Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Regresní model s fixními a náhodnými efekty
(s pˇríklady)
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚ P.
29.4.2010
www.matfyz.cz/pavel.suva
nebo
www.petra.burdejova.matfyz.cz
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Obsah
1
2
3
4
5
Panelové dáta
ˇ sú panelové dáta:
Co
Výhody a nevýhody
Základný model
Model s fixními efekty
Formulácia
Odhad parametrov
Model s náhodnými efekty
Formulácia
Odhad parametrov
Hausmanov a Taylorov model
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
ˇ sú panelové dáta:
Co
Výhody a nevýhody
Základný model
ˇ sú panelové dáta
Co
cˇ asové rady + prierezové dáta
|
{z
}
"Prierezové dáta v priebehu cˇ asu"
Napríklad:
Michigan Panel Study of Income Dynamics (PSID).
pozorovných zhruba 7000 rodín a 65000 jedincov, spytovaní
peridicky od r.1968 do súˇcasnosti
,→ široké
orientácia k analýze prierezových dát
,→ krátke
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
ˇ sú panelové dáta:
Co
Výhody a nevýhody
Základný model
Výhody
rozvoj techník pre odhad, nové
teorické výsledky
skúmanie problémov, ktoré cˇ .rady
ani prier.data nevedia
kontrola individuálnych odlišností
Príklad: Cigaretový dopyt v USA (Baltagi and Levin (1992))
okrem cˇ asu a príjmu existujú aj cˇ asovo/prierezovo
invarianté premenné (náboženstvo,reklama..)
lepšia schopnost’ študovat’ dynamiku zmien
Príklad: nezamestnanost’ (Baltagi and Levin (1992))
možná konštrukcia zložitejších modelov
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
ˇ sú panelové dáta:
Co
Výhody a nevýhody
Základný model
Nevýhody
návrh a zber dát
(napr: zlá spolupráca,
pokrytie...)
⇒ deformácia chýb meraní
Problémy výberu:
vlastná vol’ba: napr.dôvodu nezamestnanosti
bez odpovede
úbytok (príp.zmena) dotazovaných
závislost’ v rámci prierezu (napr: krajiny)
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
ˇ sú panelové dáta:
Co
Výhody a nevýhody
Základný model
Motivaˇcný príklad:
Data CORNWELL.RAW (z Cornwell and Trumball, 1994)
Údaje o kriminalite z okrskov Severnej Karolíny
(1981-1987).
Celkom 90 okrskov.
O každom 21 premenných v každom roku.
Vybrané regresory
úrovenˇ kriminality
pravdepodobnost’ uväznenia
pravdepodobnost’ zatknutia
priemerná tvrdost’ trestu
pravdepodobnost’ odsúdenia
poˇcet policistov na obyvatel’a
Príklad si vypoˇcítame na záver....
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
ˇ sú panelové dáta:
Co
Výhody a nevýhody
Základný model
Základný model:
yit = x 0 it β + z 0 i α + it
kde:
xit obsahuje K regresorov
xit neobsahuje konštantú zložku (intercept)
zi obsahuje individuálne efekty
Na základe odlišných prístupov k zložke zi máme rozliˇcné
prípady:
Klasická regresia (angl. Pooled data)
zi obsahuje iba konštantú zložku
OLS
=⇒ konzistentý a eficientný odhad α a β
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
ˇ sú panelové dáta:
Co
Výhody a nevýhody
Základný model
Základný model:
yit = x 0 it β + z 0 i α + it
Fixné efekty
zi nepozorovaná, ale korelovaná s xit
OLS
=⇒ odhad β nie je nestranný ani konzistentný (následok
vynechania premenných)
prepis pomocou αi = z 0 i α:
yit = x 0 it β + αi + it ,
cˇ len αi nám špecifikuje danú skupinu
! "fixný"= nemenný v cˇ ase, nie nestochastický
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
ˇ sú panelové dáta:
Co
Výhody a nevýhody
Základný model
Základný model:
yit = x 0 it β + z 0 i α + it
Náhodné efekty
predpokladáme, že nepozorovaná (avšak formulovaná)
jednotlivá rôznorodost’ je nekorelovaná s obsiahnutými
premennými
prepis
yit = x 0 it β + α + ui + it ,
ui náhodná zložka špecifická pre každú skupinu
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s fixnými efektami - formulácia
yi = Xi β + iαi + i
,→ αi neznámy parameter, ktorý odhadujeme
,→ yi a Xi vektory T pozorovaní pre i-tú zložku
,→ i vektor jednotiek T × 1
,→ i vektor disturbancií T × 1
Maticovo:
   

Y1
X1
i 0
 ..   .. 
0 0
 .   . 
  =  β + 

.
 ..   .. 
0 ..
 .   . 
0 ···
Yn
Xn
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
···
···
..
.
···
   
α1
1
0



.
..   ... 
0



 
+
..   . 
  
.   ..   ... 
i
αn
n
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s fixnými efektami - formulácia
Maticovo:
Y 







X 

1
1
i
 
. 

 .. 
0
. 



. 
. 


 =  β + 
. 
 . 
0
. 
 . 
.
.
0
Yn
Xn
···
···
0
0
.
.
.
···
.
.
.
···
   
 α1
1
0
 .   . 
0  .   . 
 .   . 
 + 
.
   
