ales
85 ve üzeri puan alan adaylara
TÜBİTAK burs veriyor...
2014
ÖYP kapsamında
araştırma görevlisi
atamalarında ALES
daha da önem kazandı...
EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLARA
ALES
KONU ANLATIMLI
.
.
Kenan Osmanoğlu Kerem Köker Savaş Doğan
Çözümlü
ÖSYM
3200
Sorune
Sınav S"stem"
Uygun
Cevaplı
1800KİTAP
Soru
TEK
Kenan Osmanoğlu
Kerem Köker
Savaş Doğan
ALES KONU ANLATIMLI
SAYISAL YETENEK
978-605-364-364-7
Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© 2014, Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti’ye aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı, mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR' ın her
hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi,
fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı
izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”
8. Baskı: Ocak 2014, Ankara
Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu
Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Tuna Matbaacılık Sanayi ve Ticaret A.S.
Bahçekapı Mahallesi 2460. Sokak No: 7
Sasmaz/ANKARA
(0312-278 34 84)
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 16102
Đletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
E-ileti: [email protected]
SUNU
De÷erli Adaylar,
Dünyadaki bilimsel geliúmeleri yakÕndan izleyecek, bu geliúmelere katkÕda bulunacak ve ülkemizi bilimsel
platformlarda daha da yukarÕlara taúÕyacak siz bilim insanÕ adaylarÕnÕn e÷itim sürecine katkÕda bulunabilmekten
PEGEM AKADEMø ailesi olarak gurur duyuyoruz.
Akademik yayÕn alanÕnda 26 yÕllÕk lider bir kurum olan PEGEM AKADEMø, Akademik Lisansüstü Egitimi Giriú
SÕnavÕ (ALES)’nÕn ilk yÕllarÕndan bu yana yurt çapÕndaki en önemli baúvuru kayna÷ÕdÕr. Bu güven ve birikimle
yürütülen çalÕsmalardan biri olan ALES Konu AnlatÕmlÕ Soru BankasÕ Sözel Yetenek SayÕsal Yetenek
kitabÕmÕz, ÖSYM tarafÕndan 18.10.2010 tarihinde açÕklanan yeni sÕnav sistemine uygun olarak
hazÕrlanmÕútÕr. SÕnav sisteminde; adaylara Sözel Yetenek bölümünde 50’úer sorudan oluúan iki test (Sözel
Yetenek-1 ve Sözel Yetenek-2), SayÕsal Yetenek bölümünde de yine 50’úer sorudan oluúan iki test (SayÕsal
Yetenek-1 ve SayÕsal Yetenek-2) uygulanacaktÕr. Böylece her aday için SayÕsal-1, SayÕsal-2 ,Sözel-1, Sözel-2
Standart Puanlar (SP) hesaplanacaktÕr. Bu standart puanlar kullanÕlarak her aday için sayÕsal a÷ÕrlÕklÕ, sözel
a÷ÕrlÕklÕ ve eúit a÷ÕrlÕklÕ olmak üzere 3 a÷ÕrlÕklÕ puan (AP) hesaplanacaktÕr.
A÷ÕrlÕklÕ puanlarÕn hesaplanmasÕnda testlerin a÷ÕrlÕklarÕ aúa÷Õdaki gibi olacaktÕr:
SayÕsal AP
Sözel AP
Eúit AP
SayÕsal-1 SP
0,35
0,2
0,4
SayÕsal-2 SP
0,35
0,2
Sözel-1 SP
0,3
0,4
0,4
Sözel-2 SP
0,4
-
Kitap, bu testleri etkili bir úekilde çözebilmeniz amacÕyla, sÕnavÕn uygulanmaya baúladÕ÷Õ ilk yÕllardan
günümüze kadarki süreçte konuyla ilgili tüm geliúmeleri yakÕndan takip eden ve bu sÕnava yönelik çalÕúmalar
yapan uzman e÷itimcilerce hazÕrlanmÕútÕr.
Sözel Yetenek, SayÕsal Yetenek olmak üzere 2 kitaptan oluúan bu sette yer alan konu anlatÕmlarÕnÕn, örnek
sorularÕn;
9 gerçek sÕnavla kapsam açÕsÕndan uyumu,
9 biçimsel sunumu,
9 içerik ve metinlerin uygunlu÷u ve zorluk dereceleri
açÕsÕndan ALES’le bire bir örtüúmesi konusunda titiz bir çalÕúma yürütülmüútür.
Konu anlatÕmlarÕ, adaylarÕn kolaylÕkla anlayabilece÷i açÕklÕkta sunulmuú ve anlatÕlan konuyu en iyi úekilde
örnekleyen-pekiútiren sorular olarak her ünitenin sonunda;
- çÕkmÕú sorulara ve
- çözümlü testlere
yer verilmiútir. Böylece, adaylarÕn gerçek sÕnav formatÕna uygun çok sayÕda soru çözebilecekleri bir yayÕn ortaya
konmuútur.
Adaylar, kendilerine sunulan bu kaynaktaki çalÕúma programÕyla sÕnava hazÕrlandÕklarÕ zaman, arzu edilen
hedefe çok daha rahat ulaúabilecek ve baúarÕlÕ olacaklardÕr.
Bu kitabÕn hazÕrlanmasÕnda yardÕm, destek ve katkÕlarÕnÕ esirgemeyen Hakan Tüysüz, øsa Uluda÷, Fikret Birer,
Canan SarÕkaya, Eda Tu÷çe Buluú ve tüm meslektaúlarÕmÕza, PEGEM AKADEMø yayÕnevi ve dershanesi
çalÕúanlarÕna ve ö÷rencilerine teúekkürü bir borç biliriz.
Bu kitap, uzun bir birikimin ve yo÷un bir eme÷in ürünüdür. Kitapla ilgili görüú ve önerileriniz bu ürünün niteli÷ini
daha da arttÕracaktÕr. De÷erli görüú ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracÕlÕ÷Õyla paylaúÕnÕz.
KitabÕn çalÕúmalarÕnÕzda yararlÕ olmasÕ dile÷iyle, ALES’te ve meslek hayatÕnÕzda baúarÕlar.
Tüm adaylara baúarÕ dileklerimizle
Kerem Köker – Kenan Osmano÷lu – Savaú Do÷an
iii
İÇİNDEKİLER
3. BÖLÜM
MATEMATİK
1. BÖLÜM
SAYILAR .................................................................. 3
Sayı Kümeleri........................................................... 4
Doğal Sayılar............................................................ 5
Tam Sayılar .............................................................. 8
Tek ve Çift Tam Sayılar ........................................... 9
Pozitif ve Negatif Sayılar ......................................... 11
Ardışık Sayılar ......................................................... 13
Asal Sayı .................................................................. 18
Aralarında Asal Sayılar ........................................... 18
Basamak Analizi ...................................................... 19
Çözümleme .............................................................. 24
Faktöriyel ................................................................. 26
Sayma Sistemleri ..................................................... 29
Çıkmış Sorular ......................................................... 36
Çözümlü Test – 1 ..................................................... 41
Çözümlü Test – 2 ..................................................... 46
Çözümlü Test – 3 ..................................................... 51
Çözümlü Test – 4 ..................................................... 56
Çözümlü Test – 5 ..................................................... 62
Çözümlü Test – 6 ..................................................... 67
Çözümlü Test – 7 ..................................................... 72
Çözümlü Test – 8 ..................................................... 77
Çözümlü Test – 9 ..................................................... 81
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK ...... 109
Asal Çarpanlara Ayırma .......................................... 110
Bir Tam Sayının Bölenleri ....................................... 111
Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı .................. 113
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ......................... 114
En Küçük Ortak Kat (EKOK) ............................. 117
Çıkmış Sorular ......................................................... 122
Çözümlü Test - 1 ..................................................... 124
Çözümlü Test - 2 ..................................................... 129
4. BÖLÜM
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER .................... 134
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler .... 135
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler ..... 138
Denklem Sistemi ..................................................... 138
Yok Etme Metodu .............................................. 138
Yerine Koyma Metodu ....................................... 139
Özel Denklemler ...................................................... 140
Çıkmış Sorular ......................................................... 143
Çözümlü Test........................................................... 147
5. BÖLÜM
RASYONEL SAYILAR.............................................. 152
Kesir ve Kesir Türleri .............................................. 153
Kesir ................................................................... 153
Basit Kesir ......................................................... 153
2. BÖLÜM
BÖLME – BÖLÜNEBİLME KURALLARI .................. 86
Bölme ....................................................................... 87
Bölünebilme Kuralları ............................................. 91
2 ile Bölünebilme ............................................... 91
3 ile Bölünebilme ............................................... 91
4 ile Bölünebilme ............................................... 92
5 ile Bölünebilme ............................................... 93
7 ile Bölünebilme ............................................... 94
8 ile Bölünebilme ............................................... 94
9 ile Bölünebilme ............................................... 94
10 ile Bölünebilme ............................................. 96
11 ile Bölünebilme ............................................. 96
Çıkmış Sorular ......................................................... 98
Çözümlü Test - 1...................................................... 99
Çözümlü Test - 2...................................................... 104
iv
Bileşik Kesir ....................................................... 153
Tam Sayılı Kesir................................................. 154
Sabit Kesir ......................................................... 155
Denk Kesir ......................................................... 155
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ............................... 156
Toplama İşlemi .................................................. 156
Çıkarma İşlemi ................................................... 157
Çarpma İşlemi .................................................... 157
Bölme İşlemi ...................................................... 157
Kuvvet Alma ...................................................... 157
İşlem Önceliği .................................................... 158
Ondalık Kesirler ....................................................... 161
Ondalık Sayılarda Dört İşlem .................................. 162
Devirli Ondalık Açılımlar ......................................... 164
Rasyonel Sayılarda Sıralama.................................. 165
İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma ........ 167
Çıkmış Sorular ......................................................... 168
Çözümlü Test - 1 ..................................................... 171
Çözümlü Test - 2 ..................................................... 176
6. BÖLÜM
10. BÖLÜM
ÜSLÜ SAYILAR ........................................................ 181
Özellikleri ........................................................... 182
Üslü Sayılarda Dört İşlem ....................................... 185
ORAN – ORANTI ..................................................... 272
Oran.................................................................... 273
Orantı ................................................................. 273
Toplama – Çıkarma............................................ 185
Çarpma ............................................................... 186
Orantının Özellikleri .......................................... 273
Orantı Türleri ........................................................... 275
Bölme ................................................................. 188
