Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Fakulta metalurgie a materiálového inženýrství
FYZIKA PEVNÝCH LÁTEK
(FYZIKA TUHÝCH LÁTOK)
studijní opora
Pavol Koštial
Ostrava 2013
Recenze: prof. RNDr. Ivan Baják, DrSc.
Název:
Autor:
Vydání:
Počet stran:
Fyzika pevných látek
prof. RNDr. Pavol Koštial, Ph.D.
první, 2013
133
Studijní materiály pro studijní program Materiálové inženýrství Fakulty metalurgie a
materiálového inženýrství.
Jazyková korektura: nebyla provedena.
Studijní opora vznikla v rámci projektu:
Název: ModIn - Modulární inovace bakalářských a navazujících magisterských programů na
Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství VŠB - TU Ostrava
Číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0304
© Pavol Koštial
© VŠB – Technická univerzita Ostrava
ISBN 978-80-248-3374-3
Fyzika tuhých látok
POKYNY KU ŠTÚDIU
Fyzika tuhých látok
Pre predmet 5. semestrazískavate študijný balík obsahujúci integrované skriptum pre
kombinované štúdium obsahujúci i pokyny na štúdium.
Prerekvizity
Pre štúdium tohto predmetu sa predpokladá absolvovanie predmetovFyzika a Náuka
o materiáli.
Cieľom predmetu a výstupy z učenia
Tento text slúži ako základný orientačný materiál pre štúdium predmetu Fyzika tuhých
látok pre druhý stupeň vysokoškolského vzdelávania. Obsahuje prehľad pojmov z predmetu
štúdia, ale nie je klasickou učebnicou. Zväčša neobsahuje tzv. „odvodzovačky“, ktoré sú
bežné v štandardných kurzoch tuhých látok, ale snažili sme sa prezentovať základné
myšlienky z danej problematiky a sústredili sme sa na ich analýzu. Materiál je tiež spestrený
radom obrázkov, ktoré by mali zvýšiť jeho zrozumiteľnosť. Pre hlbšie znalosti je ovšem
potrebné siahnuť po klasických učebniciach ako je napríklad Úvod do fyziky pevných látek
od CharlesaKittela (Académia, Praha 1985), alebo podobných učebníc. Za týmto účelom sú
v texte zaradené aj základy kvantovej mechaniky a štatistickej fyziky, ktoré umožnia
študentovi
hlbšie
vniknutie
do
problematiky.
Text
obsahuje
poznatky
ako
fenomenologického charakteru, tak aj mikroštrukturálny pohľad na problematiku vlastností
materiálov. Sú tu uvedené poznatky z vplyvu anizotropie materiálov na mechanické a optické
vlastnosti materiálov, ďalej sú popísané viskózne elastické vlastnosti, tepelné vlastnosti,
dielektrické vlastnosti a elektrické vlastnosti materiálov.
Pre koho je predmet určený
Predmet je zaradený do magisterského štúdia a študijná opora sa delí na časti, kapitoly, ktoré
odpovedajú logickému deleniu študovanej látky, ale nie sú rovnako rozsiahle. Predpokladaná
doba na štúdium kapitoly sa môže výrazne líšiť, preto sú veľké kapitoly delené ďalej na
číslované podkapitoly a im odpovedá nižšie popísaná štruktúra. Materiál je vhodný pre
študentov so zameraním na Materiálové inžinierstvo, Diagnostiku materiálov, Chémiu, ale aj
iných záujemcov z technických odborov.
3
Fyzika tuhých látok
Pri štúdiu každej kapitoly odporúčame nasledujúcí postup:
Na úvod kapitoly je uvedený čas potrebný na preštudovanie látky. Čas je však len
orientačný.Ďalej sú uvedené ciele, ktoré má študent dosiahnuť po preštudovaní tejto kapitoly
a konkrétne znalosti. Nasleduje vlastný výklad študovanej látky, zavedenie nových
pojmov,ich vysvetlenie, pričom všetko je sprevádzané obrázkami a tabuľkami.Na záver
každej kapitoly sú zopakované hlavné pojmy, ktoré si v nej má študent osvojiť. Pre overenie,
či dobre a úplne látku kapitoly zvládol, má študent uvedených v závere niekoľko teoretických
otázok.
Spôsob komunikácie s vyučujúcim:
Prvý kontakt študenta s vyučujúcim je realizovaný počas konzultácií kombinovaného štúdia.
Ak bude potrebovať študent ďalšie doplnenie poznatkov, tieto je možné realizovať osobnou
konzultáciou s vyučujúcim, resp. internetom.
Prof. RNDr.Pavel Koštial, CSc.
email:[email protected]
tel. +420597324498
4
Fyzika tuhých látok
OBSAH
1.POPIS VLASTNOSTÍ ANIZOTROPNÝCH MATERIÁLOV
POMOCOU TENZOROV .................................................................................. 6
2. ZÁKLADY ŠTATISTICKEJ FYZIKY A KVANTOVEJ
MECHANIKY ................................................................................................... 28
3. VISKÓZNE A VISKÓZNE-ELASTICKÉ SPRÁVANIE SA
MATERIÁLOV ................................................................................................. 43
4. TEPELNÉ VLASTNOSTI TUHÝCH LÁTOK ....................................... 74
5.DIELEKTRICKÉ VLASTNOSTI TUHÝCH LÁTOK ............................. 87
6.ELEKTRICKÉ VLASTNOSTI TUHÝCH LÁTOK ................................ 112
5
Fyzika tuhých látok
1.Popis vlastností anizotropných materiálov pomocou tenzorov
Čas na štúdium: 5 hodin
Cieľ
Po preštudovaní kapitoly
 budete oboznámení s tenzorovým popisom anizotropných vlastností
materiálov
 naučíte sa základom tenzorového počtu v aplikáciách na materiály
 zoznámite
sa
s výpočtami
konkrétnych
fyzikálnych
veličín
v anizotropných materiáloch
 naučíte se chápať vzťah medzi štrukturou materiálu a jej matematickým
opisom
 pochopíte vzťahy medzi popisom izotropných a anizotropných
materiálov
Výklad
1.1.Transformácie súradníc
Pojem hmotného bodu, ktorého poloha v priestore je určená polohovým vektorom r,
patrí medzi základné pojmy klasickej mechaniky. Prvá derivácia polohového vektora podľa
času určuje rýchlosť a druhá derivácia zrýchlenie hmotného bodu.
V prípade sústavy N hmotných bodov je počet súradníc determinujúci polohu takejto
sústavy rovný 3N. Ak ide o nezávislé hmotné body, potom aj počet stupňov voľnosti je
takisto 3N.
Zo základného kurzu fyziky vieme, že poloha hmotného bodu sa vždy určuje s
ohľadom na zvolenú vzťažnú sústavu. Táto sústava umožňuje popisovať polohu hmotného
bodu vo všeobecnosti N nezávislými veličinami qi, (i=1,2,..N), ktoré charakterizujú polohu
sústavy s N stupňami voľnosti a nazývame ich zovšeobecnené súradnice.
6
Fyzika tuhých látok
Ich prvé derivácie podľa času potom nazývame zovšeobecnenými rýchlosťami a druhé
derivácie zovšeobecnenými zrýchleniami.
Plné určenie mechanickej sústavy vyžaduje poznať N zovšeobecnených súradníc a N
zovšeobecnených rýchlostí.
Príkladom takýchto zovšeobecnených súradníc môžu byť polárne súradnice
r a ,
vhodné napríklad na popis pohybu hmotného bodu po kružnici.
Pohyb mechanickej sústavy je určený pohybovými rovnicami ako diferenciálnymi
reláciami
medzi
súradnicami
a
rýchlosťami.
Pohybové
rovnice
vyjadrené
v
zovšeobecnených súradniciach majú tiež zovšeobecnený tvar.
Zo základného kurzu fyziky vieme, že rozlišujeme skalárne fyzikálne veličiny (tiež
nazývané tenzory nultého poriadku), ktoré sú úplne určené zadaním čísla (skalárnej
hodnoty), ktorá je nezávislá od výberu súradnicovej sústavy. Matematicky to môžeme
v trojrozmernom priestore vyjadriť skalárnou funkciou súradníc f(x1, x2, x3), ktorá je
invariantná voči transformáciám súradnicových osí, a teda platí f(x1, x2, x3) = f(x1‘, x2‘, x3‘).
Patria sem fyzikálne veličiny ako hmotnosť, hustota, teplota a ďalšie.
Na rozdiel od nich existujú aj vektorové veličiny (tiež nazývané tenzory prvého
poriadku). Ak určíme vhodnú súradnicovú sústavu, ktorá podlieha transformačným
pravidlám (pozri ďalej vzťahy 1.13, 1.14), potom je vektor plne určený zadaním hodnôt jeho
zložiek v smere týchto súradnicových osí.
Vektor teda chápeme aj ako usporiadanú trojicu (vo všeobecnosti n-ticu) skalárnych
hodnôt - súradníc vektora vo zvolenom súradnicovom systéme. Medzi vektorové fyzikálne
veličiny patria zrýchlenie, sila, atď.
Vektorom
je aj trojica parciálnych derivácií skalárnej funkcie f(x1, x2, x3), ktorý
nazývame gradientom skalárnej funkcie, pretože
f f  x k
.

.
 x i'  x k  x i'
1.1
Zložky gradientu v novej sústave sa vyjadrujú cez komponenty f / xk , v starej sústave
pomocou koeficientov xk / xi’.
Zo vzťahového hľadiska môžeme teda skalárnu veličinu chápať aj ako matematický
objekt sprostredkujúci násobenie vektora číslom. Toto tvrdenie lepšie pochopíme, ak si
vezmeme ako príklad Ohmov zákon v zovšeobecnenom tvare. Vzťah medzi vektorom
prúdovej hustoty i a vektorom intenzity elektrického poľa E je daný známym vzťahom
i =  E.
1.2
7
Fyzika tuhých látok
Pre zložky vektora prúdovej hustoty potom platia vzťahy
i 1  E 1, i 2  E 2 , i 3  E 3
1.3
a merná elektrická vodivosť  je v tomto prípade (za daných fyzikálnych podmienok)
skalárna veličina. Z matematického hľadiska ide teda skutočne
o násobenie vektora
intenzity elektrického poľa číslom.
Iná je však situácia, ak materiál je anizotropný. Vtedy vektor elektrickej intenzity nie je
kolineárny s vektorom prúdovej hustoty ako v predchádzajúcom prípade a zložky vektora
prúdovej hustoty sú určené ako lineárne kombinácie zložiek vektora elektrickej intenzity v
tvare
i 1   11 E 1   12 E 2   13 E 3 ,
i 2   21 E 1   22 E 2   23 E 3 ,
1.4
i 3   31 E 1   32 E 2   33 E 3.
Je jasné, že aj merná elektrická vodivosť už nie je skalárnou veličinou, ale každá z
hodnôt ij má svoj špecifický fyzikálny význam.
Ak je elektrické pole aplikované v smere osi x1, potom vektor intenzity elektrického
poľa má zložky
E = (E1,0,0)
1.5
a vektor prúdovej hustoty bude mať zložky
i 1  11E 1; i 2  21E 1; i 3  31E 1 .
1.6
Význam zložiek vektora prúdovej hustoty je vidieť na obrázku 1.1.
Obrázok 1.1. Význam zložiek vektora prúdovej hustoty
8
Fyzika tuhých látok
Elektrická vodivosť je teda v prípade anizotropného kryštalického
materiálu určená
všeobecne deviatimi nezávislými zložkami, ktoré tvoria tenzor druhého poriadku (nazvaný
podľa počtu indexov zložiek), ktorý zapisujeme v tvare matice
 11  12

 21  22
 31  32
 13 
 23  .
 33 
1.7
Na tenzor druhého poriadku sa môžeme pozerať
ako na matematický objekt
(operátor), ktorý jednoznačne definuje vzťah medzi dvomi vektorovými veličinami.
Neskôr si ukážeme, že tenzor štvrtého poriadku určuje funkčný vzťah medzi dvoma tenzormi
druhého poriadku.
Rovnice 1.3, ktoré vyjadrujú závislosť vektora prúdovej hustoty od intenzity elektrického
poľa, môžeme zapísať aj v skrátenom tvare
3
i i    ijE j , j1,2,3, i1,2,3
1.8
j1
alebo
ii ijE j i,j1,2,3,
1.9
pričom sme použili tzv. Einsteinove sumačné pravidlo, podľa ktorého sčitujeme vždy podľa
indexu, ktorý sa opakuje dvakrát. V tomto prípade je to index j, ktorý nazývame aj
sumačným indexom. Index i nazývame voľným indexom.
Veľakrát sa pri riešení fyzikálnych úloh stretávame s problémom, že je potrebné prejsť
od jedného súradnicového systému (súvisiaceho napríklad
s kryštalografickou
orientáciou) k súradnicovému systému pracovnému, v ktorom je úloha riešená (napr.
dynamika šírenia sa elastických vĺn v kryštáli v určenom smere a v danej rovine). Časť z
týchto určite zaujímavých problémov sa tu pokúsime objasniť.
Prv než pristúpime k štúdiu problematiky transformácií, definujeme si základné
pravidlo, ktoré musí byť splnené bez ohľadu na to, o aký typ transformácie pôjde.
9
Fyzika tuhých látok
Pri prechode (transformácii) od jedného súradnicového systému k druhému, sa mení
len forma zápisu transformovanej veličiny, ale nie samotná transformovaná veličina.
Aby sme dodržali toto pravidlo, je potrebné definovať pravidlá transformácie, pri
ktorých budeme vychádzať z obrázku 1. 2.
Pri transformácii súradnicových osí
budeme predpokladať, že oba systémy majú
spoločný počiatok. Vzťahy medzi „starými“ a „novými“ osami sú určené
tabuľkou (maticou)
„Staré osi“
a 11
a 12
a 13
„Nové osi“ a 21 a 22
a 23
a 31 a 32
a 33
1.10
Prvý index v matici sa vzťahuje k „novým“ osiam a druhý k „starým“ osiam.
Obrázok 1.2. Transformácia súradnicových osí
Poznámka.

Z teórie transformácií vieme, že musia byť splnené tzv. vzťahy ortogonality, z ktorých
prvý môžeme zapísať v tvare (súčet kvadrátov smerových kosínusov sa rovná jednej)
10
Fyzika tuhých látok
2
2
2
a11
 a12
 a13
 1,
a 221  a 222  a 223  1,
2
2
2
a 31
 a 32
 a 33
 1.
V skrátenej forme môžeme tieto rovnice vyjadriť v tvare aika jk  1 pre i=j.

Druhá podmienka (ortogonalita ) je splnená, ak platia rovnice
a 21a 31  a 22 a 32  a 23 a 33  0,
a 31a11  a 32 a12  a 33 a13  0,
a11a 21  a12 a 22  a13 a 23  0.
Skrátený zápis rovníc bude mať tvar aika jk  0 pre i  j .
Prejdime ku konkrétnym transformáciám. Ako prvou sa budeme zaoberať
transformáciou vektora. Majme vektor p so zložkami p1, p2, p3. Zložky vektora p v nových
súradnicových osiach (čiarkovaných) budú dané ako projekcie zložiek p1, p2, p3 (chápaných
ako vektory v smere nečiarkovaných osí, pozri obrázok 1.3) prostredníctvom smerových
kosínusov v tvare
p1' =p 1cos(x 1 x1' ) + p 2 cos(x 2 x 1' ) + p 3 cos(x 3 x1' )
1.11
alebo
p1' a 11p 1  a 12 p 2  a 13 p 3 .
1.12
Využijúc Einsteinove sumačné pravidlo, 1.11 prepíšeme do tvaru
p i' a ij p j .
1.13
Pre inverznú transformáciu máme podobne
p i a ji p ,j .
1.14
Ak porovnáme oba transformačné vzťahy, vidíme, že poradie sumačných indexov sa vo
vzťahoch 1.14 a 1.13 líši. Pri priamej transformácii sú sumačné indexy vzájomne „bližšie“
ako pri inverznej.
11
Fyzika tuhých látok
Ľahko sa na základe predchádzajúceho výkladu presvedčíme o správnosti tvarov
nasledujúcich transformačných matíc.
Symetriu voči počiatku súradnicových osí určuje matica
1 0 0 


 SS  0  1 0  .
 0 0  1


1.15
Pre rovinu symetrie kolmú na os x3 platí
1 0 0 


 M X3   0 1 0  .
 0 0  1


1.16
Pootočenie súradnicovej sústavy o uhol 2 / 3 okolo diagonály kocky je určené maticou
 0 1 0


 111;2  3  0 0 1  .
 1 0 0


1.17
Pre pootočenia o uhol  okolo osí x1 a x2 platia transformačné matice
0
0 
1


 x 1;  0 cos sin 
 0  sin cos 


v tvaroch
1.18
a
 cos 0 sin 


 x 2 ;  0
1
0 .
  sin 0 cos 


12
Fyzika tuhých látok
Obrázok 1.3. Transformácia vektora
1.2.Vlastnosti tenzorov
V predchádzajúcej časti sme sa detailnejšie zaoberali problematikou tenzorov nultého
(skalárov) a prvého (vektorov) poriadku. V tejto časti sa budeme zaoberať tenzormi vyšších
poriadkov a matematickým aparátom, ktorý ich popisuje. Preskúmame najprv transformačné
vzťahy platné pre tenzory vyšších poriadkov. Transformáciu tenzora (zatiaľ ho chápme ako
matematický objekt sprostredkujúci funkčný vzťah medzi dvoma vektormi) si vysvetlíme na
všeobecnom príklade vektorov účinku u a príčiny p. Budeme postupovať podľa nasledujúcej
schémy
u’ u p p’.
1.19
Potom postupne dostávame
ui'  aik uk .
1.20
Ak použijeme k ako voľný index a l ako sumačný, potom v súlade s I.13 dostávame
uk = Tkl pl .
1.21
Analogicky teraz zameníme sumačný index l za voľný a máme
p l  a jl p 'j
1.22
alebo
ui'  aik uk  aik Tkl pl  aik Tkl a jl p 'j .
1.23
Po úprave dostávame vzťah
ui'  Tij' p 'j ,
1.24
13
Fyzika tuhých látok
kde
Tij'  aik a jl Tkl ,
1.25
ktorý nazývame transformačným vzťahom tenzora druhého poriadku.
Zdôrazňujeme, že v rovnici I.25 sú i, j voľné indexy a k,l sumačné indexy.
Je potrebné zvýrazniť jeden fakt, a to rozdiel medzi transformačnou maticou a zložkami
tenzoru  Tkl , ktoré reprezentujú nejakú fyzikálnu veličinu. Pri ich matematickom vyjadrení
v oboch prípadoch ide po formálnej stránke o rovnaké matematické objekty obsahujúce
deväť členov (ak uvažujeme tenzor druhého poriadku). To je ale aj jediná podobnosť.
Matica transformačných koeficientov (aij) nie je fyzikálna veličina, zakiaľ súbor
komponentov Tkl tvoriacich tenzor  Tkl  ňou je.
Na základe tohoto tvrdenia je možné vysloviť aj nasledovnú definíciu tenzora.
Ak v ľubovoľnom súradnicovom systéme deväť koeficientov Tkl (charakterizujúcich
nejakú fyzikálnu veličinu) lineárne viaže zložky vektorov p
a u, potom pri prechode od
jednej sústavy k druhej sa zložky tenzora [ Tkl ] transformujú v súlade s rovnicou 1.25 a tieto
zložky tvoria tenzor druhého poriadku.
Všeobecne môžeme konštatovať, že tenzorom poriadku r je operátor, ktorý tvorí súbor 3r
'
 il jm nk ..A ....lmn.. .
konštánt, majúcich r indexov, ktorý sa transformuje podľa vzťahu A ...ijk..
Objasníme si teraz geometrickú interpretáciu tenzora druhého poriadku.
Za týmto
účelom analyzujme rovnicu kvadriky v tvare
Sij x i x j  1,
1.26
kde Sij budeme považovať za zložky tenzora  Sij .
Ak rozpíšeme rovnicu 1.26 do zložiek, dostávame
S11 x 12  S12 x 1 x 2  S13 x 1 x 3  S 21 x 2 x 1  S 22 x 22 
 S 23 x 2 x 3  S 31 x 3 x 1  S 32 x 3 x 2  S 33 x 32  1.
1.27
Poznámka:
Symetrickým (antisymetrickým)
platí znamienko mínus) tenzorom rozumieme
tenzor, ktorého zložky spĺňajú rovnicu Sij = Sji.
Ak predpokladáme, že tenzor je symetrický, dostávame
14
Fyzika tuhých látok
S11 x12  S 22 x 22  S33 x 32  2S23 x 2 x 3  2S31 x 3 x1  2S12 x1 x 2  1.
1.28
Ak tento vzťah porovnáme s transformačným vzťahom pre tenzor 2.7, vidíme, že ako
kvadrika,
tak
aj
symerický
tenzor
druhého
poriadku,
podliehajú
rovnakým
transformačným vzťahom.
Charakteristická plocha, určená kvadrikou 1.27, je charakteristickou plochou
symetrického tenzora  Sij .
Je dôležité poznamenať, že kvadrika má hlavné osi, ktoré sú navzájom kolmé.
Rovnicu kvadriky je možné upraviť na zjednodušený tvar (ak hlavné osi kvadriky sú totožné
so zvoleným súradnicovým systémom)
S1 x12  S 2 x 22  S3 x 32  1.
1.29
Ak rovnicu kvadriky porovnáme s charakteristickou rovnicou kvadratickej plochy
x 12 x 22 x 32


 1,
a2 b2 c 2
1.30
dostávame pre hlavné poloosi kvadratickej plochy hodnoty
1
S1
,
1
S2
,
1
S3
,
1.31
kde Si sú diagonálne zložky tenzora  Sij .
Ak sú všetky zložky Si kladné, potom charakteristická plocha je elipsoid, ak sú dva
koeficienty kladné a jeden záporný, potom plocha je jednoosový hyperboloid, ak sú dva
koeficienty záporné a jeden kladný, charakteristická plocha je dvojosový hyperboloid (pozri
obrázok 1.4).
Obrázok 1.4. Elipsoid (a), jednoosový hyperboloid (b), dvojosový hyperboloid (c)
15
Fyzika tuhých látok
Sij   ij  0.
1.32
 ij je Kroneckerov symbol. Tri korene  určujú hlavné osi charakteristickej plochy a dá sa
ukázať, že všetky tri hlavné osi sú vzájomne ortogonálne, a že platí
’= S1, ’’= S2,
’’’= S3.
Veličiny  nazývame aj vlastnými hodnotami tenzora  Sij .
Súčet vlastných hodnôt tenzora  Sij  je jeho invariantom.
Vektory určené rovnicou 1.33 sa nazývajú vlastné vektory tenzora  Sij . Vlastné
hodnoty tenzora  Sij  sú reálne a smery, ktoré tieto hodnoty určujú, sú vzájomne
ortogonálne.
Z praktického hľadiska často potrebujeme nájsť hodnotu tenzorovej veličiny v danom
smere. Podľa toho, voči akému súradnicovému systému budeme tento problém riešiť,
rozoznávame dva prípady, ktoré opäť budeme prezentovať na tenzore elektrickej vodivosti.
1.Nech smerové kosínusy l1, l2, l3 určujú vybraný smer elektrickej vodivosti. Ak je
elektrické pole orientované v tomto smere, potom ho môžeme vyjadriť v tvare
E  l1E,l 2E,l3E . Pre prúdovú hustotu potom platí i  1l1E,  2l 2E,  3l3E . Komponent
prúdovej hustoty premietnutý do smeru E bude i   l12 1E  l 22  2E  l32  3E . Potom hodnota
mernej elektrickej vodivosti v smere li bude   l12 1  l 22  2  l32  3 .
2. Nech súradnicový systém je orientovaný ľubovoľne voči hlavným osiam tenzora
elektrickej vodivosti..
Nech li sú smerové kosínusy s ohľadom na ľubovoľný súradnicový systém,
a teda
platí Ei  E.li . Zložka prúdovej hustoty i v smere E bude i E / E alebo v tenzorovom zápise
 ijE jE i
iE
i iE i
. Pre elektrickú vodivosť potom dostávame   i 2 i 
, resp.   ijli l j .
E
E
E2
1.3. Tenzor napätia
Pôsobenie týchto síl sme mlčky chápali ako „bodové“. V skutočnosti reálne sily
pôsobia na určitej ploche, a tak už nehovoríme o sile, ale o mechanickom napätí, ktoré
vyvoláva deformáciu. V základnom kurze fyziky ste už analyzovali aj tieto pojmy, ale pre
izotropné teleso.
16
Fyzika tuhých látok
Vychádzalo a z konštatovaní, že „mechanické napätie je v celom telese homogénne“, „
všetky častice telesa sú v štatistickej rovnováhe“, „objemové sily
a objemové momenty sú
zanedbateľné“. Teraz si náš obzor rozšírime o komplexný pohľad na uvedenú problematiku.
Budeme vychádzať z obrázku 1.5, na ktorom je zobrazená jednotková kocka.
Obrázok 1.5. Rozloženie napätí v homogénne napätej tuhej látke
Z obrázku je zrejmé, že komponenty tenzora deformácie [Tij] sú kladné, keď ide o
napätia spôsobujúce dilatáciu tuhého telesa a záporné, ak tieto napätia spôsobujú kontrakciu.
Je tiež vidieť, že diagonálne zložky tenzora napätia T11, T22, T33 predstavujú normálové
komponenty napätia a zložky Tij pre i  j tangenciálne komponenty.
Vráťme sa však k samotnej definícii pojmu mechanického napätia. Budeme vychádzať z
obrázku I.6.
Na element plochy S2, ktorého normála je rovnobežná s osou x2, pôsobia napätia T12, T22,
T32, pričom napríklad T12 je definované vzťahom
 F 
T12  lim  1 
S 2 0 S
2 

1.33
alebo všeobecne
 Fi
Tik  lim 
Sk 0 S
k


 .

1.34
17
Fyzika tuhých látok
Obrázok 1.6. Definícia pojmu mechanického napätia. Element povrchu je
kolmý na súradnicovú os (a). Ľubovoľne orientovaný element
plochy (b).
Tik reprezentuje i – tý komponent sily pôsobiacej na jednotku povrchu kolmého k osi xk .
Zrejme okolité prostredie na základe zákona akcie a reakcie bude pôsobiť rovnako veľkou,
ale opačne orientovanou silou.
Záverom si ešte uvedieme niektoré špeciálne prípady tenzora napätia. Pre jednoosové
napätie má tenzor napätia tvar
 T11 0 0
 0 0 0 .


