Vzorové příklady - 4.cvičení
Vzorový příklad 4.1.
V kruhovém přivaděči se mění průřez z hodnoty D1 = 2 m na D2 = 3 m (obrázek 1).
Ve vstupním průřezu byla při ustáleném proudění změřena průřezová rychlost
-1
v1 = 3 m.s . Vypočítejte průtok a průřezovou rychlost ve výstupním průřezu. Dále
určete režim proudění u obou průměrů potrubí (zjistěte, je-li proudění laminární či
turbulentní (T = 12°C)).
[Výsledek: 9,425 m3.s-1; 1,333 m.s-1; turbulentní proudění]
Obrázek 1
Řešení
Z definiční rovnice průřezové rychlosti získáme objemový průtok Q a z podmínky
kontinuity (Q = konst., tj. v1.S1 = v2.S2) následně rychlost v2:
2
Q  v 1  S1  v 1 
v2 
  D1
  22
 3
 9,425 m 3 . s 1 ,
4
4
Q
Q
9,425


 1,333 m . s 1 .
2
2
S 2   D2 4   3 4
K určení režimu proudění v potrubí nám poslouží vztah pro Reynoldsovo číslo
v.D
.
Re 

Kritérium Reynoldsova čísla Re: Re 2320 laminární proudění;
Re 2320 turbulentní prodění.
Kinematická viskozita vody při teplotě 12°C:   1,24  10 6 m 2 . s 1 (viz. Tab.1)
Pro naše potrubí platí:
v D
3.2
Re1  1 1 
 4838,1.10 3  2320 turbulentní proudění
6

1,24.10
Re 2 
K141 HYA
v 2  D2
1,333.3

 3225.10 3  2320 turbulentní proudění
6

1,24.10
1
cvičení 4
Vzorový příklad 4.2.
Ke stěně nádrže je připevněno vodorovné potrubí, u kterého se mění průměr. Voda
v horní nádrži je nad osou potrubí ve výšce H = 1,5 m a na dolním konci vytéká
kapalina do volna (obrázek 2). Průměry a délky jednotlivých potrubí jsou:
D1 = 0,24 m, L1 = 3 m, D2 = 0,1 m, L2 = 1 m, D3 = 0,12 m, L3 = 2 m. Vypočítejte
průtok vody potrubím a nakreslete průběh čáry energie (ČE) a čáry tlakové (ČT).
Řešte pro:
a) při zanedbání ztrát (tj. považujte kapalinu za ideální),
b) se započítáním ztrát pro vodu o teplotě 10°C. Ocelové potrubí uvažujte po použití
(mírně zrezivělé).
[Výsledek: 0,061 m3.s-1; 0,035 m3.s-1]
Obrázek 2
Řešení
a) Řešení při zanedbání ztrát
K řešení dané úlohy je třeba použít Bernoulliho rovnici a rovnici kontinuity. Pro
výpočet průtoku je nejvýhodnější napsat Bernoulliho rovnici pro horní hladinu
v nádrži (průřez 0 - 0) a pro těžiště výtokového průřezu 3. Srovnávací rovinu zvolíme
v ose vodorovných potrubí. Budeme dále předpokládat, že horní nádrž je velká a
tudíž je možné zanedbat vliv přítokové rychlosti (tzn. vn = 0). Pak platí
2
H
2
pa v n
p
v

0 a  3
g 2g
g 2g
a úpravou této rovnice počítáme průřezovou rychlost na výtoku
v 3  2gH  2  9,81 1,5  5,42m . s 1 .
Z definiční rovnice pro průřezovou rychlost se spočítá objemový průtok
  0,12 2
Q  v 3 S3  5,42 
 0,061m 3 . s 1
4
Nyní je možné z podmínky kontinuity vypočítat rychlosti ve zbývajících průřezech
potrubí a odpovídající rychlostní výšky
Q
4  0,061
v1 

