ELEKTRICKÉ FILTRE
Pri spracovaní elektrických signálov asto treba oddeli dva signály s rôznymi
frekvenciami. Na takéto ú ely možno v princípe použi elektrický obvod zostavený
z prvkov, ktorých impedancia závisí od frekvencie. Ako príklad môže poslúži LCobvod, ktorý prepúš a resp. zadržiava signály s frekvenciou ω0 = 1/√(LC) a v jeho
blízkom okolí. Takýto obvod je filtrom, ktorý sa nazýva "pásmový priepust", alebo
"pásmová zádrž". Iné druhy filtrov prepúš ajú signály s frekvenciami od 0 až po istú,
tzv. kritickú frekvenciu ωkr, nad ktorou prepúš ajú signály s ve kým útlmom, alebo
neprepúš ajú vôbec, prípadne naopak – silne potlá ajú signály s frekvenciami nižšími
ako ωkr a prepúš ajú signály s frekvenciami vyššími ako ωkr. Filtre tohoto druhu sa
nazývajú "dolnofrekven ný priepust", alebo v druhom prípade "hornofrekven ný
priepust".
Obr. 1
innos filtra možno približne opísa na jednoduchom prípade dolnofrekven ného
priepustu pod a obr. 1. Takýto filter sa asto používa na potla enie striedavej zložky
(zvlnenia) jednosmerného napätia získaného usmernením striedavého napätia. Ak na
vstupné svorky AB privedieme silne zvlnené napätie z usmer ova a potom na výstupných
svorkách CD je jednosmerné napätie s malým zvlnením, závislým od ve kosti
induk nosti L a kapacity C, pretože induk nos a druhý kondenzátor pôsobia ako
napä ový deli s deliacim pomerom približne Xl/Xc = (1/ ωC)/(ωL) = 1/( ω2LC). Ak napr.
L = 25 H, C = 10 µF a frekvencia f = ω/(2π) = 100 Hz (najnižšia frekvencia v spektre
dvojcestne usmerneného napätia elektrickej siete), potom deliaci pomer pre túto
frekven nú zložku je asi 1/100-tina a pre vyššie frekven né zložky bude podstatne
menší, taký, že ich na výstupe filtra možno zanedba . Jednosmernú zložku napätia pri
ideálnych bezstratových prvkoch L a C filter prepustí bez útlmu. Lepšie potla enie
striedavých zložiek napätia sa dosiahne, ak sa nieko ko takýchto lánkov zapojí za
sebou, ako napr. na obr. 2. Filter takého typu sa nazýva re azcovým filtrom.
Pri poh ade na takýto re azec vznikajú následovné otázky: V akom pásme
frekvencií prepúš a takýto filter signály? Je v tomto pásme útlm nulový, alebo nie? Aký
je charakter útlmu mimo pásma priepustnosti, hlavne v oblasti tzv. kritických, alebo
1
hrani ných frekvencií? V akom vz ahu (amplitúdovom a fázovom) sú prúdy v susedných
sekciách. V akom vz ahu (amplitúdovom a fázovom) sú napätia susedných uzlov oproti
spodnému vodi u BD? Aký vplyv má impedancia zá aže pripojenej k svorkám CD (ak
ku svorkám AB je pripojený zdroj signálu) na innos filtra? o je charakteristickou
veli inou pre jednu sekciu filtra?
Obr.2
Odpovede na tieto otázky budeme h ada pre všeobecný, predbežne nekone ný
re azec zostavený z impedancií Z1 a Z21 pod a obr. 3. Pre jednotlivé lánky re azca
možno zavies obvodové prúdy I1, I2, I3, ... In, ..., ktoré sú viazané obvodovými
rovnicami pod a 2. Kirchhoffovho zákona. Takýchto rovníc je nekone ný po et. Pri
ur ení obvodových prúdov však možno využi rekuren né vlastnosti re azca. Vzh adom
na periodicitu štruktúry obvodový prúd In súvisí s prúdom In–1 v nasledujúcej sekcii
vz ahom
1
I n = aI n –1 = I n +1 ,
(1)
a
Obr.3
kde a je útlm (tlmenie); je to alebo reálne íslo menšie ako 1 (v jednotlivých sekciách
re azca nepredpokladáme prítomnos aktívnych prvkov), alebo komplexné íslo
s absolútnou hodnotou menšou ako 1. Pre n-tú sekciu pod a 2. Kirchhoffovho zákona
platí
Z 2 ( I n – I n –1 ) + Z1 I n + Z 2 ( I n – I n +1 ) = 0 ,
alebo
– Z 2 I n –1 + ( Z1 + 2 Z 2 ) I n – Z 2 I n +1 = 0
(2)
Dosadením za prúdy v rovnici (2) pod a vz ahov (1) dostaneme rovnicu
Z
1
1
a+
= 1+ 1 .
2
a
2Z 2
1
V celom texte budú komplexné veli iny písané tu nými (bold) písmenami.
2
(3)
Rovnica (3) vo všeobecnosti ur uje útlm a jednej sekcie re azca. V alšom sa
obmedzíme na prípad, ke Z1 a Z2 sú isté odpory, alebo isté reaktancie a v takom
prípade a je reálne íslo, alebo komplexné íslo s modulom 1. Analýzou rovnice (3)
možno ukáza , že ak –1 < Z1/(4Z2) < 0, potom a je komplexné íslo s modulom 1 a ak
Z1/(4Z2) > 1, alebo Z1/(4Z2) < –1, potom a je reálne íslo. Uvedené vlastnosti sp a a
ktoré sa dá napísa v tvare
a = e –γ ,
kde γ je reálne, alebo rýdzoimaginárne íslo. Rovnicu (3) potom možno napísa v tvare
Z
e + e–
= cosh = 1 + 1 .
2
2Z 2
(4)
Uvážme jednotlivé prípady zvláš :
a) Nech platí –1 < Z1/(4Z2) < 0. V takom prípade γ = jβ, kde β je reálne íslo. Rovnica
(4) prejde na tvar
Z
e jβ + e – jβ
= cos β = 1 + 1 .
