Nekonecne siete jednosmerneho prudu
Juro Tekel
[email protected]
Poznamky k prednaske o tom, ako sa popasovat s prikladmi o nekonecnych zapojeniach jednosmerneho prudu.
Maj 2009
Celoznice 2009
na uvod niekolko veci, ktore budeme hojne pouzivat
• Ohmov zakon
verzia 1 : prud (tj. mnozstvo naboja za jednotkovy cas), ktory prejde rezistorom je priamo
umerny napatiu, na ktore je odpor pripojeny, pricom konstansta umernosti je nepriamo umerna
odporu rezistora
1
I= U
R
verzia 2 : ak rezistorom s odporom R preteka prud I, rozdiel napati na jeho koncoch je
U = RI
verzia 3 : ak rezistorom, napojenym na napatie U prechadza prud I, jeho odpor je
R=
U
I
Priklad 1. Majme zapojenie ako na obrazku, pricom R1 = R4 < R2 = R5 < R3 . Zoradte odpory
podla prudu, ktory prechadza odporom, ak odpory pripojime na zdroj napatia U .
• Spajanie a rozpajanie
medzi bodmi, ktore maju rovnaky potencial netecie prud; tak isto ako ziadne teleso sa samovolne
nehybe po rovnej zemi
to znemana ze
– aj ked medzi takymi dvoma bodmi je vodic, mozme ho kludne rozpojit
– ak medzi dva taketo body vodic pridame, nic nepokazime
– ak rozpojenim schemy v nejakom bode vzniknu dva body, ktore maju rovnaky potencial,
opat sme nic nepokazili
ako prist na to, ze dva body budu mat rovnaky potencial
1
– vypoctom z Ohmovho zakona
– ak ma schema symetriu (tj. transformaciu, ktora ju nezmeni, prevedie na taku istu), ktora
zachovava body zapojenie, tak body, ktore sa zobrazia na seba na vzajom maju rovnaky
potencial
– ak ma schema symetriu, ktora vymeni body zapojenia, tak body, ktore sa zobrazia same
na seba maju vsetky rovnaky potencial
Priklad 2. Osem rovnakych odporov je zapojenych podla obrazku. Aky je odpor medzi bodmi A
a B.
Priklad 3. Aky je odpor medzi bodmi A a B v takomto zapojeni, ak je odpor vodica umerny jeho
dlzke.
Priklad 4. Vypocitajte odpor kocky, ktora ma na kazdej hrane odpor 1 Ω medzi vrcholmi
a. na telesovej uhlopriecke,
b. na jednej hrane kocky,
c. na uhlopriecke steny.
ak niektory z prikladov robil problem, odporucam najskor nastudovat patricnu cast
a mozme ist na to
• budeme potrebovat dva nove poznatky, ktore vsak platia vseobecne, nie len pre nekonecne zapojenia
– superpozicia - majme zapojenie, ktore ma N vyvodov A1 , . . . , AN
(1)
(1)
(1)
(1)
ked na ne privedieme potencialy φ1 , . . . , φN , budu z nich vytekat prudy I1 , . . . , IN , ked
(2)
(2)
(2)
(2)
na ne privedieme potencialy φ1 , . . . , φN , budu z nich vytekat prudy I1 , . . . , IN
(1)
(2)
(1)
(2)
potom ked na ne privedieme potencialy φ1 + cφ1 , . . . , φN + cφN , budu z nich vytekat
(1)
(2)
(1)
(2)
prudy I1 + cI1 , . . . , IN + cIN
velmi pekne o superpozicii pise Bzduso vo vzoraku k ulohe FX 3.12 v zbierke, pozor, je to
vlastne priklad 8, takze necitat ak sa s nim chcete potrapit sami
2
– cierna skrina - majme zapojenie, ktore ma N vyvodov A1 , . . . , AN
potom toto zapojenie mozme nahradit N bodmi, ktore su kazdy s kazdym spojene jednym odporom Rij , pricom tieto dve zapojenia maju rovnaky odpor medzi kazdou dvojicou
vyvodov
pozor, odpor medzi bodmi Ai , Aj v novom zapojeni, teda Rij , nie je rovnaky ako odpor,
ktory nameriame medzi Ai a Aj
toto je velmi netrivilane tvrdenie, ktore je dosledkom superpozicie a tiez sa o nom cosi pise
v spominanom vzoraku
• okrem toho specialne pre nekonecne odpory mozne vyuzit, ze cast obvodu sa casto podoba na
obvod cely
Priklad 5. Vypocitajte odpor medzi bodmi A a B v nasledujucich nekonecnych schemach. Jeden
rezistor ma vzdy odpor R. Pri pocitaji kazdej dalsej schemy zabudnite, ze ste pocitali predchadzajuce,
teda napriklad nepovazujte tretiu schemu za serioove zapojenei druhej a odporu R. Na druhej strane
je to fajn sposob, ako si overit vysledok.