 0 0 0
1.35
Pre dvojosové napätie bude platiť
 T11
 0

 0
0
T22
0
0
0 .
0
1.36
„Čisto“ šmykové napätie bude vyjadrené v tvare
 0
T
 12
 0
T12
0
0
0
0 .
0
1.37
Hydrostatický tlak p bude vyjadrený maticou
18
Fyzika tuhých látok
0
p 0
 0 p 0  .


 0
0 p
1.38
1.4. Tenzor deformácie
Tenzor deformácie popisuje „reakciu“ tuhého telesa na pôsobiace napätie.
V tejto
časti však budeme analyzovať aj iné procesy súvisiace so zmenou rozmerov telesa ako je
napríklad tepelná rozťažnosť. Naše úvahy začneme
s pomocou už známeho obrázku
1.7, ktorý popisuje deformáciu „jednostranne votknutej“ tyče v smere sily F.
Ak si vezmeme na tejto tyči úsek dĺžky s koncovými bodmi M a N, ktoré
Obrázok 1.7. Deformácia „jednostranne votknutej“ tyče pod vplyvom sily F
majú súradnice x a x + x, potom po deformácii pod vplyvom sily F dostávame
nové súradnice zmienených bodov v tvare x + u(x) a x + x + u(x +x), kde u(x) je spojitá
funkcia súradníc.
Relatívne predĺženie elementu MN je potom definované v blízkosti bodu M (teda pre
x  0) prvou deriváciou u podľa x v tvare
e  lim
x 0
u du
.

x dx
1.39
Zdôrazňujeme, že deformácia je bezrozmerná veličina. Z vyššie uvedeného výkladu
plynie, že pod vplyvom sily F by v tomto prípade malo dochádzať len
deformácii (pohybu atómov v smere pôsobiacej sily), ak neuvažujeme
k lineárnej
o zmene priemeru
tyče.
Skutočnosť je však zložitejšia a nie je nijakých fyzikálnych dôvodov, aby sa reálny
materiál takto správal. Pohyb atómov je závislý mimo iného aj od daného kryštalografického
systému a teda aj od typu chemických väzieb pôsobiacich medzi atómami.
Tenzor deformácie sa dá vyjadriť vzťahom
19
Fyzika tuhých látok
S ij 
1
2
 ui u j uk uk 

,


 x


x

x

x
i
i
j 
 j
1.40
Deväť zložiek Sij tvorí tenzor druhého poriadku [Sij], ktorý nazývame tenzorom deformácie.
Väčšinou sú deformácie malé a platí
1  u u j 
,
S ij   i 
2  x i x i 
1.41
pričom sme zanedbali výraz druhého poriadku
uk uk
x i x j
1.42
Táto aproximácia vedie potom k tzv. lineárnej teórii pružnosti, ale vo svojej podstate je
deformácia nelineárna.
Pozrime sa teraz na význam jednotlivých komponentov tenzora deformácie.
Vidieť, že e11 predstavuje predĺženie pripadajúce na jednotku dĺžky premietnuté na os
x1. Veličina e21 reprezentuje pootočenie proti smeru chodu hodinových ručiček.
Analogicky by sme dostali aj fyzikálny zmysel komponentu e12, ktorý reprezentuje
pootočenie toho istého elementu v smere hodinových ručičiek.
Ľubovoľný tenzor druhého poriadku je možné rozložiť na symetrickú
a
antisymetrickú časť v tvare eij  Sij  ij , kde tenzor
1
Sij  ( e ij  e ji )
2
1.43
reprezentuje deformáciu a tenzor
1
ij  ( e ij  e ji )
2
1.44
rotáciu.
V prípade trojrozmernej deformácie dostávame tenzor deformácie v tvare
1
1


e11
( e12  e 21 )
( e13  e 31 ) 

2
2
1

1
S ij   ( e12  e 21 )
e 22
( e 23  e 32 ) .
2
2

1(e  e ) 1(e  e )

e 33
31
23
32
 2 13

2
 
1.45
Diagonálne komponenty reprezentujú predĺženia tuhého telesa. V ľubovoľnom
súradnicovom systéme je relatívna zmena objemu  
20
dV '  dV
invariantom
dV
a platí
Fyzika tuhých látok
  S11  S 22  S33 .
1.46
Nediagonálne komponenty po deformácii voči pôvodnej polohe zvierajú uhol  / 2 2 S12. Zmena uhla medzi dvomi vzájomne kolmými úsečkami dxi, dxj je v dôsledku
šmykovej deformácie Sij teda rovná -2Sij .
Doteraz sme sa zaoberali zmenami dĺžky vzorky pod vplyvom mechanického napätia.
Zmeny dĺžky vzorky však môžu mať aj inú príčinu a tou môže byť napríklad tepelná
rozťažnosť.
Pri malých zmenách teploty môžeme deformáciu považovať za homogénnu a pre
tenzor deformácie môžeme písať
Sij   ij T .
1.47
ij sa nazývajú koeficientami teplotnej rozťažnosti. Poznamenávame, že ako
[ ij ],
tak aj [ Sij ] sú tenzormi druhého poriadku.
1.5. Tenzor elastických konštánt
V úlohách, ktoré budeme riešiť v rámci tohoto kurzu, budeme prepokladať, že
deformácie sú malé (pružné) a je ich možné popísať členom prvého poriadku
v Taylorovom
rozvoji, ako to plynie zo vzťahu
  Tij 
Tij Skl   Tij  0  
Skl 

  Skl  S  0
kl
2
1   Tij 
 
2   Skl Smn  S
kl  0
Smn  0
1.48
Skl Smn ....
Pretože platí Tij (0) = 0, potom môžeme písať (po zanedbaní vyšších členov v Taylorovom
rozvoji)
Tij  c ijklSkl ,
1.49
kde
  Tij 
.
c ijkl  

  Skl  S  0
kl
1.50
Výraz 1.50 tvorí tenzor modulov pružnosti a výraz 1.49 nazývame zovšeobecnený
Hookov zákon. Tenzor elastických konštánt je tenzorom štvrtého poriadku a má 34 = 81
21
Fyzika tuhých látok
komponentov. Tenzory napätia a deformácie sú symetrické, a preto sa hodnoty elastických
konštánt nemenia pri zámene prvých dvoch alebo druhých dvoch indexov, a teda platí
cijkl  c jikl ; cijkl  cijlk .
1.51
Vzťah 1.51 redukuje počet nezávislých elastických konštánt na 36. Ďalšia ich redukcia, ako
uvidíme neskôr, bude spôsobená symetriou kryštálov.
S ohľadom na vyššie uvedený fakt, že poradie indexov (napr. i, j) je zámenné, existuje len
šesť párov kombinácií prečíslovaných číslami od jedna do šesť, a to nasledovne:
(11)  1, (22)  2, (33)  3, (23) = (32)  4,
(31) = (13)  5,
(12) = (21)  6.
1.52
U nerovnakých dvojíc indexov „prečíslovanie“ určíme tak, že k chýbajúcemu číslu z trojice
1,2,3 pripočítame číslo 3.
Ak by sme chceli vyjadriť deformáciu ako funkciu napätia, potom zovšeobecnený
Hookov zákon má tvar
Sij  sijkl Tkl ,
1.53
kde súbor hodnôt sijkl, tzv. koeficientov poddajnosti tvorí opäť tenzor štvrtého poriadku.
Medzi matematickým vyjadrením tenzora elastických konštánt [cijkl]
poddajnosti [sijkl] v maticovom zápise platí, že s= (c)-1 alebo
a tenzora
s c = , kde
  ,je Kroneckerov symbol, čo inak môžeme interpretovať tak, že matice vyjadrujúce oba
tenzory s, c sú vzájomne inverzné.
Poznámka.
V technickej praxi často nepoužívame elastické konštanty (resp. poddajnosti) zavedené
vyššie, ale Youngov modul (E), šmykový modul (G) a Poissonov koeficient (). Vzťahy
medzi elastickými konštantami (resp. poddajnosťami) a zmienenými modulmi pre izotropný
materiál sú nasledovné.
1

21    1
E
, s12   , 2 s11  s12  
 ,G 
,
E
E
E
G
21   
1
G  c 44  c 11  c 12 .
2
s11 
22
Fyzika tuhých látok
1.6. Objemová stlačiteľnosť
Pod objemovou stlačiteľnosťou
rozumieme zmenšenie objemu v dôsledku
všestranného jednotkového hydrostatického tlaku. Vo vzťahu 1.54 nahradíme Tkl vzťahom
Tkl = - pkl, čím dostávame
Sij  psijkl kl  psijkk .
1.54
Označíme zmenu objemu vzťahom  = Sii = - psiikk, odkiaľ pre objemovú
stlačiteľnosť dostávame -  / p = siikk = k, čo predstavuje nový typ invariantu tenzora.
Pre kubický kryštalografický systém alebo pre izotropnú tuhú látku potom môžeme
objemovú stlačiteľnosť vyjadriť vzťahom 3 (s11 + 2s12).
V praxi často zavádzame objemový modul stlačiteľnosti ako prevrátenú hodnotu
objemovej stlačiteľnosti k v tvare K=1/k =1/3(s11+2s12)= E / 3 (1 - 2).
1.7. Vplyv symetrie mriežky na tenzorovú reprezentáciu
Periodičnosť mriežky znižuje počet možných elementov symetrie a vytvára vzťahy
medzi niektorými z nich, a tak existuje len sedem grúp symetrií, z ktorých každá determinuje
jeden kryštalografický systém.
Existujú dva základné typy elementárnych symetrických operácií. Je to priama
symetria a inverzná symetria.
Elementárne priame symetrie sú zviazané s osami symetrie a to s osou symetrie An poriadku
n, kde n je celé číslo, ak pootočením kryštálu okolo takejto osi o uhol
2 / n sa kryštál
dostane do východzej pozície, v akej bol pred rotáciou.
Inverzné symetrie sú viazané na stred symetrie a inverzné osi.
Stred symetrie C zodpovedá inverznej transformácii kryštálu s ohľadom
Inverzná os poriadku n, označovaná ako A in pretransformuje kryštál
na bod.
z
východzej pozície do východzej jeho pootočením o uhol 2 / n a následnou inverziou s
ohľadom na bod. Platí teda rovnica
A in = AnC = C An.
Rovina symetrie je špeciálnym prípadom inverznej osi druhého poriadku alebo
zrkadlovej roviny M kolmej na os v bode inverzie, a teda A i2 = M.
Rovnako aj stred symetrie je ekvivalentný inverznej osi prvého poriadku,
C = A 1i .
23
a teda platí
Fyzika tuhých látok
Ako sme už spomínali vyššie, periodicita kryštálovej štruktúry okrem redukcie typov
symetrie vedie aj k vzťahom ekvivalencie medzi jednotlivými symetriami.
V dôsledku symetrie kryštálov môžu existovať len určité typy symetrických operácií a
len osi symetrie určitého poriadku. Celkove existuje tridsaťdva tried bodovej symetrie
kryštálov.
U
trojrozmerných
mriežok
existuje
štrnásť
typov
tzv.
Bravaisových
elementárnych mriežok. Týchto štrnásť typov mriežok je zoskupených v siedmich
kryštalografických systémoch podľa siedmich typov elementárnych buniek. Zásady platné
pre tzv. bodovú symetriu kryštalických mriežok môžeme zhrnúť do nasledovných
konštatovaní.
1. Každá priamka rovnobežná s osou symetrie poriadku n a ktorá prechádza uzlom
mriežky, je osou symetrie toho istého poriadku.
2. Každá os symetrie prechádzajúca cez uzol je totožná s poriadkom mriežky.
3. Každý uzol mriežky je stredom symetrie.
4. Os symetrie poriadku n  2 vytvára n kolmých osí druhého poriadku.
V ďalšej časti si teraz uvedieme symetrické operácie prípustné s ohľadom
na
periodicitu mriežky a ktoré určujú sedem kryštalografických systémov.
Pre väčšiu prehľadnosť uvádzame jednotlivé symetrické operácie a geometrické parametre
jednotlivých kryštalografických systémov na obrázku 1.8.
V úvode našich úvah o vplyve symetrie na tenzorovú reprezentáciu fyzikálnych veličín
sa budeme zaoberať symetrickými tenzormi druhého poriadku, ktoré popisujú fyzikálne
vlastnosti, ktoré majú stredovú symetriu. Tieto tenzory majú šesť nezávislých komponentov,
ak sa vzťahujú k ľubovoľnému súradnicovému systému.
Ak však kryštál má určitú symetriu, počet nezávislých zložiek klesá. Symetria
charakteristickej plochy tenzora je identická so symetriou danej fyzikálnej vlastnosti
opisovanej tenzorom.
V súvislosti so symetriou fyzikálnych vlastností a bodovou symetriou kryštálu je
užitočné bližšie si uvedomiť tzv. Neumanov princíp, ktorý hovorí:
Elementy symetrie fyzikálnej veličiny, ktorá charakterizuje kryštál, v sebe obsahujú
elementy symetrie bodovej grupy kryštálu.
Fyzikálna veličina môže teda mať určitú symetriu, ktorá sa prejavuje nezávisle
od toho,
akú symetriu má kryštál. V súlade s Neumanovým princípom však fyzikálna vlastnosť musí
mať aj všetky tie elementárne symetrie, ktoré má kryštál. Napríklad pružnosť hexagonálneho
24
Fyzika tuhých látok
kryštálu nie je len stredovo symetrická, ale má tiež elementy symetrie tohoto kryštalického
systému.
Ak zavedieme transformačnú maticu l, dostávame
'
S..ijk..
 .....l pi l jqlkr ....S...pqr.. ,
1.55
Teda invariantnosť fyzikálnych vlastností vo vzťahu k vybraným symetrickým
operáciám vedie k transformačnej rovnici
S...ijk..  .....l ip l jq l kr ....S...pqr..
1.56
Prejdime však k niektorým konkrétnym prípadom. Stred symetrie je popísaný maticou 1.15
alebo v skrátenom zápise
 ij   ij , kde
ij je Kroneckerov symbol. Potom
S...ijk..  .....l ii l jj l kk ....S...ijk.. ,
resp. pre tenzor poriadku n platí S...ijk..  1 S...ijk..
n
Ak n je nepárne, potom (- 1)n = -1, a teda všetky komponenty tenzora sú nulové. Tento
výsledok sa dá interpretovať aj tak, že stredovo symetrické kryštály nemôžu mať fyzikálne
vlastnosti popísané tenzormi nepárneho poriadku. Platí to napríklad o piezoelektrickom aj
pyroelektrickom jave, ktoré sú popísané práve tenzormi tretieho poriadku. Ak je n párne,
nespôsobuje stred symetrie žiadne zmeny.
V úvode našich úvah o vplyve symetrie na tenzorovú reprezentáciu fyzikálnych veličín
sa budeme zaoberať symetrickými tenzormi druhého poriadku, ktoré popisujú fyzikálne
vlastnosti, ktoré majú stredovú symetriu. Tieto tenzory majú šesť nezávislých komponentov,
ak sa vzťahujú k ľubovoľnému súradnicovému systému.
Ak však kryštál má určitú symetriu, počet nezávislých zložiek klesá. Symetria
charakteristickej plochy tenzora je identická so symetriou danej fyzikálnej vlastnosti
opisovanej tenzorom.
V súvislosti so symetriou fyzikálnych vlastností a bodovou symetriou kryštálu je
užitočné bližšie si uvedomiť tzv. Neumanov princíp, ktorý hovorí:
Elementy symetrie fyzikálnej veličiny, ktorá charakterizuje kryštál, v sebe obsahujú
elementy symetrie bodovej grupy kryštálu.
Fyzikálna veličina môže teda mať určitú symetriu, ktorá sa prejavuje nezávisle
od toho,
akú symetriu má kryštál. V súlade s Neumanovým princípom však fyzikálna vlastnosť musí
mať aj všetky tie elementárne symetrie, ktoré má kryštál. Napríklad pružnosť hexagonálneho
25
Fyzika tuhých látok
kryštálu nie je len stredovo symetrická, ale má tiež elementy symetrie tohoto kryštalického
systému.
Ak zavedieme transformačnú maticu l, dostávame
'
S..ijk..
 .....l pi l jqlkr ....S...pqr.. ,
1.55
Teda invariantnosť fyzikálnych vlastností vo vzťahu k vybraným symetrickým operáciám
vedie k transformačnej rovnici
S...ijk..  .....l ip l jq l kr ....S...pqr..
1.56
Prejdime však k niektorým konkrétnym prípadom. Stred symetrie je popísaný
vzťahom  ij   ij , kde ij je Kroneckerov symbol. Potom resp. pre tenzor poriadku n platí
S...ijk..  1 S...ijk..
n
Ak n je nepárne, potom (- 1)n = -1, a teda všetky komponenty tenzora sú nulové. Tento
výsledok sa dá interpretovať aj tak, že stredovo symetrické kryštály nemôžu mať fyzikálne
vlastnosti popísané tenzormi nepárneho poriadku. Platí to napríklad o piezoelektrickom aj
pyroelektrickom jave, ktoré sú popísané práve tenzormi tretieho poriadku. Ak je n párne,
nespôsobuje stred symetrie žiadne zmeny.
Obrázok 1.8. Kryštalografické systémy a ich príslušné symetrické operácie
S...ijk..  .....l ii l jj l kk ....S...ijk.. ,
26
Fyzika tuhých látok
Zhrnutie pojmov kapitoly (podkapitoly)
Transformácie súradníc a tenzorov, vlastnosti tenzorov druhého poriadku, tenzory
napätia, deformácie a Hookov zákon vo všeobecnom tvare, objemová stlačiteľnosť,
vplyv symetrie mriežky na počet nezávislých zložiek tenzora.
Otázky k prebranému učivu
1. Ako sa transformuje tenzor druhého poriadku?
2. Aký vzťah určuje zložky tenzora napätia?
3. Vysvetlite Hookov zákon vo všeobecnom tvare.
4. Ako sa vypočíta objemová stlačiteľnosť anizotropného materiálu?
5. Aký je vplyv symetrie na počet nezávislých zložiek temzora druhého poriadku?
6. Vysvetlite pojem invariant tenzora a čo určuje?
27
Fyzika tuhých látok
2. Základy štatistickej fyziky a kvantovej mechaniky
Čas ke studiu: 5 hodin
Cíl
Po preštudovaní kapitoly
 budete oboznámení so štatistickým popisom veľkých súborov častíc
 zoznámite sa so základmi vlnového popisu častíc
 naučíte se chápať rozdřely medzi mikro a makro svetom
 pochopíte význam zavedebia pojmu fázový priestor
Výklad
2.1. Štatistický výklad popisu fyzikálnych sústav s mnohými časticami
V tejto kapitole budeme formulovať základné zákonitosti popisu mnohočasticových
sústav a sledovať ich vývoj v závislosti od zmien rôznych fyzikálnych parametrov. Prečo
vzniká potreba zavedenia iného matematického prístupu, ako sme boli zvyknutí v klasickej
Newtonovej fyzike? Odpoveď na túto otázku nám naznačuje tabuľka 2.1.
Z uvedených čísel vidieť, že popis mnohočasticových systémov, ako sú napríklad plyny,
diferenciálnymi rovnicami Newtonovej mechaniky by bol nesmierne zložitý, ale najmä
exaktne ťažko riešiteľný.
Preto sa pri popise mnohočasticových systémov používajú metódy matematickej štatistiky.
Matematická pravdepodobnosť je definovaná ako pomer očakávaných javov n1  ku všetkým
možným javom n  , čo môžeme vyjadriť vzťahom
P
n1
<1
n
2.1
a tento pomer je vždy menší ako jedna.
Vo fyzike mnohočasticových systémov hovoríme o štatistickom súbore, ktorý pozostáva z
veľkého množstva identických podsúborov (aj nekonečne veľkého). Každá časť systému
28
Fyzika tuhých látok
podsúborov sa chová ako celý súbor. Prípustný stav systému je taký, ktorý nie je v rozpore
s jeho fyzikálnymi vlastnosťami.
Napríklad stavy, kedy SiO2 má kryštalickú štruktúru sú neprípustné ak sme na začiatku mali
sklenú formu tohoto materiálu. Je totiž fyzikálne nemožné, aby pri nízkych teplotách nastala
transformácia skla na kryštál.
Ak existuje g prípustných stavov, potom súbor má g podsúborov.
Pri veľkom počte opakovaných náhodných javov má náhoda charakter nutnosti. Pre
malý počet javov stráca pojem pravdepodobnosti zmysel.
Tabuľka 2.1. Rozmerové charakteristiky sveta molekúl
Počet
molekúl
v objeme
jedného
6,025.1026
kilomólu plynu
Počet molekúl v objeme 1m3
2,668.1025
Rýchlosť molekúl
102  103 m / s
Priemer molekúl
10 10 m
Stredná voľná dráha molekúl
10 10 m
Počet zrážok za 1 sekundu
109  1010
Sledujme teraz podrobnejšie trend pravdepodobnosti pri hádzaní viacerých mincí.
Každá minca má rub (R) a líce (L) a pri hádzaní sady mincí vznikne rôzny pomer R:L.
K popisu takéhoto procesu využívame kombinatoriku. Ak každá minca je individuálny prvok
súboru mincí a mince očíslujeme ich od 1 do 10, pričom uvažujeme len jednu ich stranu,
môžeme z desiatich očíslovaných mincí zostaviť celkom 3628800 usporiadaných radov
s rôznym poradím očíslovaných mincí, lebo n!  10!  10.9.8...... 1  3628800.
Po každom hodení týchto mincí dostaneme rôzny pomer zastúpenia R a L v rade, ale pri tom
istom pomere aj v rôznych kombináciách. Ak uvažujeme variácie oboch strán mincí v rade
29
Fyzika tuhých látok
desiatich mincí (R=0 -10, L=10 - 0), je podľa pravidiel kombinatoriky počet všetkých
variácií 210  1024 .
Napríklad pre štyri mince dostávame 2 4  16 variácií. Môžeme teda vytvoriť 16 usporiadaní
po štyroch, v ktorých sú variácie rôzneho počtu strán R,L. Pravdepodobnosť javu, pri ktorom
 1
hádzaním desiatich mincí padnú samé R alebo len L, je  
2
10
 2 10 a aby takýto stav nastal,
musíme vykonať aspoň 1024 hodov.
Pre počet rovnakých opakujúcich sa prípadov platí vzťah
n  n2 ! ,
n!
 1
n1! n 2 ! n1! n  n1 !
2.2
kde n  n1  n2 je počet očakávaných javov.
Pre n1  n 2 dostávame vzťah
g
n!
,
n1! n1!
2.3
ktorý Planck nazval termodynamická pravdepodobnosť alebo sa tiež nazýva štatistická
váha, resp. stupeň degenerácie systému ( počet rovnakých stavov).
n!
R  L !

n !n !
R! L! ,
Pravdepodobnosť, že padne n1  L a n 2  R bude daná vzťahom P  1 n 2 
2
2n
kde n1  R, n2  L, 2n  1024, n  n1  n2 .
Venujme sa teraz bližšie výkladu pojmu termodynamická pravdepodobnosť.
Predstavme si dve identifikovateľné (označené, ale identické) molekuly v uzavretom
priestore s priepustnou prepážkou, ktorá delí priestor na dve polovice. Možné rozdelenie
molekúl v jednotlivých častiach (štatistických stavoch alebo tiež mikrostavoch) je v tabuľke
2.2.
Ak aplikujeme na tento prípad vyššie uvedené vzťahy, dostávame pre celkový počet
mikrostavov 22  4 , ale len tri termodynamické (tiež makrostavy) stavy, lebo stav plynu je
určený kolektívom molekúl bez ohľadu na to, ktorá z individuálnych molekúl tento stav
30
Fyzika tuhých látok
plynu tvorí. Rovnomerné rozdelenie molekúl po oboch stranách prepážky sa vyskytuje
dvakrát ( g 
n!
2!

 2 ) a sumárna pravdepodobnosť P tohoto stavu je teda 50
n1! n1! 1!1!
percent.
Sledujeme ďalej vývoj v takomto dvojmikrostavovom systéme s pribúdajúcim počtom
molekúl. Pre štyri molekuly dostávame 2 4  16 stavov, pričom rovnomerné rozdelenie bude
v šiestich prípadoch, lebo g 
n!
4!

