ˇ Gauss-Ostrogradského,
14. Vety
ˇ
Greenova a Stokesova veta
Aplikovaná matematika II, NMAF072
M. Rokyta, KMA MFF UK
LS 2010/11
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.1 Úvod
ˇ
Definice (zobecnená
plocha)
ˇ
ˇ
Rekneme,
že S ⊂ Rn (n ≥ 2) je zobecnená
(n−1)-plocha, pokud S je koneˇcným
sjednocením hladkých (n−1)-ploch, (n−2)-ploch,. . . ,
2-ploch, hladkých kˇrivek a bodu.
˚
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.1 Úvod
ˇ
Definice (zobecnená
plocha)
ˇ
ˇ
Rekneme,
že S ⊂ Rn (n ≥ 2) je zobecnená
(n−1)-plocha, pokud S je koneˇcným
sjednocením hladkých (n−1)-ploch, (n−2)-ploch,. . . ,
2-ploch, hladkých kˇrivek a bodu.
˚ Jsou-li Sj , j = 1, . . . , k
všechny hladké (n−1)-plochy z tohoto sjednocení,
definujeme plošné integrály 1. resp. 2. druhu z funkce f
~ jako
resp. pole T
Z
f dS =
S
k Z
X
j=1
f dS ,
resp.
Sj
Z
~ =
~ dS
T
S
k Z
X
j=1
~,
~ dS
T
Sj
mají-li výrazy na praveˇ straneˇ smysl.
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.1 Úvod (pokraˇc.)
ˇ
Poznámka (zobecnená
kˇrivka)
ˇ že n = 2, zahrnuje pˇredchozí definice i
V pˇrípade,
kˇrivkový integrál. V tomto pˇrípadeˇ tedy chápeme kˇrivku
jako "1-plochu" (~
ϕ ≡ S) a kˇrivkový integrál pˇres jako
"plošný integrál pˇres 1-plochu". Pod zápisem
Z
Z
~
~ dS
T
f dS resp.
S
S
pak rozumíme
Z
f ds
resp.
ϕ
Z
~ d~
T
ϕ.
ϕ
ˇ v
Tato dohoda nám umožní formulovat následující vety
jednotném tvaru.
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce
Úmluva
ˇ
V následujících vetách
budeme pˇredpokládat:
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce
Úmluva
ˇ
V následujících vetách
budeme pˇredpokládat:
Ω je omezená souvislá otevˇrená množina v Rn , n ≥ 2,
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce
Úmluva
ˇ
V následujících vetách
budeme pˇredpokládat:
Ω je omezená souvislá otevˇrená množina v Rn , n ≥ 2,
ˇ
její hranice ∂Ω je zobecnená
(n−1)-plocha ve
smyslu pˇredchozí definice a poznámky.
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce
Úmluva
ˇ
V následujících vetách
budeme pˇredpokládat:
Ω je omezená souvislá otevˇrená množina v Rn , n ≥ 2,
ˇ
její hranice ∂Ω je zobecnená
(n−1)-plocha ve
smyslu pˇredchozí definice a poznámky.
Všechny integrované (skalární cˇ i vektorové) funkce
jsou (pro jednoduchost) spojité spolu se všemi
potˇrebnými derivacemi na Ω.
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce
Úmluva
ˇ
V následujících vetách
budeme pˇredpokládat:
Ω je omezená souvislá otevˇrená množina v Rn , n ≥ 2,
ˇ
její hranice ∂Ω je zobecnená
(n−1)-plocha ve
smyslu pˇredchozí definice a poznámky.
Všechny integrované (skalární cˇ i vektorové) funkce
jsou (pro jednoduchost) spojité spolu se všemi
potˇrebnými derivacemi na Ω.
ˇ
Symbolem ~ν oznaˇcujeme jednotkový vektor vnejší
normály k Ω, v bodech ∂Ω, ve kterých existuje.