(5)
2
2Z 2
Sekcia filtra má nulový útlm, a nastáva v nej fázový posuv o uhol β.
b) Nech platí Z1/(4Z2) > 1. V takom prípade γ = α, kde α je reálne íslo a rovnica (4)
prejde na tvar
Z
eα + e –α
= cosh α = 1 + 1 .
(6)
2
2Z 2
Sekcia filtra má útlm a = e–α, kde α je konštanta útlmu. Vzh adom na to, že a je kladné,
fázový posuv v sekcii filtra je nulový.
c) Nech platí Z1/(4Z2) < –1. V tomto prípade je a záporné a možno ho napísa v tvare a =
= –e–α (α je kladné) Rovnica (4) prejde na tvar
–
Z
eα + e –α
= – cosh α = 1 + 1 .
2
2Z 2
(7)
Záporné znamienko v rovnici (7) znamená, že v sekcii dochádza k fázovému posuvu
o uhol π.
Rovnici (4) vyhovujú aj riešenia a´ = e+γ = 1/a, t.j. riešenia typu e+α, resp. e+jβ.
Takéto riešenia odpovedajú prúdom, resp. napätiam budeným na druhom (nekone nom)
konci filtra. Reálne môže nasta taká situácia vtedy, ak re azec je kone ný a zakon ený
zá ažou, ktorá má isté impedan né vlastnosti o ktorých pojednáme neskôr.
Na základe uvedených úvah, možno napísa rekuren ný vz ah pre prúd
v ubovo nej sekcii filtra. Ak v n-tej sekcii filtra te ie harmonický prúd
I n = I n0 e jωt ,
3
potom v n+m-tej (m = 1, 2, 3, ...) sekcii te ie prúd
I n + m = a m I n = I n0 e j(ωt –γm ) .
(8)
Tento výraz sa podobá na výraz pre prúdovú vlnu šíriacu sa na vedení so spojito
rozloženými parametrami s tým rozdielom, že na vedení je diskrétne íslo m nahradené
spojitou súradnicou z, ktorá ur uje smer šírenia vlny na vedení2. Ak γ = α, potom
prúdová "vlna" je tlmená s konštantou útlmu α, ak γ = jβ, potom prúdová vlna je
netlmená s fázovou konštantou β . Hodnoty α a β sú dané riešením rovníc (5) až (7).
Charakter filtra ur uje pomer Z1/(4Z2). Ak je tento pomer z intervalu –1 až 0, filter je
pásmový priepust bez útlmu v pásme priepustnosti, ak pomer je mimo uvedeného
intervalu, filter je pásmová zádrž.
Obr.4
Pre alšie úvahy treba presnejšie definova pojem sekcia filtra, alebo lánok
filtra. Z obr. 3 vidie , že re azec možno na sekcie rozloži dvojakým spôsobom, ktoré
sú znázornené na obr. 4. Vzniknú tak sekcie, ktoré sa zo zrejmých dôvodov nazývajú „Tlánky“ („T-sekcie“) a „Π- lánky“ („Π-sekcie“). Je tiež zrejmé že postupnos ubovo ného
typu lánkov spojených za sebou vytvára ten istý re azec, takže prenosové vlastnosti
odvodené vyššie platia pre obidva typy sekcií.
Ak sa na vstup nekone ného re azca zostaveného z T- lánkov alebo Π- lánkov
pripojí zdroj napätia s amplitúdou U0, bude tento zdroj dodáva do re azca prúd I0.
Pomer U0/I0 = Z0 sa nazýva charakteristická impedancia re azca. Táto impedancia má
niektoré charakteristické zvláštnosti. Pomer Un/In = Z0 nameraný na ubovo nej
sekcii nekone ného re azca je veli ina rovnaká pre ubovo nú sekciu filtra, o
vyplýva zo skuto nosti, že v nekone nom re azci možno vypusti ubovo ný po et
sekcií a pomer Un/In sa v zbytku re azca nezmení. Od istej sekcie možno celý zbytok
nekone ného re azca nahradi prvkom ktorého impedancia sa rovná charakteristickej
impedancii Z0 a zbytok re azca si zachová pôvodné impedan né vlastnosti. Možno tiež
nahradi celý re azec, s výnimkou prvej sekcie, prvkom s impedanciou Z0 ako na obr. 5a,
kde ZT = Z0 a obr. 5b, kde ZΠ = Z0 sú charakteristické impedancie re azcov zostavených
z T- lánkov a Π- lánkov. Uvedené úvahy vedú k záveru, že charakteristická impedancia
re azca je plne ur ená vlastnos ami jednej sekcie re azca. Obr. 5a, 5b umož ujú
vypo íta charakteristické impedancie obidvoch typov lánkov a odpovedajúcich
re azcov. Z obr. 5a vidie , že
2
Pozri napr. Tirpák, A.: Elektronika ve mi vysokých frekvencií, Vydavate stvo UK Bratislava 2001
4
ZT =
Z1 Z 2 ( Z1 2 + Z T )
+
.
2 Z 2 + Z1 2 + Z T
Riešením tejto rovnice pre ZT dostaneme
Z T = Z1 Z 2 +
1 2
Z1 =
4
Z1 Z 2 1 +
Z1
.
4Z 2
(9)
Podobne z obr. 5b plynie, že
1
1
=
+
Z Π 2Z 2
1
,
2Z 2 Z Π
Z1 +
2Z 2 + Z Π
z oho pre ZΠ plynie
ZΠ =
1
1
1
+
Z 1 Z 2 4 Z 22
=
Z1 Z 2
Z
1+ 1
4Z 2
.
(10)
Z výrazov (9) a (10) vidie , že
ZTZΠ = Z1Z2.
(11)
Obr. 5
Dôležitos charakteristickej impedancie spo íva v skuto nosti, že ak chceme spoji
nieko ko re azcových filtrov za sebou do jedného nehomogenného filtra tak aby filter
neskreslil vlnu prechádzajúcu ceze musia ma tieto filtre rovnaké charakteristické
impedancie. Impedancia zá aže takého filtra musí sa tiež rovna charakteristickej
impedancii spolo nej celému filtru. Ak táto požiadavka nie je splnená, vznikajú v re azci
"odrazy" energie, o v kone nom dôsledku vedie k zníženiu energie odovzdávanej
zá aži. Zá až, ktorej impedancia sa rovná charakteristickej impedancii filtra sa nazýva
prispôsobenou zá ažou.
