ZOBRAZOVACIE METÓDY ROVNOBEŽNÉHO PREMIETANIA
Výhodou Mongeovho zobrazenia – určenie pôdorysu a nárysu, ktoré sa používa najmä
na technických výkresoch – je jednoduchosť merania rozmerov útvarov. Nevýhodou tejto
zobrazovacej metódy je, že získané priemety sú “málo” názorné, t.j. stráca sa priestorová
informácia o útvare.
Práve z týchto dôvodov, ak potrebujeme získať viac priestorových informácií o útvare,
je vhodné zvoliť k zobrazovaniu útvaru metódu axonometrie, ktorá ponúka názorné
zobrazenie útvaru, avšak na úkor merania.
Axonometria
Princíp zobrazovacej metódy – syntetický prístup
Nech Oxyz je v priestore E3 pravouhlý trojhran, ktorého hrany x, y, z určujú tri roviny
roviny π = xy , ν = xz a µ = yz tzv. steny trojhranu.
z
z
s
Z
za
µ
ν
O
sO
ϕ
Oa
π
x
ya
y
O
y
ε
Y
xa
X
x
Určíme:
1. rovinu ε, ktorá neinciduje s bodom O, pretína hrany trojhranu v bodoch X = x ∩ ε ,
Y = y ∩ ε , Z = z ∩ ε a steny trojhranu v priamkach XY = π ∩ ε , XZ = ν ∩ ε ,
YZ = µ ∩ ε . Rovina ε sa nazýva axonometrická priemetňa a trojuholník XYZ
axonometrický trojuholník
2. smer premietania {s}, ktorý je rôznobežný s axonometrickou priemetňou ε
a s rovinami π ,ν , µ . Označíme odchýlku ϕ = ∡s, ε , uhol ϕ je ostrý alebo 90°.
3. rovnobežný priemet bodu O do priemetne ε : Oa = s O ∩ ε , s O ∈ {s} , ktorý nazývame
axonometrický priemet bodu a označíme indexom “a”. Bod Oa je vnútorným bodom
axonometrického trojuholníka
4. rovnobežný priemet hrán x, y, z , sú priamky xa , ya , za , ktoré incidujú
s axonometrickým priemetom Oa bodu O a vrcholmi axonometrického trojuholníka
XYZ. Útvar Oa xa ya za v priemetni ε nazývame axonometrický osový kríž.
z
Z
s
sA
za
Aa
ε
A
s A1
y
Oa
O
ya
Y
A1a
xa
A1
X
x
Nech bod A ∈ E 3 , A ∉ π , A ∉ν , A ∉ µ , A ∉ ε , a bod A1 je kolmý priemet bodu A do roviny
π = xy (pôdorys bodu). Určíme axonometrické priemety bodov:
A: Aa = s A ∩ ε , s A ∈ {s} ,
A1: A1a = s A1 ∩ ε , s A1 ∈ {s} . Platí : Aa A1a za .
Zobrazenie φ : E 3 → ε × ε , ktoré bodu A ∈ E 3 priradí usporiadanú dvojicu bodov ( Aa , A1a ) v
priemetni ε tak, že Aa A1a za , je bijekcia.
Zobrazenie φ nazývame metóda axonometrie v priemetni ε .
Zobrazovaciu metódu axonometrie nazývame metódou pravouhlej ( kolmej ) axonometrie ak
smer premietania {s} je kolmý na priemetňu t.j. ϕ = 90° , inak hovoríme o metóde kosouhlej
( šikmej ) axonometrie t.j. ϕ je ostrý uhol.