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ 14.1
Veta
~ : Ω ⊂ Rn → Rn platí (za
Pro f : Ω ⊂ Rn → R, resp. T
pˇredpokladu˚ pˇredchozí úmluvy):
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ 14.1
Veta
~ : Ω ⊂ Rn → Rn platí (za
Pro f : Ω ⊂ Rn → R, resp. T
pˇredpokladu˚ pˇredchozí úmluvy):
Gauss-Green-Ostrogradský, pro k ∈ {1, . . . , n}:
Z
Ω
∂f
dx =
∂xk
M. Rokyta, KMA MFF UK
Z
f νk dS .
(1)
∂Ω
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ 14.1
Veta
~ : Ω ⊂ Rn → Rn platí (za
Pro f : Ω ⊂ Rn → R, resp. T
pˇredpokladu˚ pˇredchozí úmluvy):
Gauss-Green-Ostrogradský, pro k ∈ {1, . . . , n}:
Z
∂f
dx =
∂xk
Z
f νk dS .
(1)
~ dx =
div T
Z
~ · ~ν dS .
T
(2)
Ω
∂Ω
ˇ o divergenci:
Veta
Z
Ω
M. Rokyta, KMA MFF UK
∂Ω
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ 14.2
Veta
Pro u, v : Ω ⊂ Rn → R platí (za pˇredpokladu˚ pˇredchozí
úmluvy):
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ 14.2
Veta
Pro u, v : Ω ⊂ Rn → R platí (za pˇredpokladu˚ pˇredchozí
úmluvy):
Integrace per partes (po složkách), pro k ∈ {1, . . . , n}:
Z
∂v
u
dx =
Ω ∂xk
Z
u v νk dS −
∂Ω
M. Rokyta, KMA MFF UK
Z
v
Ω
∂u
dx .
∂xk
(3)
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ 14.2
Veta
Pro u, v : Ω ⊂ Rn → R platí (za pˇredpokladu˚ pˇredchozí
úmluvy):
Integrace per partes (po složkách), pro k ∈ {1, . . . , n}:
Z
∂v
u
dx =
Ω ∂xk
Z
u v νk dS −
∂Ω
Z
v
Ω
∂u
dx .
∂xk
(3)
ˇ
Integrace per partes (vektorove):
Z
Ω
u ∇v dx =
Z
u v ~ν dS −
∂Ω
M. Rokyta, KMA MFF UK
Z
v ∇u dx.
(4)
Ω
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ 14.3
Veta
Pro u, v : Ω ⊂ Rn → R platí (za pˇredpokladu˚ pˇredchozí
úmluvy):
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ 14.3
Veta
Pro u, v : Ω ⊂ Rn → R platí (za pˇredpokladu˚ pˇredchozí
úmluvy):
1. Greenova formule:
Z
Z
∇u ∇v dx =
Ω
kde
∂u
∂~
ν
∂u
v
dS −
∂~ν
∂Ω
Z
v ∆u dx ,
(5)
Ω
ˇ vektoru ~ν .
:= ∇u · ~ν je derivace ve smeru
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ 14.3
Veta
Pro u, v : Ω ⊂ Rn → R platí (za pˇredpokladu˚ pˇredchozí
úmluvy):
1. Greenova formule:
Z
Z
∇u ∇v dx =
Ω
kde
∂u
∂~
ν
∂u
v
dS −
∂~ν
∂Ω
Z
v ∆u dx ,
(5)
Ω
ˇ vektoru ~ν .
:= ∇u · ~ν je derivace ve smeru
2. Greenova formule:
Z
Z
u ∆v −v ∆u dx =
∂v
∂u dS .
−v
u
∂~ν
∂~ν
∂Ω
Ω
M. Rokyta, KMA MFF UK
(6)
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
Dusledek
˚
14.4
Pro u : Ω ⊂ Rn → R platí (za pˇredpokladu˚ pˇredchozí
úmluvy):
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
Dusledek
˚
14.4
Pro u : Ω ⊂ Rn → R platí (za pˇredpokladu˚ pˇredchozí
úmluvy):
Z
∆u dx =
Ω
M. Rokyta, KMA MFF UK
Z
∂Ω
∂u
dS .