• vsade funguje zvycajna finta sa nahradenim casti siete
• preco je odpor v provom priade nulovy a ostatnych nie
• preco je vysledok pre druhu a poslednu siet rovnaky a bol by rovnaky aj pre siet podobnu tej
druhej, ale kde by boli odpory na preskacku hore/dole?
Priklad 6. Z vodica spravime stvorec. Rovnakym vodicom spojime stredy stran tohto stvorca, cim
vznike mensi stvorec. Stredy jeho hran spojime rovnakym sposobom a takto postupujeme do nekonecna.
Strana velkeho stvorca ma odpor 1 Ω. Aky odpor nameriame medzi vrcholmi povodneho stvorca, ktore
a. lezia na tej istej hrane,
b. lezia na uhlopriecke?
Priklad 7. Z vodica spravime rovnostranny trojuholnik. Rovnakym vodicom spojime stredy stran
tohto trojuholnika, cim vznike mensi trojuholnik. Stredy jeho hran spojime rovnakym sposobom a takto
postupujeme do nekonecna. Strana velkeho trojuholnika ma odpor 1 Ω. Aky odpor nameriame medzi
3
a. vrcholmi povodneho trojuholnika,
b. vrcholom povodneho trojuholnika a stredom protilahlej strany,
c. vrcholom povodneho trojuholnika a stredom trojuholnka?
• siet sa da rozpojit a zvysok nahradit
• skalovanie odporu s dlzkou je R ∝ l
nasleduje vcelku tazky priklad, ale na jeho zvladnutie vieme vsetko, co potrebujeme (spojanie,
rozpajanie a superpozicia)
Priklad 8. Majme dvojity a nekonecny odporovy rebrik, tak ako na obrazku. Kazdy z odporov ma
odpor R.
a. Vypoctajte odpor medzi bodmi A a C.
b. Vypoctajte odpor medzi bodmi A a B, ak s body A a C vodivo spojene (vodicom s nulovym
odporom).
c. Vypoctajte odpor medzi bodmi A a B.
• a) a b) sa daju vhodne pospajat na rebrik
• c) tu pomoze superpozicia predchadzajusich dvoch = pripad a) je φA = φ1 , φB = φ1 /2, φC = 0 a
IA = I, IB = 0, IC = −I, pripad b) je φA = φC = 0, φB = φ2 a IA = IC = I/2, IB = −I (prudy
vytekaju, takze zaporny prud znamena vtekanie)
co nas privedie k rovnici
Rc = Rb + Ra /4
tu sa da priklad riesit aj ciernou skrinkou, medzi svorkami ABC si predstavime hviezdu alebo
trojuholnik, com dostaneme rovnice, ktorych riesenie je samozrjeme rovnake ako pri superpozicii
dalsi priklad na superpoziciu, ktory je trochu zlozitejsi konceptualne a v jednej casti dokonca
superpozicia ani nepomoze
4
Priklad 9. Majme nekonecnu stvrocovu siet, v ktorej je na kazdej hrane odpor R. Aky je odpor takejto
siete medzi vrcholmi ktore su
a. na jednej hrane (AB),
b. na uhlopriecke (AC)
jedneho zo stvorcov siete.