Filter zakon ený prispôsobenou zá ažou rovnou charakteristickej impedancii ZT je
znázornený na obr. 6 a je uvažovaný, ako by bol zostavený z T- lánkov ABCD.
Alternatívne ho však možno uvažova zostavený z Π- lánkov A´B´C´D´, pri om musí
by stále prispôsobený. To znamená, že as re azca vpravo od C´D´ znázornená na
obr. 7a musí ma vstupnú impedanciu ZΠ . Pol lánok T je teda transformátorom
5
impedancie ZT na ZΠ . Podobne druhý pol lánok Π na obr. 7b transformuje impedanciu
ZΠ na ZT. o transforma ných vlastnostiach pol lánkov sa možno presved i priamym
výpo tom.
Obr. 6
V obmedzenom rozsahu možno takéto pol lánky využi na prispôsobenie zá aže
k filtru, ale ich význam spo íva hlavne pri návrhu kompozitných filtrov.
Obr. 7
Vrá me sa ešte k rekurentnému vz ahu (8) pre prúdy v sekciách filtra. Formálne
rovnaké vz ahy platia pre napätia v jednotlivých uzloch filtra. Tieto vz ahy predstavujú
akési prúdové resp napä ové „vlny“ pozd ž filtra. V pásme priepustnosti filtra výrazy pre
prúdy a napätia na jednotlivých sekciách filtra sú tvaru
I n + m = I n0 e j(ωt – βm)
U n + m = U n0 e j(ωt – βm )
kde I n0 a U n0 sú komplexné amplitúdy prúdu a napätia v n-tej sekcii filtra. Ak fáza
napätia v n-tej sekcii v ase tn je
Φn = ωtn,
potom fáza v m+n-tej sekcii v ase tn+m bude
Φn+m = ωtn+m – β m.
Ak uvažujeme prúd a napätie ako „vlny“ potom je zrejmé, že takáto vlna sa pozd ž
re azca šíri akousi „fázovou rýchlos ou“ a doba tn→n+m potrebná na prechod konštantnej
fázy medzi n-tou a n+m-tou sekciou vyplýva z podmienky
6
Φn+m = Φn,
z oho
t n →n + m = t n + m – t n =
βm
,
ω
(12)
alebo vzh adom na vz ah (5)
m arcos 1 –
t n→n + m =
Z1
2Z 2
ω
.
Na prenos fázy je teda potrebná istá doba tn→n+m, ktorá je úmerná po tu sekcii m.
Re azec pôsobí ako oneskorovacie vedenie.
Dolnofrekven ný priepust
Najjednoduchší dolnofrekven ný priepust je LC-filter znázornený na obr. 2. Filter
možno považova za zostavený z T- lánkov, alebo Π- lánkov pod a obr.8. Pre tieto
lánky Z1 = j ωL, Z2 = 1/j ωC, takže
Obr. 8
Z1
ω 2 LC
=–
.
4Z 2
4
Filter prepúš a signály v pásme frekvencií ω, pre ktoré platí
0<
ω 2 LC
4
<1
teda všetky signály od nulovej frekvencie, až po kritickú frekvenciu
ω1 =
alebo
f1 =
2
LC
1
LC
(13)
(13a)
7
a)
b)
Obr. 9
V pásme priepustnosti filtra je útlm nulový, a fázový posuv β v jednom lánku je
daný výrazom
cos β = 1 –
ω 2 LC
2
ω
ω1
=1– 2
2
(14)
Mimo pásma priepustnosti filter prenáša s útlmom a konštanta útlmu α jedného
lánku je daná výrazom
– cosh α = 1 – 2
ω
ω1
2
.
(15)
Záporné znamienko sved í o posuve fázy v susedných lánkoch filtra o uhol π (prúdy
v susedných lánkoch te ú proti sebe).
Charakteristické impedancie ZT a ZΠ sú dané výrazom
ZT =
L ω 2 L2
–
=
4
C
L
ω
1–
C
ω1
2
=
L 1
.
C ZΠ
(16)
Na obr. 9 sú graficky znázornené závislosti α, β , ZT a ZΠ od frekvencie ω.3
Príklad: Filter na obr. 1 má montážne hodnoty Lm = 25 H, Cm = 10 µF. K jeho vstupu je
pripojený dvojcestný usmer ova striedavého napätia, na ktorého vstup je pripojené striedavé
napätie s frekvenciou 50 Hz. Vypo ítajte:
a) Kritickú frekvenciu f1 filtra.
3
8
Impedancie ZT a ZΠ mimo pásma priepustnosti filtra sú rýdzoimaginárne a na grafických priebehoch
impedancií budú znázor ované prerušovanými iarami.
b) Konštantu útlmu pre kmito ty 100 Hz a 200 Hz.
c) Aký útlm bude ma re azcový filter pod a obr. 2, kde po et lánkov je n = 3?
d) Aký útlm bude ma filter pod a obr. 1 ak sa tri rovnaké kondenzátory C zapoja paralelne a tri
induk nosti L sériovo?
Riešenie: a) Kritická frekvencia filtra (L =25 H, C = 20 µF)
f1 =
1
π LC
= 14,23 Hz
Filter je schopný prenies bez útlmu frekven né zložky nižšie ako 14,23 Hz. Ke že v spektre
dvojcestne usmerneného napätia pod danou frekvenciou je iba jednosmerná zložka, filter prenesie
iba ju bez útlmu.
b) Frekven né zložky dvojcestne usmerneného striedavého napätia sú 100 Hz, 200 Hz, 300 Hz
at . Konštanta útlmu α pre frekven nú zložku 100 Hz je daná výrazom
– cosh α = –
z oho koeficient útlmu
eα + e –α
ω 2 LC
=1–
= –97,696 ,
2
2
α100 = 5,274 Np =5,274.8,686 dB ≈ 46 dB,
a výsledný útlm
a100 = e–α ≈5.10–3.
100 Hz-ová zložka je teda napä ovo potla ená 5.10–3-krát a výkonovo 25.10–6-krát.Takáto
filtrácia usmerneného napätia úplne posta uje pre technické ú ely.