∂~ν
(7)
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
Dusledek
˚
14.4
Pro u : Ω ⊂ Rn → R platí (za pˇredpokladu˚ pˇredchozí
úmluvy):
Z
∆u dx =
Ω
Z
∂Ω
∂u
dS .
∂~ν
(7)
ˇ
Dále platí (je-li ~ν jednotkový vektor vnejší
normály k Ω):
Z
~ν dS = 0 .
(8)
∂Ω
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
Poznámky k dukaz
˚
um
˚ vzorcu˚ (1)–(8):
Vzorec (1) považujeme za základní a nebudeme jej
ˇ si však jeho bezprostˇrední
dokazovat. Všimnete
analogie se známým (jednodimenzionálním)
Newton-Leibnizovým vztahem, platným napˇr. pro
f ∈ C 1 (ha, bi),
Z b
f ′ dx = f (b) − f (a) .
(9)
a
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
Poznámky k dukaz
˚
um
˚ vzorcu˚ (1)–(8):
Vzorec (1) považujeme za základní a nebudeme jej
ˇ si však jeho bezprostˇrední
dokazovat. Všimnete
analogie se známým (jednodimenzionálním)
Newton-Leibnizovým vztahem, platným napˇr. pro
f ∈ C 1 (ha, bi),
Z b
f ′ dx = f (b) − f (a) .
(9)
a
Interval (a, b) v (9) hraje roli množiny Ω ve vztahu (1),
jeho hranicí jsou dva body a a b. Hodnoty
v hraniˇcních bodech f (b) a f (a) na pravé straneˇ (9)
jsou násobeny hodnotami 1 a −1, které lze chápat
ˇ jednotkové normály k intervalu
jako hodnoty "vnejší
(a, b)", v bodech a a b.
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ
Vztah (2) plyne z (1): dosad’te f := Tk v (1) a seˇctete
pˇres k .
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ
Vztah (2) plyne z (1): dosad’te f := Tk v (1) a seˇctete
pˇres k .
Vztah (3) plyne z (1): dosad’te f := uv v (1) a
ˇ
derivujte souˇcin na levé strane.
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ
Vztah (2) plyne z (1): dosad’te f := Tk v (1) a seˇctete
pˇres k .
Vztah (3) plyne z (1): dosad’te f := uv v (1) a
ˇ
derivujte souˇcin na levé strane.
Vztah (4) je jen vektorovým zápisem vztahu (3).
∂u
a takto
Vztah (5) plyne z (3): místo u dosad’te
∂xk
ˇ pˇres k .
vzniklé rovnosti seˇctete
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ
Vztah (2) plyne z (1): dosad’te f := Tk v (1) a seˇctete
pˇres k .
Vztah (3) plyne z (1): dosad’te f := uv v (1) a
ˇ
derivujte souˇcin na levé strane.
Vztah (4) je jen vektorovým zápisem vztahu (3).
∂u
a takto
Vztah (5) plyne z (3): místo u dosad’te
∂xk
ˇ pˇres k .
vzniklé rovnosti seˇctete
Vztah (6) plyne z (5): napište si modifikaci vztahu (5),
ˇ (5) a
tak, že prohodíte roli u a v . Potom odeˇctete
tento modifikovaný vztah.
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ
Vztah (2) plyne z (1): dosad’te f := Tk v (1) a seˇctete
pˇres k .
Vztah (3) plyne z (1): dosad’te f := uv v (1) a
ˇ
derivujte souˇcin na levé strane.
Vztah (4) je jen vektorovým zápisem vztahu (3).
∂u
a takto
Vztah (5) plyne z (3): místo u dosad’te
∂xk
ˇ pˇres k .
vzniklé rovnosti seˇctete
Vztah (6) plyne z (5): napište si modifikaci vztahu (5),
ˇ (5) a
tak, že prohodíte roli u a v . Potom odeˇctete
tento modifikovaný vztah.