 6.
n1! n1! 2!2!
Pravdepodobnosť samovoľnej kompresie molekúl v jednej polovici systému s rastom počtu
molekúl klesá. Pokiaľ pre dve molekuly bola 25 percent, pre štyri molekuly je už len 6,25
percenta, pri desiatich molekulách 8.10 4 percenta.
Čo je však zaujímavé, termodynamická pravdepodobnosť g
rovnovážneho stavu
(rozdelenia) naopak, rýchlo rastie. Pri desiatich molekulách je takýchto stavov 252, pri 100
molekulách už 11,15.1028 a pri tisíc molekulách 2,7.10299 . Z týchto úvah jednoznačne
plynie, že najpravdepodobnejšie rozdelenie veľkého počtu identických častíc je také, pri
ktorom budú molekuly rozdelené rovnomerne. Samozrejme, sú možné aj iné stavy (môžu
vzniknúť napríklad v rámci fluktuácií v systéme), ale ich pravdepodobnosť je malá.
Tabuľka 2.2. Počty mikrostavov a ich pravdepodobnosť v dvojčasticovom systéme
Mikrostav I
Mikrostav II

Počet stavov
P [%]
1
25


1
25


1
25

1
25
Pravdepodobnosť sme mali vyššie definovanú vzťahom Pi 
ľubovolnej fyzikálnej veličiny A sa dá potom určíť zo vzťahu
31
n
. Stredná hodnota
q
Fyzika tuhých látok
n
 A   A i.Pi 
i1
1 n
 Ai.ni .
q i1
2.4
Vieme, že pravdepodobnosť toho, že častica je v stave s energiou E úmerná
 E 
Boltzmannovmu faktoru exp   i  , ak nedochádza v systéme k výmene častíc.
 kT 
 Ei 
n
 A 
 A i. exp  kT 
i1
 Ei 
 

i1  kT 

n
,
2.5
Z
Z- štatistická suma.
2.2. Základy vlnového popisu častíc
Ako už vieme zo základného kurzu fyziky, častice sa za určítých podmienok správajú ako
vlny, čo sa dá ľahko demonštrovať na Braggovom rozptyle X-lúčov na kryštalickej mriežky,
ako je to zobrazené na obrázku 2.1 a 2.2.
Obrázok 2.1. Braggov rozptyl X-lúčov na kryštalickej mriežke.
32
Fyzika tuhých látok
Obrázok 2.2. Braggova podmienka
Na základe týchto experimetov Louis de Broglie sformuloval nasledovné relácie medzi
vlnovou dĺžkou prislúchajúcou elektrónu a jeho hybnosťou.

h
h
.

p mv
2.6
Vlnová funkci sama o sebe neposkytuje žiadnu fyzikálne relevantnú informáciu, lebo
je komplexná.
Fyzikálny zmysel mávšak súčin reálnej a imaginárnej zložky ψψ* = A 2 - i2B 2 = A 2 + B 2 ,
tzv. hustota pravdepodobnosti, ktorá predstavuje reálne číslo.
Tento súčin určuje pravdepodobnosť výskytu častice v danom čase v danom bode priestoru.
Na základe takejte interpretácie vlnovej funkcie potom W. Heisenberg sformuloval tzv.
princip neurčitosti, ktorý z principiálních dôvodov neumožňuje súčasne s rovnakou
presnosťou merať súradnicu a hybnosť.
ΔxΔp≥h/2π.
Venujme sa teraz
2.7
popisu systému n častíc pomocou vlnových funkcií. Takáto
„celková“ vlnová funkcia sa dá vyjadriť ako súčin funkcií jednotlivých častí v tvare
ψ(1.2. ::::: N) = ψ(1)ψ(2)....... ψ(n).
2.8
Ak je jedna častica v stave a a druhá v stave b, nemala by sa hustota pravdepodobnosti meniť a musí
platiť
33
Fyzika tuhých látok
2
2
ψ(1,2) = ψ(2,1) .
2.9
Vlnová funkci ψ(2,1) po zámene častíc môže byť buď symetrická, alebo antisymetrická a teda platí
jedna z divoch nasledujúcich relácií
ψ(1,2) = ψ(2,1) ,
- ψ(1,2) = ψ(2,1) .
2.10
Ak je častila 1 v stave a a častila 2 v stave b, resp. častila 1 v stave b a častila 2 v stave a
potom platia rovnice
ψ1 = ψa (1)ψb (2),
2.11
ψ 2 = ψa (2)ψb (1).
Obe funkcie správne popisujú sysytém a tak výsledná funkcia celého sytému je daná ich
lineárnou kombináciou
ψs =
ψa =
1
2
1
2
(ψ
a
(ψ
a
(1)ψb (2) + ψa (2)ψb (1)) ,
(1)ψb (2) - ψa (2)ψb (1)) .
2.12
Antisymetrickými funkciami sú popísané častice s polčíselným spinom tzv. Fermióny
( elektróny, protóny, neutróny..)
Častice s celočíselným spinom jako sú fotóny sú popísané symetrickými funkciami a
nazývajú sa aj Bozóny,
2.3. Kvantové štatistiky
Ako už vieme z predchádzajúcich častí tejto učebnice, ktorá sa zaoberala
kvantovomechanickými princípmi mikrosveta, elektrón sa súčasne môže nachádzať len
v jednom energetickom stave s dvomi rôznymi orientáciami spinu (Pauliho princíp). Častice
riadiace sa týmto princípom sa tiež nazývajú fermióny (patrí sem napríklad aj 3He – 2
protóny, 1neutrón). Vráťme sa k modelu z kapitoly 4 a budeme predpokladať, že sytém
(obsadený jediným elektrónom s energiou  alebo je neobsadený-vakantný a jeho energia je
rovná nule) je v tepelnom a difúznom kontakte s rezervoárom tak, ako je to vidieť na obrázku
2.3.
34
Fyzika tuhých látok
vakant
1.
ný
energi
a=0
1 2. R
R
elektró
e
e
nn
z
energia z

Obrázok 2.3. Možné stavyefermiónu podľa Pauliho princípu
e
r
r
v
v
o
o
Veľká sumu 9 (v systéme ánedochádza len k výmene energie aleá aj častíc) môžeme pre
r
r
fermióny napísať v tvare
Z = 1 + exp(-/),
lebo Z  e

0
kT
e


kT
2.13
e


kT
 1  e


kT
. Pre strednú hodnotu obsadenia systému dostávame
výraz
.e
n  


kT
1  .e


kT
,
2.14
resp. definujeme funkciu
1
f (ε ) = n(ε ) =
e
ε μ
kT
,
2.15
+1
ktorú nazývame Fermiho – Diracovo rozdelenie.
Hodnota chemického potenciálu pri absolútnej nule sa vo fyzike tuhých látok nazýva
Fermiho energia alebo aj Fermiho hladina.
Ak pri ľubovoľnej hodnote teploty je energia systému rovná chemickému potenciálu, potom
stredné
obsadenie
systému
je
rovné
jednej
f     
1
1

 0,5. Priebeh Fermiho – Diracovej rozdeľovacej
exp   / kT   1 1  1
funkcie je na obrázku 2.4.
35
polovici,
čo
plynie
zo
vzťahu
Fyzika tuhých látok
1,0
0,8
0,6
f()=
1
0,4
0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Obrázok 2.4. Fermiho – Diracovo rozdelenie τ  0, τ  μ 5
Poznámka:
Je potrebné všimnúť si, že obsadenie hladín u Fermiho – Diracovej rozdeľovacej funkcie
je totožné s pravdepodobnosťou jej obsadenia.
Teplotná závislosť Fermiho-Diracovej funkcie pre TF 
εF
 50000K je na obrázku
k
2.5.
Okrem fermiónov existuje aj trieda častíc s celočíselným spinom (napríklad fotóny,
4
He, 2 protóny, 2 neutróny), ktoré podliehajú iným štatistickým pravidlám ako fermióny. Pre
tieto častice neplatí Pauliho vylučovací princíp, a tak systém, ktorý je v tepelnom a difúznom
kontakte s rezervoárom môže byť zaplnený ľubovoľným počtom častíc a pre veľkú sumu
platí výraz
∞
μ ε
nμ nε
Z(μ,kT ) = ∑exp
=∑ e kT
kT
n=0
n=0
∞
n
∞
=∑x n =
n=0
1
1 x
,
2.16
kde x = exp((-)/kT). Súčet geometrického radu pre x  1 konverguje a pre
diverguje. Pre stredný počet častíc v systéme podobným postupom ako
dostávame postupne
36
x1
u fermiónov
Fyzika tuhých látok
1,2
1,0
50
00
K
0,8
0,6
2,5
.1
0,4
5.10
0,2
500 K
0 4K
4
K
10.10 4K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Obrázok 2.5. Teplotná závislosť Fermiho-Diracovej funkcie pre TF 

n 

n.x n

n 0

x
x.
n
n 0
d  n
x
dx n0


x

x.
n
n 0
d
.Z
dx  x  1  1 .
Z
1 x 1
x 1  1
1
x
εF
 50000K .
k
2.17
Výraz
1
n 
e
 
kT
2.18
1
nazývame Boseho – Einsteinovým rozdelením pre bozóny, ktoré je na obrázku 2.6.
Poznámka.
Na rozdiel od Fermiho – Diracovho rozdelenia pravdepodobnosť obsadenia hladiny nie je v
štatistike bozónov totožná s jej obsadením, ako to bolo u fermiónov. Počet častíc bude tým
väčší, čím bude energia menšia.
37
Fyzika tuhých látok
4
n (
3
Boseho Einsteinove
rozdelenie
2
Fermiho Diracove
rozdelenie
1
0
-2
-1
0
1
2


Obrázok 2.6. Boseho – Einsteinovo a Fermiho – Diracovo rozdelenie.
Z obrázku 2.6 tiež vidieť, že pre „veľké“ energie sa obidve rozdelenia platné pre svet kvánt
v limite približujú (jednotka v menovateli prestáva hrať dôležitú úlohu) a prechádzajú v
„klasické“
Maxwellovo
–
Boltzmannovo
rozdelenie
v tvare
(ak
neuvažujeme
predexponenciálny člen).
.
2.4. Schrodingerova rovnica
Napíšme rovnicu rovnicu rovinném vlny šíriacej sa v smere osi x v tvare
Ψ=Aexp[-iω(t-x/v)].
2.19
Pretože platí
E=hν
a
2.20
λ=h/p
môžeme rovnicu 2.19 prepísať v tvare
Ψ=Aexp[-i/ħ(Et-xp)],
2.21
ktorý platí pre voľnú časticu.
Aby sme mohli sledovať dynamiku dejov, teda zmeny podľa súradníc, alebo času,
vypočítame si príslusné derivácie.
∂2Ψ
p 2Ψ
=- 2
∂
x2

a
2.22
38
Fyzika tuhých látok
∂
Ψ
iE
=- Ψ
∂
t

Pre celkovú energiu častice platí vzťah
p2
E=
+V,
2m
resp. po úprave
p 2Ψ
EΨ =
+ VΨ .
2m
Ďalej platí
∂
Ψ
iE
∂
Ψ
= - Ψ → EΨ = ∂
t

i ∂
t
2.23
2.24
2.25
a
∂Ψ
2
2 =p Ψ
∂
x
2
- 2
Odkiaľ dostávame časovo závislý tvar Schrödingerovej rovnice v tvare
∂
Ψ  2 ∂2Ψ
∂2Ψ 2m
=
- VΨ → 2 + 2 EΨ = 0 ,
i ∂
t 2m ∂
x2
∂
x

2.26
2.5. Fázový priestor
V klasickej mechanike je okamžitý stav častice jednoznačne
popísaný hodnotou
súradnice a impulzu, ktoré ako vieme, sú principiálne súčasne merateľné s rovnakou
presnosťou. Zákony Newtonovej mechaniky s ohľadom na ich deterministický charakter
dávajú možnosť určiť správanie sa častice v čase. Zadanie okamžitých hodnôt
zovšeobecnených súradnice q a zovšeobecnených
impulzov p je ekvivalentné bodu
v dvojrozmernom priestore p versus q, ktorý nazývame fázovým priestorom (pozri obrázok
2.7).
Obrázok 2.7. Definícia fázového priestoru
39
Fyzika tuhých látok
Keďže súradnica aj impulz sa v klasickej fyzike môžu meniť spojite, rozložíme fázový
priestor na elementárne bunky s plochou pq  h0 , kde h 0 je kladná konštanta
s rozmerom momentu hybnosti (pozri obrázok 2.8).
Obrázok 2.8. Rozdelenie fázového priestoru na bunky
Na to, aby bol stav častice popísaný stačí, aby sme dokázali, že súradnica je z intervalu
fázového priestoru q, q  q a hybnoť z intervalu p,p  p . Teraz si treba položiť otázku,
aká musí byť veľkosť konštanty h 0 ? V klasickej fyzike môže byť jej hodnota nekonečne malá
a naša úloha sa zjednodušuje na zodpovedanie otázky, aké je „poradové“ číslo bunky vo
fázovom priestore, v ktorom sa nachádza súradnica a impulz častice?
Ako vieme z kvantovej mechaniky, objem bunky fázového priestoru je jednoznačne
určený Heisenbergovým princípom neurčitosti.
Na záver uvedieme dve praktické technické aplikácie fázového priestoru. Prvá sa týka vplyvu
umelých defektov v gumárenských zmesiach. Vo válčekových vzorkách gumárenských
zmesí boli vyvŕtané otvory rôznych priemerov v radiálnom smere. Na obrázku 2.9 sú
uvedené frekvenčné zmeny amplitúdy vynútených kmitov takýchto vzoriek. Vidíme, že na
závislosti amplitúdy vynútených kmitov od frekvencie sú zmeny spôsobené dierami len
relatívne malé. Ak sme ale tie isté výsledky zobrazili vo fázovom priestore, ako je to vidieť
na obrázku 2.10, zmeny dynamiky systému sa prejavili radikálne a namerané krivky majú
typický „motýlovitý“ tvar, ako to pre periodické deje predpokladá teória chaosu.
40
Fyzika tuhých látok
Obrázok 2.9. Frekvenčná závislosť amplitúdy vynútených kmitov pre rôzne diery vŕtané
v radiálnom smere do gumárenskej zmesi
Obrázok 2.10. Dáta z obrázku 2.9 zobrazené vo fázovom priestore.
Druhý prezentovaný výsledok sa týka sledovania reprodukovateľnosti prípravy
gumárenských zmesí. Boli testované tri vzorky pripravené rovnakým spôsobom
a s deklarovaným rovnakým zložením. Vidíme, že krivky pre dve vzorky sa prakticky
prekrývajú a jedna ide úplne mimo trend týchto dvoch vzoriek. Zrejme teda bola pri jej
výrobe porušená technológia, alebo vzorka mala iné zloženie (Obrázok 2.11).
41
Fyzika tuhých látok
M.x'(t)
[kg.m.s-1]
9,0E-05
7,5E-05
6,0E-05
4,5E-05
3,0E-05
1,5E-05
-6,0E-05
-4,0E-05
-2,0E-05
0,0E+00
0,0E+00
2,0E-05
4,0E-05
6,0E-05
x(t) [m]
Obrázok 2.11. Test technologickej uniformity pre tri rôzne vzorky rovnakého zloženia
Zhrnutie pojmov kapitoly
Štatistický popis mnohočasticových sústav, stredné hodnoty fyzikálnych veličín, vlnový popis
častíc, hustota pravdepodobnosti, Fermiho-Diracova rozdeľovacia funkcia, Boseho Einsteinova
rozdeľovacia funkcia, Schrodingerová rovnica, Fázový priestor.
Otázky k prebranému učivu
1.Ako je definovaná pravdepodobnosť javu?
2.Čo je to termodynamická pravdepodobnosť?
3.Ako vypočítame strednú hodnotu fyzikálnej veličíny?
4. Charakterizujte Fermiho-Diracovú štatistiku.
5. Charakterizujte Boseho-Einsteinovu štatistiku.
6. Vysvetlite Schrödingerovu rovnicu.
7.Aké sú symetrické a antisyerické vlnové funkcie?
8. Vysvetlite pojem vlnovej funkcie častice.
9. Kedy sa na elktrón môžeme pozerať ako na klasickú časticu?
10. Vysvetlite Heisenbergov princíp neurčitosti.
11. Vysvetlite pojem fázového pristoru.
42
Fyzika tuhých látok
3. Viskózne a viskózne-elastické správanie sa materiálov
Čas na štúdium: 5 hodin
Cieľ
Po preštudovaní kapitoly
 budete oboznámení s pojmami viskózny a viskózne elastický
 naučíte sa modely takýchto prostredí
 zoznámite sa s charakteristikami reálnych materiálov
 naučíte sa chápať mikroštrukturálne aspekty toku materiálov
 pochopíte procesy sprevádzajúce tok materiálu
Výklad
3.1. Charakteristika viskózních a viskózneelastických prostredí
Pojem viskozita máme najčastejšie asociovaný s kvapalným a plynným skupenstvom.
Viskozita je fyzikálny jav spôsobený Van der Waalsovými silami pôsobiacimi medzi
časticami kvapaliny alebo plynu pri ich pohybe. Ak je tento pohyb len „šmykového“
charakteru, potom, ako už vieme zo základného kurzu fyziky, platí Newtonov viskózny
zákon v tvare
Tyx  
dv
,
dy
3.1
kde T je napätie a η je dynamická viskozita. Takéto kvapaliny nazývame Newtonovské.
Reálne kvapaliny sa však od Newtonovských líšia. Aj voda ako relatívne málo viskózna
kvapalina sa správa „pružne“, ak na ňu napríklad aplikujeme v krátkych impulzoch veľké
napätia. Tento jav dobre poznáme napríklad z „nevydarených skokov“ do vody, kedy
dopadneme na brucho (pružná reakcia vody je dostatočne citeľná). Časový vývoj mechanicky
zaťaženého viskózneho prostredia teda závisí aj od trvania pôsobenia záťaže.
Zo skúseností vieme, že na asfaltových cestách sa robia tzv. koľajnice, ktoré spôsobujú
ťažké nákladné vozidlá, a to najmä v letných mesiacoch. Určite si spomenieme na odtlačky
podpätkov ženských topánok, tzv. ihličiek v asfalte počas letných mesiacov. Vieme tiež, že
ak zohrejeme med, tento sa stáva tekutejší a podobných príkladov by sme našli ešte viac.
43
Fyzika tuhých látok
Plynie z nich však jeden fakt, a to ten, že viskozita materiálu je okrem dĺžky pôsobenia a
veľkosti priloženého mechanického napätia (tzv. tixopropné látky) aj funkciou teploty.
Pri výklade tohto javu budeme vychádzať z tzv. dierového modelu kvapaliny. V tomto
modeli sa predpokladá, že kvapalina sa skladá z molekúl
a z vakantných miest tzv. dier,
ktoré v kvapaline môžu vzniknúť napríklad odparením molekúl. Preskok molekuly do novej,
energeticky výhodnejšej polohy je možný len vtedy, ak susedné miesto je voľné, a teda je tam
diera. Koncentrácia takýchto dier (pomer vakantných miest n k celkovému počtu N uzlov
štruktúrnej siete) bude
n
 e H / RT ,
N
3.2
kde ΔH je entalpia potrebná na vytvorenie diery (je približne rovná
2/5.ΔHvýp.), R
je plynová konštanta a T absolútna teplota. Molekuly kmitajú okolo rovnovážnych polôh,
pričom 2ν-krát za sekundu atakujú okolité potenciálové bariéry. Potom pre frekvenciu
možných preskokov molekúl dostávame
1
n
 2 e H / RT  2e Q / RT ; Q  HA  HB .

N
3.3
Prvá z entalpií predstavuje aktivačnú entalpiu potrebnú na vznik diery a druhá reprezentuje
výšku bariéry, ktorú musí molekula prekonať pri samodifúzii. Ak označíme koordinačné
číslo molekuly z (počet najbližších susedov je z), potom pre frekvenciu preskokov platí
ν=
1
.
τz
Ak bude pri difúznom procese asistovať aj vonkajšia sila F, potom sa molekuly budú
pohybovať v smere tejto sily a stredná rýchlosť molekúl bude úmerná tejto sile, pričom
koeficient úmernosti budeme nazývať pohyblivosťou molekuly
v  qF .
3.4
Ak medzi vrstvami kvapaliny, ktoré sa po sebe kĺžu, je vzdialenosť δ rovná medzi atómovej
vzdialenosti, potom platí vzťah
η=
1
qδ
3.5
44
Fyzika tuhých látok
a pre koeficient dynamickej viskozity dostávame (bez uvedenia ďalších krokov, ktoré majú
matematický charakter)
η = kT
zτ
zkT Q / RT
,
e
3 =
δ
2δ 3 ν
3.6
kde k je Boltzmannova konštanta. Vidíme, že koeficient dynamickej viskozity s rastúcou
teplotou klesá tak, ako sme o tom hovorili vyššie. Uvedený model je samozrejme
kvalitatívny a pre jednotlivé typy materiálov a teplotné rozsahy sa používajú aj iné vzťahy.
Teraz si rozšírime naše poznatky o fyzikálnej interpretácii viskózneho toku na
polyméry a kaučuky. Je známe, že molekulárne „preskoky“ nastávajú hlavne v amorfných
oblastiach, zatiaľ čo u kryštalitov nastávajú na ich rozhraniach alebo poruchových miestach.
Môže tiež dôjsť k pootočeniu celých kryštalitov. Kinetika toku je popísaná dvoma rôznymi
procesmi.
Analyzujme prvý proces. Preskoky molekúl v smere toku vedú k usporiadaniu
s menšou entropiou bez zmeny vnútornej energie, pričom tento proces nazývame entropická
pružnosť. Proces je zobrazený na obrázku 3.1a. Môže tiež dochádzať k obsadzovaniu stavov
s vyššou energiou, čo je podmienené existenciou uzlových bodov a ide o tzv. energetickú
pružnosť a zodpovedá situácii na obrázku 3.1b.
V druhom prípade sa molekuly alebo ich časti odpútavajú od svojho okolia a uzlové
body zanikajú. Rozdelenie potenciálnej energie sa v priemere nemení, lebo sa vytvárajú nové
potenciálové valy, ktorých energetická distribúcia je taká istá ako pôvodná. Tento tok
nazývame nevratným tokom a v prvom priblížení
preň platí Newtonov zákon pre viskozitu. Na obrázku 3.1 sú zobrazené obidva procesy.
V doterajších úvahách sme sa zaoberali len vlastnosťami elastických materiálov.
Reálne materiály sa však vždy za definovaných podmienok prejavujú aj ako viskózne. Tieto
vlastnosti vyplývajú zo samotnej povahy materiálov, ktoré
sú v metastabilnom stave (sklá, niektoré vysokopolymérne látky).
45
Fyzika tuhých látok
Obrázok 3.1. Závislosť zmeny potenciálu od vzdialenosti. Model entropickej pružnosti (a),
model energetickej pružnosti (b). Plné krivky korešpondujú stavu pred priložením napätia a
čiarkované po aplikovaní napätia
Deformácia spôsobená priloženým mechanickým napätím k oceli spôsobí zmenu
medziatómových vzdialeností, ale u plastických hmôt zmenu valenčného uhla. Všetky
ostatné pomalšie prebiehajúce zmeny tvaru označujeme ako tok. Medzi tieto procesy (tok)
zaraďujeme oneskorenú pružnú deformáciu, konštantný tok, pozvoľný návrat do pôvodného
tvaru,
vratný deformačný pochod po zahriatí atď. Pri ťahových skúškach polymérov
pozorujeme vždy tok materiálu.
Konštantnú rýchlosť toku
dγ T
(T je napätie, ,  sú postupne šmykový uhol a
=
dt η
dynamická viskozita ) pozorujeme zvlášť pri veľkých záťažiach. V takýchto prípadoch po
prerušení zaťaženia materiálu sa časť zachováva, preto hovoríme o nevratnom toku. Ak
takýto proces prebieha už pri malých napätiach, hovoríme, že materiál nemá vláčnu pevnosť.
Vláčna pevnosť bola najskôr pozorovaná u kryštálov a obvykle sa takáto deformácia nazýva
plastická. Pre názornosť je na obrázku 3.2 vynesená rýchlosť zmeny pôvodne pravého uhla
γ hranola, na ktorý pôsobí tangenciálne napätie ako funkcia priloženého mechanického
napätia pre rôzne typy látok.
Deformácia vulkanizovaného prírodného kaučuku vzniká takmer okamžite a je len
z nepatrnej časti trvalá. Po prerušení zaťažovania sa materiál vracia prakticky do pôvodného
stavu a hysterézia je malá (hysterézna krivka má malý plošný obsah), ako to vidíme na
obrázku 3.3.
Nameraná pružná deformácia kaučuku sa skladá z dvoch častí. Táto deformácia vedie
jednak k poklesu entropie v dôsledku zvýšenia usporiadanosti systému a tento proces sa
prejaví tiež poklesom mernej tepelnej kapacity materiálu. Modul E1 plynúci z poklesu
46
Fyzika tuhých látok
entropie je priamo úmerný absolútnej teplote. V neideálnom vulkanizovanom kaučuku sa
časť deformačnej práce viaže ako vnútorná energia, v dôsledku čoho dochádza k zmenám
medziatómových vzdialeností, ale najmä valenčných uhlov a korešpondujúcej zmene modulu
E0. Pre celkový modul potom dostávame
1
1
1
1
1 konš tan ta
, resp. 
.



