING METAHEURISTICS
´
DIPLOMOVA´ PRACE
MASTER’S THESIS
´
AUTOR PRACE
Bc. MARTIN HAVIAR
AUTHOR
´
VEDOUC´I PRACE
SUPERVISOR
BRNO 2015
Ing. JAN BUD´IK, Ph.D.
Vysoké učení technické v Brně
Fakulta podnikatelská
Akademický rok: 2014/2015
Ústav informatiky
ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE
Haviar Martin, Bc.
Informační management (6209T015)
Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách, Studijním a
zkušebním řádem VUT v Brně a Směrnicí děkana pro realizaci bakalářských a magisterských
studijních programů zadává diplomovou práci s názvem:
Optimalizace investičního portfolia pomocí metaheuristiky
v anglickém jazyce:
Portfolio Optimization Using Metaheuristics
Pokyny pro vypracování:
Úvod
Cíle práce, metody a postupy
Teoretická východiska práce
Analýza problému
Vlastní návrhy řešení
Závěr
Seznam použité literatury
Přílohy
Podle § 60 zákona č. 121/2000 Sb. (autorský zákon) v platném znění, je tato práce "Školním dílem". Využití této
práce se řídí právním režimem autorského zákona. Citace povoluje Fakulta podnikatelská Vysokého učení
technického v Brně.
Seznam odborné literatury:
DOSTÁL, P. Pokročilé metody analýz a modelování v podnikatelství a veřejné správě. Brno:
CERM, 2008. 432 p. ISBN 978-80-7204-605-8.
GOLDBERG, D. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. USA:
Addison-Wesley, 1989. 412 p. ISBN 978-0201157673.
GRAHAM, B. Inteligentní investor. GRADA, 2007. 504 s. ISBN 978-80-247-1792-0.
MARKOWITZ, M. Portfolio Selection. USA: John Wiley & Sons, 1959. 402 p. ISBN
978-1557861085
REJNUŠ, O. Finanční trhy. Ostrava: KEY Publishing, 2008. 548 p. ISBN 978-80-87-8.
WILLIAMS, L. Long-Term Secrets to Short-Term Trading. USA: Wiley-Interscience, 1999. 255
p. ISBN 0-471-29722-4.
Vedoucí diplomové práce: Ing. Jan Budík, Ph.D.
Termín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2014/2015.
L.S.
_______________________________
doc. RNDr. Bedřich Půža, CSc.
Ředitel ústavu
_______________________________
doc. Ing. et Ing. Stanislav Škapa, Ph.D.
Děkan fakulty
V Brně, dne 1.12.2014
Abstrakt
Diplomov´
a pr´
ace se zab´
yva n´
avrhem a implementac´ı investiˇcn´ıho modelu, kter´
y aplikuje
metody Postmodern´ı teorie portfolia. Na optimalizaci portfolia je pouˇzit´a metaheuristika
optimalizace rojem ˇc´
astic (PSO), kter´e parametry boli analyzovan´e r˚
uzn´
ymi experimenty.
Model na odhad distribuce budouc´ıch v´
ynos˚
u vyuˇz´ıv´a Johnsonovo SU rozdelen´ı, kter´e se
uk´azalo jako nejvhodnejˇs´ı z analyzovan´
ych distribuc´ı. V´
ysledkem je softv´erov´a aplikace v
jazyce Python, na kter´e je testov´
ana stabilita a v´
ykonnost modelu v extr´emn´ıch situac´ıch.
Abstract
This thesis deals with design and implementation of an investment model, which applies
methods of Post-modern portfolio theory. Particle swarm optimization (PSO) metaheuristic was used for portfolio optimization and the parameters were analyzed with several
experiments. Johnsons SU distribution was used for estimation of future returns as it proved to be the best of analyzed distributions. The result is software application written in
Python, which is tested for stability and performance of model in extreme situations.
Kl´ıˇ
cov´
a slova
Optimalizace portfolia, investiˇcn´
y model, Postmodern´ı teorie portfolia, metaheuristika,
optimalizace rojem ˇc´
astic, PSO, Python
Keywords
Portfolio optimization, investment model, Post-modern portfolio theory, metaheuristic,
particle swarm optimization, PSO, Python
Bibliografick´
a citace
HAVIAR, M. Optimalizace investiˇcn´ıho portfolia pomoc´ı metaheuristiky. Brno: Vysok´e
uˇcen´ı technick´e v Brnˇe, Fakulta podnikatelsk´a, 2014. 73 s. Vedouc´ı diplomov´e pr´ace Ing.
Jan Bud´ık, Ph.D.
ˇ
Cestn´
e prohl´
aˇ
sen´ı
Prehlasujem, ˇze predloˇzen´
a diplomov´a pr´aca je pˆovodn´a a vypracoval som ju samostatne.
Prehlasujem, ˇze cit´
acia pouˇzit´
ych prameˇ
nov je u
´pln´a, a ˇze v pr´aci nedoˇslo k naruˇseniu autorsk´
ych pr´
av (v zmysle Z´
akona ˇc. 121/2000 Sb., o pr´ave autorskom a o pr´avach s´
uvisiacich
s pr´avom autorsk´
ym).
.......................
Martin Haviar
22. janu´ara 2015
Podˇ
ekov´
an´ı
R´ad by som sa pod’akoval Ing. Janu Bud´ıkovi, Ph.D. za vedenie, odborn´
y pr´ıstup a podˇ
netn´e pripomienky k mojej pr´
aci. Dakujem
tieˇz svojej rodine a priatel’om, ktor´ı ma pri
p´ısan´ı pr´
ace podporovali. V neposlednom rade patr´ı vd’aka analytikovi Stuartovi Reidovi,
za ochotu pri konzult´
acii postupov tejto pr´ace.
Obsah
´
Uvod
10
1 Ciele pr´
ace, met´
ody a postupy
12
2 Teoretick´
e v´
ychodisk´
a pr´
ace
13
2.1
2.2
Investiˇcn´e portf´
olio a jeho optimaliz´acia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1
Z´
akladn´e pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2
Selekcia portf´
olia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3
Strategick´
a alok´
acia akt´ıv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4
Riziko a jeho meranie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.5
Korel´
acia a korelaˇcn´
y koeficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.6
Predpovedanie a meranie v´
ykonnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.7
Modern´
a te´
oria portf´olia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.8
Post-modern´
a te´
oria portf´olia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Optimaliz´
acia a metaheuristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1
Simulovan´e ˇz´ıhanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2
Optimaliz´
acia rojom ˇcast´ıc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Anal´
yza probl´
emu
40
4 N´
avrh vlastn´
eho rieˇ
senia
42
4.1
Architekt´
ura modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.1
Technol´
ogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.2
Zdrojov´e d´
ata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.3
Posuvn´e okno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.4
´ celov´
Uˇ
a funkcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.5
Selekcia portf´
olia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8
4.1.6
4.2
4.3
4.4
Optimaliz´
acia portf´olia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Optimaliz´
acia modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1
Odhad distrib´
ucie v´
ynosov
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2
Optimaliz´
acia posuvn´eho okna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.3
Optimaliz´
acia parametrov PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.4
Pouˇzitie alternat´ıvnej metaheuristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.5
Zhrnutie optimaliz´acie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Pr´ıpadov´e ˇst´
udie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.1
Glob´
alna finanˇcn´a kr´ıza 2008-2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.2
Hedging pomocou indexu VIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Moˇznosti rozˇs´ırenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Z´
aver
69
A Obsah CD
80
9
´
Uvod
Uˇz star´e Babylonsk´e uˇcenie hovor´ı, ˇze ˇclovek by mal svoj majetok rozdelit’ na tri ˇcasti
- tretinu vloˇzit’ do pozemkov, tretinu do obchodu a tretinu si nechat’ poruke.1 Podstata
tejto m´
udrosti plat´ı dodnes a dalo by sa povedat’, ˇze je nadˇcasov´a. Viacer´ı filozofi odvtedy
potvrdili toto jednoduch´e pravidlo, avˇsak dlho neprich´adzal v´
yraznejˇs´ı pokrok v tejto
oblasti.
Prelom nastal aˇz v roku 1952, ked’ bola uverejnen´a pr´aca Harryho Markowitza s n´azvom
Selekcia portf´
olia. Predstavuje v nej matematick´
u formul´aciu met´ody diverzifik´
acie, teda
spˆosobu, ak´
ym je moˇzn´e optim´
alne rozdelit’ majetok do viacer´
ych invest´ıci´ı s ohl’adom
na riziko a v´
ynosy. T´
ato pr´
aca poloˇzila z´aklady te´orie neskˆor zn´amej ako Modern´
a te´
oria
portf´
olia, za ktor´
u bola autorovi v roku 1990 spolu s Mertonom Millerom a Williamom
Sharpom udelen´
a Nobelova cena za ekon´omiu.
S odstupom ˇcasu sa uk´
azalo, ˇze Markowitzov model obsahuje viacer´e predpoklady,
ktor´e ˇcasto v re´
alnom svete nemusia platit’ a aplik´acia te´orie nie vˇzdy poskytuje optim´alne
v´
ysledky. Zjednoduˇsenia, ktor´e pouˇzil boli, ako autor s´am potvrdil, spˆosoben´e v´
ypoˇctov´
ymi
komplik´
aciami v danej dobe.
V s´
uˇcasnosti v¨
aˇcˇsina finanˇcn´
ych inˇstit´
uci´ı vyuˇz´ıva rozˇs´ırenie Markowitzovej te´orie pod
n´azvom Postmodern´
a te´
oria portf´
olia, ktor´a im umoˇzn
ˇuje naplno vyuˇzit’ v´
ypoˇctov´
u silu
s´
uˇcasn´
ych informaˇcn´
ych technol´
ogi´ı v kombin´acii s pokroˇcil´
ymi ˇstatistick´
ymi modelmi a
optimaliz´
atormi.
´
Ulohou
optimaliz´
atora je pritom n´ajst’ vhodn´
u kombin´aciu invest´ıci´ı, s ohl’adom na oˇcak´
avan´e
v´
ynosy, riziko a d’al’ˇsie preferencie investora. Ide o n´aroˇcn´
u u
´lohu, pretoˇze s rast´
ucim
poˇctom moˇzn´
ych invest´ıci´ı exponenci´alne narast´a aj moˇznost’ rieˇsen´ı a vel’a beˇzn´
ych postupov zlyh´
ava uˇz napr´ıklad pri desiatich komponentoch.
1
The Babylonian Talmud - Baba Metzi’a 42a
10
Zauj´ımavou kateg´
oriou optimaliz´atorov s´
u takzvan´e metaheuristiky, ktor´e sa pri rieˇsen´ı
ˇ
u
´loh zvykn´
u inˇspirovat’ pr´ırodn´
ymi javmi. Casto
tak dok´aˇzu
´ n´ajst’ odpoved’ na probl´emy,
ktor´
ych presn´e rieˇsenie je z v´
ypoˇctov´eho dl’adiska nedosiahnutel’n´e. Pr´ıkladmi s´
u optimaliz´acia mravˇcou kol´
oniou, simulovan´e ˇz´ıhanie, ˇci optimaliz´acia ˇcasticov´
ym rojom.
Pr´ave posledn´
a spomenut´
a optimaliz´acia bude v tejto pr´aci pouˇzit´a na rieˇsenie zloˇzit´eho
probl´emu - optimaliz´
aciu investiˇcn´eho portf´olia postaven´eho na Postmodernej te´orii portf´
olia.
11
Kapitola 1
Ciele pr´
ace, met´
ody a postupy
Ciel’om pr´
ace bude navrhnutie a implement´acia investiˇcn´eho modelu, ktor´
y na optimaliz´aciu portf´
olia vyuˇz´ıva metaheuristiku. Ide teda o spojenie dvoch teoretick´
ych oblast´ı,
v´
ysledkom ˇcoho bude softv´erov´
a aplik´acia schopn´a optimailz´acie portf´olia.
Teoretick´
a ˇcast’ pr´
ace obsahuje extrakt teoretick´
ych z´akladov, potrebn´
ych k porozumeniu kl’u
´ˇcov´
ych bodov pr´
ace. Ide len o v´
yber nevyhnutn´
ych poznatkov, priˇcom ˇcitatel’ovi
je v pr´ıpade z´
aujmu odpor´
uˇcan´
y rozsiahly prehl’ad literat´
ury na konci pr´ace.
V prvej ˇcasti pr´
ace bude obsiahnut´a reˇserˇs, v ktorej bud´
u pop´ısan´e doterajˇsie met´ody
a postupy z te´
orie optimaliz´
acie portf´olia. Druh´a ˇcast’ teoretickej kapitoly je venovan´
a
problematike optimaliz´
acie. Pribl´ıˇzen´e bud´
u met´ody ktor´e pouˇz´ıvaj´
u na optimaliz´aciu metaheuristiky a podrobne bude pop´ısan´a met´oda PSO, na ktorej je model pr´ace zaloˇzen´
y.
Poznatky teoretickej ˇcasti prejd´
u v d’al’ˇsej kapitole synt´ezou, v´
ysledkom ˇcoho bude
navrhnut´
a softv´erov´
a aplik´
acia na optimaliz´aciu investiˇcn´eho portf´olia. Praktick´a ˇcast’
pr´ace obsahuje popis kl’u
´ˇcov´
ych ˇcast´ı architekt´
ury modelu a spˆosob ich implement´acie v
jazyku Python.
Model bude otestovan´
y na historick´
ych d´atach v porovnan´ı s rˆoznymi benchmarkami a
jeho parametre bud´
u optimalizovan´e s ciel’om maximaliz´acie zisku a stability. Na testovanie
jeho u
´speˇsnosti v extr´emnych situ´aci´ach bude model vystaven´
y glob´alnej finanˇcnej kr´ıze
v rokoch 2008-2009. V z´
avere bude zhodnoten´a u
´speˇsnost’ modelu a pr´ınosy pr´ace.
12
Kapitola 2
Teoretick´
e v´
ychodisk´
a pr´
ace
V tejto kapitole bud´
u pop´ısan´e teoretick´e z´aklady, na ktor´
ych je pr´aca zaloˇzen´a. Bud´
uv
nej definovan´e dˆ
oleˇzit´e term´ıny, modely a postupy v takom rozsahu, aby ˇcitatel’ porozumel
hlavn´
ym myˇslienkam tejto pr´
ace.
Prv´
a ˇcast’ sa zaober´
a obecn´
ym popisom investiˇcn´eho portf´olia, kde s´
u obsiahnut´e fundament´
alne znalosti a term´ıny z oblasti investovania. Za n
ˇou nasleduje popis Modernej
te´orie portf´
olia, a jej n´
astupkyˇ
nu, na z´aklade ktorej je vytvoren´
y investiˇcn´
y model tejto
pr´ace. V poslednej ˇcasti je pozornost’ venovan´a optimalizaˇcn´
ym met´odam, ktor´e vyuˇz´ıvaj´
u
metaheuristiky.
2.1
2.1.1
Investiˇ
cn´
e portf´
olio a jeho optimaliz´
acia
Z´
akladn´
e pojmy
Portf´
olio
Tento v´
yraz je obecne ch´
apan´
y ako zoskupenie finanˇcn´
ych akt´ıv, tvoren´
ych akciami, dlhopismi, deriv´
atmi, peniazmi, peˇ
naˇzn´
ymi ekvivalentami, ˇci in´
ymi druhmi cenn´
ych papierov,
ktor´e s´
u s´
uhrnne oznaˇcovan´e ako triedy akt´ıv.[23]
Z´
akladn´
e pojmy modelovania a simul´
aci´ı
Syst´em mˆ
oˇzeme obecne definovat’ ako s´
ubor element´arnych ˇcast´ı (prvkov syst´emu), ktor´e
maj´
u medzi sebou urˇcit´e v¨
azby.
Model je napodobenina syst´emu in´
ym syst´emom, priˇcom ˇcasto ide o poˇc´ıtaˇcov´
y program. Modelovanie je proces vytv´
arania modelu na z´aklade znalost´ı.
13
Simul´
acia je met´
oda z´ıskavania nov´
ych znalost´ı o syst´eme experimentovan´ım s jeho
modelom.[42]
V´
ynos
Portf´oli´
a a finanˇcn´e d´
ata vo vˇseobecnosti s´
u obyˇcajne analyzovan´e podl’a v´
ynosov. V´
ynos je
rozdiel medzi dvoma bezprostredne nasleduj´
ucimi cenov´
ymi hodnotami akt´ıva, normalizovan´
y podl’a skorˇsej hodnoty.[2] Ked’ˇze s´
u v´
ynosy po normaliz´acii nez´avisl´e od cenovej hladiny, je v´
yhodn´e ich pouˇzit’ na priame porovnanie v´
ykonnosti medzi viacer´
ymi finanˇcn´
ymi
inˇstrumentami. Mieru v´
ynosu Rt vypoˇc´ıtame podl’a vzt’ahu 2.1, priˇcom Rt je v´
ynos pre
ˇcasov´
u peri´
odu t, Pt je cena finanˇcn´eho inˇstrumentu v ˇcase t a Pt−1 je cena inˇstrumentu
v ˇcase t − 1.
Rt =
2.1.2
Pt − Pt−1
Pt
=
−1
Pt−1
Pt−1
(2.1)
Selekcia portf´
olia
Proces v´
yberu zloˇziek portf´
olia sa naz´
yva selekcia (resp. v´
yber portf´olia). Proces selekcie moˇzno rozdelit’ na dve f´
azy. V prvej prebieha sledovanie a anal´
yza cenn´
ych papierov
v´
ysledkom ˇcoho je presvedˇcenie o bud´
ucom v´
yvoji cenn´
ych papierov. V druhej f´aze sa na
z´aklade t´
ychto presvedˇcen´ı vykon´a samotn´a selekcia komponentov portf´olia. [34] Podrobnejˇsie sa selekcii portf´
olia venuj´
u kapitoly 2.1.7 a 2.1.8.
2.1.3
Strategick´
a alok´
acia akt´ıv
Ked’ je uˇz zrejm´e, o ak´e cenn´e papiere m´a investor z´aujem, je potrebn´e prist´
upit’ k n´akupu,
najˇcastejˇsie prostredn´ıctvom brokera, ktor´
y vlastn´ı licenciu obchodn´ıka s cenn´
ymi papiermi.
Pri n´
akupe je dˆ
oleˇzit´e zvolit’ strat´egiu, podl’a ktorej sa bude postupovat’. Phillips a Lee
v [43] definuj´
u strategick´
u alok´
aciu akt´ıv ako proporˇcn´e rozdelenie akt´ıv do jednotliv´
ych
tried akt´ıv s ohl’adom na dosiahnutie dlhodob´
ych finanˇcn´
ych ciel’ov organiz´acie.
Predpoklad´
a sa, ˇze investor nie je schopn´
y predikovat’ zvraty na trhu a preto redukuje
riziko pouˇzit´ım dlhodob´
ych odhadov rizika a v´
ynosu akt´ıv pre cel´e cykly trhu, ˇc´ım sa
v´
ykyvy spriemeruj´
u. Investor redukuje riziko diverzifik´aciou medzi akt´ıva, ktor´e nie s´
u
dokonale korelovan´e. (vid’ 2.1.5)
Autori rozliˇsuj´
u dve z´
akladn´e strat´egie vstupu do trhu.
14
Taktick´
a alok´
acia akt´ıv
Strat´egia vyuˇz´ıva na rozhodovanie vstupu na trh s´
uˇcasn´
u hodnotu akt´ıv. Takto vzniknut´e
rozhodnutia maj´
u za n´
asledok vznik kr´atkodob´
ych investiˇcn´
ych strat´egi´ı, ktor´e vytv´araj´
u
v´
ynosy na b´
aze cyklick´
ych vlasnost´ı trhu. M´a sa za to, ˇze investor je schopn´
y vyuˇzit’
tieto vlastnosti, avˇsak s´
uˇcasne plat´ı tvrdenie strategickej alok´acie akt´ıv, ˇze vzt’ahy medzi
ohodnoten´
ymi akt´ıvami s´
u z dlhodob´eho hl’adiska st´ale. To znamen´a, ˇze v´
ynosy na trhu
mˆoˇzu byt’ kedykol’vej nad alebo pod norm´alom, ale po ˇcase sa zvykn´
u vr´atit’ do norm´alu.
Taktick´
a alok´
acia akt´ıv sa nesnaˇz´ı o predikciu pohybov na trhu, ˇci odhad podpory a
rezistencie1 . Jedin´
y n´
astroj s ktor´
ym nar´aba je riziko v porovnan´ı s v´
ynosom na z´aklade
historick´eho v´
yvoja.[43]
Podl’a ˇst´
udie [9] aˇz 90% celkov´
ych v´
ynosov portf´oli´ı je tvoren´e alok´aciou kapit´alu medzi
rˆoznymi triedami akt´ıv.