Axonometrická súradnicová sústava
Nech e je rovnaká jednotka merania na hranách x, y, z t.j. OE x = OE y = OE z = e , kde
body E x ∈ x, E y ∈ y, E z ∈ z s bodom O vytvoria štvorsten OE x E y E z . Pravouhlý trojhran
s vyznačenými bodmi O, E x , E y , E z je karteziánskou súradnicovou sústavou priestore E 3 .
z
Z
s
za
Eaz
E
ε
z
ez
Oa y y
e Ea
ex
Eax
xa
e
O e
e
Ey
Ex
X
x
y
Y
ya
Určíme rovnobežný priemet štvorstena OE x E y E z do priemetne ε :
• je to útvar Oa Eax Eay Eaz , ktorý nazveme axonometrická súradnicová sústava
• dĺžky Oa Eax = e x , Oa Eay = e y , Oa Eaz = e z - nazveme axonometrické jednotky a
• polpriamky Oa Eax = xa , Oa Eay = ya , Oa Eaz = za nazveme - axonometrické osi.
V priemetni ε ⊂ E2 je určená karteziánska súradnicová sústava Px1x2, ktorú
v nákresni štandartne zobrazujeme:
x2
x1
P
Axonometrickú súradnicovú sústavu Oa Eax Eay Eaz v nákresni Px1x2 umiestnime takto: P = Oa,
za=x2
x2= za
x2= za
η
Eaz
P = Oa
xa
Eax
Eay
ξ
P = Oa
x1
ya
xa
ζ
x1
ya
Je to štandartné umiestnenie pre pravotočivú bázu. Označíme uhly pri vrchole Oa :
ξ = ∢ya za ,η = ∢xa za , ζ = ∢xa ya .
Často sa zadáva axonometrický osový kríž Oa xa ya za práve pomocou týchto uhlov.
Nech v nákresni Px1x2 je zadaný axonometrický osový kríž Oa xa ya za .
Z hľadiska existencie axonometrie je vhodné vysvetliť
• možno axonometrickú súradnicovú sústavu Oa Eax Eay Eaz v nákresni voliť ľubovolne
• • ako súvisí voľba axonometrických jednotiek ex, ey, ez so smerom premietania {s}.
• K vysvetleniu prvej časti uvedieme Pohlkeho vetu, ktorej rôzne formulácie sú uvedené
v literatúre [Skl.,Kr]. Pre ďalšie analytické vyjadrenie je vhodná formulácia vety:
Veta Pohlkeho:
Úsečky Oa Eax , Oa Eay , Oa Eaz v rovine, ktoré ležia na troch rôznych priamkach
xa, ya, za so spoločným bodom Oa možno považovať za rovnobežné priemety
troch zhodných, kolmých úsečiek OE x , OE y , OE z .
Znamená to, že ak nie sú vyslovené ďalšie požiadavky ( napr. ϕ = 90° ) môžeme podľa
Pohlkeho vety v priemetni voliť axonometrické jednotky Oa Eax = e x , Oa Eay = e y , Oa Eaz = e z
ľubovoľne. Vždy existuje v priestore karteziánska sústava s takou jednotkou
OE x = OE y = OE z = e , že daná axonometrická sústava Oa Eax Eay Eaz je jej rovnobežným
priemetom.
•• Pre vysvetlenie druhej časti potrebujeme určiť uhol ϕ . Ten je s jednotkami e, ex, ey, ez
2
2
2
 ex   e y   ez 
zviazaný predpisom   +   +   = 2 + cot g 2ϕ
(1)
 e  e   e
ex
ey
ez
Čísla u = , v = , w =
nazývame koeficienty zmeny (skrátenia alebo predĺženia) na
e
e
e
axonometrických osiach. Teda uhol ϕ závisí od voľby axonometrickej súradnicovej sústavy
prostredníctvom koeficientov zmeny.
Ak pre koeficienty zmeny platí:
• tri koeficienty zmeny sú rovnaké, je axonometria izometriou: u:v:w = 1:1:1
• práve dva koeficienty zmeny sú rovnaké, je axonometria dimetriou: u:v:w = 1:1:w,
u:v:w = 1:v:1, u:v:w = u:1:1
• nijaké dva koeficienty zmeny sú rovnaké, je axonometria trimetriou.
