1
Poisťovníctvo
Budúca a skrátená budúca dĺžka života v poisteni osôb, ich rozdelenie a využitie pri výpočte poistného (jednorazového aj bežného).
1.1
Budúca dĺžka života novonarodenej osoby (T0 )
Pojem budúcej dĺžky života sa zavádza v časti venovanej stochastickému modelu životného poistenia, budúca dĺžka života novonarodenej osoby je hlavnou náhodnou premennou.
Distribučná funkcia: F0 (t) = P {T0 ≤ t} (pravdepodobnosť, že sa novonarodená osoba dožije
menej ako (alebo presne) t rokov)
Funkcia prežitia: S0 (t) = 1 − F0 (t) (pravdepodobnosť, že sa dožije viac ako t rokov)
1.2
Budúca dĺžka života osoby vo veku x (Tx )
Distribučná funkcia:
Fx (t) = P {Tx ≤ t} = P {T0 ≤ x + t | T0 > x} =
F0 (x + t) − F0 (x)
P {x < T0 ≤ x + t}
=
P {T0 > x}
1 − F0 (x)
Funkcia prežitia:
Sx (t) = 1 − Fx (t) =
S0 (x + t)
S0 (x)
Máme t qx = Fx (t), resp. t px = Sx (t), kde t px = lx+t
lx = 1 − t qx , je pravdepodobnosť, že osoba
vo veku x sa dožije x + t rokov, pričom lx je počet osôb dožívajúcich sa veku x z celkového počtu
lα (α – najnižší sledovaný vek), x ∈ N; dodefinovanie na R+ : lx+t = (1 − t)lx + tlx+1 .
1.3
Intenzita úmrtnosti v čase x (µx )
Vyjadruje pravdepodobnosť dožitia sa x a “takmer okamžitého” úmrtia.
F0 (x + ∆x) − F0 (x) ∆x→0
P {x < T0 ≤ x + ∆x}
−→ µx ,
=
∆xP {T0 > x}
(1 + F0 (x))∆x
teda vlastne
′
µx =
F0 (x)
1 − F0 (x)
Príklad: Nech Tx má exponenciálne rozdelenie s parametrom λ (F0 (x) = e−λx ). Potom µx =
F0′ (x)
1−F0 (x)
= λ,
S0 (x + t) = Sx (t)e−λx =⇒ Sx (t) = e−λt = S0 (t), teda funkcia prežitia nezávisí od veku. Dá sa vyjadriť E(Tx )
(priemerná budúca dĺžka života osoby vo veku x):
fx (t) =
dt qx
d(1 − t px )
dt px
dFx (t)
=
=
=
dt
dt
dt
dt
1
dlx+t
dt px
dt px
=
·
= −µx+t =⇒
= −t px µx+t =⇒ fx (t) = t px µx+t
dt
lx+t
dt
dt
«
Z ∞
Z ∞
Z ∞ „
Z ∞
Z ∞
dt px
limx→∞ (x(1−F (x))=0
˚
E(Tx ) =
tfx (f )dt =
tt px µx+t =
t −
p
dt
=
= [−tt px ]∞
+
t px dt = lx
t
x
0
dt
0
0
0
0
0
Podobne
Z ∞
“ ”
1
t px
·
D(Tx ) = E(Tx2 ) − (E(Tx ))2 = 2
1
0
tt px dt − ˚
lx
2
1.4
Skrátená budúca dĺžka života (Kx )
Diskrétna náhodná premenná, lepšie odráža potreby poisťovní (ktoré zaujímajú platby vo výročiach dňa uzavretia zmluvy).
Kx = [Tx ],
kde [z] je celá časť z. Platí:
def.
P {Kx = k} = P {k ≤ Tx < k+1} = Fx (k+1)−Fx (k) = k px −k+1 px = k px (1−px+k ) = k px qx+k = k |qx ,
pričom px =
lx+1
lx
je ročná miera prežitia a qx =
dx
lx
je ročná miera úmrtnosti.
Distribučná funkcia:
Gx (k) =
k
X
P {Kx = j} =
k
X
j px qx+j
= k+1 qx
j=0
j=0
Priemerná skrátená dĺžka života:
E(Kx ) =
∞
X
kP {Kx = k} = . . . =
k=1
1.5
∞
X
(1 − k qx ) =
k=1
∞
X
k px
= lx .
k=1
Jednorazové poistenie
Poistenie na dožitie (Ak sa poistená osoba veku x dožije ešte dohodnutých n rokov, dostane
poistnú sumu.):
1 · v n s pravdepodobnosťou n px
def.