ˇ
Casovanie
trhu
Investori vyuˇz´ıvaj´
uci t´
uto strat´egiu sa snaˇzia o predikciu trhu, jeho vrcholov, korekci´ı
a zvratov, priˇcom vyuˇz´ıvaj´
u rˆ
ozne kvantitat´ıvne modely s indik´atormi, oscil´atory alebo
vlastn´
y u
´sudok. Hlavn´
ym ciel’om je prekonanie v´
ynosov trhu a hlavnou ot´azkou, ktor´
u
t´ato strat´egia rieˇsi, je ˇci je vhodn´e v danom momente byt’ na trhu alebo nie (teda vlastnit’
dan´e akt´ıvum alebo dan´e obdobie preˇckat’ s peˇ
naˇzn´
ymi ekvivalentami resp. dlhopismi).
Strat´egia ˇcasovania trhu nem´
a obmedzenia taktickej alok´acie akt´ıv a investor sa nezaober´
a
rizikom z pohl’adu cel´eho portf´
olia. Riziko pre neho predstavuje vlastnit’ nespr´avne akt´ıvum
v nespr´
avnom ˇcase, priˇcom ˇcasto vlastn´ı len akt´ıva jednej triedy (napr. akcie jedn´eho
odvetvia alebo ˇst´
atu, ˇci menov´e p´ary).
2.1.4
Riziko a jeho meranie
Riziko predstavuje neoddelitel’n´
u s´
uˇcast’ investovania. Do investovania vstupuje vo viacer´
ych podob´
ach, avˇsak obyˇcajne je vn´ıman´e ako neistota v´
ynosu a moˇznost’ finanˇcnej
straty.[36][21]
The Basel Committee on Banking Supervision 2 , autorita na rizikov´
y manaˇzment pre
1
Body grafu, cez ktor´e sa cena akt´ıva za urˇcit´e obdobie nedostane, pomyseln´e dno resp. strop ceny.
2
Viac inform´
aci´ı o spoloˇcnosti je moˇzn´e n´
ajst’ na http://www.bis.org/bcbs/
15
finanˇcn´e sluˇzby, identifikuje nasleduj´
uce typy rizika ovplyvˇ
nuj´
uce cenn´e papiere:
ˆ Trhov´e riziko - spˆ
osoben´e pohybom cien cenn´
ych papierov
ˆ Riziko kredibility protistrany - spojen´e so schopnost’ou protistrany plnit’ svoje z´
av¨azky
ˆ Riziko likvidity - schopnost’ zruˇsit’ drˇzan´e poz´ıcie
ˆ Operaˇcn´e rizko - riziko str´
at zahrnut´e v kaˇzdodennom obchodovan´ı
ˆ Leg´
alne riziko - riziko s´
udnych v´
ydajov
Podl’a [21] s´
u hlavn´e zloˇzky trhov´eho rizika riziko kurzu cudz´ıch mien, riziko u
´rokovej
miery, riziko ceny komod´ıt a akt´ıv.
Pokial’ je riziko kvantifikovatel’n´e, metodol´ogia jeho merania z´avis´ı na type rizika ktor´e
uvaˇzujeme. Vˇsetky s´
uˇcasn´e postupy na meranie rizika spadaj´
u podl’a [2] do ˇstyroch kateg´ori´ı:
ˇ
ˆ Statistick´
e modely
ˆ Skal´
arne modely
ˆ Anal´
yzy scen´
arov
ˆ Kauz´
alne modelovanie
ˇ
Statistick´
e modely generuj´
u predikcie o najhorˇs´ıch moˇzn´
ych podmienkach na z´aklade
u
´dajov z minulosti. Najˇcastejˇsie sa pouˇz´ıva metodol´ogia hodnota v riziku (Value-at-Risk,
VaR), bliˇzˇsie pop´ısan´
a v 2.1.4.
Skal´
arne modely urˇcuj´
u maxim´alnu oˇcak´avan´
u stratu ako percentu´alne vyjadrenie
urˇcit´eho obchodn´eho parametru, napr´ıklad v´
ynosov, operaˇcn´
ych n´akladov a podobne.
Skal´arne modely sa ˇcasto pouˇz´ıvaj´
u na odhad operaˇcn´eho rizika.
Anal´
yzy scen´
arov urˇcuj´
u z´
akladn´e, najlepˇsie a najhorˇsie pr´ıpady pre kl’u
´ˇcov´e rizikov´e
indik´atory. T´
ato met´
oda je ˇcasto oznaˇcovan´a ako “stress test”.
Kauz´
alne modelovanie zah´rn
ˇa identifik´aciu pr´ıˇcin a efektov potenci´alnych str´at. Model
s dynamickou simul´
aciou pri tom vyuˇz´ıva expertn´
y syst´em.
Oblast’ rizika, ktor´e sa snaˇz´ıme minimalizovat’ optimaliz´aciou portf´olia je prim´arne
trhov´e riziko. Nasleduj´
u rˆ
ozne met´ody merania rizika.
16
Volatilita
Volatilita je ˇstatistick´
a miera rozptylu v´
ynosov akt´ıva od ich priemeru. Z´aroveˇ
n sa ˇcasto
pouˇz´ıva ako miera rizika vo finanˇcnom svete a oznaˇcuje sa σ, zo ˇstatistiky zn´ama ako
ˇstandardn´
a odch´
ylka. Vyˇsˇsia hodnota σ znamen´a vyˇsie riziko, priˇcom so zmenou ˇcasu
nerastie line´
arne, ale s druhou odmocninou ˇcasu. Preto napr. ak je denn´a volatilita σ =
0.01, roˇcn´
a volatilita σr = 0.01 bude
√
0.01
σr = q
= 0.01 252 = 0.1587,
(2.2)
1
252
pretoˇze sa predpoklad´
a 252 obchodocatel’n´
ych dn´ı v roku.
VIX je obchodovatel’n´
y symbol Chicagskej burzy cenn´
ych papierov a z´aroveˇ
n popul´arnym ukazovatel’om volatility resp. “strachu” na burze. Jeho hodnota je poˇc´ıtan´
a
na z´aklade volatility indexu S&P 500 v horizonte 30 dn´ı (obr. 2.1 ukazuje jeho rast poˇcas
paniky v roku 2008).
2.0
VIX
S&P 500
1.5
Return
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
apr
8
200
008
júl 2
okt
200
8
jan
200
9
apr
200
9
júl 2
009
okt
9
200
Date
Obr. 2.1: VIX vs. S&P 500 poˇcas kr´ızy v 2008
Hodnota v riziku (Value at Risk)
Ide o koncept, ktor´
y v s´
uˇcasnosti dominuje ako metrika odhadu trhov´eho rizika.[2] Podl’a
defin´ıcie je to ukazovatel’, ktor´
y ud´ava odhad najvyˇsˇsieho poklesu hodnoty akt´ıva alebo
portf´olia akt´ıv (teda najvyˇsˇsej “straty”) v danom ˇcasovom horizonte, ktor´a nebude pre-
17
siahnut´
a s urˇcitou mierou spol’ahlivosti.[27] Miera spol’ahlivosti scen´ara je urˇcen´a ako
percentil rozdelenia historick´
ych v´
ynosov akt´ıva alebo cel´eho portf´olia. Form´alne moˇzno
hodnotu v riziku V aRα vyjadrit’ podl’a vzt’ahu 2.3, priˇcom distribuˇcn´a funkcia straty je
FL (l) = P (L ≤ l). Pri miere spol’ahlivosti α ∈ (0, 1) je V aRα najmenˇs´ım ˇc´ıslom pre ktor´e
plat´ı, ˇze pravdepodobnost’, ˇze L prekroˇc´ı l je menˇsia ako 1 − α. [19] Graficky zn´azorˇ
nuje
VaR obr. 2.2.
V aRα = inf {l ∈ R, P (L > l) ≤ 1 − α}
(2.3)
Obr. 2.2: Hodnota v riziku pre 99% VaR (α = 1%) a 95% Var (α = 5%) (Zdroj: [2])
Vol’ne povedan´e ide o pravdepodobnost’, ˇze strata presiahne dan´
u hodnotu. Nevypoved´
a
niˇc o tom, ak´e straty mˆ
oˇzu nastat’ za hranicou V aR.
Diverzifik´
acia
Diverzifik´
acia je vo finanˇcn´ıctve spˆosob ak´
ym moˇzno zredukovat’ riziko rozloˇzen´ım invest´ıcie do viacer´
ych akt´ıv. Druh rizika, ktor´e moˇzno zn´ıˇzit’ diverzifik´aciou, sa naz´
yva
nesystematick´e, alebo idiosynkratick´e riziko. Ak nie s´
u pohyby cien v dokonalej harm´onii,
diverzifikovan´e portf´
olio bude mat’ menˇsie riziko ako v´aˇzen´
y priemer riz´ık jeho komponentov a tieˇz menˇsie riziko ako najmenej rizikov´e akt´ıvum portf´olia.[52]
2.1.5
Korel´
acia a korelaˇ
cn´
y koeficient
Vo finanˇcn´ıctve je ˇcast´e, ˇze sa viacer´e akt´ıva analyzuj´
u naraz. Tento pr´ıstup je podstatn´
y
pre to, aby sme pochopili, ako sa akt´ıva pohybuj´
u navz´ajom. Korel´acia v ˇstatistike predstavuje ak´
ukol’vek ˇstatistick´
u z´
avislost’ dvoch premenn´
ych alebo mnoˇz´ın. Na vyjadrenie
miery korel´
acie sa v ˇstatistike pouˇz´ıvaj´
u korelaˇcn´e koeficienty.
Pearsonov korelaˇcn´
y koeficient ρX,Y (Pearson product-moment correlation coefficient,
PPMCC) vyjadruje mieru line´
arnej z´avislosti medzi premenn´
ymi X a Y s oˇcak´avan´
ymi
18
hodnotami µX a µY a ˇstandardn´
ymi odch´
ylkami σX a σY .[39]
ρX,Y =
E[(X − µX )(Y − µY )]
cov(X, Y )
=
σX σY
σX σY
(2.4)
Koeficient nadob´
uda hodnoty [−1, 1], priˇcom
ˆ 1 je dokonal´
a pozit´ıvna line´arna korel´acia (priama u
´mera),
ˆ 0 znamen´
a ˇziadnu korel´
aciu (teda premenn´e nie s´
u vz´ajomne z´avysl´e) a
ˆ -1 je dokonal´
a negat´ıvna line´arna korel´acia (nepriama u
´mera).
Obr. 2.3: Pr´ıklady hodnˆ
ot korelaˇcn´eho koeficientu pre mnoˇziny bodov (x,y) (Zdroj: [62])
2.1.6
Predpovedanie a meranie v´
ykonnosti
T´ato ˇcast’ optimaliz´
acie portf´
olia obsahuje modelovanie a predikciu vlasnost´ı akt´ıv. Obyˇcajne
to zah´rn
ˇa odhad bud´
ucej distrib´
ucie v´
ynosov a kvantifik´aciu riz´ık, priˇcom v´
ykonnost’
ˇ
portf´olia je vyjadren´
a re´
alnym ˇc´ıslom na z´aklade rˆoznych v´
ykonnostn´
ych faktorov. Castou
hypot´ezou je, ˇze vˇsetky dostupn´e inform´acie a oˇcak´avania ohl’adom bud´
ucich cien akt´ıv
s´
u zahrnut´e v s´
uˇcasenj (a historickej) cene, a teda bud´
uce v´
ynosy mˆoˇzu byt’ bran´e ako
n´ahodn´e veliˇciny.[33] Aj ked’ nie je moˇzn´e presne predpovedat’ hodnoty v´
ynosov, investor
mˆoˇze oˇcak´
avat’ urˇcit´e ˇstatistick´e vlastnosti, napr. bud´
ucu distrib´
uciu v´
ynosov. Norm´alne
rozdelenie sa kontroverzne stalo najpopul´arnejˇs´ım rozdelen´ım na modelovanie v´
ynosov.
19
Rˆozne empirick´e dˆ
okazy vˇsak naznaˇcuj´
u, ˇze rozdelenie v´
ynosov trhov je leptokurtick´e3
(obr. 2.4) a asymetrick´e.[37][41][22]. Napriek tomu vˇsak vel’a s´
uˇcasn´
ych publik´aci´ı st´ale
pouˇz´ıva norm´
alne rozdelenie. Dˆ
ovodom je okrem in´eho jeho pouˇzitie v origin´alnom Markowitzovom modeli rozptylu a kovariancie, ktor´
y bude struˇcne pop´ısan´
y v kap. 2.1.7.
Obr. 2.4: Porovnanie leptokurtick´eho a norm´alneho rozdelenia (Zdroj: [51])
Norm´
alne rozdelenie
Ide o ˇcasto pouˇz´ıvan´e rozdelenie na modelovanie finanˇcn´
ych v´
ynosov. Gaussove rozdelenie,
ˇco je tieˇz jeho ˇcast´
y n´
azov, je symetrick´e rozdelenie s dvoma parametrami, priemerom µ
a rozptylom σ.
(x−µ)2
1
f (x, µ, σ) = √ e− 2σ2
σ 2π
(2.5)
Norm´
alne rozdelenie je vel’mi n´apomocn´e kvˆoli centr´
alnej limitnej vete, ktor´a hovor´ı, ˇze
za urˇcit´
ych podmienok, priemer vel’k´eho poˇctu n´ahodn´
ych premenn´
ych nez´avisle z´ıskan´
ych
z rovnakej distrib´
ucie je rozloˇzen´
y pribliˇzne norm´alne, bez ohl’adu na tvar zdrojovej distrib´
ucie - inak povedan´e s´
uˇcty v´
ysledkov vel’k´eho mnoˇzstva nez´avisl´
ych procesov maj´
u
rozdelenie vel’mi bl´ızko norm´
alnemu. [31] Z tohtoho dˆovodu sa norm´alne rozdelenie ˇcasto
pouˇz´ıva na odhad distrib´
ucie javov, ktor´
ych presn´e rozdelenie nie je zn´ame a norm´alne
rozdelenie ich dobre aproximuje.
3
Rozdelenia, ktor´e maj´
u vyˇsˇsiu pravdepodobnost’ extr´emnych hodnˆ
ot ako norm´
alne rozdelenie - tzv. tuˇcn´e
konce
20
Logaritmicko-norm´
alne rozdelenie
Ide o d’al’ˇsie spojit´e rozdelenie pravdepodobnosti, ktor´eho logaritmus m´a norm´alne rozdelenie. Jeho distribuˇcn´
a funkcia je
f (x, µ, σ) =
1
√
xσ 2π
e−
(ln x−µ)2
2σ 2
(2.6)
Z logaritmicko-norm´
alneho rozdelenia bol vyvynut´
y robustnejˇs´ı model trojparametrov´eho
rozdelenia, ktor´
y lepˇsie popisuje distrib´
uciu v´
ynosov (/kap. 2.1.8).
Johnsonovo SU rozdelenie
Johnsonovo SU rozdelenie (vzt’ah 2.7) je rozdelenie pravdepodobnosti so ˇstyrmi parametrami γ, ξ, δ > 0, λ > 0 navrhnut´e N. L. Johnsonom [26] ako transform´acia norm´alneho
rozdelenia. Toto rozdelenie umoˇzn
ˇuje parametrick´
u asymetriu.
1
−1 x−ξ 2
δ
1
f (x, γ, ξ, δ, λ) = √ q
e− 2 (γ+δ sinh ( λ ))
λ 2π 1 + ( x−ξ )2
(2.7)
λ
Johnsonovo SU rozdelenie je uveden´e z dˆovodu, ˇze sa uk´azalo ako najvhodnejˇsie zo
sk´
uman´
ych distrib´
uci´ı na odhad rozdelenia v´
ynosov (kap. 4.2.1, obr. 4.8).
2.1.7
Modern´
a te´
oria portf´
olia
Autorom te´
orie (zn´
amej tieˇz ako Modern Portfolio Theory, MPT ) je nostitel’ nobelovej
ceny za ekon´
omiu Harry M. Markowitz. V tejto pr´aci s n´azvom “Portfolio selection”[34]
popisuje prepojenie v´
ynosov a rizika pri investovan´ı a navrhuje form´alny model diverzifik´acie invest´ıcie.
Po technickej str´
anke ide o finanˇcn´
u te´oriu, ktor´a modeluje v´
ynosy z kapit´alov´
ych
akt´ıv ako funkciu s norm´
alnym rozdelen´ım a riziko ako ˇstandardn´
u odch´
ylku v´
ynosov.
Portf´olio v nej predstavuje v´
aˇzen´
u kombin´aciu akt´ıv, priˇcom alok´aciou jednotliv´
ych komponentov sleduje dosiahnut’ maxim´alne v´
ynosy pri minim´alnom riziku. Pouˇzit´ım s´
uboru
akt´ıv, ktor´
ych v´
ynosy nie s´
u dokonale korelovan´e, sa MPT snaˇz´ı zn´ıˇzit’ rozptyl v´
ynosov a
t´
ym aj riziko spojen´e s invest´ıciou.
Podl’a MPT by komponenty investiˇcn´eho portf´olia nemali byt’ selektovan´e jednotlivo
na z´aklade ich jednotliv´
ych vlasnost´ı. Dˆoleˇzitejˇsie je ak´
ym spˆosobom sa v ˇcase men´ı cena
akt´ıva vzhl’adom na ostatn´e ceny akt´ıv v portf´oliu, teda ich korel´acia.
21
Matematick´
y model
V modeli MPT podl’a [35] je oˇcak´avan´
y v´
ynos portf´olia proporˇcne v´aˇzenou kombin´aciou
historick´
ych v´
ynosov jednotliv´
ych komponentov. Oˇcak´avan´
y v´
ynos portf´olia E(Rp ), kde
Rp je v´
ynos portf´
olia, Ri je v´
ynos akt´ıva i a wi je v´ahov´
y koeficient pre akt´ıvum i (teda
podiel’ akt´ıva v portf´
oliu).
E(Rp ) =
X
wi E(Ri )
(2.8)
i
Rozptyl v´
ynosov portf´
olia σp2 , kde ρij je korelaˇcn´
y koeficient medzi v´
ynosmi akt´ıv i a
j.
σp2 =
X
wi2 σi2 +
XX
i
i
wi wj σi σj ρij
(2.9)
j6=i
Tento vzt’ah moˇze byt’ alternat´ıvne vyjadren´
y aj ako
σp2 =
XX
i
wi wj σi σj ρij ,
(2.10)
j
kde ρij = 1 pre i = j.
Volatilita portf´
olia σp (resp. jeho v´
ynosu) je funkciou korel´aci´ı medzi jednotliv´
ymi
p´armi komponentov. Pre portf´
olio s jedn´
ym akt´ıvom plat´ı
σp =
q
σp2 .
(2.11)
Pre v´
ynos portf´
olia s dvoma akt´ıvami plat´ı
E(Rp ) = wA E(RA ) + wB E(RB ) = wA E(RA ) + (1 − wA ) E(RB ).
(2.12)
Pre rozptyl portf´
olia (resp. rozptyl celkov´eho v´
ynosu portf´olia) s dvoma akt´ıvami plat´ı
2 2
2 2
σp2 = wA
σA + wB
σB + 2wA wB σA σB ρAB .
(2.13)
V´
ynos porf´
olia s troma akt´ıvami vypoˇc´ıtame jednoducho ako
E(Rp ) = wA E(RA ) + wB E(RB ) + wC E(RC ),
(2.14)
avˇsak rozptyl je uˇz komplikovanejˇs´ı, pretoˇze je kombin´aciou vˇsetk´
ych p´arov, teda deviatich
22
zloˇziek korelaˇcnej matice
2 2
2 2
2 2
σp2 = wA
σ A + wB
σ B + wC
σC + 2wA wB σA σB ρAB + 2wA wC σA σC ρAC + 2wB wC σB σC ρBC
(2.15)
Aplikovan´ım pop´ısan´
ych vzt’ahov moˇzno zostrojit’ graf portf´oli´ı s ich v´
ynosmi a spojen´
ym rizikom. Hranica, ktor´
u tieto portf´oli´a vytvoria sa naz´
yva efekt´ıvna hranica (angl.
Efficient frontier ) a obsahuje portf´oli´a, ktor´e dosahuj´
u optim´alne v´
ynosy pri danej u
´rovni
rizika (obr 2.5)
Obr. 2.5: Efekt´ıvna hranica portf´oli´ı [55]
Sharpov index
William F. Sharpe, b´
yval´
y profesor na Stanfordskej univerzite, analyzoval komplexn´
u Markowitzovu te´
oriu a podarilo sa mu z neho vyextrahovat’ jeho podstatu pomocou vzt’ahu od
vtedy zn´
ameho ako Sharpov index (angl. Sharpe ratio)[48]. Za t´
uto pr´acu z´ıskal v r. 1990
Nobelovu cenu za ekon´
omiu spolu s Markowitzom a Millerom. Ide o ukazovatel’ v´
ykonnosti
invest´ıcie s ohl’adom na riziko s n
ˇou spojen´e. Po rev´ızii pˆovodn´
ym autorom v roku 1994
ide o vzt’ah 2.16, kde Ra je v´
ynos akt´ıva, Rb je v´
ynos benchmarku, napr. bezrizikovej invest´ıcie alebo indexu ako S&P 500. E[Ra − Rb ] je oˇcak´avan´a hodnota v´
ynosu nad u
´rovˇ
nou
23
benchmarku.