Pri výbere polohy axonometrickej priemetne ε vzhľadom na pravouhlý trojhran Oxyz sme
predpokladali, že rovina ε pretne hrany trojhranu v bodoch, ktoré vytvoria axonometrický
trojuholník XYZ. Takúto axonometriu nazývame jednoduchá axonometria.
V technickej praxi ( najmä na stavebných výkresoch) ale aj pedagogickom procese (voľné
rovnobežné premietanie ) je výhodné stotožniť axonometrickú priemetňu s niektorou zo stien
π = xy , ν = xz a µ = yz trojhranu Oxyz. V tomto prípade axonometrický trojuholník sa
degeneruje a axonometriu nazývame degenerovaná axonometria.
Degenerované axonometrie
Vojenská axonometria
Axonometrická priemetňa ε je totožná s rovinou π = xy pravouhlého trojhranu Oxyz
a odchýlka ϕ = ∡s, ε = 45°.
A
z
Ez
Aa
za
π =ε
E
z
a
E y= Eay
O = Oa
E x = Eax
y = ya
A1 = A1a
x = xa
Platí:
• axonometrické priemety xa, ya hrán x, y sú kolmé
•• pre axonometrické jednotky ex = ey = ez = k.e, k>0, t.j. u:v:w = 1:1:1
V priemetni ε stotožnenej s nákresňou so súradnicovou sústavou Px1x2 je umiestnenie
axonometrickej sústavy Oa Eax Eay Eaz pre vojenskú axonometriu:
x2 = za
P = Oa
Aa
x1
xa
A1a
ya
ζ =90° , ξ∈<135°,165°>. Výber uhla ξ z uvedeného intervalu ponúka viac možností získania
axonometrického priemetu útvaru. • označujú polohu bodov Eax , Eay , Eaz na axonometrických
priemetoch hrán xa , ya , za
Vojenská axonometria je vhodná najmä na technických výkresoch urbanistického riešenia
sídlisk, interiérov bytov a objektov s komplikovaným pôdorysom.
Analytické vyjadrenie :
• parametre otočení: θ z = 180° + A,η = 90° + A, A ∈ 15°, 60°
θ x = 0°
• parameter premietania: ϕ = 45° ( výber tvoriacej priamky je určený v otočení Rz(θz))
V nákresni so súradnicovou sústavou Px1x2, ak ξ = 135°,η = 135° , tak pre bod A( x A , y A , z A )
vypočítame:
2 A
2 A
x1A =
y −
x
2
2
2 A
2 A
x2A = z A −
x −
y
2
2
Poznámka: komplexnejšie vyjadrenie bude v analytickom vyjadrení axonometrie
Šikmé zobrazenie
Axonometrická priemetňa ε je totožná s rovinou ν = xz pravouhlého trojhranu Oxyz a
odchýlka ϕ = ∡s, ε , je určená pre uhol ϕ ∈< 45°,90°).
z = za
A
Aa
ν =ε
s
E z= Eaz
Eax = E x
ya
x = xa
O = Oa
y
Eay E
y
A1
A1a
Platí:
• axonometrické priemety xa, za hrán x, z sú kolmé
•• pre axonometrické jednotky ex = ez = k.e, k>0, a ey = e. cotgϕ (cot gϕ =
Oa Eay
OE y
=
ey
= v)
e
t.j. u:v:w = 1:v:1.
Teda napríklad ak ϕ = 60°, tak v = 3 3 a u:v:w = 1:√ 3/3:1
ϕ = 63,4°, tak v = 1/2 a u:v:w = 1:1/2:1
ϕ = 45°, tak v = 1
a u:v:w = 1:1:1
V priemetni ε stotožnenej s nákresňou so súradnicovou sústavou Px1x2 je umiestnenie
axonometrickej sústavy Oa Eax Eay Eaz pre šikmé zobrazenie:
x2 = za
xa
x2 = za
P = Oa
ya
x1
P = Oa
xa
x1
ya
η =90° , ξ = 90°+ω, najčastejšie ω = 45°, ω =135° . Výber uhla ξ z uvedeného intervalu
ponúka viac možností získania axonometrického priemetu útvaru. • označujú polohu bodov
Eax , Eay , Eaz na axonometrických priemetoch hrán xa , ya , za .