U = SHV =
0
s pravdepodobnosťou n qx
E(U ) = v n n px = v n
lx+n
Dx+n
=
= n Ex ,
lx
Dx
1
v = 1+i
je odúročiteľ, SHV je súčasná hodnota výdavkov, n Ex je súčasná hodnota jednorazového
poistenia – vidíme teda, že výsledok je taký istý, ako v deterministickom modeli.
Poistenie na úmrtie (dočasné) (ak osoba v priebehu dohodnutých n rokov, pozostalým sa
vyplatí poistná suma):
1 · v Kx+1 Kx = 0, 1, . . . , n − 1
U=
0
Kx ≥ n
E(U ) =
n−1
X
v j+1 P {Kx = j} =
j=0
=
n−1
X
j=0
v j+1
n−1
X
v j+1 j px qx+j =
n−1
X
j=0
j=0
v j+1
lx+j dx+j
·
=
lx
lx+j
n−1
n−1
1 X
dx+j
1 X x+j+1
v
dx+j =
Cx+j = A1x,nq .
=
lx
Dx j=0
Dx j=0
Zmiešané poistenie (poistná suma sa určite vyplatí; ak poistená osoba dožije dohodnutých n
rokov, vyplatí sa jej, inak sa vyplatí pozostalým):
1 · v Kx+1 Kx = 0, 1, . . . , n − 1
U=
1 · vn
Kx ≥ n
2
1.6
Bežné poistenie
Dá sa vnímať ako predlehotný dôchodok platený v konštantnej výške po dobu m rokov (každoročne
na začiatku roka), pokiaľ poistená osoba žije:
Pa
¨x,mq = JP =⇒ P =
JP
a
¨x,mq
P – platená suma, JP – suma, ktorá by sa za dané poistenie platila jednorazovo.
Spôsob určenia P – inak, stochasticky:
E(Z) = 0 = E(P · V − U ) =⇒ P · E(V ) = E(U ) =⇒ P =
E(U )
E(U )
=
,
E(V )
a
¨x,tq
kde Z je zisk, V príjmy z jednotkového poistného; U a V sú náhodné premenné.
3
2
Poisťovníctvo
Metódy na výpočet poistného v poistení osôb – deterministický a stochastický model. Prípad zmiešaného poistenia a odloženého dôchodku.
2.1
Deterministický model
Základné premenné:
Premenná
lx
Popis
počet osôb dožívajúcich sa veku x z celk. počtu lα (α – najnižší sledovaný vek, ω – najvyšší sledovaný vek, x ∈ N);
dodefinovanie na R+ využíva predpoklad, že úmrtia sú v
priebehu roku rovnomerne rozdelené lx+t = (1 − t)lx + tlx+1 ,
t ∈ h0, 1i
počet osôb, ktoré sa dožili x, ale nie x + 1; lx+t = lx − tdx .