Vztah (7): položte v = 1 v (5).
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokraˇc.)
ˇ
Vztah (2) plyne z (1): dosad’te f := Tk v (1) a seˇctete
pˇres k .
Vztah (3) plyne z (1): dosad’te f := uv v (1) a
ˇ
derivujte souˇcin na levé strane.
Vztah (4) je jen vektorovým zápisem vztahu (3).
∂u
a takto
Vztah (5) plyne z (3): místo u dosad’te
∂xk
ˇ pˇres k .
vzniklé rovnosti seˇctete
Vztah (6) plyne z (5): napište si modifikaci vztahu (5),
ˇ (5) a
tak, že prohodíte roli u a v . Potom odeˇctete
tento modifikovaný vztah.
Vztah (7): položte v = 1 v (5).
Vztah (8): položte u = v = 1 v (4).
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ
14.3 Greenova a Stokesova veta
ˇ 14.5 (Green)
Veta
~ : Ω ⊂ R2 → R2 platí (za pˇredpokladu˚
Bud’ n=2 . Pro T
pˇredchozí úmluvy, tj. speciálneˇ ∂Ω je sjednocení
˚
koneˇcného poˇctu hladkých kˇrivek a bodu):
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ
14.3 Greenova a Stokesova veta
ˇ 14.5 (Green)
Veta
~ : Ω ⊂ R2 → R2 platí (za pˇredpokladu˚
Bud’ n=2 . Pro T
pˇredchozí úmluvy, tj. speciálneˇ ∂Ω je sjednocení
˚
koneˇcného poˇctu hladkých kˇrivek a bodu):
Z Ω
∂T1 ∂T2
+
∂x1
∂x2
M. Rokyta, KMA MFF UK
dx =
Z
~ · ~ν dϕ ,
T
(10)
∂Ω
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ
14.3 Greenova a Stokesova veta
ˇ 14.5 (Green)
Veta
~ : Ω ⊂ R2 → R2 platí (za pˇredpokladu˚
Bud’ n=2 . Pro T
pˇredchozí úmluvy, tj. speciálneˇ ∂Ω je sjednocení
˚
koneˇcného poˇctu hladkých kˇrivek a bodu):
Z Ω
∂T1 ∂T2
+
∂x1
∂x2
Z ∂T2 ∂T1
−
∂x1
∂x2
Ω
dx =
Z
~ · ~ν dϕ ,
T
(10)
Z
~ · ~τ dϕ ,
T
(11)
∂Ω
dx =
∂Ω
ˇ normálový vektor (k Ω) a ~τ teˇcný vektor ke
kde ~ν je vnejší
kˇrivce ∂Ω, která "obíhá" Ω tak, že má Ω "po levé ruce".
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ (pokraˇc.)
14.3 Greenova a Stokesova veta
Poznámka
Jiný zápis pˇredchozích dvou vztahu˚ (10), (11) (stále jsme
v Rn pro n = 2) je
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ (pokraˇc.)
14.3 Greenova a Stokesova veta
Poznámka
Jiný zápis pˇredchozích dvou vztahu˚ (10), (11) (stále jsme
v Rn pro n = 2) je
Z
~ dx =
div T
Ω
M. Rokyta, KMA MFF UK
Z
~ · ~ν dϕ ,
T
(12)
∂Ω
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ (pokraˇc.)
14.3 Greenova a Stokesova veta
Poznámka
Jiný zápis pˇredchozích dvou vztahu˚ (10), (11) (stále jsme
v Rn pro n = 2) je
Z
~ dx =
div T
Ω
Z
~ =
kde rot T
∂T2
∂x1
~ · ~ν dϕ ,
T
(12)
Z
~ · ~τ dϕ ,
T
(13)
∂Ω
~ dx =
rot T
Ω
−
Z
∂Ω
∂T1
∂x2
ˇ
je "dvourozmerná
rotace
~
ˇ
dvourozmerného
pole T = (T1 , T2 )" (tˇretí souˇradnice
~ = (T1 , T2 , 0)).