Ak uhol ω = 45° nazývame priemet útvaru v šikmom zobrazení nadhľad zľava, ak uhol
ω = 135° získaný priemet útvaru nazývame nadhľad sprava.
Pri výbere smeru premietania {s}ak:
• odchýlka ϕ = ∡s, ε = 45° a uhol ω = 45° resp. ω = 135° nazývame šikmé zobrazenie
kavalierna axonometria.
x2 = za
P = Oa
xa
x1
ya
• odchýlka ϕ = ∡s, ε = 63.4° potom je koeficient zmeny v = cotg 63.4° = 1/2 a pre
uhol ω = 45° resp. ω = 135° je získaný priemet útvaru zobrazený ako vo voľnom
rovnobežnom premietaní a to v nadhľade zľava resp. sprava. Na tomto mieste je vhodné
upozorniť na skutočnosť ako sa získava rovnobežný priemet kocky používaný v stereometrii.
x2 = za
P = Oa
xa
x1
ya
x2 = za
P = Oa
xa
x1
ya
Zobrazovacia metóda šikmé zobrazenie sa využíva najmä pri zobrazovaní stavebných
objektov s komplikovaným nárysom. Priamo z nárysu možno“vytiahnuť“ axonometriu
objektu.
Analytické vyjadrenie :
• parametre otočení: θ z = 180°
θ x = −90°
• parameter premietania: ϕ ∈ 45°,90°) , výber tvoriacej priamky – nadhľad zľava, nadhľad
sprava
V nákresni so súradnicovou sústavou Px1x2, ak ξ = 135°,η = 90° , tak pre bod A( x A , y A , z A )
vypočítame pre rôzne hodnoty uhla ϕ ∈ 45°,90°) súradnice šikmého priemetu bodu:
x1A =
2
cot gϕ . y A − x A
2
x2A = z A −
2
cot gϕ . y A
2
Poznámka: komplexnejšie vyjadrenie bude v analytickom vyjadrení axonometrie
Degenerované axonometrie majú výhodu rýchlej konštrukcie axonometrie útvaru buď
z daného pôdorysu ( vojenská axonometria ) alebo nárysu ( šikmé zobrazenie ). Redukcia
jednotky najviac v jednom smere ( súradnicová os y ) a menenie polohy axonometrickej
súradnicovej sústavy je dosť ohraničené. Vyhnúť sa tomuto obmedzeniu možno len
v jednoduchej axonometrii.
Jednoduché axonometrie
Nech axonometrická priemetňa ε nie je totožná so žiadnou zo stien pravouhlého
trojhranu Oxyz. Potom priemetňa pretína hrany trojhranu v bodoch X,Y,Z, ktoré vytvárajú
v priemetni axonometrický trojuholník XYZ (ostrouhlý).
Po určení priemetne potrebujeme pre rovnobežné premietanie zadať smer premietania,
napríklad pomocou odchýlky ϕ = ∡s, ε , ak uhol ϕ je ostrý budeme pracovať so zobrazovacou
metódou kosouhlá ( šikmá ) axonometria. Ak uhol ϕ je pravý, tak zobrazovacia metóda
bude pravouhlá ( kolmá ) axonometria.
Kosouhlá ( šikmá ) axonometria
Vstupnými prvkami tejto zobrazovacej metódy je pravouhlý trojhran Oxyz, priemetňa
ε incidujúca bodmi X,Y,Z. Smer premietania {s} a priemetňa vytvárajú ostrý uhol ϕ = ∡s, ε .