Sa =
E[Ra − Rb ]
E[Ra − Rb ]
=p
σa
var[Ra − Rb ]
(2.16)
Sharpov index urˇcuje, v akej miere v´
ynosy kompenzuj´
u riziko, ktor´e investor podstupuje. Ak porovn´
avame dve akt´ıva, opriti rovnak´emu benchmarku, akt´ıvum s vyˇsˇs´ım
Sharpov´
ym indexom poskytuje lepˇs´ı v´
ynos pri rovnakom riziku (alebo opaˇcne, rovnak´
y
v´
ynos pri niˇzˇsom riziku).
Predpoklady modelu
Napriek vel’k´emu v´
yznamu, ktor´
y te´oria vo finanˇcn´ıctve predstavuje, je zaloˇzen´a na sade
predpokladov, ktor´e v re´
alnom svete nemoˇzno potvrdit’. Niektor´e z nich nasleduj´
u.
ˆ V´
ynosy maj´
u norm´
alne rozdelenie - predstavuje jeden z kl’u
´ˇcov´
ych predpokladov
v´
ypoˇctov. Viacer´e ˇst´
udie ukazuj´
u, ˇze tomu tak nie je a na trhu sa vel’k´e v´
ykyvy (3-6
ˇstandardn´
ych odch´
ylok od priemeru) objavuj´
u ovel’a ˇcastejˇsie ako pri norm´alnom
rozdelen´ı.[32]
ˆ Investori sa snaˇzia o maximaliz´
aciu v´
ynosu pri danom riziku - investori sa podl’a [49]
hl’adaj´
u potenci´
al zisku s ochranou pred stratou.
ˆ Investori s´
u racion´
alni - vyh´
ybaj´
u sa riziku ked’ je to moˇzn´e a vˇzdy zvolia menej rizi-
kov´
u invest´ıciu pri rovnakom v´
ynose. Behavior´alna ekon´omia dokazuje, ˇze u
´ˇcastn´ıci
trhu sa nespr´
avaj´
u vˇzdy racion´alne4 , niekedy konaj´
u emocion´alne, alebo vplyvom
st´
adov´eho efektu.[4]
ˆ Nemennost’ korel´
aci´ı - korel´acie cien z´avisia na vzt’ahu podkladov´
ych akt´ıv a tieto
vzt’ahy sa v re´
alnom svete ˇcasto menia.
Z t´
ychto a vel’a d’al’ˇs´ıch dˆ
ovodov bola v minulosti potreba model zdokonalovat’ a vylepˇsovat’.
2.1.8
Post-modern´
a te´
oria portf´
olia
Post-modern´
a te´
oria portf´
olia (angl. Post-modern portfolio theory, PMPT)[45, 46] je rozˇs´ıren´ım
Modernej te´
orie portf´
olia a jej postupy s´
u pouˇz´ıvan´e finanˇcn´
ymi inˇstit´
uciami v s´
uˇcasnosti.
4
“Markets can stay irrational longer than you can stay solvent.” John Maynard Keynes
24
Zameriava sa na odstr´
anenie dvoch limituj´
ucich predpokladov MPT a to
ˆ rozptyl a ˇstandardn´
a odch´
ylka portf´olia je vhodn´a miera na odhad rizika invest´ıcie
a
ˆ v´
ynosy invest´ıcie mˆ
oˇzu byt’ vhodne reprezentovan´e symetrickou distribuˇcnnou fun-
kciou ako je norm´
alne rozdelenie.
Pouˇzitie rozptylu (alebo jeho odmocninu - ˇstandardn´
u odch´
ylku) predpoklad´a, ˇze neistota v´
ynosov nad oˇcak´
avanou hranicou m´a rovnak´e rozdelenie ako neistota spojen´a s
v´
ynosmi pod n
ˇou. Okrem toho, invest´ıcie s vyˇsˇs´ım poˇctom kladn´
ych v´
ynosov sa po aplikovan´ı norm´
alneho rozdelenia zdaj´
u byt’ rizikovejˇsie ako v skutoˇcnosti s´
u. Rovnako to plat´ı
aj v opaˇcnom pr´ıpade, kedy mˆ
oˇze byt’ podcenen´e riziko. V´
ysledkom toho je zistenie, ˇze
poˇzitie techn´ık Modernej te´
orie portf´olia na konˇstrukciu a vyhodnotenie invest´ıcie ˇcasto
nezodpoved´
a realite.[50]
Uˇz d´
avno bolo pozorovan´e, ˇze investori nepovaˇzuj´
u za rizikov´e tie v´
ynosy, ktor´e s´
u
nad minim´
alnou hranicou v´
ynosu invest´ıcie - tzv. ciel’ov´ym v´ynosom. Za rizikov´e povaˇzuj´
u
v´
ynosy pod touto hranicou, priˇcom straty maj´
u v pon´ıman´ı v¨aˇcˇsiu v´ahu ako rovnako vel’k´e
v´
ynosy. Tento efekt bol pozorovan´
y a potvrden´
y v´
yskumami vo finanˇcn´ıctve, ekon´omii a
psychol´
ogii. S´
am Sharpe uviedol (1964):
“V urˇcit´
ych podmienkach moˇzno dok´azat’, ˇze anal´
yza kovariancie a rozptylu
mˆ
oˇze viest’ k neuspokojiv´
ym predikci´am spr´avania investorov. Markowitz naznaˇcuje,
ˇze by preferoval model s pouˇzit´ım poloviˇcn´eho rozptylu, avˇsak kvˆoli v´
ypoˇctov´
ym
probl´emom zaloˇzil svoju anal´
yzu na priemere a ˇstandardnej odch´
ylke.”
Pokrok vo finanˇcnej te´
orii skombinovan´
y s vzostupom v´
ypoˇctovej techniky vˇsak umoˇznil
prekonat’ tieto limit´
acie a poloˇzil z´aklady Postmodernej te´orie portf´olia.
Podl’a Sortina podstatn´e udalosti, ktor´e umoˇznili vznik PMPT s´
u:[50]
ˆ Peter Fishburn z University of Pensylvania vyvinul matematick´e vzt’ahy na v´
ypoˇcet
rizika poklesu a poskytol dˆokaz o tom, ˇze Markowitzov model je podmnoˇzinou
vaˇcˇsieho syst´emu.
ˆ Atchison a Brown z Cambridge University vyvinuli trojparametrov´e logaritmicko-
norm´
alne rozdelenie, ktor´e bolo robustnejˇs´ım modelom ako symetrick´e rozdelenie
pouˇzit´e v MPT.
25
ˆ Bradley Efron zo Standford University vyvinul vzorkovaciu proced´
uru, ktor´a lepˇsie
popisuje neistotu finanˇcn´
ych trhov.
ˆ William Sharpe zo Standford University vyvinul anal´
yzu zaloˇzen´
u na v´
ynosoch, ktor´
a
umoˇznovala lepˇsie odhadn´
ut’ bud´
uce riziko a v´
ynosy
ˆ Daniel Kahneman z Princetonu a Amos Tversky zo Standfordu, ktor´
y poloˇzili z´aklady
behavior´
alnej finanˇcnej te´
orie
N´
astroje PMPT
V roku 1987 Pension Research Institute v San Franciscu vyvinul praktick´e matematick´e
algoritmy pre PMPT, ktor´e sa pouˇz´ıvaj´
u dodnes. Tieto met´ody poskytuj´
u syst´em, ktor´
y
zohl’adˇ
nuje investorovu preferenciu kladnej volatility v´
ynosov pred z´apornou. Taktieˇz bol
pop´ısan´
y robustnejˇs´ı model na odhad distrib´
ucie v´
ynosov - trojparametrov´e logaritmicko
norm´alne rozdelenie.
Trojparametrov´
e logaritmicko-norm´
alne rozdelenie
Toto rozdelenie vzniklo modifik´
aciou logaritmicko-norm´alneho rozdelenia (kap. 2.1.6) pridan´ım parametru γ. Parametre nadob´
udaj´
u hodnoty 0 ≤ γ < x, µ ∈ R, σ > 0.[5]
f (x, µ, σ, γ) =
(ln(x−γ)−µ)2
1
2σ 2
√
e−
(x − γ)σ 2π
(2.17)
Riziko poklesu
Riziko poklesu (angl. downside risk ), je finanˇcn´e riziko spojen´e zo stratou, teda riziko, ˇze
re´alny v´
ynos bude pod u
´rovˇ
nou oˇcak´avan´eho v´
ynosu, resp. vyjadruje mieru neistoty medzi
t´
ymito u
´rovˇ
nami.[36, 21] Spodn´
a odch´ylka, ako b´
yva riziko poklesu ˇcasto oznaˇcovan´e, sa
vypoˇc´ıta ako polorozptyl v´
ynosov, ktor´e s´
u menˇsie ako ciel’ov´
y v´
ynos, vzhl’adom na ciel’ov´
y
v´
ynos. Existuj´
u dva spˆ
osoby v´
ypoˇctu: [50]
ˆ Diskr´etna spodn´
a odch´
ylka
v
u t
uX
dd = t (X − t)2
(2.18)
−∞
ˆ Spojit´
a spodn´
a odch´
ylka
Z
t
(t − X)α df (X),
dc =
−∞
26
(2.19)
kde t je ciel’ov´
y v´
ynos, X je n´
ahodn´a veliˇcina v´
ynosu, α je averzia investora voˇci riziku, a
f (x) je hustota pravdepodobnosti distrib´
ucie, ktor´a podporuje asymetriu, napr. trojparametrov´
a logaritmicko-norm´
alna distribuˇcn´a funkcia. PMPT silne preferuje spojit´
u formu
v´
ypoˇctu, pretoˇze diskr´etne hodnoty nemaj´
u dostatoˇcn´
u v´
ypovedn´
u hodnotu o neistote
spojenej z v´
ynosmi. Obvykl´
y proces anal´
yzy v PMPT je: [50]
1. Pozorujeme mesaˇcn´e v´
ynosy,
2. Odhadneme distrib´
uciu v´
ynosov pomocou distribuˇcnej funkcie, ktor´a podporuje asymetriu5 ,
3. Prepoˇc´ıtame v´
ynosy na roˇcn´e, priˇcom db´ame na to aby sa distrib´
ucia nezmenila6
4. Aplikujeme integr´
al na v´
ysledn´
u distribuˇcn´
u funkciu, ˇc´ım z´ıskame ˇstatistiky v´
ynosov.
Sortinov index
Sortinov index je miera v´
ynosu invest´ıcie upraven´eho o riziko. Ide o modifik´aciu Sharpovho
indexu, pritom vˇsak penalizuje iba v´
ynosy pod ˇspecifikovanou hladinou. Oproti tomu,
Sharpov index bez rozdielu penalizuje spodn´
u aj horn´
u volatilitu (obr. 2.6a). Sortinov
index vyjadruje vzt’ah 2.20, priˇcom R je oˇcak´avan´
y (priemern´
y) v´
ynos, T je ciel’ov´
y v´
ynos
a DR je riziko poklesu z predch´
adzaj´
ucej kapitoly.
S=
R−T
DR
Obr. 2.6: Horn´a a spodn´a volatilita (Zdroj: [6])
5
Na odhad parametrov distrib´
ucie pouˇzijeme met´
odu maxim´
alnej vierohodnosti, MLE
6
To je moˇzn´e docielit’ spom´ınan´
ym bootstrapingom.
27
(2.20)
2.2
Optimaliz´
acia a metaheuristiky
Optimaliz´
acia
Optimaliz´
acia je proces, v r´
amci ktor´eho sa hl’adaj´
u tak´e hodnoty nez´avisle premenn´
ych,
aby pri urˇcit´
ych obmedzeniach na ne kladen´
ych dosahovala z´avisl´a premenn´a extr´emnu
hodnotu.[24] Z´
avisl´
a premenn´
a m´a pritom ˇcasto formu tzv. u
´ˇcelovej funkcie, ktor´
u je
optimaliz´
aciou potreba maxlimalizovat’, resp. minimalizovat’.
Uvaˇzujeme u
´ˇcelov´
u funkciu f, ktor´a kaˇzd´emu bodu n-rozmern´eho priestoru prirad´ı
re´alnu hodnotu.
f : Rn → R
(2.21)
Na minimalizovanie funkcie f potrebujeme n´ajst’ tak´e ~a ∈ Rn aby platilo:
∀~b ∈ Rn : f (~a) ≤ f (~b)
(2.22)
Potom ~b je glob´
alnym minimom funkcie f .[40]
Metaheuristiky
Metaheuristiky predstavuj´
u obecn´
y s´
ubor algoritmov, ktor´e s´
u ˇcasto inˇspirovan´e
pr´ırodou a s´
u navrhnut´e na rieˇsenie zloˇzit´
ych optimalizaˇcn´
ych probl´emov.
Mˆ
oˇze tieˇz ´ıst’ o proced´
uru vyˇsˇsej u
´rovne alebo heuristiku, ktor´a m´a za u
´lohu
n´
ajst’, vygenerovat’ alebo vybrat’ proced´
uru niˇzˇsej u
´rovne alebo heuristiku (ˇciastkov´
y
vyhl’ad´
avac´ı algoritmus), ktor´
y poskytuje dostatoˇcne dobr´e rieˇsenia optimalizaˇcn´eho probl´emu.[7]
S´
uvisiaci term´ın - heuristika, je strat´egia, pomocou ktorej mˆoˇzu l’udia a stroje rieˇsit’
probl´emy s pouˇzit´ım dostupn´
ych - aj ked’ len vol’ne aplikovatel’n´
ych - inform´aci´ı.[38]
Pr´ıkladom najjednoduchˇsej heuristiky je met´oda “pokus - omyl, ktor´
u moˇzno pouˇzit’
na ˇs´ırok´
u ˇsk´
alu probl´emov od hl’adania rovnak´
ych tvarov predmetov aˇz po rieˇsenie algebraick´
ych probl´emov. Niektor´e d’al’ˇsie beˇzne pouˇz´ıvan´e heuristiky z P´olyovej klasickej knihy
“Ako to vyrieˇsit’ [44]:
ˆ Pozrite sa na probl´em.
ˆ Pokial’ mu nerozumiete, sk´
uste si nakreslit’ obr´azok.
28
ˆ Ak nemˆ
oˇzete n´
ajst’ rieˇsenie, sk´
uste predpokladat’, ˇze ho m´ate a pozrite sa, ˇci z neho
nemˆ
oˇzno z´ıskat’ postup (“pr´aca odzadu).
ˆ Ak je probl´em abstraktn´
y, sk´
uste najprv rieˇsit’ konkr´etny pr´ıklad.
ˆ Sk´
uste najprv rieˇsenie obecn´eho probl´emu (“paradox vyn´alezcu”7 )
V posledn´
ych rokoch predstavuj´
u metaheuristiky akt´ıvnu oblast’ v´
yskumu kvˆoli ˇsirokej
moˇznosti aplik´
acii t´
ychto met´
od a ich dosahovan´
ym v´
ysledkom. Kvˆoli vysokej n´aroˇcnosti
niektor´
ych optimalizaˇcn´
ych probl´emov ˇcasto nie je moˇzn´e pouˇzit’ klasick´e postupy - tak´e
ktor´e n´
ajdu najoptim´
alnejˇsie rieˇsenie exaktn´
ym spˆosobom - alebo je moˇzn´e ich pouˇzit’ len
pre pr´ıpady s mal´
ym rozsahom kvˆoli vysokej v´
ypoˇctovej alebo pam¨at’ovej n´aroˇcnosti. Na
druhej strane, postupy zaloˇzen´e na metaheuristik´ach s´
u schopn´e n´ajst’ dostatoˇcne dobr´e a
niekedy dokonca optim´
alne rieˇsenia probl´emov v re´alnom rozsahu a za kratˇs´ı ˇcas.
Pr´ıkladom n´
aroˇcn´eho probl´emu je probl´em obchodn´eho cestuj´
uceho, ktor´
y v roku 1800
formuloval Hamilton. Jeho rieˇsen´ım je n´ajdenie najkratˇsej cesty medzi mestami, priˇcom s´
u
n´am zn´
ame vzdialenosti medzi mestami a je potrebn´e navˇst´ıvit’ kaˇzd´e mesto pr´ave raz a
vr´atit’ sa do poˇciatoˇcn´eho mesta. Hlavn´
ym u
´skal´ım tohto probl´emu je r´
ychlo sa zv¨aˇcˇsuj´
uci
vyhl’ad´
avac´ı priestor - ten sa zv¨
aˇcˇsuje r´
ychlejˇsie ako exponenci´alne vzhl’adom na vel’kost’
probl´emu (teda poˇcet miest), ˇco rob´ı probl´em t’aˇzko zvl´adnutel’n´
y pre exaktn´e algoritmy
uˇz pri niˇzˇsom poˇcte miest.8
Metaheuristika ktor´
a bola pouˇzit´a na rieˇsenie tohto probl´emu je zaloˇzen´a na optimaliz´acii mravˇcou kol´
oniou.[14] (obr. 2.7) Algoritmus vyˇsle vel’k´
y poˇcet virtu´alnych mravˇc´ıch
agentov, ktor´e sk´
uˇsaj´
u moˇzn´e cesty na mape (bod 2). Kaˇzd´
y mravec sa na z´aklade pravdepodobnosti rozhoduje ktor´e mesto navˇst´ıvi ako d’al’ˇsie, priˇcom berie do u
´vahy vzdialenost’ mesta a mnoˇzstvo virtu´
alneho ferom´onu, ktor´
y sa na danej ceste nach´adza. Mravce
prech´adzaj´
u medzi mestami a vyluˇcuj´
u ferom´on, aˇz k´
ym kaˇzd´
y nedokonˇc´ı cel´
u cestu medzi
vˇsetk´
ymi mestami. Vtedy mravec, ktor´
y naˇsiel zatial’ najkratˇsiu cestu umiestni ferom´
on
pozd´lˇz celej tejto cesty, ˇc´ım sa pre ostatn´
ych zv´
yrazn´ı (bod 3). Mnoˇzstvo ferom´onu na
ceste je teda nepriamo u
´mern´
y d´lˇzke cesty a po urˇcitom poˇcte opakovan´ı zv´
yrazn´ı v´
ysledn´
u
najkratˇsiu cestu (bod 4).
7
Ambici´
oznejˇs´ı pl´
an m´
a lepˇsie predpoklady na u
´spech.[44]
8
S´
uˇcasn´
y rekord analytick´eho rieˇsenia drˇz´ı Applegate et al. - 85 900 miest.[3]
29
1
3
2
4
Obr. 2.7: Optimaliz´
acia probl´emu obchodn´eho cestuj´
uceho mravˇcou kol´oniou (Zdroj:
[60])
Klasifik´
acia
Existuje vel’a vari´
ant rˆ
oznych druhov metaheurist´ık a taktieˇz vlastnost´ı, podl’a ktor´
ych
mˆoˇzu byt’ klasifikovan´e.[8] (obr. 2.8)
Jednou z klasifikaˇcn´
ych vlastnost´ı je vyhl’ad´avacia strat´egia. T´a mˆoˇze byt’ vylepˇsen´ım
jednoduch´eho lok´
alneho vyhl’ad´
avania 9 - do tejto kateg´orie patria metaheuristiky ako simulovan´e ˇz´ıhanie, tabu vyhl’ad´
avanie, iterat´ıvne lok´
alne vyhl’ad´
avanie, vyhl’ad´
avanie s premenliv´ym okol´ım a GRASP 10 .
Druh´
a kateg´
oria vyhl’ad´
avac´ıch stret´egi´ı obsahuje pam¨at’ov´
u zloˇzku - patria sem napr.
optimaliz´
acia pomocou mravˇcej kol´
onie, evoluˇcn´e algoritmy a genetick´e algoritmy.
ˇ ’ˇsou klasifikaˇcnou dimenziou je poˇcetnost’ vyhl’ad´avac´ıch agentov - vyhl’ad´avanie
Dal
s jedn´
ym v´
ysledkom v porovnan´ı s vyhl’ad´avan´ım zaloˇzen´
ym na popul´acii.[53] Medzi
vyhl’ad´
avania s jedn´
ym v´
ysledkom, ktor´e pracuj´
u na princ´ıpe vylepˇsovania jedn´eho rieˇsenia,
patria simulovan´e ˇz´ıhanie, iterat´ıvne lok´
alne vyhl’ad´
avanie, vyhl’ad´
avanie s premenliv´ym
okol´ım a nav´
adzan´e lok´
alne vyhl’ad´
avanie.