Pre zložku 200 Hz je koeficient útlmu
α200 = 6,669 Np ≈ 58 dB
a výsledný útlm
a200 = e–α ≈ 1,2.10–3.
Pre zložku 300 Hz je α300 = 7,481 Np ≈ 65 dB, a300 = 5,64.10–4.
c) Ak máme k dispozícii n takýchto Π- lánkov spojených za sebou ako na obr. 2, kde n = 3,
koeficient útlmu pri frekvencii 100 Hz je
α = nα100 = 15,819 Np ≈137 dB.
a výsledný útlm
a = exp(–nα100) ≈ 1,35.10–7.
d) Ak zapojíme do jedného Π- lánku kapacitu 3C a induk nos 3L pri frekvencii 100 Hz budú
útlm a a konštanta útlmu α filtra dané výrazom
– cosh α = –
z oho
eα + e –α
ω 2 9 LC
=1–
= –887,264 ,
2
2
α = 7,481 Np ≈ 65 dB,
a
a ≈ 5,64.10–4.
9
Vidíme že sú iastky sú ove a efektívnejšie využite v re azcovom filtri ako v jednoduchom filtri
s trojnásobnými kapacitami a induk nos ami.
Bezstratové dvojvodi ové vedenie (napr. dvojvodi ový symetrický kábel – dvojlinku,
alebo koaxiálny kábel) možno v istom zmysle považova tiež za LC-re azec, v ktorom
prvky L a C sú spojito rozložené pozd ž vedenia, t.j. úsek d žky ∆l vedenia predstavuje
sériovú induk nos ∆lL0, kde L0 je induk nos jednotkovej d žky vedenia a ∆lC0 je
paralelná kapacita uvažovaného úseku vedenia. Ak ∆l → 0, potom využitím výrazu (13)
medzná frekvencia ω1 → ∞. Také vedenie prenáša signály teoreticky bez frekven ného
obmedzenia a jeho charakteristická impedancia, alebo v teórii prenosových vedení
nazývaná vlnová impedancia (vlnový odpor) pod a vz ahu (16) je daná výrazom
Z0 =
L0
,
C0
o je známy vzorec z teórie prenosových vedení.
Na bezstratovom dvojvodi ovom vedení sa monochromatická vlna šíri istou
fázovou rýchlos ou, ktorá je limitnou hodnotou rýchlosti s ktorou sa fáza šíri
v diskrétnom re azci, ak jeho prvky prechádzajú na spojito rozložené veli iny.
V diskrétnom re azci možno zavies pod a vz ahu (12) svojráznu fázovú rýchlos
m
t n,n +m
=
ω
β
s rozmerom s–1, ktorá udáva rýchlos prenosu konštantnej fázy cez m sekcií filtra. Ak
prejdeme k spojite rozloženým prvkom dolnofrekven ného priepustu, môžeme posledný
výraz vynásobi d žkou úseku ∆l, takže výraz prejde do tvaru
vf =
m∆l
t n ,n + m
=
x n ,n + m
t n ,n + m
=
ω
∆l ,
β
o je už skuto ná fázová rýchlos v m/s. Pre β platí
cos β = 1 – 2
1
ω2
= 1 – ω 2 L0 C 0 ∆l 2 .
2
2
ω1
Fáza β v poslednom výraze je malé íslo, pretože hrani ná frekvencia narastá.
Môžeme teda cos β rozvinú do radu a obmedzi sa na jeho prvé dva leny, t.j.
cos β = 1 –
1 2
β .
2
Porovnaním posledných dvoch výrazov dostaneme
β = ω L0 C 0 ∆l
10
a dosadením β do výrazu pre fázovú rýchlos dostaneme
1
vf =
L0 C 0
o je známy výraz z teórie prenosových vedení.
Hornofrekven ný priepust
Najjednoduchší hornofrekven ný priepust vznikne z dolnofrekven ného priepustu
zámenou induk nosti a kapacít navzájom. T- lánky a Π- lánky hornofrekven ného
priepustu sú znázornené na obr. 10.
Obr. 10
Pre tento prípad Z1 = 1/j ωC a Z2 = j ωL a
Z1
1
=–
.
4Z2
4ω 2 LC
Filter je priepustný v pásme frekvencií ω, pre ktoré platí
0<
1
4ω 2 LC
<1,
teda od frekvencie
1
ω1 =
(17)
2 LC
resp. od frekvencie
f1 =
1
4
(18)
LC
teoreticky až do nekone na. V jednom lánku re azca nastáva fázový posuv pod a
vz ahu
cos β = 1 –
1
2ω 2 LC
=1– 2
ω1
ω
2
.
(19)
11
Fáza sa mení od –π ( ω = ω1) po 0 (ω = ∞). Konštanta útlmu je daná výrazom
Obr. 11
– cosh α = 1 – 2
ω1
ω
2
,
(20)
a charakteristické impedancie
ZT =
L
1
–
=
C 4ω 2 L2
ω
L
1– 1
C
ω
2
=
L 1
.
C ZΠ
(21)
Impedancia ZT je imaginárna v pásme frekvencii od 0 po ω1, nad ω1 rastie od 0 (ZΠ
klesá od ∞) po asymptotickú hodnotu √(L/C). Grafické závislosti α, β , ZT a ZΠ od
frekvencie w sú znázornené na obr. 11.
Príklad: Treba zlú i do spolo ného prívodu k TV-prijíma u dve anténne sústavy – malý
súbor signálov káblovej televízie, ktoré sú vo VHF pásme so signálmi UHF zo širokopásmovej
antény. K takému ú elu môže slúži zlu ova VHF+UHF pod a obr. 12 v praktickom prevedení
pod a obr. 13. Dolnofrekven ný (VHF) priepust má prenáša signály po frekvenciu 230 MHz
a hornofrekven ný (UHF) priepust má prenáša signály od 470 MHz nahor. Vlnové impedancie
všetkých koaxiálnych vedení sú Z0 = 75 Ω. Vypo ítajte hodnoty kapacít kondenzátorov
a induk nosti cievok potrebných na konštrukciu zlu ova a. Aké sú útlmy UHF priepustu pri
frekvencii 230 MHz a VHF priepustu pri frekvencii 470 MHz?