.
.   . 
. 
 .   . 
.
.
i
αn
n
↓
oznaˇcme di dummy premennú indikujúcu i-tú zložku
↓
y = X d 1 d2 · · ·
dn
β
·
+
α
↓
oznaˇcme D maticu [d1 d2 · · · dn ]
↓
LSDV model
(least square dummy variable)
y = Xβ + Dα + ,
je klasickým regresným modelom
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Odhad pro model s fixními efekty
Pˇredpoklady klasického modelu lineární regrese ⇒ klasický
OLS-odhad s regresní maticí (D, X) (též „LSDV-odhad“).
Problém: K + n sloupcu˚ reg, matice, n muže
˚ být obrovské.
ˇ
ˇ
Rešení:
Rozdelená
regrese – odhadneme nejprve vekor β
zvlášt’, poté dopoˇcítáme odhad α
Obecný výsledek:
Pˇri regresi y = X1 β 1 + X2 β 2 + lze OLS-odhad vektoru˚
parametru˚ β1 a β2 spoˇcítat jako
−1
b1 = (X01 X1 )
X01 (y − X2 b2 ) ,
−1 −1
−1
b2 = X02 I − X1 (X01 X1 ) X01 X2
X02 I − X1 (X01 X1 ) X01 y .
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Odhad pro model s fixními efekty
Pro nás tedy:
−1 0
b = X0 Md X
X Md y ,
kde Md = I − D(D0 D)−1 D0 .



Md = 

IT ×T − T1 iT i0T
0
..
.
IT ×T
0
0
− T1 iT i0T
..
.
...
...
...
..
.
0
0
..
.
0
IT ×T − T1 iT i0T





Md je idempotentní ⇒ odhad je odhadem v regresi Md y na Md X.
Z tvaru matice Md vidíme: jedná se o regresi prvku˚ (yit − y¯i• ) na
¯i• ), kde y¯i• x
¯i• jsou pˇres cˇ as zprum
ˇ
(xit − x
˚ erovaná
pozorování
pˇríslušných hodnot i-tého objektu.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Odhad pro model s fixními efekty
Postup: získáme odhad b vektoru parametru˚ β, poté
dopoˇcítáme odhad vektoru parametru˚ α jako
a = (D0 D)−1 D0 (y − Xb).
ˇ u˚
Interpretace: Z modelu yit = αi + β 0 xit + it odeˇctením prum
˚ er
¯i• ) + ¯i• dostaneme model
y¯i• = αi + β 0 (x
¯i• ) + it − ¯i• ,
yit − y¯i• = β 0 (xit − x
ˇ
v nemž
už se nevyskytují efekty αi .
OLS metodou odhadneme β (odhadem je b). Odhadem αi je
¯i• .
ai = y¯i• − b0 x
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Vlastnosti odhadu
Odhad b vektoru parametru˚ β je konzistení pro nT → +∞.
Odhad a vektoru parametru˚ α je konzistení pro T → +∞.
Rozptyl odhadu:
c (b) = s2 X0 Md X −1 ,
var
kde
2
s =
Pn
i=1
PT
2
t=1 eit
.
nT − n − K
¯i• )0 b.
Pˇritom eit = yit − ai − x0 it b = (yit − y¯i• ) − (xit − x
Dále platí
var (ai ) =
σ2
¯0i• var (b) x
¯i• .
+x
T
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Testování podmodelu
Podmodel: jednotlivé objekty mají všechny stejný fixní efekt.
F-test
H0 : y = inT α0 + Xβ + ,
testová statistika: F =
H1 : y = Dα + Xβ + .
(RSSr − RSSur ) / (n − 1)
,
(RSSur ) / (nT − n − K )
H
F ∼0 Fn−1,nT −n−K
RSSur . . . reziduální souˇcet cˇ tvercu˚ modelu (H1 ),
RSSr . . . reziduální souˇcet cˇ tvercu˚ modelu (H0 ).
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Fixní cˇ asové efekty
ˇ
Fixní efekty pro každý casový
okamžik:
- dalších T dummy prom.,
ˇ bez interakcí.
- analogie analýzy rozptylu dvojného tˇrídení
Spoleˇcný intercept pro všechna pozorování ⇒ model
yit = µ + αi + γt + β 0 xit + i t.
P
P
Lin. podm.: ni=1 αi = 0 a Tt=1 γt = 0 ⇒ odhadnutelnost.
ˇ
Odhady metodou nejmenší ctverc
u:
˚
¯•• máme
¯i• − x
¯•t + x
z regrese yit − y¯i• − y¯•t + y¯•• na xit − x
¯•• ,
m = y¯•• − b0 x
¯•• ,
¯i• − x
ai = y¯i• − y¯•• − b0 x
¯•• .
¯•t − x
ct = y¯•t − y¯•• − b0 x
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s náhodnými efektami - motivácia
Základný model: yit = x 0 it β + z 0 i α + it
Model
s fixnými efektami
?
Možnosť
korelovanosti
zi a xi
Striktná
nekorelovanosť
zi a xi
vieme
? vhodné
možnosť modelovať rozdiely
modelovať jednotlivé špecif. členy
medzi zložkami ako parametrické
ako náhodné rozdelené
vzhľadom k prierez. zložkám
zmeny regresnej funkcie.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s náhodnými efektami - fomulácia
Základný model: yit = x0 it β + z0 i α + it
preformulujeme na:
yit = x0 it β + E z0 i α + z0 i α − E z0 i α +it .
{z
}
| {z } |
α
ui
α - str.hodnota nepozorovanej rôznorodosti
- samostatná konštantná zložka
ui - náhodná rôznorodost’ (špecifická pre i-tú zložku)
- konštantná v cˇ ase!
⇒ máme lineárny regresný model, so zloženými disturbanciami, ktorý už môže byt’
konzistentne (nie však eficientne) odhadnutý metódou OLS.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s náhodnými efektami - fomulácia
Pre vzniknutý model yit = x0 it β + α + ui + it
d’alej predpokladajme:
E[it |X]
E 2it |X E ui2 |X E it uj |X E it ujs |X E ui uj |X
=
=
=
=
=
=
E [it |X ] = 0
σ2
σu2
0 ∀i, j a t
0 ak t 6= s alebo i 6= j
0 ak i 6= j
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s náhodnými efektami - fomulácia
Oznaˇcme:
ηit = it + ui
η i = [ηi1 , ηi2 , . . . , ηiT ]0
a
⇓ nová formulácia modelu
yit = x0 it β + α + ui + it
| {z }
ηit
E[it |X]
E 2it |X 2
E
ui |X E it uj |X E it ujs |X E ui uj |X
=
=
=
=
=
=
E [it |X ] = 0
σ2
σu2
0 ∀i, j a t
0 ak t 6= s ∨ i 6= j
0 ak i 6= j









Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
E ηit2 |X = σ2 + σu2
E[ηit ηis |X] = σu2 ak t 6= s
E ηit ηjs |X = 0
∀t a s, ak i 6= j
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Model s náhodnými efektami - varianˇcná matica
Pre i-tú zložku máme teda maticu Σ = E [ηi ηi0 |X ] v tvare:
 2
σ + σu2
 σu2

Σ=
..

.
σu2
σu2
2
σ + σu2
σu2
σu2
..
.
···
···
σu2
σu2
σu2
σu2
···
σ2 + σu2



 = σ2 IT + σu2 iT i0 T

Pozorovania i a j sú nezávislé ⇒ varianˇcná matica disturbancií V


Σ 0 ··· 0
0 Σ · · · 0 


V=.
 = In ⊗ Σ
..

 ..
.
0
···
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Σ
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Odhad pro model s náhodnými efekty
Nestadardní tvar varianˇcní matice ⇒ použijeme Aitkenuv
˚ (GLS)
odhad
−1 βˆ = X 0 V −1 X
X 0 V −1 y .
Varianˇcní matice vektoru η = u + má tvar V = In ⊗ Σ.
Pro nalezení pˇrípustného Aitkenova (FGLS) odhadu tˇreba najít
konzistentní odhad matice Σ.
Σ = σ2 IT ×T + σu2 iT i0T
⇒
ˆ =σ
Σ
ˆ2 IT ×T + σ
ˆu2 iT i0T .
Jak nalézt konzistentní odhady σ
ˆ2 a σ
ˆu2 ?
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Konzistentní odhady σ
ˆ2 a σ
ˆu2
Jak nalézt konzistentní odhady σ
ˆ2 a σ
ˆu2 ?
Jedna z možností:
1. odhadneme model pomocí OLS-metody
2. z reziduí η
ˆ vypoˇcteme konzistentní odhad σ
ˆη2 = σ
ˆ2 + σ
ˆu2
jako:
σ
ˆη2 =
n X
T
X
1
ηˆit2 .
nT − K
i=1 t=1
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Konzistentní odhady σ
ˆ2 a σ
ˆu2
3. odhadneme σc2 = E(ηit ηis ), t 6= s: zˇrejmeˇ platí
E
T
−1
X
T
X
!
ηit ηis
t=1 s=t+1
=
T
−1
X
T
X
σc2 = σc2
t=1 s=t+1
T
−1
X
(T − t) = σc2
t=1
T (T − 1)
2
⇒ lze konzistentneˇ odhadnout
σ
ˆc2 =
1
n T (T2−1) − K
n T
−1 X
T
X
X
ηˆit ηˆis .
i=1 t=1 s=t+1
4. dopoˇcítáme σ
ˆ2 = σ
ˆη2 − σ
ˆu2 .
ˆ −1
ˆ Σ
ˆ −1 , V
ˇ
Z techto
odhadu˚ lze napoˇcítat matice Σ,
ˆ
a tedy i Aitkenuv
˚ odhad β vektoru β.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Konzistentní odhady σ
ˆ2 a σ
ˆu2
Jiný zpusob:
˚
1. provedeme odhad OLS-metodou v modelu
¯i• ) + it − ¯i• .
yit − y¯i• = β 0 (xit − x
2. odhadneme σ2 pomocí pozorování objektu i jako
s2 (i)
PT
¯i• )2
−e
.
T −K −1
t=1 (eit
=
ˇ
3. tyto odhady poté zprum
˚ erujeme
– získáme odhad
s¯2 =
Pn
¯i• )2
−e
.
nT − nK − n
i=1
PT
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
t=1 (eit
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Konzistentní odhady σ
ˆ2 a σ
ˆu2
4. korekce stupnˇ u˚ volnosti (puvodní
˚
poˇcet odpovídá situaci
odhadu všech parametru˚ pro každé i zvlášt’)
Pn PT
¯i• )2
(eit − e
2
.
σ
ˆ = i=1 t=1
nT − K − n
5. V modelu
¯i• + ui + ¯i•
y¯i• = α + β 0 x
ˇ
máme n „prum
˚ erných
reziduí“
¯i• .
∗∗i = ¯i• + ui = y¯i• − α − β 0 x
Tato jsou nezávislá s rozptylem
2
var (∗∗i ) = σ∗∗
=
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
σ2
.
σu2
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Odhad pro model s náhodnými efekty
¯i• + ui + ¯i• a jeho reziduí
Odhadneme modelu y¯i• = α + β 0 x
2
σ
ˆ∗∗
=
e0∗∗ e∗∗
n−K
a
σ
ˆe2
.
T
ˇ získáváme konzistentní odhad matice Σ.
⇒ opet
2
σ
ˆu2 = σ
ˆ∗∗
−
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Formulácia
Odhad parametrov
Testování na pˇrítomnost náhodných efektu˚
Breusch, Pagan (1980): Test založený na Lagrangeových
multiplikátorech
LM-test
H0 : σu2 = 0,
H1 : σu2 6= 0