E E 0 E1
E E0
T
3.2. Newtonovská kvapalina (a), nenewtonovská kvapalina (b), látka s vláčnou
pevnosťou (c)
3.3. Hysterézna krivka. Mechanické napätie versus deformácia
Ako vidieť z obrázku 3.4 modul s rastúcou teplotou rastie (krivka a), čo je dôsledok
entropickej povahy pružnosti kaučuku, zakiaľ u plastov klesá (krivka b), lebo rastie podiel
príspevkov vratných, časovo závislých deformácií.
Zmena modulu medzi bodmi A a B závisí na prechode k ideálne pružnému správaniu sa
materiálu pod teplotou skleného prechodu. Kaučukovité látky (a), viskózne elastické látky
(b).
47
Fyzika tuhých látok
Obrázok 3.4. Závislosť modulu E od teploty.
Modul kaučuku je podstatne nižší ako u ostatných látok. Pružná deformácia u kaučuku
v mnohých prípadoch prevyšuje pôvodnú dĺžku materiálu. Nie je preto možné v jednom
diagrame vyniesť napätie a deformáciu kaučuku, plastu a oceli.
Takéto porovnanie je možné len v logaritmickej stupnici, ako to vidieť na obrázku 3.5.
Venujme sa teraz popisu polymérov z pohľadu ich struktury a fyzikálních vlastností.
Ako všetky látky, môžeme aj pre polyméry definovať tri základné skupenské stavy, plynný,
kvapalný a tuhý. Napriek všeobecnej podobnosti, v polyméroch predsa existujú určité
osobitnosti, ktoré ich odlišujú od nízko molekulových látok.
.
3.5. Ťahové krivky v logaritmickej stupnici pre kaučuk (a), viskózne elastickú látku (b),
oceľ (c)
Vo všeobecnosti plynný stav je charakterizovaný intenzívnym pohybom častíc, pričom
vzdialenosti medzi molekulami sú veľké. Keďže vzájomné pôsobenie častíc v zmysle
48
Fyzika tuhých látok
príťažlivých síl klesá so šiestou mocninou vzdialenosti, pre molekuly v plynnom stave možno
vzájomné príťažlivé sily vzhľadom na vzdialenosť medzi molekulami prakticky zanedbať.
V kvapalnom stave je tepelný pohyb molekúl stále veľmi intenzívny, ale na rozdiel od plynu,
vzdialenosti medzi molekulami sú podstatne menšie a molekuly sa navzájom výrazne
ovplyvňujú.
V tuhom skupenstve sa intenzita tepelného pohybu zníži natoľko, že nepostačuje na
rozrušenie medzi molekulových kontaktov. Molekuly zaujmú trvalú, definovanú polohu
v priestore a vykonávajú len vibračné pohyby s frekvenciou 1013-14 Hz. Vzdialenosti medzi
molekulami sa od kvapalného stavu príliš nelíšia, čo možno ľahko dokázať porovnaním
hustoty látky v troch skupenstvách. Zatiaľ čo rozdiel v hustote medzi plynom a kvapalinou je
niekoľko poriadkov, rozdiel medzi hustotou kvapaliny a tuhej látky je malý. Pritom možno
povedať, že vzdialenosti medzi časticami sú približne na úrovni veľkosti molekúl.
Z rozdielov pohyblivosti molekúl vyplývajú i významné rozdiely vo vlastnostiach
Pre kvapalné skupenstvo je typický intenzívny translačný pohyb molekúl popri
rotačnom a vibračnom, v tuhom stave molekuly zaujímajú navzájom viac- menej konštantné
polohy a translačný pohyb je obmedzený na minimum. Zatiaľ čo kvapalina ľahko mení tvar
pôsobením minimálnej sily, napríklad i vlastnou hmotnosťou (gravitačná sila), na deformáciu
tuhého telesa potrebujeme obyčajne vynaložiť pomerne veľkú silu.
Pri diskusii o usporiadaní v tuhom stave treba upozorniť na dve možné uporiadania,
jednak náhodné usporiadanie, podobné ako v kvapaline, s rozdielom podstatne nižšej
termickej pohyblivosti častíc a jednak kryštalické, kde sú molekuly usporiadané pravidelne
so zreteľnou symetriou pozdĺž priestorových osí. Možno konštatovať, že v tuhom stave môžu
materiály existovať v rôznych štruktúrnych fázach, ktoré sa líšia spôsobom usporiadania
molekúl, pričom nie vždy možno tieto fázy od seba oddeliť. V tomto prípade rozlišujeme dve
definície fázy, a to podľa štruktúrneho, alebo termodynamického hľadiska, kedy v druhom
prípade sa fázy navzájom líšia termodynamickými parametrami, sú oddelené jasne
odlíšiteľným rozhraním a sú navzájom oddeliteľné.
Typickou ukážkou materiálu obsahujúceho rozličné štruktúrne fázy je koexistencia
kryštalického stavu, vyznačujúceho sa pravidelným usporiadaním častíc do kryštalickej
mriežky a podchladeného kvapalného stavu, kde pohyblivosť molekúl je nízka, ale ich
uloženie v priestore je náhodné, bez známok symetrie. Pri náhodnom uložení v priestore
hovoríme o tzv. amorfnom stave (z gréckeho „morphe = tvar“, „amorfný = beztvarý“). Fázy
tohto materiálu sú chemicky totožné, ale výrazne sa líšia usporiadaním Ako príklad pre fázy
49
Fyzika tuhých látok
definované z termodynamického hľadiska možno uviesť kompozit zložený z dvoch
rozličných materiálov, napríklad jemná suspenzia ílu vo vode.
Pod
teplotou
topenia
vody je
celý systém
v tuhom
skupenstve
s dvoma
termodynamicky odlišnými zložkami, oddelenými presne definovaným rozhraním a
navzájom oddeliteľnými. Pre polyméry ako príklad možno uviesť kompozit plastu a
anorganického plniva.
Pri diskusii o fázových stavoch, v ktorých sa rôzne látky nachádzajú za rozličných
podmienok pre polyméry plynný stav neuvažujeme, pretože medzi molekulová súdržnosť
vzhľadom na dĺžku reťazcov a z toho vyplývajúci počet kontaktov je oveľa vyššia než
pevnosť kovalentných väzieb. Preto skôr, ako by mohlo dôjsť k uvoľneniu jednotlivých
makromolekúl do plynného stavu, nastane deštrukcia reťazca termickou degradáciou.
V kvapalnom a tuhom stave je charakter fázových premien zložitejší ako pre nízko
molekulové látky. Pre túto diskusiu je výhodné, ak neuvažujeme z hľadiska pohyblivosti o
celých makromolekulách, ale tieto rozdelíme na články reťazca – segmenty, v typických
prípadoch napr. 12 až 60 uhlíkov v hlavnom reťazci. Pri nízkych teplotách je rovnovážna
poloha segmentov konštantná a pohyb sa obmedzuje len na vibračné alebo rotačno – vibračné
oscilácie okolo rovnovážnych polôh. Polymér sa správa rovnako ako nízko molekulová látka
v tuhom stave. Pri aplikácii deformácie sa celý systém riadi Hookovým zákonom, Youngov
modul pružnosti je vysoký a materiál je krehký. Keďže správanie sa polyméru je podobné
vlastnostiam skla, tento stav nazývame stavom sklovitým. Sklovitý stav sa pozoruje pri
nízkych teplotách až po tzv. teplotu sklovitého
prechodu. V oblasti teploty sklovitého
prechodu Tg dochádza ku kvalitatívnej zmene pohybu segmentov, ktorý sa v oblasti nad Tg
zmení na rotačný. Reťazec môže nadobúdať veľký počet rozličných konformačných tvarov,
materiál má nižší modul pružnosti a správa sa ako vysokopružné teleso. Hovoríme o tzv.
vysokoelastickom, alebo kaučukovitom stave. Tento stav je typický pre lineárne polyméry a
okrem polymérov nie je známy pre žiadne iné materiály.
Ďalším zvyšovaním teploty sa stáva rotačný pohyb segmentov intenzívnejší až napokon
umožní aj preskupovanie najprv segmentov a neskôr celých makromolekúl. Po dosiahnutí
tzv. teploty tečenia sa polymér nachádza v stave viskózno – plastickom, kedy dochádza
k nevratnému toku. Nad touto teplotou sú polyméry tepelne plasticky tvarovateľné.
Tieto úvahy platia pre neusporiadanú amorfnú tuhú fázu. Mnohé polyméry však
vytvárajú kryštalickú fázu, pričom táto takmer bez výnimky koexistuje spolu s amorfnou
fázou vo forme tzv, semikryštalických materiálov. Pritom kryštalická fáza sa správa ako tuhá
50
Fyzika tuhých látok
a nad tzv. teplotou topenia, kedy dôjde k rozrušeniu kryštalitov, sa transformuje na fázu
kvapalnú, viskózno – plastickú. Z hľadiska teplôt, pri ktorých dochádza k významným
transformáciam, rozlišujeme teda teplotu

sklovitého prechodu - Tg

topenia - Tm

tečenia – Tf,
pričom Tg < Tm ~ Tf.
Zmenu skupenského stavu, premenu amorfnej látky na kryštalickú a naopak, alebo
premenu jednej kryštalickej sústavy na druhú označujeme ako
fázovú, alebo stavovú
premenu. Pritom sa vedľa seba môže vyskytovať viacero fáz, ktoré sú v termodynamickej
rovnováhe., oddelené sú jasne identifikovateľným rozhraním a jednofázovými oblasťami
konečných rozmerov. Na rozhraní sa mení vnútorná energia, merné teplo a koeficient
tepelnej rozťažnosti. Podľa charakteru tejto premeny hovoríme o fázových prechodoch
prvého alebo druhého poriadku.
Fázové prechody určujeme zo závislostí zmeny vnútornej energie s rastom teploty.
Experimentálne najjednoduchšie sa môžu stanoviť z teplotnej závislosti špecifického objemu.
Pri fázovom prechode 1. poriadku na oboch závislostiach je pozorovateľná skoková zmena.
Typickým fázovým prechodom 1. poriadku je topenie, alebo vratný dej – tuhnutie pri bode
topenia / tuhnutia. V tomto bode napr. pri topení do systému dodávame teplo, čiže vnútorná
energia rastie, pričom sa ale teplota nemení. Až po roztopení celého kryštalického podielu sa
teplota, teraz už kvapaliny začne opäť zvyšovať. Podobný obraz pozorujeme aj ak sledujeme
zmenu špecifického objemu s teplotou, kde v bode topenia dôjde k výraznej zmene tohto
parametra bez toho, aby sa zmenila teplota.
Pri fázovom prechode 2. poriadku pozorujeme na týchto závislostiach miesto skoku
zlom. Závislosť napr. objemu od teploty je lineárna, keď smernica priamky dV / dT je
koeficientom teplotnej rozťažnosti. Pri fázovom prechode sa táto smernica zmení, pritom ale
závislosť je kontinuálna, neprerušená.
V skutočnosti u polymérov vo väčšine
prípadov dochádza namiesto zlomu k väčšiemu alebo menšiemu ohybu v teplotnom intervale
niekoľkých stupňov (typicky 5 – 15 oC). Teplotu sklovitého prechodu potom stanovíme
lineárnou extrapoláciou ako priesečník dvoch priamok.
To, akým spôsobom sa tavenina dostane do tuhého stavu, závisí od štruktúry reťazca
polyméru a od rýchlosti ochladzovania.
51
Fyzika tuhých látok
Ak má látka nesymetrické molekuly, nemôže dôjsť k pravidelnému usporiadaniu
a materiál nekryštalizuje. Vznikne amorfná tuhá fáza za každých podmienok. Na druhej
strane, aj pri maximálnej pravidelnosti štruktúry polyméru prakticky nikdy nevykryštalizuje
celý objem podchladenej taveniny. Po znížení teploty na teplotu kryštalizácie sa polymérne
segmenty začnú usporadúvať do kryštalickej mriežky. Segmenty, ktoré sú už zabudované do
kryštalickej mriežky, majú presne definovanú polohy a ich translačný pohyb sa zastaví.
Súčasne sa ale znižuje pohyblivosť susedných segmentov, ktoré teda kryštalizujú pomalšie,
prípadne ani nemajú možnosť usporiadať sa do pravidelného tvaru a vytvoria amorfnú fázu,
t.j. zamrznutú tuhú, ale nekryštalickú štruktúru.
Z tohto
pohľadu je zaujímavá superpozícia rýchlosti kryštalizácie a pohyblivosti
segmentov s klesajúcou teplotou kryštalizácie. Čím je teplota kryštalizácie nižšia, tým je
väčšia hnacia sila, ktorá núti segmenty usporiadať sa do kryštalickej mriežky. Súčasne ale
rastie viskozita podchladenej taveniny a klesá pohyblivosť segmentov. Preto závislosť
rýchlosti kryštalizácie od Tm ide cez maximum, keď pri malom podchladení je hnacia sila
kryštalizácie malá, zatiaľ čo pri vysokom podchladení je síce hnacia sila veľká, ale
pohyblivosť segmentov, umožňujúca ich usporiadanie, je nízka.
Napokon v oblasti Tg sa translačný pohyb segmentov prakticky zastaví
a
časť materiálu, ktorá nestihla vykryštalizovať, sa transformuje do sklovitého stavu. Z tejto
úvahy súčasne vyplýva, že pri dostatočne vysokej rýchlosti kryštalizácie možno teoreticky
každú látku získať vo forme amorfného skla.
Ďalším dôsledkom tohto procesu je, že pokiaľ ochladzovanie neprebieha nekonečne
pomaly, v materiáli vždy existujú oblasti, ktoré nie sú termodynamicky v rovnováhe. Vedie
to k fenoménu tzv. sekundárnej kryštalizácie, kedy po zvýšení teploty do oblasti (hlboko pod
teplotou topenia) sa môže zvýšiť pohyblivosť segmentov natoľko, že umožní dodatočnú
kryštalizáciu.
Ako už bolo povedané vyššie, teplotu sklovitého prechodu Tg definujeme ako teplotu,
pri ktorej sa na závislosti merného objemu od teploty objaví ohyb resp. zlom. V tej istej
teplotnej oblasti sa zjavuje i zlom teplotných závislostí termodynamických funkcií, ako
entalpia a entropia. Prvá derivácia základných termodynamických funkcií, teplotný koeficient
objemu dV/dT a teplotný koeficient entalpie dH/dT = Cp (tepelná kapacita) sa mení skokom.
Taktiež sa menia skokom teplotné koeficienty transportných vlastností, ako viskozita, difúzia
plynov a relaxácia napätia, pričom modul pružnosti stúpne o niekoľko poriadkov. Absorpcia
mechanickej a elektrickej energie dosahuje maximum.
52
Fyzika tuhých látok
Pre stanovenie teploty sklovitého prechodu existuje viacero metód, ktoré využívajú práve
zmeny vlastností v oblasti Tg. Tg možno stanoviť napríklad dilatometricky, sledovaním
teplotnej rozťažnosti. Inou bežne používanou metódou je kalorimetria, najmä diferenciálna
snímacia kalorimetria DSC. Dôležitou metódou je i dynamicko-mechanická analýza, ktorou
sa pri postupnom zvyšovaní teploty priamo detegujú uvoľnenia určitých pohybov, pričom
najvýraznejšia odozva sa pozoruje pri uvoľneni pohybov segmentov hlavného reťazca, ktoré
zodpovedajú teplote Tg.
Metódy stanovenia Tg súvisia s dôležitým parametrom, tzv. voľným objemom.
Koncepciu voľného objemu si vysvetlíme nasledovnou úvahou. V tuhom telese molekuly nie
sú celkom tesne poukladané, sú medzi nimi voľné vakancie. Tieto súvisia so zamrznutím
resp. obmedzením pohybu v reálnom čase v určitom stave. Pri zvyšovaní teploty dochádza k
teplotnej objemovej expanzii. Pritom vlastný objem molekuly sa s teplotou takmer nemení a
prakticky sa mení len priestor medzi molekulami a súčasne sa zvyšuje pohyblivosť molekúl.
Podľa teórie Cohena a Turnbulla v kvapaline sústavne dochádza sústavne k redistribúcii
veľkosti vakancií, pričom molekula môže preskočiť len do toho priestoru. ktorý má aspoň
určitý minimálny objem. Preskoková frekvencia je určovaná nie energetickými faktormi, ale
faktormi
pravdepodobnostnými,
pričom
dôležitou
veličinou
je
kritický
objem.
Pravdepodobnosť, že určitá molekula preskočí na iné miesto je daná pravdepodobnobnosťou,
že v jej blízkosti sa vyskytuje dostatočne veľká vakancia.
Objemová teplotná rozťažnosť je spôsobená rastom voľného objemu. Pravdepodobnosť
možno vyjadriť veličinou f ako podielom priestoru obsadeného a neobsadeného. Závislosť f
od teploty je lineárna
f = f (T - T),
3.7
kde T a T je teplota systému a referenčná teplota a f je koeficient teplotnej rozťažnosti. Na
základe týchto predpokladov možno odvodiť vzťahy pre koeficient difúzie D v tvare
D = D exp (-1 / f (T - T)
3.8
alebo iné veličiny, napr. viskozitu η
η = η exp (-1 / f (T - T)
3.9
Alternatívou k pravdepodobnostným teóriám sú energetické teórie. Podľa týchto
preskok častice kvapaliny je možný len vtedy, ak má častica určitú nadbytočnú energiu, ktorá
jej umožní prekonať energetickú barieru. Teplotné závialosti sú dvojparametrové a majú tvar
Arrheniovej rovnice
D = D e-Ea/RT,
3.10
53
Fyzika tuhých látok
kde Ea možno považovať za aktivačnú energiu, resp. teplotný koeficient daného procesu.
Pritom si treba uvedomiť, že celková energia systému závisí od teploty, ale energia každej
jednotlivej častice (resp. pohybujúceho sa segmentu v prípade polyméru) nie je totožná s
ostatnými časticami a nie je ani konštantná. Častice (segmenty) do seba narážajú a
odovzdávajú si energiu, pričom náhodne môže niektorá častica nadobudnúť energiu,
postačujúcu na rozrazenie energetickej bariéry vytvorenej okolitými časticami. V takom
prípade dôjde k preskupeniu – translačnému pohybu.
Pri teplote T = 0 K koeficient difúzie klesne na nulu a viskozita nadobudne nekonečnú
hodnotu.
V r. 1921 Vogel, Fulcher a Tamman odvodili pri štúdiu viskozity anorganických skiel
dôležitú empirickú rovnicu, umožňujúcu priamy výpočet viskozity taveniny η pre akúkoľvek
teplotu T, ak sa experimentálne stanovila konštanta B a viskozita  pri referenčnej teplote
T
log = log + B / (T - T)
3.11
Porovnaním vzťahov vidno, že
f = log e / B.
3.12
Druhú kľúčovú semiempirickú rovnicu navrhli Williams - Landel – Ferry v r. 1953,
keď za referenčnú teplotu zvolili Tg a g je viskozita pri Tg. Táto rovnica má tvar
log  / g = -c1g (T - Tg) / c2g + T - Tg
3.13
a je natoľko významná, že je známa pod označením rovnica WLF. Podľa WLF rovnice
viskozitu η pri teplote T možno vypočítať na základe známej viskozity g pri teplote Tg, keď
c1g a c2g sú empirické parametre.
WLF rovnicu možno odvodiť z Vogelovej rovnice tak, že za základné parametre
dosadíme súradnice referenčného bodu g a Tg. Po substitúcii
c1g = B / Tg - T
3.14
a
c2g = Tg - T
3.15
dostaneme WLF rovnicu. V tomto prípade sú konštanty c1g a c2g takmer skutočne nezávislé
od teploty, ak sa ako referenčná teplota použije Tg. Univerzálne (priemerné) hodnoty
konštánt sú c1g = 17,4 a c2g = 52 K.
Pritom na základe predchádzajúcich vzťahov možno vyjadriť
f = 1/2,3 c1gc2g,
54
Fyzika tuhých látok
3.16
fg = 1/2,3c1g
Pri aplikácii univerzálnych hodnôt konštánt c1g a c2g dostaneme univerzálne hodnoty
f = 4,8 x 10-4 K a fg = 0,025. Pritom sa pozoruje dobrá zhoda f univerzálnej s
experimentálnymi hodnotami skutočne nameranými pre mnohé polyméry. Súčasne z
definície fg vyplýva, že pri Tg je voľný objem 2,5 % z celkového objemu telesa, čiže 97,5 %
je obsadených hmotou molekúl. Pri zvýšení teploty o 100 oC nad Tg nadobudne parameter fg
hodnotu 0,075, čiže voľný objem sa zvýši na 7,5 %.
Tento výsledok možno interpretovať i tak, že pod Tg je voľný objem prakticky
konštantný. V takom prípade meraná tepelná rozťažnosť materiálu v sklovitom stave bude
len mierou vlastnej rozťažnosti molekúl. Na základe úvah Simhu a Boyera možno objem
molekúl Vm pri absolútnej nule získať extrapoláciou z oblasti kvapaliny.
Ako už bolo povedané vyššie, Tg je formálne prechodom 2. poriadku. Z
termodynamického hľadiska však toto tvrdenie nie je celkom presné, pretože merania
termodynamických veličín v okolí Tg nie sú rovnovážne, ale úlohu hrá časový faktor
(rýchlosť zmeny teploty) a história vzorky (spôsob prípravy). Tg z tohto hľadiska nemožno
považovať za termodynamicky definovaný prechod. Dôsledkom je fakt, že experimentálne
stanovenie Tg konkrétneho polyméru závisí od použitej metódy a do istej miery od
podmienok experimentu. Preto sa v odbornej literatúre uvádzané hodnoty Tg líšia, niekedy i o
viac desiatok oC.
Termodynamická teória, ktorí prezentovali Gibbs a Di Marzio, hovorí, že rovnovážny
prechod skutočne existuje a leží v okolí Vogelovej teploty T. Prakticky sú však tieto
merania nerealizovateľné, pretože by vyžadovali nekonečne pomalé zmeny teploty. Pomerne
spoľahlivý obraz môžeme získať použitím mriežkového modelu, pomocou ktorého sa
vypočíta konformačná energia sústavy a konformačná entropia. S klesajúcou teplotou sa
zmenšuje počet realizovateľných makrokonformácií, pričom pochopiteľne prevládajú
energeticky chudobnejšie konformácie. Pri limitnej teplote absolútnej nuly v dokonale
zamrznutom stave by všetky makrokonformácie boli trans, počet možných stavov by bol 1 a
konformačná entropia nulová. Reálne sústavy zamrznú niekoľko desiatok stupňov nad touto
teplotou, keď je počet konformačných stavov malý a prechody zriedkavé.
55
Fyzika tuhých látok
3.2. Modely viskózne elastických materiálov
Začnime teraz problematiku viskóznych prostredí sledovať fenomenologicky. Pre
elastické prostredie platí, ako už vieme, Hookov zákon v symbolickom tvare
σ=Eε .
3.17
Newtonov zákon viskózneho tečenia môžeme napísať v tvare
σ = η ε’,
3.18
kde ε’ predstavuje rýchlosť deformácie.
Rovnica 3.18 nepopisuje deformácie spôsobujúce zmeny objemu pri deformácii prostredia,
ale popisuje len šmykové deformácie . Nič menej pri šírení sa elastických vĺn vo viskóznom
prostredí vznikajú za určitých podmienok aj deformácie objemu a z toho plynúci príspevok
k viskozite prostredia, nazývaný aj objemová viskozita η’.
Reálne prostredie, ako sme už povedali, má viskózne aj elastické vlastnosti. Nameranú
časovú závislosť šmykovej deformácie, tak ako je zobrazená na obrázku 3.6a, môžeme preto
rozložiť na tri zložky, a to pružnú, viskóznu a relaxačnú (obrázok 3.6b, c, d).
Predpokladajme, že napätie sa skladá z „pružného napätia“ σE a z „viskózneho napätia“
ση
σ = σ E + σ η = Eε + ηε' '
3.19
Táto rovnica sa nazýva aj Kelvinova rovnica.
Ak v čase t=0 na takéto prostredie pôsobíme pravouhlým impulzom mechanického napätia
T0, potom deformácia prostredia bude popísaná vzťahom
ε=
σ0
(1- e
E
t/τ
); τ = η .
3.19
E
56
Fyzika tuhých látok
Obrázok 3.6. Experimentálna časová závislosť šmykovej deformácie (a). Rozklad
deformácie na pružnú (b), viskóznu (c) a relaxačnú zložku (d)
Za dostatočne dlhý čas sa teda v prostredí vytvorí časovo nezávislá konštantná
deformácia ε ∞ =
σ0
E
a prostredie sa chová ako neviskózne. Reakcia prostredia na
priložené napätie nie je zrejme okamžitá, ale postupne dosiahne maximálnej hodnoty.
Podobne po prerušení pôsobenia napätia deformácia exponenciálne klesá k nule, pričom
relaxačný čas je určený vzťahom τ =
η
. Takýto typ deformácie nazývame oneskorená
E
deformácia.
Iný prístup k popisu viskózne elastických prostredí použil Maxwell, keď
predpokladal, že v prostredí pôsobia dva druhy deformácií, a to elastická a viskózna.
ε=εE+εη .
3.20
Po zderivovaní 3.6 podľa času a dosadení zo vzťahov 3.2 a 3.3 dostávame
σ' σ
ε = + .
E η
'
3.21
Z tejto rovnice vidíme, že deformácia sa skladá z deformácie úmernej napätiu a
z viskózneho tečenia.
Ak v čase t=0 začne v Maxwellovskom prostredí pôsobiť mechanické napätie
v tvare pravouhlého impulzu σ0, ktoré ostáva v čase nepremenné, potom riešenie rovnice
3.18 bude mať tvar
57
Fyzika tuhých látok
ε=
σ0 σ0
+
t.
E
η
3.22
Rovnica 3.22 dobre popisuje vlastnosti mnohých vysokopolymérnych látok ako sú
napríklad kolofónia, asfalty a iné. Zo vzťahu 3.22 je vidieť, že ak je napäťový impulz
krátky, látka sa chová ako pružná (druhý člen v rovnici je zanedbateľný). Tečenie
materiálu nastáva len pri dostatočnej dĺžke pôsobenia napäťového impulzu.
Nech teraz v čase t=0 začne v takomto prostredí pôsobiť pravouhlý deformačný
impulz σ0, ktorý ostáva v čase nepremenný, potom napätie bude popísané vzťahom .
σ = Eε 0 e
-t / τ
;τ=
η
.
E
3.23
Proces exponenciálneho poklesu mechanického napätia v závislosti od času nazývame
relaxáciou napätia a príslušný koeficient τ nazývame relaxačným časom.
Časové závislosti sily a deformácie pre obidva modely sú na obrázku 3.7
Obrázok 3.7. Časové závislosti sily a deformácie pre obidva modely(vľavo Kelvinov
model, vpravo Maxwellov model, symbol S korešponduje ε)
Stručne si teraz spomenieme mechanické modely vyššie uvedených prostredí, ktoré
umožňujú modelovanie reálnych materiálov.
Pružné prostredie je v týchto modeloch
reprezentované pružinou a viskózne valcom pohybujúcim sa
58
Fyzika tuhých látok
piestom vo viskóznej kvapaline(obrázok 3.8 a, b). Toto sú základné prvky.
Obrázok 3.8. Model pružného prostredia (a), model viskózneho prostredia (b)
Kelvinovské prostredie sa dá modelovať paralelne spojenými základnými prvkami
s tým, že ich spojnica AB je nepohyblivá a spojnica CD sa pohybuje po vodítkach, ktoré
zabránia deformácii systému (obrázok 3.9). Vtedy zväčšenie oboch základných elementov
bude rovnaké a celková sila pôsobiaca na model bude rovná súčtu síl pôsobiacich na oba
elementy. Tak sa skladajú aj pružné
a viskózne napätia v Kelvinovskom prostredí.
Z modelu vidíme, že okamžitá deformácia takéhoto modelu by vyžadovala nekonečne
veľkú silu, čo nie je možné. Pri postupnej deformácii konštantným napätím sa postupne
dosiahne konštantná hodnota deformácie.
Obrázok 3.9. Model Kelvinovského prostredia
59
Fyzika tuhých látok
Maxwellovské prostredie sa dá modelovať sériovým spojením základných prvkov tak,
ako je to vidieť na obrázku 3.10. V takom prípade tá istá sila pôsobí na oba elementy a ich
predĺženia sa skladajú.
Obrázok 3.10. Model Maxwellovho prostredia
Reálne viskózne elastické prostredia sa však správajú zložitejšie. Jedným z modelov je tzv.
Knezerov model zobrazený na obrázky 3.11.
Na obrázku 3.12 je zobrazená toková krivka gumárenskej zmesi, ktorá je kvalitatívne veľmi
podobná Knezerovmu modelu.
Na základe získaných poznatkov si teraz určíme komplexný Youngov modul, ktorý
je popísaný schematicky na obrázku 3.13 a z ktorého plynie, že viskózne vlastnosti
viskozne elastického modelu sú popísané imaginárnou časťou modulu a elastické
reálnou časťou modulu.
Obrázok 3.11. Knezerov model (vľavo schéma, vpravo časový priebeh sily a deformácie)
60
Fyzika tuhých látok
.
Obrázok 3.12. Toková krivka gumárenskej zmesi
Obrázok 3.13. Komplexný Youngov modul
Modul a aj viskozita sú teda frekvenčne závislé, čo je špecifikum viskózne
elastických materiálov.
Operátor efektívneho modulu bude mať v Maxwellovskom prostredí tvar
d
dt
.
E =
d
1+ τ
dt
η
3.24
Pre harmonický signál dostávame
E 
i
.
1  i
Ak rozložíme výraz pre efektívny modul na reálnu a imaginárnu časť, dostávame
E  E
2  2

 i
.
2 2
1  
1  2  2
3.25
Veličina
61
Fyzika tuhých látok
ReE 
E2  2
 E
1  2  2
3.26
sa nazýva dynamický modul.
1