• opat superpozicia, ale so zapojenim cez nekonecno N, najskor prudy (vytekajuce) v ABN −I, 0, I
pri potencialoch U, U − RI/4, 0, potom prudy (vytekajuce) 0, I, −I pri ponetcialoch −U +
RI/4, −U, 0
superpoziciou dostaneme prudy −I, 0, I pri potencialoch IR/4, 0, −IR/4, co dava odpor
R/2
IR/2
I
=
Na cast b) nam taketo cosi nepomoze, lebo nevieme urcit prud medzi bodmi B a C
co teda s prikladmi, kde superpozicia nepomoze ... no pomoze tento, kde cidze superpozicia
pomoze, ale naucime sa cosi
Priklad 10. Nekonecna vodiva siet je vytvorena z pravidelnej stvorcovej siete vynechanim niektorych
priecok (vysledn siet je na obrazku znazornen plnou ciarou). Strana elementarnej stvorcovej bunky
(napr. AB) ma odpor R.
Ak odpor nameriame, ak pripojme ohmmeter
a. k uzlom siete A a B,
b. k uzlom siete B a C,
c. k uzlom siete A a C,
d. k uzlu oznacenemu ciernou bodkou a uzlu C?
• siet sa da prekreslit na sestuholnikovu, potom prve tri ulohy rovnako ako so stvorcovou sietou
• riesenie kombinaciou cierna skrinka a superpozicia
a) toto zapojenie ma vlatne tri vyvody, A, B a nekonecno (N ), mame teda trojuholnik, v ktorom
RAB = R, RAN = RBN = R0 , ked privedieme potencial U do bodu A a nulo do bodu N , plati
IAN = 2I, IAB = I, IAB = I, IBN = I, kirchofov zakon da potom R0 = R, takze celkovy odpor
medzi A a B je 32 R
5
b) toto je zapojenie co ma 4 vyvody A, B, C, N (mohlo by mat aj tri ACN, ale tam by sme
toho vela nevedeli), pricom RAB = RBC = R, RAN = RCN = R1 , RBN = R2 , opat zapojime do
A potencial U a do N nulovy potencial, pricom teraz plati IAB = I, IAN = 2I, IBN = IBC =
I/2, ICN = I/2, z coho kirchof dava R1 = R a teda odpor medzi A a C je R
obe vyjdu rovnako ako fintou so superpoziciou
vidime vsak, ze takato finta nebude fungovat ani na pripad b) predchadzajucej ulohy ani na
pripad d) tejto ulohy ... takze co s tym?
• pripad b) revisited
opat si toto zapojenie prekreslime ako 4 vyvody s RAB = RBC = R, RAN = RCN = R1 , RBN =
R2 , ale tentoraz nebudeme uvazovat ziadne prudy, namiesto toho napiseme podmienky : odpor
medzi A a B je 2R/3, odpor medzi A a N je taky isty ako odpor medzi B a N
2
1
1
1
=
+
+
(R+R1 )R2
R1 + R R2
R
1
R + R1 +R2 +R
1
3
1
+
=
(R+R
)R
1
2
2R
R
R1 +
R1 +R2 +R
tieto rovnice davaju R2 = 2R, R1 = R, co dava ocakavany vysledok odporu medzi A a C
• vidime, ze to iste mozme spravit aj v pripade stvorcovej siete, ale s rovnicami
2
1
1
1
+
=
+
(R+R
)R
R1 + R R2
R1
R + R1 +R12 +R2
2
1
1
=
+
(R+R1 )R2
R
R
R1 +
R1 +R2 +R
ktore maju riesenie R1 = R2 , R2 = 3R
4 , ostava teda poratat zapojenie do stvorca, ktore ide
napriklad transformaciou na hviezdu abo kirchofacmi
• a rovnako by sa dal vypocitat aj pripad d), kde by ale bolo 5 vyvodov
tento priklad by teraz uz mal byt malina
Priklad 11. Majme nekonecnu konckovu siet odporov, pricom kazdy z odporov ma odpor R. Aky
nemriame odpor medzi
a. dvoma susednymi vrcholmi
b. vrcholmi, ktore lezia ne uhlopriecke stvorca,
c. vrcholmi, ktore lezia na uhlopriecke kocky.
6
Download

Nekonecne siete jednosmerneho prudu