Riešenie: Pre priepuste sú zá aže vlnové impedancie pripojených káblov, teda Z0 = √(L/C) =
= 75 Ω. Hrani ná frekvencia dolnofrekven ného priepustu f1 = 230 MHz. S využitím výrazu (13a)
dostaneme pre hodnoty prvkov L a C dolnofrekven ného priepustu výrazy a hodnoty
L=
C=
12
Z0
= 104 nH ,
f1
1
= 18,5 pF .
f1 Z 0
Montážne hodnoty prvkov sú L1 = L/2 =52 nH a C1 = C = 18,5 pF.
Obr. 12
Hrani ná frekvencia hornofrekven ného priepustu f1 = 470 MHz. S využitím výrazu (18)
dostaneme pre hodnoty prvkov L a C hornofrekven ného priepustu výrazy a hodnoty
L=
Z0
= 12,7 nH ,
4 f1
Obr. 13
C=
1
= 2,26 pF .
4 f1 Z 0
Montážne hodnoty prvkov sú L2 = L =12,7 nH a C2 = 2C = 4,52 pF.
13
Koeficient útlmu α VHF priepustu pri frekvencii f = 470 MHz sa vypo íta zo vz ahu
f
– cosh α = 1 – 2
f1
2
= –7,35
Obr. 14
z oho
α = 2,68 Np = 23,3 dB
alebo útlm
a = e–α = 6,85.10–2 = 0,0685.
Obr. 15
Podobne koeficient útlmu α UHF priepustu pri frekvencii f = 230 MHz sa vypo íta zo
vz ahu (20), teda
– cosh α = 1 – 2
f1
f
2
= –7,35 ,
a teda
α = 2,68 Np = 23,3 dB
14
alebo útlm
a = e–α = 6,85.10–2 = 0,0685.
Na obr. 14 je znázornený praktický zlu ova VHF+UHF a na obr. 15 jeho útlmové
charakteristiky.
Pásmový priepust
Jednoduchý pásmový priepust možno zostavi z T- lánkov, alebo Π- lánkov pod a
obr. 16. Jeho innos možno kvalitatívne posúdi následovnou úvahou: Na ve mi
nízkych frekvenciách impedancia sériového ramena T- lánku je daná hlavne kapacitnou
reaktanciou 1/(2 ωC1), takže lánok sa chová ako kapacitný deli . Na frekvenciách
vyšších ako je rezonan ná frekvencia sériového ramena L-C1 je ωL > 1/( ωC1), teda
sériové rameno má induktívny charakter a filter pracuje ako dolnofrekven ný priepust.
Na ve mi vysokých frekvenciách filter znovu neprepúš a signály vzh adom na vysokú
induktívnu reaktanciu sériového ramena a malú kapacitnú reaktanciu paralelného ramena
s kapacitou C2. Kvantitatívna analýza poskytuje nasledovné výsledky:
Ke že Z1 = j(ωL – 1/ωC1) a Z2 = 1/j ωC2, potom
Z1
1 C2
– ω 2 LC 2 .
=
4 Z 2 4 C1
Obr. 16
Kritické frekvencie sú dané rovnicami
C2
– ω 2 LC 2 = 0,
C1
1 C2
– ω 2 LC 2 = −1,
4 C1
z oho pre kritické frekvencie ω1 a ω2 plynie
ω1 =
1
LC
,
ω2 =
4C1 + C 2
C
= ω1 1 + 4 1 .
LC1C 2
C2
(22)
Zave me ozna enie
15
p2 =
ω 22
C
= 1+ 4 1 > 1,
2
C2
ω1
potom je fáza v pásme priepustnosti filtra daná výrazom
cos β = 1 +
Z1
1 – (ω / ω1 ) 2
.
= 1+ 2
4Z 2
p2 −1
(23)
Koeficient útlmu pre ω < ω1 je daný výrazom
cosh α = 1 + 2
1 – (ω / ω1 ) 2
p2 −1
(24)
a pre ω > ω2 výrazom
− cosh α = 1 + 2
1 – (ω / ω1 ) 2
p2 −1
(25)
Charakteristické impedancie sú dané výrazmi
L
C2
p2
ZΠ =
L
C2
ZT =
(1 − ω12 / ω 2 )(1 − ω 2 / ω 22 )
p2 −1
p 2 − 1 1 − ω12 / ω 2
p2
1 − ω 2 / ω 22
.
(26)
(27)
Z uvedenej analýzy vyplýva, že filter zostavený z T-, alebo Π- lánkov pod a
obr. 16 prepúš a signály v pásme frekvencií ω1 < ω < ω2 bez útlmu, mimo uvedeného
pásma pôsobí ako atenuátor. Na obr. 17 sú graficky znázornené závislosti α, β , ZT a ZΠ
od frekvencie. Charakteristické impedancie sú reálne v pásme priepustnosti filtra
a rýdzoimaginárne ( isté reaktancie). Fáza b sa so zvyšovaním frekvencie mení od 0
po π.
Uvažovaný pásmový priepust (a to platí pre všetky doteraz analyzované filtre má
dva základné nedostatky:
a) charakteristické impedancie zna ne závisia od frekvencie, o znemož uje
prispôsobi filter v širokom rozsahu frekvencií,
b) útlm filtra mimo pásma priepustnosti je takisto silne závislý od frekvencie a je
nízky blízko hrani ných frekvencií.
Uvedené vlastnosti má každý prakticky realizovate ný filter, avšak vhodným
výberom sekcií a prípadnou kombináciou s pol lánkami možno tieto nedostatky do
zna nej miery redukova . Príkladom pásmového priepustu s výrazne lepšími
16
vlastnos ami je filter ktorého T- a Π- lánky sú znázornené na obr. 18. Filter vznikne
"preložením" hornofrekven ného a dolnofrekven ného priepustu cez seba, takže pri
dolnej hrani nej frekvencii sa prejavuje ako hornofrekven ný priepust a pri hornej
hrani nej frekvencii má vlastnosti dolnofrekven ného priepustu. Sériové rameno filtra je
sériovým rezonan ným obvodom s nulovou rezonan nou impedanciou a paralelné
rameno je paralelným rezonan ným obvodom s nulovou rezonan nou admitanciou.