ročná miera prežitia
ročná miera úmrnosti
dx = lx − lx+1
l
px = x+1
lx
qx = dlxx
l
= x+n
lx
n qx = 1 − n px
v = (1 + i)−1
n px
n Ex
=
pravdepodobnosť, že osoba vo veku x sa dožije x + n rokov
pravdepodobnosť, že osoba vo veku x sa nedožije x + n rokov
diskontný faktor (odúročiteľ)
Dx+n
Dx
a
a
¨x =
Nx
Dx
Nx+1
¨x − 1
ax = Dx = a
N −N
a
¨x,nq = x Dxx+n
N
−N
ax,nq = x+1 Dxx+n+1
Nx+k
ax = Dx
k |¨
k |ax
=
Nx+k+1
Dx
N
= x+k
Sx
(I¨
a)x = D
x
ax,nq
k |¨
−Nx+k+n
Dx
Sx −Sx+n −nNx+n
Dx
nNx +Sx+n−1 −Sx+a
Dx
(I¨
a)x,nq =
(D¨
a)x,nq =
Sx,nq , S¨x,nq
Mx
Dx
Mx+k −Mx+k+n
1
k |Ax,nq =
Dx
Ax =
R −R
x+n
(IA)1x,nq = x x+n
Dx
Mx −Mx+n
Dx+n
+ Dx
Ax,nq =
Dx
A1x
A1x,nq
(pure) endowment, hodnota jednorazového poistného (poistenie na dožitie na n rokov)
dôchodok (annuity)
doživotný dôchodok vyplácaný predlehotne
doživotný dôchodok vyplácaný polehotne (t.j. na konci roka)
dočasný dôchodok vyplácaný predlehotne po dobu n rokov
dočasný dôchodok vyplácaný polehotne po dobu n rokov
odložený doživotný dôchodok vyplácaný predlehotne (od
roku x + k každý rok)
odložený doživotný dôchodok vyplácaný polehotne (od roku
x + k každý rok)
odložený dočasný dôchodok vyplácaný predlehotne
doživotný, lineárne rastúci (1. rok 1 Sk, 2. rok 2 Sk. . . ) dôchodok, vyplácaný predlehotne
dočasný rastúci dôchodok, vyplácaný predlehotne
dočasný klesajúci dôchodok, vyplácaný predlehotne
predlehotne (polehotne) každý platý 1 Sk do fondu, po n
rokoch sa akumulovaná hodnota rozdelí medzi prežívajúcich
doživotné poistenie na úmrtie
dočasné poistenie na úmrtie odložené o k rokov (pozostalí
dostanú 1 Sk, ak umrie v (x + k, x + k + n))
−nM
zmiešané poistenie na n rokov
poistenie na úmrtie
poistenie na dožitie
4
Komutačné čísla:
Komutačné číslo
Dx = v x lx
P
Nx = ω−α
t=0 Dx+t
Pω−α
Sx = t=0 Nx+t
Popis
diskontovaný počet osôb dožívajúcich sa veku x
miesto ω − α sa používa aj ∞
Cx = v ( x + 1)dx
P
Mx = ω−α
t=0 Cx+t
P∞
Rx = t=0 Cx+t
diskontovaný počet zomrelých vo veku x
Princíp fiktívneho súboru: počet osôb, ktoré uzavrú poistenie vo veku x, je lx . Všetky osoby
sa narodili 1.1. a zomreli 31.12.
Princíp ekvivalencie: Všetky príjmy poisťovne sa musia rovnať všetkým výdavkom, ak sú diskontované v rovnakej časovej základni. Poistná zmluva sa uzavrie v čase 0, princíp ekvivalencie
hovorí, že súčasná hodnota všetkých príjmov poisťovne sa musí rovnať súčasnej hodnote jej výdavkov (rovnica ekvivalencie).
2.2
Stochastický model
Pozri 1.5.
2.3
Zmiešané poistenie
Zmiešané poistenie na n rokov (x-ročná osoba sa poistí tak, že ak sa dožije n rokov, dostane 1 Sk.
Ak nie, pozostalí dostanú 1 Sk.
Ax,nq =
Mx − Mx+n Dx+n
+
.
Dx
Dx
(Je to vlastne dočasné poistenie na úmrtie v priebehu n rokov plus poistenie dožitia sa n rokov.)
2.4
Odložený dôchodok
Odložený dôchodok vyplácaný prelehotne (x-ročná osoba sa poistí tak, že každoročne dostane 1
Sk, pokiaľ bude žiť tak, že prvá výplata bude v roku x + k.
lxk |¨
ax = 1 · lx+k · v k + 1 · lx+k+1 · v k+1 + . . .
po prenásobení v x a upravení:
ax
k |¨
=
Nx+k · Dx+k
Nx+k
=
=a
¨x+k · k Ex .
Dx
Dx · Dx+k
(Najprv poistenie na dožitie k rokov, až potom bude vyplácaný dôchodok.)
5
3
Poisťovníctvo
Rezervy v životnom poistení. Rekurentný vzorec pre výpočet rezerv. Rôzne druhy rezerv, ich vzťah
k Zilmerovej rezerve.
3.1
Poistné rezervy
Slúžia na zabezpečenie nárokov poisteného voči poisťovni, pokiaľ tieto neboli uhradené zo zaistenia.
