Opakovanie stredoškolskej geometrie - základ pre predmet Konštruktívna
geometria
Rovinná a priestorová euklidovská geometria
 Základné pojmy rovinnej geometrie – body, priamky, ich vzájomná poloha,
metrické vzťahy (uhol a vzdialenosť). Os úsečky a os uhla. Zhodnosti a
podobnosti v rovine. Mnohouholníky – klasifikácia, konštrukcia
pravidelného n-uholníka. Kružnica, niektoré úlohy o kružnici a jej dotyčnici.
 Základné pojmy priestorovej geometrie – body, priamky, roviny a ich
vzájomné polohové vzťahy, kritérium rovnobežnosti priamky a roviny, resp.
dvoch rovín, kritérium kolmosti priamky a roviny, resp. dvoch rovín.
Metrické vzťahy (uhol a vzdialenosť) medzi bodmi priamkami a rovinami.
 Jednoduché priamkové plochy a telesá – vytvorenie, klasifikácia. Guľová
plocha a guľa.
Literatúra:
-Urban A.: Deskriptivní geometrie I., 2. kapitola – Planimetrie.Doplňky ke středoškolské látce, 4. kapitola – Základní pojmy a úlohy prostorové geometrie.
-Wisztová a kol.: Sprievodca stredoškolskou matematikou kapitola VIII.,IX. a XI.
Symbolika
Základné geometrické útvary - body, priamky a roviny
body..... A, B,...K, L,...X,Y , Z,...1, 2...
priamky..... a, b,...k, l,...x, y, z...
roviny.....  ,  ,...,  , ,...,  , , ,... ,  ,
množinová symbolika
znak rovnosti (totožnosti)... A  B,...k  l ,...   ,  A  B,...k  l ,...   
znak rôznosti..... C  D,.....r  m,.....   ,...
znak incidencie...byť prvkom - A  a, A   , byť podmnožinou - a   ,   E
3
znak rovnobežnosti
a b,..., a  ,...,  
znak kolmosti
a  b,..., k   ,...,   
znak pre vzdialenosť
|.....|
vzdialenosť bodov A, B
| AB |
vzdialenosť bodu A od roviny 
|A |
priamka a určená dvoma rôznymi bodmi A, B
a AB
  ABC
rovina  určená tromi rôznymi bodmi A, B,C
rovina  určená bodom A a priamkou q
  Aq
rovina  určená dvomi priamkami q, p
  qp
znak pretínania (prieniku)