Pohlkeho veta nám umožňuje v nákresni , ktorá je totožná s priemetňou ε zvoliť
axonometrickú súradnicovú sústavu ľubovoľne a získať informáciu o veľkosti uhla ϕ je
2
2
2
 ex   e y   ez 
možné pomocou vzťahu   +   +   = 2 + cot g 2ϕ .
 e  e   e 
Pre používateľa, ktorý nemá skúsenosti s touto zobrazovacou metódou je výhodné
ponúknuť konkrétne zadania, ktoré sú odskúšané a overené v praxi pri kreslení
axonometrických priemetov objektov. Nasledovná ponuka bude rozdelená na kosouhlú
izometriu, dimetriu a trimetriu t.j. podľa pomeru koeficientov skrátenia u, v, w
resp.axonometrických jednotiek e x , e y , e z na jednotlivých axonometrických súradnicových
osiach.
Nech e = 1, potom e x = u , e y = v, e z = w. Priemety bodov Eax , Eay , Eaz na
axonometrických priemetoch hrán xa , ya , za sú na ilustračných obrázkoch označené •. Ponuka
intervalov znamená výber rôznych tvoriacich priamok k danému smeru premietania {s}.
Kosouhlá izometria :
u:v:w = 1:1:1
V nákresni Px1x2 je určená axonometrickým osovým krížom Oa xa ya za :
ξ = 110°,η = 135° , e x = e y = e z = e.
x2 = za
P = Oa
x1
ya
xa
Kosouhlá dimetria :
• u:v:w = 1:3/4:1
V nákresni Px1x2 je určená axonometrickým osovým krížom Oa xa ya za :
ξ ∈ (110°,115° ) ,η ∈ (110°,120° ) , e x = e z = e, e y = 3 / 4e
x2 = za
P = Oa
x1
xa
ya
• u:v:w = 1:2/3:1
V nákresni Px1x2 je určená axonometrickým osovým krížom Oa xa ya za :
ξ ∈ (120°,135° ) ,η ∈ ( 95°,105° ) , e x = e z = e, e y = 2 / 3e
x2 = za
P = Oa
xa
x1
ya
Kosouhlá trimetria :
• u:v:w = 9: 5:10
V nákresni Px1x2 je určená axonometrickým osovým krížom Oa xa ya za :
ξ ∈ (120°,135° ) ,η ∈ ( 95°,105° ) , e x = 9 /10e, e y = 1/ 2e, e z = e
x2 = za
P = Oa
xa
x1
ya
• u:v:w = 5/7: 4/7:6/7
V nákresni Px1x2 je určená axonometrickým osovým krížom Oa xa ya za :
ξ = 130°,η = 110° , e x = 5 / 7e, e y = 4 / 7e, e z = 6 / 7e
x2 = za
P = Oa
xa
ya
x1
Pravouhlá ( kolmá ) axonometria
Vstupnými prvkami je pravouhlý trojhran Oxyz, priemetňa ε , ktorá pretne hrany x, y,
z v bodoch X,Y,Z. K získaniu axonometrie útvaru s dobrou názornosťou je výhodné zvoliť
smer premietania kolmý na priemetňu ε t.j. odchýlka ϕ = ∡s, ε = 90° . Metóda axonometrie
pre túto voľbu uhla sa nazýva pravouhlá (kolmá,ortogonálna) axonometria.
Pre niektorých používateľov nemusí byť dôležité poznať zadanie tejto zobrazovacej
metódy v nákresni, ale potrebuje na základe určitých požiadaviek umiestniť túto priemetňu ε
vzhľadom na pravouhlý trojhran Oxyz a potom následne zrealizovať kolmé premietanie.
Z týchto dôvodov uvedieme viac prístupov k jednoznačnému určeniu kolmej axonometrie.
Jednotlivé prístupy sú podrobne spracované v [Kr,Kl], v tomto texte je urobený prehľad
a uvedené sú numerické vyjadrenia, s ktorými sa následne pracuje.