Rozdelenie:
• Rezerva na poistné budúcich období (ŽP, NP)
• Rezerva na poistné plnenia (ŽP, NP)
• Rezerva na prémie a zľavy (ŽP, NP)
• Rezerva na mimoriadne riziká – výkyvová rezerva (NP, nespadá pod okruh tejto otázky)
• Rezerva na krytie rizika v prípade investovania v mene poistených; spojená s jednotkovo
viazanými produktmi (ŽP)
• Rezerva na životné poistenie
3.2
Rezerva na životné poistenie
Prospektívna strata v čase t (rok uzavretia zmluvy):
Lt = súčastná hodnota budúcich výdavkov v čase t−súčastná hodnota budúcich príjmov v čase t
Prospektívna rezerva:
t Vx
= E(Lt ),
x je vek osoby. Prospektívna rezerva sa počíta tesne pred platbou poistného. Dátum výpočtu rezervy je valuačná báza, proces jej výpočtu valuácia, predpoklady na jej výpočet (úroková miera
– kalkulačná, resp. technická, úmrtnostné tabuľky, náklady; používajú sa odhady) sa nazývajú valuačná báza. Ak je známa valuácia, tak poisťovňa musí zistiť, či má vo svojich fondoch dostatok
aktív, aby vykryli hodnotu všetkých poistných rezerv – tie sú kritériom solventnosti poisťovne.
Poistná rezerva (policy value): hodnota vypočítaná aktuárom poisťovne.
Rezerva (policy reserve): objem peňazí, ktoré poisťovňa odloží “nabok”, aby v budúcnosti
uhradila prípadné nároky poistených.
Všeobecný prípad výpočtu:
Lt = bJ+1+t v J+1 −
J
X
Ph+t v h
h=0
E(Lt ) =
∞
X
bj+1+t v j+1 j px+t qx+t+j −
j
∞ X
X
ph+t v h j px+t qx+t+j =⇒ po zopár úpravách:
j=1 h=0
j=1
E(Lt ) =
∞
X
bj+1+t v j+1 j px+t qx+t+j −
j=1
∞
X
pt+h v h h px+t
h=0
?
J = Jx = Kx − t je skrátená dĺžka života po prežití t rokov, bj je výplata na konci j-teho roku,
Pj−1 je poistné platené na začiatku j-teho roku.
Retrospektívna rezerva v roku t: Akumulovaná hodnota príjmov poisťovne do roku t zmenšená
o akumulovanú hodnotu výdavkov do roku t. Rozdiely:
6
1. Výpočet sa robí so známymi hodnotami
2. Nevystupuje tam žiadna náhodná premenná, stačí deterministický model
3.3
Rekurentný vzorec pre rezervy
t+1 Vx
= (t Vx + Px )ux+t − Skx+t , 0 Vx = 0,
x+t
x+t
, kx+t = DCx+t+1
.
S je poistná suma, ux+t , kx+t sú valuačné funkcie, ux+t = DDx+t+1
Solventnosť je schopnosť trvale plniť nároky plynúce z poistenia a zaistenia, teda je nutné poznať
t+k Vx pre 0 ≤ k ≤ 1. Platí:
t+k Vx
= (1 − k) · (t Vx + Px ) + k · t+1 Vx
(nedá sa to vyjadriť lineárnou kombináciou t Vx a
t+1 Vx ,
lebo to nezahrňuje zinkasované poistné).
P
P
Zisk poisťovne z úmrtnosti je rovný M qx+t (S − t+1 Vx ) − M ∗ (S − t+1 Vx ), kde M ∗ ⊂ M je
podmnožina poistiek, ktoré sa v priebehu roka stali nárokmi.
Poistné sa dá rozpísať: Px = (v · t+1 Vx − t Vx ) + v · qx+t (S − t+1 Vx )
|
{z
} |
{z
}
ukladacia časť
3.4
riziková časť
Brutto rezerva, Zillmerova rezerva
Brutto rezerva:
B
t Vx
= Ax+t + β¨
ax+t − (1 − γ)B¨
ax+t = . . .
Zillmerova rezerva:
Z
t Vx
def.
= t Vx − α(1 − t Vx )
Ak sa doba platenia poistného dobe trvania poistky, tak sa brutto rezerva a Zillmerova rezerva
rovnajú, ak doba platenia poistného je kratšia (napr. pri jednorazovom poistení), tak sa nerovnajú.
Napríklad v prípade jednorazového poistenia vznikajú správne náklady v každom roku, takže treba
vytvárať rezervu správnych nákladov.
Pozn.: α označuje začiatočné náklady, β správne náklady a γ inkasné náklady.
7
Download

poistovnictvo.pdf