bod P je priesečníkom dvoch priamok p, q
P  pq
bod P je priesečníkom priamky p s rovinou  P  p  
priamka p je priesečnicou rovín  , 
p   
kružnica k ležiaca v rovine  , určená stredom S a polomerom r : k  (S , r ), k  
1
Opakovanie stereometrie
Základnými geometrickými útvarmi Euklidovského priestoru E3 sú body, priamky,
roviny. Pomocou nich sa vytvárajú zložitejšie geometrické útvary: polpriamky
polroviny, uhly, n-uholníky,..., čiary, krivky, mnohosteny plochy, telesá.
Základné vzťahy medzi bodmi, priamkami a rovinami sú vymedzené sústavou
axiom.
Axiomatická sústava (Hilbertova) obsahuje axiómy incidencie, axiómy
usporiadania, axiómy zhodnosti, axiómy spojitosti a axiómu rovnobežnosti.
(pozri A. Urban: Deskriptivní geometrie I, kapitola 4. str,60-61, alebo skriptá
Velichová D.: Konštrukčná geometria, 1. Kapitola, odsek 1.1 Euklidovský priestor)
Axióma rovnobežnosti (Euklidova): Bodom, ktorý neleží na danej priamke,
prechádza práve jedna priamka, ktorá nemá s danou priamkou žiadny spoločný bod,
ale leží s ňou v spoločnej rovine (nazývame ju rovnobežka s danou priamkou).
Axióma rovnobežnosti (Lobačevského): Bodom, ktorý neleží na danej priamke,
prechádzajú aspoň dve priamky, ktorá nemajú s danou priamkou žiadny spoločný
bod, ale ležia s ňou v spoločnej rovine.
Ďalšie vzťahy medzi bodmi, priamkami a rovinami odvodené z axióm rozdelíme do
dvoch skupín, a to na polohové vzťahy a metrické vzťahy.
A) Polohové vzťahy v E3 :
Vzájomná poloha dvoch rôznych priamok
a) priamky mimobežné – nemajú spoločný bod a neležia v spoločnej rovine
b) priamky rôznobežné – majú spoločný jediný bod (voláme ho priesečník
rôznobežných priamok)
c) priamky rovnobežné - nemajú spoločný bod a ležia v spoločnej rovine
Vzájomná poloha dvoch rôznych rovín
a) roviny rôznobežné – majú spoločnú jedinú priamku (voláme ju priesečnica
rovín)
b) roviny rovnobežné – nemajú spoločný žiadny bod
Vzájomná poloha priamky a roviny
a) priamka rôznobežná s rovinou – má s rovinou spoločný jediný bod (nazývame
ho priesečník priamky a roviny)
b) priamka rovnobežná s rovinou – nemá s rovinou spoločný žiadny bod
c) priamka ležiaca v rovine – všetky body priamky sú zároveň bodmi roviny
Veta 1. Kritérium rovnobežnosti priamky s rovinou
Priamka je rovnobežná s rovinou práve vtedy, keď je rovnobežná aspoň s jednou
priamkou roviny.
Veta 2. Kritérium rovnobežnosti dvoch rovín
Dve roviny sú rovnobežné práve vtedy, keď v jednej z nich ležia dve rôznobežky,
z ktorých každá je rovnobežná s druhou rovinou.
2
B) Metrické vzťahy v E3 :
kolmosť,
uhol,
vzdialenosť
Definícia 1. Uhol dvoch rôznych priamok
a) Uhol dvoch rovnobežiek je uhol nulový (   0 ).
b) Uhol dvoch rôznobežiek je ostrý uhol týchto priamok.
c) Uhol dvoch mimobežiek definujeme ako uhol rôznobežiek, ktoré získame, ak
ktorýmkoľvek bodom priestoru vedieme priamky rovnobežné s týmito
mimobežkami.
Definícia 2. Hovoríme, že dve rôznobežné priamky sú kolmé, ak všetky štyri uhly

nimi vytvorené sú zhodné uhly (ich veľkosť je 900, resp. ).
2
Definícia 3. Hovoríme, že priamka je kolmá na rovinu (resp. rovina je kolmá na
priamku), ak je priamka kolmá na všetky priamky roviny.
Ak je priamka kolmá na rovinu, potom jej uhol s touto rovinou má veľkosť 900, resp.

.
2
Veta 3.
Kritérium kolmosti priamky a roviny
Priamka je kolmá na rovinu vtedy a len vtedy, ak je kolmá na dve rôznobežky
roviny.
Definícia 3. Uhol dvoch rôznobežných rovín  ,  je uhol dvoch priamok a,b,
v ktorých roviny  ,  pretína rovina  , kolmá na priesečnicu p rovín  ,  .
Veta 4.
normál.
Uhol dvoch rôznobežných rovín  ,  má rovnakú veľkosť ako uhol ich
Veta 5.
Kritérium kolmosti dvoch rovín
Dve roviny sú vzájomne kolmé práve vtedy, keď jedna z rovín obsahuje priamku
kolmú na druhú rovinu.
Definícia 4. Uhol priamky a roviny
Ak priamka nie je kolmá na rovinu, potom uhol tejto priamky a roviny je uhol, ktorý
priamka zviera so svojím kolmým priemetom do roviny.
Definícia 5. Vzdialenosť dvoch bodov A,B sa rovná dĺžke úsečky AB .
Definícia 6. Vzdialenosť dvoch základných geometrických útvarov sa rovná dĺžke
najkratšej úsečky s jedným krajným bodom v jednom a druhým krajným bodom
v druhom geometrickom útvare.
Podrobnejšie:
U1
2.kapitola – Planimetria. Doplnky ku stredoškolskej látke. str.17-30
4.kapitola – Základné pojmy a úlohy priestorovej geometrie. Str.60-99
KG1. str.5-6.
W.
Sprievodca stredoškolskou matematikou, Kapitola VIII., IX. a XI.
3
Kužeľosečky
Vytvorenie regulárnej a singulárnej kužeľosečky ako rezovej krivky na rotačnej
kužeľovej ploche, klasifikácia kužeľosečiek. Ohniskové definície regulárnych
kužeľosečiek a bodové konštrukcie kužeľosečiek vyplývajúce z týchto definícií.
Rovnice kužeľosečiek (implicitné a parametrické). Niektoré špeciálne konštrukcie –
Rytzova konštrukcia elipsy určenej združenými priemermi, prúžková konštrukcia
elipsy, konštrukcia paraboly určenej osou, vrcholom a dotyčnicou, resp. osou
vrcholom a ďalším jej bodom, resp. dvoma dotyčnicami s dotykovými bodmi,
konštrukcia hyperboly určenej asymptotami a jedným jej bodom.
Literatúra: Urban A.: Deskriptivní geometrie I.,3.kapitola – Kuželosečky, 8. kapitola –
Rovnoběžný prúmět kružnice (Elipsa jako afinní obraz kružnice).
Skriptá – Záň S., Petrík M.: Konštruktívna geometria I., 3.kapitola – Dodatok.
Stachová: Inžinierska geometria 4.kapitola Analytické vyjadrenia kužeľosečiek.
-Wisztová a kol.: Sprievodca stredoškolskou matematikou kapitola X.
Elipsa je množina práve tých bodov M v rovine, ktoré majú od dvoch pevných
(rôznych) bodov F,G roviny konštantný súčet vzdialeností;
 =(F,G,2a)
  {M  E2 ; MF  MG  2a}
F,G......ohniská elipsy 
Bodová konštrukcia elipsy  =(F,G,2a)
1
s, 2 s sú sprievodiče bodu M
M   , 1s  MF , 2 s  MG
FG = 1o ......hlavná os elipsy
Stred S úsečky FG......stred elipsy
os 2 o úsečky FG......vedľajšia os elipsy
FS  GS  e ...... excentricita (lineárna výstrednosť) elipsy
A, B  1o, AS  BS  a ......hlavné vrcholy elipsy
a .....veľkosť hlavnej polosi
C, D  2o, CF  CG  DF  DG  a ......vedľajšie vrcholy elipsy
CS  DS  b ......veľkosť vedľajšej polosi
4
a 2  b2  e2 ......charakteristická identita elipsy
Oskulačné kružnice elipsy v jej vrcholoch A, B, C, D
k   AS ; A r  , k   B S ; B r  ,
A
r  Br ,
Trojuholníková konštrukcia elipsy
k   C S; C r  , k   DS; Dr  ,
C
r  Dr
Prúžková rozdielová konštrukcia elipsy
- Parametrické rovnice elipsy
- Rovnica elipsy so stredom v bode S=(0;0) a osami 1o, 2 o totožnými s osami
súradnicovej sústavy:
x2 y 2
x2 y 2

1

1
b2 a 2
a 2 b2
5
- Rovnica elipsy so stredom v bode S=(m;n) a osami 1o, 2 o rovnobežnými s osami
súradnicovej sústavy:
2
2
2
2
 x  m  y  n
 x  m  y  n


1
1
b2
a2
b2
a2
Tetiva a priemer kružnice
Tetiva a priemer elipsy
Združené priemery elipsy
Ak pre dvojicu priemerov v elipse (v kružnici) platí: dotyčnice v krajných bodoch
jedného priemeru sú rovnobežné s druhým priemerom, potom takúto dvojicu
priemerov nazveme združené priemery.
6
Elipsa je dvojicou svojich združených priemerov jednoznačne určená;
  ( KL, NM )
Úloha:
Nájdite hlavné a vedľajšie vrcholy elipsy   ( KL, NM ) určenej združenými priemermi
KL, MN .
Riešenie: Rytzova konštrukcia
7
Hyperbola je množina práve tých bodov M v rovine, ktoré majú od dvoch pevných
rôznych bodov F,G roviny konštantnú absolútnu hodnotu rozdielu vzdialeností;
 =(F,G,2a);
  {M  E2 ; MF  MG  2a}
F,G.....ohniská hyperboly 
Bodová konštrukcia hyperboly  =(F,G,2a)
M   , 1s  MF , 2 s  MG ...... 1s, 2 s sú sprievodiče bodu M
FG = 1o ......hlavná os hyperboly
stred S úsečky FG......stred hyperboly
os 2 o úsečky FG......vedľajšia os hyperboly
FS  GS  e ......excentricita
A, B  1o, AS  BS  a ......hlavné vrcholy hyperboly
a ......veľkosť hlavnej polosi
t A , t B ......dotyčnice hyperboly v jej hlavných vrcholoch
ohnisková kružnica hyperboly...... f  (S , r  e)
 E, E  f  t ,  E, E  f  t
1
2
A
3
4
B
......priesečníky kružnice f s dotyčnicami t A , t B
obdĺžnik 1E 2 E 3E 4 E ......charakteristický obdĺžnik hyperboly
asymptoty hyperboly sú uhlopriečky charakterist. obdĺžnika...... u  1E 3E, v  2 E 4 E
e2  a 2  b2 .....charakteristická identita hyperboly
C, D  2o, CS  DS  b ......vedľajšie vrcholy hyperboly (nie sú to body hyperboly)
b ......veľkosť vedľajšej polosi
Oskulačné kružnice hyperboly v jej hlavných vrcholoch A, B
k   AS ; A r  , k   B S ; B r  , A r  B r
8
Rovnica hyperboly so stredom v bode S=(0;0) a osami 1o, 2 o totožnými s osami
súradnicovej sústavy:
x2 y 2
x2 y 2