1. Voľba priemetne
• Označme δ x , δ y , δ z uhly priemetne ε s hranami x, y, z pravouhlého trojhranu Oxyz .
z
δz
Z
za
Oa
ya
O
y
ε
Y
δy
xa
X
x
δx
V pravouhlej axonometrii priemetňa ε vytvára s osami trojhranu ostré uhly δ x , δ y , δ z práve
vtedy keď:
cos 2 δ x + cos 2 δ y + cos 2 δ z = 2
(1)
Pre praktické aplikácie je výhodné zo vzťahu (1) určiť, že pre pravouhlú axonometriu je
dostatočná podmienka, ak súčet ľubovoľnej dvojice uhlov je ostrý uhol:
δ x + δ y < 90°, δ x + δ z < 90°, δ y + δ z < 90°
(2)
To znamená, že pri konkrétnom návrhu polohy priemetne ε zadávajú sa len dva uhly pri
splnení podmienky (2). Z praktických skúseností k vytváraniu realistických priemetov útvarov
odporúča sa výber uhla δz < 20° [Kl].
• Parametre otočení: určujú sa pomocou uhlov A – azimut, E – elevácia (názvy z kartografie).
z
Z
za
Oa
ya
E
O
ε Y
y
xa
A
X
x
Nadväznosť na uhly δ x , δ y , δ z možno zapísať : E = δ z , cos A =
sin δ x
cos δ z
Potom pre otočenia: θ z = 180° + A, θ x = 90° − δ z .
2. Určenie v priemetni
• Pre axonometrické jednotky platí: e x = e.cos δ x , e y = e.cos δ y , e z = e.cos δ z .
z
δz
Z
za
Eaz
E
z
Oa
x
e
Eax
e
O
ez
e
e
Ey
ey
Eay
y
ya
ε
xa
Y
δy
Ex
X
x
δx
Potom pre koeficienty skrátenia u = cos δ x , v = cos δ y , w = cos δ z v pravouhlej axonometrii
platí:
u 2 + v 2 + w2 = 2 resp. u 2 + v 2 > w2 , u 2 + w2 > v 2 , v 2 + w2 > u 2 ,
ktoré považujeme za trojuholníkové nerovnosti.
• Každý trojuholník, ktorý je podobný trojuholníku so stranami dĺžok u2, v2, w2 nazývame
trojuholník skrátenia pravouhlej axonometrie. Využitím trojuholníka skrátenia ( podrobný
postup [Kl]) vieme určiť koeficienty skrátenia u, v, w pomocou uhlov medzi
axonometrickými súradnicovými osami: ξ = ∢ya za ,η = ∢xa za , ζ = ∢xa ya
− cos ξ
− cos η
− cos ς
u2 =
, v2 =
, w2 =
sin η sin ς
sin ξ sin ς
sin ξ sin η
Znamienko “-„ v čitateli je kvôli tupým uhlom ξ , η ,ζ a pri voľbe e = 1 dostaneme ex = u,
ey = v, ez = w.
za
ez
ex
xa
ey
Oa
ya
• Nech poznáme axonometrický trojuholník XYZ, potom jeho výšky sú axonometrické
súradnicové osi xa , ya , za a jeho vnútorné uhly λX , λY , λZ pri vrcholoch X,Y,Z vypočítame
pomocou kosínovej vety.
za
Z
λZ
X λX
Oa
λY Y
xa
ya
Uhly ξ , η a ζ medzi axonometrickými súradnicovými osami ya,za , xa,za a xa,ya určíme:
ξ = 180° − λ X ,η = 180° − λY , ζ = 360° − ξ − η .
