0.1
0.1.1
Aproximácia metódou najmenších štvorcov
(diskrétny variant)
Úvod
,
V tejto µcasti sa budeme zaoberat aproximáciou funkcií, a to konkrétne aprox,
imáciou metódou najmenších štvorcov. V prvom rade bude dôleµzité ozrejmit
pojem aproximácie.
,
Aproximáciou funkcie budeme mat na mysli nahradenie funkcie inou funkciou,
,
,
ktorej vzdialenost od pôvodnej funkcie je minimálna. Abstraktnost pojmu
,
"minimálna vzdialenost dvoch funkcií"nahradíme poµziadavkou, aby odchýlky
od pôvodnej funkcie boli celkovo (!) minimálne. V istom zmysle môµzeme hov,
orit aj o akomsi "priblíµzení".
,
Vo všeobecnej praxi µcasto ani nie je nutné, aby nami hl adaná krivka prechádza,
la všetkými bodmi pôvodnej funkcie, nakol ko sa µcasto jedná o hodnoty funkcie
,
poznaµcené µci uµz chybou merania, alebo inak znehodnotené, a teda hl adaná kriv,
ka má do istej miery iba vystihovat charakter hodnôt (funkcie).
0.1.2
Aproximácia metódou najmenších štvorcov
,
Máme dané dvojice bodov [xi ; yi ], i = 0; 1; : : : ; n. Hl adáme teda polynóm mtého stupµna tvaru
pm (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + : : : + am xm =
m
X
aj xj :
j=0
,
,
Tu by sme sa chceli pozastavit a zdôraznit, µze stupeµn polynómu m je väµcšinou
podstatne menší ako poµcet bodov n, ktorými tento polynóm prekladáme. Ak
by bol poµcet bodov rovnaký ako stupeµn polynómu išlo by zrejme o interpoláciu,
tj. tvoma bodmi preloµzím a "najlepšie" polynóm druhého stupµna (parabolou)
,
,
,
tak, µze bude týmito bodmi prechádzat. (vid µcast o interpolácii, konkrétne
Vandermontova matica)
Poµzadujeme, aby suma odchýlok nášho polynómu od daných hodnôt (danej
funkcie) bola minimálna, tj.
E=
n
X
i
=
i=0
n
X
i=0
jpm (xi )
yi j ! min :
,
,
Nakol ko absolútnu hodnotu nevieme derivovat nahradíme ju druhou mocninou
,
rozdielu, ktorá má vel mi podobné vlastnosti (tj., je kladná a de…nuje mieru
rozdielu hodnôt)
E=
n
X
i=0
2
i
=
n
X
(pm (xi )
i=0
1
2
yi ) ! min :
Pm
,
Dosadíme nami hl adaný polynóm, tj. pm (x) = j=0 aj xj
E=
n
X
2
i
=
i=0
n X
m
X
2
aj xji
yi
:
i=0 j=0
,
Táto suma je funkciou koe…cientov hl adaného polynómu a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; am : Minimálna bude táto suma v prípade, µze bude prvá derivácia rovná nule
@E
:
@ak
Upravíme
@E
@ak
=
=
0
n m
@ @X X
aj xji
@ak i=0 j=0
n X
m
X
2 aj xji
i=0 j=0
=
2
m X
n
X
aj xj+k
i
j=0 i=0
yi
2
yi
1
A=
n X
m
X
@
aj xji
@a
k
i=0 j=0
2
yi
m
n X
X
@
aj xji yi =
2 aj xji yi xki =
@ak
i=0 j=0
0
1
m
n
n
X X j+k X
yi xki = 2 @
aj
xi
yi xki A = 0:
j=0
i=0
i=0
,
Zavedieme oznaµcenie (dúfam, µze µcitatel a nie)
Sk
=
n
X
xki ;
i=0
Tk
=
n
X
yi xki ;
i=0
a dostávame
m
X
aj Sj+k
Tk = 0:
j=0
µ je v podstate systém lineárnych rovníc
Co
S0 a0 +
S1 a0 +
=
S1 a1 + : : : + Sm am
S2 a1 + : : : + Sm+1 am
= T0 ;
= T1 ;
:::
= Tm :
Sm a0 + Sm+1 a1 + : : : + S2m am
,
Maticovo môµzeme tento systém zapísat v tvare
0
1 0
1 0
S0
S1
Sm
a0
T0
B S1
C
B
C
B
S
S
a
2
m+1 C B
1 C
B
B T1
=B .
B ..
C
B
C
..
.
.
.
..
..
@ .
A @ .. A @ ..
.
Sm Sm+1
S2m
am
Tm
2
1
C
C
C:
A
Riešením tohto systému lineárnych rovníc získame koe…cienty a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; am
polynómu, ktorým "prekladáme"dané hodnoty.
Poznámka 1 Pre polynóm 1. stupµna (priamka) má systém nasledujúci tvar
a0 (n + 1) + a1
a0
n
X
xi + a1
i=0
n
X
i=0
n
X
xi
x2i
=
=
i=0
n
X
i=0
n
X
yi ;
yi xi :
i=0
Poznámka 2 Pre polynóm 2. stupµna (pparabola) má systém nasledujúci tvar
a0 (n + 1) + a1
a0
a0
n
X
i=0
n
X
xi + a1
x2i + a1
i=0
n
X
i=0
n
X
i=0
n
X
xi + a2
x2i + a2
x3i + a2
i=0
n
X
i=0
n
X
i=0
n
X
x2i
=
x3i
=
x4i
=
i=0
n
X
i=0
n
X
i=0
n
X
yi ;
yi xi ;
yi x2i :
i=0
Príklad 1 Preloµzme bodmi [1; 0], [2; 0], [3; 4], [4; 5], [5; 4] a [6; 5] parabolu
Soloution:
i
0
1
2
3
4
P5
=
xi
1
2
3
4
5
6
21
yi
0
0
4
5
4
5
18
x2i
1
4
9
16
25
36
91
x3i
1
8
27
64
125
216
441
x4i
1
16
81
256
625
1296
2275
yi xi
0
0
12
20
20
30
82
yi x2i
0
0
36
80
100
180
396
To znamená, µze riešime sústavu
6a0 + 21a1 + 91a2
21a0 + 91a1 + 441a2
91a0 + 441a1 + 2275a2
V maticovom zápise
0
6
@ 21
91
21
91
441
=
=
=
18;
82;
396:
1 0
1 0
1
91
a0
18
441 A @ a1 A = @ 82 A :
2275
a2
396
3
Sústavu riešime Cramerovým pravidlom:
0
1
6
21
91
441 A = 3920;
D = det @ 21 91
91 441 2275
0
1
18
21
91
91
441 A = 12 936;
D1 = det @ 82
396 441 2275
0
1
6
18
91
441 A = 11 606;
D2 = det @ 21 82
91 396 2275
0
1
6
21
18
82 A = 1050;
D3 = det @ 21 91
91 441 396
a teda
12 936
D1
=
= 3: 3;
a0 =
D
3920
D2
11 606
a1 =
=
= 2: 960 7;
D
3920
D3
1050
a2 =
=
= 0:267 86:
D
3920
,
Hl adaný polynóm má tvar
p2 (x) =
0:26785 x2 :
3:30000 + 2:96071 x
Príklad 2 Zakreslite do nasledujúceho grafu zadané body.
y
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
-1
Graf funkcie
3:30000 + 2:96071 x
4
0:26785 x2 :
6
x
Download

º Metóda najmenších štvorcov