Çıkmış Sorular ......................................................... 191
Doğru Orantı ...................................................... 275
Ters Orantılı Çokluklar ...................................... 277
Çözümlü Test ........................................................... 193
Bileşik Orantı ..................................................... 278
Ortalamalar .............................................................. 279
7. BÖLÜM
Aritmetik Ortalama ............................................ 279
Geometrik Ortalama .......................................... 280
Çıkmış Sorular ......................................................... 282
KÖKLÜ SAYILAR ..................................................... 198
Köklü Sayıların Özellikleri ....................................... 199
Köklü Sayılarda Dört İşlem ..................................... 203
Toplama-Çıkarma .............................................. 203
Çarpma ............................................................... 204
Bölme ................................................................. 205
Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması ....... 207
Eşlenik (Paydayı Kökten Kurtarma) ....................... 208
İç İçe Sonlu Kökler .................................................. 210
İç İçe Sonsuz Kökler................................................ 211
A ∓ 2 B ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması ........... 213
Köklü Sayılarda Sıralama ........................................ 215
Köklü Sayılarda Denklem Çözme ........................... 216
Çıkmış Sorular ......................................................... 217
Çözümlü Test ........................................................... 219
8. BÖLÜM
ÇARPANLARA AYIRMA .......................................... 224
Ortak Parantez Yöntemi .................................... 225
Gruplandırma Yöntemi ...................................... 225
ax2+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması ....... 226
Özdeşlikler ............................................................... 228
İki Kare Farkı ...................................................... 228
Tam Kare İfadeler .............................................. 230
III. Dereceden Özdeşlikler ....................................... 233
Çıkmış Sorular ......................................................... 235
Çözümlü Test ........................................................... 238
9. BÖLÜM
EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER .............................. 243
Eşitsizlikler .............................................................. 244
Özellikleri ........................................................... 244
Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .................................... 247
Kapalı Aralık ....................................................... 247
Yarı Açık Aralık .................................................. 247
Açık Aralık .......................................................... 248
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler.... 248
Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi ............................ 249
Mutlak Değer ............................................................ 251
Özellikleri ........................................................... 253
Çıkmış Sorular ......................................................... 257
Çözümlü Test – 1 ..................................................... 261
Çözümlü Test – 2 ..................................................... 267
Çözümlü Test - 1 ..................................................... 285
Çözümlü Test - 2 ..................................................... 290
11. BÖLÜM
PROBLEMLER ......................................................... 295
Denklem Kurma Problemleri .................................. 296
Yaş Problemleri ....................................................... 302
Yüzde Problemleri ................................................... 305
Faiz Problemleri ...................................................... 307
Kâr – Zarar Problemleri........................................... 308
Karışım Problemleri ................................................ 311
İşçi Problemleri ....................................................... 314
Havuz Problemleri ................................................... 316
Hareket Problemleri ................................................ 317
Çıkmış Sorular ......................................................... 323
Çözümlü Test - 1 .................................................... 339
Çözümlü Test - 2 .................................................... 344
Çözümlü Test - 3 .................................................... 350
Çözümlü Test - 4 ..................................................... 355
Çözümlü Test - 5 .................................................... 361
Çözümlü Test - 6 .................................................... 366
Çözümlü Test - 7 .................................................... 373
Çözümlü Test - 8 .................................................... 379
Çözümlü Test - 9 .................................................... 386
Çözümlü Test - 10 .................................................. 392
12. BÖLÜM
KÜMELER ................................................................ 398
Küme ........................................................................ 399
Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı ................ 399
Kümelerin Gösterimi ......................................... 399
Küme Çeşitleri ................................................... 400
Kümelerde İşlemler ........................................... 401
Alt Küme ............................................................ 404
Küme Problemleri.............................................. 406
Çıkmış Sorular ......................................................... 408
Çözümlü Test........................................................... 410
v
13. BÖLÜM
İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK ............................. 415
İşlem ......................................................................... 416
İşlem Tabloları ................................................... 419
İşlemin Özellikleri .............................................. 419
Modüler Aritmetik .................................................... 422
Modüler Aritmetiğin Özellikleri ......................... 423
Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü ............ 427
Çıkmış Sorular ......................................................... 428
Çözümlü Test – 1 ..................................................... 429
Çözümlü Test – 2 ..................................................... 433
14. BÖLÜM
PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK ... 438
Saymanın Temel Kuralları ....................................... 439
Toplama Kuralı .................................................. 439
Çarpma Yolu ile Sayma ..................................... 439
Saymanın Temel İlkesi ...................................... 439
Permütasyon (Sıralama) ......................................... 441
Tekrarlı Permütasyon ........................................ 442
Dairesel Permütasyon ....................................... 443
Kombinasyon (Gruplama) ...................................... 444
Olasılık ..................................................................... 449
Olasılık Fonksiyonu .......................................... 449
Olasılık Hesabı ................................................... 450
Koşullu Olasılık.................................................. 454
Bağımsız ve Bağımlı Olasılık ............................ 455
Çıkmış Sorular ......................................................... 456
Çözümlü Test – 1 ..................................................... 458
Çözümlü Test – 2 ..................................................... 463
Çözümlü Test – 3 ..................................................... 468
15. BÖLÜM
TABLO VE GRAFİKLER .......................................... 473
Tablo ve Yorumlama ............................................... 474
Grafik ve Yorumlama............................................... 478
Çizgi Grafik ........................................................ 478
Sütun Grafiği ...................................................... 480
Daire Grafiği ....................................................... 480
Çıkmış Sorular ......................................................... 483
Çözümlü Test – 1 ..................................................... 495
Çözümlü Test – 2 ..................................................... 498
16. BÖLÜM
SAYISAL YETENEK PROBLEMLERİ ...................... 501
Sayısal Mantık Soruları ........................................... 502
Sayı Dizileri .............................................................. 506
Şifreli Sorular ........................................................... 506
Görsel Yetenek ........................................................ 510
Çıkmış Sorular ......................................................... 514
Cevaplı Test-1 .......................................................... 535
Cevaplı Test-2 .......................................................... 539
Cevaplı Test-3 .......................................................... 543
Cevaplı Test-4 .......................................................... 547
vi
GEOMETRİ
1. BÖLÜM
GEOMETRİK KAVRAMLAR VE
DOĞRUDA AÇILAR ................................................. 552
Geometrik Kavramlar .............................................. 553
Tanımsız Kavramlar ................................................ 553
Açılar ........................................................................ 553
Açının Ölçüsü .................................................... 553
Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler .................. 553
Açı Ölçü Birimleri .............................................. 553
Açı Çeşitleri ............................................................. 554
Dar Açı ............................................................... 554
Dik Açı ................................................................ 554
Geniş Açı............................................................ 554
Doğru Açı ........................................................... 554
Tam Açı .............................................................. 554
Komşu Açılar ..................................................... 554
Açıortay.................................................................... 554
Tümler Açılar ........................................................... 555
Bütünler Açılar ........................................................ 555
Ters Açılar ............................................................... 556
Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile
Yaptığı Açılar ........................................................... 556
Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen
İle Meydana Getirdiği Açılar ................................... 556
Kenarları Paralel Açılar ........................................... 558
Kenarları Dik Açılar ................................................. 558
Üçgenler ................................................................... 561
Üçgen Çeşitleri ........................................................ 561
Açılarına Göre Üçgenler.................................... 561
Kenarlarına Göre Üçgenler ............................... 561
Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar ................. 562
Yükseklik............................................................ 562
Açıortay .............................................................. 562
Kenarortay ......................................................... 562
Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler .......................... 563
Dik Üçgen ................................................................ 567
Pisagor Teoremi ................................................ 567
Öklid Bağıntıları ................................................. 568
Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler ................ 569
Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler..................... 570
Üçgende Açıortay Teoremleri................................. 572
İç Açıortay Teoremi ........................................... 573
Dış Açıortay Teoremi ........................................ 574
Üçgende Kenarortay Teoremleri ............................ 576
Ağırlık Merkezi ................................................... 576
Kenarortay Bağıntıları ....................................... 578
İkizkenar Üçgen ....................................................... 580
Eşkenar Üçgen ........................................................ 582
Üçgende Alan .......................................................... 586
Üçgende Benzerlik .................................................. 591
Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı ........................ 591
Tales Teoremi .................................................... 593
Temel Orantı Teoremi ....................................... 593
Çapraz Tales Teoremi ....................................... 594
Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı ............... 595
Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı .......... 596
Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları ............................ 599
Üçgen Eşitsizliği ...................................................... 599
Cevaplı Test - 1 ....................................................... 604
Cevaplı Test - 2 ....................................................... 606
Cevaplı Test - 3 ....................................................... 608
Cevaplı Test - 4 ....................................................... 610
Cevaplı Test - 5 ....................................................... 612
Cevaplı Test - 6 ....................................................... 614
Cevaplı Test - 7 ....................................................... 616
Cevaplı Test - 8 ....................................................... 618
Cevaplı Test - 9 ....................................................... 620
Cevaplı Test - 10 ..................................................... 622
Cevaplı Test - 11 ..................................................... 624
Cevaplı Test - 12 ..................................................... 626
Cevaplı Test - 13 ..................................................... 628
Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti .......... 672
Kuvvet Ekseni .................................................... 674
İki Çemberin Ortak Teğetleri................................... 675
İki Çemberin Birbirine Göre Durumları .................. 677
Üçgen Çemberleri ................................................... 677
Üçgenin İç Teğet Çemberi ................................ 677
Üçgenin Dış Teğet Çemberi .............................. 678
Teğetler Dörtgeni .................................................... 678
Dairede Alan ............................................................ 679
Dairenin Alanı ve Çevresi ................................. 679
Daire Diliminin Alanı ......................................... 679
Çember Yayının Uzunluğu ................................ 679
Daire Kesmesinin Alanı..................................... 679
Daire Halkasının Alanı ....................................... 680
Çemberde Benzerlik .......................................... 681
Cevaplı Test - 1 ....................................................... 683
Cevaplı Test - 2 ....................................................... 685
Cevaplı Test - 3 ....................................................... 687
2. BÖLÜM
ANALİTİK GEOMETRİ ............................................. 689
Noktanın Analitik İncelenmesi ................................ 690
Analitik Düzlem.................................................. 690
İki Nokta Arasındaki Uzaklık ............................. 691
Doğrusal Noktalar ............................................. 692
Doğrusal Olmayan Noktalar ............................. 694
Doğrunun Analitik İncelenmesi .............................. 697
Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi ........................ 697
Doğrunun Grafiğinin Çizimi .............................. 699
Doğrunun Denklemleri ...................................... 700
Özel Doğrular ..................................................... 702
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları............ 702
Doğru Demeti ..................................................... 704
Simetriler............................................................ 707
Noktanın Simetriği............................................. 707
Doğrunun Simetriği ........................................... 710
Eşitsizlikler .............................................................. 712
Cevaplı Test ............................................................. 714
ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER ............................ 630
Çokgenler ................................................................. 631
Dışbükey ve İçbükey Çokgenler ....................... 631
Düzgün Çokgen ................................................. 632
Dörtgenler ................................................................ 637
Dörtgenin Özellikleri.......................................... 637
Dörtgenlerde Alan ............................................. 638
Paralelkenar ............................................................. 640
Paralelkenarda Alan .......................................... 641
Paralelkenarın Alan Özellikleri ......................... 641
Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler ...... 643
Eşkenar Dörtgen ...................................................... 644
Dikdörtgen .............................................................. 645
Kare .......................................................................... 647
Yamuk ...................................................................... 649
İkizkenar Yamuk ................................................ 652
Dik Yamuk .......................................................... 654
Deltoid ................................................................ 654
Cevaplı Test - 1 ....................................................... 655
Cevaplı Test - 2 ....................................................... 657
Cevaplı Test - 3 ....................................................... 659
Cevaplı Test - 4 ....................................................... 661
Cevaplı Test - 5 ....................................................... 663
3. BÖLÜM
ÇEMBER VE DAİRE ................................................. 665
Çemberde Açı .......................................................... 666
Çemberde Yardımcı Elemanlar ............................... 666
Çemberde Yay ve Açı Özellikleri ............................ 667
Merkez Açı .......................................................... 667
Çevre Açı ............................................................ 668
Teğet Kiriş Açı ................................................... 669
İç Açı ................................................................... 669
Dış Açı ................................................................ 669
Çemberde Kiriş Yay Özellikleri ............................... 671
Kirişler Dörtgen ....................................................... 671
Çemberde Uzunluk .................................................. 672
4. BÖLÜM
5. BÖLÜM
KATI CİSİMLER........................................................ 716
Prizma ...................................................................... 717
Dikdörtgenler Prizması ..................................... 718
Küp ..................................................................... 720
Silindir ................................................................ 720
Dönel Silindir ..................................................... 721
Piramit ...................................................................... 723
Düzgün Piramit .................................................. 723
Kesik Piramit ..................................................... 724
Küre .......................................................................... 726
Cevaplı Testler - 1 .................................................. 727
Cevaplı Testler - 2 .................................................. 729
Çıkmış Sorular ......................................................... 731
vii
TÜRKÇE
1. BÖLÜM
SÖZCÜKTE ANLAM ................................................. 748
Sözcüğün Anlamı .................................................... 748
Gerçek Anlam .................................................. 749
Mecaz Anlam ................................................... 750
Terim Anlam .................................................... 752
Soyut – Somut Anlam ..................................... 752
Nitel – Nicel Anlam .......................................... 753
Sözcüğün Cümleye Kattığı Anlam ................. 753
Sözcüklerde Anlam İlişkileri ................................... 754
Eş Anlamlı Sözcükler ...................................... 754
Yakın Anlamlı Sözcükler ................................. 755
Karşıt Anlamlı Sözcükler ................................ 756
Eş Sesli (Sesteş) Sözcükler ............................ 756
Genel – Özel İlişkili Sözcükler ........................ 759
Söz Sanatları ............................................................ 759
Benzetme (Teşbih) .......................................... 759
Eğretileme (İstiare) .......................................... 760
Ad Aktarması (Mecaz-ı Mürsel) ...................... 763
Değinmece (Kinaye) ........................................ 763
Dokundurma (Tariz) ........................................ 764