Z1 a Z2 sú dané výrazmi
a)
b)
Obr. 17
Z1 = j
ω 2 L1C1 − 1
,
ωC1
1 − ω 2 L2 C 2
1
=
,
Z2
j ωL 2
takže
Obr. 18
Z1
(ω 2 L1C1 − 1)(1 − ω 2 L2 C 2 )
=
.
4Z 2
4ω 2 L2 C1
V praxi je dôležitý prípad, ak obidve ramená sú v
frekvencii ω0. Položme teda
L1C1 = L2 C 2 =
1
ω 02
a
rezonancii pri spolo nej
L2 C1
=
= m2 ,
L1 C 2
17
takže výraz pre Z1/4Z2 prejde na tvar
(ω 2 ω 02 − 1) 2
Z1
1
ω ω0
=−
=−
−
2
2
2
2
4Z 2
4(ω ω 0 ) m
4m ω 0 ω
2
Ak položíme Z1/4Z2 = –1 a posledný výraz odmocníme a upravíme, dostaneme
kvadratickú rovnicu
ω 2 ± 2mω 0ω − ω 02 = 0
ktorá má korene
ω1,2 = ω 0 ± m 2 + 1 ± m
a pre kladné frekvencie
ω1,2 = ω 0
m2 + 1
m .
(28)
Frekvencie ω1 a ω2 sú hrani né frekvencie filtra. Pre tieto frekvencie platí vz ah
ω1ω 2 = ω 02 .
(29)
z oho plynie, že ω0 je geometrickým stredom frekvencií ω1 a ω2. Vyšetrením rovnice
Z1/4Z2 = 0 zistíme, že ω0 patri do pásma priepustnosti filtra. Fáza β je daná výrazom
cos β = 1 −
(1 − ω 2 ω 02 ) 2
2(ω 2 ω 0 ) 2 m 2
= 1−
1
2m 2
ω0 ω
−
ω ω0
2
(30)
a mení sa od –π ( ω = ω1) cez 0 (ω = ω0) po +π ( ω = ω2). Koeficient útlmu je daný
výrazom
− cosh α = 1 −
(1 − ω 2 ω 02 ) 2
2(ω 2 ω 0 ) 2 m 2
= 1−
1
2m 2
ω0 ω
−
ω ω0
2
.
(31)
Ak uvážime, že
Z1 Z 2 =
L2
,
C1
potom charakteristické impedancie sú dané výrazom
ZT =
18
(1 − ω 2 ω 02 ) 2
L2
L /C
1−
= 2 1
2
2
2
C1
ZΠ
4(ω ω 0 ) m
(32)
a)
b)
Obr. 19
Grafické závislosti α, β , ZT a ZΠ od frekvencie ω sú znázornené na obr. 19.
Z grafov ZT( ω) a ZΠ (ω) vidie , že v okolí rezonan nej frekvencie ω0 obidve
charakteristické impedancie sa menia ve mi málo okolo hodnoty √(L2/C1). Ak teda zá až
je prispôsobená k filtru pri rezonan nej frekvencii ω0 potom je približne prispôsobená aj
v istom pásme frekvencii okolo ω0.
Príklad: Pásmový priepust posledného typu má prenáša signály v nie príliš širokom pásme
frekvencií ω1 a ω2 okolo strednej frekvencie ω0. Vypo ítajte hodnoty prvkov L1, L2, C1, a C2.
Riešenie: Ak pásmo nie je príliš široké, potom charakteristické impedancie filtra v danom
pásme zostavajú približne rovnaké s hodnotou Z = √(L2/C1) = √(L1/C2). Využitím vz ahov
L2 C1
(ω − ω ) 2
=
= m2 = 2 2 1 ,
L1 C 2
4ω 0
ω1ω 2 = ω 02
dostaneme pre prvky filtra výrazy
L1 =
2Z
=
Z
,
( f 2 − f1 )
ω 2 − ω1
(ω − ω1 ) Z ( f 2 − f1 ) Z
L2 = 2
=
,
2ω1ω 2
4 f1 f 2
C1 =
ω 2 − ω1
f − f1
= 2
,
2ω1ω 2 Z 4 f1 f 2 Z
C2 =
2
1
=
.
(ω 2 − ω1 ) Z
( f 2 − f1 ) Z
Poznámka: Treba ma na pamäti, že hrani né frekvencie ω1 a ω2 nie sú skuto né hranice
pásma priepustnosti, pretože pri tých sú charakteristické impedancie ZT = 0 a ZΠ = ∞. Skuto né
hranice prenosu ω1′ a ω 2′ sú limitované prípustnou odchýlkou impedancií ZT a ZΠ od hodnôt Z =
= √(L2/C1) = √(L1/C2).
Pásmová zádrž
Pásmovými zádržiami sú T- lánky a Π- lánky zobrazené na obr. 20, kde paralelné
a sériové ramena pásmového priepustu na obr. 18 sú navzájom vymenené. Takáto
pásmová zádrž je tiež kombináciou dolnofrekven ného a hornofrekven ného priepustu,
19
tu sa však pásma priepustnosti neprekrývajú, takže vznikne frekven ný interval ω1 a ω2,
v ktorom je filter nepriepustný. Ke že teória a výpo et pásmovej zádrže a priepuste sú
analogické, uvádzame iba výsledné vz ahy opisujúce vlastnosti a výpo et parametrov
pásmovej zádrže:
Obr. 20
Ak položíme
L1C1 = L2 C 2 =
1
a
ω 02
L2 C1
=
= m2 ,
L1 C 2
potom
(ω 2 ω 0 ) 2
Z1
1
1
=−
=−
2
2
2
2
4Z2
4m (ω ω 0 − 1)
4m 2
1
ω ω0
−
ω0 ω
2
.
Hrani né frekvencie pásmovej zádrže sú dané výrazom
ω1,2 =
a)
Fáza β v pásmach priepustnosti
20
ω0
4m
16m 2 + 1 1 .
Obr. 21
(33)
b)
cos β = 1 −
1
1
2m 2
(34)
2
ω ω0
−
ω0 ω
a koeficient útlmu v pásme zádrže
− cosh α = 1 −
1
2m
1
2
.