 1,356 m . s 1 ,
2
S1   0,24
K141 HYA
2
2
v1
1,3562

 0,094 m
2g
19,62
cvičení 4
Q
4  0,061
v2 

 7,812 m . s 1
2
S2
  0,1
2
v2
7,8122

 3,110 m
2g
19,62
Vzhledem k tomu, že kapalinu považujeme za ideální a v daných úsecích uvažujeme
konstantní průměry potrubí a tedy konstantní rychlosti, budou čára energie, resp.
čára tlaková, vodorovné a rovnoběžné. Jestliže se napíše Bernoulliho rovnice pro
hladinu v horní nádrži a průřez uprostřed délky prvního potrubí, kde se zatím
předpokládá neznámý statický tlak, získá
2
H
pa
p
v
 0  0  1s  1
g
g 2g
resp. po úpravě platí
2
p  pa
p1
v
 1s
 H  1  1,5  0,094  1,406 m
g
g
2g
(jde o přetlakovou výšku)
Obdobně se pro druhý úsek potrubí získá
2
p  pa
p2
v
 2s
 H  2  1,5  3,110  1,61m
g
g
2g
(jde o podtlakovou výšku)
Na výtoku z posledního potrubí působí atmosférický tlak, který v tomto případě bude
přítomen v celé délce posledního úseku. Tam, kde se potrubí stýkají, se mění
rychlosti (rychlostní výšky) a čára tlaková se proto mění skokem. Vykreslení čáry
energie a čáry tlakové je uvedeno na obrázku 3.
Obrázek 3
b) Řešení při započítání ztrát
K řešení dané úlohy je stejně jako v bodě ad a) třeba použít Bernoulliho rovnici a
rovnici kontinuity. Pro výpočet průtoku je nejvýhodnější napsat Bernoulliho rovnici pro
horní hladinu v nádrži (průřez 0 - 0) a pro těžiště výtokového průřezu 3. Srovnávací
rovinu zvolíme v ose vodorovných potrubí. Budeme dále předpokládat, že horní
nádrž je velká a tudíž je možné zanedbat vliv přítokové rychlosti (tzn. vn = 0). Při
zavedení Coriolisova čísla hodnotou  = 1,0 pak platí
2
2
p
p
v
v
H  a  n  0  a  3  Z
g 2g
g 2g
K141 HYA
3
cvičení 4
Ztráty Z se vypočítají jako součet ztrát místních Zm a ztrát třením Zt. Ztrátu místní je
v2
možno vyjádřit jako součin 
, kde  je součinitel místní ztráty a v průřezová
2g
rychlost proudění v profilu u dané tvarovky. Ztrátu třením je možno vyjádřit pomocí
L v2
Darcy-Weisbachovy rovnice Z t    
. Součinitel ztráty třením  je možno určit
D 2g
v D
pomocí Moodyho diagramu v závislosti na Reynoldsově čísle Re 
( ...


kinematická viskozita proudící kapaliny) a relativní drsnosti
( ... hydraulická
D
drsnost potrubí).
Součinitelé místních ztrát:
vtok do potrubí: vtok = 0,5 (vztaženo k rychlosti v potrubí za vtokem)
D2
0,1

 0,417   zúžení  0,35
D1 0,24
(vztaženo k průměru D2)
zúžení potrubí z průměru D1 na D2:
D3 0,12

 1,2   rozšíření  0,19
D2
0,1
(vztaženo k průměru D3)
rozšíření potrubí z průměru D2 na D3:
Součinitelé ztráty třením:
Jelikož není znám průtok a tedy ani rychlosti proudění v jednotlivých úsecích, není
možno předem vyčíslit hodnoty Reynoldsových čísel. Z tohoto důvodu budou

součinitelé místních ztrát i pro jednotlivé úseky vyčísleny dle relativní drsnosti i
Di
za předpokladu kvadratické oblasti ztrát třením. Střední hodnota hydraulické drsnosti
pro daná potrubí (ocelové potrubí po použití - mírně zrezivělé) je 0,5 mm. Dle
Moodyho diagramu jsou hodnoty součinitelů ztrát třením pro jednotlivé úseky:
úsek 1:
1
0,5

 0,00208 
D1 240
úsek 2:
2
0,5

 0,0050 
D2 100
úsek 3:
3
0,5

 0,00417 
D3 120
 1  0,024 ,
 2  0,030 ,
 3  0,029 .
Bernoulliho rovnici pro profil hladiny v nádrži a profil výtoku na konci třetího úseku
potrubí je v daném případě možno přepsat do tvaru:
K141 HYA
4
cvičení 4
2
2
v
v
H 3  1
2g 2g
2

L  v
   vtok   1 1   2
D1  2g

2

L  v
   zúžení   2 2   3
D2  2g


L 
   rozšíření   3 3 
D3 

Rychlosti proudění vi v jednotlivých úsecích lze vyjádřit pomocí průtoku Q a
2
  Di
průtočných ploch S i 
:
4
Q2
H
2
S3 2g


L1 
Q2







1
2
 vtok
D1  S 2 2 2g
S1 2g 
Q2

L 
Q2
   zúžení   2 2   2
D2  S3 2g


L 
   rozšíření   3 3 
D3 

Z takto upravené Bernoulliho rovnice je možno vyjádřit průtok Q:
Q
H1 2
 1
1
 2
 S 2g  S 2 2g
1
 3