ImE 
 

1  2  2
3.27
sa nazýva dynamická viskozita.
Zo vzťahov 3.26 a 3.27 vidieť, že pri nízkych frekvenciách (ωτ<<1) sa Maxwellovské
prostredie chová ako viskózna kvapalina, lebo dynamický modul je veľmi malý a
dynamická viskozita je frekvenčne nezávislá. S rastom frekvencie dynamická viskozita
začína klesať,
dynamický modul rastie a pre veľmi vysoké frekvencie (ωτ>>1) sa
Maxwellovské prostredie chová ako tuhá látka. Tento proces sa nazýva relaxáciou
viskozity.
V prípade Kelvinovského prostredia dynamický modul a dynamická viskozita sú
frekvenčne nezávislé.
3.3 Payneov efekt
Prídavok plniva do polymérnej matrice významne vplýva na priebehy jednotlivých
dynamických charakteristík v závislosti od zvyšujúceho sa stupňa dynamickej deformácie
a to s ohľadom na kvalitu interakcií vytvorených medzi samotnými časticami plniva
a časticami plniva a polymérnou matricou. Kvalita týchto interakcií sa dá posúdiť meraním
dynamickomechanických vlastností pripravených kompozitov pri rôznych amplitúdach
dynamickej deformácie.
Hodnoty elastického modulu (E') pre neplnené vulkanizáty sa pri zvyšovaní stupňa
dynamickej deformácie významne nemenia, v prípade plnených vulkanizátov však dochádza
k poklesu modulu, pričom tento efekt je pre vulkanizáty s vyšším obsahom plniva výraznejší.
Tento jav nazývame Payneov efekt. Keďže pri vysokých deformáciách je rozdiel hodnôt
modulov pre neplnený resp. plnený vulkanizát malý a pri nízkych deformáciách relatívne
veľký, Payneov efekt je vztiahnutý hlavne, ak nie výlučne, k sieti vytvorenej časticami plniva
v polymérnej matrici. Polymér zachytený v takejto sieti stráca svoju identitu a správa sa ako
plnivo. So zvyšovaním podielu plniva v systéme dochádza k zvyšovaniu efektívneho objemu
plniva a teda aj modulu. Ak aplikujeme vyšší stupeň deformácie, nastáva rozpad siete
vytvorenej časticami plniva, sprevádzaný uvoľňovaním polyméru, ktorý bol pôvodne viazaný
62
Fyzika tuhých látok
na plnivo. Znižuje sa tým efektívny objem plniva (ktorý predstavuje v dynamickom procese
skutočný objem plniva zväčšený o objem naviazaného imobilizovaného polyméru), uvoľnený
polymér nadobúda späť svoje pôvodné vlastnosti a dochádza k poklesu elastického modulu.
Z toho vyplýva, že Payneov efekt je možné využiť na charakterizovanie siete tvorenej
plnivom, ktorá pochádza z interakcií plnivo-plnivo a plnivo-polymér.
V prípade stratového modulu (E''), podobne ako modulu elastického, sa pozoruje nárast
jeho hodnôt so zvyšujúcim sa stupňom plnenia polyméru v celej škále dynamických
deformácií. V závislosti od nárastu deformácie však nedochádza k monotónnemu poklesu
hodnôt, ako v prípade elastického modulu, ale pozoruje sa maximum pri určitej deformácii,
charakteristickej pre danú dvojicu polymér-plnivo. Predpokladá sa, že priebeh stratového
modulu je kontrolovaný zánikom a znovuvytvorením siete z častíc plniva. Z toho vyplýva,
že stratový modul je závislý od rýchlosti zániku a obnovy siete. Rýchlosť zániku a obnovy
siete vychádza zo samotného javu dynamickej deformácie. Pri veľkej deformácii je zánik
siete výrazný, pričom k jej spätnej obnove prakticky nedochádza. Ak je deformácia
dostatočne veľká na to, aby sa sieť pri danej frekvencii znovu neobnovila, vplyv siete na
stratový modul bude eliminovaný.
Podobne, ak je deformácia malá (alebo sieť je dostatočne pevná) na to, aby došlo k
zániku siete, stratový modul nebude závislý od danej deformácie, ale bude závisieť hlavne od
príspevku polymérnej matrice počas cyklickej dynamickej deformácie kompozitu.
Zmena každého z modulov (elastický a stratový) v závislosti od veľkosti dynamickej
deformácie vychádza z iného mechanizmu. Kým elastický modul závisí vo významnej miere
od prítomnosti fyzikálnej siete (jej postupného zániku pri zvyšovaní dynamickej
deformácie) tvorenej časticami plniva v polymérnej matrici, stratový modul je
ovplyvňovaný opakovaným procesom zániku a znovuvytvárania danej štruktúry pri
cyklickom namáhaní. Stratový faktor, ako ich pomer, bude teda odrážať kombináciu týchto
dvoch procesov. Pri zvyšovaní amplitúdy elastickej deformácie sa v prípade elastického
modulu pozoruje monotónny, i keď nie lineárny pokles, zatiaľ čo závislosť stratového
modulu prechádza cez maximum. Pri zvyšovaní amplitúdy dynamickej deformácie je preto
priebeh stratového faktora ako podielu stratového a elastického modulu v závislosti od stupňa
dynamickej deformácie pre plnené polyméry je oveľa viac ovplyvnený zmenami hodnôt
stratového modulu. V závislosti od nárastu deformácie sa pozoruje nárast hodnôt tan , ktoré
prechádzajú maximom s následným prudkým poklesom pri väčších amplitúdach deformácie.
63
Fyzika tuhých látok
Spôsob tvorby fyzikálnej siete závisí od viacerých faktorov, predovšetkým od typu
plniva a parametrov jeho povrchu a tvaru. V prípade plniva, ktoré má vyššiu afinitu k
uhľovodíkovému polyméru, sa tvorba siete dá popísať mechanizmom vzájomného
prestúpenia polymérnych obalov plnív.
Interakciou polymér- plnivo dochádza k adsorpcii polymérnych reťazcov na povrch
plniva, čím sa obmedzí pohyblivosť segmentov polyméru. Výsledkom je vytvorenie
polymérneho obalu na povrchu plniva, kde sa zvýši viskozita a modul polyméru. Veľmi
vysoký modul v blízkosti povrchu častice plniva v polymérnom obale bude s narastajúcou
vzdialenosťou od povrchu plniva klesať, až pri určitej vzdialenosti bude taký istý, ako modul
pre polymérnu matricu. Ak sú dve alebo viac častíc plniva alebo agregáty k sebe dostatočne
blízko, vytvoria aglomerát mechanizmom vzájomného prestúpenia polymérnych obalov
častíc plniva. Sieť vytvorená takýmto mechanizmom bude menej rigidná ako sieť vytvorená
priamym kontaktom medzi agregátmi. Takýto typ siete môže začať zanikať už pri relatívne
malých deformáciách.
V prípade siete tvorenej priamym kontaktom agregátov spôsobuje vyššiu stratu energie
proces opakovaného zániku a následnej obnovy siete. To poukazuje na to, že pri vysokých
teplotách je vnútorné trenie medzi agregátmi dominantným mechanizmom. Pri znižovaní
teploty sa polymér dostane do oblasti skleného prechodu, kde hlavný podiel na stratách
vkladanej mechanickej energie má polymérna matrica .
Ak je sieť tvorená vzájomným prestupením obalov častíc, mechanizmus príspevku k
stratám energie je odlišný ako pre sieť popísanú vyššie. Pri vyšších teplotách je polymérna
matrica v kaučukovitom stave, ale polymér adsorbovaný na povrch plniva je vo fáze
prechodovej. To vedie k tomu, že obal môže absorbovať viac energie. So zvyšujúcou sa
teplotou klesá hrúbka obalu, čím sa zvýši mobilita reťazcov, čo vedie k nižšej hysterézii.
Spätná reaglomerácia plniva počas cyklickej dynamickej deformácie prebieha do vyššieho
stupňa. Ak teplota klesá, podiel polyméru zahrnutého do obalu častice plniva narastá,
pohyblivosť segmentov sa zmenší a podiel strát energie v obale sa zvýši vzhľadom na straty
energie v polymérnej matrici. Ak je teplota nízka natoľko, že polymér v obale je v sklovitom
stave ale polymérna matrica stále v kaučukovitom stave prípadne v prechodovej fáze,
efektívny objemový zlomok plniva sa podstatne zvýši. Plnivo má silný stužujúci efekt a
polymér v obale, tak ako polymér zachytený v aglomerátoch neprispieva k stratám energie v
danom systéme.
64
Fyzika tuhých látok
Pre daný systém polymér - plnivo, majú oba typy mechanizmov (spôsob priameho
kontaktu a vzájomné prestúpenie polymérnych obalov častíc) dôležitú úlohu pri tvorbe siete z
častíc plniva. Avšak vzhľadom na vlastnosti polyméru a charakter povrchu plniva, ktoré
určujú interakcie polymér - plnivo a
plnivo- plnivo sa môže jeden z mechanizmov
prejavovať v podstatne väčšej miere.
Najvýraznejší vplyv na zmenu dynamických vlastností plnených polymérov má
morfológia častíc plniva, konkrétne veľkosť častíc alebo ich špecifický povrch a štruktúra
častíc. S rastúcim špecifickým povrchom sadzí pri konštantnom plnení sa pozoruje
výraznejší pokles elastického modulu so zvyšujúcim sa stupňom dynamickej deformácie.
Nárast v Payneovom efekte naznačuje veľkú schopnosť aglomerácie malých častíc
(agregátov) sadzí v polymérnej matrici.
Z týchto úvah vyplýva, že merania Payneho efektu môžu významne prispieť
k charakterizácii interakcií medzi zložkami plneného vulkanizátu v dynamických
podmienkach.
Payneov efekt budeme sledovať na priebehoch dynamických charakteristík polymérov s
rôznym obsahom plniva v závislosti od stupňa dynamickej deformácie.
Porovnáme dva typy elastomérnej matrice (EPDM, SBR) a jedna termoplastická
matrica (LDPE). Ako plnivá sa použili sadze a rôzne typy SiO2. Všetky merania sa vzťhujú
na teplotu 130°C, aby sa umožnilo dosiahnutie dostatočne vysokej deformácie, ktorá je
potrebná na ovplyvnenie fyzikálnej siete. Pri nižších teplotách je polymérna matrica príliš
tuhá, pričom testovací prístroj nie je schopný vyvinúť silu, potrebnú na dosiahnutie väčšej
amplitúdy dynamickej deformácie, teda sa nedosiahne deformácia materiálu potrebná na
výrazný Payneov efekt. Tento prípad sa demonštruje napr. na závislosti elastického modulu
na obrázku 3.14, keď sa nepodarilo dosiahnuť vyššiu dynamickú deformáciu ako 8-10%.
Pri testovaní kompozitov s termoplastickou matricou je nevyhnutné merania uskutočniť
nad teplotou topenia polyetylénu, aby sa eliminoval vplyv kryštalinity, ako hlavného
stužujúceho prvku. Takýmto spôsobom na Payneov efekt vplýva len vytváranie a zánik
fyzikálnej siete, tvorenej časticami plniva, podobne ako pri elastoméroch. Samozrejme, pri
meraniach nad teplotou topenia je potrebné pracovať so zosieťovanou matricou a takto
zabezpečiť elastický charakter materiálu bez výraznej trvalej nevratnej deformácie.
65
Fyzika tuhých látok
14
13
E', MPa
12
11
10
9
8
1
10
100
stupeň dynamickej deformácie, %
Obrázok 3.14. Závislosť modulu od stupňa dynamickej deformácie pre EPDM/40 hm.%
SA(109) pri teplote 70°C a frekvencii 1 Hz
Prídavok plniva do polymérnej matrice vo všeobecnosti vplýva na zvýšenie hodnôt
elastického modulu, čo je spôsobené charakterom plniva, ktoré sa správa ako Hookovské
teleso. Porovnaním hodnôt modulov pre danú teplotu, frekvenciu, amplitúdu deformácie a
zvolenú dvojicu polymérna matrica - plnivo zistíme, že so stupňom plnenia hodnoty modulu
rastú (obrázok 3.15).
Na obrázku 3.16 je porovnanie priebehov modulov pre kaučuk neplnený, resp. plnený
sadzami. Pre neplnený kaučuk sa hodnota modulu so zvyšujúcim sa stupňom deformácie
výrazne nemení, pričom jeho hodnota je približne 3 MPa. Pre kaučuk s obsahom 15 hm.%
sadzí sa pozoruje mierny pokles modulu pri dynamickej deformácii 10% a vyššej. Hodnoty
modulu pre túto vzorku sa pohybujú nad úrovňou 4 MPa. V prípade vzorky s 35 hm.% sadzí
sa v danej škále deformácií pozoruje výrazný pokles modulu, a to zo 7,3 MPa pri deformácii
0,7% na 4,5 MPa pri deformácii 20%. Pokles modulu v závislosti od deformácie je
spôsobený postupným zánikom siete, ktorá bola vytvorená z častíc plniva, teda dochádza k
zániku interakcií medzi agregátmi sadzí (rozpad aglomerátov) a taktiež medzi časticami
plniva a matricou. Pre tento systém je typické, že k poklesu modulu dochádza už pri nízkych
deformáciách a jeho pokles so zvyšujúcim sa stupňom dynamickej deformácie je viac-menej
monotónny. Tento jav sa dá popísať spôsobom tvorby siete pozostávajúcej z častíc plniva v
66
Fyzika tuhých látok
polymérnej matrici. V danom prípade pri dostatočne vysokej koncentrácii plniva dochádza
k vzájomnému prestúpeniu polymérnych obalov častíc (medzifáz).
So zvyšujúcim sa stupňom deformácie dochádza k uvoľňovaniu polymérnych reťazcov
z medzifázy, čím klesá jej hrúbka. Keďže vlastnosti medzifázy sa menia viac-menej plynule
od hodnôt pre plnivo po hodnoty typické pre polymérnu matricu, medzifáza prispieva k
vyššiemu modulu kompozitu, jej narušením dochádza k poklesu modulu. Pri danej frekvencii
a amplitúde deformácie pri cyklickej deformácii dôjde k opätovnej obnove siete vzájomným
prestúpením medzifáz len čiastočne, alebo vôbec nie. Miera narušenia fyzikálnej siete
a stupeň jej obnovenia bude, samozrejme, závisieť od amplitúdy a v menšej miere i od
frekvencie. Rozdiel medzi hodnotami modulov pre plnený a neplnený kaučuk teda bude pri
určitom zjednodušení zodpovedať hustote fyzikálnej siete vytvorenej v polymérnej matrici.
Podobnú závislosť zmeny modulu od stupňa cyklickej dynamickej deformácie vykazuje
aj SBR plnený sadzami, ako vidno na obrázku 3.15. Takýto systém (kombinácia kaučuk
sadze) je v literatúre pomerne podrobne popísaný. Porovnaním údajov v literatúre bola
zistená dobrá zhoda s uvedenými výsledkami čo sa týka priebehu modulov v závislosti od
nárastu dynamickej deformácie a hodnôt modulov pri rovnakom obsahu plniva v polymérnej
matrici, čo poukazuje na správnosť meraní a umožňuje považovať ďalšie merania za
relevantné.
8
EPDM/sadze
E', MPa
6
4
2
0
0 hm.%
15 hm.%
35 hm.%
1
10
stupeň dynamickej deformácie, %
100
Obrázok 3.15. Závislosť modulu od stupňa dynamickej deformácie pre EPDM s rôznym
obsahom sadzí pri teplote 130°C a frekvencii 1 Hz
67
Fyzika tuhých látok
8
SBR/sadze
0 hm.%
20 hm.%
40 hm.%
E', MPa
6
4
2
0
1
10
100
stupeň dynamickej deformácie, %
Obrázok 3.16. Závislosť modulu od stupňa dynamickej deformácie pre SBR s rôznym
obsahom sadzí pri teplote 130°C a frekvencii 1 Hz
Na obrázkoch 3.17 a 3.18 sú vynesené závislosti modulov E a G pre behúňovú zmes.
Vidieť, že aj pri statickom meraní elastických modulov sa prejavuje Payneov efekt poklesom
hodnoty oboch modulov.
Obrázok 3.17. Závislosť Youngovho modulu od kolmo pôsobiaceho tlaku
68
Fyzika tuhých látok
Obrázok 3.18. Závislosť šmykového modulu od kolmo pôsobiaceho tlaku
Z praktického hľadiska sú pre zisťovanie viskózne elastických vlastností pneumatík
určené dva základné parametre, vyznačené na obrázku 3.19. Sú to adhézia za mokra a valivý
odpor. Adhézia za mokra, ktorá určuje adhéziu pneumatiky k vozovke a valivý odpor
ovplyvňuje spotrebu paliva.
Obrázok 3.19. Definícia adhézie za mokra a valivého odporu
69
Fyzika tuhých látok
Vidieť, že tzv. silika (SiO2) zvyšuje adhéziu za mokra a znižuje valivý odpor
pneumatiky v porovnaní so sadzovým plnivom. Na obrázku 3.20 je priebeh tgδ pre rôzne
kaučuky a plnivá.
Obrázok 3.20. Teplotná závislosť tgδ pre rôzne kaučuky a plnivá
Záverom sa budeme venovať problematike lomu polymérnych materiálov.
Lom nastáva pri veľkých deformačných napätiach a energia potrebná na jeho realizáciu sa dá
rozdeliť na tri časti:
1. Časť energie sa spotrebuje na porušenie hlavných a vedľajších väzieb
a nového
voľného povrchu .
2. Najviac z tejto energie sa využije na procesy toku v blízkosti lomovej plochy.
3. Akumulovaná pružná energia sa v deformovanom telese absorbuje vo forme
zvukovej, a teda i tepelnej energie.
Lomový dej môžeme charakterizovať nasledovnými procesmi:
a. Existencia submikroskopických trhlín a vrubov.
b. Vytvorenie maxima napätia spolu s dokonale pružnou deformáciou. Tieto maximá
napätia vznikajú na koncoch mikroskopických trhlín vo vruboch s malým polomerom, na
nehomogenitách, prípadne na povrchu.
c. Vznik molekulárnych preskokov v namáhanej oblasti, ktoré umožňujú pokles
kritických napätí a zahladzovanie mikroskopických trhlín.
70
Fyzika tuhých látok
d. Vznik nového povrchu, pričom sa trhajú molekuly, ale aj vedľajšie väzby.
e. Zotrvačná hmotnosť v blízkosti namáhaného miesta zamedzuje šíreniu sa veľkých
napätí na väčšie vzdialenosti.
f. Premena časti pružnej energie v mieste lomu na elastické vlny, šíriace sa rýchlosťou
zvuku, ktoré podporujú šírenie sa lomu.
g. Vznik húževnatých (tiež deformačných) lomov v amorfných oblastiach
a krehkých
lomov v kryštalických oblastiach. Rozlišujeme sklzy v smere šmykových napätí od trhlín,
ktoré sú kolmé k smeru pôsobiaceho napätia.
V prvom prípade dôjde k toku v blízkosti lomovej plochy, kde je možné pozorovať
vznik charakteristických útvarov typických pre húževnatý lom. V prípade krehkého lomu sa
žiaden tok nevyskytuje. Pre druh lomu je charakteristická rýchlosť deformácie a možnosť
zacelenia molekulárnych trhlín.
Pri lomových skúškach hovoríme o tzv. rázovej húževnatosti. Rázová húževnatosť je
definovaná ako práca potrebná na prerazenie skúšobného telesa prepočítaná na jednotku
plochy. Ak pri meraní rázovej húževnatosti sa vytvorením vrubov zamedzí vzniku pružného
napätia vo veľkej oblasti materiálu a vo vrube vzniká vysoká akumulácia napätia, potom
hovoríme o vrubovej húževnatosti.
Pevnosť materiálu závisí aj na teplote a dĺžke skúšky. Dlhodobé skúšky dávajú nižšie
hodnoty pevnosti materiálu. Pri opakovaných skúškach dochádza k únavovým lomom.
Zvýšenie pevnosti materiálu môžeme dosiahnuť napríklad plnením, dĺžením, pridaním
zmäkčovadiel, čím sa teplota zoskelnatenia posúva k nižším teplotám.
Ak maximálne napätie prekročí molekulárnu pevnosť, trhlina postupuje. Teória vrubov
vysvetľuje nižšie namerané hodnoty pevnosti len čiastočne.
Hlavnou príčinou týchto rozdielov je vplyv štatistickej polohy molekúl na
nerovnomernom rozdelení napätí na jednotlivé väzby. Nedá sa hovoriť o žiadnych stredných
hodnotách napätí pre jednotlivé molekuly. Molekulárnymi preskokmi dochádza pred
samotným roztrhnutím k predĺženiu materiálu, čo spôsobuje jeho spevnenie. Rázová
húževnatosť ako funkcia teploty má u plastov výrazné maximum (pozri obrázok 3.21), ktoré
sa pri zvýšení rýchlosti rázu posúva k vyšším teplotám.
71
Fyzika tuhých látok
Správanie polymérnych materiálov pri trhacích skúškach sa líši od podobných javov
v anorganických sklách a kryštalických látkach, najmä pôsobením hlavných a vedľajších
väzieb. Záverom teda môžeme zhrnúť o lomoch nasledovné.
Pri nízkych teplotách nastáva pretrhnutie krehkým lomom vznikajúcim z náhodných
trhlín. S rastúcou teplotou alebo pozvoľnejším pôsobením napätia nastáva tok a reorientácia
molekúl, čo spotrebuje značnú časť energie rázu. Preto je rázová húževnatosť pri vyšších
rýchlostiach rázu a nízkych teplotách menšia.
Pri opracovávaní výrobkov z plastu je potrebné pracovať s vysokými reznými rýchlosťami,
aby sa zabránilo toku.
Poznámka:
Vo fyzike tuhých látok sa často hovorí o vnútornom trení, ktoré súvisí s pohybmi atómov a
molekúl látky vyvolanými vonkajším pôsobením (napríklad dislokačné tečenie kovov).
Problematika vnútorného trenia spojená so všeobecnými pohybmi molekúl sa však nedá
popisovať vyššie uvedenými vzťahmi platnými pre šmykové deformácie pri zanedbaní
objemovej deformácie.
Obrázok 3.21. Závislosť rázovej húževnatosti od teploty pre rôzne rýchlosti rázu
Zhrnutie pojmov kapitoly
Charakteristiky viskóznych a viskózne elastických prostredí, charakteristika tokov materiálov,
fyzikálne stavy polymérov, semiempirické rovnice skleného stavu, modely vikózne elastických
materiálov, komplexný Youngov modul, Payneov efekt, lomové vlastnosti polymérov.
72
Fyzika tuhých látok
Otázky k prebranému učivu
1.Definujte Newtonovské kvapaliny.
2. Kvalitatívne popíšte tok materiálu z mikroskopického pohľadu.
3. Čo je to entropická pružnosť?
4. Opíšte podmienky skleného stavu.
5. Aké rovnice popisujú sklený prechod v polyméroch?
6. Vysvetlite Kelvinov model.
7. Vysvetlite Maxwellov model.
8. Vysvetlite Knezerov model.
9. Vysvetlite podstatu komplexného Youngovho modelu.
10. Vysvetlite Payneov jav.
11. Popíšte procesy pri lome polymérov.
73
Fyzika tuhých látok
4.
Tepelné vlastnosti tuhých látok
Čas na štúdium: 4 hodiny
Cieľ Po preštudovaní kapitoly
 budete oboznámení s popisom kmitov atomov
 naučíte sa vyjadriť tepelné kapacity pre rôzne modely
 zoznámite sa s kvantovomechanickým popisom kmitov atómov
 naučíte sa chápať vzťah medzi štruktúrou materiálu a jej matematickým
opisom
 pochopíte fenomenologické vzťahy pre teplotnú a tepelnú vodivosť
Výklad
4.1. Knity kryštalickej mriežky
Štúdium
tejto
problematiky
začneme
analýzovvzájomnéhopôsobeniamedzidvomiatomami. Prvý atom je fixovaný v počitku
súradníc a druhý sa pohybuje po osi x (obrázok 4.1).
Obrázok 4.1. Priebeh potenciálnej energie dvoch atómov
Potenciálnaenergia atomu sa dá rozvinut do Taylorovho radu v tvare
1  d2U 
1  d3U 
 dU 
2


 R  R0  3  ...