2
2
Pn PT
t=1 eit
nT
 i=1

Test. statistika: LM =
− 1 ,
 Pn PT
2
2 (T − 1)
i=1
t=1 eit
H
LM ∼0 χ21
ˇ
eit . . . rezidua z bežného
OLS-odhadu.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Volba modelu
Mezi modely s fixními efekty a modely s náhodnými efekty
a odhady jejich parametru˚ jsou mnohé rozdíly.
=⇒ Nabízí se otázka:
ˇ POUŽÍT??
KTERÝ MODEL BYCHOM MELI
Z praktického hlediska je model s náhodými efekty
ˇ než regrese s dummy promennými
ˇ
vhodnejší
v pˇrípadeˇ
modelu s fixními efekty.
Na druhou stranu, není možné vyšetˇrovat individuální
efekty automaticky jako náhodné:
ˇ
Pokud by existovala korelace mezi vysvetlujícími
ˇ
promennými
a náhodnými efekty, byl by Aitkenuv
˚ odhad βˆ
nekonzistetní!
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Idea Hausmanova testu
Hausman (1978): Test specifikace modelu
Idea Hausmanova testu
ˆ jsou
Regresory a efekty nekorelované =⇒ odhady b a β
ˆ je neeficientní).
oba konzistentní (a β
Regresory a efekty korelované =⇒ b je konzistentní,
ˆ je nekonzistentní.
zatímco β
ˆ
Test je tedy založen na rozdílu odhadu˚ b − β.
ˆ
Pro test je duležitá
˚
kovariance vektoru rozdílu (b − β):
ˆ = var[b] + var[β]
ˆ − cov[b, β]
ˆ − cov[b, β]
ˆ
cov[(b − β)]
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
(1)
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Idea Hausmanova testu
Duležitý
˚
Hausmanuv
˚ poznatek
Kovariance eficientního odhadu s jeho rozdílem s
neeficientním odhadem je rovna nule.
=⇒ Za platnosti nekorelovanosti platí:
ˆ = var[b] − cov[b, β]
ˆ =0
cov[b, (b − β)]
ˆ = var[b]
cov[b, β]
(2)
Dosazením (2) do (1) získáme:
ˆ = var[b] − var[β]
ˆ =Ψ
var[(b − β)]
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Hausmanuv
˚ test
Hausmanuv
˚ test
H0 : E(ci |X i ) = E(ci ) = 0
H1 : E(ci |X i ) 6= E(ci ) = 0
ˆ 0 Ψ−1 (b − β)
ˆ
testová statistika W = (b − β)
H
Waldova statistika W ∼0 χ2 (K − 1)
Matici Ψ odhadneme maticí
\
\ − var[
ˆ = var[b]
ˆ
Ψ
β],
\=
kde var[b]
1 2 ˆ 0 ˆ −1
N s (X i Xi )
\
ˆ =
a var[
β]
1 2 ˜ 0 ˜ −1
N s (X i X i ) ,
t-tý ˇrádek matice Xˆi = je x it − x i ,
t-tý ˇrádek matice X˜i = je x it − λx i
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
(3)
λ=1−
√
µ.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
t-test
β j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . jednotlivý parametr, který chceme testovat
Hausmanuv
˚ t-test
H0 : E(ci |X ij ) = E(ci ) = 0
H1 : E(ci |X ij ) 6= E(ci ) = 0
ˆ j )/{[σ(bj )]2 − [σ(β
ˆ j )]2 }1/2
testová statistika t = (bj − β
H
t ∼0 N(0, 1).
ˆ j ) smerodatné
ˆ
ˇ
σ(bj ), σ(β
odchylky pˇríslušné složky odhadu˚ b,β.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . odhadneme standartními postupy.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
F-test
Pro testování více parametru˚ je možno použít F-test:
x˜ it = x it − λx i y˜it = yit − λyi
ˇ
w it . . . . . . . . . . . . . . . . .vektor o rozmerech
1 × M , podmnožina x it
=⇒ Rozšíˇrený model:
y˜it = x˜ it β + w it ξ + ˜it
(4)
ˇ
ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vektor o rozmerech
M ×1
Hausmanuv
˚ F-test
H0 : ξ = 0
H1 : : ξ 6= 0
SSRr −SSRur NT −K −M
testová statistika F =
M
SSRur
H
t ∼0 FM,NT −K −M .
SSRr . . . . . . . . . . . . . pomocí b, SSRur . . . . . . . . . . . . . z modelu (4).
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Hausmanov a Taylorov model
Pôvodný tvar lineárneho modelu pre panelové dáta:
yit = x0it β + z0i α + it
Náhodné efekty ⇒ nepozorované efekty zi musia byt’
nekorelované s premennými xit ⇒ hlavný nedostatok
Model s náhodnými efektami môže obsahovat’ pozorované,
v cˇ ase sa nemeniace charatkeristiky (napr. demografické)
Model s fixnými efektmi ⇒ charakteristiky sú absorbované do
fixných efektov