Algoritmy zaloˇzen´e na popul´
acii vylepˇsuj´
u viac kandid´atov na rieˇsenie z´aroveˇ
n, priˇcom
vyuˇzivaj´
u urˇcit´e heuristick´e vlastnosti popul´aci´ı na nav´adzanie vyhl’ad´avania. Patr´ı sem
v¨aˇcˇsina met´
od obecne oznaˇcovan´
ych ako evoluˇcn´e v´ypoˇctov´e met´
ody, napr. genetick´e programovanie, optimaliz´
acia pomocou roja ˇcast´ıc, ˇci diferenci´
alna evol´
ucia.
Inteligencia roja predstavuje osobitn´
u kateg´oriu metaheurist´ık, v ktorej je vyuˇzit´e kolekt´ıvne spr´
avanie decentralizovan´
ych samoorganizovan´
ych agentov v r´amci popul´acie roja.
9
Vyhl’ad´
avanie ktor´e urˇc´ı poˇciatoˇcn´e rieˇsenie a d’alej prehl’ad´
ava jeho okolie aby naˇslo lepˇsie rieˇsenie.
Takto n´
ajden´e rieˇsenia s´
u lok´
alne optim´
alne vzhl’adom na poˇciatoˇcn´e rieˇsenie.[1]
10
Greedy randomized adaptive search procedure - iterat´ıvna aplik´
acia lok´
alneho vyhl’ad´
avania
30
Metaheuristics
Population
Implicit
Naturally inspired
Evolutionary
algorithm
Genetic algorithm
Particle swarm
optimization
Genetic
programming
Ant colony optimization
algorithms
Estimation of distribution
algorithm
Simulated
annealing
Tabu search
Iterated local search
GRASP
Stochastic local search
Trajectory
Variable neighborhood search
Guided local search
Local search
Direct
Scatter search
No memory
Differential
evolution
Evolution
strategy
Explicit
Evolutionary
programming
Dynamic objective function
Obr. 2.8: Klasifik´acia metaheurist´ık (Zdroj: [61])
Inteligenciu roja vyuˇz´ıva napr. optimaliz´
acia mravˇcou kol´
oniou, optimaliz´
acia pomocou
roja ˇcast´ıc a umel´
a vˇcelia kol´
onia[53, 13, 28].
Vlastnosti
Nasleduj´
uce vlastnosti s´
u charakteristick´e pre v¨aˇcˇsinu metaheurist´ık [8]:
ˆ Metaheuristiky s´
u strat´egie, ktor´e nav´adzaj´
u vyhl’ad´avac´ı proces.
ˆ Ich ciel’om je efekt´ıvne prehl’adat’ vyhl’ad´
avac´ı priestor a n´ajst’ “takmer optim´alne”
rieˇsenie.
ˆ Algoritmy metaheurist´ık vyuˇz´ıvaj´
u rˆozne techniky od jednoduch´eho lok´alneho vyhl’ad´
avania
aˇz po komplexn´e uˇciace procesy.
ˆ Metaheuristick´e algoritmy s´
u aproximaˇcn´e a obyˇcajne nedeterministick´e.
ˆ Metaheuristiky s´
u univerz´
alne a rieˇsia v¨aˇcˇsinou ist´
u triedu probl´emov.
31
(a) R´
ychle ochladenie
(b) Pomal´e ochladenie
Obr. 2.9: Efekt r´
ychlosti ochladzovania pri simulovanom ˇz´ıhan´ı (Zdroj:[63])
2.2.1
Simulovan´
eˇ
z´ıhanie
Ide o pravdepodobnostn´
u metaheuristiku na rieˇsenie glob´alneho optimalizaˇcn´eho probl´emu
pre rozsiahle vyhl’ad´
avacie priestory a bola nez´avisle pop´ısan´a viacer´
ymi autormi. [30, 12]
N´azov a inˇspir´
acia poch´
adza z metalurgie, presnejˇsie z procesu ˇz´ıhania kovov. Ide o
techniku spracovania zliatin, ktorej ciel’om je zmena mechanick´
ych vlastnost´ı materi´alu
vd’aka zmene jeho mikroskopickej ˇstrukt´
ury pouˇzit´ım tepla v troch krokoch: [20]
1. Kov sa rovnomerne zahreje na urˇcen´
u teplotu.
2. N´
asledne sa schlad´ı na tzv. ˇz´ıhaciu teplotu v ktorej zotrv´a urˇcit´
y ˇcas, poˇcas ˇcoho
doch´
adza k izotermick´emu11 spracovaniu
3. Kov sa nech´
a pomaly vychladn´
ut’.
Tento postup m´
a za n´
asledok, ˇze sa v zliatine vytvor´ı kryˇstalick´a ˇstrukt´
ura (obr. 2.9),
ktor´a eliminuje kazy a v´
ysledn´
y kov m´a lepˇsie mechanick´e vlastnosti.
Algoritmickou reprezent´
aciou simulovan´eho ˇz´ıhania je stochastick´
y12 algoritmus, ktor´
y
nevyuˇz´ıva ˇziadne deriv´
acie u
´ˇcelovej funckie, ktor´
u optimalizuje. (alg. 2.1)
Algoritmus v prv´
ych krokoch prejde inicializ´aciou poˇciatoˇcn´eho stavu ω a poˇc´ıtadla
zmien teploty k. Poˇciatoˇcn´
y stav predstavuje vektor vyhl’ad´avacieho priestoru a funkˇcn´
a
hodnota f (ω) (naz´
yva sa tieˇz energia), je hodnota ktor´
u treba minimalizovat’. Inicializuje
sa tieˇz sch´ema chladnutia (ˇcasto sa pouˇz´ıva r´
ychla, cauchyho, boltzmanova a in´e).[47]
11
Za st´
alej teploty.
12
Nedeterministick´
y, zaloˇzen´
y na n´
ahode.
32
Funkcia N (ω) vracia n´
ahodn´
u susedn´
u hodnotu vzhl’adom na polohu v stavovom priestore ω, priˇcom jej implement´
acie sa v literat´
ure l´ıˇsia. Po v´
ypoˇcte funkˇcnej hodnoty u
´ˇcelovej
funkcie nov´eho stavu sa urˇc´ı, ˇci sa do neho presunieme a to na z´aklade hodnoty energie
a pravdepodobnosti, ktor´
a z´
avis´ı od teploty. V pr´ıpade, ˇze je nov´a hodnota energie niˇzˇsia
ako pˆovodn´
a, prebehne presun okamˇzite, v pr´ıpade ak tomu tak nie je, tak mˆoˇze presun
nastat’ s istou pravdepodobnost’ou vzhl’adom na moment´alnu teplotu a vybran´
u sch´emu.
To zabezpeˇc´ı aby optimaliz´
acia neuviazla v lok´alnom minime pri vysok´
ych poˇciatoˇcn´
ych
teplot´ach (ˇcerven´
y krok v obr. 2.10).
Obr. 2.10: Prekonanie lok´
alneho minima funkcie c(x) s vyuˇzit´ım pravdepodobnosti [10]
Obr. 2.11: Zniˇzovanie teploty (Temp) pri optimaliz´acii n´akladov (Kosten) [10]
S postupom ˇcasu teplota kles´a a suboptim´alne hotnoty energie sa vyberaj´
u s niˇzˇsou
pravdepodobnost’ou, ktor´
a nakoniec klesne na nulu. Vn´
utorn´
y cyklus sa opakuje, pokial’ nie
je dosiahnut´
y poˇcet opakovan´ı pre dan´
u teplotu urˇcen´
y parametrom Mk . Vonkajˇs´ı cyklus
33
sa obvykle opakuje pokial’ nie je dosiahnut´a urˇcit´a hladina energie, alebo sa neprekroˇc´ı
maxim´
alny poˇcet iter´
aci´ı cyklu.
Algoritmus 2.1 Simulovan´e ˇz´ıhanie [17]
1: ω ← ω0
2: k ← 0
3: init tk , Mk
4: repeat
5:
m←0
6:
repeat
7:
ω 0 ← N (ω)
8:
∆ω,ω0 ← f (ω 0 ) − f (ω)
9:
if ∆ω,ω0 ≤ 0 then
10:
ω ← ω0
11:
else
12:
ω ← ω 0 with probability exp(∆ω,ω0 /tk )
13:
end if
14:
m←m+1
15:
until m = Mk
16:
k ←k+1
17: until stopping criterion is met
2.2.2
Optimaliz´
acia rojom ˇ
cast´ıc
Optimaliz´
acia rojom ˇcast´ıc (angl. Particle Swarm Optimization, PSO) je optimalizaˇcn´
a
met´oda pop´ısan´
a autormi Kennedy a Eberhart [15] a funguje na princ´ıpe roja ˇcast´ıc, ktor´e
sa pohybuj´
u vo vyhl’ad´
avacom priestore, priˇcom vyuˇz´ıvaj´
u inform´acie ostatn´
ych ˇcast´ıc.
Roj je podl’a [29] popul´
acia spolupracuj´
ucich ˇcast´ıc, ktor´e s´
u schopn´e optimalizovat’ glob´
alnu u
´lohu pomocou spoloˇcn´eho vyhl’ad´avania v priestore. Interakcie,
ktor´e s´
u z topologick´eho hl’adiska lok´alne, s´
u ˇcasto zdˆoraznen´e. V roji existuje
n´
ahodn´
a tendencia ˇcast´ıc pres´
uvat’ sa do centra popul´acie, v´
ysledkom ktorej je
konvergencia k optim´
alnemu rieˇseniu.
V praxi to znamen´
a, ˇze kaˇzd´a ˇcastica sa snaˇz´ı sama za seba n´ajst’ optim´alne miesto
vo vyhl’ad´
avacom priestore, ale z´aroveˇ
n prihliada na to ako sa dar´ı ostatn´
ym ˇcasticiam,
priˇcom je prit’ahovan´
a tou naj´
uspeˇsnejˇsou.
Met´
oda bola inˇspirovan´
a pohybom ˇzivoˇc´ıchov v pr´ırode, napr. k´rdle ˇskorcov (obr. 2.12),
h´
ufy r´
yb, ˇci roje vˇciel. Takouto spolupr´acou sa napr´ıklad dok´aˇzu jedince lepˇsie br´anit’ pred
pred´atormi, ˇci efekt´ıvne vyuˇz´ıvat’ z´ıskan´e inform´acie v r´amci popul´acie.
Kaˇzd´
a ˇcastica v PSO je podl’a [11] zloˇzen´a z:
34
Obr. 2.12: K´rdel’ z tis´ıciek ˇskorcov [54]
ˆ poz´ıcie vo vyhl’ad´
avacom priestore,
ˆ hodnoty u
´ˇcelovej funkcie v danom bode priestoru,
ˆ r´
ychlosti, resp. posunu, ktor´
y bude zapoˇc´ıtan´
y v d’al’ˇsom kroku,
ˆ pam¨
ate, ktor´
a obsahuje poz´ıciu zatial’ najpeˇsej n´ajdenej poz´ıcie a
ˆ hodnotu u
´ˇcelovej funkcie pre najlepˇsiu n´ajden´
u poz´ıciu.
V´
yhoda pouˇzitia optimalizaˇcnej met´ody PSO je v tom, ˇze nez´avis´ı na v´
ypoˇcte gradientu
u
´ˇcelovej funkcie, a teda si vie poradit’ so ˇsirokou dom´enou probl´emov. To je obzvl´aˇst’
n´apomocn´e, pokial’ u
´ˇcelov´
a funkcia obsahuje vel’a ˇsumu alebo ak nie je vo vˇsetk´
ych bodoch
diferencovatel’n´
a. Vˇsestrannost’ tejto met´ody m´a ale aj negat´ıvnu str´anku, pretoˇze sa ˇcasto
st´ava, ˇze vyˇzaduje urˇcit´
u formu dolad’ovania a kalibr´acie pre jednotliv´e probl´emy.[56, 57]
Tieˇz nie je vˇzdy zaruˇcen´
a glob´
alna optim´alnost’ n´ajden´eho rieˇsenia.
Nasleduje popis princ´ıpu fungovania PSO podl’a [11].
Inicializ´
acia roja
Pre kaˇzd´
u ˇcasticu:
ˆ vyber n´
ahodn´
u poz´ıciu vo vyhl’ad´avacom priestore. Vypoˇc´ıtaj hodnotu u
´ˇcelovej fun-
kcie. Zaˇcni s najlepˇsou doposial’ n´ajdenou hodnotou.
ˆ vyber n´
ahodn´
u r´
ychlost’
35
Iter´
acia
ˆ Vypoˇc´ıtaj nov´
u r´
ychlost’ kombin´aciou nasleduj´
ucich prvkov:
– s´
uˇcasnej poz´ıcie,
– s´
uˇcasn´
a r´
ychlost’,
– predoˇsl´
a najlepˇsia poz´ıcia ˇcastice,
– najlepˇsia predoˇsl´
a poz´ıcia v okol´ı.
ˆ Presuˇ
n sa aplikovan´ım novo vypoˇc´ıtanej r´
ychlosti na s´
uˇcasn´
u poz´ıciu.
ˆ Uprav poz´ıciu aby spadala do vyhl’ad´
avacieho priestoru. (je moˇzn´e vynechat’)
ˆ Ak je hodnota u
´ˇcelovej funkcie v novom bode lepˇsia ako najlepˇsia doposial’ n´ajden´
a
hodnota, nahrad’ glob´
alne najlepˇsiu hodnotu s´
uˇcasnou hodnotou u
´ˇcelovej funkcie a
glob´
alnu najlepˇsiu poz´ıciu s´
uˇcasnou poz´ıciou.
Iter´
acia ma dve koncov´e krit´eri´a:
ˆ ak je hodnota u
´ˇcelovej funkcie optima zn´ama a n´ajden´
y bod sa od nej l´ıˇsi menej ako
je pr´ıpustn´
a odch´
ylka,
ˆ ak bol urˇcen´
y maxim´
alny poˇcet iter´aci´ı a t´ato hodnota bola dosiahnut´a.
V´
ypoˇ
cet pohybu ˇ
castice
Pˆovodn´
y algoritmus “Global best PSO” [18] predpoklad´a, ˇze vˇsetky ˇcastice zdiel’aj´
u svoje
inform´
acie a kaˇzd´
a vie o najlepˇsej poz´ıcii ostatn´
ych ˇcast´ıc. Nasleduj´
uca poz´ıcia ˇcastice
xi,d (it + 1) a jej r´
ychlost’ vi,d (it + 1) sa vypoˇc´ıtaj´
u nasledovne:
xi,d (it + 1) = xi,d (it) + vi,d (it + 1)
(2.23)
vi,d (it + 1) = vi,d (it)
+ C1 ∗ Rnd(0, 1) ∗ [pbi,d (it) − xi,d (it)]
+ C2 ∗ Rnd(0, 1) ∗ [gbd (it) − xi,d (it)]
Premenn´
e:
i index ˇcastice ako jej identifik´
ator,
d aktu´
alna dimenzia, kaˇzd´
a ˇcastica m´a poz´ıciu a r´
ychlost’ pre dan´
u dimenziu,
36
(2.24)
Obr. 2.13: Grafick´e zn´azornenie komponentov pohybu ˇcastice [59]
it poˇc´ıtadlo iter´
acie
xi,d poz´ıcia ˇcastice i v dimenzii d,
vi,d r´
ychlost’ ˇcastice i v dimenzii d,
C1 kognit´ıvny koeficient akceler´
acie - preferencia vlastn´eho optima ˇcastice,
C2 soci´
alny koeficient akceler´
acie - preferencia glob´alneho optima spomedzi vˇsetk´
ych
ˇcast´ıc,
Rnd(0, 1) stochastick´
y komponent algoritmu, n´ahodn´e ˇc´ıslo medzi 0 a 1,
pbi,d najlepˇsia poloha ˇcastice i v dimenzii d vzhl’adom na hodnotu u
´ˇcelovej funkcie,
gbd najlepˇsia poloha spomedzi vˇsetk´
ych ˇcast´ıc v dimenzii d vzhl’adom na hodnotu u
´ˇcelovej
funkcie,
Grafick´e zn´
azornenie zloˇziek vektoru r´
ychlosti kaˇzdej ˇcastice zn´azorˇ
nuje obr. 2.13.
Vel’kost’ roja
Zvolen´e hodnoty parametrov PSO mˆoˇzu mat’ vel’k´
y vplyv na v´
ykonnost’ optimaliz´acie.
V´
yberom vhodn´
ych parametrov sa preto zaoberalo viacero v´
yskumov [57, 56], avˇsak d´
a
sa povedat’, ˇze neexistuje univerz´alny kl’u
´ˇc pre ak´
ykol’vek rieˇsen´
y probl´em.
Odpor´
uˇcan´
a vel’kost’ roja S, teda poˇcet ˇcast´ıc, vzhl’adom na poˇcet dimenzi´ı D rieˇsen´eho
probl´emu je podl’a [11]:
√
S = 10 + [2 D]
37
(2.25)
Obr. 2.14: Odpor´
uˇcan´
y poˇcet ˇcast´ıc podl’a vzt’ahu 2.25 (Zdroj: vlastn´
y)
Soci´
alny a kognit´ıvny parameter
Tieto parametre ovplyvˇ
nuj´
u mieru v akej je ˇcastica prit’ahovan´a glob´alnym resp. vlastn´
ym
optimom. Existuje vel’k´e mnoˇzstvo ˇst´
udi´ı, ktor´e sa zaoberaj´
u vhodn´
ymi kombin´aciami
t´
ycho parametrov. V [58] moˇzno n´ajst’ vzt’ah 2.26, ktor´
y urˇcuje, ˇci bud´
u ˇcastice konvergovat’. Parameter w predstavuje koeficient hybnosti, ktor´
ym sa kaˇzdou iter´aciou zniˇzuje
pˆovodn´
a r´
ychlost’ kaˇzdej ˇcastice. Tento vzt’ah graficky reprezentuje obr. 2.15, biely trojuholn´ık vpravo symbolizuje oblast’ divergencie a v svetlomodrej oblasti vl’avo rastie r´
ychlost’
konvergencie smerom nadol. Popul´arnym parametrom je podl’a [16] kombin´acia w =
0.7298, c1,2 = 1.49445, ostatn´e odpor´
uˇcan´e zobrazuje tabul’ka.
w > 0.5(c1 + c2 ) − 1
38
(2.26)
w
c1,2
0.001
0.7298
0.7
0.7
0.9
1.0
2.0
1.49618
1.4
2.0
2.0
2.0
Tabul’ka 2.1: Vhodn´e parametre PSO [58]
Obr. 2.15: Oblast’ konvergencie PSO [25]
39
Kapitola 3
Anal´
yza probl´
emu
Vu
´vodn´
ych kapitol´
ach boli pop´ısan´e fundament´alne z´aklady problematiky ktorou sa pr´aca
zaober´
a, aby ˇcitatel’ porozumel postupy navrhnut´e a implementovan´e v ˇcasti ktor´a nasleduje. Obsiahnut´e boli z´
akladn´e term´ıny z oblasti investiˇcn´
ych portf´oli´ı, popis a spˆosoby
meranie rizika. V struˇcnosti bol pop´ısan´
y historick´
y v´
yvoj optimaliz´acie a jej nedostatky.
Druh´a ˇcast’ obsahovala obecn´
y pohl’ad na proces optimaliz´acie a schopnosti metaheurist´ık
rieˇsit’ n´
aroˇcn´e probl´emy.
Ciel’om pr´
ace je navrhn´
ut’ a implementovat’ investiˇcn´
y model, ktor´
y optimalizuje portf´
olio.
T´ato u
´loha mˆ
oˇze byt’ splnen´
a v rˆ
oznych u
´rovniach komplexnosti a presnosti. S ciel’om dosiahnut’ ˇco najlepˇsie v´
ysledky bud´
u v modeli aplikovan´e met´ody Postmodernej te´orie portf´olia,
ktor´e s´ıce predstavuj´
u v´
ypoˇctovo n´aroˇcnejˇs´ı proces, avˇsak poskytuj´
u objekt´ıvnejˇs´ı pohl’ad
na v´
ynosy, riziko a trh vo vˇseobecnosti. V´
ysledkom nem´a byt’ koneˇcn´e robustn´e optimalizaˇcn´e rieˇsenie medzi rˆ
oznymi triedami akt´ıv, ale investiˇcn´
y model strategickej alok´acie na
u
´rovni akt´ıv v ktorom bude moˇzn´e otestovat’ framework PMPT v spojen´ı s optimaliz´aciou
pomocou metaheuristiky.