Mübalâğa (Abartma) ........................................ 765
Dolaylama ........................................................ 765
Güzel Adlandırma............................................ 766
Somutlama ....................................................... 766
Söz Öbekleri............................................................. 767
Deyimler ........................................................... 767
Atasözleri ......................................................... 768
İkilemeler ......................................................... 771
Pekiştirmeler ................................................... 772
Sözün Cümleye Kattığı Anlam........................ 772
Çıkmış Sorular ......................................................... 774
Çözümlü Test ........................................................... 780
3. BÖLÜM
ANLATIM BİÇİMLERİ ............................................... 833
Öyküleyici Anlatım .......................................... 833
Betimleyici Anlatım ......................................... 833
Açıklayıcı Anlatım ........................................... 833
Tartışmacı Anlatım .......................................... 834
Düşünceyi Geliştirme Yolları .................................. 834
Benzetme ......................................................... 834
Tanımlama ....................................................... 835
Karşılaştırma ................................................... 835
Örneklendirme................................................. 835
Tanık Gösterme (Alıntı Yapma) ...................... 836
Sayısal Verilerden Yararlanma ....................... 836
Soru Sorma ..................................................... 836
Anlatım Nitelikleri .................................................... 837
Özgünlük ......................................................... 837
Özlülük (Yoğunluk) ......................................... 837
Yalınlık (Sadelik) ............................................. 837
Akıcılık ............................................................. 837
Sürükleyicilik ................................................... 837
Duruluk ............................................................ 837
Açıklık .............................................................. 837
Tutarlılık ........................................................... 837
Çıkmış Sorular ......................................................... 839
Çözümlü Test........................................................... 845
4. BÖLÜM
2. BÖLÜM
PARAGRAF .............................................................. 852
ALES’te Paragraf Soruları ...................................... 852
ALES Paragraf Sorularının Özelliği Nedir?............ 852
Paragraf Konusuna Nasıl Çalışmalı? ..................... 852
Paragrafın İçeriği ..................................................... 853
Paragrafta Konu .............................................. 853
Paragrafta Başlık............................................. 856
Paragrafta Ana Düşünce ................................ 857
Paragrafta Yardımcı Düşünceler .................... 860
Paragrafta Tanıtılan Kişiyle İlgili Sorular....... 866
Parçaya Dayalı Sorular ................................... 868
Paragrafın Yapısı ..................................................... 899
Paragrafın Bölümleri ....................................... 899
Paragrafın Yapısına İlişkin Soru Tipleri ve
Çözüme Yönelik Pratikler ............................... 900
Çıkmış Sorular ......................................................... 924
Çözümlü Test........................................................... 941
CÜMLEDE ANLAM ................................................... 785
Cümlenin Yorumu ................................................... 786
Cümle Vurgusu................................................ 786
Eş Anlamlı (Özdeş) / Yakın Anlamlı
Cümleler........................................................... 787
Cümlenin İletisi................................................ 788
Cümle Analizi................................................... 791
Çelişen (Karşıt Anlamlı) Cümleler .................. 792
Kesin Yargı ...................................................... 794
Cümlenin Yapısı ...................................................... 796
Eksiltili Cümle.................................................. 796
Cümle Tamamlama ......................................... 796
Cümle Oluşturma ............................................ 800
Cümlenin Anlamı ..................................................... 803
Anlamlarına Göre Cümleler ............................ 803
Anlam İlişkilerine Göre Cümleler ................... 805
Anlatım Özelliklerine Göre Cümleler ............. 807
İlettiği Duygu, Düşünce ve
Duruma Göre Cümleler ................................... 811
Çıkmış Sorular ......................................................... 818
Çözümlü Test ........................................................... 827
SÖZEL MANTIK ....................................................... 948
Mantıkla İlgili Temel Kavramlar ...................... 948
Sözel Mantık Sorularının Kapsamı ................. 948
Sözel Mantık Soruları Hakkında ..................... 948
Soru Çözümünde Yararlanılabilecek Yöntemler ... 949
Simgeler Kullanma .......................................... 949
Tablo Oluşturma ............................................. 950
Sıralama ........................................................... 955
Sözel Mantık Soru Tipleri ve Örnek Çözümleri ..... 956
Çıkarım Soruları .............................................. 956
Şifreleme Soruları ........................................... 957
Sıralama Soruları ............................................ 957
Yer-Yön-Konum Bildiren Sorular ................... 959
Eşleştirme Soruları ......................................... 961
Tablo Yorumlama Soruları ............................. 962
Karma Sorular ................................................. 962
Çıkmış Sorular ......................................................... 964
Çözümlü Test........................................................... 970
viii
5. BÖLÜM
ALES
SAYISAL
YETENEK
SAYISAL ANALİZ
ALES
ALES ALES ALES ALES
2007 2008 2008 2009
Aralık Mayıs Kasım Mayıs
ALES
2010
Mayıs
ALES
2010
Aralık
ALES
2011
Nisan
ALES
2011
Kasım
ALES
2012
Mayıs
ALES
2012
Kasım
ALES
2013
Mayıs
Sayılar
15
19
14
17
10
16
11
7
11
18
14
1.Dereceden
Denklemler
5
5
8
3
2
3
3
3
3
4
3
EşitsizlikMutlak Değer
3
2
6
8
3
6
4
4
2
4
2
Üslü İfadelerKöklü ifadeler
4
3
4
2
4
4
5
6
6
4
5
ÖzdeşliklerÇarpanlarına
Ayırma
4
4
4
2
2
5
3
3
3
2
3
Oran ve
Orantı
4
4
4
2
1
2
3
4
2
2
1
Problemler
17
13
15
16
15
20
22
14
12
8
13
Kümeler
3
1
--
4
--
1
4
--
--
1
1
İşlemModüler
Aritmetik
--
2
2
--
--
3
--
--
2
2
4
PermütasyonKombinasyon-Olasılık
4
2
1
3
--
7
3
1
2
5
5
Sayısall
Mantık ve
Tablo
Yorumlama
17
22
17
17
35
18
30
47
48
43
34
Geometri
3
3
5
7
8
15
12
11
9
13
15
Sayılar
Sayı Kümeleri
Doğal Sayı
Tam Sayılar
Pozitif ve Negatif Sayılar
Ardışık Sayılar
Asal Sayı
Aralarında Asal Sayılar
Basamak Analizi
Çözümleme
Faktöriyel
Sayma Sistemleri
Çıkmış Sorular
Çözümlü Testler 1-9
Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Analiz Tablosu
2008
2009
2010
2011
2012
2013
Mayıs
Kasım
Mayıs
Kasım
Mayıs
Aralık
Nisan
Kasım
Mayıs
Kasım
Mayıs
5
4
4
2
3
7
7
5
8
8
9
Đnsanlar sayılar gibidir. O insanın değeri ise o sayının içinde
bulunduğu sayı ile ölçülür.
Newton
ALES Matematik
RAKAM: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli
sembollere rakam denir.
SAYI: RakamlarÕn tek baúlarÕna veya bir çokluk
oluúturacak úekilde bir araya gelmesiyle oluúan ifadelere
sayÕ denir.
4)
Rasyonel SayÕlar Kümesi
a
úeklinde
b
yazÕlabilen sayÕlarÕn oluúturdu÷u kümeye rasyonel
sayÕlar kümesi bu kümenin her bir elemanÕna bir
rasyonel sayÕ denir.
a ve b birer tam sayÕ ve b z 0 olsun.
Rasyonel sayÕlar kümesi “Q” sembolü ile gösterilir.
ÖRNEK
Q
7 bir rakam aynÕ zamanda bir sayÕdÕr.
36 iki rakamdan oluúan bir sayÕdÕr.
712 üç rakamdan oluúan bir sayÕdÕr.
­a
½
® : a, b  Z ve b z 0 ¾ dir.
¯b
¿
ÖRNEK
5391 dört rakamdan oluúan negatif bir sayÕdÕr.
„ SAYI KÜMELERİ
1)
Sayma SayÕlarÕ Kümesi
3 12
, , 4, 25..... birer rasyonel sayÕdÕr.
8 17
5)
^1, 2, 3,.....` kümesine sayma sayÕlarÕ kümesi ve bu
kümenin her bir elemanÕna bir sayma sayÕsÕ denir.
Sayma sayÕlarÕ kümesi " ` " sembolü ile gösterilir.
Rasyonel olmayan sayÕlara yani iki tam sayÕnÕn bölümü
úeklinde yazÕlamayan sayÕlarÕn kümesine irrasyonel
sayÕlar kümesi bu kümenin her bir elemanÕna bir
irrasyonel sayÕ denir.
2)
ørrasyonel sayÕlar kümesi “ QI ” sembolü ile gösterilir.
Do÷al SayÕlar Kümesi
^0, 1, 2, 3,.....` kümesine do÷al sayÕlar kümesi ve bu
kümenin her bir elemanÕna bir do÷al sayÕ denir. Do÷al
sayÕlar kümesi " ` " sembolü ile gösterilir.
3)
Tam sayÕlar Kümesi
^........, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,.......` kümesine tam sayÕlar
kümesi ve bu kümenin her bir elemanÕna bir tam sayÕ
denir. Tam sayÕlar kümesi " ] " sembolü ile gösterilir.
Tam sayÕlar kümesi üçe ayrÕlÕr.
a)
Negatif Tam sayÕlar Kümesi
SÕfÕrdan küçük (sÕfÕrÕn solunda olan) sayÕlarÕn
oluúturdu÷u kümeye negatif tam sayÕlar kümesi bu
kümenin her bir elemanÕna negatif tam sayÕ denir.
Negatif tam sayÕlar kümesi " ] " sembolü ile gösterilir.
]
^..............., 3, 2, 1` dir.
Negatif tam sayÕlar sÕfÕra yaklaútÕkça büyürler.
DolayÕsÕyla en büyük negatif tam sayÕ " 1" dir.
b)
Pozitif Tam sayÕlar Kümesi
SÕfÕrdan büyük (sÕfÕrÕn sa÷Õnda olan) sayÕlarÕn
oluúturdu÷u kümeye pozitif tam sayÕlar kümesi bu
kümenin her bir elemanÕna pozitif tam sayÕ denir. Pozitif
tam sayÕlar kümesi " ] " sembolü ile gösterilir.
]
^1, 2, 3,.........` dir.
Pozitif tam sayÕlar sÕfÕra yaklaútÕkça küçülürler.
DolayÕsÕyla en küçük pozitif tam sayÕ "1" dir.
c)
4
ørrasyonel SayÕlar Kümesi
SÕfÕr bir tam sayÕdÕr, fakat iúaretsizdir. Yani pozitif ya
da negatif tam sayÕ de÷ildir.
ÖRNEK
10, 3 7,
6)
13
,... birer irrasyonel sayÕdÕr.
5
Reel (Gerçel, Gerçek) SayÕlar Kümesi
Rasyonel sayÕlar kümesi ile irrasyonel sayÕlar kümesinin
birleúim kümesine reel sayÕlar kümesi bu kümenin her
bir elemanÕna bir reel sayÕ denir.
Reel sayÕlar kümesi " \ " sembolü ile gösterilir.
\ Q ‰ Q Õ úeklinde ifade edilir.
Örnek:
a ve b birer rakam olmak üzere, 3a 4b ifadesinin
alabilece÷i en büyük de÷er kaçtÕr?
A) 65
B) 63
C) 60
D) 57
E) 54
Çözüm:
øfadede kullanÕlacak rakamlarÕn farklÕ olup olmadÕ÷Õna
dikkat edilmelidir. a ve b birbirinden farklÕ rakamlar
denilmedi÷inde 3a 4b ifadesinde en büyük de÷eri elde
etmek için a 9 ve b 9 seçilmelidir. Böylece
3a 4b 3 ˜ 9 4 ˜ 9 27 36 63 bulunur.
„ DOĞAL SAYILAR
Örnek:
En küçük do÷al sayÕ “0” dÕr.
A) 115
`
B) 110
C) 105
D) 100
E) 95
^1,2,3.......` kümesine pozitif do÷al sayÕlar kümesi
denir.
En küçük pozitif do÷al sayÕ veya sayma sayÕsÕ “1” dir.
Çözüm:
Verilen ifadede rakamlarÕn farklÕ olmasÕ istendi÷inden ve
en büyük de÷er soruldu÷undan seçilebilecek en büyük
üç rakam 7, 8 ve 9 kullanÕlmalÕdÕr.
Büyük de÷er elde etmek için bu de÷erler bilinmeyenlerin
katsayÕlarÕnÕn büyüklük sÕrasÕna göre verilmelidir.