U R   U R0   
R

R

 R  R0   
0
2 
3 
d
R
2
6
d
R
d
R

 R0

 R0

 R0
4.1
74
Fyzika tuhých látok
Pre R  R0
sa dU dR R0  0 x
druhú deriváciu v Taylorovom rozvoji označíme ako
kladné číslo β a tretiu deriváciu ako -2γ,
U R0    R0 , R  R0  x .
Potom môžme vzťah 4.1 prepísať do tvaru
U x   U0  21 βx 2  31 γx 3 .
4.2
Ďalej platí
F 
dU
  βx  γx 2 .
dx
4.3
S ohľadom na fakt, že v tuhej látke pôsobia ako príťažlivé tak aj odpudivé sily, môžme
tento fakt kvalitatívne popísať vzťahom
U R  
A
B
 n .
m
R
R
4.4
Kde exponent m reprezentuje odpudivé sily a n príťažlivé. Pre rovnovážnu polohu
atómov na obrázku 4.1 potom dostávame vzťah
R0  mA nB
1
m  n 
.
4.5
Pristúpme teraz ku kvantitatívnym odhadom síl pôsobiacich medzi atómami. Za týmto
účelom skúmajme deformáciu molekuly na obrázku 4.2 pod vplyvom vonkajšej sily na
jednoduchom klasickom modeli kmitajúcich atómov.
Obrázok 4.2. Silové pôsobenie na atómy v molekule sa prejaví deformáciou Δa.
Pre frekvenciu kmitajúcich atómov platí vzťah, ktorý poznáme z kmitov harmonického
oscilátora v tvare
75
Fyzika tuhých látok
ν
1 K 
 ,
2π  m 
4.6
kde K je pružinová konštanta (pevnosť väzby) a m je hmotnosť. Hookov zákon môžme potom
vyjadriť pomocou obrázku 4.3 ak A je plocha.
Zrejme potom platia vzťahy
Δa 1 F

,
a0 Y A
F  K Δa ,
4.7
Δa 1 K Δa

a0 Y a02
,
odkiaľ môžeme vypočítať „pružinovú konštantu
K  a0Y .
4.8
Pre hliník, kde a0 sa rovná 2,86.10-10 m a Y(E) je rovné 7.1010 Pa
K=20N/m. Odpovedajúca frekvencia kmitov je 3,4.1012 Hz, čo sa rádovo zhoduje
s experimentálnymi údajmi (6,4.1012 Hz).
Δa 1 F
1 F
.


a0 Y A Y a02
Obrázok 4.3. Hookov zákon
76
Fyzika tuhých látok
Pre strednú hodnotu amplitúdy kmitov platí vzťah
 2kT 
A 
.
 K 
4.9
Po dosadení za príslušnékonštantydostávame

 2 . 1,38 . 10 23 J deg1 . 300 deg 
 2kT 
  2,0 . 10 11 m  0,20 A ,
A 
  
20 N/m
 K 


4.10
čo je hodnota o niečo väčšia ako sme vypočítali, ale rádovo sa zhoduje s realitou.
Poznámka
Vlastnosti jednotlivých typov väzieb sú uvedené v nasledovnej tabuľke
Zaoberajme sa ďalej zložitejším problémom, a to popisom kmitov atómov modelom
spriahnutých oscilátorov. Predpokladajme, že sila pôsobiaca na rovinu s, ktorá je spôsobená
77
Fyzika tuhých látok
výchylkou roviny s+p je úmerná rozdielu výchyliek us+p – u s . Pohubová rovnica bude mať
v takomto prípade tvar
d2u s
  C p us  p  us 
dt 2
p
M
Cp
je
silová
4.11
(pružinová)
závislá
na
smere
namáhania.
Riešenie tejto diferenciálnej rovnice pre susedné roviny má tvar
ω2 
2C1
1  cos Ka  .
M
4.12
K je vlnový vektor. Riešenie 4.10 je graficky zobrazené na obrázku 4.4, kde sme využili
trigonometrických vzťahov
1
4C1
ω 
sin2  21 Ka  ;
M
2
Ka
 4C  2
ω   1  sin
.
2
 M 
Vidíme ,že pre hodnoty vlnového vektora K z oblasti tzv. prvej Brillouinovej zóny platí

π
π
K  .
a
a
4.13
V týchto hraničných bodoch je grupová rýchlosť vlny nulová (dotyčnica ku krivke v
maxime) a vlna sa správa ako stojatá(pozri obrázok4.5).
Obrázok 4.4. Grafické zobrazenie rovnice 4.10
78
Fyzika tuhých látok
Obrázok 4.5. Priebeh grupovej rýchlosti v prvej Brillouinovej zóne
V prípade, že kryštál je zložený z dvoch druhou atomov o hmotnostiach M1> M2budú mať
pohybové rovnice tvar
M1
d2 u s
 C v s  v s 1  2us  ,
dt 2
M2
d2v s
 C us 1  us  2v s  .
dt 2
4.14
Graficky je riešenie rovnice 4.12 zobrazené na obrázku 4.6. Z obrázku je vidieť, že na hranici
Brillouinovej zóny existujú zakázané frekvencie.
Obrázok 4.6.Riešenie rovnice 4.12
Na obrázku 4.7 je zobrazené ako kmitajú atómy v optickej (dá sa vybudiť len optickými, teda
veľmi vysokými frekvenciami) a akustickej vetvy.
79
Fyzika tuhých látok
Obrázok 4.7.Kmity atómy v optickej a akustickej vetve
Okrem toho, že na hraniciach Brillouinovej zóny sú zakázané frekvencie sú elastické
vlny v kryštáloch tvorené fonónmi ako kvantami s energiou
E  n 
1
2
 ω ,
4.15
4.2. Teplotná rozťažnosť
Rozvinieme si poznatkyz úvodu tejto kapitolya vyjadríme si silu a potenciálnu energiuv tvare
F 
dU
  βx  γx 2
dx
U
βx 2  31 γx 3
1
2
4.16
Potom pravdepodobnosť, že výchylka atómu z rovnovážnej polohy bude x sa dá na
základe poznatkov zo štatistickej fyziky ( pozri kapitolu 2) vyjadriť vzťahom

U
f x   A exp  
 k 0T
2

  Ae  βx / 2k0T


γx 3
1 
3k 0T


 .

4.17
S ohľadom na fakt, že atóm musí existovať platí normovacia podmienka v tvare
f x  dx  A  e  βx





2
/ 2 k0T

γx 3 
1 
 dx  1 .
3
k
T
0


4.18
Pre strednú hodnotu výchylky dostávame po úpravách vzťah
 β
x   x f x  dx  

 2πk 0T

12






e  βx
2
k0T

γx 4
 x 
3k 0T


γk T
 dx  02
β

Pre koeficient teplotnej rozťažnosti potom po úpravách získame vzťah
80
4.19
Fyzika tuhých látok
α
γk
x
 02 ,
aT aβ
4.20
kde a je medziatomová vzdialenosť a k je Boltzmannova konštanta.
Zo vzťahov 4.17 a 4.18 vidieť, že keby neexistoval anharmonizmus kmitov,
reprezentovaný
koeficientom
γ
bola
by
teplotná
rozťažnosť
látok
nulová.
4.3. Tepelná vodivosť
V tejto časti sa budeme venovať kvalitatívnemu prístupu k popisu tepelnej vodivosti.
Koeficient tepelnej vodivosti je pri vysokých teplotách nepriamo úmerný absolútnej teplote
a priamo úmerný volnej dráhe fonónu, ktorá je zas nepriamo úmerná koeficientu
anharmoničnosti Koeficient anharmoničnosti a aj koeficient tepelnej vodivosti sú tak
nepriamo úmerné γ2 a teda platí
x
1
,
γ 2T
4.21
Celkový vzťah pre koeficient tepelnej vodivosti pri vysokých teplotách sa dá zapísať
v tvare
x  konst
M 3ν 07
.
a 8γ 2T
4.22
M je hmotnosť atomuv0 je rýchlosť zvuku a a je medziatomová vzdialenosť. Opäť vidíme, že
keby neexistoval anharmonizmus, tepelná vodivosť by bola nekonečne veľká.
Pozrime sa ale na problematiku tepelnej vodivosti z pohľadu fonónových interakcií.Pierls
ukázal, že z hľadiska tepelnej vodivosti materiálu nie sú dôležité procesy pre ktoré platí
K1  K 2  K 3 ,
4.23
ale tzv. U-procesy(umklappen=skolopiť, preklopiť), v ktorých figuruje aj vktorGreciprokej
mriežky, čo je symbolicky zobrazené na obrázku 4.8.
K1  K 2  K 3  G ,
4.24
81
Fyzika tuhých látok
Obrázok 4.8. vektorový diagram normálneho rozptylu (vľavo) a U-procees( vpravo)
4.4. Tepelné kapacity- klasický model
V tejto časti sa budeme zaoberať modelmi tepelnej kapacity. Stredná hodnota energie
klasického harmonického oscilátora modelujúceho tepelné kmity atómov mriežky s tromi
stupňami voľnosti sa dá v mriežke s N0(Avogadrovo číslo) atómami vyjadriť vzťahom
U  3N0 kT  3RT ,
4.25
Merná tepelná kapacita za konštantného objemu je definovaná vzťahom
 U 
cV  
 ,
 T γ
4.26
a po dosadení dostávame Dulong Petitov zákon v tvare
cγ  3R  5,97 kcal kmoldeg .
4.27
Na obrázku 4.9 vidieť, že pri vysokých teplotách sa tepelné kapacity približujú k hodnote
určenej Dulong Petitovým zákonom, ale tento zákon nie je schopný vysvetliť teplotnú
závislosť mernej tepelnej kapacity.
82
Fyzika tuhých látok
Obrázok 4.9. Teplotná závislosť mernej tepelnej kapacity
4.5. Tepelné kapacity- Einsteinov model
Einstein predpokladal, že energia oscilátorov musí byť kvantovaná a dá sa vyjadriť vzťahom
E 
hv
,
exp hv kT   1
4.28
kde podobným myšlienkovým postupom ako v predchádzajúcom prípade vyjadríme energiu
oscilátorov v tvare
U  3N0 E 
3N0 hv
exp hv kT   1
.
4.29
A následne vypočítame mernú tepelnú kapacitu za konštantného objemu v tvare
exp hv kT 
 U 
 hν 
cv  
.
  3R 

2
 T v
 kT  exp hv kT   1
2
4.30
Einsteinov model zjavne popisuje teplotnú závislosť mernej tepelnej kapacity, ale Einstein
neuvažoval interakciu medzi jednotlivými oscilátormi a tak jej priebeh sa líši pri nízkych
teplotách od experimentálnych dát, ako je to vidieť na obrázku 4.10.
83
Fyzika tuhých látok
Obrázok 4.10. Teplotná závislosť mernej tepelnej kapacity podľa Einsteinovho modelu.
4.6. Tepelné kapacity- Debyeov model
Debye uvažoval o materiáli nie ako o súbore nezávislych oscilátorov, ale ako o kontinuu
v ktorom sa môžu šíriť dve priečne vlny a jedna pozdĺžna. Počet takýchto vĺn danom
frekvenčnom intervale je rovný
 1
2 
nν  dν  4π  3  3  ν 2 dν .
νt 
 νl
4.31
Merná tepelná kapacita za konštantného objemu má tvar
 U 
cV  
  9R
 T V
  T  3 θ T x 3 dx

1
θ 
 
4    0
.
exp x   1  T  exp θ T   1
  θ 
4.32
kde
θ
hν m
.
k
4.33
je Debyeova teplota zlomu na teplotnej závislosti mernej tepelnej kapacity za konštantného
objemu ako to vidieť na obrázku 4.11.
84
Fyzika tuhých látok
Obrázok 4.11. Debyeova teplota
4.7. Tepelné kapacity- elektrónová merná tepelná kapacita
U kovov pristupuje k mriežkovému príspevku k mernej tepelnej kapacite aj príspevok
od elektrónového plynu, ktorý je úmerný absolútnej teplote a má tvar
cVe 
1 2  kT 
 R .
π 
2
u
 F 
4.34
Pri nízkych teplotách je tento príspevok dobre rozlíšiteľný od mriežkového príspevku, ktorý
je úmerný tretej mocnine absolútnej teploty.
Zhrnutie pojmov kapitoly (podkapitoly)
Kmity atómov, kmity jednorozmerného reťazca s jedným a dvomi druhmi atómov,
pojem Brillouinovej zóny, optické a akustické módy, tepelná vodivosť a teplotná
rozťažnosť,fonóny, Klasický model mernej tepelnej kapacity, Einsteinov model mernej
tepelnej kapacity, Debyeov model mernej tepelnej kapacity, Debyeova teplota, merná
tepelná kapacita elektrónového plynu.
Otázky k prebranému učivu
1.Vysvetlite klasický popis kmitov atómov.
2.Čo určuje Brillouinova zóna pri kmitoch atómov?
3.Vysvetlite pojem akustická a optická vetva.
4.Aká by bola teplotná rozťažnosť materiálov bez anharmonického člena?
5.Aká by bola tepelná vodivosť materiálov bez anharmonického člena?
85
Fyzika tuhých látok
6.Čo je to fonón?
7. Ako fonónové procesy ovplyvňujú tepelnú vodivosť?
8. Vysvetlite modely pre mernú tepelnú kapacitu?
86
Fyzika tuhých látok
5.Dielektrické vlastnosti tuhých látok
Čas na štúdium: 6 hodin
Cieľ
Po preštudovaní kapitoly
 budete
oboznámení
s typmi
polarizácie
dielektrík
v statickom
i premenlivom elektrickom poli
 zoznámite sa s mikroštrukturálnym výkladom polarizácie
 naučíte sa chápať vzťah medzi štruktúrou materiálu a optickými
vlastnosťami materiálov
 pochopíte vzťahy medzi elektrickými a optickými vlastnosťami
 zvládnete tenzorový popis optických javov
 osvojíte si poznatky o rôznych typoch dielektrík
Výklad
5.1.Polarizácia dielektrika v statickom a striedavom elektrickom poli
V úvode si heslovite zopakujeme poznatky z elektrostatiky. Začneme s pojmom dipólu
a jeho interakciou s elektrickým polom.
Elektrický dipól je sústava dvoch rovnako veľkých nábojov opačného znamienka,
umiestnených veľmi blízko pri sebe (obrázek 5.1).


Dipólový moment je p = Q I ,
5.1
kde l je vzdialenosť nábojov a Q je elektrický náboj. Dielektrikum v elektrickom poli si
predstavujeme ako súbor dipólov.
Popri vonkajšom elektrickom poli, do ktorého sme vložili dielektrikum, nachádza sa v
jeho vnútri vždy od nuly rôzne vnútorné (lokálne, interné) elektrické pole. Tieto javy
nazývame dielektrickou polarizáciou (obrázok 5.2).Ak je v elektrickom poli kov, polarizácia
nenastáva. Tento jav je podstatou tzv. Faradayovej klietky (obrázok 5.3).
Venujme sa teraz analýze jednotlivých typov polarizácie.
87
Fyzika tuhých látok
Elektrónová polarizácia je jav kedy pod vplyvom vonkajšieho elektrického pola
dochádza k deformácii elektrónového obalu.
9
E=10 Vm
-1
Napríklad pri intenzite elektrického poľa
zmena polohy elektrónov príp. iónov z rovnovážnej polohy neprevyšuje
vzdialenosť10-12-10-14m. Elektrónová polarizácia je teplotne nezávislá. Po odstránení
dielektrika z elektrického poľa sa systém nosičov nábojov vráti za veľmi krátky čas 10-12
s(obrázky 5.4 a 5.5).
Obrázok 5.1. Model elektrického dipólu.
Obrázok 5.2. Elektrické pole v dielektriku
88
Fyzika tuhých látok
Obrázok 5.3. Elektrické pole v kove
Obrázok 5.4. Atóm bez elektrického poľa
Popri procesoch polarizácie, ktoré sú spojené so vznikom indukovaného dipólového
momentu v látke, poznáme aj také procesy, ktoré súvisia s orientáciou už existujúcich
permanentných dipólových momentov. Ide o orientačnú polarizáciu.
Molekula H2O tvorí dipól, lebo ťažisko + náboja a ťažisko - náboja sú navzájom posunuté.
Poznáme aj také dielektriká, v ktorých sa v určitom intervale teplôt objavuje výrazná
závislosť ich relatívnej permitivity od teploty. Uvedená osobitosť je obyčajne spojená s
približovaním sa ich teploty k teplote fázového prechodu.
89
Fyzika tuhých látok
Elektrické pole mení výšku potenciálových bariér, čo vedie k presunu nosičov náboja do
energeticky výhodnejších polôh, a tým k nesymetrickému rozloženiu nábojov – vzniká
relaxačná polarizácia.
Takáto polarizácia je teplotne závislá a relaxačný čas je v intervale 10-10-10-2 s a posun
častíc je v intervale 10-10-10-11.
Je charakteristická pre polyméry ale aj materiály s nedostatočne pevnou iontovou väzbou.
Obrázok 5.5. Atóm v elektrickom poli
V makroskopicky nehomogénnych dielektrikách sa stretávame s migračnou
polarizáciou, t. j. nahromadenie nosičov náboja na hraniciach nehomogenít.
V elektretoch sa vhodným tepelným spracovaním pri súčasnom pôsobení elektrického
poľa alebo svetla vytvára polarizačný náboj. Elektret vytvára vo svojom okolí permanentné
elektrické pole. V textúrach elektretov nie je stred symetrie, a preto sa vyznačujú aj
piezoelektrickými vlastnosťami.
V dielelktrikách, v ktorých sa nachádzajú veľké polárne skupiny, pri zmene intentzity
elektrického poľa dochádza k zmene ich usporiadania alebo zmene orientácie. Steny domén
vo feroelektrikách pritom migrujú na významné vzdialenosti.
Nutnou kryštalografickou vlastnosťou pyroelektrík je prítomnosť polárnej osi, pričom
v kryštáli nie je stret symetrie, takže ľuboboľné pyroelektrikum sa vyznačuje aj
piezoefektom.
90
Fyzika tuhých látok
Spontánna
polarizácia
pyroelektrika
je
spravidla
kompenzovaná
nábojmi
nachádzajúcimi sa na jeho povrchu. Pri jeho ohreve alebo ochladení dochádza k zmene
hustoty týchto nábojov.
V lineárnych pyroelektrikách sa veľkosť polarizácie mení iba so zmenou ich teploty.
Feroelektriká ako skupina nelineárnych pyroelektrík sa vyznačujú tým, že pri nich môžeme
zmeniť smer vektora spontánnej polarizácie priložením dostatočne silného elektrického poľa.
Preto sa vo feroelektrikách objavuje dielektická hysterézia pri sledovaní závislosti P od E.
Ďalej si zhrnieme z elektrostatiky známe fenomenologické vzťahy kvantifikujíce procesy


E
ES = 0
εr
polarizácie.



E S = E 0 + Ep

σp
Ep =
ε0


P = κε 0E S


ES = E0
5.1
1 
P
ε0


1 
ES = E0 - P
ε0


P = κε 0 ES


ES = E0

Ep =
1 
P
ε0
1 
P
ε0
Z mikroskopického pohľadu polarizáciu popisuje Clausiusova Mosottiho rovnica v tvare
ε r - 1 Nα e
=
.
ε r + 2 3ε 0
5.2
Pretože platí n = εμ
Dostávame CM rovnicu aj pre index lomu a vidíme, že optické vlastnosti materiálov sú
určené ich dielektrickými vlastnosťami a teda platí
n 2 - 1 Nα e
.
=
n 2 + 2 3ε 0
5.3
ε r = 1+ κ
ε r = 1+ κ
91
Fyzika tuhých látok
Ep - polarizované pole (vytvorené polarizačným nábojom)
E0 - pole vo vákuu (bez látky)
ES - skutočné (výsledné) pole v látke
P je vektor polarizácie
κ je dielektrická susceptibilita
ε r je tenzor dielektrckej permitivity
σ je merná elektrická konduktivita
Merné elektrické konduktivity súvisia s ich dielektrickými konštantami vzťahom
ε1 ε 2
=
σ1 σ 2
5.4
Doterajšie poznatky môžeme zhrnúť nasledovne:
 Za makroskopické veličiny v statickom elektrickom poli považujeme relatívnu
permitivitu látky a dipólový moment jednotky objemu dielektrika.
 V striedavom elektrickom poli sa medzi vektorom P a E objaví fázový posun, čo
vedie ku vzniku dielektrických strát.
 Permitivita sa javí v tomto prípade ako komplexná veličina a je tiež makroskopickou
charakteristikou.
92
Fyzika tuhých látok
Hodnoty permitivít
Vákuum1
Sklo 5-10
Drevo 2,5-8
Lieh 28,4
Voda 81
V striedavom elektrickom poli sa medzi vektorom P a E objaví fázový posun, čo vedie
ku vzniku dielektrických strát.
Permitivita sa javí v tomto prípade ako komplexná veličina a je tiež makroskopickou
charakteristikou.
Premenlivé elektrické napätie môžeme zapísať v komplexnom tvare ako
U = Um eiωt ,
5.5
kde Um je maximálna hodnota napätia a ω kruhová frekvencia
D(t) sa mení tiež sínusovo s časom, ale fázovo sa oneskoruje za E(t) o určitý uhol δ. Toto
oneskorenie, ako sme už naznačili vyššie, je spôsobené najmä tým, že v dôsledku zotrvačnosti
a vzájomnej interakcie častíc sa stacionárna hodnota P(E) ustanovuje s určitým oneskorením.
Merné dielektrické straty, ktoré sa prejavujú generovaním tepla určíme pomocou vzťahu (
nasledujúci vzťah vyjadruje aj podstatu mikrovlnného ohrevu)
p = ∫E.
dD
dt = ε 0 ε r tgδωE 2 ,
dt
5.6
kde
tgδ=σ/ω ε0.εreál,
εimag=σ/ωε0,
93
Fyzika tuhých látok
εimag= ε0real .tgδ.
Frekvenčná závislosť jednotlivých zložiek je na obrázku 5.6.
Obrázok 5.6. Frekvenčná závislosti reálnej, imaginárnej zložky permitivity a tgδ
Na záver tejto rekapitulácie ešte uvádzame na nasledujúcom obrázku 5.7 frekvenčnú
závislost jednotlivých typov polarizácie.
Obrázok 5.7. Frekvenčná závislosť jednotlivých typov permitivít
94
Fyzika tuhých látok
5.2.Optické vlastnosti tuhých látok
Zo základného kurzu fyziky vieme, že svetlo sa v anizotropnom prostredí šíri inak ako v
prostredí izotropnom. Napríklad pri šírení sa svetla v kryštáli CaCO3 dochádza k takzvanému
dvojlomu, kedy sa dopadajúci lúč „štiepi“ na dva lúče so vzájomne ortogonálnou polarizáciou
(orientáciou kmitov vo vzťahu k smeru šírenia sa vlny).
Dvojlom však môže vznikať aj v izotropných prostrediach, ak v nich pôsobia „vonkajšie
sily“, a tak za prítomnosti vonkajšieho elektrického poľa vzniká elektrooptický jav alebo za
prítomnosti vonkajšieho mechanického napätia vzniká elastooptický jav, ktorý bude
predmetom našej pozornosti v tejto časti.
Vieme, že rýchlosť svetla v izotropnom prostredí je definovaná vzťahom
v
1


1
00

1
r r

c
r r

c
,
n
5.7
kde r ,  r , c sú postupne relatívna permitivita, relatívna permeabilita prostredia a rýchlosť
svetla vo vákuu. Je tiež známe, že platí n =
 r lebo pre priehľadné materiály je μr = 1.
Takzvaná optická indikatrix definovaná pre izotropné prostredie vzťahom
x 12  x 22  x 32 x i2
 2 1
r
n
5.8
alebo skrátene v tvare Bx i2  1, kde B = 1 / r predstavuje guľovú plochu.
Dielektrické vlastnosti anizotropných materiálov sú popísané piezooptickým tenzorom 
ij alebo
inverzným tenzorom B ij, ktorý tiež nazývame tenzorom optickej nepriepustnosti.
Optickú indikatrix môžeme vyjadriť aj v tvare B ij xi x j= 1.
Di = 0 ij Ej
Ak použijeme známeho vzťahu pre vektor elektrickej indukcie v tvare
a riešime sústavu Maxwellových rovníc, zistíme, že v danom smere sa môžu vo vybraných
materiáloch šíriť dve elektromagnetické vlny s navzájom ortogonálnou polarizáciou, ktoré
majú rôzne rýchlosti šírenia sa. Smer
a polarizáciu vĺn môžeme nájsť z optickej
indikatrix. Smery týchto dvoch vĺn reprezentované vektormi
D
(1)
a D
(2)
nájdeme ako
priesečník rovníkovej roviny indikatrix s rovinou kolmou na vlnový vektor k a oba vektory
majú smer hlavných osí elipsy (indikatrix), čo je vidieť názorne na obrázku 5.8
95
Fyzika tuhých látok
Obrázok 5.8. Optická indikatrix a optický dvojlom
Z obrázku 5.8 vidieť, že indexy lomu pre obe vlny sú totožné s dĺžkou hlavných poloosí
indikatrix, ktorej rovnica má všeobecný tvar
x 12 x 22 x 32