L 
1
   vtok  1 1   2
D1  S2 2g


L 
1
   zúžení   2 2   2
D2  S3 2g

12

L 
   rozšíření   3 3  
D3  

Q  0,0350 m 3 s 1
Nyní je potřeba ověřit hodnoty součinitelů ztrát třením při prvotním určení
stanovených za předpokladu kvadratické oblasti ztrát třením (kinematická viskozita
vody při teplotě 10°C:   1,31 10 6 m 2 s 1 ):
Re1 
Re2 
Re3 
v 1  D1 Q  D1
0,0350  0,24


 1,42  10 5
2

S1  
  0,24
 1,31 10 6
4
v 2  D2 Q  D2
0,0350  0,10


 3,40  105
2

S2     0,10
 1,31 106
4
v 3  D3 Q  D3
0,0350  0,12


 2,83  105

S3     0,122
 1,31 10 6
4



 1  0,025
 2  0,031
 2  0,029
Jelikož na prvním a druhém úseku potrubí jsou hodnoty součinitelů ztrát třením
odlišné od původních hodnot, je nutno s těmito změněnými součiniteli přepočítat
průtok Q:
Q  0,0349 m 3 . s 1
Jelikož přepočítaná hodnota průtoku se od průtoku stanoveného v prvním iteračním
kroku z praktického hlediska liší velmi málo (ca o 0,3 %), není nutno provádět další
K141 HYA
5
cvičení 4
opravy součinitelů ztrát třením a průtok Q  0,0349 m 3 . s 1 je možno považovat
za výsledný.
Čára energie (ČE) v daném případě vychází z vodní hladiny v nádrži a ve směru
proudění klesá o ztráty. Čára tlaková (ČT) je o rychlostní výšku pod čarou energie.
Tyto dvě čáry jsou v jednotlivých úsecích s konstantní rychlostí rovnoběžné (viz.
schematický náčrtek: obrázek 4).
Obrázek 4
K141 HYA
6
cvičení 4
Vzorový příklad 4.3.
Vypočítejte maximální rychlost umax v ose potrubí, průtok Q a zjistěte, je-li proudění
laminární či turbulentní (T = 12°C), ukazuje-li rtuťový diferenciální manometr rozdíl
hladin Hm = 0,02 m (obrázek 5). Průměr potrubí je D = 0,15 m. Rychlostní součinitel
Pitotovy trubice je  = 1,0. Průřezová rychlost se vypočítá na základě vztahu
v = 0,84 umax.
[Výsledek: 2,224 m.s-1; 0,033 m3.s-1, turbulentní proudění]
Obrázek 5
Řešení
Protože se jedná o ustálené proudění, je průtok Q konstantní. Zároveň se po délce
potrubí nemění ani průměr D a tedy je konstantní i průřezová rychlost v.
Pitotova trubice slouží k měření bodové rychlosti na principu změny druhu
mechanické energie mezi dvěma profily podle Bernoulliho rovnice. Rozdíl rychlostní
výšky v profilech 1 a 2 (v profilu 1 je rychlostní výška daná rychlostí umax, v profilu 2
je rychlostní výška nulová, neboť v manometru není žádná rychlost) vyvolá rozdíl
tlakových výšek a následně vychýlení hladin rtuti v diferenciálním rtuťovém
manometru. K určení bodové rychlosti užijeme kombinaci rovnice tlakové rovnováhy
na vhodně zvolené rovňové ploše v manometru (obrázek 6) a Bernoulliho rovnice
pro profily 1 a 2.
Určení tlakového rozdílu (z rovnováhy statických tlaků na rovňové ploše R.P.):
p1   Hg  g  H m  p2   v  g  H m 
 p1  p2  H m  g   Hg  v  

p1  p 2
 Hm
v  g
  Hg

 
 1 (1)
 v

Obrázek 6
K141 HYA
7
cvičení 4
Určení bodové rychlosti (z Bernoulliho rovnice pro profily 1 a 2 a srovnávací rovině v
ose potrubí):
2
2
 . u max
u max
p1
p2
,


 Z12 , kde ztráta Z12   .
2. g
.g
2. g
. g
po úpravě, včetně zavedení nového součinitele  
u max   . 2 . g
1
, dává
 
p 2  p1
. g
(2)
Kombinace rovnic (1) a (2) dává
  Hg

u max   . 2 . g . H m 
 1  1. 2.9,81.0,02.13,6  1  2,224 m . s 1
 v

Dále určíme průtok Q s využitím vztahu průřezové a bodové rychlosti v = 0,84 umax.
v  0,84.u max  1,868 m.s 1
Q  v .S  1,868.
.D 2
 0,033 m 3 . s 1
4
Režim proudění určíme podle hodnoty Reynoldsova čísla:
Re 
v .D 1,868.0,15

 225 943

1,24.10 6
Hodnota Re > 2320 a proudění je proto turbulentní.
K141 HYA
8
cvičení 4
Download

Vzorové příklady