1
1
a 2 b2
b2 a 2
Rovnica hyperboly so stredom v bode S=(m;n) a osami 1o, 2 o rovnobežnými
s osami súradnicovej sústavy:
2
2
2
2
 x  m  y  n
 x  m  y  n



1
1
a2
b2
b2
a2
Úloha:
Nájdite hlavné a vedľajšie vrcholy hyperboly   (u, v, M ) , určenej
asymptotami u,v a jedným jej bodom
9
Parabola je množina práve tých bodov M v rovine, ktoré majú od pevného bodu F
a od pevnej priamky d roviny rovnakú vzdialenosť.
  (F , d )
F ohnisko paraboly 
  {M  E2 ; MF  Md }
d direkčná priamka paraboly 
M   , 1s  MF a 2 s o, M  2 s
1
s, 2 s sú sprievodiče bodu M
Bodová konštrukcia paraboly   ( F , d )
o  d, F  o ,
o je os paraboly
V  o, VF  Vd ,V vrchol paraboly
p  Fd
parameter paraboly
Oskulačná kružnica paraboly v jej vrchole V je kružnica k
k   V S ; r  p  , kde V S  o, V SV  p
- Rovnica paraboly s vrcholom v bode V=(0;0) a s osou o
v súradnicovej osi x-ovej
v súradnicovej osi y-ovej
2
2
y  2 px , resp. y  2 px
x 2  2 py , resp. x 2  2 py
10
Rovnica paraboly s vrcholom v bode V=(m;n) a s osou o rovnobežnou so
súradnicovou osou x
súradnicovou osou y
2
2
 y  n   2 p( x  m)
 x  m  2 p( y  n)
 y  n
2
 x  m
 2 p( x  m)
2
 2 p( y  n)
Subtangenta a subnormála paraboly   (d , F ) v jej ľubovoľnom bode T
KT  t ... tangenta paraboly jej v bode T
KT1  o
subtangenta
n  t ... normála paraboly v jej bode T
LT1  o
subnormála
Vrchol paraboly je stredom každej jej subtangenty.
Každá subnormála paraboly   ( F , d ) má veľkosť jej parametra p  F , d .
Úloha: Nájdite vrchol V a ohnisko F paraboly   (o, t (T )) , určenej osou o
a dotyčnicou t(T) s dotykovým bodom T.
11
Dotyčnica v bode regulárnej kužeľosečky
Dotyčnica v bode regulárnej kužeľosečky je priamka, ktorá má s kužeľosečkou
spoločný jediný bod (nazveme ho dotykový bod) a všetky ostatné body dotyčnice sú
vonkajšími bodmi kužeľosečky.
Dotyčnica v bode T kružnice je priamka kolmá na priemer, ktorý prechádza bodom
T.
Dotyčnica v bode T elipsy, (resp. paraboly, resp. hyperboly) je osou vonkajšieho
uhla sprievodičov bodu T.
Normála v bode T elipsy, (kružnice, resp. paraboly, resp. hyperboly) je kolmica na jej
dotyčnicu v bode T.
Normála v bode T elipsy, (resp. paraboly, resp. hyperboly) je osou vnútorného uhla
sprievodičov bodu T.
12
Download

Opakovanie stredoškolskej geometrie