Houseman a Taylor(1981) -prekonat’ problém s korelovanost’ou,
zahrnút’ v cˇ ase nemenné charakteristiky
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Hausmanov a Taylorov model
Východiskový model
yit = x01it β 1 + x02it β 2 + z01i α1 + z02i α2 + it + ui
β = (β 01 , β 02 )
zi sú pozorovatel’né efekty
nepozorovatel’né efekty sú zahrnuté v náhodnej veliˇcine ui
x1it → K1 premenných, v cˇ ase meniace, nekorelované s ui
x2it → K2 premenných, v cˇ ase meniace, korelované s ui
z1i → L1 premenných, v cˇ ase nemeniace, nekorelované s ui
z2i → L2 premenných, v cˇ ase nemeniace, korelované s ui
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Odhad pre Hausmanov a Taylorov model
Predpoklady
E[ui ] = E[ui |x1it , z1i ] = 0 avšak E[ui |x2it , z2i ] 6= 0
Var [ui |x1it , x2it , z1i , z2i ] = σu2
Cov [it , ui |x1it , x2it , z1i , z2i ] = 0
Var [it + ui |x1it , x2it , z1i , z2i ] = σ 2 = σ2 + σu2
Corr [it + ui , is + ui |x1it , x2it , z1i , z2i ] = ρ = σu2 /σ 2
OLS, GLS nie sú konzistentné ⇒ použijeme odhad založený na
inštrumentálnych premenných.
Autori navrhujú nasledujúci postup pomocou ktorého obdržíme
konzistentý a eficientný odhad parametrov modelu:
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Postup odhadu
1.KROK:
Odchylky od priemerov Uvážime odchylky od skupinových priemerov
cˇ ím odstránime cˇ ast’ disturbancie, ktorá je korelovanú s x2it
¯1i )0 β 1 + (x2it − x
¯2i )0 β 2 + it − ¯i
yit − y¯i. = (x1it − x
⇒ β môžeme konzistentne odhadnút’
Tento odhad je vlastne LSDV odhad β založený na x1 , x2 .
⇒ 1.krok: LSDV odhad β
Vypoˇcítame reziduá
Odhad reziduálneho rozptylu s2 je konzistentný odhad σ2
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Postup odhadu
2.KROK
Z reziduí eit vypoˇcítame priemery pre jednotlivé skupiny
Dostaneme:
¯i. , i = 1, . . . , n, t = 1, . . . , T .
eit∗ = e
Regresia eit∗ na z1 a z2 s inštrumentami z1 a x1 dá konz. odhad α.
Odhad reziduálneho rozptylu je konzistentný odhad σu2 + σ2 /T
3.KROK
Pomocou predchádzajúcich odhadov odhadneme:
s
σ2
θ=
2
σ + T σu2
Pôvodný model sa potom v d’alšom kroku transformuje pomocou θˆ
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
Postup odhadu
4.KROK:
w0it = (x01it , x02it , z01i , z02i ), zapíšeme do W
Model transformujeme:
ˆw
ˆ y¯i
¯ 0i , yit∗ = yit − (1 − θ)
w∗it 0 = w0it − (1 − θ)
Transformované dáta zapíšeme do matice W∗ a vektora y∗
Odhad Hausman a Taylor
Za inštrumentálne premenné vezmeme:
¯1i )0 , (x2it − x
¯2i )0 , z01i , x01i ]
v0it = [(x1it − x
Všetky zapíšeme do matice V a dostaneme odhad:
0
ˆ ,α
(β
ˆ 0 )IV = [(W ∗0 V )(V 0 V )−1 (V 0 W ∗ )]−1 [(W ∗0 V )(V 0 V )−1 (V 0 y ∗ )]
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
The returns to schooling
Študujeme ekonomický úžitok vzdelávania:
závislá premenná: log(mzda)
ekonomické benefity vzdelávania sú korelované s latentnými,
nemeratel’nými charakteristikami
vrodené schopnosti, inteligencia, vytrvalost’
Nezávislé premenné
Skúsenosti = Vek-Vzdelávanie(ˇcas v rokoch)-5
Vzdelávanie
Zlé zdravie = 1-zlý zdravotný stav, 0-dobrý zdravotný stav
Rasa = 1-beloch, 0-nebeloch
Odbory = 1-ˇclen odborov, 0-nie
Nezamestnaný = 1-v min. roku nezamestnaný, 0-zamestnaný
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
The returns to schooling
Korelovanost’ ⇒ problém s modelom s náhodnými efektami Alternatívou je
model s fixnými efektami, ale:
Datové štruktúry cˇ asto obsahujú vel’a užitoˇcných v cˇ ase nemenných
premenných
Samotné vzdelanie je v cˇ ase nemenná premenná!!!
⇒ Fixné efekty s LSDV odhadom nevhodné
Odhady-nevhodné
Súbor 750 mužov (25-55) pozorovaných v rokoch 1968 a 1972
Zahrnieme ešte absolútny cˇ len a indikátor roku
Modelujeme:
ako klasický model lin. regresie → OLS odhad: 0,0669
