Stokastik Süreçler Dersi Çalışma Soruları Final
(Matematik Müh. Bölümü-2015)
S-1)  = (())≥0, varyansı 9 olan Brownian hareketi olsun aşağıdaki olasılıkları
hesaplayınız.
a) ((5) ≤ 7|(3) = 4)
1
b) ((7) − (3) > 2|(2) = 4)
S-2)  = (())≥0, varyansı 4 olan Brownian hareketi olsun aşağıdaki olasılıkları
hesaplayınız.
a) ((4) ≤ 9|(2) = 3)
1
b) ((6) − (3) < 4|(1) = )
3
S-3)  = (())≥0, varyansı 11 olan Brownian hareketi olsun aşağıdaki olasılıkları
hesaplayınız.
a) ((6) ≥ 7|(4) = 5)
1
b) ((8) − (4) < 3|(1) = 5)
S-4)  = (())≥0, varyansı 4.5 olan Brownian hareketi olsun ((4) < 7.2|(6) =
9.3) olasılığını hesaplayınız.
S-5)  = (())≥0, varyansı 8.4 olan Brownian hareketi olsun ((3) < 5.2|(4) =
7.8) olasılığını hesaplayınız.
S-6) Bir malın fiyat ortalaması  = 4 ve varyansı  2 = 9 ile bir () =  + ()
Brownian harekete göre değişmektedir. Malın t=7 zamandaki fiyatı 9 TL olsun. Ürünün
fiyatının  = 10 zamanında 5 TL’nin altına düşme olasılığını bulunuz.
S-7) Bir malın fiyat ortalaması  = 9 ve varyansı  2 = 16 ile bir () = 2 +  + ()
Brownian harekete göre değişmektedir. Malın t=5 zamandaki fiyatı 19 TL olsun. Ürünün
fiyatının  = 7 zamanında 12 TL’nin altına düşme olasılığını bulunuz.
S-8) Artışları bağımsız sürecin varyansının t’nin azalmayan fonksiyonu olduğunu
gösteriniz.
S-9) (),  ≥ 0 wiener süreci olsun. () =  (1) ,  ≥ 0 stokastik sürecinin
a) Bir boyutlu dağılım fonksiyonunu, beklenen değerini ve kovaryansını bulunuz.
b) () bir wiener süreci midir?
S-10) Artışları bağımsız sürecin varyansının t’nin azalmayan fonksiyonu olduğunu
gösteriniz.
S-11) (),  ≥ 0 wiener süreci olsun. () = 2 (1 ) ,  ≥ 0 stokastik sürecinin
2
a) Bir boyutlu dağılım fonksiyonunu, beklenen değerini ve kovaryansını bulunuz.
b) () bir wiener süreci midir?
S-12) (),  ≥ 0 wiener süreci olsun. () = 1 (2),  ≥ 0,  > 0 stokastik
2
sürecinin bir wiener süreci olduğunu ispat ediniz.
S-13) (),  ≥ 0 wiener süreci olsun. () = |()|,  ≥ 0 stokastik sürecinin
Bir boyutlu dağılım fonksiyonunu, beklenen değerini ve varyansını bulunuz.
S-14) (),  ≥ 0 wiener süreci olsun. () =  (),  ≥ 0 geometrik Brown hareketinin
Bir boyutlu dağılım fonksiyonunu, beklenen değerini ve varyansını bulunuz.
S-15) (, ) sürecinin kovaryans fonksiyonu
 (1 , 2 ) =  2  −
2 ( − )
2 1
cos((2 − 1 )) ,  > 0,  > 0, ∀1 , 2 ∈ 
Verilmiş olsun. Bu sürecin kuadratik orta anlamda türevi mevcutmudur.
S-16) (, ) sürecinin kovaryans fonksiyonu
 (1 , 2 ) =  2  −
2 ( − )
2 1
sin((2 − 1 )) ,  > 0,  > 0, ∀1 , 2 ∈ 
Verilmiş olsun. Bu sürecin kuadratik orta anlamda türevi mevcutmudur.
S-17) (, ) sürecinin kovaryans fonksiyonu
 (1 , 2 ) =  2  −
2 (| − |)
2 1
cos((2 − 1 )) ,  > 0,  > 0, ∀1 , 2 ∈ 
Verilmiş olsun. Bu sürecin kuadratik orta anlamda türevi mevcutmudur.
S-18) (, ) sürecinin kovaryans fonksiyonu
 (1 , 2 ) =
cos((2 − 1 ))
,  > 0,
2 + 1
verilmiş olsun. Bu durumda ′(, ) stokastik sürecinin kovaryans fonksiyonunu bulunuz.
S-19) (, ) sürecinin kovaryans fonksiyonu
 (1 , 2 ) =
sin((2 − 1 ))
,  > 0,
2 + 1
verilmiş olsun. Bu durumda ′(, ) stokastik sürecinin kovaryans fonksiyonunu bulunuz.
S-20) (, ) ile ′(, ) süreçlerinin karşılıklı kovaryans fonksiyonu
′ (1 , 2 ) = 1 (2 + 1) 1 +2
ise ′(, ) stokastik sürecinin kovaryans fonksiyonunu bulunuz.
S-21) (, ) ile ′(, ) süreçlerinin karşılıklı kovaryans fonksiyonu
′ (1 , 2 ) = (1 − 1)(2 + 1) 1 −2
ise ′(, ) stokastik sürecinin kovaryans fonksiyonunu bulunuz.
S-22) (, ) stokastik sürecinin beklenen değeri  () = 23 − 3 olsun. Bu durumda
(, ) =  3  ′ (, ) + 6 4 stokastik sürecinin beklenen değerini bulunuz.
S-23) (, ) stokastik sürecinin beklenen değeri  () = 64 − 2 2 − 3 + 7 olsun. Bu
durumda (, ) =  5  ′ (, ) + 6 4 (, ) + 2 stokastik sürecinin beklenen değerini
bulunuz.
S-24) (, ) sürecinin kovaryans fonksiyonu
 (1 , 2 ) =
tan((2 − 1 ))
,  > 0,
 (2 +1 )
verilmiş olsun. Bu durumda ′(, ) stokastik sürecinin kovaryans fonksiyonunu bulunuz.
S-25) Homojen olmayan bir poisson sürecinin oluşum oranı aşağıdaki gibi verilmiş olsun.
() = {
11,  ∈ {(0,1], (2,3], (4,5], … } 
7,  ∈ {(1,2], (3,4], (5,6], … } 
a) (0,3] zaman periyodunda kaç oluşumun gerçekleşmesi beklenir?
b) (2,7] zaman periyodunda kaç oluşumun gerçekleşmesi beklenir?
c) 7 = 0.63 olduğu verilmiş ise 9 > 0.86 olma olasılığını hesaplayınız.
S-26) Homojen olmayan bir poisson sürecinin oluşum oranı aşağıdaki gibi verilmiş olsun.
1
2 3 4 5
2,  ∈ {(0, ] , ( , ] , ( , ] , … } 
3
3 3 3 3
() = {
1 2 3 4 5 6
 + 5,  ∈ {( , ] , ( , ] , ( , ] , … } 
3 3 3 3 3 3
a) (0,1] zaman periyodunda kaç oluşumun gerçekleşmesi beklenir?
b) (2,3] zaman periyodunda kaç oluşumun gerçekleşmesi beklenir?
c) 7 = 0.53 olduğu verilmiş ise 9 > 0.76 olma olasılığını hesaplayınız.
Doç. Dr. Mehmet MERDAN
Download

Stokastik Süreçler Dersi Çalışma Soruları Final (Matematik Müh