 1,
n12 n 22 n 32
5.9
kde ni = i. Podrobnejšia analýza problému symetrie optických vlastností ukazuje, že
kryštály môžeme rozdeliť do troch grúp.
U dvojosových kryštálov chýbajú symetrie vyššieho poriadku ako dva. Patria sem
kryštály z trojklonnej, monoklinickej a rombickej sústavy. Tri hlavné osi elipsoidu sú zároveň
osami druhého poriadku. V trojklonnom kryštáli orientácia optickej indikatrix nie je zviazaná
so symetriou kryštálu.
Elipsoid má dva kruhové ekvatoriálne rezy symetrické voči dvom hlavným osiam
a
obsahujúce tretiu os. Normály k týmto rezom sa nazývajú optické osi. Ak sa vlny šíria v
smere optických osí, potom existuje len jeden index lomu, ktorého veľkosť je rovná polomeru
príslušnej kružnice. Pri šírení sa svetla v smere optických osí teda neexistuje dvojlom a
materiály sa správajú ako izotropné.
Pre jednoosové kryštály máme os symetrie Aa, kde n 2. Jedna z hlavných osí elipsoidu
je jeho rotačnou osou. Ak sa vlna šíri v smere tejto osi, potom jej čelo vlny presekáva
indikatrix v tvare kružnice, existuje len jeden index lomu
a polarizácia je
ľubovoľná. Optická indikatrix jednoosových kryštálov je určená dvomi indexami lomu n0 a
ne , kde n0 je index lomu riadneho lúča a ne je index lomu mimoriadneho lúča, ktorý
zodpovedá smeru An.
96
Fyzika tuhých látok
Rovnica indikatrix pre jednoosový kryštál má tvar
x 12  x 22 x 2e
 2  1.
n 02
ne
5.10
Ak platí, že n0  ne (napríklad pre kremeň), potom kryštál sa nazýva kladne jednoosový, ak
platí obrátená nerovnosť, teda n0  ne, potom kryštál sa nazýva záporne jednoosový. Ak sa
jednoosovým kryštálom šíria dve vlny so vzájomne ortogonálnou polarizáciou, potom index
lomu pre jednu z nich nezávisí od smeru šírenia sa vlny a má vždy hodnotu n 0, zakiaľ pre
druhú vlnu sa index lomu mení
v hraniciach od n0 do ne .
Pre izotropné materiály, ktoré majú niekoľko osí vyššieho poriadku ako dva, má optická
indikatrix niekoľko osí rotácie, to znamená, že degeneruje na guľovú plochu, a teda jednu
hodnotu indexu lomu. V kubických kryštáloch (4A3) alebo v skle a kvapalinách sa v
ľubovoľnom smere svetelná vlna šíri s tou istou rýchlosťou a polarizáciou.
Pri riešení praktických úloh z oblasti šírenia sa elektromagnetických vĺn je užitočné
zaviesť pojem plocha indexov lomu. Ako sme uviedli vyššie,
rádius - vektor
indikatrix je úmerný indexu lomu vlny. Je potrebné si uvedomiť, že index lomu je nepriamo
úmerný rýchlosti šírenia sa vlny. Plocha indexov lomu je dvojplocha, pretože v každom smere
sa môžu šíriť dve vlny so vzájomne kolmými polarizáciami a rýchlosťami. Skladá sa z gule a
elipsoidu (obrázok 5.9), ktoré sa dotýkajú v dvoch bodoch na optickej osi. Dĺžka druhej
poloosi je rovná ne a polomer gule je rovný n0. Smer prenosu energie je kolmý na plochu
indexov lomu. U elipsoidu môže tento smer šírenia sa vlny zvierať s normálou k eliptickej osi
určitý uhol . Tento uhol je nulový v prípade šírenia sa vlny v smere hlavných osí.
Záverom pripomenieme ešte niektoré závažné skutočnosti. Z kvantitatívneho hľadiska
sú rozdiely medzi n0 a ne malé a optická indikatrix je
Obrázok 5.9. Rovina indexov lomu kladného jednoosého kryštálu, ne n0
97
Fyzika tuhých látok
veľmi blízka guľovej ploche (pre kryštál kremeňa n0 = 1.54 a ne = 1.55). Je známe, že
dielektrická permitivita je frekvenčne závislá a každému frekvenčnému pásmu odpovedá iná
indikatrix.
5.3.Optoelastické vlastnosti tuhých látok
Pri deformácii kryštálu pod vplyvom mechanického napätia môže dochádzať k
deformácii optickej indikatrix, a teda k zmenám podmienok šírenia sa elektromagnetických
vĺn v takomto deformovanom materiáli. Tohoto javu sa v technickej praxi využíva vo
fotoelasticimetrii
na
diagnostikovanie
napäťových
stavov
v tuhých
látkach.
U
piezoelektrických materiálov sa navyše objavuje príspevok k zmene indikatrix spôsobený
elektrooptickým javom, o ktorom budeme hovoriť neskôr.
Budeme sa teraz zaoberať Pokkelsovým popisom statickej deformácie izotropného
nepiezoelektrického materiálu (napríklad kubické kryštály).
Tenzor optickej nepriepustnosti potom môžeme vyjadriť pomocou tenzora deformácie v
tvare
ΔBij = p ijklSkl .
5.11
S kl je tenzor deformácie a bezrozmerné komponenty pijkl tvoria tzv. fotoelastický tenzor.
Podobne môžeme tenzor optickej nepriepustnosti vyjadriť aj pomocou tenzora napätia v
tvare
Bij  ijkl Tkl ,
5.12
kde tenzor ijkl sa nazýva piezooptickým tenzorom. Ak použijeme vzťah pre zovšeobecnený
Hookov zákon v tvare
Tkl  c klmn Smn ,
5.13
dostávame vzťah medzi vyššie definovanými tenzormi v tvare
pijmn = ijkl cklmn
5.14
98
Fyzika tuhých látok
5.4.Elektrooptické vlastnosti tuhých látok
Zmeny optickej indikatrix môžu byť spôsobené i v dôsledku pôsobenia elektrického
poľa privedeného na kryštál. Takýto jav sa nazýva elektrooptický jav.
Tak ako v predchádzajúcom prípade môžeme tenzor optickej nepriepustnosti vyjadriť v
tvare
Bij  rijpEp , kde E p je intenzita elektrického poľa.
5.15
Podobne ako piezoelektrický tenzor, aj elektrooptický tenzor rijp je tenzorom tretieho poriadku
a je nulový pre stredovo symetrické kryštály.
V piezoelektrických materiáloch je šírenie sa elastickej vlny sprevádzané vznikom
pozdĺžneho elektrického poľa. Toto elektrické pole v dôsledku existencie optoelektrického
javu spôsobuje zmeny hodnôt dielektrickej permitivity, preto ako doplnok k už popísanému
priamemu elektrooptickému javu existuje v piezoelektrikách aj nepriamy elektrooptický jav.
Poznámka:
Okrem prirodzeného dvojlomu existuje aj umelý dvojlom vyvolaný vonkajšími poliami
pôsobiacimi na prostredie, kde prebieha štiepenie lúča. Ak je príčinou anizotropie prostredia
elektrické pole, potom hovoríme o Kerrovom jave. Napríklad, ak nitrobenzén umiestnime do
elektrického poľa, vzniká dvojlom. Relaxačný čas anizotropie je 10-9-10-10 Hz. Kerrov jav
v tomto materiáli sa využíva na rýchlu moduláciu svetla.
Cottonov – Moutonov jav vzniká pri vložení vhodného prostredia do magnetického
poľa a je analogický Kerrovmu javu. Na jeho realizáciu však treba veľmi silné magnety
s hodnotou intenzity magnetického poľa H  107 Am 1.
5.4.Feroelektriká
Feroelektrické materiály predstavujú pomerne širokú triedu materiálov s veľmi
významnými hi-tech aplikáciami. Vo feroelektrickom stave sa ťažisko kladných nábojov v
kryštále nezhoduje s ťažiskom záporných nábojov.
Feroelektrický kryštál v normálnom dielektrickom stave obvykle nevykazuje značnú
hysteréziu, pokiaľ sa elektrické pole zväčšuje a obracia smer pomaly.
99
Fyzika tuhých látok
V niektorých kryštáloch nie je feroelektrický dipólový moment zmeniť ani elektrickým
polom o maximálnej použiteľnej intenzite, ktorá ešte nevedie k elektrickému prierazu
kryštálu.
Feroelektrický stav sa obvykle stráca nad určitou teplotou, označovanou ako teplota
fázového prechodu. Kryštal je potom v tzv. paraelektrickom stavu.
Tepelný pohyb smeruje ku zrušeniu feroelektrického usporiadnia. Niektoré kryštály
zostávajú feroelektrické až do teploty topenia, a nemají teda Curieův bod ( TC) (prechod
feroelektrikum-paraelektrikum).
Feroelektrické kryštály môžme rozdeliť do dvoch hlavných skupín.
1.Trieda feroelektrik s prechodom usporidanie-neusporidanie obsahuje kryštály s
vodíkovými väzbami tak ako sú uvedené na obrázku 5.10.
Obrázok 5.10. Feroelektrické kryštály typu usporiadanie-neusporiadanie
2. Trieda feroelektrík posuvného typu zahrňuje iontové kryštály so štruktúrou
príbuznou štrukture perovskitu a ilmenitu je zobrazená na obrázku 5.11.
100
Fyzika tuhých látok
Obrázok 5.11. Posun nábojov v kryštály Ba Ti O3.
Z hľadiska štruktúry feroelektický kryštál sa obvykle skladá z domén, tj. oblastí, v
ktorých má polarizácia rovnaký smer, zakiaľ smer polarizácie v susedných doménach je
rôzny. Pokiaľ sú objemy s opačne orientovanými polarizáciami rovnako veľké, kryštál sa ako
celok chová rovnako, ako keby nebol polarizovaný, čo ukazujú meranie
náboja na
elektródach pokrývajúcich jeho konce. Reálny obraz feroelektrických domén je na obrázku
5.12.
Obrázok 5.12. Reálny vzhľad feroelektrických domén
Pri tzv. Curieho bode feroelektrická látka prechádza do paraelektrického stavu a na
obrázku 5.13 je uvedený vzťah pre Curieho zákon aj s jeho experimentálnou verifikáciou.
101
Fyzika tuhých látok
Permitivita
Obrázok 5.13. Curieho zákon a jeho experimentálna verifikácia
5.5. Piezoelektrické materiály
Fyzikálna podstata tohto javu spočíva v tom, že pri mechanickom deformovaní
niektorých kryštálov vzniká na ich povrchu polarizačný náboj (priamy piezoelektrický jav)
alebo opačne, ak vhodne orientované platničky vyhotovené
z takýchto
kryštálov
umiestnime do vysokofrekvenčného poľa, tieto začnú mechanicky kmitať s jeho frekvenciou.
Tento jav objavili v roku 1880 Pierre a Jacques Curie. Pierre Curie sformuloval dva
princípy v súvislosti s objavom piezoelektriny.
Prvý princíp hovorí: Jav má všetky elementy symetrie, ktoré majú príčiny vedúce k
tomuto javu.
Druhý princíp hovorí: Asymetria javu je predurčená asymetriou jeho príčin.
Piezoelektrický jav je schematicky zobrazený na obrázku 5.14.
102
Fyzika tuhých látok
Piezoelektrické látky
Obrázok 5.14. Popis priameho piezoelektrického javu. a/ nedeformovaný krystal, b/
polarizácia pre deformácii v smere Y, c/ polarizácia při deformácii v smere X
Pre kremeň platí pre plošnú hustotu polarizačného náboja vzťah   k
F
, kde F je sila, S je
S
plocha doštičky a k = 2,3.10-12 C/N pre kremeň.
Poznáme priamy piezoelektrický jav, pri ktorom pod vplyvom mechanickej deformácie
dochádza k polarizácii kryštálu, pričom platí
 Tjk 
,
Di   ijE j  eijkS jk ,  e ijk  


E
 i 
5.16
kde e sú piezoelektrické konštanty, S je deformácia a T je mechanické napätie, ε je
dielektrický tenzor.
Nepriamy piezoelektrický jav spočíva v tom, že jako na piezoelektrický krystal privedieme
elektrické pole tento sa mechanicky deformuje a platí
 Tjk 
.
Tjk  c EjklmSlm  eijkEi  e ijk  


E
 i 
5.11
103
Fyzika tuhých látok
Pretože platí Sjk = Skj, piezoelektrický tenzor eijk je symetrický podľa dvoch posledných
indexov, a teda platí eijk = eikj . Ako dôsledok spomínanej symetrie sa celkový počet
komponentov tenzora tretieho poriadku, akým je piezoelektrický tenzor, redukuje na 27.
Najznámejšie piezoelektrické materiály sú:

SiO2

LiNbO3

GaAs

ZnO

CdS

Se

Piezokeramika

Elektrety PVDF
5.6.Tekuté kryštály
Koncom minulého storočia (v roku 1888) boli po prvýkrát pripravené syntetické
kvapalné kryštály (Liguid Crystal, LC). Pri kolíske zrodu stáli Reinitzer, Lehmann, Ostwald a
ďalší. V prvých štádiách výskumu sa ich prekvapujúce vlastnosti dávali do súvisu so živou
prírodou.
Mezomorfný stav je intermediárny medzi tuhým a kvapalným skupenstvom a niekedy sa
považuje za štvrtý stav hmoty. Je charakterizovaný vysokým stupňom usporiadanosti
(poriadku) molekúl na veľkú vzdialenosť.
Mezomorfné zlúčeniny môžu mať v určitom teplotnom intervale viac stupňov prechodu
toho istého typu, alebo prechádzať prechodmi rôzneho typu. Také látky nazývame
polymezomorfné.
Zistilo sa, že zahrievaním priezračných kryštálov niektorých zlúčenín pri teplote topenia T1
dostaneme nepriesvitnú viskóznu kvapalinu alebo konzistenciu, ktorá má výnimočné
vlastnosti. Vlastnosti sú zachované až do teploty T2. Po jej prekročení sa látka stáva úplne
tekutou a izotropnou. V teplotnom intervale
až sa svetlo v látke nešíri vo všetkých
smeroch rovnako, t.j. látka nemá rovnakú pohltivosť a rovnaký index lomu (optická
anizotropia).
104
Fyzika tuhých látok
Dnes pod pojem kvapalný kryštál zahŕňame tie látky, ktoré za presne definovaných
fyzikálnych podmienok majú niektoré vlastnosti kvapalín a iné, prislúchajúce konvenčným
kryštálom.
Látky prechádzajúce do mezofázy pod vplyvom teploty sa nazývajú termotropné.
Rovnaký efekt sa dosiahne rozpustením pôvodne kraštalickej látky vo vhodnom rozpúšťadle.
Látky tohto druhu sa nazývajú lyotropnými.
V roku 1968 sa prišlo na ďalšie fyzikálne skutočnosti, citlivosť na teplotu, tlak,
elektrické a magnetické pole, žiarenie, ktorá umožňuje transformovať najrozličnejšie
fyzikálne veličiny na svetelné signály. Súčiastky dovoľujú s extrémne malým aktivačným
príkonom získať zmenu farby, mutáciu priesvitnosti (transparencie) alebo pamäťové
vlastnosti.
Vzhľadom na chemické zloženie ide o organické zlúčeniny.
Kvapalné kryštály, sú zväčša aromatické, zriedkavo alifatické zlúčeniny a celkom
výnimočne iné látky. Aromatické zlúčeniny sú odvodené z benzénového uhľovodíkového
jadra, alifatické z necyklických jadier, najma metány.
Bolo konštatované, že zlúčeniny vyznačujúce sa lineárnosťou diméru alebo polyméru,
obsahujúce vo svojej konštitúcii dipolárne skupiny a polarizovateľné väzby, sú schopné tvoriť
mezomorfné stavy. Pri alifatickej kyseline je nutnou podmienkou výskyt dvoch dvojných
väzieb v molekule.
Centrá
Centrálna (stredná
stredná) skupina X a koncové
koncové
skupiny Y, Y´
Y´ rozhodujú
rozhodujú o tom, či zlú
zlúčenina
bude alebo nebude mezomorfná
mezomorfná.
Ak skupiny X, Y, Y´sú dipolárne, so silným dipólovým momentom, alebo
polarizovateľné, budú prejavovať náklonnosť k mezomorfizmu. Bočné skupiny, znižujúce
stupeň lineárnosti reťazca, paralyzujú schopnosť tvorenia mezofázy. Stredová (mostíková)
skupina X môže byť symetrická alebo nesymetrická.
105
Fyzika tuhých látok
Alifatické zlúčeniny s výrazne dlhým molekulovým reťazcom vytvárajú kvapalné
kryštály len zriedkavo. Zlúčeniny vyznačujúce sa permanentným dipólovým momentom, teda
lineárne a polarizovateľné molekuly, sú vhodné na tvorbu kvapalných kryštálov.
Po chemickej stránke týmto požiadavkám vyhovujú zlúčeniny s veľkým počtom
nenasýtených väzieb. Sú to predovšetkým aromatické jadrá, na ktoré sú napojené ďalšie
skupiny s násobnými väzbami.
Ako prvé si popíšeme smektické tekuté kryštály. Tento druh SLC sa vyznačuje
podlhovastými lineárnymi molekulami uloženými v rovnobežných vrstvách(vrstevnatá
textúra). Dlhšie osi molekúl majú vzhľadom na povrch kryštálu stálu orientáciu. Najčastejšie
sú na povrch kolmé.
Novšími výskumami sa objavili orientácie, pri ktorých osi molekúl zvierajú s povrchom
určitý uhol, závislý od teploty. Hrúbka vrstvy sa približne rovná dĺžke molekuly. Vo vnútri
vrstvy neexistuje ďaleký poriadok molekúl.
Orientácia osí v paralelných vrstvách je stála. Kryštál sa javí ako tuhý. Vyskytujú sa aj
iné textúry, o ktorých zatiaľ málo vieme, sú však intenzívne študované modernými
fyzikálnymi metódami.
Zistilo sa, že orientácie molekúl v jednotlivých vrstvách nemusia byť zhodné. Odlišnosť
sa môže vyskytnúť aj čo do usporiadania molekúl v tej istej vrstve. Konkrétne, smery dipólov
sú súhlasne alebo nesúhlasne rovnobežné. Možné typy štruktúry smektických kryštálov sú na
obrázku 5.15.
Obrázok 5.15. Typy smektických štruktúr
Smektiky majú najbližšie k tuhým látkam vďaka vysokej viskozite – vnútornému treniu
a vrstevnatej textúre. Pri bode tavenia dochádza k uvoľneniu laterálnych zväzkov medzi
106
Fyzika tuhých látok
jednotlivými vrstvami, ktoré v dôsledku nízkej vzájomnej adhézie môžu po sebe kĺzať bez
ujmy na usporiadanosti. Prechod kvapalný kryštál – izotropná kvapalina je charakterizovaný
porušením zoradenosti vo vrstve, spôsobený termickým procesom. Základnou požiadavkou
pre smektogénne zlúčeniny je vzájomná rovnobežnosť molekúl vo vrstve - zoradenosť.
Ďalším typom tekutých kryštálov sú nemantické tekuté kryštály. Molekuly nematických
kvapalných kryštálov – NLC nie sú usporiadané do konkrétnych vrstiev, ale ťažiská molekúl
sú rozdelené stochasticky ako v normálnej kvapaline. Ťažiská nie sú nehybné, ale posúvajú
sa chaoticky. Molekuly sú pretiahnuté-tyčinkovité a s dlhými osami vzájomne rovnobežné.
Rovnobežnosť zachovajú aj pri svojom pohybe, vyznačujúcom sa 4 stupňami voľnosti.
Molekuly vykonávajú translácie v smere osí a rotujú okolo dlhej osi (obrázok 5.16).
Obrázok 5.16. Nemantické typy struktur
Novšie bádania v oblasti nemantik ukázali, že okrem klasického usporiadania existujú
ďalšie pseudovrstvové textúry, ktoré sú prechodom medzi klasickou nematickou textúrou a
vrstevnatou smektickou textúrou. Röntgenová analýza ukázala, že budujú domény. V rámci
jednej domény majú orientácie osí molekúl odlišné. Pri samotných doménach badať náznak
vrstevnatosti. Základným postulátom pre nematogénnosť je kolineácia párnych a
nepárnych molekúl.
Poslednou skupinou tekutých kryštálov sú cholesterické tekuté kryštály. Kryštály CLC
dostali svoj názov od cholesterolu, z ktorého sa pôvodne získavali. Pretiahnuté molekuly sú
107
Fyzika tuhých látok
zoradené do rovnobežných vrstiev vzdialených od seba asi 200 nm, teda približne stonásobok
vzhľadom k smektikám. V každej vrstve ležia molekuly s dlhými osami v rovine vrstvy majúc
zhodnú orientáciu, ktorá sa však v jednotlivých vrstvách líši.
V dvoch susedných vrstvách sú osi molekúl voči sebe pootočené o konštantný uhol
Δφ. Tento uhol je pre rôzne materiály rôzny. Po 1000 vrstvách sú už osi molekúl
antiparalelné. Celková hrúbka vrstvy kvapálneho kryštálu k tomu potrebná je 200.10-9m
(obrázok 5.17).
Pozdĺž osi kolmej na rovinu vrstiev molekuly pod sebou vytvárajú skrutkovú plochu –
cholesterickú špirálu s periódou L. Periodická textúra včítane jej porúch je pozorovateľná v
polarizačnom mikroskope.
Obrázok 5.17. Cholesterický tekutý kryštál
Niektoré kvapalné kryštály, ktoré sú v mezomorfnom stave, sa pôsobením teploty
sfarbujú (termická kolorácia).
Boli pripravené zmesi s mezomorfným intervalom širokým iba 0,01°C. To znamená, že
ak teplota prebehne tento interval, kolorácia prebehne celé farebné spektrum. Modrý odtieň
zodpovedá najvyššej, červený najnižšej teplote.
Nematické kvapalné kryštály s kladnou dielektrickou anizotorpiou (dipólový moment
má smer dlhšej osi molekuly), ku ktorým bolo pridané pleochroické farbivo, kolorujú pod
účinkom elektrického poľa.
Ak molekula farbiva je svojou dlhšou osou rovnobežná s elektrickou zložkou
elektromagnetickej vlny nastane absorpcia svetla farbivom a pozorovateľ vidí jeho doplnkovú
farbu.
Tekuté krystaly sa dnes používajú hlavne na konštrukciu zobrazovacích jednotiek
počítačov, televízorov a podobne.
108
Fyzika tuhých látok
Zobrazovacia bunka pozostáva z dvoch sklených rovnobežných sklíčok, ktoré majú na
vnútorných stenách vodivé elektródy z SnO2, Medzi elektródami sa nachádza vrstva
kvapalneho kryštálu 35 až 100 μm hrubá. Žiadaná vzdialenosť elektród a hermitizácia sa
realizujú distančnou vložkou 4 zo sľudy, nylaru, teflónu, PVC. Náročné požiadavky sa pri
výrobe kladú na takmer absolútnu planparalelnosť elektród a vysokú homogenitu materiálu
LC (obrázok 5.18).
Obrázok 5.18. Rez bunkou LC
Zobrazovacia bunka je pasívny element, svetlo negeneruje. Na vizualizáciu informácie
je potrebný pomocný zdroj svetla. Zviditeľnenie spôsobuje modulácia svetelného toku
budiacim napätím. V móde prechádzajúceho svetla TM musia byť obidve elektródy
priesvitné, aby svetlo mohlo systémom prechádzať zo strany zdroja na stranu pozorovateľa.
Zdroj je pred pozorovateľom skrytý. Pozorovateľ vidí bunkou rozptýlené svetlo, ktoré sa zdá
jasné na tmavom pozadí. Zväzok svetelných lúčov prechádza vrstvu LC jedenkrát (obrázok
5.19).
V móde odrazeného svetla RM zadná elektróda je nepriehľadná a pôsobí ako zrkadlo.
Najväčší odrazený kontrast sa dosahuje naparením Ni, Ag, Au, Ta, Cr na sklenené odrazené
platničky. Svetelný zdroj a pozorovateľ sa nachádzajú na tej istej strane vzhľadom na LC.
Zobrazovací lúč dva krát prestupuje médiom LC. Reflexná bunka môže fungovať iba pri
použití dopadajúceho svetla okolia. Každý z týchto módov môže byť priamy alebo nepriamy.
Pri priamom móde prepustený alebo odrazený svetelný tok je väčší v nevybudenom
stave LC, t.j. bez pripojeného vonkajšieho napätia.
109
Fyzika tuhých látok
Nepriamy mód sa vyznačuje tým, že svetelný tok je bez vonkajšieho napätia pohltený.
Pri zapojenom budiacom napätí sa pomery obrátia. V režime dynamického rozptylu TM je
priamy, RM nepriamy mód.
V TM sa zobrazovacia bunka stáva viditeľná bez pripojeného napätia a zháša sa
pripojením elektrického napätia. V RM elektrické napätie bunku zviditeľňuje. Ak sa napätie
odpojí alebo klesne na nulu, svetlo dopadajúce zo zdroja bunkou prechádza, nie je odrazené a
preto v RM je len veľmi slabo viditeľná.
Obrázek 5.19. Zobrazovacie mody bunky z LC
110
Fyzika tuhých látok
Zhrnutie pojmov kapitoly (podkapitoly)
Typy polarizácie dielektrík, fenomenologický popis polarizácie, mikroštrukturálny
popis polarizácie, optické vlastnosti látok,feroelektriká, piezoelektriká, tekuté kryštály.
Otázky k prebranému učivu
1.Popíšte jednotlivé typy polarizácie.
2. Aké makroskopické veličiny popisujú polarizačné javy?
3.Ako je definovaný vektor polarizácie?
4. Napíšte a vysvetlite Clausiusovú Mosottiho rovnicu?
5. Aké vlastnosti majú jednoosové a dvojosové kryštály?
6.Čo je to optická indikatrix ?
7. Klasifikujte typy feroelektrík.
8.Vysvetlite piezoelektrický jav.
9.Vysvetlite pyroelektrický jav
10. Vysvetlite optoelastický a optoelektrický jav.
11. Popíšte jednotlivé typy tekutých kryštálov.
12. Popíšte zobrazovanie a sfarbovanie tekutých kryštálov.
111
Fyzika tuhých látok
6.Elektrické vlastnosti tuhých látok
Čas na štúdium: 5hodin
Cíl Po preštudovaní tohto odstavca budete vedieť
 definovať základné veličiny charakterizujúce tok elektrického prúdu
 popísať modely elektrickej vodivosti v rôznych materiáloch
 pochopiť rozdiely medzi vodičmi a dielektrikami
 analyzovať
materiálov
namerané
krivky
závislostí
elektrických
parametrov
 pochopiť interakciu medzi elektromagnetickou vlnou a polovodičom
 vysvetliť činnosť vybraných optoelektronických súčiastok
Výklad
6.1 Pásová teória elektrickej vodivosti
Elektrická vodivosť materiálov je podmienená prítomnosťou pohyblivých elektricky
nabitých častíc vo vnútri látky, Vo väčšine látok sú nosičmi elektrického náboja elektróny,
avšak v polovodičoch a elektrolytoch, resp. iónových látkach sú nosičmi náboja kladné diery,
resp. kladné ióny.
Podľa elektro-fyzikálnych vlastností môžeme všetky látky rozdeliť na tri základné
skupiny: vodiče, polovodiče a nevodiče. Najjednoduchšia je klasifikácia látok podľa mernej
rezistivity. Hodnoty tejto veličiny pre všetky tri skupiny látok sú uvedené v tabuľke 6.1.
Tabuľka 6.1. Merná rezistivita skupín látok pri izbovej teplote
Skupina látok
Rezistivita [Ω.cm]
Vodiče
10-6-10-4
Polovodiče
10-4-1010
Nevodiče
viac ako 1010
112
Fyzika tuhých látok
Elektrické vlastnosti tuhých látok sa vysvetľujú tzv. pásovou teóriou. Ak klesá
medzijadrová vzdialenosť, čiarové spektrum sa rozširuje na pás, tak ako je to vidieť na
obrázku 6.1.
Obrázok 6.1. Energetické hladiny sodíkových atomov
Pásy sa môžu a nemusia prekrývať a pokiaľ sa neprekrývajú sú oddelené pásom
zakázaných energií, tak ako je to pre sodík (vľavo) a diamant(vpravo) vidieť na obrázku 6.2.
113
Fyzika tuhých látok
Obrázok 6.2. Energetické pásy sodíka v pravo a diamantu vľavo.
Tzv. Kronnigov Penneyho model vychádzal z pohybu elektrónov v periodickom poli
mriežky.
Priebeh energie elektrónov je na obrázku 6.3. Hranice nespojitostí energie sú totožné
s hranicami Brillouinových zón.
Obrázok 6.3. Závislosť energie elektrónov od vlnového čísla
Ako vidieť na obrázku 6.4 vo vnútri Brillouinovej zóny rýchlosť elektrónov dosahuje
maximum, zakiaľ na jej hranici je nulová.
Obrázok 6.4. Závislosť energie a rýchlosti elektrónov od vlnového čísla
114
Fyzika tuhých látok
Interakcia elektrónov s mriežkou je analógiou ich Braggovského rozptylu na
kladných iónoch mriežky na hranici Brillouinovej zóny, tak ako je to zobrazené na obrázku
6.5. Bez prítomnosti elektrického poľa je stredná rýchlosť elektrónov v mriežke nulová.
Materiál sa správa ako vodič ak má nepárny počet elektrónov na štruktúrnu jednotku
a prekrývajúce sa energetické pásy.
Z hľadiska elektrických vlastností týchto
látok je dôležitou vlastnosťou merná
konduktivita. Teplotná závislosť konduktivity pre olovo sa nachádza na obrázku 6.6.
Elektrický odpor kovov rastie v rozumnom rozsahu tepĺôt lineárne s teplotou
(konduktivita klesá) podľa vzťahu ( v skutočnosti je závislosť konduktivity od teploty
polynomiálna)
R=R0(1+αΔt),
6.1
kde α je teplotný koeficient odporu.
Takéto správanie sa elektrickej vodivosti je zapríčinené elektrón-fonónovou
interakciou 9 (rozptylom elektrónov na kmitajúcich atómoch).
Obrázok 6.5. Braggovský rozptyl elektrónov na iónoch mriežky
115
Fyzika tuhých látok
-6
10
[
-1
-1
cm ]
0,3
0,2
0,1
0
50 100 150 200
T [K]
Obrázok 6.6. Merná konduktivita olova v závislosti od teploty
Z mikroskopického hľadiska môžeme študovať pohyb elektrónu -e v mriežke pomocou
klasického modelu, ktorý je založený na Newtonovom pohybovom zákone v tvare
F=m
dv
dk
=
= -eE
dt
dt
6.2
Jej riešením dostávame pre elektrickú vodivosť vzťah
σ=
ne 2 τ
, 6.3
m
kde n je koncentrácia elektrónov a τ je relaxačný čas, ktorý môžeme interpretovať ako strednú
dobu medzi dvomi po sebe nasledujúcimi interakciami elektrónov s kmitmi mriežky. Tento
klasický model kvalitatívne popisuje proces elektrickej vodivosti kovu, nie však kvantitatívne.
Predpokladáme tiež že množstvo elektrónového plynu je v rozumnom teplotnom intervale
konštantné.
Merná konduktivita kovov teda klesá s rastúcou teplotou, čo je spôsobené elektrón
fonónovou interakciou, ktorá je reprezentovaná koeficientom τ.
Merná rezistivita kovov spracovaných za studena sa znižuje žíhaním, lebo počet porúch
v materiály klesá. Väčšina zliatín obsahuje mnoho porúch, čoho dôsledkom je aj ich relatívne
vysoký odpor. V zásade platí, že čím je materiál čistejší, tým má menšiu mernú rezistivitu.
Ak by na vzorku pôsobili navzájom kolmé elektrické pole o intenzite E a magnetické
pole o indukcii B, pohybová rovnica by mala tvar
F=m
dv
dk
´= 
= -e( E + vxB )
dt
dt
6.4
116
Fyzika tuhých látok
a pohyb elektrónu v mriežke by bol zložitejší, ako to vidieť z obrázku 6.7. Elektróny
popri driftovom pohybe v elektrickom poli konajú aj špirálový pohyb spôsobený
prítomnosťou magnetického poľa. Tým dochádza k vytvoreniu dodatkového Hallovho poľa
medzi hornou a dolnou časťou vzorky.
Tento jav sa nazýva Hallov jav a tzv. Hallova konštanta umožňuje určiť znamienko
nosičov náboja (obrázok 6.7)
RH =
Ey
i xB
=-
1
.
ne
6.5
Záverom tejto časti si ešte vysvetlíme význam Fermiho energie v kove. Ako vyplýva
z obrázku 6.8, Fermiho-Diracova funkcia v kove určuje najvyššiu energetickú hladinu
obsadenú elektrónmi v kove.
Obrázok 6.7. Hallov jav
Obrázok 6.8. Fermiho Diracova funkcia pre elektróny
117
Fyzika tuhých látok
V prítomnosti elektrického pola sa mení aj hodnota μ a táto nová hodnota sa nazýva
elektrochemický potenciál. Termín chemický potenciál sa často používa pre elektrochemický
potenciál zmenšený o potenciálnu energiu častice spôsobenú vonkajším poľom.
Pre Fermiho energiu platí v kove je charakteristické, že nezávisí od rozmerov vzorky
ale len od hustoty voľných elektrónov.
Widemeanov-Francov zákon, ktorý hovorí, že při nie príliš vysokých teplotách u kovov
je pomer tepelnej vodivosti K a elektrickej konduktivity σ priamo úmerný absolútnej teplote a
hodnota koeficientu úmernosti nezávisí na materiále a platí vzťah
L=K/ σT,
6.6
kde tzv. Lorenzcovo číslo L= 2,45.10-8 WΩK-2.
Elektrická vodivosť polovodičov klesá s klesajúcou teplotou. Toto správanie je dané
rastom koncentrácie nosičov elektrického náboja s rastúcou teplotou, ktoré prevyšuje
„brzdiaci“ vplyv elektrón fonónovej interakcie. Pri priblížení teploty k absolútnej nule sa
za určitých podmienok polovodiče správajú ako izolanty. Teplotnú závislosť elektrickej
vodivosti polovodičov zachytáva obrázok 6.9.
[
-1
-1
cm ]
3
10
2
10
10
1
-1
10
-2
10
-3
10
0,001 0,002 0,003 1/T [K -1 ]
Obrázok 6.9. Závislosť mernej elektrickej konduktivity polovodičov od teploty
118
Fyzika tuhých látok
Do skupiny polovodičov patria jednoduché chemické prvky (napr. bór, kremík,
germánium), ale aj mnohé zlúčeniny. Z binárnych zlúčenín sú to CuBr, CuO, Cu2O, CuS,
Cu2S, ZnS a iné.
Z literárnych zdrojov je známe, že na rozhraní kompozitného materiálu tvoreného
gumou a mosadzou dochádza pri vulkanizácii ku vzniku dvojvrstvového sulfidického filmu
na povrchu mosadze. Tento film je tvorený nestechiometrickým CuxS (na rozhraní sulfid –
guma) a ZnS (na rozhraní sulfid – kov). Táto vrstva zabezpečuje kontakt medzi gumárenskou
zmesou a mosadzou pokrytým oceľovým lankom v pneumatike.
V prípade polovodičov je charakter teplotnej vodivosti iný ako u kovov a môžeme ho
popísať nasledujúcim vzťahom (obrázok 6.9)
ln
σ dc ΔE
=
,
σ 0 2kT
6.7
kde σ0 a ΔE sú kladné konštanty, k je Boltzmannova konštanta a T je absolútna teplota.
Ak si vynesieme prirodzený logaritmus mernej konduktivity ako funkciu reciprokej teploty
dostávame priamkovú závislosť (obrázok 6.9), ktorej smernica má hodnotu E/2k a z merania
teplotnej závislosti mernej konduktivity je možné určiť aktivačnú energiu príslušného
transportného mechanizmu.
Elektrické vlastnosti týchto látok úspešne vysvetľuje pásmová teória. Podľa tejto teórie
ako sme už spomenuli vyššie sa pôvodne diskrétne hladiny energií elektrónov v obale jadra
atómu rozštiepia a vytvoria pásma energii vtedy, keď atómy vytvoria spoločný kvantový
systém. Je to dôsledok
Pauliho princípu, podľa ktorého v kvantovej sústave nemôžu
existovať 2 elektróny s rovnakými kvantovými číslami. O tom, či je látka vodič, alebo
nevodič rozhoduje štruktúra energetických pásiem (nie je dôsledkom periodicity mriežky).
Najvyššie pásmo možných (dovolených) energií elektrónov, ktoré je buď čiastočne obsadené
elektrónmi, alebo je prázdne, sa nazýva vodivostné pásmo, kde patria energie elektrónov
podieľajúcich sa na elektrickom transporte.
zakázaný pás
Pod vodivostným pásmom sú neobsadený
a úplne obsadený tzv. valenčný pás, ktorému patria energie všetkých
elektrónov, ktoré sa zúčastňujú väzieb. Schéma štruktúry pásiem je na obrázku 6.10.
119
Fyzika tuhých látok
Obrázok 6.10. Štruktúra pásiem
Rozoznávame tri typy elektrickéj vodivosti polovodičov. Základným typom je
polovodič vlastný, kedy dochádza k priamej excitácii nosičov z valenčného do vodivostného
pásu a vzniká elektrón a diera. S touto vodivosťou sa stretávame pri vyšších teplotách
(obrázok 6.11).
Obrázok 6.11. Vlastný typ vodivosti.
Obrázok 6.12. Donorový polovodič (a) a akceptorový polovodič (b)
Z praktického hradiska je dôležitejšia prímesová vodivosť. Ak do štvormocného prvku
pridáme päť mocný prímes dostávame donorový polovodič vyznačujúci sa prebytočným
elektrónom. Takéto donorové hladiny ležia pod vodivostným pásom (obrázok 6.12a).
Ak pridáme do štvormocného základného materiálu trojmocný prvok, ostáva jedna
väzba nesaturovaná a hovoríme vtedy o diere, alebo akceptore (obrázok 6.12b). Takéto
hladiny ležia v zakázanom páse nad vrcholom valenčného pásu.
120
Fyzika tuhých látok
Obrázek 6.13. Poloha Fermiho energie a akceptorovom polovodiči
Obrázek 6.14. Poloha Fermiho energie v donorovom polovodiči
Poloha Fermiho hladiny má u polovodičov inú interpretáciu ako u kovov. Poloha
Fermiho hladiny určuje znamienko elektrickej vodivosti.
U akceptorového polovodiča leží Fermiho hladina v polovici medzi vrcholom
valenčného pásu a akceptorovými hladinami a s rastúcou teplotou, ako sa akceptorové
hladiny naplnia prejde do stredu zakázaného pásu a charakterizuje vodivosť vlastnú
(obrázok 6.13).
U donorového polovodiča Fermiho hladina leží v polovici medzi dnom vodivostného
pásu a donorovými hladinami. Po vyprázdnení donorových hladin prejde Fermiho hladina
takisto do stredu zakázaného pásu (obrázok 6.14).
Ak v látke sú voľné nosiče elektrického náboja a ak v tejto látke vytvoríme elektrické
pole intenzity E potom sa náboje uvedú do pohybu. Kladné v smere E a záporné proti smeru
E.
V nasledujúcom budeme predpokladať, že v látke sú pohyblivé iba elektróny.
Pod vplyvom elektrického poľa sa elektróny začnú pohybovať tak, že ich priemerná rýchlosť
(driftová rýchlosť) v je orientovaná v smere opačnom než je smer E hodnota rýchlosti je
priamo úmerná intenzite poľa, Teda platí
- eτ
= μ v = - μ∙E,
m*
→
- eτ
E=v
m*
→
- eEτ = m* v
121
6.8
Fyzika tuhých látok
kde μ je pohyblivosť a m* je tzv. efektívna hmotnosťnosiča prúdu τ je relaxačný čas
charakterizujúci interkciu nosičov s mriežkou. ( pozri ďalej). Ak predpokladáme, že
koncentrácia elektrónov je ne potom objemová hustota náboja je ρe = - e∙ne , kde e je
elementárny náboj. Pre hustotu elektrického prúdu dostaneme potom vzťah
i = ρe∙v = e ne μ E .
6.9
Vzťah (6.9) je tzv. Ohmov zákon v diferenciálnom tvare. Tento zákon zvykneme písať
v tvare *
i = σ∙E ,
kde σ = e ne μ je konduktivita . Prevrátená hodnota konduktivity σ -1= ρ je rezistivita .
Zo vzťahu pre rezistivitu, resp. konduktivitu vidíme, že meraním odporu
a geometrických rozmerov vzorky získame hodnotu rezistivity, ktorá však obsahuje dve
veličiny: koncentráciu ne a pohyblivosť μ. Teda, ak chceme získať detailné informácie
o elektrických vlastnostiach materiálov, musíme urobiť ďalšie nezávislé elektrické meranie.
Pre určenie pohyblivosti je najvodnejšie vyšetriť tzv. Hallov jav. Keď z Hallovho javu určíme
pohyblivosť a poznáme konduktivitu materiálu, môžeme určiť koncentráciu nábojov a potom
robiť kvalifikované úvahy o mikroskopických vlastnostiach látky.
Keď sa dielektrikum nachádza v striedavom elektrickom poli E = E0 ejt elektrické
náboje začnú kmitať uhlovou frekvenciou ω. Tento kmitavý pohyb je tlmený silami
vnútorného trenie, čo sa makroskopicky prejavuje v strate elektrickej energie (elektrická
energia sa mení na vnútornú energiu prostredia, čo sa prejaví v stúpaní jeho teploty), teda
dielektrikum sa vyznačuje tzv. dielektrickými stratami.
Vyššie uvedená úvaha sa týka iba „čistých“ dielektrík. Našu úvahu treba zovšeobecniť
pre
prípad,
že
dielektrikum
obsahuje
voľné
náboje
.
Vedenie elektrického prúdu vysvetlil Maxwell, keď vo svojej 4.rovnici pre elektromagnetické
pole zaviedol tzv. posuvný prúd.
Štvrtá Maxwellova rovnica má tvar
rotH = i + D ⁄ t ,
6.10
kde H je vektor intenzity magnetického poľa, i je vektor hustoty elektrického prúdu a D je
vektor elektrickej indukcie.
V tzv. mäkkých dielektrikách sú vektory i, E aj D rovnobežné a teda tak, ako sme
uviedli vyššie, nemusíme používať vektorovú symboliku. Celková hustota elektrického prúdu
je
iT = i + D ⁄ t .
6.11
122
Fyzika tuhých látok
Merné dielektrické straty spôsobené dipólmi sú určené rovnicou
Q = ε 0 ε ' tgδωE2 .
6.12
Meranie teplotných a frekvenčných závislostí komplexného elektrického modulu
môže dať cenné poznatky o hamogenite vzoriek (modulárna spektroskopia). Komplexný
elektrický modul M* je definovaný ako prevrátená hodnota komplexnej permitivity
M* =