Optimaliz´
acia portf´
olia je vo vˇseobecnosti n´aroˇcn´
y probl´em, pri ktorom hl’ad´ame vhodn´
u
kombin´
aciu vel’k´eho poˇctu vstupn´
ych parametrov ako historick´
y v´
yvoj akt´ıv, preferencie
investora, ˇci vplyv transakˇcn´
ych poplatkov. Rozsah probl´emu, teda poˇcet dostupln´
ych
akt´ıv, m´
a pritom exponenci´
alny vplyv na poˇcet moˇzn´
ych v´
ysledkov. Z´akladom modelu d´a sa povedat’ jeho “mozgom” je u
´ˇcelov´a funkcia, ktor´a mus´ı zahrn´
ut’ vˇsetky tieto aspekty
optimaliz´
acie. Moˇzno preto oˇcak´avat’, ˇze bude obsahovat’ vel’a “ˇsumu” a t´
ym p´adom aj
lok´alnych extr´emov.
Druh´
ym pilierom modelu, jej “telom” bude met´oda prehl’ad´avania stavov´eho priestoru.
Ten s poˇctom akt´ıv rastie exponenci´alne a je prakticky nemoˇzn´e prehl’adat’ ho cel´
y v
40
rozumnom ˇcase. Na t´
uto u
´lohu bude pouˇzit´a metaheuristika optimaliz´acia ˇcasticov´
ym
rojom. Jej v´
ykonnost’ pri hl’adan´ı optim´alneho portf´olia bude porovnan´a s optimaliz´aciou
zaloˇzenou na simulovanom ˇz´ıhan´ı.
Implement´
aciou modelu vznikne softv´erov´a aplik´acia, ktorou bude moˇzn´e analyzovat’
historick´e d´
ata a vytv´
arat’ investiˇcn´e simul´acie s rˆoznymi parametrami. V r´amci kaˇzdej simul´acie bude model periodicky menit’ zloˇzenie portf´olia v z´avislosti od aktu´alnej situ´acii na
trhu. Aplik´
acia by mala byt’ dostatoˇcne flexibiln´a, aby umoˇzn
ˇovala experimenty s rˆoznymi
parametrami a poskytovala ˇstatistiky v´
ysledn´
ych investiˇcn´
ych simul´aci´ı. T´
ym p´adom bude
moˇzn´e model upravovat’ a z´
aroveˇ
n urˇcovat’ efekt vykonan´
ych zmien na kl’u
´ˇcov´e metriky.
Vhodn´
a bude grafick´
a reprezent´
acia d´at a v´
ysledkov experimentov.
41
Kapitola 4
N´
avrh vlastn´
eho rieˇ
senia
V tejto kapitole bude pop´ısan´
y n´avrh a implement´acia investiˇcn´eho modelu, ktor´
y m´
a
sl´
uˇzit’ ako n´
astroj na podporu rozhodovania pri optimaliz´acii investiˇcn´eho porf´olia, teda
pri jeho selekcii a alok´
acii. Model vych´adza z poznatkov pop´ısan´
ych v kap. 2, priˇcom sa
snaˇz´ı o elimin´
aciu nedostatkov jednotliv´
ych komponentov.
´ celom v´
Uˇ
yslednej aplik´
acie nie je priame nasadenie v praxi, ide skˆor o prototyp investiˇcn´eho modelu, ktor´eho vlastnosti a princ´ıpy mˆoˇzu byt’ pouˇzit´e v robustnejˇsej aplik´acii.
V prvej ˇcasti bude pop´ısan´
a architekt´
ura modelu a pouˇzit´e technol´ogie. V druhej ˇcasti
pr´ıde na rad metaoptimaliz´
acia modelu, v ktorej sa bud´
u hl’adat’ optim´alne parametre
pre jednotliv´e metaheuristiky. Nasleduj´
u pr´ıpadov´e ˇst´
udie na re´alnych d´atach a nakoniec
vyhodnotenie ich v´
ykonnosti. V z´avere s´
u navrhnut´e rozˇs´ırenia a aplik´acie dosiahnut´
ych
v´
ysledkov.
4.1
Architekt´
ura modelu
Investiˇcn´
y model je navrhnut´
y modul´arne a sklad´a sa z t´
ychto hlavn´
ych modulov:
ˆ Trieda Data - zabezpeˇcuje st’ahovanie historick´
ych d´at a ich skladovanie. Pri opa-
kovan´
ych spusteniach aplik´
acie sa d´ata nest’ahuj´
u znova, ale sa pouˇzij´
u uˇz stiahnut´e
d´
ata, ˇc´ım sa ˇsetr´ı ˇcas.
ˆ Trieda Portfolio - centr´
alna ˇcast’ aplik´acie, ktor´a obsahuje u
´ˇcelov´
u funkciu, funkcie
na posun ˇcasov´eho okna a met´ody na vyhodnocovanie v´
ykonnosti. Z tejto triedy s´
u
volan´e jednotliv´e metaheuristiky.
42
ˆ Trieda Simulator - obsahuje riadenie optimaliz´
acie a celkov´
y manaˇzment realok´acie
portf´
olia poˇcas invest´ıcie.
ˆ Metaheuristiky - Sada optimalizaˇcn´
ych met´od, ktor´e optimalizuj´
u alok´aciu portf´
olia.
ˆ Experiments - sada experimentov, ktor´e sl´
uˇzia na kalibr´aciu optim´alnych paramet-
rov modelu.
ˆ main - Hlavn´
a proced´
ura, ktor´a riadi chod pogramu a manipul´aciu s objektami. Sl´
uˇzi
na konfigur´
aciu aplik´
acie, priˇcom po spusten´ı je d’alej aplik´acia riaden´a pomocou
pr´ıkazov.
4.1.1
Technol´
ogie
Aplik´acia je navrhnut´
a v objektovo orientovanom jazyku Python. Ide o vysoko-´
urovˇ
nov´
y programovac´ı jazyk, ktor´
y kladie
dˆoraz na ˇcitatel’nost’ k´
odu za s´
uˇcasn´eho pouˇzitia menˇsieho
Obr. 4.1: Python
rozsahu k´
odu. Podporuje viacer´e programovacie paradigm´a
vr´atane objektovo orientovan´eho a imperat´ıvneho pr´ıstupu, ako aj funkcion´alne programovanie.
V´
yhodou tohoto jazyka je dostupnost’ ˇsirok´eho sortimentu kniˇzn´ıc, vr´atane modulov
urˇcen´
ych na spracovanie vel’k´eho objemu d´at a ich grafick´
u reprezent´aciu.
Kniˇ
znica pandas
pandas je kniˇznica funkci´ı pre Python, ktor´a poskytuje r´
ychle, flexibiln´e a expres´ıvne
d´atov´e ˇstrukt´
ury ktor´e umoˇzn
ˇuj´
u jednoduch´
u a intuit´ıvnu pr´acu s relaˇcn´
ymi a pomenovan´
ymi d´
atami.1 K funkci´
am ktor´e podporuje a znaˇcne ul’ahˇcuj´
u pr´acu s d´atami patr´ı
napr.:
ˆ jednoduch´e oˇsetrenie ch´
ybaj´
ucich d´at,
ˆ selekcia a slicing d´
at,
ˆ aplik´
acia funkcie na cel´
u ˇcasov´
u radu resp. vektor,
ˆ robustn´e vstupno-v´
ystupn´e oper´acie (CSV, Excel, ale aj vel’mi r´
ychly HDF5 form´at).
1
Z repozit´
ara projektu pandas (https://github.com/pydata/pandas)
43
Date
Open
High
Low
Close
Volume
Adj Close
2009-01-02
2009-01-05
2009-01-06
2009-01-07
2009-01-08
85.88
93.17
95.95
91.81
90.43
91.04
96.18
97.17
92.50
93.15
85.16
92.71
92.39
90.26
90.04
90.75
94.58
93.02
91.01
92.70
186503800
295402100
322327600
188262200
168375200
12.28
12.80
12.58
12.31
12.54
Tabul’ka 4.1: Tvar zdrojov´
ych d´at pre APPL z Yahoo Finance API
Hardware
Na testovanie modelu bol pouˇzit´
y notebook s parametrami
ˆ Intel Core i5 450M s frekvenciou 2,4 GHz
ˆ 3 MB L3 Cache
ˆ 2 j´
adra, 4 thready
ˆ Intel Turbo Boost s frekvenciou 2,93 GHz
ˆ RAM 4GB DDR3
4.1.2
Zdrojov´
e d´
ata
Na z´ıskanie historick´
ych d´
at cien akci´ı je v modeli pouˇzit´a sluˇzba Yahoo Finance. D´ata s´
u
v nej pr´ıstupn´e pomocou verejn´eho API2 .
Pomocou kniˇznice pandas je moˇzn´e st’ahovat’ d´ata z viacer´
ych zdrojov, zo serverov
Yahoo je moˇzn´e ich z´ıskat’ pomocou k´odu 4.1
K´od 4.1: Stiahnutie d´
at z Yahoo Finance
1
import pandas.io.data as web
2
data = web.DataReader(symbol, "yahoo", self.start, self.end)
V´
ystupom API je ˇstrukt´
ura typu pandas.DataFrame a jej obsah je v tab. 4.1.
Zl’ava do prava ide o d´
atum z´
aznamu, otv´aracia cena, najvyˇsˇsia a najniˇzˇsia cena za dan´
y
deˇ
n, uzatv´
aracia cena, obchodovan´
y objem a nakoniec upraven´a uzatv´aracia cena. Pr´ave
2
Application programming interface, rozhranie pre programovanie aplik´
aci´ı
44
posledn´
y st´lpec je dˆ
oleˇzit´
y pre anal´
yzu historick´
ych cien, pretoˇze, ide o ceny upraven´e o
efekt dividendov, rozdelenia akci´ı, ˇci emisiu nov´
ych akci´ı.
Zoznam symbolov obsahuje s´
ubor constituents.csv (k´od 4.2). Ide o sadu symbolov zahrnut´
ych v indexe S&P 5003 , vr´atane zaradenia do pr´ısluˇsnej oblasti podnikania.
K´od 4.2: Zoznam symbolov S&P 500
1
Symbol,Name,Sector
2
ABT,Abbott Laboratories,Health Care
3
ABBV,AbbVie Inc.,Health Care
4
ACN,Accenture,Information Technology
5
ACE,ACE Limited,Financials
6
ACT,Actavis Inc,Health Care
7
ADBE,Adobe Systems Inc,Information Technology
8
AES,AES Corp,Utilities
9
...
N´asledne sa vypoˇc´ıtaj´
u percentu´alne zmeny v´
ynosov, ktor´e sa zn´ıˇzia o u
´rokov´
u mieru
bezrizikov´eho akt´ıva (na tento u
´ˇcel boli pouˇzit´e kr´atkodob´e americk´e dlhopisy). V kaˇzdom
roku sa pri tom predpoklad´
a 252 obchodovatel’n´
ych dn´ı (k´od 4.3).
K´od 4.3: V´
ypoˇcet v´
ynosov upraven´
ych o riziko
1
s["pct_daily_ret"] = s["Adj Close"].pct_change()
2
s["excess_daily_ret"] = s["pct_daily_ret"] - risk_free/252
Tento krok m´
a za n´
asledok posun optim´alneho portf´olia, pretoˇze berieme do u
´vahy
potenci´
alne bezrizikov´
u invest´ıciu ako alternat´ıvu k s´
uboru sk´
uman´
ych portf´oli´ı.
Nakoniec sa d´
ata uloˇzia do form´atu HDF5 - ide o form´at vyvynut´
y organiz´aciou National Center for Supercomputing Applications navrhnut´
y na skladovanie a r´
ychlu manipul´aciu s vel’k´
ym objemom numerick´
ych d´at.4
3
Standard & Poor’s 500 - index obsahuj´
uci 500 najv¨
aˇcˇs´ıch americk´
ych firiem, ˇcasto sa pouˇz´ıva
ako najlepˇsia reprezent´
acia americk´eho trhu, zdroj CSV: http://data.okfn.org/data/core/
s-and-p-500-companies
4
Viac o form´
ate HDF5: http://www.hdfgroup.org/HDF5
45
4.1.3
Posuvn´
e okno
Selekcia komponentov portf´
olia a jeho n´asledn´a optimaliz´acia prebiehaj´
u vˇzdy vzhl’adom
na urˇcit´
y ˇcasov´
y u
´sek, nazvime ho posuvn´e okno (obr. 4.2). Ak by sme teda chceli vybrat’ optim´
alne portf´
olio pre dneˇsn´
y d´atum, nach´adzal by sa v pravej ˇcasti posuvn´eho
okna a analyzovali by sme historic´e d´ata cien akt´ıv niekol’k´
ych mesiacov alebo rokov do
minulosti. N´
asledne by sme vybrali zloˇzky portf´olia a aplikovali optimaliz´aciu. Poz´ıciu tohoto portf´
olia by sme d’alej drˇzali na dobu n´aˇsho investiˇcn´eho horizontu. Tento proces sa
opakuje vˇzdy po dosiahnut´ı investiˇcn´eho horizontu, ktor´
y tieˇz mˆoˇze mat’ ˇs´ırku niekol’k´
ych
mesiacov alebo rokov.
Obr. 4.2: Posuvn´e okno anal´
yzy (Zdroj: vlastn´
y)
Je potrebn´e si uvedomit’, ˇze rozmedzie d´atumov vo vel’kej miere ovplyvˇ
nuje v´
ykonnost’
portf´olia. Podstatnejˇsia je z n´
aˇsho hl’adiska ani nie tak absol´
utna hodnota rozmedzia t´
ychto
parametrov, ako ich relat´ıvna vz´
ajomn´a hodnota. Intuit´ıvne by mala byt’ analyzovan´a oblast’ ˇsirˇsia ako investiˇcn´
y horizont. Pr´ıliˇs mal´e rozmedzie d´atumov nemus´ı mat’ dostatoˇcn´
u
ˇstatistick´
u v´
ypoved´
u hodnotu, a z´aroveˇ
n privel’k´e rozmedzie nemus´ı byt’ dostatoˇcne citliv´e
na zmenu dynamiky na trhu. Priˇcast´e z´asahy do portf´olia by tieˇz mali za n´asledok zv´
yˇsenie
n´akladov za transakˇcn´e poplatky.
Na odhadnutie optim´
alnych hodnˆot t´
ychto parametrov bude preto potrebn´e vykonat’
s´eriu experimentov.
4.1.4
´ celov´
Uˇ
a funkcia
´ celov´
Uˇ
a funkcia je dˆ
oleˇzitou ˇcast’ou modelu, pretoˇze je zodpovedn´a za alok´aciu jednotliv´
ych zloˇziek portf´
olia. Naˇsim ciel’om je n´ajst’ portf´olio ktor´e by malo maxim´alne v´
ynosy
pri minim´
alnom riziku. Na tento u
´ˇcel bol pouˇzit´
y Sortinov index (kap. 2.1.8), pretoˇze
nepenalizuje kladn´e v´
ynosy, naopak - riziko odhaduje iba z negat´ıvnych v´
ynosov (teda
str´at).
46
V´
ypoˇ
cet rizika poklesu
Ako bolo pop´ısane v teoretickej ˇcasti, na v´
ypoˇcet rizika poklesu existuje niekol’ko rˆoznych
met´od, z ˇcoho vyp´
yva, ˇze aj Sortinov index bude mat’ viacero podˆob. Diskr´etne riziko poklesu ide v jazyku python jednoducho implementovat’ pomocou d´atov´
ych ˇstrukt´
ur modulu
pandas (k´
od 4.4). Parameter returns je typu pandas.Series a negat´ıvne v´
ynosy sa
odfiltruj´
u v piatom riadku, priˇcom parameter target je implicitne nulov´
y.
K´od 4.4: V´
ypoˇcet diskr´etneho Sortinovho indexu (Zdroj: vlastn´
y)
1
def sortino_d(returns, target=0):
2
""" Discrete sortino ratio """
3
f_mean = returns.mean()
4
days = 252
5
negative_returns = returns[returns < target]
6
7
downside_risk = np.sqrt((negative_returns**2).mean())
f_sortino = f_mean * np.sqrt(days) / downside_risk
8
return f_sortino
Spojit´
a forma rizika poklesu zah´rn
ˇa aplik´aciu urˇcit´eho integr´alu na funkciu hustoty
pravdepodobnosti pozorovan´eho rozdelenia. Na urˇcenie parametrov rozdelenia bude pouˇzit´
a
funkcia scipy.stats.rv continuous.fit, ktor´a na d´ata aplikuje met´odu maxim´alnej
vierohodnosti. Ako bude pop´ısan´e d’alej, v modeli bude aplikovan´e Johnsonovo SU rozdelenie. V prvom kroku sa teda vypoˇc´ıtaj´
u parametre rozdelenia v´
ynosov. V druhom kroku
sa t´ato funkcia hustoty pravdepodobnosti pouˇzije na zostavenie funkcie rizika poklesu
(obr. 4.3). Nakoniec sa funkcia rizika poklesu integruje v intervale (−∞, target) pouˇzit´ım
funkcie scipy.integrate.quad.
V´
ysledn´
y k´
od 4.5 je implement´aciou Sortinovho indexu vyuˇzit´ım metodiky PMPT na
v´
ypoˇcet rizika poklesu z kap. 2.1.8, nazvime ho spojit´y Sortinov index.
K´od 4.5: V´
ypoˇcet spojit´eho Sortinovho indexu (Zdroj: vlastn´
y)
1
def sortino_c(returns, target=0):
2
""" PMPT continuous Sortino """
3
""" Returns and target are in annualized percent """
4
5
# annualized target in percent to daily percent target
6
target = target / 252.0
47
0.007
0.006
(t-x)^2*pdf(x)
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0.000
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
return
Obr. 4.3: Funkcia rizika poklesu pre t = 0 (Zdroj: vlastn´
y)
7
8
# get params of shape of distribution
9
params = scipy.stats.johnsonsu.fit(returns.dropna())
10
11
# downside risk from PMPT
12
f = lambda x: (target - x)**2 \
* scipy.stats.johnsonsu.pdf(x,*params)
13
14
15
# integrate over function
16
i, abs_error = scipy.integrate.quad(f, -numpy.inf, target)
17
return np.sqrt(252) * (returns.mean() - (target)) / np.sqrt(i)
18
Doporuˇcen´
y v´
ypoˇcet rizika poklesu podl’a PMPT je spojit´a met´oda. Z hl’adiska optimaliz´acie vˇsak ide o pomerne n´
aroˇcn´
y v´
ypoˇcet5 , preto bude na optimaliz´aciu portf´olia v
modeli pouˇzit´
a diskr´etna forma. Spojit´a sa vyuˇzije pri selekcii portf´olia, kde je v´
ypoˇctov
aj o dva r´
ady menej. Tento postup nie je celkom korektn´
y, avˇsak v´
ypoˇcet sa t´
ym znaˇcne
zjednoduˇsuje a pri dostatoˇcnom rozsahu d´at dosahuje uspokojiv´
u v´
ypovedn´
u hodnotu rizika.
5
Merania uk´
azali, ˇze spojit´
a forma je 450 aˇz 500 kr´
at pomalˇsia ako diskr´etna. Anal´
yza profilerom k´
odu
uk´
azala, ˇze je to z dˆ
ovodu pouˇzitia MLE a numerickej integr´
acie v pomere 60:40 v´
ypoˇctov´eho ˇcasu.
48
ˇ ’ˇsou ˇcast’ou u
Dal
´ˇcelovej funkcie je implement´acia transakˇcn´
ych n´akladov v podobe
pen´alty. V prvotnej verzii u
´ˇcelovej funkcie bola transakˇcn´a pen´alta zapoˇc´ıtan´a v pr´ıpade,
ˇze v´aha dan´eho akt´ıva v portf´
oliu bola nenulov´a. Pri testovan´ı modelu sa vˇsak uk´azalo,
ˇze ˇcastice mali tendenciu ost´
avat’ na nulovej hodnote v´ahy akt´ıva, pretoˇze uˇz pri malom
percente alok´
acie bola do u
´ˇcelovej funkcie zapoˇc´ıtan´a cel´a pen´alta. To znamenalo vel’k´
u
negat´ıvnu zmenu u
´ˇcelovej funkcie a takmer nulov´
u pozit´ıvnu zmenu, pretoˇze mal´a v´aha
akt´ıva nemala takmer ˇziadny vplyv na diverzifik´aciu rizika ani na v´
ynosy.
Vhodn´
ym rieˇsen´ım sa uk´
azalo byt’ line´arne aplikovanie pen´alty do u
´rovne rovnomerne
vyv´aˇzen´eho portf´
olia (obr. 4.4, koeficient pen´alty p, v´aha alok´acie w). T´
ym p´adom sa
ˇcastice “neboja” presk´
umat’ oblast’ mimo nuly, pretoˇze zmena nie je n´arazov´a a z´aroveˇ
n
s´
u takpovediac na naklonenej rovine, teda musia preuk´azat’ pozit´ıvny pr´ınos k Sortinovmu
indexu. S´
uˇcet koeficientov pen´
alty kaˇzd´eho akt´ıva v portf´oliu sa n´asledne rovnomerne
aplikuje na v´
ynosy portf´
olia pre dan´
y horizont v podobe transakˇcn´
ych n´akladov. Tento
v´
ypoˇcet sa vykon´
ava osobitne od v´
ypoˇctu skutoˇcn´
ych n´akladov v simul´acii.