ako model s náhodnými efektami → GLS odhad: 0,0676
Obe hodnoty nízke
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Testy specifikace modelu
Model a odhad parametrov
Príklad
The returns to schooling
Premenné
Skúsenosti
Zlé zdravie
Nezamestnaný
ˇ
Cas
Skúsenosti
Nezamestnaný
Rasa
Odbory
Konštanta
Vzdelanie
x1
x2
z1
z2
HT/IV-GLS
0,0217
-0,0278
-0,559
NR
-0,0278
0,1227
NR
0,1246
HT/IV-GLS
-0,0388
NR
0,0241
-0,0560
-0,0175
0,2240
NR
0,2169
Hausmanov test
LSDV s 3 premennými ⇒ χ2 štatistika má tri stupne volnosti
⇒ 95% kritická hodnota = 7,81
GSL
20.2
HT/IV-GLS(1)
2.24
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
HT/IV-GLS(2)
0
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Aerolinky
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Aerolinky
Nákladová funkce leteckých spoleˇcností
Data: údaje o 6 amerických leteckých spoleˇcnostech za 15 let (1970-1984).
Pro celkové náklady Greene([3]) navrhl jednoduchý model:
log costit = β1 + β2 log outputit + β3 log fuel priceit +
+β4 log load factorit + it
ˇ ren v pˇríjmu za míli na cestujícího.
output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . je meˇ
load factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . míra využití kapacity letadel.
odhad OLS
log costit = 9.5169(0.22924) + 0.88274(0.013255) log outputit +
0.45398(0.020304) log fuel priceit
−1.62751(0.34540) log load factorit + it
R 2 = 0.9882898
s2 = 0.015528
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
e 0 e = 1.335442193
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Aerolinky - modely s fixními efekty
Autoˇri model modifikovali o odhadli parametry pro tˇri verze modelu˚ s fixními
efekty:
Efekty specifické pro firmy (celkem tedy 6 efektu)
˚
Efekty specifické pro cˇ as. období (=roky - celkem 15)
Model kombinující dva výše uvedené (tj. 6 + 15 = 25)
ˇ
Tabulka výsledných odhadu˚ techto
tˇrí modelu˚ (pro srovnání také odhad OLS):
Model
β1
β2
β3
β4
R2
OLS
9.517
0.882
0.453
-1.627
0.988
(0.229)
(0.013)
(0.0203)
(0.345)
Efekty - Firmy
0.919
0.417
-1.070
0.9974
0.0036
(0.030)
(0.015)
(0.202)
a1 , . . . , a6
9.706
9.665
9.497
9.891
9.730
ˇ
Efekty - Cas.obd.
0.868
-0.484
-1.954
0.990
0.017
(0.015)
(0.364)
(0.442)
c1 , . . . , a 8
20.496
20.578
20.656
20.741
21.200
c9 , . . . , c15
21.829
22.114
22.465
22.651
22.616
Efekty 12.667
0.817
0.168
-0.882
0.998
Firmy i cˇ as. obd.
(2.081)
(0.032)
(0.163)
(0.262)
a1 , . . . , a6
0.128
0.065
-0.189
0.134
-0.093
c1 , . . . , a8
-0.374
-0.319
-0.277
-0.223
-0.154
c9 , . . . , c15
0.047
0.091
0.207
0.285
0.301
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
s2
0.015
9.793
21.411
22.552
0.0027
-0.046
-0.108
0.300
21.503
22.537
21.654
-0.077
0.319
-0.021
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Aerolinky - modely s fixními efekty - testy specifikace
Pˇrítomnost efektu˚ specifických pro jednotlivé spoleˇcnosti v
modelu otestujeme F-testem:
F [5, 81] =
(0, 997434 − 0, 98829)/5
= 57, 164
(1 − 0, 997431)/81
Kritická hodnota statistiky F na 95% hladineˇ je 2, 327
ˇ cí pro pˇrítomnost firemních efektu.
⇒ Test signifikatneˇ svedˇ
˚
Testová statistika pro pˇrítomnost efektu˚ pro dané roky vyjde
F [14, 72] = 1, 170 < než krit. hodnota 1, 832.
⇒ Nemužeme
˚
potvrdit pˇrítomnost cˇ asoveˇ specif. efektu.
˚
Pokud ovšem vyjdeme z modelu, který již obsahuje firemní
efekty, a otestujeme jej na pˇrítomnost cˇ asových efektu,
˚
dostaneme F [14, 67] = 3, 149, t.j. > kritická hodnota 1, 842.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Aerolinky - modely s náhodnými efekty
Test na pˇrítomnost náhodných efektu˚ (Breusch-Pagan)
ˇ u˚ reziduí jednotlivých firem je:
Vektor prum
˚ er
e = (0, 0687; −0, 0139; −0, 1942; 0, 1527; −0, 0215; 0, 0081)