ˇ
tˇrirozmerné
rotace pole T
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ (pokraˇc.)
14.3 Greenova a Stokesova veta
Poznámka
Jiný zápis pˇredchozích dvou vztahu˚ (10), (11) (stále jsme
v Rn pro n = 2) je
Z
~ dx =
div T
Ω
Z
~ =
kde rot T
∂T2
∂x1
~ · ~ν dϕ ,
T
(12)
Z
~ · ~τ dϕ ,
T
(13)
∂Ω
~ dx =
rot T
Ω
−
Z
∂Ω
∂T1
∂x2
ˇ
je "dvourozmerná
rotace
~
ˇ
dvourozmerného
pole T = (T1 , T2 )" (tˇretí souˇradnice
~ = (T1 , T2 , 0)). Zobecnením
ˇ
ˇ
tˇrirozmerné
rotace pole T
ˇ
vztahu (13) do tˇrí dimenzí je tzv. Stokesova veta.
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ (pokraˇc.)
14.3 Greenova a Stokesova veta
ˇ 14.6 (Stokes)
Veta
Bud’ (S, ~ν ) ⊂ R3 hladká orientovaná 2-plocha taková, že
∂S = h~
ϕi, kde ϕ
~ je Jordanova kˇrivka, obíhající (S, ~ν ) v
kladném smyslu, tj. v souladu "s pravidlem palce
pravé ruky". Potom (platí-li stále úmluva z poˇcátku této
kapitoly)
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ (pokraˇc.)
14.3 Greenova a Stokesova veta
ˇ 14.6 (Stokes)
Veta
Bud’ (S, ~ν ) ⊂ R3 hladká orientovaná 2-plocha taková, že
∂S = h~
ϕi, kde ϕ
~ je Jordanova kˇrivka, obíhající (S, ~ν ) v
kladném smyslu, tj. v souladu "s pravidlem palce
pravé ruky". Potom (platí-li stále úmluva z poˇcátku této
kapitoly)
Z
(S,~
ν)
~ · ~ν dS =
rot T
Z
~ · ~τ dϕ =
T
ϕ
M. Rokyta, KMA MFF UK
Z
~ dϕ
T
~.
(14)
ϕ
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ (pokraˇc.)
14.3 Greenova a Stokesova veta
Poznámka (integrální reprezentace divergence)
ˇ
Necht’ Kr (x0 ) ⊂ Rn je koule o stˇredu x0 ∈ Rn a polomeru
1
~
r ∈ (0, R), a T ∈ C (KR (x0 )), pak
1
~ (x0 ) = lim
div T
r →0+ λn (Kr (x0 ))
M. Rokyta, KMA MFF UK
Z
~ · ~ν dS .
T
(15)
∂Kr (x0 )
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ (pokraˇc.)
14.3 Greenova a Stokesova veta
Poznámka (integrální reprezentace rotace)
ˇ
Necht’ (S, ~ν ) ≡ Sr (x0 ) ⊂ R3 je dvourozmerný
orientovaný
3
ˇ r ∈ (0, R), který leží v
kruh o stˇredu x0 ∈ R a polomeru
ˇ
ˇ
ˇ
rovine rovnobežné z nekterou dvojicí souˇradných rovin
(xy , xz nebo yz), s hranicí ∂S = h~
ϕi, orientovanou v
~ ∈ C 1 (KR (x0 )).
ˇ
souladu se Stokesovou vetou.
Necht’ dále T
Pak
Z
1
~ · ~τ dϕ .
~
T
(16)
rot T · ~ν (x0 ) = lim
r →0+ λ2 (Sr (x0 )) ϕ
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
ˇ
14.4 Záver
ˇ
To je letos vše, pˇreji pekné
prázdniny
a nashledanou v pˇríštím školním roce.
M. Rokyta, KMA MFF UK
ˇ Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta
ˇ
14. Vety
Download

14. Vˇety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova vˇeta