Obr. 4.4: Line´
arna aplik´
acia pen´alty pri desiatich akt´ıvach (Zdroj: vlastn´
y)
ˇ ’ˇsou pen´
Dal
altou, ktor´
a bola testovan´a je diverzifikaˇcn´a pen´alta, ktor´a zabraˇ
novala
vytv´araniu portf´
oli´ı s mal´
ym poˇctom komponentov. Jej koeficient je vˇsak potrebn´e odhadn´
ut’ vzhl’adom na poˇcet akt´ıv v portf´oliu. Dobr´e v´
ysledky vzhl’adom na poˇcet komponentov n poskytoval koeficient k = 3/n. Schematick´a podoba u
´ˇcelovej funkcie m´a tvar
vzt’ahu 4.1, kde r s´
u v´
ynosy, w je alokaˇcn´
y vektor, i je v´
yˇska invest´ıcie a tc s´
u transakˇcn´e
poplatky. Pretoˇze niektor´e pouˇzit´e optimaliz´atory predpokladaj´
u minimalizaˇcn´
u u
´lohu,
u
´ˇcelov´
a funkcia m´
a znamienko m´ınus.
r, w
w , tc , i) + Pd (w
w)
U (r,
w, i, tc ) = −sortinod (rr ) + Pc (w
49
(4.1)
Symbol
weights
mean
std
sharpe
sortino
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.006042
0.002098
0.002493
0.002164
0.005161
0.001901
0.002723
0.001935
0.002118
0.001651
0.041142
0.010101
0.011933
0.010569
0.028393
0.011495
0.015419
0.011285
0.011701
0.013780
2.331095
3.297890
3.316861
3.249599
2.885207
2.625851
2.803103
2.722248
2.872821
1.902446
6.317351
5.960571
5.733895
5.662121
5.478466
5.452144
5.381757
5.168223
4.982586
4.863535
NFLX
NOC
AIZ
ADS
BBY
MCK
ACT
MA
TMO
GOOGL
Tabul’ka 4.2: Selekcia komponentov portf´olia podl’a Sortinovho indexu
4.1.5
Selekcia portf´
olia
V´
yber komponentov portf´
olia je ovplyvnen´
y historickou v´
ykonnost’ou jednotliv´
ych akt´ıv v
r´amci posuvn´eho okna. Na meranie v´
ykonnosti akt´ıv bude pouˇzit´
y Sortinov index, priˇcom
do portf´
olia bud´
u zaraden´e tie komponenty, ktor´e v r´amci rozmedzia d´atumov posuvn´eho
okna zaznamenali najlepˇsie hodnoty. Poˇcet komponentov portf´olia je pritom moˇzn´e zadat’
ako parameter selekcie. Tabul’ka 4.2 obsahuje v´
yber desiatich najv´
ykonnejˇs´ıch akt´ıv indexu
S&P 500 na zaˇciatku roka 2014 pre ˇs´ırku posuvn´eho okna jeden rok. Netflix Inc. v tomto
pr´ıpade dosiahol najlepˇsie hodnotenie pomeru v´
ynosu k riziku.
Ako moˇzno vidiet’ v tabul’ke, syst´em nastavil rovnomern´e poˇciatoˇcn´e rozdelenie akt´ıv.
Tie je n´
asledne potrebn´e optimalizovat’.
2.6
2.4
2.2
NFLX
NOC
AIZ
ADS
BBY
MCK
ACT
MA
TMO
GOOGL
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
feb
3
3
3
3
201
201 ar 201
201
apr
máj
m
jún
3
201
013
júl 2
aug
Date
3
201
sep
3
201
3
3
3
201 ec 201
201
okt
d
nov
Obr. 4.5: Jednotliv´e v´
ynosy akt´ıv portf´olia
50
4.1.6
Optimaliz´
acia portf´
olia
Model vyuˇz´ıva na optimaliz´
aciu niekol’ko optimalizaˇcn´
ych met´od:
ˆ simulovan´e ˇz´ıhanie,
ˆ optimaliz´
acia rojom ˇcast´ıc,
Kaˇzd´
a z met´
od ma ˇspecifick´e parametre, ktor´e ovplyvˇ
nuj´
u vlastnosti vykonanej optimaliz´acie ako napr. r´
ychlost’ konvergencie, optim´alnost’ rieˇsenia, pam¨at’ov´a a ˇcasov´a n´aroˇcnost’.
Prim´arnou optimalizaˇcnou met´
odou modelu je optimaliz´acia pomocou ˇcastocov´eho roja,
PSO bliˇzˇsie pop´ısan´
a v kap. 2.2.2.
Jej implement´
acia v jazyku Python nie je n´aroˇcn´a, pretoˇze je moˇzn´e bezprobl´emovo
vyuˇzit’ vektorov´e oper´
acie na polia. K´od hlavn´eho iteraˇcn´eho cyklu vidno v k´ode 4.6.
Ako ukonˇcovacie krit´erium optimaliz´acie pomocou PSO bol zvolen´
y stav ked’ priemer
noriem vektorov r´
ychlosti ˇcast´ıc klesne pod minim´alnu hodnotu (vzt’ah 4.2).
1X
kv~n k < 0.001
n n
kde
k~v k =
q
v12 + · · · + vn2 .
51
(4.2)
K´od 4.6: Implement´
acia PSO v jazyku Python (hlavn´
y iteraˇcn´
y cyklus)
1
2
while i < iter_max :
for p in particles:
3
utility = u(p.params)
4
if utility < p.utility:
5
p.utility = utility
6
p.best = p.params
7
8
if utility < gbest.utility:
gbest = p
11
p.v = w*p.v \
+ c1 * numpy.random.random(1) * (p.best - p.params) \
+ c2 * numpy.random.random(1) * (gbest.params - p.params)
12
p.params = p.params + p.v
9
10
13
i += 1
14
if i>iter_max:
15
16
break
if pandas.Series(map (lambda x : numpy.linalg.norm(x),
17
[px.v for px in particles]) ).mean() < 0.001:
18
print "Saturated"
19
break
Napriek tomu, ˇze k´
od vyzer´
a skˆor ako pseudok´od, aˇz na inicializ´aciu ˇcast´ıc a impor-
tovanie kniˇzn´ıc ide o plne funkˇcn´
y k´od. V¨aˇcˇsinu z jeho funkcionality a v´
ypoˇctov moˇzno
intuit´ıvne spojit’ s postupom pop´ısan´
ym v kap. 2.2.2. Jedin´
ym menej intuit´ıvnym krokom je v´
ypoˇcet ukonˇcovacej podmienkym v ktorom je pouˇzit´
y lambda v´
yraz. V tomto
riadku sa mapuje funkcia kniˇznice numpy – linalg.norm(x) (v´
ypoˇcet normy vektoru)
– na zoznam s vektormi r´
ychlost´ı jednotliv´
ych ˇcast´ıc. V´
ysledn´
y zoznam sa pomocou rady
pandas.Series spriemeruje, ˇc´ım dost´avame kompletn´
y vzt’ah 4.2.
Aplikovan´ım optimaliz´
acie PSO na portf´olio z predoˇslej kapitoly dost´avame optimalizovan´e portf´
olio. Obr. 4.6 ukazuje konvergenciu hodnoty u
´ˇcelovej funkcie a na obr. 4.7
vidno ako sa zmen´ı priemern´
a r´
ychlost’ ˇcast´ıc pri objaven´ı nov´eho optima.
Obmedzenia optimaliz´
acie
Z podstaty rieˇsen´eho probl´emu je potrebn´e aby s´
uˇcet alok´aci´ı d´aval dohromady 100%,
ˇ ym rieˇsen´ım toho probl´emu je u
pretoˇze chceme vyuˇzit’ vˇsetok dostupn´
y kapit´al. Cast´
´prava
krokovej funkcie algoritmov, ktor´
a m´a na starosti posun vo vyhl’ad´avacom priestore tak´
ym
52
3.4
3.5
f(x)
3.6
3.7
3.8
0
10
20
30
40
50
Iteracia
Obr. 4.6: Konvergencia hodnoty u
´ˇcelovej funkcie f(x) pri PSO (Zdroj: vlastn´
y)
2.0
Priemerná rýchlos
1.5
1.0
0.5
0.0
0
50
100
150
200
250
Iteracia
Obr. 4.7: V´
yvoj priemernej r´
ychlosti ˇcast´ıc PSO pri objaven´ı nov´eho optima (Zdroj:
vlastn´
y)
spˆosobom aby zamedzovala posunutie mimo povolenej z´ony. In´e rieˇsenie predstavuje u
´pravu
u
´ˇcelovej funkcie, aby penalizovala rieˇsenia, ktor´e nesp´lˇ
naj´
u stanoven´e obmedzenia.
Met´
oda, ktor´
a bude pouˇzit´
a v tejto pr´aci spoˇc´ıva v transform´acii vektoru optimaliz´atora tak´
ym spˆ
osobom, aby kaˇzd´
y prehl’ad´avan´
y bod vyhl’ad´avacieho priestoru predstavoval moˇzn´e rieˇsenie. Vzt’ah pouˇzit´
y na t´
uto transform´aciu je 4.3, priˇcom w
~t je transfor-
53
movan´
y vektor alok´
acie w,
~ a wi je zloˇzka vektoru dimenzie i.
1
w
~t = w
~P
i wi
(4.3)
S´
uˇcet zloˇziek tak bude po transform´acii pre ak´
ykol’vek nenulov´
y vektor rovn´
y jednej.
4.2
Optimaliz´
acia modelu
V tejto ˇcasti bud´
u testovan´e rˆ
ozne kombin´acie parametrov modelu s ciel’om zv´
yˇsit’ jeho
stabilitu a urˇcit’ vhodn´e optimalizaˇcn´e postupy.
4.2.1
Odhad distrib´
ucie v´
ynosov
V post-modernej te´
orii portf´
olia predstavuje odhad distribuˇcnej funkcie v´
ynosov dˆoleˇzit´
y
prvok urˇcuj´
uci presnost’ ˇstatistick´
ych v´
ypoˇctov, pretoˇze na rozdiel od MPT sa pri v´
ypoˇctoch
nepouˇz´ıvaj´
u diskr´etne hodnoty v´
ynosov.
V z´
asade ide o to pouˇzit’ tak´e rozdelenie, ktor´e umoˇzn
ˇuje asymetriu. V literat´
ure sa na
tento u
´ˇcel ˇcasto pouˇz´ıva logaritmicko-norm´alne rozdelenie s troma parametrami. [50]
Po niekol’k´
ych anal´
yzach historick´
ych d´at sa vˇsak ukazuje, ˇze v´
ynosy akt´ıv kop´ıruj´
u
niektor´e rozdelenia lepˇsie ako logaritmicko-norm´alne rozdelenie. Z tohoto dˆovodu bol v
r´amci pr´
ace vykonan´
y experiment, v ktorom boli analyzovan´e jednotliv´e v´
ynosy akci´ı
indexu S&P 500 v horizonte 10 rokov (teda s´
ubory s max. 2521 bodmi).
Na orientaˇcn´e urˇcenie vhodn´
ych distrib´
uci´ı bol pouˇzit´
y index ˆGSPC, na ktor´
y boli
pomocou met´
ody maxim´
alnej vierohodnosti (MLE) postupne aplikovan´e zn´ame ˇstatistick´e
modely. Z mnoˇziny 80 modelov6 boli na z´aklade Kolmogorov–Smirnovho testu vybran´e
distrib´
ucie s najvyˇsˇsou p-hodnotou. N´asledne bol tento postup pouˇzit´
y na vˇsetky zloˇzky
indexu, priemern´e p-hodnoty s´
u v tabul’ke 4.3. Z v´
ysledkov vypl´
yva, ˇze v´
ynosy najlepˇsie
kop´ıruj´
u Johnsonovo SU rozdelenie (obr. 4.8).
4.2.2
Optimaliz´
acia posuvn´
eho okna
´
Ulohou
tohoto experimentu je odhadn´
ut’ vhodn´
y pomer ˇs´ırky posuvn´eho okna vzhl’adom na
investiˇcn´
y horizont. Pre d´
ata z posuvn´eho okna urˇcitej ˇs´ırky najprv urˇc´ıme optim´alne pa-
6
http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/stats.html
54
Rozdelenie
Model scipy
Johnsonovo SU r.
Excentrick´e ˇstudentovo r.
Gama r.
Weibullovo r.
Hyperbolick´e r.
Laplaceovo r.
Logistick´e r.
Gen. norm´
alne r.
Logaritmicko-norm´
alne r.
Norm´
alne r.
johnsonsu
nct
dgamma
dweibull
hypsecant
laplace
genlogistic
powernorm
lognorm
norm
priemern´a p-hodnota
0.840181
0.801890
0.333378
0.299329
0.232530
0.195377
0.059185
0.003631
0.003261
0.003129
Tabul’ka 4.3: Priemern´e p-hodnoty v´
ynosov pre jednotliv´e rozdelenia (Zdroj: vlastn´
y)
60
50
Count
40
30
20
10
0
0.06
0.04
0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
Returns
Obr. 4.8: Odhad rozdelenia v´
ynosov trhu - Johnsonovo SU rozdelenie (Zdroj: vlastn´
y)
rametre Johnsonovho SU rozdelenia pomocou MLE. Predpoklad´ame, ˇze d´ata investiˇcn´eho
horizontu bud´
u mat’ urˇcit´
u dobu rozdelenie podobn´e tomu z posuvn´eho okna. Potrebujeme teda zistit’ pre ak´
u hodnotu ˇs´ırky investiˇcn´eho horizontu, vieme s urˇcitou mierou
ˇstatistickej v´
yznamnosti vyvr´
atit’ nulov´
u hypot´ezu, ˇze vzorka d´at z okna investiˇcn´eho horizontu uˇz nem´
a parametre rozdelenia posuvn´eho okna.
Tento experiment nem´
a byt’ exaktn´
ym postupom na vypoˇcet optim´alnych parametrov
okna, tak´
y postup zrejme ani nie je moˇzn´
y. Ciel’om je systematicky urˇcit’ hranicu, od
ktorej je moˇzn´e zo ˇstatistick´eho hl’adiska tvrdit’ neplatnost’ predpokladov a na z´aklade
tejto hranice urˇcit’ vhodn´
y investiˇcn´
y horizont.
ˇırka posuvn´eho okna bola pre experiment urˇcen´a na 2 roky s ohl’adom na dostatoˇcn´
S´
y
55
rozsah d´
at a z´
aroveˇ
n schopnost’ okna prispˆosobovat’ sa zmen´am dynamiky na trhu. Testovacie d´
ata predstavuj´
u denn´e hodnoty indexu S&P 500 (ticker ˆGSPC) s rozhran´ım 10
rokov. Z´
amerne nebol zvolen´
y v¨
aˇcˇs´ı rozsah, aby rozdelenia presnejˇsie reflektovali extr´emne
udalosti posledn´
ych rokov.
Na testovac´ıch d´
atach bolo pre kaˇzd´
u ˇs´ırku horizontu vykonan´
ych 84 meran´ı aplikovan´ım Kolmogorov-Smirnovovho testu pre ˇs´ırky horizontu aˇz do u
´rovne ˇs´ırky posuvn´eho
okna (730 dn´ı). P-hodnoty pre jednotliv´e ˇs´ırky horizontu boli n´asledne spriemerovan´e (obr
4.9).
0.20
0.18
0.16
mean p-value
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
100
200
300
400
500
600
700
800
horizont
Obr. 4.9: Predikˇcn´
a schopnost’ modelu vzhl’adom na vel’kost’ horizontu (Zdroj: vlastn´
y)
Pri ˇstatistickej v´
yznamnosti α = 10% moˇzno teda povedat’, ˇze horizont s rozsahom
viac ako 200 dn´ı nem´
a rovnak´e rozdelenie pravdepodobnosti ako posuvn´e okno so ˇs´ırkou
2 roky. V pomerov´
ych ˇc´ıslach by teda malo byt’ posuvn´e okno aspoˇ
n 3,65-kr´at ˇsirˇsie ako
investiˇcn´
y horizont. V modeli bude preto pouˇzit´
y pomer 5:1.
4.2.3
Optimaliz´
acia parametrov PSO
Soci´
alny a kognit´ıvny parameter
Tieto parametre spolu s parametrom hybnosti ovplyvˇ
nuj´
u konvergenˇcn´e vlastnosti ˇcast´ıc.
Pri tomto experimente bude pozorovan´a schopnost’ ˇcast´ıc konvergovat’ k optimu pre meniace sa parametre c1 a c2 pri st´
alych parametroch poˇctu popul´acie a parametru hybnosti.
Experiment bol pre r´
ychlost’ v´
ypoˇctu vykonan´
y v piatich dimenzi´ach (p¨at’ akt´ıv) pri
hodnote parametru hybnosti w = 0.7 a 100 iter´aci´ı. Priemern´e v´
ysledky n´ajden´eho optima
56
w
c1,2
Iter´acie
0.001
0.7298
0.7
0.7
0.9
2.0
1.49618
1.4
2.0
2.0
78.400 ± 47.838
170.200 ± 35.007
121.000 ± 24.545
773.900 ± 252.548
neskonvergoval
´ celov´a funkcia
Uˇ
3.282
3.423
3.412
3.452
±
±
±
±
0.142
0.052
0.066
0.060
-
Tabul’ka 4.4: Priemern´
y poˇcet iter´aci´ı do konvergencie (Zdroj: vlastn´
y)
z desiatich meran´ı zobrazuje obr. 2.15.
1.8
3.48
3.385
3.449
3.407
3.458
3.426
1.6
3.395
3.392
3.385
3.39
3.386
1.4
3.426
3.448
3.42
3.433
3.476
1.2
3.419
3.424
3.425
3.391
3.392
1.0
3.46
3.399
3.482
3.414
3.417
3.4
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
c1
3.44
3.42
3.40
c2
Obr. 4.10: Priemern´e hodnoty u
´ˇcelovej funkcie pre rˆozne kombin´acie c1 a c2
Najlepˇsie v´
ysledky dosiahli kombin´acie c1 , c2 = [1.0, 1.2], [1.4, 1.8] avˇsak ich rozdiel
nie je oproti ostatn´
ym hodnot´
am v´
yrazn´
y. Z v´
ysledkov nie je moˇzn´e urˇcit’ gradient ako
obr. 4.10, preto bude v modeli pouˇzit´a odpor´
uˇcan´a kombin´acia hodnˆot c1 , c2 = 1.49618 a
w = 0.7298. Tento v´
yber potvrdzuj´
u aj merania odpor´
uˇcan´
ych hodnˆot (tab. 4.4), kde t´ato
kombin´
acia dosahuje dobr´
y pomer v´
ykonnosti k priemern´emu poˇctu iter´aci´ı.
Pri meran´ı priemern´eho poˇctu iter´aci´ı pre meniace sa hodnoty c1,2 (obr. 4.11) moˇzno
pozorovat’ zvyˇsovanie poˇctu iter´
aci´ı pre v¨aˇcˇsie c1 + c2 , ako aj ˇcastejˇsie divergencie pri
c1 6= c2 (tmavomodr´e oblasti). Je to spˆosoben´e zv´
yˇsen´
ym faktorom n´ahody, ktor´
y do
v´
ypoˇctu tieto parametre vn´
aˇsaj´
u nad hranicou 1, t´
ym p´adom spˆosobuj´
u silnejˇsie oscil´acie
vektoru r´
ychlosti, ktor´
y je inak utlmovan´
y parametrom w.
57
1.8
89.667
145.667
183.0
467.667
261.0
1.6
400
97.0
111.333 460.333
145.0
468.0
c1
1.4
320
104.0
173.667 124.333
174.0
415.333
1.2
240
83.667
111.667
170.0
245.0
163.333
1.0
160
73.333
122.333
102.0
113.0
399.667
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
80
c2
Obr. 4.11: Priemern´e hodnoty poˇctu iter´aci´ı do konvergenice (Zdroj: vlastn´
y)
Vel’kost’ popul´
acie ˇ
cast´ıc
´
Ulohou
tohoto experimentu bude urˇcit’ optim´alny poˇcet ˇcast´ıc vzhl’adom na poˇcet dimenzi´ı
probl´emu, teda poˇcet akt´ıv portf´olia. Oˇcak´ava sa, ˇze so zv´
yˇsen´ım poˇctu ˇcast´ıc by malo
dˆojst’ k r´
ychlejˇsej konvergencii a n´ajdeniu optim´alnejˇs´ıch v´
ysledkov.