Príklad: Ilustrácia uvedených súvislostí medzi jednotlivými zadaniami pravouhlej
axonometrie. Priemetňa ε vytvára zhodné uhly s hranami trojhranu Oxyz potom :
1. • δ x = δ y = δ z = δ = 35°15' 47 ''
• E = 35°15 ' 47 '', A = 45°
2. • e x = e y = e z = 0.816 ≈ 0.82 ( u: v : w = 1:1:1)
• ξ = η = ζ = 120°
• rovnostranný axonometrický trojuholník XYZ.
Pri syntetickom prístupe k tejto zobrazovacej metóde je väčšinou pravouhlá
axonometria určená v priemetni pomocou axonometrického trojuholníka XYZ alebo
axonometrickým osovým krížom Oa xa ya za . V pravouhlej axonometrii nemôžeme zvoliť
axonometrické jednotky ľubovoľne. Je nutné ich vyčísliť. Ak používateľ sa chce vyhnúť
tomuto vyčísľovaniu môže použiť tieto odporúčané hodnoty pre pravouhlú axonometriu a to
izometriu, dimetriu a trimetriu:
Pravouhlá izometria
ξ = 120° η = 120° e x = 0.82 e y = 0.82 e z = 0.82
x2 = za
P = Oa
xa
x1
ya
Pravouhlá dimetria
• ξ = 97°10 ' η = 131°25' e x = 0.47 e y = 0.94 e z = 0.94
x2 = za
P = Oa
x1
ya
xa
• ξ = 126°50 ' η = 106°20 ' e x = 0.88 e y = 0.66 e z = 0.88
x2 = za
P = Oa
x1
xa
ya
Pravouhlá trimetria
• ξ = 110° η = 95° e x = 0.9 e y = 0.47 e z = 0.98
x2 = za
P = Oa
x1
xa
ya
• ξ = 120° η = 105° e x = 0.86 e y = 0.65 e z = 0.92
x2 = za
P = Oa
xa
x1
ya
Zobrazovacia metóda : Axonometria -analytické vyjadrenie.
V nákresni so súradnicovou sústavou Px1x2 sme každú axonometriu reprezentovali
axonometrickou súradnicovou sústavou Oa Eax Eay Eaz t.j. uhlami ξ , η a axonometrickými
jednotkami e x , e y , e z .
x2 = za
Aa
ez
x2A
Eaz
P = Oa
x
xa Ea
e
x
x1A
ey
x1
Eay
A1a
ya
Nech bod A ∈ E 3 má súradnice A( x A , y A , z A ) a jeho pôdorys A1 ( x A , y A , 0) . V axonometrii
φ : E 3 → ε × ε je obrazom bodov A, A1 usporiadaná dvojica bodov ( Aa , A1a ) , pre ktorú
Aa A1a za . Vzhľadom na axonometrickú súradnicovú sústavu Oa Eax Eay Eaz majú body A1a, Aa
súradnice A1a ( x Ae x , y Ae y , 0) , Aa ( x Ae x , y Ae y , z Ae z ) .
Vyčíslime súradnice bodu Aa ( x1A , x2A ) vzhľadom na súradnicovú sústavu nákresne Px1x2.
Platí:
x1A = y Ae y cos(ξ − 90°) − x Ae x cos(η − 90°)
x2A = z Ae z − x Ae x sin(η − 90°) − y Ae y sin(ξ − 90°)
Potom zápis v homogénnych súradniciach pomocou matíc:
 −e x cos(η − 90°) −e x sin(η − 90°) 0 0 
 y

e cos(ξ − 90°) −e y sin(ξ − 90°) 0 0 

( X1 X 2 X 3 W ) = ( x y z 1) 
0
ez
0 0


0
0
0 1 

kde označenie konkrétneho bodu je vynechané a ostatné parametre zadáva používateľ podľa
výberu axonometrie.
Literatúra
[Kl] Klapka, J.: Deskriptivní geometrie,VTN,Praha 1951
[Kr] Kraemer,E.: Zobrazovací metody 2, SPN Praha 1991
Download

Axonometria