O halde a 8, b 9, c 7 seçilirse
5a 6b 3c 5 ˜ 8 6 ˜ 9 3 ˜ 7
40 54 21
115 bulunur.
NOT
x,y  ` ifadesi x ve y do÷al sayÕ, x,y  ` ifadesi x ve
y pozitif do÷al sayÕ veya sayma sayÕsÕ úeklinde okunur.
Örnek:
a, b, c, birbirinden farklÕ do÷al sayÕlar olmak üzere,
a 4b 2c ifadesinin alabilece÷i en küçük de÷er
kaçtÕr?
A) 0
Örnek:
x, y, z birbirinden farklÕ rakamlar olmak üzere,
4x 2y 7z ifadesinin alabilece÷i en küçük de÷er
kaçtÕr?
A) 6
^0,1,2,3.......` kümesine do÷al sayÕlar kümesi denir.
`
Sayılar
a, b ve c birbirinden farklÕ rakamlar olmak üzere,
5a 6b 3c ifadesinin alabilece÷i en büyük de÷er
kaçtÕr?
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Çözüm:
Verilen ifadede rakamlarÕn farklÕ olmasÕ istendi÷inden ve
en küçük de÷er soruldu÷undan en küçük üç rakam
0,1 ve 2 kullanÕlmalÕdÕr.
Küçük de÷er elde etmek için bu de÷erler katsayÕlarÕnÕn
büyüklük sÕrasÕ ile ters olacak úekilde seçilmelidir.
Yani x 1, y 2, z
4x 2y 7 ˜ z
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Çözüm:
a 4b 2c ifadesinin alabilece÷i en küçük de÷er
bulunurken, denklemde verilen bilinmeyenlere katsayÕlarÕnÕn büyüklü÷ü ile ters olacak úekilde küçük do÷al
sayÕ de÷erleri verilir.
En büyük katsayÕ “b” nin oldu÷u için b 0 , sonra en
büyük katsayÕ “c” nin oldu÷u için c 1 ve son olarak
a 2 seçilir. Böylece; a 4b 2c 2 4 ˜ 0 2 ˜ 1 4
bulunur.
Örnek:
0 seçilirse
4 ˜1 2 ˜ 2 7 ˜ 0
x,y,z  ` olmak üzere, 3x 2y 4z ifadesinin
alabilece÷i en küçük de÷er kaçtÕr?
440
8 bulunur.
A) 0
B) 7
C) 9
D) 13
E) 16
Çözüm:
Örnek:
x, y ve z birbirinden farklÕ rakamlardÕr.
Buna göre, 4x 3y 8z ifadesinin alabilece÷i en
küçük de÷er kaçtÕr?
A) 72
B) 69
C) 68
D) 7
E) 10
Çözüm:
Böylece x 1,y 1 ve z 1 seçilirse
3x 2y 4z
3 ˜ 1 2 ˜ 1 4 ˜ 1 9 bulunur.
Örnek:
Soruda rakamlarÕn farklÕ olmasÕ istendi÷inden ve en
küçük de÷er soruldu÷undan katsayÕsÕ pozitif olan
bilinmeyenlere küçük, katsayÕsÕ negatif olan
bilinmeyenlere büyük de÷er verilmelidir Yani, x 0,y 1
ve z
x, y, z pozitif tam sayÕlarÕnÕn birbirinden farklÕ oldu÷u
belirtilmedi÷inden ifadede aynÕ de÷er bütün
bilinmeyenlere verilebilir. Burada kat sayÕlarÕnÕn
büyüklü÷ünün bir önemi yoktur.
a ve b do÷al sayÕlar a b 19 ise a nÕn alabilece÷i
kaç de÷er vardÕr?
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
9 seçilmelidir.
4x 3y 8z
4 ˜ 0 3 ˜1 8 ˜ 9
3 72
69 bulunur.
5
ALES Matematik
Çözüm:
Çözüm:
ToplamlarÕ sabit oldu÷undan bilinmeyenlerin birisine
de÷er verilip di÷er bilinmeyenin de÷eri bulunur.
ToplamlarÕ sabit oldu÷undan x ve y nin birbirine yakÕn ve
birbirinden uzak de÷erlerine bakÕlacak olursa,
Yani a b 19 Ÿ a
xy
0,
b 19
Ÿ a 1,
b 18
Ÿa
27 Ÿ x 13
Ÿx
2, b 17
0
y 14
seçersek x ˜ y 182
y
seçersek x ˜ y
27
0 olur.
DolayÕsÕyla x ˜ y nin alabilece÷i en büyük de÷er 182 ve
en küçük de÷er 0 olur. Bu de÷erlerin toplamÕ ise
182 0 182 bulunur.
#
#
Ÿ a 19, b 0 bulunur.
DolayÕsÕyla a nÕn alabilece÷i 20 de÷er vardÕr.
Örnek:
Örnek:
x ve y sayma sayÕsÕ,
x y 23 oldu÷una göre, y nin alabilece÷i kaç de÷er
vardÕr?
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
ToplamlarÕ 18 olan farklÕ iki do÷al sayÕnÕn çarpÕmÕnÕn
alabilece÷i en büyük de÷er kaçtÕr?
A) 77
B) 78
C) 79
D) 80
E) 81
E) 24
Çözüm:
Çözüm:
ToplamlarÕ sabit oldu÷undan bilinmeyenlerin birisine
de÷er verilip di÷er bilinmeyenin de÷eri bulunur.
y 22
Yani x y 23 Ÿ x 1 ,
Ÿx
2,
#
y
ToplamlarÕ 18 olan iki sayÕ x ve y seçilirse x ile y
birbirinden farklÕ do÷al sayÕlar oldu÷undan x 10 ve
y 8 seçilir. Böylece x ˜ y 80 olur.
21
#
Ÿ x 22,
y 1
DolayÕsÕyla y nin alabilece÷i 22 de÷er vardÕr.
Örnek:
a ve b do÷al sayÕ
a ˜ b 64 ise a b toplamÕnÕn alabilece÷i en büyük
ve en küçük de÷erlerin toplamÕ kaçtÕr?
Örnek:
A) 82
B) 81
C) 80
D) 79
E) 78
a ve b pozitif do÷al sayÕlardÕr.
a b 20 oldu÷una göre, a ˜ b çarpÕmÕnÕn alabilece÷i
en büyük ve en küçük de÷erlerin toplamÕ kaçtÕr?
A) 119
B)115
C) 109
D) 107
E) 100
Çözüm:
ToplamlarÕ sabit olan iki pozitif do÷al sayÕnÕn çarpÕmÕnÕn
en büyük ve en küçük de÷eri bulunurken birbirine yakÕn
(duruma göre eúit seçilebilir) de÷erler ile birbirinden uzak
de÷erler seçilmelidir.
a b 20 Ÿ a 10, b 10 seçilirse a ˜ b 100
Ÿ a 1,
b 19 seçilirse
a ˜ b 19 olur.
DolayÕsÕyla a ˜ b nin en büyük de÷eri 100, en küçük
de÷eri 19 olur. Buradan a ˜ b nin alabilece÷i en büyük ve
en küçük de÷erlerin toplamÕ 100 19 119 bulunur.
Örnek:
x y 27 oldu÷una göre, x ˜ y çarpÕmÕnÕn alabilece÷i
en büyük ve en küçük de÷erlerin toplamÕ kaçtÕr?
B) 201
D) 186
6
ÇarpÕmlarÕ sabit olan iki do÷al sayÕnÕn toplamÕnÕn
alabilece÷i en büyük ve en küçük de÷erler bulunurken
sayÕlar birbirine yakÕn veya birbirinden uzak seçilmelidir.
Yani a ˜ b
64 Ÿ a
8, b
Ÿ a 1,
b
8 seçilirse a b 16
64 seçilirse a b
65 olur.
DolayÕsÕyla a b nin alabilece÷i en büyük de÷er 65, en
küçük de÷er 16 olur. Bu de÷erlerin toplamÕ ise
65 16 81 bulunur.
Örnek:
ÇarpÕmlarÕ 48 olan iki do÷al sayÕnÕn toplamÕnÕn
alabilece÷i en büyük ve en küçük de÷erlerin toplamÕ
kaçtÕr?
x ve y do÷al sayÕ
A) 208
Çözüm:
C) 198
E) 182
A) 63
B) 62
C) 61
D) 60
E) 59
Çözüm:
Çözüm:
ÇarpÕmlarÕ 48 olan iki do÷al sayÕ x ve y olsun.
48 Ÿ x
8,
y
Ÿ x 1,
48 seçilirse x y
y
x
6 seçilirse x y 14
49
DolayÕsÕyla x y nin alabilece÷i en büyük de÷er 49, en
küçük de÷er 14 olur. Buradan bu de÷erlerin toplamÕ
14 49 63 bulunur.
9
6 denkleminde paydada verilen bilinmeyene; pay
y
kÕsmÕndaki sayÕyÕ bölecek úekilde de÷erler verilip di÷er
de÷iúkenin de÷erleri bulunur.
Burada y = 1 , 3 , 9 de÷erlerini alabilir.
O halde x 9
4
Örnek:
x, y ve z birer do÷al sayÕ olmak üzere , x z 5y ise
x y z toplamÕ aúa÷Õdakilerden hangisi olabilir?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 27
E) 32
5y y
9 için x 1 6 Ÿ x
Ÿ y 3 için x 3
Ÿ y 1 için x 9
Bu de÷erlerin toplamÕ ise 5 3
6y bulunur.