ω ω0
−
ω0 ω
2
1
L2 1
.
C1 Z Π
(35)
Charakteristické impedancie
ZT =
L2
1
1−
C1
2m 2
ω ω0
−
ω0 ω
2
=
(36)
Na obr. 21 sú graficky znázornené závislosti α, β , ZT a ZΠ od frekvencie ω.
Príklad: Pásmová zádrž má prenáša signály v celom frekven nom pásme okrem nie príliš
širokého pásme frekvencií ω1 až ω2 okolo strednej frekvencie ω0. Vypo ítajte hodnoty prvkov L1,
L 2, C 1, a C 2.
Riešenie: Postupom podobným ako pri pásmovom priepusti dostaneme
L1 =
L2 =
2(ω 2 − ω1 ) Z
ω1ω 2
=
( f 2 − f1 ) Z
,
f1 f 2
Z
Z
=
,
2(ω 2 − ω1 ) 4 ( f 2 − f1 )
C1 =
1
1
=
,
2(ω 2 − ω1 ) Z 4 ( f 2 − f1 ) Z
C2 =
2(ω 2 − ω1 ) f 2 − f1
=
.
ω1ω 2 Z
f1 f 2 Z
kde Z = √(L1/C2) = √(L2/C1).
Induktívne viazané LC-obvody ako filter
Dva induktívne viazané LC-obvody s koeficientom vzájomnej indukcie M pod a
obr. 22a majú vlastnosti pásmového priepustu. Možno sa o tom ahko presved i , ak pre
obvody urobíme náhradnú schému pod a obr. 22b, ktorá predstavuje symetrický T- lánok
s induk nos ami
L1 = L − M = L(1 − k ),
L2 = M ,
kde k = M/L je koeficient väzby. Pre impedancie ramien T- lánku platí
Z1
1
= j ωL(1 − k ) −
,
2
ωC1
Z 2 = jωL ,
21
Obr. 22
takže
Z1
ω 2 LC (1 − k ) − 1 (ω 2 / ω 02 )(1 − k ) − 1
=
=
,
4Z 2
2ω 2 CM
2kω 2 / ω 02
kde ω0 =1/√(LC). Hrani ná frekvencia T- lánku pre Z1/4Z2 = –1
ω1 =
a pre Z1/4Z2 = 0
ω2 =
ω0
(37)
1+ k
ω0
1− k
.
(38)
Charakteristická impedancia
ZT =
ω0
L ω0 ω
ω
−
(1 − k )
(1 + k ) −
.
C ω ω0
ω
ω0
(39)
Šírka pásma priepustnosti
∆ω = ω 2 − ω 1 = ω 0
1
(1 − k )
−
1
(1 + k )
.
(40)
Ak uvážime, že v reálnych viazaných obvodoch k « 1, potom
∆ω ≈ (1 +
1
1
k ) − (1 − k ω 0 = kω 0 .
2
2
(41)
Je zaujímavé porovna výsledky získané analýzou viazaných LC-obvodov
z h adiska teórie filtrov s výsledkami, ktoré poskytuje analýza viazaných obvodov
z h adiska ich prenosovej charakteristiky.4 Hrani né frekvencie ω1 a ω2 nie sú ni iné,
ako rezonan né väzobné frekvencie viazaných obvodov bez tlmenia. Charakteristická
impedancia pri ω = ω0 je ZT = k√(L/C), o je vstupný rezonan ný odpor viazaných
obvodov. Pri ω1 a ω2 je impedancia ZT = 0.
4
Pozri napr. Tirpák, A.: Elektromagnetizmus, Polygrafia SAV, str. 467, Bratislava 1999
22
Tento príklad sved í o tom, že teória filtrov je konzistentná s teóriou viazaných
rezonan ných obvodov; teória filtrov však poskytuje všeobecnejší poh ad na ubovo né
prenosové obvody, ktoré majú selektívne vlastnosti.
Niektoré problémy prispôsobenia filtrov
V našich úvahách sme doteraz stále predpokladali, že uvažovaný filter je
zakon ený prispôsobenou zá ažou rovnou charakteristickej impedancii filtra teda
hodnotám ZT, alebo ZΠ , o umožnilo pomerne preh adne opísa vlastnosti jednotlivých
filtrov. Vo všetkých prípadoch sme však videli, že charakteristická impedancia je
veli ina, ktorá viac alebo menej závisí od frekvencie a teda aj zá až ak má by
prispôsobená, musí ma rovnaké vlastnosti. Takáto zá až je v praxi len ve mi ob ažne
realizovate ná, alebo vôbec nemožná. V praxi ako zá až oby ajne slúži reálny odpor
nezávislý od frekvencie, takže prispôsobenie je možné iba pri jednej, alebo nieko kých
diskrétnych frekvenciách. V tejto súvislosti sa naskytujú dve otázky:
1)
2)
Ako – ak je to vôbec možné – treba vybra zá ažovú impedanciu Zz, aby
odchýlka od ideálneho prispôsobenia Zz = ZT (pre T- lánok) bola
najmenšia?
Aké sú následky nevyhnutného narušenia podmienky Zz = ZT?
Na prvú otázku odpovieme s využitím vlastnosti dolno- a hornofrekven ného
priepustu. Tieto filtre majú charakteristickú impedanciu R = √(L/C) pri nulovej
frekvencii (dolnofrekven ný priepust) a pri nekone nej frekvencii (hornofrekven ný
priepust). V oblasti blízko hrani nej frekvencie ω1 sa impedancia prudko mení
s frekvenciou. Ak chceme dosiahnu aspo približné prispôsobenie v istom frekven nom
pásme, musí by toto pásmo dostato ne aleko od hrani ných frekvencií. To znamená,
že zá až volíme z malého okolia hodnoty √(L/C) menšej, alebo vä šej, pod a typu
lánku). To je však všetko, o za daných okolnosti možno urobi . Prispôsobenie sa
porušuje s mierou priblíženia sa k hrani nej frekvencii.
Druhá otázka si vyžaduje podrobnejšiu analýzu. Ak zá až Zz ≠ Z0 (Z0 je
charakteristická impedancia T-, alebo Π- lánku), potom a ≠ eγ. Vz ah medzi výstupným
a vstupným napätím (alebo prúdom) jedného lánku možno nájs z teórie štvorpólov.
Využijeme však radšej znalosti z teórie dlhých vedení,5 na ktorých sa napätia a prúdy po
d žke vedenia transformujú pod a známych pravidiel. Na d žke l vedenia s koeficientom
šírenia vlny γ sa výstupné napätie transformuje pod a vz ahu
U vst
Z
= cosh l + v sinh l ,
U výst
Z výst
kde Zv je vlnová impedancia vedenia. lánok filtra možno tiež považova za „vedenie“
po ktorom sa šíri „vlna“ s útlmom α, alebo s fázou β. Vz ah medzi vstupným
a výstupným napätím na lánku filtra možno teda napísa v tvare
5
Pozri napr. Tirpák, A.: Elektronika ve mi vysokých frekvencií, str. 128, Vydavate stvo UK, Bratislava
2001
23
U vst
Z
= cosh + 0 sinh ,
U výst
Zz
(42)
kde Z0 je charakteristická impedancia (ZT, resp ZΠ) a Zz je zá ažová impedancia filtra.
Prenos (útlm) filtra
U výst
1
a=
=
.
(43)
Z
U vst
cosh + 0 sinh
Zz
V pásme priezra nosti filtra
a=
1
.
Z
cos β + j 0 sin β
Zz
(44)
a mimo pásma priezra nosti filtra
a=
1
.
Z
cosh α + 0 sinh α
Zz
(45)
Z výrazu pre útlm v pásme priezra nosti filtra vidie , že jeho absolútna hodnota pri
Zz ≠ Z0 je vä šia alebo menšia ako 1, pod a charakteru zá aže.
Aplikujme tieto výsledky na T- lánok dolnofrekven ného priepustu, za aženého
impedanciou Zz pod a obr. 23. V pásme priezra nosti
Obr. 23
Z 0 = ZT =
L
ω2
1− 2 ,
C
ω1
a
cos β = 1 − 2
ω2
,
ω12
sin β = 1 − cos 2 β = 2
ω
ω2
1− 2 .
ω1
ω1
potom
a=
24
1
2
ω
ωL
ω2
1− 2 2 + j
1− 2
Zz
ω1
ω1
(46)
kde ω1 = 2/√(LC). Nech na výstupe je pripojená aktívna zá až
L
.
C
Zz = n
Ozna me
ω2
= x,
ω12
potom modul koeficientu prenosu
a =
1
4
(1 − 2 x) + 2 x(1 − x) 2
n
.
(47)
2
Obr. 24
Závislos modulu koeficientu prenosu na frekvencii ω pre n = 0,5, 1 a 2 je
znázornená na obr. 24. Vidíme, že prenos je citlivo závislý od zá aže a aj pre Zz = √(LC)
(n = 1) sa modul v pásme priepustnosti zna ne odchy uje od hodnoty 1. Naopak, ak Zz =
= ZT, potom v celom pásme priepustnosti |a| = 1 a mimo pásma priepustnosti
a =
1
2 x − 1 + 2 x( x − 1)
.
(48)
25
Vplyv nevyhnutného neprispôsobenia je krajne nepríjemný z dvoch prí in.
Predovšetkým z praktického h adiska sa zjavne zhoršujú charakteristiky filtra a znižuje
sa efektívnos prenosu signálov. Z teoretického h adiska neprispôsobenie zna ne
komplikuje teóriu, stráca sa kompaktnos výsledkov a znižuje sa ich preh adnos , o je
hlavnou prednos ou teórie v jej elementárnej podobe. Okrem toho treba doda , že pri
výpo te reálneho filtra treba po íta aj s aktívnymi odpormi sú iastok, o sme v našej
teórii zanedbávali. Ak sa tieto okolnosti vezmú do úvahy, potom sa teoretické vz ahy
komplikujú nato ko, že priamy výpo et filtrov je nemožný a robí sa pomocou rôznych
dopredu vypracovaných grafov, nomogramov a tabuliek, v poslednej dobe neocenite nú
službu poskytujú po íta e. Napriek týmto problémom elementárna teória má svoju
hodnotu – jej cena spo íva v tom, že poskytuje všeobecnú orientáciu v otázkach
týkajúcich sa innosti a štruktúry filtrov.
Obr. 25
Na druhej strane sa netreba obáva , že charakteristiky filtrov sa beznádejne
devalvujú neprispôsobením, Použitím kombinovaných sekcií pozostávajúcich z vhodne
vybraných prvkov prípadne aj elektromechanických filtrov možno projektova
a konštruova filtre s potrebnými technickými parametrami.
Zostáva ešte posúdi otázku výberu filtrov pre konkrétne ú ely z h adiska
frekven nej závislosti ich charakteristickej impedancie. Aj ke filtra né vlastnosti Ta Π- lánkov filtra sú rovnaké, ich charakteristické impedancie sa diametrálne líšia a to
v pásme priepustnosti, aj mimo neho. Filter teda môže impedan ne ovplyvni zdroj
26
signálu aj vtedy, ak je zakon ený prispôsobenou zá ažou. Postup pri výbere typu lánku
objasníme na nasledujúcom príklade:
Po vedení (napr. televíznom rozvode) sa šíri signál nízkej (VHF) a vysokej (UHF)
frekvencie. Tieto signály treba oddeli tak, aby sa primárne vedenie impedan ne
neovplyvnilo. Pokia neberieme do úvahy impedan né vlastnosti filtrov, možno to
urobi štyrmi spôsobmi pod a obr. 25.
Filter A prepustí iba signály VHF a pre UHF má relatívne vysokú vstupnú
induktívnu reaktanciu XL, takže podstatne neovplyvní primárne vedenie. Filter B síce tiež
prepusti iba signály VHF, avšak jeho kapacitná reaktancia XC pre signály UHF je nízka,
o má neblahý vplyv na primárne vedenie (kapacitný skrat).
Filter C prepustí iba signály UHF a pre VHF má vysokú kapacitnú reaktanciu XC
teda je vhodný na filtráciu. Nakoniec filter D s nízkou induktívnou reaktanciou XL je na
oddelenie UHF signálov nevhodný.
27
Download

ELEKTRICKÉ FILTRE