statistika LM =
Pn
nT
 i=1
 Pn
2 (T − 1)
P
T
t=1
i=1
PT
eit
2
2
t=1 eit
2

− 1 = 334, 85.
ˇ
Kritická hodnota χ21 rozdelení
na 95% hladineˇ je 3, 84
⇒ Zamítáme nulovou hypotézu a mužeme
˚
usuzovat pˇrítomnost
náhodných efektu˚ v datech.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Aerolinky - modely s náhodnými efekty
Výpoˇcet složek rozptylu v modelu s náhodnými efekty
Výpoˇctem dostaneme odhady σ2 a σu2 :
σ
ˆ2 =
0.2926222
= 0.0036126,
90 − 9
ˆ σ 2 = 1.335442 = 0.015528,
σ2 +
u
90 − 4
σ
ˆu2 = 0.015528 − 0.0036126 = 0.0199158.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Aerolinky - modely s náhodnými efekty
Následující tabulka shrnuje odhady parametru˚ pro
model s náhodnými efekty pro firmy
model s náhodnými efekty pro firmy i jednotlivé roky
Model
OLS
Efekty - firmy
Efekty firmy i cˇ as. období
β1
9.517
(0.2292)
9.6106
(0.2028)
β2
0.883
(0.0133)
0.90412
(0.0246)
β3
0.454
(0.0203)
0.42390
(0.0138)
β4
-1.628
(0.3453)
-1.0646
(0.1993)
9.799
(0.8791)
0.8433
(0.0258)
0.3876
(0.0685)
-0.9294
(0.2572)
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
R2
0.989
s2
0.0156
σu2 = 0.011916
σ2 = 0.003613
σu2 = 0.0142291
σ2 = 0.00264
σv2 = 0.0551958
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Aerolinky - Hausmanuv
˚ test
Odhady varianˇcních matic
ˆ vyjdou následovne:
ˇ
Odhady varianˇcních matic var[b] a var[β]


0.0008934 −0.0003178 −0.001884
\ =  −0.0003178 0.0002310 −0.0007686 
var[b]
−0.001884 −0.0007686
0.04068