1
1
=
= M + i M , ' ' 
2f 

' i' '
6.13
kde ‘ je reálna zložka komplexnej permitivity zhodná relatívnou permitivitou r a ‘‘ je
imaginárna zložka, úmerná dielektrickým stratám,  je merná elektrická vodivosť , 0 je
permitivita vákua a f je frekvencia.
Závislosť imaginárnej zložky permitivity od reálnej určuje tzv. Coleho-Coleho diagram,
ktorý je v ideálnom prípade polkružnica (obrázok 6.15), ale pre väčšinu reálnych materiálov
má eliptický priebeh (obrázok 6.16) kde,
R=
1
(ε -ε )
2 r ∞
6.14
Obrázok 6.15. Ideálny Coleho- Coleho diagram
Deformácia elipsy na nasledujúcich obrázkoch je spôsobená viac zložkovým
charakterom zmesi. CC diagramy tak môžeme použiť na sledovanie homogenity zmesí.
123
Fyzika tuhých látok
M'' x 102
1
0
0
1
2
3
4
5
M'x 102
a/
1,5
M'' x 102
1,0
0,5
0,0
1000
10000
100000
f [Hz]
b/
Obrázok 6.16. Závislosti namerané na vzorke vulkanizovanej gumy pri 75 °C
a) Komplexné elektrické moduly M’’ vs M’ vzorky.
b) Frekvenčná závislosť imaginárnej zložky komplexného elektrického modulu M’’ .
Záverom tejto časti sa ešte venujme pojmu efektívna hmotnosť, ktorý súvisí s pohybom
lektrónuv silovom poli. Elektrón sa v silovom poli pohybuje tak ako by mal hmotnosť určenú
vzťahom pre efektívnu hmotnosť v tvare
2
.
m = 2
∂E / ∂k 2
*
6.15
Hmotnosť elektrónu je kladná v spodnej časti pásu, kde zvýšenie energie je sprevádzané
rastom hybnosti a záporná v hornej časti pásu, kde zvýšenie energie je sprevádzané poklesom
*
hybnosti. Pre minimum závislosti E od k platí podmienka ∂2E / ∂
k 2 je kladné a aj m je
kladná. A naopak pre maximum platí podmienka ∂2E / ∂
k 2 je záporné a aj m * je záporná.
Je zaujímavé si všimnúť, že elektróny s najväčsou enrgiou v takmer zaplnenom hornom páse
majú zápornú efektívnu hmotnosť a takéto látky predsa vedú elektrický prúd. Prúd tu však
vedú diery, ktoré akoby niesli elektrický nábok +e. Efektívna hmotnosť je teda nepriamo
úmerná zakriveniu energetických plôch v k-priestore (obrázok 6.17) .
124
Fyzika tuhých látok
Obrázok 6.17. Závislosť efektívnej hmotnosti elektrónu pohybujúceho sa v štvorcevej
mriežke od vlnového vektora k.
Smerom od okraja pásu sa závislosť E(k) odchyľuje od kvadratickej a na hranici
*
Brillouinovej zóny je ∂2E / ∂
k 2 rovné nule a m je nekonečne veľká.
6.2. Kontaktové javy
V tejto časti sa budeme zaoberať vplyvom kontaktu dvoch materiálov na ich vnútornú
redistribúciu elektrického náboja. Majme polovodič typu n a umiestnime ho do elektrického
pola. Pole spôsobí redistribúciu elektrónov v materiály, tak ako je to zobrazené na obrázkoch
6.18 a 6.19. Na obrázku 6.18 vidíme zmeny počtu nosičov, objemovej hustoty nábojov,
intenzity elektrického poľa, potenciálnej energie elektrónov a zakrivenia energetických pásov
donorového polovodiča vplyvom vonkajšieho elektrického pola.
Obrázok 6.18. Polovodič typu n v elektrickom poli
125
Fyzika tuhých látok
Obrázok 6.19. Zmeny počtu nosičov(a), objemovej hustoty nábojov(b), intenzity elektrického
poľa(c), potenciálnej energie elektrónov(d) a zakrivenia energetických pásov donorového
polovodiča (e) vplyvom vonkajšieho elektrického pola
Vidíme, že zakrivením pásov tu Fermiho energia vniká do vodivostného pásu a takýto
polovodič nazývame degenerovaný. Vidíme tiež, že v blízkosti kontaktu vzniká lokálne
elektrické pole.
Pri zmene polarizácie zdroja (obrázok 6.20) vonkajšieho napätia nastáva takisto
redistribúcia náboja.
Obrázok 6.20. Zmeny počtu nosičov(a), objemovej hustoty nábojov(b), intenzity elektrického
poľa(c), potenciálnej energie elektrónov(d) a zakrivenia energetických pásov donorového
polovodiča (e) vplyvom vonkajšieho elektrického pola opačne orientovaného ako
v predchádzajúcom prípade
Tu však vidíme, že valenčný pás sa priblížil v blízkosti kontaktu k Fermiho hladine, čo
má za následok zmenu typu vodivosti na p v blízkosti kontaktu. Všimnime si, že v odjeme
126
Fyzika tuhých látok
materiálu je Fermiho hladina bližšie k vodivostnému pásu, tak ako to má byť v polovodiči
typu n.
Ak uvedieme do kontaktu polovodič typu p a n vznikne redistribúcia nábojov ako je to
vidieť na obrázku 6.21. Vidíme, že pri ustanovovaní rovnovážneho stavu sa Fermiho hladiny
oboch materiálov „ohnú“ tak, že v príkontaktnej oblasti vznikne potenciálový rozdiel. Je
potrebné si všimnúť aj polohy Fermiho hladín v objeme jednotlivých materiálov.
Obrázok 6.21. Javy na rozhraní polovodiča typu p a n.
Ďalšou problematikou, ktorej sa budeme venovať je výstupná práca elektrónu z kovu.
Na prechod elektrónu do vákua je treba vynaložiť energiu E a . Na prechod elektrónu
z hladiny E c do vákua je potrebná výstupná práca, ktorú môžeme vyjadriť v tvare
Ρ = Ea - Ec .
Na rozhraní dvoch materiálov existuje teda bariéra brániaca toku elektrónov.
Obrázok 6.22. Kontakt dvoch kovov
Pri kontakte dvoch kovov, tak ako je to zobrazené na obrázku 6.22 vidíme, že elektróny
môžu prechádzať cez prechody A,B, alebo C. Takzvaný vonkajší rozdiel potenciálov medzi
127
Fyzika tuhých látok
bodmi A a B je daný vzťahom eUk = Φ1 - Φ2 sa rovná rozdielu výstupných prác z kovov.
Vnútorný potenciálový rozdiel v bode C je malý a je rovný asi 10-3 až 10-2 V.
Pri kontakte kovu a polovodiča dochádza opäť k zakriveniu pásov, tak ako sme to videli
vyššie, a to podľa veľkosti výstupných prác elektrónov z kovu a z polovodiča, tak ako je to
vidieť na obrázku 6.23 .
Obrázok 6.23. Kontakt kov vlastný polovodič ak Φk je väčšie ako Φp (a) Φk je menšie
ako Φp (b).
6.3. Interakcia svetla a polovodiča
Pri prechode svetla reálnym materiálnym prostredím dochádza k jeho útlmu a na
rozhraní k odrazu. Môžeme si zadefinovať koeficient odrazu ako pomer intenzity odrazeného
svetla IR ku intenzite dopadajúceho svetla I0 v tvare
R=
IR
I0
6.16
Pre koeficient absorpcie platia vzťahy
I
d
dI
= -∫
αdx → I = I0 (1 - R)e -αd
∫
I
I0 -RI0
0
6.17
Pri interakcii svetla s polovodičom musí byť zachovaný zákon kváziimpulzu a zákon
zachovania energie v tvare
p′
= p + η
6.18
E′
= E + ω
Absorpcia svetla v tuhej látke môže prebiehať niekoľkými spôsobmi.
128
Fyzika tuhých látok
Absorpcia svetla je definovaná tzv. absorpčnou hranou, ktorej poloha závisí od teploty
vzťahom
Eg = Eg0 - αT ,
6.19
kde E g0 je absorpčná hrana pri 0 K a α je kladná konštanta. Ten to fakt je dôsledkom
dilatácie materiálu a tým zmenenou interakciou elektrónov s mriežkou.
Podobne absorpčná hrana závisí aj od aplikovaného vonkajšieho mechanického tlaku
vzťahom
Eg = Egp=0 + γp ,
6.20
kde E gp=0 je absorpčná hrana pri nulovom tlaku a γ je kladná konštanta (obrázok 6.24).
129
Fyzika tuhých látok
Obrázok 6.24. Teplotná závislost absorpčnej hrany polovodičov
V polovodičoch, ktoré sa nachádzajú vo vzbudenom stave dochádza k emisii
elektromagnetického žiarenia, ktoré nazývame luminiscencii. Pri fotoluminiscenci dochádza
k emisii žiarenia v dôsledku absorbovaného svetla. Svetielkovanie vzniká aj pri dopade
elektrónov a nazýva sa
katodoluminiscenciou. Pri dopade tvrdších žiarení vzniká
rádioluminiscencia, pod vplyvom elektrického poľa elektroluminiscencia , pod vplyvom
tlaku triboluminiscencia a pri biochemických procesoch chemi alebo bioluminiscencia. Na
obrázku 6.25 sú zobrazené procesy žiarivej rekombinácie.
Obrázok 6.25. Procesy žiarivej rekombinácie. Priamej (a), cez záchytné centrá(b,c,d)
Ako príklad elektroluminiscencie uvádzame materiál SiC, tzv. karbidku, ktorej
elektroluminiscenčné spektrum je na obrázku 6.26. Tieto diódy svietia na žlto, prípadne pri
vysokých prúdových hustotách na modro.
130
Fyzika tuhých látok
Obrázok 6.26. Elektroluminiscenčné spektrum diod SiC.
Na záver si ešte vysvetlíme činnosť laseru (obrázok 6.27). Na obrázku 6.28 je bloková
schéma technickej realizácie laseru.
•
1. elektróny sa čerpajú z hladiny A do F, kde doba ich pobytu je 10-8 s.
•
Padnú na hladinu E, kde doba ich pobytu je 10-3s.
•
2. prechod na základnú hladinu A ide cez dva prechody.
•
3.rubínový kryštál s prímesou Cr3+ je presne vyleštený a čelá sú pokovené, z toho
jedno polopriepustné.
Zosilnenie vzniká preto, lebo stimulované zväzky sa v prostredí zosilnia podľa zákona
I = I0 e αL ,
pričom L= n λ/2, kde n je celé číslo
6.21
131
Fyzika tuhých látok
Činnost laseru je zobrazené na obrázkoch 6.27 a 6.28.
Obrázok 6.27. Hladinová schéma činnosti laseru
Obrázok 6.28. Schéma laseru
Zhrnutie pojmov kapitoly (podkapitoly)
Rozdelenie látok podľa elektrickej vodivosti, pásová štruktúra, elektrická vodivosť
kovov, elektrická vodivosť polovodičov, Fermiho energia v kove a polovodiči,
kontaktové javy, interakcia elektromagnetickej vlny a polovodiča.
.
Otázky k prebranému učivu
1.Popíšte jednotlivé typy nosičov elektrického náboja.
2. Aké makroskopické veličiny popisujú elektrický prúd?
3.Ako je definovaný ohmov zákon vo všeobecnom tvare?
4. Vysvetlite pásovú teóriu tuhých látok?
5. Aké vlastnosti majú polovodiče?
6.Čo je to pohyblivosť nosičov ?
132
Fyzika tuhých látok
7. Akými vzťahmi sú popísané elektrické konduktivity vodičov a polovodičov?
8.Vysvetlite Hallov jav.
9.Vysvetlite Coleho- Coleho diagramy.
10. Vysvetlite podstatu kontaktových javov.
11. Popíšte činnosť luminiscenčných optoelektronických súčiastok.
12. Popíšte činnosť laseru.
13. Vysvetlite závislosti optickej absorpčnej hrany od teploty a tlaku.
14.Vysvetlite pojem Fermiho energie v kove a polovodičí
133
Download

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava