Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
STATIKA
A) rovnováha síl a momentov síl
(N 1999/2000, 15)
1. Tyč sa opiera o dve hladké roviny so sklonmi α, 90° - α (viď obrázok). Nájdite uhol θ, pre ktorý je tyč v
rovnováhe.
[θ = 90

− 2α
]
(N 2000/2001, 17)
2. Homogénna tyč dĺžky 2l sa opera o vodorovnú podložku a o pripevnený polovalec polomeru R (viď obrázok).
Koeficient statického trenia tyče o valec a tyče o podložku je μ. Akú najväčšiu hodnotu môže mať uhol φ, pri
ktorom je ešte tyč v rovnováhe?

ϕ max = arcsin

µ .r 
(1 + µ 2 )l 
(N 2000/2001, 21)
3. Homogénna polguľa hmotnosti M a s polomerom r leží vypuklou časťou na vodorovnej podložke. Na jej okraj
položíme male teliesko hmotnosti m podložke (viď obrázok). Pod akým uhlom α sa polguľa nakloní? (Vzdialenosť
ťažiska od stredu gule je |OT| = 3r/8.)

 8 m 
α = arctg  3 M 



verzia ZS 2012
1/10
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
STATIKA
(N 2000/2001, 32)
4. (*) Tyč akej maximálnej dĺžky môžeme vložiť (a zašprajcovať) do zvislej jamy znázornenej na obrázku, aby tam
sama ostala, ak koeficient statického trenia medzi tyčou a stenami je μ ? Šírka jamy je d.
[l ≤ d
f 2 +1
]
(N 2007/2008, 30)
5. Máme misku tvaru polgule s polomerom R. Miska je upevnená s okrajom vo vodorovnej polohe, keď do nej
vložíme paličku s dĺžkou 2R (viď obrázok). Aký uhol α bude zvierať palička s horizontálnou rovinou, ak je trenie
medzi paličkou a miskou nulové?

 1 + 33 

α = arccos

8



(N 2006/2007, 19)
6. Na klzisku sa o mantinel opiera hokejka. Odhadnite, aký najmenší uhol α môže hokejka zvierať so zvislicou, ak
koeficient trenia medzi ňou a mantinelom je f, zatiaľ čo trenie hokejky o ľad je zanedbateľne malé?

1
α ≥ arctg f 


(N 2005/2006, 17)
7. Dve hracie karty sa opierajú vrchnými koncami o seba. Aký najmenší uhol α môžu tieto dve karty zvierať, ak
koeficient statického trenia medzi nimi a podložkou je f = 0,1 ?
[α = 2arctg ( 2 f ) ≈ 22 37′]

verzia ZS 2012
2/10
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
STATIKA
(N 2006/2007, 31)
8. Z vodorovného stropu visí na špagáte dĺžky R guľa s polomerom R a hmotnosťou M. Z rovnakého miesta visí
druhá guľa s hmotnosťou 2M, pričom jej špagát je dostatočne dlhý na to, aby sa gule nedotýkali. Medzi špagátom a
prvou guľou je nulové trenie. Aký je veľkosť uhla α, ktorý zviera prvý špagát so stropom?
1



α = ar cos 3 ≈ 70 32 ′
(N 2005/2006, 11)
9. Valec je položený na naklonenej rovine so sklonom α. Na ňom je namotaná tenká niť, ktorá je mimo valca
rovnobežná s rovinou a nakoniec upevnená (viď obrázok). Aký najmenší môže byť koeficient f statického trenia
medzi valcom a naklonenou rovinou, aby sa valec nezačal šmýkať nadol ?
1


 f = 2 tgα 
(N 2004/2005, 12)
10. Dokonale hladký homogénny valec s hmotnosťou m je položený na vozíku, ktorého vzdialenosť medzi prednou
a zadnou stenou je rovnaká ako polomer podstavy valca R (viď obrázok). Vozík sa začne pohybovať s veľkosťou
zrýchlenia a. Nájdite veľkosti síl N1 a N2, ktoré pôsobia na zadnú a prednú stranu vozíka.


mg
± ma 
 N 1, 2 =
3


verzia ZS 2012
3/10
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
STATIKA
(N 2004/2005, 21)
11. Na stene sú vo vzdialenosti l kĺbovito upevnené dve tyče o hmotnosti m a dĺžke l (viď obrázok). Druhým
koncom sú navzájom spojené pružinou tuhosti k. (Pružina v nenatiahnutom stave má nulovú dĺžku.) Aké dlhé majú
byť tyče, aby v stave rovnováhy mal uhol, ktorý zviera tyč so stenou, veľkosť α ?


mg cos α
l = 2k sin α (1 − 2 cos α ) 


(N 2004/2005, 27)
12. Spodný koniec B tyče AB s hmotnosťou m je kĺbovo upevnený o zvislú stenu. Tyč je uchytená o stenu
špagátom AC. Vypočítajte veľkosť sily, ktorou je napínaný špagát, ak ∠ ABC = ∠ BCA = α .
 mg 
 4 cos α 


(N 2004/2005, 31)
13. Akou veľkosťou sily F pôsobí guľa na zvislú stenu (viď obrázok) ? R = 5 m, l = 8 m, hmotnosť gule
je M. Trenie medzi stenou a guľou je nulové.
5


 F = 12 Mg 
(N 2002/2003, 11)
14. Na hladkej podložke je položený rebrík, ktorého stredy ramien sú spojené pružinou tuhosti k. Každé rameno má
hmotnosť m a dĺžku L. Predpokladajme, že pružina stiahnutá (základný stav) má zanedbateľnú dĺžku. Aký bude
rovnovážny uhol α medzi ramenami rebríka ?
α mg 

cos 2 = kL 


verzia ZS 2012
4/10
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
STATIKA
(N 2003/2004, 39 ; modifikované bodom a) – prednáška doc. Ševčík)
15. Rebrík dĺžky l sa jedným koncom opiera o zvislú stenu, pričom jeho druhý koniec leží na vodorovnej zemi.
Rebrík zviera s podložkou uhol α. Koeficient statického trenia medzi ním a zemou je μ, trenie so stenou je
zanedbateľne malé. Hmotnosť rebríka je m.

1 
tgα ≥ 2 µ 


a) Aký je najmenší uhol α, keď rebrík ešte neskĺzne?
b) Aké minimálne musí byť μ, aby mohol po rebríku vyliezť človek o hmotnosti M až úplne
hore?
m


M+


1
2
µ =

M + m tgα 



(N 2002/2003, 30)
16. Aká veľká sila T napína vodorovnú niť udržujúcu homogénny valec na naklonenej rovine na obrázku? Sklon
naklonenej roviny je α, hmotnosť valca je m. Aký musí byť koeficient statického trenia μ ?
sin α
1 − cos α 

T = mg 1 + cos α ; µ = sin α 
(N 2002/2003, 33)
17. Na naklonenej rovine stojí obruč s hmotnosťou M. Na jej obvode je pripevnené malé závažie hmotnosti m tak,
ako je to znázornené na obrázku. Aký je sklon naklonenej roviny α, ak je priamka spájajúca stred obruče so
závažím vodorovná a sústava je v pokoji? Trenie v sústave neuvažujte.

 m 
α = arcsin M + m 



(N 2001/2002, 36)
18. S akým najväčším presahom môžeme na seba uložiť štyri tehly dĺžky l ? (viď obrázok)
 11 
12 l 
verzia ZS 2012
5/10
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
STATIKA
(N 2002/2003, 46)
19. Nájdite minimálnu hodnotu koeficientu statického trenia μ medzi tyčou a valcami (viď obrázok), aby tyč bola v
pokoji. Ťažisko tyče je T, polomer valcov je R a zároveň platí: |TA| = |AB|, |S1 S2| = 4R.

1 
µ =

2 3

(N 2001/2002, 2)
20. Na obrázku je znázornená sústava troch tyčí, ktoré sú uchytené v jednej tretine svojej dĺžky. Na konci tyčí sú
zavesené blchy rôznych hmotností. Aký musí byť pomer hmotností m1 : m4 prvej a štvrtej blchy, aby bola celá
sústava v rovnováhe?
[ m1 = 18m 4 ]
(N 2001/2002, 8)
21. Aká maximálna časť retiazky dĺžky l môže presahovať zo stola, aby sa ešte nezošmykla? Koeficient statického
trenia retiazky o stôl je μ.
 µ .l 
1 + µ 


(N 2001/2002, 29)
22. Na valec je namotaná niť, koniec ktorej je uchytený na vrchu naklonenej roviny (viď obrázok). Koeficient
statického trenia valca o podložku je μ. Pri akej maximálnej hodnote uhla α valec nebude skĺzavať dole po
naklonenej rovine?
[α = arctg ( 2µ ) ]
verzia ZS 2012
6/10
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
STATIKA
(N 2001/2002, 23)
23. Zalomená tyč tvaru písmena L s ramenami z rovnakého materiálu dĺžky a, b je upevnená v koncovom bode
ramena dĺžky a tak, že sa môže otáčať okolo vodorovnej osi, prechádzajúcej bodom upevnenia kolmo na rovinu
určenú ramenami tyče (viď obrázok). Aký uhol α zviera rameno dĺžky a zalomenej tyče so zvislým smerom k
rovnovážnej polohe?


b2
tg
α
=


2
a + 2ab 

(FKS 1996/1997, B-2.4)
24. Na kmeni stromu kruhového prierezu leží vodorovne v rovnováhe homogénna doska o hmotnosti M a dĺžke L.
Na jeden jej koniec položíme závažie hmotnosti m, pričom doska sa vychýli o uhol φ a znovu zaujme rovnovážnu
polohu. Aká je veľkosť trecej sily medzi doskou a kmeňom?



Lm

 Ft = ( M + m ) g sin 
 2 R ( M + m)  

(FYKOS XI-VI-5)
25. Predstavte si, že v ďalekej budúcnosti budú na Slovensku jazdiť rýchlovlaky. Nech súprava rýchlovlaku náhle
zastaví v oblúku o polomere r = 500 m, ktorý je klopený v uhle α pre rýchlosť v = 200 km/h (klopenie znamená, že
na cestujúceho v idúcej súprave pôsobí neustále sila len smerom kolmo nadol). Pretože ľudia sú tvory od prírody
zvedavé, všetci sa vyklonia z okien na vnútornej strane oblúku, aby zistili, čo sa deje. Vašou úlohou je zistiť, koľko
ľudí (s priemernou hmotnosťou ml = 70 kg) musí byť vo vlaku, aby sa preklopil. Rýchlovlak je zložený z 10
štvorosých rýchlikových vozňov o dĺžke d = 25 m, šírke s = 3 m a výške h = 4,2 m a hmotnosti mv = 40 t. Ťažisko
vozňa je vo výške ht = 1,2 m od hlavy koľajnice, rozchod koľajníc je l = 1435 mm. Spodný okraj otvoreného okna
nech je vo výške h0 = 2,5 m.


mv
l cos α − 2ht sin α
≈ 295
N =
ml 2h0 sin α + ( s − l ) cos α


verzia ZS 2012
7/10
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
STATIKA
(FYKOS XXIII-I-2)
26. (*) Na dvoch naklonených rovinách (viď obrázok) je položené lano tak, že sa uprostred nedotýka podložky.
Situácia je osovo symetrická. Koeficient statického trenia medzi lanom a rovinami je f.
a) Vypočítajte, aká maximálna časť lana môže takto visieť v statickej rovnováhe.
 f sin 2α − 2 sin 2 α 


2
 2 + f sin 2α − 2 sin α 
b) Pre aký uhol naklonených rovín je tento pomer najväčší?
1