0.0006059 −0.0002089 −0.001450
\
ˆ =  −0.0002089 0.00018897 −0.002141 
var[
β]
−0.001450
−0.002141
0.03973
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Aerolinky - Hausmanuv
˚ test
Fixní cˇ i náhodné efekty?
Testová statistika Hausmanova testu vyjde W = 4.16.
Kritická hodnota χ2 (3) je 7.814
⇒ nemužeme
˚
zamítnout nulovou hypotézu nekorelovanosti efektu˚ s
ostatními regresory.
ˇ cil o
Vzhledem k výsledku Breush-Paganovu LM-testu, který svedˇ
pˇrítomnosti individuálních efektu˚ v datech, se jako nejlepší volba jeví
ˇ
nekterý
z modelu˚ s náhodnými efekty.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Kriminalita
Data CORNWELL.RAW (z Cornwell and
Trumball, 1994)
Údaje o kriminaliteˇ z okrsku˚
Severní Karolíny z let 1981-1987.
Celkem 90 okrsku.
˚
ˇ
O každém 21 promenných
v každém roce.
Vybrané regresory
crmrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . úrovenˇ kriminality.
ˇ
prbarr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pravdepodobnost
zatˇcení.
ˇ
prbconv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pravdepodobnost
odsouzení.
ˇ
ˇ ení.
ˇ
prbpris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pravdepodobnost
uvezn
ˇ
avgsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . prum
˚ erná
tvrdost trestu.
polpc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .poˇcet policistu˚ na obyvatele.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
OLS odhad
Modely jsme odhadovali
v programu R.
balíˇcek plm.
Základní model
log crmrteit = β1 + β2 log prbarrit + β3 log prbconvit + β4 log prbprisit +
β5 log avgsenit + β6 log polpcit + it
Odhad metodou OLS
log crmrteit = −2.20690 − 0.72151 log prbarrit − 0.54930 log prbconvit +
0.23794 log prbprisit − 0.06517 log avgsenit + 0.36251 log polpcit + it
R 2 = 0.5658
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Kriminalita - modely s fixními efekty
Model s fixními efekty pro jednotlivé okrsky (n = 90, T = 7, K = 5, N = 630)
Oneway (individual) effect Within Model
Call:
plm(formula = log(crmrte) ~ log(prbarr) + log(prbconv) + log(prbpris) +
log(avgsen) + log(polpc), data = E, model = "within")
Balanced Panel: n=90, T=7, N=630
Coefficients :
Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|)
log(prbarr) -0.383564
0.033468 -11.4606 < 2.2e-16 ***
log(prbconv) -0.306005
0.021858 -13.9994 < 2.2e-16 ***
log(prbpris) -0.195510
0.033364 -5.8598 4.633e-09 ***
log(avgsen)
0.035710
0.026125
1.3669
0.1717
log(polpc)
0.413792
0.027470 15.0635 < 2.2e-16 ***
Odhady individuálních efektu˚ pro okrsky
1
3
55
87
113
115
165
185
Estimate Std. Error
-1.58021
0.17444
-2.09820
0.20408
-1.76908
0.16656
-2.00526
0.18215
-2.91151
0.17605
-3.86749
0.15368
-1.32267
0.17825
-2.51018
0.16846
t-value
-9.0586
-10.2812
-10.6214
-11.0090
-16.5375
-25.1652
-7.4205
-14.9003
Pr(>|t|)
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
1.168e-13
< 2.2e-16
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
***
***
***
***
***
***
***
***
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Kriminalita - modely s fixními efekty
Model s fixními efekty pro jednotlivé období
Oneway (time) effect Within Model
Call:
plm(formula = log(crmrte) ~ log(prbarr) + log(prbconv) + log(prbpris) +
log(avgsen) + log(polpc), data = E, effect = "time", model = "within")
Balanced Panel: n=90, T=7, N=630
Coefficients :
Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|)
log(prbarr) -0.719497
0.036766 -19.5694 < 2.2e-16
log(prbconv) -0.545677
0.026369 -20.6940 < 2.2e-16
log(prbpris) 0.247528
0.067228
3.6819 0.0002315
log(avgsen) -0.086721
0.057921 -1.4972 0.1343351
log(polpc)
0.365980
0.030026 12.1888 < 2.2e-16
***
***
***
***
Odhady individuálních efektu˚ pro roky
81
82
83
84
85
86
87
Estimate Std. Error
-2.08248
0.25163
-2.07731
0.24508
-2.12594
0.24545
-2.19125
0.24265
-2.16050
0.24238
-2.12454
0.24583
-2.10947
0.24815
t-value
-8.2760
-8.4760
-8.6615
-9.0304
-8.9135
-8.6424
-8.5009
Pr(>|t|)
2.220e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
< 2.2e-16
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
***
***
***
***
***
***
***
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Kriminalita - modely s fixními efekty - testy
Testování H0 : všechny objekty mají stejný efekt.
F-test
F-test pro efekty pro okrsky:
F = 40.6938, df1 = 89, df2 = 535, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: unstability
F-test pro efekty pro roky:
F = 1.0061, df1 = 6, df2 = 618, p-value = 0.4202
alternative hypothesis: unstability
BP LM-test
LM-test pro efekty pro okrsky:
chisq = 933.6709, df = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: significant effects
LM-test pro efekty pro roky:
chisq = 0.0881, df = 1, p-value = 0.7666
alternative hypothesis: significant effects
=⇒ V datech jsou pouze individuální efekty pro okrsky, cˇ asové efekty nikoli.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Kriminalita - model s náhodnými efekty
Model s náhodnými efekty
Oneway (individual) effect Random Effect Model
(Swamy-Arora’s transformation)
Balanced Panel: n=90, T=7, N=630
Effects:
var std.dev share
idiosyncratic 0.021557 0.146822 0.1935
individual
0.089870 0.299783 0.8065
theta: 0.81798
Coefficients :
(Intercept)
log(prbarr)
log(prbconv)
log(prbpris)
log(avgsen)
log(polpc)
Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|)
-1.929549
0.177325 -10.8814 < 2.2e-16 ***
-0.448619
0.032643 -13.7433 < 2.2e-16 ***
-0.346943
0.021446 -16.1776 < 2.2e-16 ***
-0.187747
0.034809 -5.3936 6.905e-08 ***
0.027675
0.027494
1.0066
0.3141
0.418495
0.026990 15.5058 < 2.2e-16 ***
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Kriminalita - modely s fixními efekty - testy
Porovnání modelu˚
Model
OLS
Fixní efekty
pro okrsky
Fixní efekty
pro roky
Náhodné efekty
β1
-2.2069
(0.0238)
-1.9295
(0.1772)
β2
-0.7215
(0.0367)
-0.3835
(0.0334)
-0.7194
(0.0367)
-0.4486
(0.0326)
β3
-0.5493
(0.0262)
-0.3060
(0.0218)
-0.5456
(0.0263)
-0.3469
(0.0214)
β4
0.2379
(0.0664)
-0.1955
(0.0333)
0.2475
(0.0672)
-0.1877
(0.0348)
β5
-0.0651
(0.0553)
0.0357
(0.0261)
-0.0867
(0.0579)
0.0276
(0.0274)
β6
0.3625
(0.0299)
0.4137
(0.0274)
0.3659
(0.0300)
0.4184
(0.0269)
σ2 = 0.1468
σu2 = 0.2997
Hausmanuv
˚ test
Hausman Test
data:log(crmrte) ~ log(prbarr) + log(prbconv) + log(prbpris) + log(avgsen) +log(polpc)
chisq = 179.2846, df = 5, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: one model is inconsistent
=⇒Model s náhodnými efekty není vhodné použít.
=⇒Ideální je model s fixními efekty pro jednotlivé okrsky.
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Panelové dáta
Model s fixními efekty
Model s náhodnými efekty
Hausmanov a Taylorov model
Pˇríklady
Aerolinky
Kriminalita (s výstupy)
Zdroje
[1] Baltagi, B. H. (2005): Econometric Analysis of Panel Data.
John Wiley & Sons Ltd, Chichester.
[2] Cipra T. (2008): Finanˇcní ekonometrie.
Ekopress, Praha.
[3] Greene, W. H. (2002): Econometric Analysis.
Macmillam Press, New York.
[4] Wooldridge, J. M. (2001): Econometric Analysis of Cross Section
and Panel Data. MIT Press, Cambridge, Massachusetts.
Prezentáciu možné stiahnut’ na:
www.matfyz.cz/pavel.suva
www.petra.burdejova.matfyz.cz
Burdejová P., Lendel G., Orel J., Suva
˚
P.
Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s pˇríklady)
Download

Regresní model s fixními a náhodnými efekty (s príklady)