6Ÿx
6Ÿx
5
3
3
8 bulunur.
Örnek:
x y z toplamÕnda x z de÷eri yerine 5y yazÕlÕrsa
xN
z y
6Ÿy
x ve y do÷al sayÕ oldu÷undan x in alabilece÷i de÷erler
x 5 ve x 3 tür.
Çözüm:
xyz
6b 10
ise b
b
nin alabilece÷i de÷erler toplamÕ kaçtÕr?
a ve b do÷al sayÕlar olmak üzere, a
5y
DolayÕsÕyla toplamÕnÕn sonucu 6 nÕn katlarÕ olmalÕdÕr.
Seçenekler incelenirse cevap 6 nÕn katÕ 24 olur.
Örnek:
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
Çözüm:
a,b,c  N ve 3a 4b, 5b 6c olmak üzere , a b c
toplamÕ aúa÷Õdakilerden hangisi olamaz?
Verilen ifade aúa÷Õdaki gibi düzenlenecek olursa,
A) 19
a
B) 27
C) 38
D) 57
E) 76
6b 10
b
Buradan a
Çözüm:
Verilen iki eúitlikte ortak bilinmeyen “b” oldu÷undan “a”
ve “c” nin de÷erleri “b” de÷iúkenine ba÷lÕ olarak yazÕlacak
olursa
4b
3a 4b Ÿ a
3
5b
5b 6c Ÿ c
olur.
6
Buradan a b c
4b b 5b
3
1 6
(2)
(6)
8b 6b 5b
6
19b
6
Örnek:
x ve y do÷al sayÕdÕr.
5x 6y 125 eúitli÷ini sa÷layan kaç tane (x,y) ikilisi
vardÕr?
A) 4
b 6 için a b c 19
b 12 için a b c 38 bulunur.
Çözüm:
#
O halde a b c toplamÕ 19 ve 19 un katlarÕ úeklinde
bulunur. Yani a b c toplamÕ 27 olamaz.
B) 7
C) 6
D) 7
E) 8
5x 6y 125 eúitli÷inde x ve y de÷iúkenlerinin ilk
de÷erleri bulunur. Daha sonra x in de÷erleri bulunurken y
nin katsayÕsÕ kadar artÕrÕlÕr (veya azaltÕlÕr), y nin de÷erleri
bulunurken x in katsayÕsÕ kadar artÕrÕlÕr (veya azaltÕlÕr).
Yani 5x 6y 125 Ÿ x 1 ve y
20
7 ve y 15
Ÿ x 13 ve y 10
9
y
6 oldu÷una göre,
C) 6
D) 5
Ÿ x 19 ve y
5
Ÿx
0 olur.
25 ve y
DolayÕsÕyla (1,20) , (7,15) , (13,10) , (19,5) , (25,0)
olmak üzere 5 tane sÕralÕ ikili bulunur.
x in alabilece÷i de÷erler toplamÕ kaçtÕr?
A) 8
B) 5
Ÿx
Örnek:
x ve y do÷al sayÕ x 6b 10
olur.
b
b
10
dir.
6
b
a ve b do÷al sayÕ oldu÷undan b ,10 u bölen sayÕlar
olmalÕdÕr. O halde b nin alabilece÷i de÷erler toplamÕ
1 2 5 10 18 bulunur.
DolayÕsÕyla;
#
Sayılar
x˜y
E) 4
7
Çözüm:
ALES Matematik
„ TAM SAYILAR
] ^........, 3, 2, 1, 0, 1, 2,.......` kümesine tam sayÕlar
kümesi denir. Tam sayÕlar kümesi negatif tam sayÕlar
kümesi pozitif tamsayÕlar kümesi ve ^0` kümesinin
Verilen denklemler alt alta toplanarak ortak olan
bilinmeyen ( yani b) yok edilecek olursa
a b
b c
ac
elamanlarÕnÕn birleúimidir.
ac
1) Negatif Tam sayÕlar:
^........ 3, 2, 1` kümesine negatif tam sayÕlar
]
9
c
13
22
22 Ÿ a
c 22 olur.
23 seçilirse a
Buradan a b c
1 ve b
10 olur.
1 10 23
34 bulunur.
kümesi denir.
Örnek:
Negatif tam sayÕlar kümesi sÕfÕra yaklaútÕkça büyür. En
büyük negatif tam sayÕ “ 1 ” dir.
2) Pozitif Tam sayÕlar:
^1, 2, 3,.......` kümesine pozitif tam sayÕlar kümesi
]
x, y ve z pozitif tam sayÕdÕr.
3x 2y z 19 ise x y z toplamÕ en az kaçtÕr?
A) 7
B) 8
D) 10
E) 11
denir.
Çözüm:
Pozitif tam sayÕlar kümesi sÕfÕra yaklaútÕkça küçülür.
x y z nin en küçük de÷eri alabilmesi için katsayÕsÕ
büyük olan bilinmeyene alabilece÷i en büyük de÷er
verilerek iúlem yapÕlÕr.
En küçük pozitif tam sayÕ “1” dir.
3) SÕfÕr (0) pozitif tam sayÕ veya negatif tam sayÕ
de÷ildir.
x
5 seçilirse 2y z
Örnek:
4x 3y 5z ifadesinin alabilece÷i en büyük de÷er
kaçtÕr?
B 8
C) 10
D) 12
1, y
Örnek:
a, b ve c farklÕ pozitif tam sayÕlardÕr.
A) 26
x, y ve z birbirinden farklÕ olmadÕ÷Õndan alabilecekleri en
büyük negatif tam sayÕ de÷eri 1 dir.
x
1 ve z
1 seçilirse
4( 1) 3( 1) 5( 1)
12 bulunur.
36 ise a b c toplamÕ en çok kaçtÕr?
B) 27
C) 28
D) 29
E) 30
Çözüm:
a b c nin en büyük de÷eri alabilmesi için katsayÕ
büyük olan bilinmeyene alabilece÷i en küçük de÷er
verilerek iúlem yapÕlÕr.
a 1 seçilirse 3b c
Buradan a b c
Örnek:
31 b
1 2 25
2 seçilirse c
25 olur.
28 bulunur.
Örnek:
a, b ve c negatif tam sayÕdÕr.
ab
9
x ve y tam sayÕ
bc
13
x˜y
25 oldu÷una göre, x y toplamÕ en az kaçtÕr?
oldu÷una göre , a b c toplamÕ en çok kaçtÕr?
A) 26
A) 34
Çözüm:
B) 30
D) 27
8 bulunur.
3 ve z 1 seçilirse de eúitlik korunur ve
5a 3b c
E) 22
Çözüm:
4x 3y 5z
5 1 2
x y z 4 3 1 8 olur. x, y, z’ye verilebilecek di÷er
de÷erlerde toplam de÷eri büyür.)
x, y ve z negatif tam sayÕdÕr.
A) 0
4, y
4
2 olur. x y z
y 1 seçilirse z
(x
C) 27
E) 21
B) 10
C) 0
D) 10
E) 26
x ve y tam sayÕ oldu÷undan ifadenin en küçük de÷erini
bulabilmek için x ve y negatif tam sayÕlar seçilmelidir.
O halde x
xy
8
C) 9
1 ve y
1 25
25 seçilirse
26 bulunur.
Tek Tam SayÕ
Örnek:
x,y,z  ] olmak üzere,
x ˜ y 15
y˜z
20
oldu÷una göre, x y z toplamÕ en az kaçtÕr?
A) -12
B) -20
C) -24
D) -36
“n” tam sayÕ olmak üzere tek tam sayÕlar ” 2n 1 ” ile
gösterilir. Tek tam sayÕlar kümesi
^........., 5, 3, 1,1,3,5,.....,2n 1,......` úeklinde gösterilir.
ÖRNEK
D) -39
Çözüm:
21, 483, 5475, -647, -1239 …birer tek tam sayÕdÕr.
x,y,z tam sayÕ oldu÷undan x y z toplamÕnÕn en az
olabilmesi için ortak olan bilinmeyene, en büyük negatif
tam sayÕ de÷eri verilmelidir.
O halde y 1 seçilirse x 15 ve z 20 olur.
Tek ve Çift Tam SayÕlar
ArasÕndaki øúlemler
Buradan x y z
Ç
15 1 20
36 bulunur.
Çift tam sayÕ, T
Tek tam sayÕ olmak üzere
1) øki çift tam sayÕnÕn toplamÕ ve farkÕ daima çift tam
sayÕdÕr.
Örnek:
ÇÇ
x ve y tam sayÕ
15
oldu÷una göre y nin alabilece÷i de÷erler
y 1
toplamÕ kaçtÕr?
x
A) 8
Sayılar
Birler basama÷Õ 1, 3, 5, 7, 9 rakamlarÕndan oluúan tam
sayÕlara tek tam sayÕ denir.
B) 2
C) 0
D) 4
E) 8
Çözüm:
O halde
y 1 15 Ÿ y 14
y 1 15 Ÿ y
y 1 5 Ÿ y
4
y 1 5 Ÿ y
6
y 1 3 Ÿ y
2
y 1 3 Ÿ y
4
y 1 1Ÿ y
0
y 1 1 Ÿ y
2
16
Buradan y nin alabilece÷i tamsayÕ de÷erleri toplamÕ
14 4 2 0 ( 16) ( 6) ( 4) ( 2)
8 bulunur.
„ TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR
Çift Tam SayÕ
Birler basama÷Õ 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarÕndan oluúan tam
sayÕlara çift tam sayÕ denir.
“n” tam sayÕ olmak üzere çift tam sayÕlar “2n” ile
gösterilir. Çift tam sayÕlar kümesi
^......... 4, 2,0,2,4, .....,2n,......` úeklinde gösterilir.
ÖRNEK
216, 48, -380, -54, 58792… birer çift tam sayÕdÕr.
Ç dir.
2) øki tek tam sayÕnÕn toplamÕ ve farkÕ daima çift tam
sayÕdÕr.
TT
Ç ,TT
Ç dir.
3) Bir çift tam sayÕ ile bir tek tam sayÕnÕn toplamÕ ve farkÕ
daima tek tam sayÕdÕr.
TÇ
x in tam sayÕ olabilmesi için (y 1) in 15 i bölen bir tam
sayÕ olmasÕ gerekir.
Ç ,ÇÇ
T ,TÇ
T dir.
4) øki veya daha fazla tam sayÕdan en az biri çift tam
sayÕ ise çarpÕmlarÕ daima çift tam sayÕdÕr.
ǘÇ
Ç
T ˜Ç
Ç dir.
5) øki veya daha fazla tek tam sayÕnÕn çarpÕmÕ daima
tek tam sayÕdÕr.
T˜T
T dir.
6) Tek tam sayÕlarÕn veya çift tam sayÕlarÕn bölümü için
kesin yargÕlarda bulunulamaz.
Tek veya çift olma, tam sayÕlar için geçerlidir.
Rasyonel sayÕlara tek veya çift sayÕ denemez.
ÖRNEK
18
6
24
4
30
12
3 (Tek sayÕ)
6 (Çift sayÕ)
5
(Tek veya çift de÷ildir)
2
7) Çift tam sayÕlarÕn bütün pozitif tam sayÕ kuvvetleri çift
tam sayÕdÕr.
n  ] olmak üzere Çn
Ç dir.
9
Örnek:
ALES Matematik
UYARI
Çift sayÕlarÕn kuvveti pozitif tam sayÕ olmalÕdÕr. Çift
sayÕlarÕn kuvveti sÕfÕr veya negatif olursa ifade çift sayÕ
belirtmez.
x tek tam sayÕ ise aúa÷Õdakilerden hangisi veya
hangileri tek tam sayÕdÕr?
I.
x5 x3
II.
3x3 4x 1
2
III. 6x 2 4x 1
ÖRNEK
IV. x 77 3
x16 2
6 bir çift tam sayÕ ise 633
çift tam sayÕ
V.
8 bir çift tam sayÕ ise 8100
çift tam sayÕ
A) I ve II
(-10) bir çift tam sayÕ ise ( 10)73
çift tam sayÕ
B) I ve IV
C) II ve III
E) IV ve V
D) III ve V
ÖRNEK
Çözüm:
1
bir rasyonel
210
sayÕdÕr. Tek tam sayÕ veya çift tam sayÕ de÷ildir.
4 çift tam sayÕ olmak üzere 4o 1 tek tam sayÕdÕr.
2 çift tam sayÕ olmak üzere 210
SayÕnÕn tek veya çift tam sayÕ oldu÷u belirtildi÷inde,
bilinmeyen yerine tek veya çift tam sayÕ de÷eri verilebilir.
x 1 seçilirse;
8) Tek tam sayÕlarÕn bütün do÷al sayÕ kuvvetleri tek tam
sayÕdÕr.
n  N olmak üzere Tn T dir.
I.
x5 x3
II.
3x 4x 1 3 4 1 8 çift tam sayÕ
3
1 1 2 çift tam sayÕ
2
III. 6x 2 4x 1
ÖRNEK
6 4 1 1 tek tam sayÕ
IV. x77 3 1 3 2 çift tam sayÕ
3 tek tam sayÕ ise 345 tek tam sayÕ
7 tek tam sayÕ ise 7
206
x16 2 1 2 3 tek tam sayÕ
V.
tek tam sayÕ
DolayÕsÕyla III ve V tek tam sayÕdÕr.
ÖRNEK
1
bir rasyonel sayÕdÕr. Tek tam
5 48
sayÕ veya çift tam sayÕ denilemez.
Örnek:
5 tek tam sayÕ ise 548
Örnek:
Aúa÷Õdakilerden hangisi çift tam sayÕdÕr?
A) 3
C) 2
43
˜5
100
77
˜7
88
B) 4 6
200
5
D) 12
E) 8
888
˜3
33
8
44
˜ 17
9
83
43
2
Çözüm:
Verilen üslü sayÕlarda tabandaki sayÕlarÕn tek veya çift
tam sayÕ oldu÷u biliniyor ise kuvvetlerine bakÕlÕr.
Kuvvetleri pozitif tam sayÕ ise kuvvetler silinerek iúlem
yapÕlabilir.
A) 343.577 o 3 ˜ 5 15 tek tam sayÕ
B) 488 644 983 o 4 6 9 19 tek tam sayÕ
C) 2100 ˜ 7200 5 o 2 ˜ 7 5
8
9 tek tam sayÕ
D) 12 ˜ 17 ifadesinde kuvvet, negatif tam sayÕ
oldu÷undan kesin bir yorum yapÕlamaz.
43
E) 8888 ˜ 333 2 o 8 ˜ 3 2
10
26 çift tam sayÕ
a, b, c birer tam sayÕ ve a ˜ b 4c 3 oldu÷una göre
aúa÷Õdakilerden hangisi kesinlikle do÷rudur?
A)
a b tek tam sayÕdÕr.
B)
a b çift tam sayÕdÕr.
C)
a c çift tam sayÕdÕr.
D)
b c tek tam sayÕdÕr.
E)
a b c çift tam sayÕdÕr.
Çözüm:
a ˜ b 4c 3 ifadesinde 4c daima bir çift tam sayÕdÕr.
O halde 4c 3 bir tek tam sayÕ olur. Böylece
a ˜b
4c 3 Ÿ a ˜ b
tek tam sayÕdÕr
Ÿ a tek, b tek tam sayÕdÕr
Seçenekler incelenirse a b T T Çift tam sayÕ
bulunur.
4) AynÕ iúaretli iki sayÕnÕn çarpÕmÕ veya bölümü daima
pozitiftir.
Örnek:
a, b, c birer do÷al sayÕ olmak üzere,
A)
B)
C)
D)
E)
a çift tam sayÕdÕr.
b tek tam sayÕdÕr.
a tek, c çift tam sayÕdÕr.
b çift, c çift tam sayÕdÕr.
a çift ise b çift tam sayÕdÕr.
x ! 0½
x
¾ Ÿ x ˜ y ! 0 ve ! 0 dÕr.
y
y ! 0¿
x 0½
x
¾ Ÿ x ˜ y ! 0 ve ! 0 dÕr.
y 0¿
y
Sayılar
a 8b
4 oldu÷una göre, aúa÷Õdakilerden hangisi
c 1
kesinlikle do÷rudur?
5) ZÕt iúaretli iki sayÕnÕn çarpÕmÕ veya bölümü daima
negatiftir.
x ! 0½
x
¾ Ÿ x ˜ y 0 ve 0 dÕr.
y 0¿
y
Çözüm:
6) Pozitif sayÕlarÕn bütün kuvvetleri pozitiftir.
a 8b
4 ifadesinde içler dÕúlar çarpÕmÕ yapÕlÕrsa
c 1
a 8b 4c 4 olur.
Bu ifadede 8b ve 4c 4 daima bir çift tam sayÕdÕr.
DolayÕsÕyla a çift tam sayÕ olmalÕdÕr.
„ POZİTİF VE NEGATİF SAYILAR
SÕfÕrdan küçük sayÕlara negatif sayÕlar denir.
x negatif sayÕ ise " x 0" úeklinde gösterilir.
SÕfÕrdan büyük sayÕlara pozitif sayÕlar denir.
x pozitif sayÕ ise " x ! 0" úeklinde gösterilir.
SÕfÕr pozitif veya negatif sayÕ de÷ildir.
n bir tam sayÕ x pozitif sayÕ olmak üzere x n daima
pozitiftir.
ÖRNEK
3 ! 0 oldu÷undan 352 ! 0
2 ! 0 oldu÷undan 28
1
! 0 dÕr.
28
7) Negatif sayÕlarÕn;
a) Çift tam sayÕ kuvvetleri daima pozitiftir.
b) Tek tam sayÕ kuvvetleri daima negatiftir.
Pozitif Ve Negatif SayÕlarArasÕndaki øúlemler
1) Pozitif sayÕlarÕn toplamÕ daima pozitiftir.
x ! 0½
¾ Ÿ x y ! 0 dÕr.
y ! 0¿
ÖRNEK
( 4) 0 oldu÷undan ( 4)2
16 ! 0
( 3) 0 oldu÷undan ( 3)3
27 0 dÕr.
2) Negatif sayÕlarÕn toplamÕ daima negatiftir.
x 0½
¾ Ÿ x y 0 dÕr.
y 0¿
UYARI
3) ZÕt iúaretli sayÕlarÕn toplamÕ için kesin bir yargÕda
bulunulamaz. Sonuç, sayÕsal de÷erce büyük olanÕn
iúaretini alÕr.
x ! 0½
¾ Ÿ x y 0 , x y ! 0 ,x y
y 0¿
Negatif sayÕlarÕn çift kuvvetleri alÕnÕrken kuvvetin
parantezin içinde veya dÕúÕnda olmasÕna göre sonuç
de÷iúir.
0 dÕr.
ÖRNEK
( 2) 0 oldu÷undan ( 2)2
4!0
( 2) 0 oldu÷undan ( 22 )
4 0 olur.
DolayÕsÕyla; ( 2)2 z ( 22 ) dir.
11
ALES Matematik
Örnek:
Örnek:
a, b, c reel sayÕlardÕr.
x y 0 z ifadesine göre aúa÷Õdakilerden hangisi
daima pozitiftir?
a ˜b ! 0
8
7
b5 ˜ c 3 0
A)
a3 ˜ c ! 0
eúitsizliklerine göre a, b, c nin iúaretleri sÕrasÕyla
aúa÷Õdakilerden hangisidir?
B) , , D) , , Verilen ifadelerde çift kuvvetli sayÕlar tamamen silinir.
Geriye kalan sayÕlardan tek kuvvete sahip olanlarÕn
kuvvetleri yokmuú gibi iúlem yapÕlÕrsa
a8 ˜ b 7 ! 0 o b ! 0
A)
B)
a 3 ˜ c ! 0 o a ˜ c ! 0 ve c 0 oldu÷undan a 0 olur.
DolayÕsÕyla a, b, c nin iúaretleri sÕrasÕyla , , bulunur.
a 0 b ifadesine göre, aúa÷Õdakilerden kaç tanesi
kesinlikle pozitiftir?
I. a ˜ b
II. a b
III. b a
IV. a2b3
V. 2a 3b
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm:
a 0 b ifadesinde a
II.
ab
ve b
iúaretlidir.
D)
xy
z
xz
y
2 1
2
2 2
1
yz
x
zy
x
yx
z
1 2
1
(Negatif)
2
2
2 ( 1) 2 1
3
(Negatif)
2
2
2
1 ( 2) 1 2 1
(Pozitif)
2
2
2
3
(Negatif)
2
0
0 (øúaretsiz)
1
DolayÕsÕyla A, C, D seçenekleri negatif, B seçene÷inin
pozitifli÷i veya negatifli÷inden bahsedilemez. E seçene÷i
daima pozitif bulunur.
( )2 ˜ ( )3
a pozitif b ve c negatif tam sayÕdÕr.
Buna göre, aúa÷Õdakilerden hangisi sÕfÕr olabilir?
A) a ˜ b ˜ c
D) a ˜ b c
B) a ˜ b a ˜ c
C) a b ˜ c
E) a ˜ c b
Çözüm:
( ) ( ) için kesin bir úey söylenemez.
III. b a ( ) ( ) ( ) ( ) IV. a2b3
yx
z
Örnek:
B) 2
( ) ˜ ( )
C)
E)
Örnek:
a ˜b
E)
yz
x
x, y ve z için sÕralama verildi÷inden bilinmeyenlerin
yerine sayÕsal de÷erler verilebilir.
x y 0 z ise x 2 , y 1 ve z 2 seçilebilir.
Seçilen de÷erler seçeneklerde yerine yazÕlacak olursa
b 5 ˜ c 3 0 o b ˜ c 0 ve b ! 0 oldu÷undan c 0 olur.
I.
zy
x
C)
Çözüm:
C) , , E) , , Çözüm:
A) 1
xz
y
B)
D)
A) , , ( ) ˜ ( )
V. 2a 3b 2( ) 3( ) ( ) ( ) bulunur.
Buradan III. ve IV. öncüller kesinlikle pozitiftir. O halde
verilen ifadelerden 2 tanesi kesinlikte pozitiftir.
12
xy
z
a pozitif b ve c negatif tam sayÕ oldu÷undan
a
, b
, c
iúaretli olmalÕdÕr.
øúlemin sonucunun sÕfÕr olabilmesi için ifade zÕt iúaretli
sayÕlarÕn toplamÕ úeklinde yazÕlabilmelidir. Buna göre,
A)
a ˜b ˜c
( ) ˜ ( ) ˜ ( )
B)
a˜b a ˜c
C)
a b˜c
( ) ( ) ˜ ( )
() ()
D)
a ˜b c
( ) ˜ ( ) ( )
( ) ( )
E)
a ˜ c b ( ) ˜ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
oldu÷undan E seçene÷indeki ifade sÕfÕr olabilir.
a(b c) ( ) ˜ ( )
Çözüm:
„ ARDIŞIK SAYILAR
ArdÕúÕk tek tam sayÕlarÕn terimleri arasÕnda “2” fark
oldu÷undan
1. (7n 1) (8n 5) 2 Ÿ 7n 1 8n 5 2
Örnek:
Ÿ n 6 2
Ÿ n 8 olur.
2 Ÿ 8n 5 7n 1 2
Ÿn6 2
Ÿ n 4 olur.
3, 4, 5, 6,…….. ardÕúÕk do÷al sayÕlar.
7, 12, 17,…….. 5 er ardÕúÕk do÷al sayÕlar.
4, 10, 16,…….. 6 úar ardÕúÕk do÷al sayÕlar.
12, 14, 16,…… ardÕúÕk çift do÷al sayÕlar.
11, 13, 15,…… ardÕúÕk tek do÷al sayÕlar.
2. (8n 5) (7n 1)
n
8 için sayÕlar 7n 1 7( 8) 1 57
1. ArdÕúÕk Tam sayÕlar
n
4 için sayÕlar 7n 1 7( 4) 1 29
8n 5
AralarÕnda bir fark olan ve art arda gelen tam sayÕlara
ardÕúÕk tam sayÕlar denir.
n tam sayÕ olmak üzere n,n 1,n 2,n 3,....... úeklinde
gösterilir.
2. ArdÕúÕk Çift Tam sayÕlar
8( 8) 5
59
8n 5 8( 4) 5 27
Buradan ardÕúÕk tek sayÕlarÕn toplamÕ
( 57) ( 59) ( 29) ( 27) 172 bulunur.
Örnek:
a,b,c ardÕúÕk do÷al sayÕlardÕr.
AralarÕnda iki fark olan ve art arda gelen çift sayÕlara
ardÕúÕk çift tam sayÕlar denir.
n çift tam sayÕ olmak üzere n,n 2,n 4,...... úeklinde
gösterilir.
3. ArdÕúÕk Tek Tam sayÕlar
AralarÕnda iki fark olan ve art arda gelen tek sayÕlara
ardÕúÕk tek tam sayÕlar denir.
n tek tam sayÕ olmak üzere n,n 2,n 4,n 6,......
úeklinde gösterilir.
Örnek:
a b c oldu÷una göre ,
(a b)3 ˜ (a c)
ifadesinin
(b c)2
sonucu kaçtÕr?
A) 3
B) 2
C) 1
D) 2
E) 3
Çözüm:
I. Yol:
a,b,c ardÕúÕk do÷al sayÕlar ve a b c oldu÷undan
a 1, b
3 seçilebilir.
2 ve c
(a b)3 ˜ (a c)
(b c)2
(1 2)3 ˜ (1 3)
(2 3)2
( 1)3 ˜ ( 2)
( 1)2
n tam sayÕ olmak üzere 3n 1 ve 4n 5 sayÕlarÕ ardÕúÕk
tam sayÕlardÕr.
2 bulunur.
Buna göre, n’in alabilece÷i de÷erler toplamÕ kaçtÕr?
II. Yol:
A) 12
a b c oldu÷undan sayÕlar küçük sayÕya göre
yazÕlabilir. Küçük sayÕ a ise ortanca sayÕ a + 1 ve büyük
sayÕ a + 2 olur. Bu de÷erler verilen denklemde yerine
yazÕlÕrsa,
(a b)3 ˜ (a c) [ a ( a 1)]3 ˜ > a ( a 2 )]
(b c)2
[a 1 ( a 2 )]2
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
Çözüm:
ArdÕúÕk tam sayÕlarÕn terimleri arasÕnda “1” fark
oldu÷undan
1. (3n 1) (4n 5) 1 Ÿ 3n 1 4n 5 1
Ÿ n 6 1
Ÿ n 7 olur.
( a a 1)3 ˜ ( a a 2 )
(a 1 a 2 )2
( 1)3 ˜ ( 2)
( 1)2
( 1).( 2 )
1
2 bulunur.
2. (4n 5) (3n 1) 1 Ÿ 4n 5 3n 1 1
Ÿn6 1
Ÿ n 5 olur.
n in alabilece÷i de÷erler toplamÕ ( 7) ( 5)
bulunur.
12
Örnek:
Örnek:
n tam sayÕ olmak üzere 7n 1 ile 8n 5 ardÕúÕk tek tam
sayÕlardÕr.
Buna göre, bu ardÕúÕk sayÕlarÕn toplamÕ kaçtÕr?
A) 12
B) 36
Sayılar
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayÕlara ardÕúÕk
sayÕlar denir.
C) 72
D) -118
E) 172
a,b,c dörder ardÕúÕk pozitif tam sayÕlardÕr.
c b a oldu÷una göre , (a c) ˜ b a)2 iúleminin
sonucu kaçtÕr?
A) 180
B) 144
C) 128
D) 96
E) 72
13
Download

konu anlatımlı