Rovnoľahlosť (Homotétia)
Definícia:
Nech je dané ľubovoľné reálne číslo h ≠ 0 a ľubovoľný bod S roviny.
Rovnoľahlosťou HS,h budeme nazývať zobrazenie v rovine, ktoré každému bodu X roviny priradí bod X´
tej istej roviny tk, že:
1. Ak X = S, potom
HS,h (X) = X
2. Ak X ≠ S, potom
HS,h (X) = X´
a) ak h› 0 potom X´ leží na polpriamke SX tak, že
|S,X´| = h.|S,X|
b) ak h ‹ 0, potom X´ leží na polpriamke opačnej ku polpriamke SX tak, že
|S,X´| = |h|.|S,X|
Rovnoľahlosť a trojuholník
Vlastnosti rovnoľahlosti:





Každá rovnoľahlosť je podobnosťou s koeficientom |h|
Ak h = 1, tak rovnoľahlosť je identitou
Ak h = -1, tak rovnoľahlosť je stredovou súmernosťou
Ak |h|>1, hovoríme o zväčšení
Ak |h|<1, hovoríme o zmenšení





Navzájom prislúchajúce si úsečky sú rovnobežné a platí:
Zachováva veľkosť uhlov
Zachováva sa deliaci pomer
o(U´)= o(U). |h|
S(U´)= S(U).h2
|A´B´| = |h|.|AB|
Rovnoľahlosť – úvodné konštrukcie
1. Dané sú dve rovnobežné úsečky AB, LK s rôznymi dĺžkami. Nájdi dve rovnoľahlosti, ktoré
zobrazia prvú úsečku ako druhú.
2. V konštrukčných úlohách je rovnoľahlosť daná stredom S a dvojicou bodov A, A’. Zostroj
obrazy zvolených bodov.
3. Je daný trojuholník ABC a mimo neho bod S, Zostroj obraz trojuholníka ABC v rovnoľahlosti so
stredom S a koeficientom 7/3.
4. Je daný trojuholník ABC, T – ťažisko ABC. Narysuj obraz trojuholníka ABC v rovnoľahlosti so
stredom T a s koeficientom -1/2
5. Je daný štvorec ABCD (a = 4 cm). Označte S stred štvorca. Nakreslite obraz štvorca v
rovnoľahlosti s koeficientom
a) ½
b) 2
c) - ¾
6. Je daná kružnica k(S; 4cm) a bod M, ktorý leží na k. Narysujte obraz kružnice k v rovnoľahlosti
so stredom M a koeficientom:
a) ½
b) -½
c) ¾
Použitie rovnoľahlosti pri konštrukcii trojuholníka
Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte
1. a : b = 4 : 5, γ=60º, vc = 3cm
2. b : c = 7 : 4, α=45º, tb = 3cm
3. α=75º, γ=45º, ρ = 2cm…polomer vpísanej k
4. α=60º, β=50º, r = 4cm…polomer opísanej k
5. a : b : c = 7 : 3 : 5, vc = 4cm
6. a : b : c = 4 : 3 : 5, r = 4cm
7. a : b : c = 5 : 6 : 5, ρ = 2cm
8. α, β, tc
Konštrukcia úsečky delenej daným bodom v určitom pomere
1. Je daný uhol AVB. Vo vnútri uhla zvoľte bod M. Zostrojte všetky úsečky XY tak, aby
X  AV , Y VB a bod M delil úsečku XY v pomere 1:2.
2. Je daný štvorec ABCD (a=5cm). Vo vnútri štvorca zvoľte bod M, ktorý je 4 cm od bodu C a 1,5
cm od bodu B. Zostrojte všetky úsečky XY tak, aby body XY ležali na obvode štvorca a aby
MX : XY  1 : 3
platilo:
3. Je daná kružnica k(S; 4,5cm) a bod M, ktorého vzdialenosť od stredu S je 3,6 cm. Zostrojte
všetky tetivy XY kružnice k, ktoré prechádzajú bodom M tak, že bod M delí tetivu XY v
pomere 3:1.
4. Je daná kružnica k(S; 4 cm) a bod M, ktorého vzdialenosť od stredu S je 9 cm. Zostrojte priamku
prechádzajúcu bodom M tak, kružnicu k pretínala v bodoch X, Y a aby platilo MX  XY .
5. Daná je priamka p, kružnica k a bod M. Zostroj úsečku XY prechádzajúcu bodom M tak, aby
platilo X  p, Y  k , XM  3. YM
Použitie rovnoľahlosti pri vpisovaní útvarov
1. Danému ostrouhlému trojuholníku ABCvpíšte štvorec MNOP tak, aby strana MN ležala na AB.
2. Danému ostrouhlému trojuholníku ABC vpíšte obdĺžnik MNOP, ktorého strany sú v pomere 3:2
tak, aby strana MN ležala na AB.
3. Danému kruhovému odseku vpíšte štvorec ABCD tak, aby vrcholy A, B ležali na tetive, ktorá
ohraničuje odsek.
4. Z kusa plechu, ktorý má tvar kruhového výseku, vyrežte čo najväčší kruh. (Stačí rysovať, nie
rezať )
Download

Rovnoľahlosť (Homotétia) Rovnoľahlosť a trojuholník Vlastnosti