V prvom kroku sa spust´ı optimaliz´acia pre fixn´
y poˇcet akt´ıv pre rˆozny rozsah popul´aci´ı
a bude sa sledovat’ konvergencia u
´ˇcelovej funkcie. Ked’ˇze PSO je stochastick´
y algoritmus,
treba meranie pre kaˇzd´
y rozsah popul´acie vykonat’ niekol’ko kr´at a v´
ysledky spriemerovat’,
aby sme z´ıskali lepˇsiu predstavu o v´
ykonnosti ˇcast´ıc.
Obr. 4.12 zobrazuje v´
yvoj u
´ˇcelovej funkcie pre rˆoznu vel’kost’ popul´acie pri piatich dimenzi´ach. Vˇsetky pr´ıpady skonvergovali, niektor´e z menˇs´ımi popul´aciami uviazli v lok´alnom
optime. Moˇzno potvrdit’ zr´
ychlenie konvergencie so zvyˇsuj´
ucim poˇctom ˇcast´ıc. Podl’a vzt’ahu
2.25 by vˇsak napr. pre 50 dimenzi´ı malo staˇcit’ 24 ˇcast´ıc. Merania ukazuj´
u, ˇze tento poˇcet
nie je pre charakter u
´lohy dostaˇcuj´
uci, preto bude potrebn´e optim´alny vzt’ah odvodit’ od
pozorovan´
ych hodnˆ
ot empiricky.
Druh´
ym predpokladom bolo, ˇze zv´
yˇsenie poˇctu ˇcast´ıc povedie k optim´alnejˇs´ım v´
ysledkom.
V´
ysledky merania tento efekt potvrdzuj´
u, priemern´
u hodnotu u
´ˇcelovej funkcie vzhl’adom
na poˇcet ˇcast´ıc a rozsah probl´emu zobrazuje obr. 4.13. Na obr. je vidiet’, ˇze pri piatich dimenzi´ach probl´emu dosiahlo desat’ ˇcast´ıc porovnatel’n´e v´
ysledky ako optimaliz´acia s vyˇsˇs´ım
poˇctom ˇcast´ıc, teda t´
ato hodnota je postaˇcuj´
uca. Pre dvadsat’ dimenzi´ı vˇsak uˇz moˇzno
58
2.6
10
20
30
50
70
100
130
150
2.7
2.8
utility
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
0
20
40
60
80
100
iteration
Obr. 4.12: Konvergencia u
´ˇcelovej funkcie pre rˆozne vel’kosti popul´acie (Zdroj: vlastn´
y)
pozorovat’ odch´
ylku od ostatn´
ych optimaliz´aci´ı v r´amci dimenzie. Pri 35 dimenzi´ach je
badatel’n´e, ˇze desat’ ˇcast´ıc nem´
a dostatoˇcn´
u prehl’ad´avaciu silu a ost´avaj´
u uviaznut´e v
lok´alnom extr´eme hlboko pod optim´alnou u
´rovˇ
nou.
Z grafu a d’al’ˇs´ıch meran´ı bol odhadnut´
y poˇcet optim´alnych ˇcast´ıc pre rˆozne poˇcty
dimenzi´ı a na z´
aklade regresnej anal´
yzy (obr. 4.14) bol urˇcen´
y vhodn´
y vzt’ah medzi
optim´alnym poˇctom ˇcast´ıc a poˇctom akt´ıv.
Z regresnej anal´
yzy bol vybran´
y kvadratick´
y vzt’ah, pretoˇze najlepˇsie reprezentoval
vzt’ah aj mimo bodov regresie. Graf optim´alneho vzt’ahu ˇcast´ıc a dimenzi´ı je na obr. 4.15
4.2.4
Pouˇ
zitie alternat´ıvnej metaheuristiky
V tomto teste bude porovnan´
a v´
ykonnost’ metaheurist´ık PSO a simulovan´eho ˇz´ıhania.
Tabul’ka 4.5 obsahuje priemern´e hodnoty meran´ı pre rˆozne poˇcty akt´ıv. Simulovah´e ˇz´ıhanie
dosahuje pri menˇsom poˇcte akt´ıv podobn´
ych v´
ysledkov ako PSO za niˇzˇs´ı ˇcas, avˇsak pri
dvadsiatich akt´ıvach nedosahuje optim´alnych v´
ysledkov. Z tohto hl’adiska sa jav´ı PSO ako
ide´alnejˇsia optimalizaˇcn´
a met´
oda pri v¨aˇcˇsom rozsahu probl´emu.
4.2.5
Zhrnutie optimaliz´
acie
Ciel’om tejto ˇcasti bolo urˇcit’ vhodn´e parametre modeu s ohl’adom na jeho stabilitu. Johnsonove SU rozdelenie sa v teste uk´azalo ako najvhodnejˇsie na odhad distrib´
ucie v´
ynosov.
Ako optim´
alne sa uk´
azali kombin´acie kognit´ıvneho a soci´alneho parametru PSO na u
´rovni
59
4.4
4.2
3.8
utility
4.0
3.6
3.4
3.2
3.0
70
60
50
5
10
40
15
20
dimensio
ns
30
25
30
20
35
s
ticle
par
10
´ celov´
Obr. 4.13: Uˇ
a funkcia vzhl’adom na poˇcet ˇcast´ıc a dimenzi´ı
(Zdroj: vlastn´
y, software: Matplotlib)
1.49618 pri parametre hybnosti 0.7298 kedy model dosahoval najlepˇsieho pomeru poˇctu
iter´aci´ı k n´
ajden´emu v´
ysledku. Bol odhadnut´
y minim´alny pomer posuvn´eho okna k investiˇcn´emu horizontu na pomer 1:5. Regresnou anal´
yzou nameran´
ych hodnˆot bol urˇcen´
y
optim´alny vzt’ah poˇctu ˇcast´ıc a dimenzi´ı. Posledn´
y test uk´azal, ˇze pri v¨aˇcˇsom poˇcte akt´ıv
dosahuje lepˇsie v´
ysledky optimaliz´acia PSO oproti simulovan´emu ˇz´ıhaniu.
60
Obr. 4.14: Regresn´
a anal´
yza optim´alneho vzt’ahu poˇctu ˇcast´ıc a dimenzi´ı PSO
(Zdroj:vlastn´
y, software: Wolfram Aplha)
Obr. 4.15: V´
ysledn´
y vzt’ah regresie (Zdroj: vlastn´
y, software: Wolfram Aplha)
61
Poˇcet akt´ıv
PSO
simulovan´e ˇz´ıhanie
5
u
´ˇcelov´a funkcia
poˇcet v´
ypoˇctov
ˇcas (s)
2.964
4060
14.3
2.952
3608
13.8
10
u
´ˇcelov´a funkcia
poˇcet v´
ypoˇctov
ˇcas (s)
2.973
9361
25.3
2.943
6143
19.8
20
u
´ˇcelov´a funkcia
poˇcet v´
ypoˇctov
ˇcas (s)
4.250
21154
45.3
3.922
11763
23.1
Tabul’ka 4.5: Porovnanie v´
ykonnosti PSO so simulovan´
ym ˇz´ıhan´ım
62
4.3
Pr´ıpadov´
eˇ
st´
udie
V tejto ˇcasti bude vytvoren´
y investiˇcn´
y model testovan´
y na historick´
ych d´atach. Jeho
u
´lohou bude optimalizovat’ portf´
olio v r´amci ˇcasov´eho horizontu vo vopred urˇcen´
ych intervaloch. V´
ysledky bud´
u analyzovan´e a bude zhodnoten´a u
´speˇsnost’ selekcie aj alok´acie
akt´ıv.
4.3.1
Glob´
alna finanˇ
cn´
a kr´ıza 2008-2009
Finanˇcn´
a kr´ıza v rokoch 2008-2009 je mnoh´
ymi ekon´omami povaˇzovan´a za najhorˇsiu finanˇcn´
u kr´ızu od Vel’kej hospod´
arskej kr´ızy v tridsiatych rokoch. Dˆovodom bolo prasknutie
bubliny americk´eho hypotek´
arneho trhu, ktor´e vyvrcholilo v roku 2006. Vel’k´
ym finanˇcn´
ym
inˇstit´
uci´
am hrozil tot´
alny kolaps a museli byt’ zachraˇ
novan´e vl´adami po celom svete. Trh
s cenn´
ymi papiermi popri tom celosvetovo utrpel vel’k´
y pokles.
V tejto pr´ıpadovej ˇst´
udii bude testovan´a schopnost’ modelu prekonat’ kr´ızu v rokoch
2008-2009 a hlavne pozorovat’ r´
ychlost’ zotavenia. Ked’ˇze bud´
u ako vstupn´e d´ata pouˇzit´e
indexy akci´ı S&P 500, ktor´e s´
u oznaˇcovan´e ako “blue chip” akcie7 , ktor´e predstavuj´
u
ˇ ’ˇsie svetov´e trhy
najv¨aˇcˇsie americk´e firmy, oˇcak´
ava sa vysok´
y stupeˇ
n korel´acie s trhom. Dal
neboli pridan´e z´
amerne, aby sa otestovala stabilita modelu v n´aroˇcn´
ych podmienkach teda na trhu, ktor´
y doslova cel´
y spadne.
V simul´
aci´ı boli postupne pouˇzit´e rˆozne poˇcty akt´ıv a bola pozorovan´a v´
ykonnost’ v
rokoch 2007 aˇz 2014. V selekcii aj u
´ˇcelovej funkcii bol pouˇzit´
y diskr´etny Sortinov index
kvˆoli r´
ychlosti v´
ypoˇctu. Dosiahnut´e v´
ysledky zobrazuje tabul’ka 4.6. Grafick´
y v´
ystup simul´acie pre 30 akt´ıv je na obr. 4.16. V´
ykonnost’ modelu je porovn´avan´a benchmarkami v
dvoch aspektoch:
ˆ Selekcia - schopnost’ modelu v´
yberu spr´avnych komponentov, priˇcom mierou u
´speˇsnosti
je rozdiel medzi krivkou trhu a rovnomerne v´aˇzen´
ym portf´oliom.
ˆ Optimaliz´
acia - schopnost’ modelu optim´alne alokovat’ vybran´e akt´ıva. Mierou u
´speˇsnosti
je rozdiel v´
ynosov optimalizovan´eho portf´olia (strat´egia sim) a sadou benchmarkov
s alternat´ıvnou alok´
aciou. Na tento u
´ˇcel boli pouˇzit´e tieto benchmarky:
7
Oznaˇcenie blue chip stocks poch´
adza z pokru, kde modr´e ˇcipy predstavuj´
u najvyˇsˇsiu hodnotu. Blue
chip korpor´
acie s´
u obyˇcajne stabiln´e firmy, ktor´e zauj´ımaj´
u ved´
ucu poz´ıciu vo svojom segmente a
maj´
u trhov´
u hodnotu r´
adovo v miliard´
ach dol´
arov. (http://www.investopedia.com/video/play/
blue-chip/)
63
– Rovnomere alokovan´e portf´olio (strat´egia equal)
– Portf´
olio alokovan´e v pomere priemern´
ych v´
ynosov (strat´egia return)
– Portf´
olio alokovan´e v pomere Sortinovho indexu (strat´egia sortino)
– Portf´
olio alokovan´e v pomere Sharpovho indexu (sharpe)
V´
ysledky ukazuj´
u, ˇze portf´
olio s dvadsiatimi akt´ıvami dosahuje najvyˇsˇsieho Sortinovho
indexu, avˇsak m´
a vˇsak mierne vyˇsˇsiu hodnotu v riziku ako portf´olio s tridsiatimi komponentami. Portf´
olio s 50-timi akt´ıvami dosiahlo najvyˇsˇs´ı priemern´
y v´
ynos ale aj najvyˇsˇsie
riziko.
S narastaj´
ucim poˇctom akt´ıv moˇzno pozorovat’ zvyˇsuj´
uci sa pozit´ıvny efekt optimaliz´acie - rozdiely simul´
acie od benchmarkov s´
u pri menˇs´ıch portf´oli´ach niˇzˇsie ako pri vel’kom
portf´oliu. Vo vˇsetk´
ych pr´ıpadoch vˇsak simul´acia prekonala benchmarky vo vˇsetk´
ych metrik´ach, preto moˇzno povaˇzovat’ selekciu aj optimaliz´aciu za u
´speˇsn´
u.
4.3.2
Hedging pomocou indexu VIX
V tejto pr´ıpadovej ˇst´
udii bude do zoznamu akt´ıv pridan´
y index VIX (obr. 2.1), ktor´
y je
od svojej podstaty negat´ıvne korelovan´
y k trhu. Oˇcak´ava sa, ˇze model by mal rozpoznat’
nestabilitu na trhu a tento stav poistit’8 t´
ym, ˇze ˇcast’ portf´olia alokuje do indexu VIX,
ktor´
y je norm´
alne obchodovatel’n´
y. Sledovan´
y bude ˇcasov´
yu
´sek dvoch rokov poˇcas kr´ızy
s investiˇcn´
ym horizontom jeden mesiac. V´
ysledok simul´acie je na obr. 4.17, priˇcom na
spodku grafu vidno alokaˇcn´
y pomer indexu VIX v danom ˇcase.
Je vidiet’, ˇze model akt´ıvne vyˇz´ıval index VIX - v kritick´
ych momentoch bol alokovan´
y
aˇz na 29% portf´
olia - a podarilo sa mu v´
yrazne zn´ıˇzit’ mesaˇcn´e riziko poklesu VaR z −15%
na −9%.
Po necel´
ych dvoch rokoch od prepuknutia kr´ızy sa priemer trhu eˇste len dost´ava na
pˆovodn´
u nulov´
u hodnotu a portf´
olio uˇz vykazuje 31, 8% zisku (v priemere 13, 57% p. a.).
Porovnanie metr´ık s benchmarkami je v tab. 4.7. Na obr. 4.18 vidiet’, ako optimaliz´acia
portf´olia eliminovala extr´emne v´
ynosy a prispela tak k zv´
yˇseniu ich stability.
8
T´
ato met´
oda sa naz´
yva hedging a jej ciel’om je zn´ıˇzit’ moˇzn´e straty z obchodu.
64
65
Optimalizovan´e (sim)
Sortino benchmark
Sharpe benchmark
Rovnomern´e (equal)
V´
ynosov´e (return)
S&P 500 (market)
Optimalizovan´e (sim)
Sortino benchmark
Sharpe benchmark
Rovnomern´e (equal)
V´
ynosov´e (return)
S&P 500 (market)
Optimalizovan´e (sim)
V´
ynosov´e (return)
Sortino benchmark
Sharpe benchmark
Rovnomern´e (equal)
S&P 500 (market)
20
30
50
2.315187
1.899121
1.827906
1.801248
1.756852
0.977289
2.304262
1.946316
1.923749
1.873487
1.848282
0.977289
2.344815
2.039363
2.006605
1.979446
1.887699
0.977289
Sortino
0.000931
0.000798
0.000681
0.000671
0.000644
0.000323
0.000860
0.000739
0.000730
0.000696
0.000767
0.000323
0.000896
0.000785
0.000778
0.000744
0.000798
0.000323
φ denn´
y v´
ynos
0.018459
0.017889
0.015732
0.015756
0.015601
0.014082
0.015898
0.016035
0.016050
0.015766
0.017486
0.014082
0.016449
0.016439
0.016474
0.015991
0.018007
0.014082
289.259580
262.129603
238.345332
236.393334
230.865754
165.699481
274.764900
250.133425
248.288300
241.502496
255.844036
165.699481
282.051923
259.610008
258.015788
251.082892
262.229895
165.699481
Metriky v´
ynosov
σ Celk. v´
ynos (%)
14.079326
12.694464
11.372909
11.259384
10.933394
6.463141
13.354328
12.041668
11.938838
11.554813
12.355765
6.463141
13.722892
12.559559
12.473607
12.094323
12.699811
6.463141
V´
ynos p.a. (%)
-12.207271
-12.336534
-10.837370
-10.823812
-10.732621
-9.712272
-10.757825
-11.055496
-11.043542
-10.878929
-12.132338
-9.712272
-11.316310
-11.325882
-11.327442
-11.026996
-12.525716
-9.712272
V aRα=5% (%)
Tabul’ka 4.6: V´
ysledky simul´
aci´ı poˇcas rokov 2007-2014 pre rˆozne vel’kosti portf´oli´ı zoraden´e podl’a v´
ysledn´eho Sortinovho indexu.
Hodnota v riziku VaR je poˇc´ıtan´a na dobu jedn´eho mesiaca.
Portf´
olio
Poˇcet akt´ıv
66
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
sim
equal
market
return
sharpe
sortino
8
200
9
200
0
201
date
1
201
2
201
3
201
4
201
Obr. 4.16: V´
ysledky simul´
acie poˇcas rokov 2007-2014 pre portf´olio o vel’kosti 30 akt´ıv. Doba v´
ypoˇctu: 1 hod 35 min.
Optimalizovan´e portf´
olio (sim), benchmarky s rovnakou selekciou alokovan´e rovnomerne (equal), podl’a v´
ynosov (return), Sortinovho a
Sharpovho indexu. (Zdroj: vlastn´
y, software: Matplotlib)
return
Portf´
olio
Optimalizovan´e (sim)
V´
ynosov´e (return)
Rovnomern´e (equal)
Sharpe benchmark
Sortino benchmark
S&P 500 (market)
Sortino
Celk. v´
ynos (%)
V´
ynos p.a. (%)
V aRα=5% (%)
0.755637
0.744748
0.725725
0.576958
0.559347
-0.023435
131.813584
155.328128
146.119982
137.370210
136.141244
98.225536
13.570363
22.492052
19.091522
15.751432
15.273200
-0.821434
-9.067471
-15.671162
-13.125742
-13.710915
-13.678329
-15.609235
Tabul’ka 4.7: V´
ysledky simul´aci´ı poˇcas rokov 2008-2009 s pouˇzit´ım indexu VIX.
Hodnota v riziku VaR je poˇc´ıtan´a na dobu jedn´eho mesiaca.
Roˇcn´
y v´
ynos predpoklad´a 252 obchodovac´ıch dn´ı.
sim
equal
market
VIX alloc
1.4
return, vix_allocation
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
apr
8
200
008
júl 2
okt
200
8
jan
200
9
apr
9
200
009
júl 2
okt
200
9
date
Obr. 4.17: Hedging pomocou indexu VIX (Zdroj: vlastn´
y)
4.4
Moˇ
znosti rozˇ
s´ırenia
Moˇznosti rozˇs´ırenia aplik´
acie s´
u nespoˇcetn´e. Model, ktor´
y bol v pr´aci navrhnut´
y a implementovan´
y predstavuje iba skelet programu, ktor´
y by bol potrebn´
y pre re´alne pouˇzitie
v praxi.
Zauj´ımav´
ym rozˇs´ıren´ım by mohla byt’ dynamick´a adapt´acia investiˇcn´eho horizontu
vzhl’adom na volatilitu trhu. T´
ym by bola docielen´a r´
ychlejˇsia odozva v pr´ıpade neˇcakan´
ych
zvratov na trhu.
In´
ym vylepˇsen´ım by mohla byt’ optimaliz´acia v re´alnom ˇcase, kedy by model s´
ustavne
vyhodnocoval podmienky na trhu a kalkuloval vhodn´e moˇznosti na realok´aciu, ber´
uc do
u
´vahy transakˇcn´e n´
aklady.
67
sim
market
35
30
pdf(x)
25
20
15
10
5
0
0.10
0.05
0.00
0.05
0.10
return
Obr. 4.18: Porovnanie distrib´
ucie v´
ynosov optimalizovan´eho portf´olia a trhu
(Zdroj: vlastn´
y)
Z technologick´eho hl’adiska by bola napr´ıklad potrebn´a integr´acia brokersk´
ych platforiem a uˇz´ıvatel’sk´eho rozhrania. Zv´
yˇseniu v´
ykonu by mohla pomˆoct’ reimplement´acia
aplik´acie do kompilovan´eho k´
odu.
Z hl’adiska finanˇcn´ıctva by bolo zauj´ımav´e zahrn´
ut’ pokroˇcilejˇsie modely nar´abaj´
uce
s deriv´
atmi ako opcie, forwardy, ˇci swapy.
68
Z´
aver
Diplomov´
a pr´
aca sa zaoberala moˇznost’ou vyuˇzitia metaheuristiky na optimaliz´aciu in´
vestiˇcn´eho portf´
olia. Uvodn´
e kapitoly obsahovali teoretic´e z´aklady optimaliz´acie portf´olia
s prehl’adom pouˇz´ıvan´
ych met´
od, ich v´
yhod, ˇci nedostatkov. N´asledne bola ozrejmen´a problematika optimaliz´
acie a metaheurist´ık s dˆorazom na met´odu optimaliz´acie ˇcasticov´
ym
rojom. Synt´ezou t´
ychto oblast´ı vznikol n´avrh a implement´acia aplik´acie v jazyku Python,
urˇcenej na periodick´
u optimaliz´
aciu portf´olia.