α = 2 arctg ( f ) 
(FYKOS XIX-III-1)
27. (*) Guľa a valec s rovnakými polomermi a rovnakými hmotnosťami sú vyrobené z rôznych materiálov a ležia
na naklonenej rovine so sklonom α tak, že sa vzájomne dotýkajú. Určite, za akých podmienok zostane situácia
statická (t.j. obe telesá na naklonenej rovine zostanú v pokoji vzhľadom na vonkajšieho pozorovateľa).
[nikdy ☺]
(FYKOS XI-VI-3)
28. (*) Keď sa pokúsime uchopiť kocku tak, ako je to naznačené na obrázku, nie vždy sme úspešný. Nájdite
podmienku, kedy sa nám to podarí. Koeficient statického trenia medzi prstami a kockou je f.
[f > 1]
(FKS 1999/2000, A-1.2)
29. (*) Sviňa hmotnosti M lezie po vnútornej stene tenkého guľového plášťa polomeru R a hmotnosti m. Aký musí
byť minimálny koeficient statického trenia f medzi plášťom a sviňou, aby vyliezla až nahor? Pre jednoduchosť
aproximujte sviňu hmotným bodom. Uvažujte, že ťažisko plášťa sa nachádza vo vzdialenosti R/3 od jej stredu.
verzia ZS 2012
m 

 f ≥ 3M 
8/10
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
STATIKA
(FKS 2000/2001, A-2.1)
30. (*) Na stene visí vešiak, ktorý je držaný dvoma skrutkami. Akou veľkosťou sily musí v stene držať každá zo
skrutiek, ak má vešiak udržať kabát s hmotnosťou 30 kg ? Dĺžky a, b, c, d (na obrázku) poznáme.
a 

 F1 = F2 = Fk 2c + d 
[Fk – vertikálna zložka sily od zaveseného kabáta v smere úchopu vešiaka]
(N 2002/2003, 50)
31. (*) Tyč je odklonená od zvislice o uhol α, pričom sa okolo nej otáča uhlovou rýchlosťou ω (viď obrázok). Na
tyči je navlečená korálka hmotnosti m, ktorá sa môže po tyči pohybovať s koeficientom šmykového trenia μ.
Určite, pre aké vzdialenosti l od začiatku tyče sa nebude korálka vzhľadom na tyč pohybovať.
 

  g cos α 1 − µ .tgα g cos α 1 + µ .tgα 

l ∈ 
,
µ ω 2 sin 2 α
µ 
  ω 2 sin 2 α
1+
1−

 
tgα
tgα 
 
(200 problems, P 44)
32. (**) Na upevnený valec s polomerom R je položená kovová platňa ohnutá v pravom uhle (viď obrá-zok). Akú
veľkosť musí mať koeficient statického trenia medzi valcom a platňou, aby sa platňa z valca nezošmykla?
[☺, riešenie má grafickú podobu]
verzia ZS 2012
9/10
Zbierka príkladov k predmetu Mechanika
STATIKA
(FYKOS XX-VI-1)
33. (**) Nájdite podmienku, pri ktorej bude sústava troch valcov na obrázku v pokoji a nerozkotúľa sa. Hustota
materiálov valcov je ρ, spodné valce majú polomer R, horný valec má polomer r. Koeficient statického trenia f
medzi všetkými povrchmi má rovnakú hodnotu.
2

r
2r  r  
 f ≥1+ −
+  
R
R R 



(200 problems, P 101)
34. (**) Ľahké nepružné lano je napnuté okolo polovice obvodu pevného valca tak, ako je to znázornené na
obrázku. Ak platí nerovnosť
1
FA ≤ FB ≤ 2 F A , potom lano v dôsledku statického trenia neprešmykuje po povrchu
2
valca. Určite koeficient statického trenia μ medzi lanom a valcom.
1


 µ = π ln 2 ≈ 0,22
verzia ZS 2012
10/10
Download

( ) 