Aplikácie určitého integrálu I
Poznámka. Bez zbytočných vysvetlení na úvod uvedieme vzorce, ktoré budú potrebné v tejto časti zbierky. Inteligemtný čitateľ pochopí, ktorý vzorec slúži na výpočet obsahu elementárnej oblasti, objemu
rotačného telesa, dĺžky krivky resp. povrchu rotačného telesa.
Obsah rovinného útvaru
Poznámka.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Obsah útvaru ohraničeného osou ox a nekladnou funkciou f(x) vychádza pomocou určitého integrálu záporné číslo, preto sa niekedy formula pre výpočet obsahu udáva v tvare:
Nájdite obsah útvaru ohraničeného grafom f(x) = x3 + x2 - 6x a osou ox na intervale 〈– 3; 3〉 .
Načrtnite graf danej funkcie. Potom je zrejmé, že pre hľadaný obsah platí
Nájdite obsah útvaru ohraničeného sínusoidou a osou ox na intervale 〈0; 2π〉 .
Načrtnite graf funkcie sínus. Integrál potom vhodne rozdeľte (resp. využite absolútnu hodnotu). Dostanete P = 4.
(a) Nájdite obsah útvaru P ohraničeného krivkou x = 2 - y - y2 a osou oy. (b) Nájdite obsah útvaru P* ohraničeného parabolami 4x = y2, x3 = 8y a priamkami y = 1, y = 6.
V integráloch nastane malá zmena - zmeníme premennú:
Nájdite obsah útvaru ohraničeného krivkami y = 2 - x2 a y3 = x2.
Po nájdení priesečníkov daných kriviek dostaneme:
Nájdite obsah elementárnej oblasti ohraničenej čiarami: (a) y = x3, y = 1 a x = 2; (b) y2 = x a y = x3; (c) y = x4 a y = x.
Pre hľadané obsahy platí
Príklad. Nájdite obsah elementárnej oblasti ohraničenej čiarami: (a) parabolou 4y = 8x - x2 a priamkou 4y = x + 6; (b) parabolami y = 4 - x2 a y = x2 - 2x; (c) kubickými parabolami 6x = y3 16y a 24x = y3 - 16y.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Pre hľadané obsahy platí
Nájdite obsah elementárnej oblasti ohraničenej grafmi funkcií
y = ex, y = ex a priamkou x = 1.
Po načrtnutí obrázka zistíme, že pre hľadaný obsah platí
Nájdite obsah útvaru, ktorý vznikne prienikom vnútorných oblastí parabol y2 = 2px a x2 = 2py, kde p > 0.
Načrtnime si dané paraboly a určime ich spoločné body. Priesečníkmi sú body O[0; 0] a T[2p; 2p]. Potom pre hľadaný obsah platí
Nájdite obsah obrazca, ktorý leží v prvom kvadrante a je ohraničený krivkami y2 = x a y2 = 8x - x2.
Pre hľadaný obsah platí
Vypočítajte obsah elementárnej oblasti ohraničenej grafmi funkcií y = x2 a y = 2 / (1 + x2).
Daná oblasť je súmerná podľa y - ovej osi, vypočítajme teda polovicu obsahu:
Nech je daná elipsa
Bod M leží na elipse (v 1. kvadrante), bod N je kolmý priemet bodu M na os ox , bod P je prienik elipsy a osi oy a bod S je stred elipsy. Nájdite obsahy útvarov SNMP a SMP.
Riešenie.
Predpokladáme, že náčrt opísanej situácie čitateľ zvládne. Nech bod M má súradnice M[x, y], pričom x a y sú viazané rovnicou elipsy. Potom pre obsah prvého útvaru platí:
(Pre x = a zrejme dostaneme štvrtinu obsahu celej elipsy)
Obsah útvaru SMP získate ľahko z vyššie uvedeného výsledku.
Príklad.
Nájdite obsah obrazca ohraničeného parabolou y = - x2 + 4x - 3 a jej dotyčnicami v bodoch A[0; - 3] a B[3; 0].
Riešenie. Rovnice hľadaných dotyčníc sú y = 4x + 3 resp. y = - 2x + 6. Ich priesečníkom je bod C[3/2; 3]. Potom stačí obrazec vytvorený uvedeným spôsobom vhodne rozdeliť a dostanete
výsledok P = 9/8.
Príklad.
Vypočítajte obsah elementárnej oblasti určenej kubickými parabolami 6x = y3 - 16y a 24x = y3 - 16y.
Riešenie. Zrejme sa hodnota obsahu nezmení, ak osi x a y navzájom zameníme. Potom už len stačí nájsť spoločné body parabol, ktorými sú T[- 4; 0], U[0; 0], V[4; 0], a po vhodnom rozdelení
obrazca (na dve zhodné časti) dostaneme obsah P = 16.
Príklad.
Riešenie.
Nájdite vzorec na výpočet obsahu kruhového výseku (ak je polomer kruhu r) prislúchajúcemu stredovému uhlu α.
Čitateľovi opäť pri riešení úlohy pomôže náčrt. Pre hľadaný obsah potom platí
Objem telesa
Príklad.
Riešenie.
Nájdite vzorec na výpočet objemu gule (kužeľa).
Guľa vznikne rotáciou kružnice (zrejme za jej stred zvolíme bod O[0; 0]). Potom
Kužeľ zrejme vznikne rotáciou úsečky y = kx. Vzorec na výpočet objemu kužeľa, tj. výsledok, ktorý máte dostať, poznáte.
Príklad.
Vypočítajte objemy telies, ktoré vzniknú rotáciou časti sínusoidy ( x∈〈0; π〉 ) okolo osi a) ox ; b) oy .
Riešenie. Musíme využiť dva vzorce - pre výpočet objemu VX rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou krivky okolo osi ox a vzťah na výpočet objemu VY rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou
krivky okolo osi oy. Potom
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej oblasti ohraničenej čiarami y2 = 2px a x = a.
Objem telesa V = πpa2.
Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami, ktoré vzniknú rotáciou parabol y = 1 - x2, y = x2 + 2 a priamok x = - 1, x = 1 okolo x - ovej osi.
Vzniknuté teleso je súmerné podľa y - ovej osi, stačí nám teda počítať polovicu objemu:
Vypočítajte objem elipsoidu, kt. vznikne rotáciou elipsy
okolo osi ox .
Riešenie.
Pre objem elipsoidu dostaneme
(V prípade, že a = b, by sme odvodili vzorec na výpočet objemu gule.)
Príklad.
Riešenie.
Vypočítajte objem anuloidu - telesa, ktoré vznikne rotáciou kružnice x2 + (y - b)2 = a2 okolo osi ox.
Vypočítame objem telesa, ktoré vznikne rotáciou hornej časti kružnice
a pripočítame objem, ktorý vznikne rotáciou dolnej časti uvedenej kružnice
Navyše, namiesto integrovania na intervale 〈– a; a〉 zoberieme dvojnásobok integrálov na intervale 〈0; a〉 . Teda počítajme:
Príklad.
Riešenie.
Nájdite objem telesa, ktoré vznikne na intervale 〈0; b〉 rotáciou reťazovky
Pre hľadaný objem telesa dostávame
Dĺžka krivky
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Nájdite dĺžku krivky y = x3/2 od začiatku súradnicovej sústavy po bod B[4; 8].
Po jednoduchom dosadení do vzorca na výpočet dĺžky krivky dostaneme d = 8.(10.101/2 - 1) / 27.
Vypočítajte dĺžku krivky y = cosh x pre x∈〈0; 3〉 .
Dosadíme do vzorca, d = sinh 3.
Vypočítajte dĺžku reťazovky y = a cosh (x/a) na intervale 〈0; b〉 .
Po dosadení do vzorca dostaneme d = a sinh (b/a).
Vypočítajte dĺžku grafu funkcie y = ln cos x na intervale 〈0; π/3〉 .
Využitím vzorca dostaneme
Nájdite dĺžku oblúka krivky y = x2 / 4 - (ln x) / 2 na intervale (1; e).
Po dosadení máme
Nájdite vzorec na výpočet dĺžky kružnice s polomerom r.
Riešenie. Kružnicu zrejme umiestnime tak, aby jej stred ležal v začiatku súradnicovej sústavy. Jej rovnica je potom x2 + y2 = r2. Odtiaľ vyjadríme y, nájdeme y´ a dosadíme. Pre jednu štvrtinu dĺžky
kružnice dostávame
Príklad.
Vypočítajte dĺžku astroidy x2/3 + y2/3 = a2/3.
Riešenie.
Astroida je symetrická krivka, bude nám stačiť počítať jednu štvrtinu jej dĺžky:
Príklad.
Vypočítajte obvod útvaru, ktorý je ohraničený krivkami y3 = x2 a v2 = 2 - u2.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Najskôr si načrtnite dané krivky. Potom pre obvod nimi ohraničeného útvaru platí
Vypočítajte dĺžku krivky y na intervale 〈a; b〉 , ak
Po dosadení do vzorca dostaneme d = ln (sinh b / sinh a).
Povrch telesa
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Príklad.
Riešenie.
Vypočítajte povrch guľového pása, ktorý vznikne rotáciou časti kružnice x2 + y2 = r2, y > 0, na intervale 〈– a; a〉 okolo osi ox, pričom 0 < a < r.
S = 2πar (pre a = 2r dostaneme povrch gule).
Vypočítajte povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou krivky y = x3 na intervale 〈-2/3; 2/3〉 okolo osi ox.
Po dosadení do vzorca dostávame S = 2π(125/27 − 1)/27.
Vypočítajte povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou reťazovky y = a cosh (x/a) okolo osi ox na intervale 〈c; d〉 .
Pre hľadaný povrch platí
Vypočítajte povrch paraboloidu, ktorý vznikne rotáciou paraboly y2 = 2px okolo osi ox na intervale 〈0; a〉 .
Po dosadení a malých úpravách počítame integrál
Vypočítajte povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou paraboly 9y2 = x(3 - x)2 okolo osi ox.
Po nájdení explicitného vyjadrenia hornej vetvy paraboly a prieniku s osou ox dostaneme:
Vypočítajte povrch rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou funkcie y = tg x na intervale 〈0; π/4〉 .
Po dosadení dostaneme integrál
Download

výpočet obsahu, objemu, dĺžky krivky a povrchu telesa