Model poˇcas svojho v´
yvoja preˇsiel rozsiahlou optimaliz´aciou. Markowitzov model bol
nahraden´
y met´
odami Postmodernej te´orie portf´olia, vd’aka ˇcomu bolo moˇzn´e presnejˇsie
odhadn´
ut’ riziko invest´ıcie. Na odhad distrib´
ucie v´
ynosov bolo pouˇzit´e Johnsonove SU rozdelenie, ked’ˇze sa v teste uk´
azalo ako najvhodnejˇsie zo sk´
uman´
ych rozdelen´ı. S´eriou testov a
experimentov boli urˇcen´e optim´
alne parametre kognit´ıvneho a soci´alneho spr´avania ˇcast´ıc
optimaliz´
acie, koeficientu hybnosti a regresnou anal´
yzou nameran´
ych hodnˆot bol urˇcen´
y
optim´alny vzt’ah ˇcast´ıc vzhl’adom na poˇcet dimenzi´ı probl´emu.
Su
´myslom otestovat’ stabilitu implementovan´eho modelu v n´aroˇcn´
ych situ´aci´ach bola
aplik´acia testovan´
a na udalostiach glob´alnej finanˇcnej kr´ızy v rokoch 2008-2009. Model bol
schopn´
y adekv´
atne reagovat’ na meniacu sa situ´aciu a akt´ıvne vyuˇzil opaˇcne korelovan´e
komponenty na zaistenie stability portf´olila. T´
ym sa mu podarilo zn´ıˇzit’ mesaˇcn´e riziko
poklesu z -15% na -9% a vyk´
azat’ ziskovost’ 31,8% v ˇcase, ked’ sa trh eˇste len dost´aval
na pˆovodn´
u hodnotu.
Model je napriek svojim dobr´
ym v´
ysledkom a prekonaniu stanoven´
ych benchmarkov
len z´akladom re´
alne vyuˇzitel’nej aplik´acie. Pre pouˇzitie v praxi by bolo vhodn´e ho rozˇs´ırit’
o d’al’ˇsiu funkcionalitu, ako popisuje predoˇsl´a kapitola.
Z uveden´eho je moˇzn´e vyvodit’ z´aver, ˇze ciele pr´ace boli naplnen´e a met´oda metaheuristiky bola u
´speˇsne vyuˇzit´
a na optimaliz´aciu investiˇcn´eho portf´olia. Ako hlavn´
y pr´ınos pr´ace
vid´ım jej akademick´
y pr´ınos, ked’ˇze rozsah pouˇzitej literat´
ury mˆoˇze sl´
uˇzit’ ako v´
yznamn´
y
69
zdroj poznatkov pre z´
aujemcov o dan´
u problematiku. Mimo teoretickej roviny je pr´aca
aj praktick´
ym n´
avodom na implement´aciu met´od Postmodernej te´orie portf´olia, ktor´e v
s´
uˇcasnosti vyuˇz´ıva v¨
aˇcˇsina finanˇcn´
ych inˇstit´
uci´ı. Okrem tohto pr´ınosu m´a aplik´acia vytvoren´
a v tejto pr´
aci na z´
aklade dobr´
ych v´
ysledkov potenci´al na vytvorenie ekonomick´eho
prospechu, ˇci uˇz pre firmy alebo jednotlivcov. V neposlednom rade je pr´aca pr´ınosom pre
autora, v zmysle z´ıskania nov´
ych znalost´ı a zruˇcnost´ı. T´ato pr´aca poukazovala na spˆosob
pouˇzitia metaheuristiky pri optimaliz´acii investiˇcn´eho portf´olia s ciel’om vytvorenia stabiln´eho finanˇcn´eho prospechu.
70
Literat´
ura
[1]
Aarts, E. H. a Lenstra, J. K. Local search in combinatorial optimization. Princeton
University Press, 2003. isbn: 9780691115221.
[2]
Aldridge, I. High-frequency trading: a practical guide to algorithmic strategies and
trading systems. John Wiley & Sons, 2013. isbn: 978-1-118-34350-0.
[3]
Applegate, D. L. The traveling salesman problem: a computational study. Princeton
University Press, 2006. isbn: 9780691129938.
[4]
Ariely, D. a Jones, S. Predictably irrational. HarperCollins New York, 2008. isbn:
978-0061353246.
[5]
Aristizabal, R. J. Estimating the parameters of the three-parameter lognormal
”
distribution“. In: (2012).
[6]
Attain Capital. Sortino Ratio Are you calculating it wrong? [Online; cit.
19-December-2014]. 2014. url: http://managed-futuresblog.attaincapital.com/2013/09/11/sortino-ratio-are-youcalculating-it-wrong/.
[7]
Bianchi, L. et al. A survey on metaheuristics for stochastic combinatorial
”
optimization“. In: Natural Computing: an international journal 8.2 (2009),
s. 239–287.
[8]
Blum, C. a Roli, A. Metaheuristics in combinatorial optimization: Overview and
”
conceptual comparison“. In: ACM Computing Surveys (CSUR) 35.3 (2003),
s. 268–308.
[9]
Brinson, G. P., Hood, L. R. a Beebower, G. L. Determinants of portfolio
”
performance“. In: Financial Analysts Journal (1986), s. 39–44.
71
[10]
Clausthal University of Technology. Simulated Annealing. [Online; cit.
10-December-2014]. 2014. url: http://www.iasor.tuclausthal.de/Arbeitsgruppen/StochastischeOptimierung/forschung/sa.
[11]
Clerc, M. Standard particle swarm optimisation“. In: (2012). url:
”
https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/764996/
filename/SPSO_descriptions.pdf.
ˇ
[12] Cern´
y, V. Thermodynamical approach to the traveling salesman problem: An
”
efficient simulation algorithm“. In: Journal of optimization theory and applications
45.1 (1985), s. 41–51.
[13]
Dorigo, M. Optimization, learning and natural algorithms“. In: Ph. D. Thesis,
”
Politecnico di Milano, Italy (1992).
[14]
Dorigo, M. a Gambardella, L. M. Ant colony system: a cooperative learning
”
approach to the traveling salesman problem“. In: Evolutionary Computation, IEEE
Transactions on 1.1 (1997), s. 53–66.
[15]
Eberhart, R. C. a Kennedy, J. A new optimizer using particle swarm theory“. In:
”
Proceedings of the sixth international symposium on micro machine and human
science. Sv. 1. New York, NY. 1995, s. 39–43.
[16]
Eberhart, R. C. a Shi, Y. Comparing inertia weights and constriction factors in
”
particle swarm optimization“. In: Evolutionary Computation, 2000. Proceedings of
the 2000 Congress on. Sv. 1. IEEE. 2000, s. 84–88.
[17]
Eglese, R. Simulated annealing: a tool for operational research“. In: European
”
journal of operational research 46.3 (1990), s. 271–281.
[18]
Engelbrecht, A. P. Computational intelligence: an introduction. John Wiley &
Sons, 2007. isbn: 978-0-470-03561-0.
[19]
Frey, R. a McNeil, A. J. VaR and expected shortfall in portfolios of dependent
”
credit risks: conceptual and practical insights“. In: Journal of Banking & Finance
26.7 (2002), s. 1317–1334.
[20]
Green II, H., Griggs, D. a Christie, J. Syntectonic and annealing recrystallization
”
of fine-grained quartz aggregates“. In: Experimental and Natural Rock
72
Deformation/Experimentelle und nat¨
urliche Gesteinsverformung. Springer, 1970,
s. 272–335.
[21]
Horcher, K. A. Essentials of financial risk management. Sv. 32. John Wiley &
Sons, 2011. isbn: 0470635282.
[22]
Chiang, T. C. a Li, J. Stock Returns, Extreme Values, and Conditional Skewed
”
Distribution“. In: Handbook of Quantitative Finance and Risk Management.
Springer, 2010, s. 853–862.
[23]
Investopedia. Portfolio. [Online; cit. 26-November-2014]. 2014. url:
http://www.investopedia.com/terms/p/portfolio.asp.
[24]
Jan´ıˇcek, P. Syst´emov´e pojet´ı vybran´ych obor´
u pro techniky. Akademick´e
nakladatelstv´ı CERM, 2007. isbn: 9788072045556.
[25]
Jiang, M., Luo, Y. a Yang, S. Stochastic convergence analysis and parameter
”
selection of the standard particle swarm optimization algorithm“. In: Information
Processing Letters 102.1 (2007), s. 8–16.
[26]
Johnson, N. L. Systems of frequency curves generated by methods of translation“.
”
In: Biometrika (1949), s. 149–176.
[27]
Jorion, P. Value at Risk, 3rd Ed.: The New Benchmark for Managing Financial
Risk. McGraw-Hill Education, 2006. isbn: 9780071736923.
[28]
Karaboga, D. Artificial bee colony algorithm“. In: scholarpedia 5.3 (2010), s. 6915.
”
[29]
Kennedy, J., Kennedy, J. F. a Eberhart, R. C. Swarm intelligence. Morgan
Kaufmann, 2001. isbn: 1-55860-595-9.
[30]
Kirkpatrick, S., Gelatt, C. D., Vecchi, M. P. et al. Optimization by simmulated
”
annealing“. In: science 220.4598 (1983), s. 671–680.
[31]
Lyon, A. Why are Normal Distributions Normal?“ In: The British Journal for the
”
Philosophy of Science (2013), axs046.
[32]
Mandelbrot, B. a Hudson, R. L. The Misbehavior of Markets: A fractal view of
financial turbulence. Basic books, 2014. isbn: 0465043577.
[33]
Maringer, D. Portfolio Management with Heuristic Optimization. Advances in
Computational Management Science. Springer, 2006. isbn: 9780387258539.
[34]
Markowitz, H. Portfolio selection*“. In: The journal of finance 7.1 (1952),
”
s. 77–91.
73
[35]
Markowitz, H. M. Portfolio selection: efficient diversification of investments.
Sv. 16. Yale university press, 1968. isbn: 978-0-300-01372-6.
[36]
McNeil, A. J., Frey, R. a Embrechts, P. Quantitative risk management: concepts,
techniques, and tools. Princeton university press, 2010. isbn: 9780691122557.
[37]
Mills, T. C. Modelling skewness and kurtosis in the London Stock Exchange
”
FT-SE index return distributions“. In: The Statistician (1995), s. 323–332.
[38]
Pearl, J. Heuristics. Addison-Wesley Publishing Company Reading, Massachusetts,
1984. isbn: 0201055945.
[39]
Pearson, K. Note on regression and inheritance in the case of two parents“. In:
”
Proceedings of the Royal Society of London 58.347-352 (1895), s. 240–242.
[40]
Pedersen, M. E. H. Good parameters for particle swarm optimization“. In: Hvass
”
Lab., Copenhagen, Denmark, Tech. Rep. HL1001 (2010).
[41]
Peiro, A. Skewness in financial returns“. In: Journal of Banking & Finance 23.6
”
(1999), s. 847–862.
[42]
Peringer, P. Modelov´
an´ı a simulace“. In: Fakulta informaˇcn´ıch technologi´ı: Vysok´e
”
uˇcen´ı technick´ev Brnˇe (2008).
[43]
Phillips, D. a Lee, J. Differentiating tactical asset allocation from market timing“.
”
In: Financial Analysts Journal (1989), s. 14–16.
[44]
Polya, G. How to solve it: A new aspect of mathematical method. Princeton
university press, 2014. isbn: 9781400828678.
[45]
Rom, B. M. a Ferguson, K. W. “Portfolio Theory is Alive and well” A Response“.
”
In: The Journal of Investing 3.3 (1994), s. 24–44.
[46]
Rom, B. M. a Ferguson, K. W. Post-modern portfolio theory comes of age“. In:
”
The Journal of Investing 3.3 (1994), s. 11–17.
[47]
SciPy. scipy.optimize.anneal. [Online; cit. 10-November-2014]. 2014. url:
http://docs.scipy.org/doc/scipy0.14.0/reference/generated/scipy.optimize.anneal.html.
[48]
Sharpe, W. F. Mutual fund performance“. In: Journal of business (1966),
”
s. 119–138.
74
[49]
Shefrin, H. Do investors expect higher returns from safer stocks than from riskier
”
stocks?“ In: The Journal of Psychology and Financial Markets 2.4 (2001),
s. 176–181.
[50]
Sortino, F. a Satchell, S. Managing Downside Risk in Financial Markets.
Quantitative Finance. Elsevier Science, 2001. isbn: 9780080496207.
[51]
Subudhi, S. Statistical Concepts and Market Returns. [Online; cit.
6-December-2014]. 2014. url: http://blog.simplilearn.com/financialmanagement/statistical-concepts-and-market-returns-cfalevel-i.
[52]
Sullivan, A. a Sheffrin, S. M. Economics: Principles in action. Upper Saddle River,
”
New Jersey 07458: Pearson Prentice Hall“. In: (2003).
[53]
Talbi, E.-G. Metaheuristics: from design to implementation. Sv. 74. John Wiley &
Sons, 2009. isbn: 9780691115221.
[54]
The Atlantic. The Murmurations of Starlings. [Online; cit. 11-December-2014].
2014. url: http://www.theatlantic.com/infocus/2014/02/themurmurations-of-starlings/100690/.
[55]
Tools For Money. About Investment Portfolio Optimization. [Online; cit.
27-December-2014]. 2014. url:
http://toolsformoney.com/portfolio_optimizer.jpg.
[56]
Trelea, I. C. The particle swarm optimization algorithm: convergence analysis and
”
parameter selection“. In: Information processing letters 85.6 (2003), s. 317–325.
[57]
Van Den Bergh, F. An analysis of particle swarm optimizers“. Dis. University of
”
Pretoria, 2006.
[58]
Van den Bergh, F. a Engelbrecht, A. P. A study of particle swarm optimization
”
particle trajectories“. In: Information sciences 176.8 (2006), s. 937–971.
[59]
Wang, X. et al. Annealed particle filter based on particle swarm optimization for
”
articulated three-dimensional human motion tracking“. In: Optical Engineering
49.1 (2010), s. 017204–017204.
[60]
Wikipedia. Ant colony optimization. [Online; cit. 13-December-2014]. 2014. url:
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Aco_TSP.svg.
75
[61]
Wikipedia. Metaheuristics classification. [Online; cit. 13-December-2014]. 2014.
url: http://en.wikipedia.org/wiki/File:
Metaheuristics_classification.svg.
[62]
Wikipedia. Pearson product-moment correlation coefficient. [Online; cit.
23-November-2014]. 2014. url:
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pearson_productmoment_correlation_coefficient&oldid=631376824.
[63]
Wikipedia. Simulated annealing. [Online; cit. 14-December-2014]. 2014. url:
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Simulated_
annealing&oldid=637573563.
76
Zoznam obr´
azkov
2.1
VIX vs. S&P 500 poˇcas kr´ızy v 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2
Hodnota v riziku pre 99% VaR (α = 1%) a 95% Var (α = 5%) (Zdroj: [2]) . 18
2.3
Pr´ıklady hodnˆ
ot korelaˇcn´eho koeficientu pre mnoˇziny bodov (x,y) (Zdroj:
[62]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4
Porovnanie leptokurtick´eho a norm´alneho rozdelenia (Zdroj: [51]) . . . . . . 20
2.5
Efekt´ıvna hranica portf´
oli´ı [55] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6
Horn´
a a spodn´
a volatilita (Zdroj: [6]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7
Optimaliz´
acia probl´emu obchodn´eho cestuj´
uceho mravˇcou kol´oniou (Zdroj:
[60]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8
Klasifik´
acia metaheurist´ık (Zdroj: [61]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9
Efekt r´
ychlosti ochladzovania pri simulovanom ˇz´ıhan´ı (Zdroj:[63]) . . . . . . 32
2.10 Prekonanie lok´
alneho minima funkcie c(x) s vyuˇzit´ım pravdepodobnosti [10] 33
2.11 Zniˇzovanie teploty (Temp) pri optimaliz´acii n´akladov (Kosten) [10]
. . . . 33
2.12 K´rdel’ z tis´ıciek ˇskorcov [54] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.13 Grafick´e zn´
azornenie komponentov pohybu ˇcastice [59] . . . . . . . . . . . . 37
2.14 Odpor´
uˇcan´
y poˇcet ˇcast´ıc podl’a vzt’ahu 2.25 (Zdroj: vlastn´
y) . . . . . . . . . 38
2.15 Oblast’ konvergencie PSO [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1
Python
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2
Posuvn´e okno anal´
yzy (Zdroj: vlastn´
y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3
Funkcia rizika poklesu pre t = 0 (Zdroj: vlastn´
y) . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4
Line´
arna aplik´
acia pen´
alty pri desiatich akt´ıvach (Zdroj: vlastn´
y) . . . . . . 49
4.5
Jednotliv´e v´
ynosy akt´ıv portf´olia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6
Konvergencia hodnoty u
´ˇcelovej funkcie f(x) pri PSO (Zdroj: vlastn´
y) . . . . 53
4.7
V´
yvoj priemernej r´
ychlosti ˇcast´ıc PSO pri objaven´ı nov´eho optima (Zdroj:
vlastn´
y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
77
4.8
Odhad rozdelenia v´
ynosov trhu - Johnsonovo SU rozdelenie (Zdroj: vlastn´
y) 55
4.9
Predikˇcn´
a schopnost’ modelu vzhl’adom na vel’kost’ horizontu (Zdroj: vlastn´
y) 56
4.10 Priemern´e hodnoty u
´ˇcelovej funkcie pre rˆozne kombin´acie c1 a c2 . . . . . . 57
4.11 Priemern´e hodnoty poˇctu iter´aci´ı do konvergenice (Zdroj: vlastn´
y) . . . . . 58
4.12 Konvergencia u
´ˇcelovej funkcie pre rˆozne vel’kosti popul´acie (Zdroj: vlastn´
y)
59
´ celov´
4.13 Uˇ
a funkcia vzhl’adom na poˇcet ˇcast´ıc a dimenzi´ı (Zdroj: vlastn´
y, software: Matplotlib) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.14 Regresn´
a anal´
yza optim´
alneho vzt’ahu poˇctu ˇcast´ıc a dimenzi´ı PSO (Zdroj:vlastn´
y,
software: Wolfram Aplha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.15 V´
ysledn´
y vzt’ah regresie (Zdroj: vlastn´
y, software: Wolfram Aplha) . . . . . 61
4.16 V´
ysledky simul´
acie poˇcas rokov 2007-2014 pre portf´olio o vel’kosti 30 akt´ıv.
Doba v´
ypoˇctu: 1 hod 35 min. Optimalizovan´e portf´olio (sim), benchmarky s
rovnakou selekciou alokovan´e rovnomerne (equal), podl’a v´
ynosov (return),
Sortinovho a Sharpovho indexu. (Zdroj: vlastn´
y, software: Matplotlib) . . . 66
4.17 Hedging pomocou indexu VIX (Zdroj: vlastn´
y) . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.18 Porovnanie distrib´
ucie v´
ynosov optimalizovan´eho portf´olia a trhu (Zdroj:
vlastn´
y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
78
Zoznam tabuliek
2.1
Vhodn´e parametre PSO [58] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1
Tvar zdrojov´
ych d´
at pre APPL z Yahoo Finance API . . . . . . . . . . . . 44
4.2
Selekcia komponentov portf´olia podl’a Sortinovho indexu . . . . . . . . . . . 50
4.3
Priemern´e p-hodnoty v´
ynosov pre jednotliv´e rozdelenia (Zdroj: vlastn´
y) . . 55
4.4
Priemern´
y poˇcet iter´
aci´ı do konvergencie (Zdroj: vlastn´
y) . . . . . . . . . . 57
4.5
Porovnanie v´
ykonnosti PSO so simulovan´
ym ˇz´ıhan´ım . . . . . . . . . . . . . 62
4.6
V´
ysledky simul´
aci´ı poˇcas rokov 2007-2014 pre rˆozne vel’kosti portf´oli´ı zoraden´e podl’a v´
ysledn´eho Sortinovho indexu. Hodnota v riziku VaR je poˇc´ıtan´a
na dobu jedn´eho mesiaca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.7
V´
ysledky simul´
aci´ı poˇcas rokov 2008-2009 s pouˇzit´ım indexu VIX. Hodnota
v riziku VaR je poˇc´ıtan´
a na dobu jedn´eho mesiaca. Roˇcn´
y v´
ynos predpoklad´
a 252 obchodovac´ıch dn´ı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
79
Dodatok A
Obsah CD
ˆ Zdrojov´e k´
ody programu
ˆ Zdrojov´e k´
ody textu pr´
ace pre latex
ˆ Popisn´
y s´
ubor readme
80
Download

vysok´e uˇcení technick´ev brnˇe optimalizace investiˇcního portfolia